ELO211: Sistemas Digitales Toms Arredondo Vidal 1er Semestre 2009Este material est basado en: textos y material de apoyo:

Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005 material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva material en el sitio http://es.wikipedia.org

Contemporary Logic Design 1st / 2nd edition. Gaetano

3: Cannicas

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3-Formas Canonicas3.1 Expresiones cannicas: minterminos y maxterminos 3.2 Expansin a las formas cannicas 3.3 Sntesis de las formas cannicas 3.4 Diseo lgico y simplificacin

3: Cannicas

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Expresiones Cannicas Existen dos formas bsicas de expresiones

cannicas que pueden ser implementadas en dos niveles de compuertas:suma de productos o expansin de minterminos r producto de sumas o expansin de maxterminosr

Permiten asociar a una funcin una

expresin algebraica nica La tabla de verdad tambin es una representacin nica para una funcin booleana3: Cannicas 3

Suma de productos Tambin conocida como expansin de

minterminosF = 001

011

101

110

111

F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 1 0 1 0 1 1 1 F 1 0 1 0 1 0 0 0

F = ABC + ABC + ABC

3: Cannicas

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Suma de productos Trminos son productos (o minterms)r

r

productos AND de literales para las combinacion de input para los que el output es verdad en cada producto cada variable aparece exactamente una ves (puede estar invertida)B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 minterms ABC m0 ABC m1 ABC m2 ABC m3 ABC m4 ABC m5 ABC m6 ABC m7 F en forma cannica: F(A, B, C) = m(1,3,5,6,7) = m1 + m3 + m5 + m6 + m7 = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

forma cannica forma minima F(A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = (AB + AB + AB + AB)C + ABC = ((A + A)(B + B))C + ABC = C + ABC = ABC + C forma corta de escribir minterms = AB + C 3: Cannicas 5 (ejemplo de 3 terminos o 23 = 8 minterms)

A 0 0 0 0 1 1 1 1

Producto de sumas Tambin conocida como expansin de

maxterminosF= 000 010 100 F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 1 0 1 0 1 1 1 F 1 0 1 0 1 0 0 0

F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C)3: Cannicas 6

Producto de sumas Trminos son sumas (o maxterminos)r

r

suma OR de literales para las combinacion de input para los que el output es falso en cada producto cada variable aparece exactamente una ves (puede estar invertida)C 0 1 0 1 0 1 0 1 maxterms A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 F en forma cannica: F(A, B, C) = M(0,2,4) = M0 M2 M4 = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) forma cannica forma minima F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) = (A + C) (B + C)

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

forma corta de escribir minterminos (ejemplo de 3 trminos o 23 = 8 minterminos)

3: Cannicas

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Conversin entre formas cannicas Es posible convertir entre ambas formas cannicas Para n variables (0 i 2n-1)

mi = Mi Mi = m i mi = Mi Mi = mi3: Cannicas 8

Conversin entre formas cannicas Suma de productosr

F = ABC + ABC + ABC (F) = (ABC + ABC + ABC) F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C)

Usando de Morgans: f(X1,X2,...,Xn,0,1,+,) = f(X1,X2,...,Xn,1,0,,+)r r

Producto de sumasr

F = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (F) = ( (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) ) F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC3: Cannicas 9

Usando de Morgansr r

Conversin entre formas cannicas Conversin de minterminos a maxterminosr r

usar maxterminos cuyos ndices no aparecen en expansin de minterminos e.g., F(A,B,C) = m(1,3,5,6,7) = M(0,2,4) usar minterminos cuyos ndices no aparecen en expansin de maxterminos e.g., F(A,B,C) = M(0,2,4) = m(1,3,5,6,7) usar minterminos cuyos ndices no aparecen e.g., F(A,B,C) = m(1,3,5,6,7) F(A,B,C) = m(0,2,4) usar maxterminos cuyos ndices no aparecen e.g., F(A,B,C) = M(0,2,4) F(A,B,C) = M(1,3,5,6,7)3: Cannicas 10

Conversin de maxterminos a minterminosr

r

Conversin de expansin de minterminos de F a Fr r

Conversin de expansin de maxterminos de F a Fr r

Implementaciones alternativas en dos niveles Ejemplo: F=ab+cA B F1 C

suma de productos

suma de productos minimizadaF2

producto de sumasF3

producto de sumas minimizadaF4 3: Cannicas 11

Seales para las cuatro alternativas Esencialmente idnticas r excepto por perturbaciones r retardos son muy similares r otros ejemplos mas adelante

3: Cannicas

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3-Formas Canonicas3.1 Expresiones cannicas: minterminos y maxterminos 3.2 Expansin a las formas cannicas 3.3 Sntesis de las formas cannicas 3.4 Diseo lgico y simplificacin

3: Cannicas

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Expansin a las formas cannicas Cualquier funcin booleana puede ser

representada en forma cannica. El proceso de obtener la forma cannica se denomina expansin Un mtodo directo consiste en obtener la tabla de verdad, y luego identificar los mintrminos o los maxtrminos Otra posibilidad, que se estudia a continuacin, es mediante un desarrollo algebraico basado en los postulados y teoremas del lgebra de Boole3: Cannicas 14

Expansin a suma de productos Basado en el uso repetitivo del teorema de

unificacin:r

a = ab + ab

Ejemplo: f(a, b, c) = a + bc + abc Trmino a: a = ab + ab = (ab + ab)c + (ab + ab)c = abc + abc + abc + abc = m7 + m5 + m6 + m4 Trmino bc: bc = abc + abc = m6 + m2 Entonces, f(a, b, c) = m2 + m4 + m5 + m6 + m73: Cannicas 15

Expansin a productos de sumas Basado en el uso repetitivo del teorema de

unificacin:r

a = (a + b)(a + b)

Ejemplo: f(a, b, c) = (a + b)(b + c) Trmino (a+b): (a+b) = (a+b+c)(a+b+c) = M0 M1 Trmino (b+c): (b+c) = (a+b+c)(a+b+c) = M1 M5 Entonces, f(a, b, c) = M0 M1 M53: Cannicas 16

3-Formas Canonicas3.1 Expresiones cannicas: minterminos y maxterminos 3.2 Expansin a las formas cannicas 3.3 Sntesis de las formas cannicas 3.4 Diseo lgico y simplificacin

3: Cannicas

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Sntesis usando suma de productos Dada una funcin mediante una suma de

productos, sta puede implementarse usando un OR de AND's Ejemplo: implementacin en dos niveles de f(a, b, c, d) = ab + cd, se logra directamente

3: Cannicas

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Sntesis usando suma de productos Una red es de n niveles, cuando una seal

de entrada debe pasar a travs de n compuertas para llegar a la salida. La seal de entrada que recorra ms compuertas hasta llegar a la salida, es la que define la cantidad de niveles; el recorrido se denomina ruta crtica y define el retardo de propagacin de la red. Debe notarse que se considera que se dispone de entradas invertidas (e.g. b) ya que si slo se dispone de variables (e.g. b) se requiere un nivel adicional.3: Cannicas 19

Sntesis usando suma de productos Tambin puede implementarse usando

solamente compuertas NANDr

Ejemplo: f = ab+cd

3: Cannicas

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Sntesis usando suma de productos La tcnica anterior se denomina mtodo de

doble complementacin: Se puede visualizar en forma grfica segn:

El siguiente es el equivalente grafico del

Teorema de De Morgan:3: Cannicas 21

Conversin de producto de sumas a suma de productos Si tenemos una funcin de tipo producto de sumas se

puede convertir usando doble complementacin en suma de productosA B f C D A B C D

f

Aplicando De Morgan y complementando: A A B B f C D C D

f

3: Cannicas

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Conversin de producto de sumas a suma de productos Hay que notar que la implementacin como suma de

productos tiene todas las variables de entrada y salida complementadas respecto a su forma inicial. Tambin se puede convertir una expresin de tipo suma de productos a la forma producto de sumas al cambiar los ANDs del primer nivel por ORs y en el segundo nivel los ORs por ANDs adems de complementar variables de entrada y salida.

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3-Formas Canonicas3.1 Expresiones cannicas: minterminos y maxterminos 3.2 Expansin a las formas cannicas 3.3 Sntesis de las formas cannicas 3.4 Diseo lgico y simplificacin

3: Cannicas

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Diseo lgico: fan-in y fan-out Las compuertas lgicas tienen ciertas caractersticas

concretas dadas por su implementacin fsica. Dos de ellas son el fan - in y el fan - o ut. Fan - in es el numero de circuitos o compuertas de entrada (e.g. de dos entradas) que puede soportar una compuerta. Una compuerta con un fan - in mayor tienden a ser mas lentas por que se incrementa la capacitancia de la compuerta.

3: Cannicas

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Diseo lgico: fan-in y fan-out Fan -

o ut es el numero de compuertas que pueden ser alimentadas o comandada por una salida de la compuerta. Un mayor numero de niveles en un circuito causa que este tenga un comportamiento mas lento ya que la conmutacin debe propagarse a travs de mas compuertas. Un menor numero de niveles requiere compuertas con un mayor fan - in lo que generalmente implica ocupar mas pastillas en la implementacin.

3: Cannicas

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Funciones incompletamente especificadas Ejemplo: Numero binarios codificados (BCD) incrementado por 1r

BCD codifica nmeros decimales 0 9 en los patrones de bits 0000 1001B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 W 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 X X X X X X X 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 X X X X X X Y 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 X X X X X X Z 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 X X X X X X off-set de W on-set de W dont care (DC) set d W

A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

estos patrones de input nunca se deberan encontrar en la practica "dont care" sobre sus valores de salida se pueden utilizar en la minimizacin3: Cannicas 27

Descripcin de funciones incompletamente especificadas Formas cannicas y dont cares (X)r r r

hasta ahora solo han representado on-set formas cannicas tambin representan conjunto dont-care se necesitan dos de los tres conjuntos (on-set, off-set, dc-set)

Representacin cannicas de la funcin BCD incrementada por 1:r r

Z = m0 + m2 + m4 + m6 + m8 + d10 + d11 + d12 + d13 + d14 + d15 Z = [ m(0,2,4,6,8) + d(10,11,12,13,14,15) ] Z = M1 M3 M5 M7 M9 D10 D11 D12 D13 D14 D15 Z = [ M(1,3,5,7,9) D(10,11,12,13,14,15) ]3: Cannicas 28

r r

Simplificacin de lgica combinacional de dos niveles Encontrar una realizacin mnima de suma de productos o

productos de suma r explotar informacin X (dont care) en el proceso Simplificacin algebraicar r

no hay procedimiento algortmico/sistemtico como se sabe cuando la mnima realizacin se encontr? soluciones precisas requieren tiempos de computacin largos especialmente para funciones con muchos inputs (> 10) heursticas se usan para encontrar buenos resultados (generalmente no son el optimo global)

Herramientas computacionalesr

r

3: Cannicas

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Simplificacin de lgica combinacional de dos niveles Mtodos a mano son relevantesr

r

para encontrar las herramientas automticas y sus fuerzas y debilidades se pueden verificar resultados (en casos pequeos)

3: Cannicas

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Simplificacin de lgica combinacional de dos niveles Teorema de unificacin, clave para la simplificacin :

A (B + B) = A Esencia de la simplificacin de lgica de dos nivelesr

encontrar (o crear) subconjuntos de dos elementos del onset en los cuales solo una variable cambia de valor esta variable puede ser eliminada y un termino puede remplazar al los dos termimos previosF = AB+AB = (A+A)B = B A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 1 0 1 0 A tiene valores diferentes en ambas filas A se elimina3: Cannicas 31

B tiene el mismo valor en las dos filas B se mantiene

Simplificacin de lgica combinacional de dos niveles Usando teoremas para minimizar (e.g. idempotencia, commutatividad,

distributividad, unificacin, complementariedad, identidad,...) Ejemplo:

Cout

= = = = = = = = = = = =

A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin (A + A) B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin (1) B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin + A B Cin B Cin + A (B + B) Cin + A B Cin + A B Cin B Cin + A (1) Cin + A B Cin + A B Cin B Cin + A Cin + A B (Cin + Cin) B Cin + A Cin + A B (1) sumar terminos para B Cin + A Cin + A B factorizar3: Cannicas 32

Diseo lgico: perturbaciones Implementaciones de circuitos lgicos pueden

incluir condiciones que causan perturbaciones (como resultados de carreras) en los outputs de implementaciones de circuitos En circuitos con mas de dos niveles pueden generarse perturbaciones con mas de un cambio momentneo

3: Cannicas

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Ejemplo: perturbaciones Implementaciones de circuitos lgicos pueden

incluir condiciones que causan perturbaciones (como resultados de carreras) en los outputs de implementaciones de circuitos Una perturbacin esttica es un cambio momentneo de un nivel constante en el output (un falso cero o un falso uno) En circuitos con mas de dos niveles pueden generarse perturbaciones con mas de un cambio momentneo Una perturbacin dinmica es una perturbacin que ocurre durante el cambio de una variable de salida 3: Cannicas 34

Diseo lgico: perturbaciones Ejemplo: P = (((A+B) + (D+C))+A) =

A(AB+CD)r

Con {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} se presentan perturbaciones en el canto de bajada de A atrasadoA B C D

P

Actividad: Mostrar porque y como ocurre esto

e indicar como eliminar el problema

3: Cannicas

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Actividad: Diseo lgico y perturbaciones Porque ocurre las perturbaciones? Recordemos que

las perturbaciones ocurren cuando una misma seal tiene mltiples caminos que causan carreras en los inputs a una compuerta.

X X

X X

3: Cannicas

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Actividad: Diseo lgico y perturbaciones Ejemplo: z = x + xr r

En una tabla de verdad se aprecia que y nunca debera ser 0 Pero dado que hay carreras z si es 0 en el diagrama temporal (perturbacin)X X Z X X Z t Carrera en seales de entrada

perturbacin3: Cannicas 37

Actividad: Diseo lgico y perturbaciones Anlisis: Si se hace una tabla de verdad se puede

apreciar que la salida P nunca es igual a 1Y A B C D Z X X' P

Cuando A = 1 y {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} despus de

un tiempo de propagacin X = 1 y X = 0 Despus del cambio de a A = 0 y de una propagacin en la ruta mas rpida X = 0 y X = 0 Es durante este tiempo de propagacin que P se convierte en 1 causando la perturbacin 3: Cannicas

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Actividad: Diseo lgico y perturbaciones Solucin: Para eliminar la perturbacin se puede

simplificar ms (para eliminar la carreras de X con X...): P = (((A+B) + (D+C))+A) = A(AB+CD) = AAB + ACD = ACDA B C D

P

A C D

P

Mas ejemplos en los apuntes...3: Cannicas 39