LGEBRA BOOLEANA Desarrollada por George Boole

Herramienta para representar proposiciones lgicas en forma algebraica

Se aplica en representacin de circuitos lgicos y diseo digital

EXPRESIONES BOOLEANAS

Uso de variables booleanas (cuyos valores son 1 0)

Ver ejemplo 5.1 (pg. 179) del libro Matemticas para la computacin de Jos A. Jimnez Murillolgebra booleana.Lic. Enrique Granados

2Email: egranadoscr@gmail.com

Minitrmino: Es un producto booleano en la que cada variable aparece slo una vez; es decir, es una expresin lgica que se compone de variables y los operadores lgicos AND y NOT. P. ejem. ABC y ABC.

Maxitrmino: Es una expresin lgica que se compone de variables y los operadores lgicos OR y NOT. P. ejem. A+B+C y A+B+C.

En lgebra booleana, se conoce como forma cannica de una expresin, a todo producto osuma en la cual aparecen todas sus variables en su forma directa o inversa.

Una expresin lgica puede expresarse en forma cannica usando minitrminos o maxitrminos.

Todas lasexpresiones lgicasson

expresablesen forma cannica comouna

suma de minitrminos o como unproducto de maxitrminos.

PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONESBOOLEANAS

a) Formadas con variables booleanas b) Valores de 1 (verdadero) 0 (falso)c) Puede tener constantes booleanas (1 0)d) Puede tener operadores lgicos: AND (&,^), OR (V) y NOT (, , -, ~)

Multiplicacin lgica: AND xy = x y = (x)(y) Suma lgica: OR x + y Complemento (negacin): NOT xe) Se puede obtener el resultado lgico de una expresin booleana aplicando las tablasde verdad (valores de certeza)f) Se puede aplicar la Ley de Morgan

EJEMPLO DE EXPRESIONES BOOLEANAS Suponga que un sistema lgico tiene 3 variables de entrada (A, B y C) y la salida de la funcin (F) se comporta de acuerdo a la siguiente tabla de verdad:

ABCF

0000

0011

0100

0110

1001

1010

1101

1110

Representacin de la expresin booleana:

F = ABC + ABC + ABC

LEYES DEL LGEBRA BOOLEANA

1.- Existencia de neutrosx + 0 = xx 1 = x

2.- Conmutatividadx + y = y + xx y = y x

3.- Asociatividadx + (y + z) = (x + y) + zx (y z) = (x y) z

4.- Distributividadx + (y z) = (x + y) (x + z)x (y z) = (x y) z

5.- Complementosx + x = 1x x = 0

TEOREMAS DEL LGEBRA BOOLEANA

1.- Idempotencia

x + x = xx x = x

2.- Identidad de los elementos 0 y 1 x + 1 = 1x 0 = 0

3.- Absorcin

x + (x y) = x x (x + y) = x

4.- Complemento de 0 y 10 = 11 = 0

5.- Involucin (doble negacin) (x) = x

5.- Leyes de Morgan(x + y) = x y (x y) = x + y

COMPUERTAS LGICAS(Ko) :Son bloques de hardware capaces de responder de diferente forma a la combinacin de sus entradas que producen con iguales salidas un nico valor el cual ser 1 0.

Ko 0 / 1

Son usadas para desarrollar diferentes circuitos lgicos capaces de procesar distintos valores bolanos; en la entrada produce los mismos valores segn se plantees en una tabla de verdad.

1 0

verdad. lgica.

Cada Ko por s sola va a ser representada por un smbolo grfico que res ponde siempre a una tabla de

Ejemplo 0 = 1, 1 = 0; y tendr una funcin algebraica para facilitar la comprensin de como opera suPrctica de funciones booleanas

Se pretende que en todas las funciones realice lo siguiente:

Tabla de la verdad Diagrama lgico o digital de la funcin con logisim

f=A+B+ABC f=A+AB+ABC+ABCD f=(A+ABC)+(A+ABC)+(A+ABC) f=ABC+A(B.C)+ABC f= A+B+ABC f=ABC+AB+BC+ABC f=AD+AB+CD+BC f=AB+BC+ACD f= ABC+ABD+ACD+BCD+ABD+ABC+BD f=ACD+ABC+ABD+BCD+BCD+ACD f=A(B+C) (A+B+C) f=A+(C+B+BD) + (C+BD) f=(A+BC) (B+AC)(C+AB) f=A+(C+B+BD). (C+BD) f=(A+(B+CD).(C+AB)).(B+C) f= (B(A+C)+A).(B+A) f=A+AB f=ABD+BCD+ACD f=A(B+C)+C f=AB+ABC+AB f= ABCD+ABC+ABD f=AB+(A+C)B+ABC f=(A+B) + ABC+ (A.(B+C)) f=A(B+C)(B+A)+ABC f=(ABC+ABD)(C+BD)