Algebra Boole

Sistemas Digitales 1

Algebra de Conmutación y

Circuitos Lógicos


Tabla de Contenido

Introducción

Algebra de conmutación

Manipulación algebraica

Operaciones lógicas

Implementación de funciones lógicas

Introducción a los Mapas de Karnaugh

Propiedades de las compuertas NAND y

NOR


Introducción

En la unidad anterior llegamos hasta la transformación de un problema digital en su equivalente tabla de verdad, en un formato binario, esto sería suficiente para construcción de sistemas que usen memorias de solo lectura (ROM), para realizar la implementación de estos sistemas con otro tipo de componentes (compuertas lógicas) es necesario tener una descripción algebraica de estos sistemas.

De lo dicho anterior, podemos concluir que necesitamos el álgebra para: Interpretar o describir una red de compuertas que componen el

sistema digital.

Permite simplificar y minimizar la cantidad de lógica usada en un sistema.

Es básica en el proceso de implementación de una red de compuertas.


Definición del Algebra de Conmutación

Es el conjunto axiomático que normaliza las

operaciones que podrán existir en un

ambiente con variables binarias, esto es,

variables que puedan asumir únicamente dos

valores, incluso, variables que físicamente no

son binarias, pero pueden ser representadas

en términos binarios.


Operadores del Algebra de Conmutación

OR (suma lógica)

Símbolos: + , V

a + b (se lee: a or b), y es 1 sí y sólo sí a=1 ó b=1 ó

ambos.

AND (producto lógico)

Símbolos: . , Λ, o simplemente dos variables seguidas

a . b (se lee: a and b), y es 1 sí y sólo sí a=1 y b=1.

NOT (negación, complemento)

Símbolos: ’

a’ (se lee: not a , a negado), y es 1 sí y sólo sí a=0.


Tablas de verdad para las operaciones OR.

AND y NOTa b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b ab

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a a’

0 1

1 0


Propiedades del Algebra de

Conmutación

(Postulados y Teoremas)


Propiedad Conmutativa

Las operaciones OR y AND son

conmutativas

P1a. a + b = b + a

P1b. a . b = b . a

Note que el valor para las combinaciones en

la tabla de verdad para las segundas y

terceras líneas son iguales


Propiedad Asociativa (1)

Las operaciones OR y AND son asociativas

P2a. (a+b)+c = a+(b+c)

P2b. (a.b).c = a.(b.c)

Esta propiedad es mencionada como la Ley

Asociativa, declara que el orden de los

factores no altera el resultado.

Esta propiedad nos ayuda a establecer

algunas particularidades de las operaciones

OR y AND.


Propiedad Asociativa (2)

OR

a+b+c+d+…. Es 1 si cualquiera de las variables

es 1 y es 0 sólo si todas las variables son 0.

AND

abcd …. Es 1 si todas las variable son 1 y es 0 si

cualquiera de las variables es 0.


Las compuertas (1)

Es el elemento básico en los sistemas

digitales.

Es un elemento con una sola salida que

implementa una de las funciones básicas

como AND y OR.

Está disponibles en configuraciones de dos,

tres, cuatro y ocho entradas.


Las compuertas (2)

Símbolos para OR y AND


Implementación para la propiedad 2b


Símbolo para la compuerta NOT

El circulo al final del triángulo es la representación de la negación


Identidad

Existen 2 elementos neutros, el 0 y el 1,

cumpliéndose la propiedad en dos de los

casos, quedando como 1 y 0 lógicos en los

otros dos (ver teorema 2):

P3a. a.1 = a (identidad)

P3b. a+0 = a (identidad)


Nulo

Casos en que no se cumple la propiedad de

elemento neutro, pero existen y se definen

de esta forma.

P4a. a.0 = 0

P4b. a+1 = 1


Complemento

Existe el elemento complementario para

cada variable binaria y el resultado para cada

operación es el que sigue.

P5a. a + a’ = 1

P5b. a . a’ = 0


Idempotencia

La suma o producto de dos variables iguales

equivale a la misma variable

P6a. a+a = a

P6b. a.a = a


Involución

Para todo elemento de un álgebra de boole

se cumple que:

P7. (a’)’=a


Distributiva

Ambas operaciones son distributivas

P8a. a(b+c) = (ab)+(ac)

P8b. a+bc = (a+b)(a+c)

(Este postulado no existe para el álgebra común)


Adyacencia

Se define de la siguiente forma:

P9a. ab + ab’= a

P9b. (a+b)(a+b) = a


Simplificación

Es una combinación de las propiedades

distributivas y asociativas, se usa

comúnmente en la simplificación de

funciones.

P10a. a + a’ b = (a’ + a) (a+b) = a+b

P10b. a (a’ + b) = a’ a + a b = ab


Absorción

Ley de Absorción.

P11a. a + ab = a

P11b. a(a + b) = a


Ley de De Morgan

Ley de De Morgan.

P12a. (a + b + c + ...) ' = a' . b' . c' . ...

P12b. ( a . b . c. ... ) ' = a' + b' + c' + ...


Manipulación de Funciones

Algebraicas


La simplificación

El proceso de la simplificación consiste en

aplicar los postulados y teoremas del álgebra

de Boole para llegar a la expresión más

simple de la ecuación, esta, se presentará

normalmente en su forma de sumatoria de

productos de mínima.


Ejemplo de simplificación

F = xy’(z+x+zy’)

F=xy’z+xy’x+xy’zy’

F=xy’z+xy’+xy’z

F=xy’z+xy’

F=xy’

Simplificar:

x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz


Sobre la simplificación

No existe una metodología para realizar la

simplificación.

Sólo la práctica es la manera de alcanzar la

simplificación más óptima.

La aplicación del álgebra de Boole no

garantiza el llegar a la simplificación óptima.


Implementación de

Funciones con Compuertas


Redes con AND, OR y NOT

Una vez que se define la suma de productos

mínima se debe de definir el diagrama lógico,

compuesto por una red de compuertas que

describan la función.


Ejemplo de un circuito de dos niveles

zyxzyxyzxzyxf

X’

Y

Z’

X’

Y

Z

X

Y’

Z’

X

Y’

Z


Niveles

El número de niveles corresponde al máximo

número de compuertas que una señal debe

pasar desde su entrada hasta la salida.

En el caso anterior tenemos dos niveles, esto

asumiendo que tenemos disponibles en la

entradas los complementos de la literales,

cuando no se dispone de los complementos

es necesario complementar con compuertas

NOT.


Problema

xyzzyxzyxyzxzyxf

a) Diagrama de la suma de productos

b) Diagrama de la suma de productos mínimo


Una red multinivel

)( wxzvyxwzh

Las redes multinivel son el resultado de implementar funciones que no estén

en la forma ni de suma de productos ni de productos de sumas.


De la Tabla de Verdad a la Expresión

Algebraica

En la mayoría de los casos, un problema digital es presentado en la forma de una declaración o como una tabla de verdad, esto nos obliga a tener la habilidad de llevar los datos de una tabla de verdad a una expresión algebraica.

En la tabla de verdad, cada combinación de las variables de entrada corresponde a un termino de producto estándar.

Es posible extraer una sumatoria de productos estándares sumando cada termino de producto cuyo resultado en la tabla de verdad es igual a 1.


Miniterminosa b c Minitermino Número

0 0 0 A’B’C’ 0

0 0 1 A’B’C 1

0 1 0 A’BC’ 2

0 1 1 A’BC 3

1 0 0 AB’C’ 4

1 0 1 AB’C 5

1 1 0 ABC’ 6

1 1 1 ABC 7

•En la tabla se muestra la

equivalencia entre las

combinaciones de una tabla de

verdad y los minitérminos que

están asociados a cada uno de

los productos estándares de

una expresión algebraica.

•Los miniterminos pueden ser

referidos también por sus

números, que están mostrados

en la columna de la derecha.


Ejemplo 1

A B C f f’

0 0 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 0

1 0 0 1 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 1 0 1

La expresión algebraica será:

f(A,B,C) = Σm(1,2,3,4,5)

= A’B’C+A’BC’+A’BC+AB’C’+AB’C

f’(A,B,C) = Σm(0,6,7)

= A’B’C’+ABC’+ABC

Para la mayoría de los casos la

suma de los minitérminos no

representa la sumatoria mínima de

productos.


Ejemplo 2, con condiciones irrelevantes

(don’t care)a b c f

0 0 0 x

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 x

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

La expresión algebraica será:

f(a,b,c) = Σm(1,2,5) + Σd(0,3)


Finalización del proyecto EJE1

Z2= A’BCD+AB’CD+ABC’D+ABCD’+ABCD

Z2 suma mínima = ACD+BCD+ABC+ABD

Diagrama lógico


Introducción a los Mapas de

Karnaugh


Mapas de Karnaugh

Es un método gráfico usado para la

simplificación de funciones de conmutación.

Propuesto por Maurice Karnaugh en 1953.

Los mapas de Karnaugh se compone de un

cuadrado por cada minitérmino posible de

una función.

2 variables, 4 cuadrados




Mapa de Karnaugh para dos variables

A’B’ AB’

A’B AB

m0 m2

m1 m3

0 2

1 3

0 1

0

1

A

B

A

B

Aquí tenemos tres vistas de una mapa de dos variables, las casillas sombreadas,

por ejemplo, corresponden al minitérmino 2 donde A=1 y B=0


Representando funciones en un Mapa de

Karnaugh (1)

Cuando se quiere llevar una función a un

mapa, se coloca un 1 en el casillero

correspondiente al minitérmino que resultó

como 1 en la función.

Los otros casilleros se dejan en blanco

Si existen condiciones irrelevantes, es

necesario poner una X en los minitérminos

correspondientes.


Representando funciones en un Mapa de

Karnaugh (2)

1

1

0 1

0

1

a

b

1 X

1

0 1

0

1

A

B

F(a,b) = Σm(0,3) F(A,B) = Σm(0,3) + Σd(2)


Mapa de Karnaugh para 3 variables

A’B’C’ A’BC’ ABC’ AB’C’

A’B’C A’BC ABC AB’C

00 01 11 10

0

1

AB

C

0 2 6 4

1 3 7 5

00 01 11 10

0

1

AB

C

La idea con la codificación es poder usar el P9a. ab+ab’=a


Mapa de Karnaugh para 4 variables

A’B’C’D’ A’BC’D’ ABC’D’ AB’C’D’

A’B’C’D A’BC’D ABC’D AB’C’D

A’B’CD A’BCD ABCD AB’CD

A’B’CD’ A’BCD’ ABCD’ AB’CD’

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

0 4 12 8

1 5 13 9

3 7 15 11

2 6 14 10

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD


Ejemplo de adyacencia para un mapa de 4

variables Los 1 en dos celdas adyacentes corresponden a un solo término de

producto.

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1

1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

AC’D A’B’D’


Extendiendo el concepto de adyacencia

para agrupar más celdas

1 1 1 1

00 01 11 10

0

1

AB

C

1 1 1 1

00 01 11 10

0

1

AB

C

A’C AC C


Otros ejemplos para grupos de 4

1

1 1 1

1 1 1

1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1 1

1 1

1 1

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

A’B’ AD B’D’ BD


Grupos de 8

1 1

1 1

1 1

1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

1 1 1 1

1 1 1 1

00 01 11 10

00

01

11

10

AB

CD

A’ D’


Ejemplo de simplificación usando Mapas

de Karnaugh

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

x’yz’ + x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz

1 1

1 1 1

00 01 11 10

0

1

xy

z

x’y + xy’ + xz


Problema

f = a’b’c’ + a’bc’ + a’bc + ab’c’

Para la función f encontrar:

La suma de productos mínima usando un mapa d

karnaugh.


Compuertas NAND, NOR y

OR EXCLUSIVAS


Compuerta NAND y NOR

Como la otras compuertas que estudiamos, también están disponibles

en el comercio con dos, tres, cuatro y ocho entradas.

Símbolos para NAND

Símbolos para NOR


Importancia de las NAND y NOR

Todas las funciones Booleanas pueden ser substituibles por una función equivalente que utilice únicamente compuertas NAND y/o NOR, esto con los siguientes objetivos: Disminución del número de componentes en una tarjeta de

circuito impreso.

Dar facilidad de mantenimiento futuro y

Disminuir el consumo de energía.

La transformación de cualquier función se efectuará mediante la correcta utilización del teorema de Moorgan.


Algunas equivalencias


Metodología para transformar una

expresión a NAND1. Una vez obtenida la expresión correspondiente del problema

digital, se realiza a todo el conjunto una doble inversión o negación.

2. Como nos encontramos en el caso de implementar con puertas NAND, si la expresión resultante está en función de productos, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si, por el contrario, es una suma, se aplica el teorema de Moorgan sobre dicha suma.

3. Continuar 2, hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente como productos negados.


Metodología para transformar una

expresión a NOR1. Con la expresión correspondiente se realiza a todo el conjunto

una doble inversión o negación.

2. Si la expresión resultante está en función de sumas, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si se trata de un producto, tendremos que aplicar el teorema de Moorgan sobre el producto.

3. Continuar 2 (realizando el proceso anterior) hasta la obtención de una función compuesta exclusivamente por sumas negadas.


Compuerta OR-Exclusiva y NOR-Exclusiva

a b a xor b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a b a xnor b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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