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  • INFORMTICA

    INGENIERA CIVIL

    INGENIERA ELCTRICA

    ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES

    L G E B R A

    N I V E L A C I N

    CAPTULO 1

    MARZO

    2014

  • 2

    EL MTODO MATEMTICO

    1.1 Introduccin: Estructuracin de un Sistema Matemtico.

    1.2 Conjuntos.

    1.3 Proposiciones cerradas y abiertas.

    1.4 Operaciones con Conjuntos y con Proposiciones.

    1.5 Propiedades de las operaciones entre conjuntos.

    1.6 Propiedades de las operaciones entre proposiciones.

    1.7 Leyes del Algebra de Conjuntos y Proposiciones.

    1.8 Formas de la Implicacin.

    1.9 Cuantificadores.

    1.10 Razonamientos.

    1.11 Mtodos de demostracin.

    OBJETIVOS DEL CAPITULO:

    Al concluir el estudio y prctica de este captulo, el estudiante se encontrar en capacidad de:

    1. Emplear correctamente las definiciones en la escritura de expresiones con conjuntos y proposiciones.

    2. Construir y utilizar los diagramas de Venn y Lineales como recurso para ilustrar conceptos y obtener conclusiones en la teora de conjuntos.

    3. Relacionar los conceptos de la lgica en el manejo de los conjuntos y sus operaciones.

    4. Identificar las clases de proposiciones con su correspondiente ejemplificacin y, construir y diferenciar las proposiciones compuestas por medio del uso de los conectores lgicos.

    5. Leer los smbolos, usar el vocabulario adecuado y la correcta notacin para expresar los conceptos de la teora de conjuntos y proposiciones.

    6. Aplicar adecuadamente todas las operaciones y propiedades de conjuntos y proposiciones en la resolucin de ejercicios y problemas.

    7. Manejar correctamente la simbologa y operatividad de las implicaciones y equivalencias

    lgicas; y de modo similar los cuantificadores y razonamientos, como los mtodos de

    demostracin.

  • 3

    ESTRUCTURACIN DE UN SISTEMA MATEMTICO

    Comenzamos con el estudio del desarrollo lgico del Sistema Matemtico.

    Lo primero que se debe analizar son los nuevos trminos que tenemos que introducir.

    Cada trmino tiene una definicin, pero dichas definiciones caen en crculos viciosos, haciendo

    poco vlidas o invlidas aquellas definiciones.

    Para no involucrarnos con lo anterior, debemos estructurar nuestro Sistema Matemtico

    siguiendo los siguientes criterios: 1. UN CONJUNTO DE TRMINOS NO DEFINIDOS: Son palabras tcnicas necesarias

    para la estructuracin del sistema matemtico que aceptamos y los nombramos como

    trminos no definidos. Ejemplo: Punto, recta, conjunto, elemento, pertenencia, proposicin,

    verdadero, falso, etc. 2. UN CONJUNTO DE TRMINOS DEFINIDOS: Se construye usando los trminos no

    definidos, o se obtienen en funcin de palabras que a su vez se definan en funcin de las

    palabras sin definir. Esto es bsico para la construccin de un sistema lgico y matemtico.

    Adems debemos tener presente que las definiciones que se pretendan pueden contener

    palabras de uso frecuente en el idioma como: es, el, y, o, etc. Que no tienen significado

    matemtico especial. Ejemplo: Palabras sin definir: Punto, recta y entre.

    Definamos: Segmento rectilneo: La porcin de recta contenida entre dos puntos dados de

    una recta.

    Las palabras distintas a las 3 no definidas, no tienen un significado tcnico en especial;

    luego se las puede usar libremente. Las definiciones establecidas deben tener sentido y no

    ser contradictorias. Ejemplo: Tringulo: recta, recta, recta, punto, punto, punto; no cumple

    las condiciones establecidas.

    3. UN CONJUNTO DE PROPOSICIONES: Usando los conjuntos anteriores, una vez preparado el vocabulario de trminos no definidos y de trminos definidos; podemos

    formular proposiciones acerca de estos nuevos trminos, que son frases a base de las

    palabras tcnicas y otras no tcnicas. Se tienen los siguientes tipos de proposiciones:

    Proposiciones cerradas y proposiciones abiertas o funciones proposicionales; que luego en

    el estudio las daremos dedicacin especial.

    4. AXIOMAS O POSTULADOS: Son proposiciones cerradas que aceptamos como verdaderas. No es correcto admitir un axioma aislado; sino un conjunto de axiomas que

    reflejen correctamente las propiedades realmente existentes.

    5. TEOREMAS: Son proposiciones cerradas cuya verdad ha de ser probada o demostrada aplicando un proceso lgico, a partir de los conjuntos de trminos no definidos, definidos y

    axiomas que se aceptan como verdaderos. Para la verdad o falsedad de estas proposiciones,

    se debe proceder aplicando las leyes de la lgica, y mtodos de demostracin adecuados,

    que es el objetivo cspide que pretendemos alcanzar.

    Estudiaremos varios aspectos o principios bsicos que nos permitan alcanzar con facilidad y

    comprensin nuestros objetivos.

  • 1

    PRINCIPIOS BSICOS

    Definicin intuitiva de conjunto.- Es la reunin o coleccin de objetos bien definidos, sean estos fsicos o abstractos.

    Objetos fsicos.- Son aquellos que se pueden tocar, como: personas, libros, vehculos; cosas en general.

    Objetos abstractos.- Son aquellos de los cuales se tienen nicamente una idea, como: das de la semana, letras del alfabeto, nmeros, etc.

    Ejemplos de conjuntos:

    1. El conjunto formado por los alumnos: Luis, Juan, Carlos del primer ao A de Ingeniera.

    2. El conjunto formado por los libros de Fsica, Geometra y Anlisis.

    3. El conjunto formado por las vocales.

    4. El conjunto formado por los das de la semana.

    5. El conjunto formado por los nmeros naturales.

    A los conjuntos se los nombra con letras maysculas indistintamente.

    Los objetos que forman los conjuntos, son los elementos del conjunto y se los representan con letras minsculas o nmeros. Para los ejemplos colocados antes, se puede tener como:

    1. A = { l, j, c }

    2. B = { f, g, a }

    3. C = { a, e, i, o, u }

    4. D = { l, m, n, j, v, s, d }

    5. N = { 1, 2, 3, 4, 5,} los puntos suspensivos significa que los nmeros siguen en forma indefinida hacia la derecha.

    Cardinalidad de un conjunto: Se obtiene comparando los elementos de un conjunto dado con los elementos del conjunto de los nmeros naturales, y el ltimo elemento correspondiente al conjunto de los nmeros naturales da la cardinalidad del conjunto. Es decir es simplemente el nmero de elementos del conjunto. Y se representa as: n(...) ; donde entre los parntesis ir el nombre del conjunto. As para nuestros ejemplos anteriores:

    n(A)= 3 n(B)=3 n(C)=5 n(D)=7 n(N)= No se puede determinar.

    Cuando un elemento est en un conjunto, se dice que pertenece a ese conjunto as para el ejemplo 3. el elemento a pertenece al conjunto C y se representa a C , y cuando no est en el conjunto se dice que no lo pertenece, as el elemento f para el ejemplo 3. no pertenece al conjunto C y se representa del modo siguiente f C, nicamente tachando el smbolo usado anteriormente.

    Propiedades Caractersticas de un conjunto:

    Los conjuntos se pueden definir por:

    1. Tabulacin o extensin.- Se define un conjunto por extensin o tabulacin cuando sus elementos

    van separados por comas y encerrados entre llaves; como ya se indic en los ejemplos anteriores.

    2. Comprensin o Construccin.- Un conjunto est definido por construccin o comprensin, cuando se dan las caractersticas o propiedades que deben cumplir los elementos del conjunto. Y se representa as:

    A= { x / x.... } Donde en lugar de los puntos suspensivos se colocan las caractersticas o

    propiedades que deben cumplir los elementos del conjunto.

    Y se lee: El conjunto A est formado por los elementos x tales que x.

  • 2

    Ejemplos:

    C={ x/x sean las vocales } n(C)=5

    D={ x/x sea un da de la semana } D={ l, m, n, j, v, s, d } n(D)=7

    E={ x/ -3 x < 4, x I} E={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } n(E)=7 I Nmeros enteros

    H={x/-2

  • 3

    Conjunto de Conjuntos: Es aquel que tiene como elementos otros conjuntos.

    Ejemplos:

    A = { 1, 2, { a }, {1,3}}, n(A)=4 , este conjunto no es un conjunto de conjuntos. B = {{}, ,{1,2}, ,{1,2}} , n(B)=2 C = {{ },{0}} , n(C)=2 D = { 0 } , n(D)=l , este conjunto no es un conjunto de conjuntos. E = { , {},{{}},{}, {{ }}} , n(E)=3

    Conclusin: Cuando un conjunto tiene como elementos slo conjuntos, como es el caso de los conjuntos B; C; y E antes citados, se les llama tambin familia de conjuntos.

    RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

    1. Relacin de Igualdad ( o Conjuntos Iguales ): Dos conjuntos A y B son iguales si todos y cada uno de los elementos del conjunto A son iguales a todos y cada uno de los elementos del conjunto B sin importar el orden en que aparezcan.

    Ejemplo: Se da el siguiente conjunto A, definido por comprensin:

    A = { x / x sea primo

  • 4

    2. Conjuntos equivalentes: Dos conjuntos A y B son equivalentes cuando todos los elementos del conjunto A se ponen en correspondencia uno a uno con todos y cada uno de los elementos del conjunto B. A dicha correspondencia de elementos de uno a uno se la conoce como correspondencia biunvoca.

    Ejemplo: Se da el conjunto A={x/ x sea I

    + impar 11}; que expresado por tabulacin ser:

    A = { 1,3,5,7,9,11 }, n(A)=6 , y el conjunto B = { a, b, c, d, e, f } con n(B)=6.

    La correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B se puede establecer del siguiente modo:

    A 1 3 5 7 9 11

    B a b c d e f

    Las flechas indican la correspondencia entre los elementos de los dos conjuntos; pueden haber otras correspondencias uno a uno entre los elementos dados de los conjuntos A y B.

    Como los elementos del conjunto A si estn en correspondencia uno a uno con los elementos del conjunto B; se dice que los dos conjuntos son equivalentes, y se representa simblicamente de la siguiente manera: A B. Si no se presenta la correspondencia indicada, entonces se representa de la siguiente forma:

    A B ; que se lee: el conjunto A no es equivalente al conjunto B.

    RELACIONES DE INCLUSIN

    3. Subconjunto ( o Subconjunto Impropio ): Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B cuando todos los elementos del conjunto A estn en el conjunto B.

    Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {x/ 5 x 11 , x impares } que expresado por extensin es A={ 5, 7, 9, 11 } con n(A)=4 , y B={ 11, 9, 7, 5}, con n(B)=4

    Entonces se tiene que:

    }

    Cuando no ocurre lo indicado antes, entonces se dice que A no es subconjunto del conjunto B; y se lo

    representa as: A B. Para el caso del ejemplo que se est analizando se tiene adems que: tanto A B como B A , entonces se concluye que A y B son iguales. Luego, entonces: A = B , si y solo si A B y B A.

    4. Subconjunto Propio: El conjunto A es subconjunto propio de otro conjunto B si y solo si estos

    conjuntos cumplen con las siguientes condiciones:

    1. A B , y 2. n(A) n(B) ;

    Es decir; que el conjunto A es subconjunto o subconjunto impropio del conjunto B y que adems la cardinalidad del conjunto A sea distinta de la cardinalidad del conjunto B, entonces como consecuencia, y simblicamente se representa as: A B , que se lee: El conjunto A es subconjunto propio del conjunto B. O tambin se dice que el conjunto B es superconjunto del conjunto A, y se lo representa as: B A. Tambin, esto que se ha indicado en las lneas de arriba, se lo aplica para el caso del numeral 3.

  • 5

    Ejemplo: Dados los conjuntos A y B , analizar la relacin de inclusin propia entre ellos.

    Donde: A={ x / x 10, x I+ pares } , que definido por tabulacin es A={ 2, 4, 6, 8, 10 } , con n(A)=5 y, B={ 2, 4, 6, 8, 10, 12 } , con n(B)=6.

    Realizando el anlisis tenemos que:

    1. A si es subconjunto de B , que se indica como A B , y 2. La cardinalidad n(A)=5 es distinta de la cardinalidad n(B)=6, entonces como consecuencia se

    tiene que el conjunto A si es subconjunto propio del conjunto B, es decir A B B A.

    Conclusiones: 1. El conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto.

    2. El conjunto vaco es subconjunto de s mismo, pero no es subconjunto propio de s mismo; es

    decir si se cumple , pero no se cumple que , entonces . 3. Cualquier conjunto A es subconjunto de s mismo, A A ; pero no es subconjunto propio de s

    mismo, A A . 4. Si A B A B , se dice entonces que los dos conjuntos A y B son comparables.

    5. Conjunto Potencia: Es aquel conjunto que tiene como elementos todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto dado. As, si analizamos para varios conjuntos con distinto nmero de elementos, tenemos el siguiente cuadro:

    Nombre N de elementos SUBCONJUNTOS Conclusin

    A 1 , {1} 21

    B 2 , {a}, {b}, {a,b} 22

    C 3 ,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5} 23

    D 4 .................... 24

    E 5 .................... 25

    F N .................... 2n

    Donde los conjuntos son: A={ 1 } , B={ a, b } , C={ 1, 3,5 } Del cuadro, en la conclusin; los exponentes son siempre el nmero de elementos. Nomenclatura: El conjunto potencia se representa as: , donde, en ...... se coloca el nombre del conjunto.

    Se lee: El conjunto potencia del conjunto es: As, para los casos observados en el cuadro de arriba se tiene:

    2A = { , {1}} , con n(2A) = 2

    2B = { ,{a},{b},{a,b}} , con n(2B) = 4

    2C = { , {1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5} } , con n(2C )=8

    Conclusin: Todo conjunto potencia es una familia de conjuntos. 6. Conjuntos Intersecantes: Dos conjuntos son intersecantes cuando tienen elementos comunes. Basta

    que haya un solo elemento comn y ya son intersecantes. Ejemplo:

    Para A = {1,3,5,7} , n(A) = 4 B = {2,4,6,7,9} , n(B) = 5

  • 6

    Se tiene que: 7 A , y 7 B ; entonces se dice que el conjunto A es intersecante con el conjunto B.

    7. Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Ejemplo: A = {2,4,6,8} , n(A) = 4 B = {a,b,c,d} , n(B) = 4 2,4,6,8 A , y 2,4,6,8 B ; por lo tanto A es disjunto con B.

    REPRESENTACIN GRFICA DE CONJUNTOS

    Se los representa por medio de diagramas de Venn-Euler y mediante Diagramas Lineales. 1. Diagramas de Venn-Euler: Para representar un conjunto mediante estos diagramas, se utilizan figuras geomtricas, por lo general se emplea la circunferencia para cualquier tipo de conjunto y el rectngulo para el conjunto Universo. Ejemplo:

    A= {x / -5 x

  • 7

    Anlisis de regiones para dos conjuntos intersecantes: A={x/ -3 x 6, x I } A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} n(A)=9 B={x/ -5

  • 8

    Anlisis de Regiones Tres conjuntos: A={x/ x 20; x Pares} ; 1). A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} n(A)=10 B={-3,-2,-1,2,3,4,6,8,10,21,23} n(B)=11

    C={ 4,8,12,16,20,24,28,32,-3,-1} n(C) =10

    2). Elementos comunes entre A y B={2,4,6,8,10}

    Elementos comunes entre A y C={4,8,12,16,20} Elementos comunes entre B y C={ 4,8,-3,-1} Elementos comunes entre A, B y C={4,8}

    3). Grfico:

    Anlisis de Regiones:

    R1 = Elementos comunes de A, B y C ={x/ x A y x B y x C } R2 = Elementos comunes de A y B slo de ellos ={ x/ x A y x B y x C } R3 = Elementos comunes slo, de A y C ={ x/ x A y x C y x B } R4 = Elementos comunes slo, de B y C ={ x/ x B y x C y x A } R5 = Elementos slo de A ={ x/ x A y x B y x C } R6 = Elementos slo de B ={ x/ x B y x A y x C } R7 = Elementos slo de C ={ x/ x C y x A y x B } R8 = Elementos slo de U ={ x/ x A y x B y x C } R1+R3 = Elementos comunes de A y C R1+R4 = Elementos comunes de B y C R1+R2+R3+R5 = Elementos de A R1+R2+R4+R6 = Elementos de B R1+R3+R4+R7 = Elementos de C R1+R2+R3+R4+R5+R6+R7 = Elementos de A B C R1+R2+R3+R4+R5+R6+R7+R8 = Elementos de U R5+R6+R7 = Elementos slo de A, slo de B, slo de C.

    b). Diagramas Lineales: Para representar conjuntos mediante diagramas lineales, se utiliza lneas en lugar de figuras geomtricas y sirven nicamente para representar subconjuntos o superconjuntos. Ejm:

    A={x/ x sean letras del alfabeto} A={a, b, c, .., y, z} n(A)=27

    B={x/ x sean las primeras ocho letras del alfabeto} B={a, b , c, d, e, f, g, h } n(B)=8

    C= (p, q, r, s, t, u, v} n(C)=7

    D={a, b, c} n(D)=3

    E= {o, p, q, r} n(E)=4

    U B A

    18

    C

    14

    16 20

    2

    12

    6 10 4 8

    -2 3 21

    23 -3 -1

    28 24 32

    U B A

    C

    R1

    R2 R6 R5

    R7

    R3 R4

    R8

  • 9

    1) Definir los conjuntos: Si los conjuntos estn dados por construccin, se deben definir por tabulacin

    o extensin; como es el caso de los conjuntos A y B, para el ejemplo.

    2) Anlisis entre ellos:

    1 2 3 4 A B B y C son disjuntos C y D son disjuntos D y E son disjuntos A C B D C y E son intersecantes A D B y E son disjuntos A E A es el mayor de todos los super conjuntos.

    3) Representacin Grfica:

    Procedimiento: Para representar conjuntos mediante diagramas lineales se procede as:

    - En la parte superior se coloca un punto que representa el mayor de los superconjuntos.

    - En la parte de abajo se colocan puntos que representan a los siguientes superconjuntos.

    - Hecho esto se unen los puntos con lineas oblicuas y verticales evitando utilizar lneas horizontales.

    - Si los conjuntos son disjuntos o intersecantes no van unidos con lineas y van separados.

    Ejemplo:

    Dado el siguiente diagrama de Venn construya el correspondiente diagrama lineal:

    1) Relaciones de inclusin entre los conjuntos.

    A y B Inters. B C C y D Disj. D y E Inters. E y F Disj. A C B y D Inters. C y E Disj. D F E y G Disj. A D B y E Inters. C y F Disj. D y G Disj. F y G Disj. A E B y F Inters. C y G Disj. A F B G A y G Disj.

    2) Representacin Grfica:

    A B B

    A

    C A C

    A E

    E

    D

    B D

    A D

    A B

    C D

    E

    G F

    E

    A

    C D

    F

    B

    G

  • 10

    PROPOSICIONES

    Definicin: Es una expresin con sentido completo, en un lenguaje cualquiera, que afirma o niega algo

    y da una informacin, la cual puede ser verdadera o falsa.

    Clases de Proposiciones

    Se tienen proposiciones cerradas y proposiciones abiertas; a continuacin tratamos cada una de ellas.

    Proposiciones Cerradas: Una proposicin cerrada, es una expresin numrica u oracin gramatical de

    la cual se puede decir en forma inmediata si ella es verdadera o es falsa.

    Ejemplo:

    2 + 5 = 7

    Quito es la capital de Colombia

    Estas expresiones, son proposiciones cerradas, ya que se pueden decir automticamente si cada una d

    ellas es verdadera o es falsa. As la primera proposicin ser verdadera, mientras que la segunda ser

    falsa.

    Representacin: A las proposiciones cerradas se las representa o se las nombra con letras minsculas

    (cualquier letra del alfabeto), pero por lo general se emplean las letras p, q, r, s, t, u, v,... etc.

    Con esto, para nuestros ejemplos indicados arriba, tendramos que la una podra llamarse p, y la otra q,

    como indicamos a continuacin; pero siempre luego del nombre este debe ir acompaado con dos

    puntos; as:

    p: 2 + 5 = 7 q: Quito es la capital de Colombia. A toda proposicin cerrada se le llama tambin simple y a las letras que las representan se les llama valores o letras proposicionales. Valor de verdad de una proposicin: A la veracidad o falsedad de una proposicin, se le conoce como valor de verdad de la proposicin; y este puede ser verdadero o falso, pero nunca las dos al mismo tiempo; y se representa de la siguiente manera:

    VV = V Que se lee: El valor de verdad es verdadero,

    VV = F Que se lee: El valor de verdad es falso.

    As, para las proposiciones de nuestro ejemplo citado ms arriba se tendra:

    p: 2 + 5 = 7 VV = V

    q: Quito es la capital de Colombia VV = F

    Proposiciones Abiertas: Son aquellas oraciones gramaticales o expresiones numricas de las cuales no

    se pueden decir inmediatamente si son verdaderas o son falsas, sino que hace falta ciertas caractersticas

    o propiedades para poder definirlas. Una proposicin abierta est formada por smbolos que se conocen unos como variables y otros como

    constantes, que ms abajo los definiremos. Ejemplos:

    px: x + 4 = 7

    qx : x2 + 5x +2 = 0

    rx: x2 36 = (x + 6)(x 6)

    sy: y2 3y 2 < 0

    tx,y: x2y

    2 3xy + 2x y 3 = 0

    ux : x es presidente del Ecuador.

  • 11

    Representacin: A las proposiciones abiertas se las representa con letras minsculas cualesquiera,

    acompaadas de un subndice que se llama la variable de la proposicin abierta; as: px, qx, ... etc, o py,

    qy, ... etc., como se indican en los ejemplos previos; que se leen: p sub x, q sub x, p sub y, q sub y. Si

    empleamos un subndice como x , o y o z o cualquier otro, que es la variable. Si empleamos dos

    subndices como es el caso de la proposicin que se observa en los ejemplos, se leer: la proposicin t

    sub x,y , donde tanto x como y son variables de la misma proposicin.

    Variable: Son smbolos que aparecen en las proposiciones abiertas y estos pueden ser reemplazados por

    un elemento cualesquiera de un conjunto que se conoce como el Conjunto Satisfactor. Y pueden ser

    nombradas con las ltimas letras del alfabeto como x, y, z,... etc.

    Si en una proposicin abierta aparece varias veces la misma variable, sta debe ser reemplazada por el

    mismo elemento que se tome del conjunto satisfactor.

    Constante: Son elementos fijos de un conjunto determinado, y este conjunto generalmente es un

    conjunto numrico; y se las nombra comnmente con las primeras letras del alfabeto.

    Para que tenga sentido, lgica y se pueda estructurar adecuadamente lo que se est estudiando de las

    proposiciones abiertas, debemos definir este nuevo conjunto que se ha introducido al definir la variable,

    que es el de conjunto satisfactor.

    Conjunto Satisfactor: Es el conjunto que tiene como elementos todos los valores que pueden tomar las

    variables de una proposicin abierta, y este conjunto puede ser cualquier conjunto, que se puede llamar

    como A, o el conjunto universo U.

    As para nuestros ejemplos que se han colocado ms arriba, podemos tomar como un conjunto

    satisfactor el siguiente:

    A={-6,-3,0,1,2,3,4,6} con n(A)=8

    Forma Proposicional (o Funcin Proposicional): Una Forma Proposicional o Funcin Proposicional

    es una expresin que contiene una o ms variables y que se convierte en una proposicin cuando se

    sustituye esta variable o estas variables por un elemento del Conjunto Satisfactor. Representacin: Las formas o funciones proposicionales se las representa por smbolos tales como: P(x), Q(x), R(x), ...etc. Con maysculas o tambin P(y), Q(y), R(y),...etc. P(x,y), Q(x,y), R(x,y) ; donde las letras que se encuentran entre parntesis son las variables implicadas. Que se leen: Para P(x) : P de x

    Para Q(x): Q de x, .... etc.

    Para P(y): P de y Para Q(y): Q de y, ... etc. , y

    Para P(x,y): P de x,y Para Q(x,y): Q de x,y,.... etc.

    En nuestro estudio consideraremos nicamente formas o funciones proposicionales con una sola

    variable.

    Conclusin: Si reemplazamos los valores o elementos del conjunto satisfactor por las variables de una

    proposicin abierta, sta se transforma en una Forma Proposicional, que ser una proposicin cerrada

    para cada elemento del conjunto satisfactor, y se puede decir inmediatamente si es verdadera V,o falsa F.

  • 12

    Ejemplos:

    Analizamos las proposiciones abiertas dadas antes px, qx y rx con una sola variable, y dado el

    conjunto satisfactor A , que se indica ms arriba.

    Entonces se tiene ; La forma proposicional: P(x): x + 4 = 7 donde para cada valor o elemento del conjunto satisfactor, tenemos: P(-6): -6 + 4 = 7 VV = F P(-3): -3 + 4 = 7 VV = F P(0): 0 + 4 = 7 VV = F P(1): 1 + 4 = 7 VV = F Contingencia P(2): 2 + 4 = 7 VV = F P(3): 3 + 4 = 7 VV = V P(4): 4 + 4 = 7 VV = F P(6): 6 + 4 = 7 VV = F

    Ahora para la siguiente proposicin abierta P(x): x2 + 3 = 12 , acompaada del siguiente conjunto

    satisfactor A= {-4, -3, -2, 0, 3, 5} n(A)= 6 ; es decir para la forma proposicional: (P(x): x2 + 3 = 12 ,

    A= {-4, -3, -2, 0, 3, 5} ).

    P(-4): (-4)2 + 3 = 12 19 = 12 VV = F

    P(-3): (-3)2 + 3 = 12 12 = 12 VV = V

    P(-2): (-2)2 + 3 = 12 7 = 12 VV = F Contingencia

    P(0): (0)2 + 3 = 12 3 = 12 VV = F

    P(3): (3)2 + 3 = 12 12 = 12 VV = V

    P(5): (5)2 + 3 = 12 28 = 12 VV = F

    A continuacin analicemos adems las formas proposicionales, Q(x) y R(x), para el conjunto

    satisfactor del ejemplo anterior:

    Contradiccin Tautologa

    Q(x): x2 + 7x + 3 = 0 R(x): x

    2 25 = (x + 5)(x 5)

    Q(- 4): 16 28 +3 = 0 -9 = 0 VV=F R(- 4): 16 25 = (1)(- 9) -9 = -9 VV = V

    Q(- 3): 9 21 +3 = 0 -9 = 0 VV=F R(- 3): 9 25 = (1)(- 9) -16 =-16 VV = V

    Q(- 2): 4 14 +3 = 0 -7 = 0 VV=F R(- 2): 4 25 = (3)(- 7) -21 = -21 VV = V

    Q( 0 ): 0 + 0 +3 = 0 3 = 0 VV=F R( 0 ): 0 25 = (5)(- 5) -25 = -25 VV = V

    Q( 3 ): 9 + 21 +3 = 0 33 = 0 VV=F R( 3 ): 9 25 = (8)(- 2) -16 = -16 VV = V

    Q( 5 ): 25 + 35 +3 = 0 63 = 0 VV=F R( 5 ): 25 25 = (10)(0) 0 = 0 VV = V

    A funciones proposicionales como estas

    se las llama Contradiccin.

    A funciones proposicionales como estas

    se las llama Tautologa.

    Cuando en una proposicin todos los valores de verdad son verdaderos se llaman identidad y esto

    ocurra en todos los casos de factoreo.

    Si dos proposiciones (funcin proposicional) tienen el mismo conjunto de verdad se dice que dichas

    proposiciones son equivalentes. As si P = Q entonces: P(x) Q(x); p q ; P(x) Q(x); p q

  • 13

    Conclusin

    El conjunto satisfactor puede con sus elementos aplicados en la proposicin darnos los valores de verdad

    que son: o todos falsos o todos verdaderos o mesclados entre falso y verdadero.

    Cuando en las proposiciones abiertas se reemplazan todo los elementos del conjunto satisfactor se

    obtiene siempre VV = V estos se llaman identidades.

    Conjunto de verdad: (Validez o solucin) es aquel conjunto que tiene como elementos aquellos del

    conjunto satisfactor que hacen verdadera a la funcin o forma proposicional.

    Representacin: CV, P(x) = {x / x A ; P(x) Verdadero) CV, P(x) = P el conjunto de verdad es P

    Donde CV, P(x) Se lee conjunto de verdad P(x) es igual a P Conclusin: As: En Proposiciones En conjuntos

    P (X) C. V, P(x) P Q (X) C. V, Q(x) Q

    Ejemplo: encuentre el conjunto de verdad de la proposicin

    S(y) = y2 3y 2 < 0 dado A = {-6, -3, 0, 1, 2, 3, 4, 6}

    S(- 6): (- 6)2 3(- 6) 2 < 0

    S(- 3): (- 3)2 3(- 3) 2 < 0

    S( 0): (0)2 3(0) 2 < 0

    S( l ): (1)2 3(1) 2 < 0

    S( 2): (2)2 3(2) 2 < 0

    S( 3): (3)2 3(3) 2 < 0

    S( 4): (4)2 3(4) 2 < 0

    S( 6): (6)2 3(6) 2 < 0

    S(-6): 52 < 0 VV = F

    S(-3): 16 < 0 VV = F

    S(0): -2 < 0 VV = V

    S(1): -4 < 0 VV = V

    S(2): -4 < 0 VV = V

    S(3): -2 < 0 VV = V

    S(4): 2 < 0 VV = F

    S(5): 16 < 0 VV = F

    Luego el Conjunto de verdad, S(y) es S; donde:

    S= {0, 1, 2, 3} n(S)=4

    Proposiciones compuestas: una proposicin compuesta se forma uniendo o enlazando dos o ms

    proposiciones simples por medio de formas proposicionales o por medio de conectores trminos de

    enlace que son:

    o o exclusivo y Condicional Bicondicional Conectiva negativa Disyuncin negativa

    Para formar una proposicin compuesta se usa o se emplean los llamados esquemas proposicionales.

    As:

    Si: p: 12 mltiplo de 3 VV= V q: 5 x 2 10 VV=F

  • 14

    Entonces como esquemas proposicionales, podramos obtener por ejemplo:

    p o q = 12 mltiplo de 3 o 5x2 10 VV=? (Que al momento no se pueden determinar, hace falta para aquello conocer las propiedades fundamentales de los conectores). Luego de lo indicado si

    tendramos que el VV=V

    p y q = 12 mltiplo de 3 y 5x2 10 VV=? VV= F (p o q) y p: 12 mltiplo de 3 o 5x2 10, y 12 mltiplo de 3 VV=? Adems se podran obtener ms esquemas, empleando el resto de conectores lgicos o trminos de

    enlace, indicados arriba.

    Valor de verdad de una proposicin compuesta: El valor de verdad de una proposicin compuesta,

    depende de los valores de verdad de cada una de las proposiciones simples y de los principios o

    propiedades fundamentales de los conectores o trminos del enlace.

    OPERACIONES CON PROPOSICIONES Y CONJUNTOS

    En lo que respecta a este tema; en cada numeral que indicaremos a continuacin, primero trataremos

    sobre la operacin con proposiciones, para luego basado en ella definir la operacin en conjuntos. 1. Disyuncin y Unin:

    Comencemos analizando el doble uso que tiene la o : Para ello demos los siguientes dos ejemplos.

    1.- Hace fro o est lloviendo

    2.- Estoy dentro del saln de clase o fuera del saln de clase. En el caso del ejemplo 1.- se incluye la posibilidad de que se cumplan ambas proposiciones. En este caso

    se dir que la o tiene un uso inclusivo. La o inclusiva se expresa a menudo en el lenguaje legal por y / o. Mientras que en el caso del segundo ejemplo, se excluye la posibilidad de que se cumplan ambas

    proposiciones. En este caso se dir que la o tiene un uso exclusivo, o excluyente. En adelante, cuando se emplee o como una disyuncin o disjuncin, por las aplicaciones que tiene lo haremos siempre referencia en el sentido inclusivo. 1a.- Disyuncin: Es una proposicin compuesta que se obtiene uniendo dos proposiciones cerradas o

    simples p , q o tambin dos formas proposicionales P(x) , Q(x) con el conector o trmino de enlace o que se representa en :

    Forma literal: p o q o ambas proposiciones cerradas.

    O P(x) o Q(x) o ambas formas proposicionales. Y

    Forma simblica: p q O P(x) Q(x)

    Que tambin se puede leer: p o q ; p disyuncin q O P(x) o Q(x) ; P(x) disyuncin Q(x).

    Propiedad bsica o fundamental del conector: La proposicin compuesta ser falsa nicamente si las

    dos simples son falsas, y ser verdadera en el resto de casos. Esto se puede ilustrar en el siguiente

    cuadro.

  • 15

    P(x) Q(x) P(x) Q(x)

    V V V

    V F V

    F V V

    F F F

    Luego: Si en las proposiciones se tiene P(x) Q(x) , entonces en conjuntos se tendr que: El conjunto de verdad de P(x) es P , el conjunto de verdad de Q(x) es Q , y la disyuncin define la unin en conjuntos; entonces se tendr P Q. Conclusin: La disyuncin en proposiciones, define la unin en conjuntos y se expresa as:

    P Q = { x / P(x) Q(x) , sea siempre verdadera } Luego: Podemos ya definir la operacin llamada unin entre conjuntos. 1b.- Unin de Conjuntos: Es el conjunto de verdad de la disyuncin en proposiciones. Es decir, es

    aquel conjunto que tiene como elementos los de P o los de Q o de ambos; y se represente en:

    Forma simblica: P Q

    Y Forma literal: P o Q o ambos; P unin Q,

    Representacin de la Unin de conjuntos por medio de diagramas de Venn: 1. Conjuntos intersecantes:

    P Q

    2. Conjuntos disjuntos:

    n ( P Q ) = n (P) + n (Q)

    P Q

    3. Conjuntos Comparables:

    3a.- P Q P Q = Q 3b.- Q P P Q = P

    P Q

    P Q

    P

    Q

    Q

    P

    Tabla de verdad (TV)

    de la disyuncin.

  • 16

    Ejemplo: P = {1, 3, 5, 7, 9, 11} n (P) = 6 Q = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 13} n(Q) = 8

    P Q = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13} n( P Q ) = 9 Q P = {2, 11, 13, 1, 3, 4, 5, 1, 9} n( Q P ) = 9

    Propiedades de la Unin:

    1. P Q = Q P Ley Conmutativa 2. a.- P (P Q) Propiedad de inclusin b.- P (Q P) 3. a.- Q (P Q) Propiedad de inclusin b.- Q (Q P) 4. P P = P Ley de Idempotencia 5. P =P Ley de Identidad 6. P U=U Ley de Identidad 7. (P Q) R = P (Q R) Ley Asociativa 8. Para conjuntos comparables: a.- P Q P Q = Q

    b.- Q P P Q = P

    2. Conjuncin e Interseccin:

    2a.- Conjuncin: La proposicin compuesta se obtiene uniendo dos proposiciones simples o dos

    formas proposicionales P(x) , Q(x) con el conector y , que se representa en:

    Forma literal: p y q ; p conjuncin q ;

    O P(x) y Q(x); P(x) conjuncin Q(x), y

    Forma simblica: p q O P(x) Q(x)

    Propiedad fundamental: La proposicin compuesta ser verdadera nicamente cuando las dos

    proposiciones o formas proposicionales sean tambin verdaderas, y ser falsa en el resto de casos.

    P(x) Q(x) P(x) Q(x)

    V V V

    V F F

    F V F

    F F F

    Luego: Si en las proposiciones se tiene: P(x) Q(x) , en conjuntos se tendr P Q , con similar criterio que en la disyuncin.

    Conclusin: La conjuncin en proposiciones, define la interseccin en conjuntos, la cual se expresa

    as: P Q = { x / P(x) Q(x), sea Verdadera }

    Luego:

    2b.- Interseccin de conjuntos: Es el conjunto de verdad de la conjuncin de proposiciones. Es aquel conjunto que tiene como elementos los elementos del conjunto P y del conjunto Q; es decir los elementos comunes de los conjuntos P y Q, y se representa en:

    Forma simblica: P Q , y Forma literal: P y Q ; P interseccin Q.

    Tabla de verdad (TV)

    de la conjuncin.

  • 17

    Representacin de la interseccin de con juntos por medio de diagramas de Venn:

    1. Conjuntos intersecantes:

    P Q

    2. Conjuntos disjuntos:

    P Q=

    3. Conjuntos Comparables:

    3a.- P Q P Q = P 3b.- Q P P Q = Q

    Ejemplo:

    P = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } n(P)=6

    Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 13 } n(Q) = 8

    P Q = { 1, 3, 5, 9, 11 } n( P Q ) =5 Q P = { 1, 3, 5, 9, 11 } n( Q P ) = 5

    Propiedades de la Interseccin:

    1. P Q = Q P Ley Conmutativa 2. a.- P ( P Q) Propiedad de inclusin b.- P (Q P) 3. a.- Q (P Q) Propiedad de inclusin b.- Q (Q P) 4. P P = P Ley de Idempotencia 5. P U = P Ley de Identidad 6. P = Ley de Identidad 7. (P Q) R = P (Q R) Ley Asociativa 8. Para conjuntos comparables: a.- P Q P Q = P

    b.- Q P P Q = Q 9. Para conjuntos disjuntos: P Q=

    P

    Q

    Q

    P

  • 18

    CARDINALIDAD:

    Cardinalidad para dos conjuntos: Cuando se tienen conjuntos disjuntos, la cardinalidad de la unin

    de los dos conjuntos ya se indic al estudiar la unin en el caso 2.

    Pero cuando se quiere determinar la cardianalidad de la unin de

    dos conjuntos en el caso general, es decir en el caso de conjuntos

    intersecantes, se debe aplicar la siguiente relacin:

    n( P Q ) = n(P)+n(Q) n( P Q )

    As, para el caso de los ejemplos dados de la unin y de la interseccin vistos ms arriba, se tendr que:

    n(P) = 6 , n(Q) = 8 , n(P Q)=5; entonces aplicando la relacin indicada anteriormente, se tiene:

    n( P Q ) = 6 + 8 5 = 9 ; que efectivamente es el valor de la cardinalidad de la unin que se obtuvo anteriormente.

    Cardinalidad para tres conjuntos: De modo similar, cuando se trata de obtener la cardinalidad para

    la unin de tres conjuntos se tendra la siguiente relacin:

    n(P Q R) = n (P) + n (Q) + n ( R ) n (P Q) n (P R) n (Q R) + n (P Q R) Tanto la expresin obtenida mas arriba, como esta para tres conjuntos se pueden demostrar bien sea

    aplicando las definiciones de los conjuntos y sus operaciones, como mediante los diagramas de Venn.

    De igual manera, se puede generalizar la cardinalidad de la unin para cuatro, cinco, etc conjuntos;

    observando siempre la siguiente particularidad que: Cuando se tienen dos conjuntos, la expresin tiene

    cuatro trminos; cuando se tienen tres conjuntos la expresin tiene ocho trminos; y as para cuatro

    conjuntos la expresin tendra diecisis trminos, para cinco conjuntos treinta y dos, etc.

    Aplicaciones de la cardinalidad de conjuntos:

    Al momento, ya estamos en condiciones de poder resolver problemas literales de conjuntos, en los

    cuales intervengan las respectivas cardinalidades, y adems las expresiones como slo o

    nicamente, o, y. En seguida indicamos algunos ejemplos al respecto: 1. Un deportista practica todos los das atletismo o natacin o ambos a la vez. Si durante el mes de

    octubre, 15 das practic atletismo y 24 das practic natacin. Cuntos das practic atletismo y natacin? Este problema se puede resolver de dos maneras: Primero aplicando la relacin para la cardinalidad de la

    unin de dos conjuntos vista ms arriba, y segundo mediante el planteo de ecuaciones, empleando uno o

    varios diagramas de Venn.

    Primero: Para aplicar la cardinalidad, damos nombres en primera instancia a los conjuntos que

    intervienen en el problema, as: A al conjunto de los das que practica atletismo; N al conjunto de los

    das que practica natacin, entonces:

    n( A ) = 15 ; n( N ) = 24; Como adems, nos dice que las prcticas de estos deportes las realiza en el

    mes de octubre, y este mes tiene 31 das, entonces n( A N ) = 31. Como la relacin de la cardinalidad tiene cuatro trminos, y adems se tienen tres datos del problema, entonces se debe determinar el valor

    del cuarto trmino, que en este caso es el nmero de das que practic atletismo y natacin; es decir

    n(A N) Luego: reemplazando los datos en la expresin se tiene: 31 = 15 + 24 - n( A N ) y de aqu se despeja n( A N ) y se obtiene el valor que se nos pide en el problema:

    n( A N ) = 39 31 = 8

  • 19

    Entonces el nmero de das que el deportista, practico atletismo y natacin a la vez fueron ocho.

    Segundo: Empleando un diagrama de Venn, en el cual se colocan los nombres de los conjuntos, las

    variables desconocidas y se plantean una o ms ecuaciones y se resuelve el problema,

    determinando los valores desconocidos, los que pide se investigue en el problema, como lo

    realizamos a continuacin:

    15 x + x + 24 x = 31 x = 15 + 24 31 =8 Donde x es la interseccin entre A y N es decir es el valor pedido, el

    nmero de das que el deportista practic los dos deportes a la vez.

    2. En las listas de 100 alumnos que se han examinado de clculo y de geometra, figuran 48 alumnos

    que han aprobado la primera asignatura y 70 que han aprobado la segunda, siendo 35 los alumnos que

    han aprobado las dos. Cuntos alumnos hay que no han aprobado ninguna asignatura?

    Ejercicios propuestos:

    - Describa el siguiente conjunto utilizando una ecuacin T={1,4,7,10,13}

    - Utilice el mtodo de comprensin para: a.- R={10, 100, 1000, 10000} b.- A={5, 25, 125, 3125, 625}

    - Determine la expresin para obtener la cardinalidad de la unin de 4 conjuntos.

    n(A B C D)=?

    - Exprese los siguientes conjuntos por extensin:

    A={x/x N y 5

  • 20

    - Dados los conjuntos:

    A={r,s,t,u,v,w} , B={u,v,w,x,z,y} , C={s,u,y,z}, D={u,v} , E={s,u} , F={s} , G=

    Sea X un conjunto desconocido determine cuales de los conjuntos puede ser iguales a X si se dan

    las siguientes informaciones.

    a) X A y X B b) X A y X C c) X B y X C

    - Dado el diagrama lineal, obtenga su diagrama de Venn

    - Sean los conjuntos A y B que no son comparables hacer un diagrama lineal de los conjuntos A,

    B, A B, A B.

    - Hacer un diagrama de Venn con 3 conjuntos no vacos A, B, C de modo que:

    a) A B, C B, A C = b) A B, C B, A C = c) A (B C) , B C, C B, A C

    - Dados los siguientes conjuntos: qu relacin existe entre los tres conjuntos; y determine las

    operaciones indicadas.

    A={1,2,3,4,5,6}, B={3,2,5,8,7}, C={2,3,7 } a) (A B) C b) (A B) C c) A (B C)

    - Determine cules son proposiciones compuestas.

    a) Quito esta en Ecuador y Europa

    b) Quin eres? y dnde vas

    c) Si 3=3 entonces 2=4

    d) Pedro es ms alto que Juan o 2-4=6, pero no ambos.

    - Determine el valor de verdad del siguiente esquema proposicional p q Si p: la naranja es un mineral

    q: el vidrio no es un metal

    - Determine el valor de verdad de (p q) q , si q tiene como VV=V

    - Si p: es el estudiante; q: l est en clases. Escriba en palabras lo siguiente: p q : Sol: es el estudiante y l est en clases p q : Sol: es el estudiante o l est en clases (p q) q : Sol: el estudiante y l est en clases o l est en clases.

    - En una batalla encarnizada por lo menos el 70% de los combatientes pierden un ojo, al menos el 75% una oreja, el 80% un brazo y al menos un 85% una pierna. Cuantos por lo menos han

    perdido las 4 cosas.

    C

    B

    D

    A

  • 21

    - En una ponencia de un congreso internacional asistieron 25 personas entre ellas haba 20 militares, 12 universitarios, 17 mexicanos, 8 militares universitarios, 12 militares mexicanos y

    11 universitarios mexicanos.

    a) Cuantos mexicanos eran universitarios y militares a la vez.

    b) Cuantos mexicanos eran militares o universitarios pero no ambos casos a la vez.

  • 22

    3. Diferencia de Conjuntos: La diferencia entre dos conjuntos P y Q es aquel conjunto que tiene como elementos, los elementos slo de P y no de Q. Se representa.

    P Q = {x / x elementos slo de P }

    P Q = {x / x P, x Q } Q P = {x / x P, x Q }

    1.- Representacin mediante diagramas de Venn con dos conjuntos. 1). Conjuntos Intersecantes.

    2). Conjuntos Disjuntos.

    3). Conjuntos Comparables.

    2.- Representacin mediante diagramas de Venn con tres conjuntos:

    P Q

    Slo P = P Q

    a)

    P Q

    Slo Q = Q P

    b)

    P Q

    P Q = P Q P = Q

    Q

    P P Q = Q P = Q P

    a) P Q

    P

    Q Q P = P Q = P Q

    b) Q P

    P, Q Son conjuntos complementos de P y Q respectivamente, (que

    estudiaran al detallen ms

    adelante).

    Slo P Slo Q

    P Q

    Slo R

    a) Slo P = P (Q R) Slo Q = Q (P R) Slo R = R (P Q)

    R

  • 23

    Ejemplo:

    P = {x/x sea primo menor a 20} = {2,3,5,7,11,13,17,19} n(P)=8 Q = {0, 1, 3, 6, 7, 14, 18, 20} n(Q)=9 P Q = {2, 5, 11, 13, 17, 19} n(P Q) = 6 Q P = {0, 1, 6, 14, 16, 18, 20} n(Q P) = 7

    Comprobacin: n( P Q ) = n (P) n( P Q ) = 8 2 = 6 n( Q P ) = n (Q) n( P Q ) = 9 2 = 7 Propiedades:

    1). P Q Q P 2). P Q, P Q, Q P Son disjuntos 3). ( P Q ) ( P Q ) = P Y para cardinalidad de P: n(P) = n( P Q ) + n( P Q ), donde n( P Q ) = n(P) n( P Q )

    4). ( Q P ) ( P Q ) = Q Y para cardinalidad de Q: n(Q) = n( P Q ) + n( Q P ), donde n( Q P ) = n(Q) n( P Q )

    5). ( P Q ) ( P Q ) ( Q P ) = P Q De la cual para la cardinalidad de P Q: n( P Q ) = n( P Q ) + n( P Q ) + n( Q P ), que luego de reemplazar las expresiones de 3) y 4), se tendr:

    n( P Q ) = n(P) n( P Q ) + n( P Q ) + n(Q) n( P Q ) y por fin: n( P Q ) = n(P) + n(Q) n( P Q ), que es la expresin para la cardinalidad de la unin de dos conjuntos que se obtuvo antes, en la pgina 18.

    6). ( P Q ) ( Q P ) = P Q = ( P Q ) ( Q P ) Que se conoce como Diferencia Simtrica. 7). P P = 8). P = P 9). P U = 10). U = 11). U = U 12). P ( Q R ) = ( P Q ) ( P R ) 13). P ( Q R ) = ( P Q ) ( P R )

    Slo, P y Q

    P Q b) Slo, P y Q = ( P Q ) R = ( P Q ) ( P Q R )

    Slo Q y R = ( Q R ) P = ( Q R ) ( Q R P )

    Slo P y R = ( P R ) Q = ( P R ) ( Q R P ) R

    Slo, P y R Slo, Q y R

    Q P

    R

    P (Q R) R

    P Q

    R

    P R

    R

    (P Q) (Q R) =

    Q P Q P Q P

    ;

  • 24

    Conjuntos Disjuntos: 13). P Q = P 14). Q P = Q Conjuntos Comparables: 15). a) P Q P Q= b) Q P = slo Q

    4. Negacin y Complemento:

    4a.- Negacin: Dada una proposicin cualesquiera P(x) o p se puede obtener otra proposicin que diga

    todo lo contrario, que se llama negacin de P(x) o negacin de p; y simblicamente se representa, para

    los dos casos respectivamente P(x) y P

    x2+4x+3=0 No P(x) No p

    P(x) = P(x) = ; y p = x

    2+3x 12 Negacin P(x) Negacin de p

    Ejemplos:

    a. Proposicin:

    x2+4x+3=0

    P(x) =

    x2+3x 12

    Negacin:

    x2+4x+3 0

    P(x) = x

    2+3x 12

    b. Proposicin: p: Bogot es capital de Colombia VV=V Negacin: p: Bogot no es capital de Colombia VV=F o p: No es verdad que Bogot es la capital de Colombia VV=F o p: Es falso que Bogot es la capital de Colombia VV=F Tabla de verdad de la Negacin:

    P(x) P(x)

    V F

    F V

    Si en las proposiciones se tiene: P(x) en los conjuntos se tendr: P Conclusin: La negacin en proposiciones define el complemento en conjuntos.

  • 25

    4b.- Complemento: Es el conjunto de verdad de la negacin en proposiciones. Es aquel conjunto que

    tiene como elementos aquellos que pertenecen al universo y no al conjunto P, es decir sera un caso

    particular de la diferencia de conjuntos. P = U P

    Representacin mediante diagramas de Venn

    Ejemplo: Determine el complemento del conjunto P si se conoce que:

    P(x): x2+3x 12 , y el conjunto satisfactor: U = {0,1,2,3,4} , n(U) = 5

    P(0): 0 + 0 12 VV=F P(1): 1 + 3 12 VV=F P(2): 4 + 6 12 VV=F P(3): 9 + 9 12 VV=V P(4): 16+12 12 VV=V

    P = {3,4} Entonces P = {0,1,2} n( P)=3

    Comprobacin:

    Si: P(x): x2+3x 12, entonces: P(x): x2+3x 12

    P(0)= 0+0 12 VV=V P(1)= 1+3 12 VV=V P(2)= 4+6 12 VV=V P(3)= 9+9 12 VV=F P(4)= 16+12 12 VV=F

    P = {0, 1, 2} que es el conjunto de verdad de P(x), como ya se obtuvo antes

    Conclusin: Para poder obtener el complemento de un conjunto P; este conjunto siempre debe ser

    subconjunto del Universo, caso contrario no se puede obtener su complemento.

    Propiedades del Complemento:

    1). P=U P 2). (P)=P 3). P P= U 4). P P= 5). = U 6). U= 7). P Q = P Q

    Para conjuntos comparables:

    8). P Q 9). P Q=U 10). P Q= 11). Q P= Slo universo = U Q = U Q = Q

    P

    P U

  • 26

    V/: Tautologa: Es aquella proposicin que es verdadera para todos los casos.

    |F: Contradiccin: Es toda proposicin que es falsa en todos los casos.

    V/ |F Si negamos una tautologa esta es equivalente a una contradiccin. |F V/ Si negamos una contradiccin esta es equivalente a una tautologa.

    Proposiciones Conjuntos

    P(x) P

    Q(x) Q

    P(X) P V/ U

    |F

    =

    Principio de Dualidad: Si en una ley de proposicin o ley de conjuntos realizamos el cambio: En proposiciones de por y en conjuntos por o viceversa y en proposiciones V/ por |F y en conjuntos U por o viceversa, se obtiene otra expresin que tambin es ley de proposiciones o conjuntos llamada Dual.

    LEYES DEL ALGEBRA DE

    PROPOSICIONES Y CONJUNTOS

    A) Leyes de Idempotencia

    1) P(x) P(x) P(x) Original 2) P(x) P(x) P(x) Dual B) Leyes Conmutativas

    3) P(x) Q(x) Q(x) P(x) 4) P(x) Q(x) Q(x) P (x) C) Leyes Asociativas

    5) [P(x) Q(x)] R(x) P(x) [Q(x) R(x)] 6) [P(x) Q(x)] R(x) P(x) [Q(x) R(x)] D) Leyes Distributivas

    7) P(x) [Q(x) R(x)] [P(x) Q(x)] [P(x) R(x)] 8) P(x) [Q(x) R(x)] [P(x) Q(x)] [P(x) R(x)] E) Leyes de Identidad

    9) P(x) |F P(x) 10) P(x) V/ P(x) 11) P(x) V/ V/ 12) P(x) |F |F F) Leyes de negacin

    13) P(x) V/ P(x) 14) [ P(x)] P(x) 15) P(x) P(x) V/ 16) P(x) P(x) |F 17) |F V/ 18) V/ |F 19)

    A) Leyes de Idempotencia

    1) P P = P Original 2) P P = P Dual B) Leyes Conmutativas

    3) P Q = Q P 4) P Q = Q P C) Leyes Asociativas

    5) (P Q) R = P (Q R) 6) (P Q) R = P (Q R) D) Leyes Distributivas

    7) P (Q R) = (P Q) (P R) 8) P (Q R) = (P Q) (P R) E) Leyes de identidad

    9) P = P 10) P U = P 11) P U = U 12) P = F) Leyes de complemento

    13) P = U P Dual propia 14) (P) = P Dual propia 15) P P = U 16) P P = 17) = U 18) U = 19) P Q = P Q

  • 27

    Leyes de DMorgan

    20) [P(x) Q(x)] P(x) Q(x) 21) [P(x) Q(x)] P(x) Q(x)

    20) (P Q) = P Q 21) (P Q) = P Q

    Leyes de Absorcin

    22) P(x) [P(x) Q(x)] P(x) 23) P(x) [P(x) Q(x)] P(x)

    22) P (P Q) = P 23) P (P Q) = P

    Leyes de equivalencia

    24) P(x) Q(x) [P(x) Q(x)] [ P(x) Q(x)] 25) P(x) Q(x) P(x) Q(x)

    APLICACIONES DE LAS LEYES

    Ejemplos:

    1. Demostrar: (A B) (A B) = A 1). Se debe escoger el miembro ms extenso

    2). Probar si la igualdad es correcta mediante diagramas de Venn

    3). Demostracin Justificacin

    (A B) (A B) DATO A (B B) Ley distributiva A U Ley de complemento A Ley de identidad

    2. Demostrar: [(A B) B] [B (A B)] = (A - B)

    Demostracin Justificacin

    [(A B) B] [B (A B)] DATO [(A B) B] [(B B) A] Ley de DMorgan, conmutativa [B (A B)] [(B B) U A] Ley conmutativa, asociativa [(B A) (B B)] [U A] Ley distributiva, complemento [(B A) U] U Ley de complemento, identidad (B A) U Ley de identidad B A Ley de identidad (B) A Ley de complemento [B A] Ley de Morgan (A B) Ley de complemento

    (A B) (A B) = A

    B U

    A

    (A B)

    B U

    A

    A B

    B U

    A

    B U

    A B U

    A

    [(A B) B] [B (A B)] = (A - B)

    B U

    A

    B

  • 28

    5.- Disyuncin Exclusiva: Una proposicin P(x) y otra Q(x) forman una proposicin compuesta si

    estn unidas con el conector y se representa P(x) Q(x) ; se lee: P(x) Q(x) pero no ambas.

    P(x) disyuncin exclusiva Q(x)

    Propiedad fundamental: La proposicin compuesta es falsa cuando las dos simples son verdaderas o

    falsas, y ser verdadera en el resto de casos.

    P(x) Q(x) P(x) Q (x)

    V V F

    V F V

    F V V

    F F F

    Ejemplo.

    p: Quito es la capital del Ecuador VV=V q: Quito est en la costa ecuatoriana VV=F p q: Quito es la capital del Ecuador esta en la costa ecuatoriana, pero no ambas. VV=V

    A continuacin realizamos la Tabla de verdad de la siguiente proposicin:

    (p q) ( p q)

    p q p q (p q) ( p q) (p q) ( p q)

    V V F F F F F

    V F F V V F V

    F V V F F V V

    F F V V F F F

    Luego: P(x) Q(x) [P(x) Q(X)] [ P (x) Q(x) ] Entonces como conclusin se tiene que: El conjunto de verdad de la disyuncin exclusiva es:

    (P Q) (P Q) = {x/ P(x) Q(x) }

    6.- Implicacin o Condicional: Una proposicin P(x) y otra Q(x) forman la proposicin compuesta si

    estas estn unidas por el conector . P(x) Q(x) . Se lee si P(x) entonces Q(x) , P(x) condicional Q(x) P(x) implica a Q(x) .

    Propiedad fundamental: A P(x) se le conoce como antecedente o hiptesis y a Q(x) como

    consecuente, tesis o conclusin.

    Para que: P(x) Q(x) sea V P Q . Se debe cumplir esta relacin en conjuntos.

    P(x) Q(x) P (x) Q (x)

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

    Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso la proposicin es falsa ya que una verdad no

    implica una falsedad y ser verdadera en el resto de los casos.

    Esta columna es la misma

    que la disyuncin Exclusiva.

  • 29

    De la tabla anterior, aplicando el principio de las conjunciones bsicas se tiene:

    P(x) Q(x) { [ P(x) Q(x) ] [ P(x) Q(x)] } [P(x) Q(x)] (p q) [ p (q q)] (p q) [ p V/] (p q) p ( p q) ( p q) V/ ( p q) p q

    P(x) Q(x) P(x) Q(x) Que es una ley de equivalencia.

    Ejm. Dados las siguientes proposiciones:

    p: 4 + 2 = 6 VV=V p: 4 + 2 6 q: 5 4 = 4 VV=F q: 5 4 4

    Determine: a). p q VV = F b). q p VV = V c). p q VV = V d). q p VV = F

    p q: Si 4 + 2=6 entonces 5 4 =4 VV=F Implicacin

    q p: Si 5 4=4 entonces 4 + 2 =6 VV=V Reciproca

    p q: Si 4 + 2 6 entonces 5 4 4 VV=V Conversa

    q p: Si 5 4 4 entonces 4 + 2 6 VV=F Contrapositiva

    p q p q (p q) (q p) ( p q) ( q p)

    V V F F V V V V

    V F F V F V V F

    F V V F V F F V

    F F V V V V V V

    Luego observando las columnas 5 y 8; y 6 y 7 se tiene entonces la Implicacin y sus variaciones: Conclusin:

    - P(x) Q(x) Q(x) P(x) Implicacin Contrapositiva - Q(x) P(x) P(x) Q(x) Reciproca Conversa

    Conjunto de Verdad: El conjunto de verdad de la implicacin seria de P(x) Q(x) P(x) Q(x) ; entonces:

    P Q = {x/ P(x) Q(x) } 7.- Bidicondicional o Doble implicacin: El bidicondicional entre dos proposiciones P(x) y otra Q(x)

    es una proposicin compuesta en el cual las proposiciones simples se enlazan con el conector si y slo si,

    que corresponde a la proposicin [P(x) Q(x)] [Q(x) P(x)] y se simboliza P(x) Q(x) . Se lee: P(x) bicondicional Q(x) ; P(x) si y slo si Q(x) P(x) es necesaria y suficiente para Q(x)

  • 30

    Propiedad fundamental: La proposicin compuesta es verdadera cuando las proposiciones simples son verdaderas o son falsas.

    P(x) Q(x) P(x) Q (x)

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

    P(x) Q(x) [P(x) Q(x)] [Q(x) P(x)] P Q y Q P

    P = Q

    Dos proposiciones son equivalentes cuando sus conjuntos de verdad son iguales, pueden ser simples o

    compuestas.

    26.- a: P(x) Q(X) [P(x) Q(x)] b: P(x) Q (x) [ P(x) Q(x) ] [ Q(x) P(x)] Que tambin son leyes de equivalencia c: P(x) Q (x) [P(x) Q(x) ] [ P(x) Q(x)]

    Conjunto de verdad:

    (P Q) (P Q) = {x/ P(x) Q(x) } (P Q) (Q P) = {x/ P(x) Q(x) }

    8.- Conector Negativo: La proposicin compuesta se forma uniendo P(x) con otra Q(x) con el conector

    que se lee Ni P(x), Ni Q(x) .

    Propiedad fundamental: La proposicin compuesta es verdadera nicamente cuando las dos

    proposiciones son falsas. As entonces tenemos la siguiente tabla de verdad:

    P(x) Q(x) P(x) Q(x)

    V V F

    V F F

    F V F

    F F V

    27.- Leyes a: P(x) Q(x) P(x) Q(x) b: P(x) Q(x) [P(x) Q(x) ]

    Conjunto de verdad:

    (P Q) = P Q = {x/ P(x) Q(x)} 9.- Disyuncin Negativa: La proposicin compuesta se forma uniendo dos simples con el conector que se lee No P(x), o No Q(x) o tambin P(x) disyuncin negativa Q(x). Propiedad fundamental: La proposicin compuesta es falsa nicamente cuando las dos son verdaderas.

    P(x) Q(x) P(x) Q(x)

    V V F

    V F V

    F V V

    F F V

    28.- Leyes a: P(x) Q(x) P (x) Q(x) b: P(x) Q(x) [P(x) Q(x)]

  • 31

    Conjunto de verdad:

    P Q = {x/ P(x) Q(x)}

    R E S U M E N

    P(x) Q(x) Disyun. Conjun.

    Disyun.

    Exclusiva Implic. Bicond.

    Conector

    Negativo

    Disyuncin

    Negativa

    V V V V F V V F F V F V F V F F F V

    F V V F V V F F V

    F F F F F V V V V

    Proposiciones Compuestas con 2 o ms conectores y operadores lgicos.

    1). Si las proposiciones simples estn separadas por comas, se deben analizar las que estn antes de

    la coma y despus de la misma para luego unirlas con la conectiva principal que es la que va

    inmediatamente despus de la coma. Ejm.

    5 3=2 y 4+3=6 o 4+3 6 o 5 3=2

    p q q p

    (p q) (~q p) 2). Si la proposicin compuesta tiene parntesis, corchetes o llaves para obtener la tabla de verdad

    de dicha proposicin se deben destruir los smbolos de agrupacin como en el lgebra normal

    suprimiendo parntesis, luego corchetes, etc.

    3). Cuando la proposicin no tiene comas ni smbolos de agrupacin entonces se debe seguir el

    siguiente orden:

    a). Obtener las negaciones de las proposiciones en caso que existan.

    b). Al agrupar se debe seguir el siguiente orden:

    , , , , , ,

    conectores fuertes

    conectores dbiles

    Ejm. p q p p q p q

    1.- p ; q 2.- ( p q) 3.- [( p q) p] 4.- ( p q) 5.- [[( p q) p] p] 6.- {[[( p q) p] p] q}

    4) Si la proposicin no tiene comas ni smbolos de agrupacin se debe indicar cul es el conector

    principal.

  • 32

    Ejm.

    - Determine la TV de la siguiente proposicin:

    {(p q) [ p [ q (p p)]]}

    p q p (p p) (p q) [ q (p p)] [ p [ q (p p)]] {(p q) [ p [ q (p p)]]} V V F F V F V V V F F F F V F F F V V F V F F V F F V F V V V V

    Primer Mtodo: Para obtener la tabla de verdad de una proposicin en las primeras casillas se colocan

    las variables que intervienen, en la proposicin compuesta a continuacin designamos una casilla para

    cada operacin comenzando siempre con la negacin, en caso de que exista, y la ltima casilla nos dar

    la tabla de verdad que buscamos.

    Segundo Mtodo: Se colocan en las primeras casillas las proposiciones dadas, a continuacin se

    designa una casilla para cada variable, conector y operador lgico, y en la parte inferior de la tabla se

    colocan nmeros que nos indican los pasos que debemos seguir, y la casilla que corresponda al numeral

    ms alto, ser la que tenga la tabla de verdad buscada.

    p q {( p q ) [ p [ q (p p )]]} V V V V V V F V F F V F F V F V F F F F F V V V F F F V F V V V V F F F F F V F F F V F V V V V V F F V

    1 2 1 6 2

    TV 3 8 4 7 1 5 3

    - Implicacin lgica.

    Una proposicin sea simple o compuesta P(x) implica lgicamente a otra proposicin sea simple o

    compuesta Q(x), si y slo si una de las siguientes condiciones es verdadera:

    1. P(x) Q(x) V/ 2. ~P(x) Q(x) V/ 3. P(x) ~Q(x) |F

    Ejemplo: Probar si la siguiente proposicin p q p q

    1) (p q) (p q) 2) (~ p ~ q) (p q) V V V V V V V F V F F V V V V V V F F V V V F F V V V F V V V F F F V V F V V V F V F V V F V V F F F V F F F V F V V F V F F F 1 4 2 5 1 3 2 3 1 5 4 2 6 1 5 2

    TV

    TV

    Por lo tanto es implicacin lgica. TV: V/

    -Equivalencia lgica.

    Una proposicin sea simple o compuesta P(x) es lgicamente equivalente a otra proposicin sea simple

    o compuesta Q(x), si y slo si al realizar el bicondicional el resultado es V/: P(x) V/ Se lee: P(x) Q(x) P(x) es lgicamente equivalente a Q(x) P(x) es equivalente a Q(x)

  • 33

    Ejemplo: Ver si la proposicin P(x) Q(x) es lgicamente equivalente a [P(x) ~Q(x)] [~P(x) Q(x)]

    1) (p q) [(p ~ q) (~ p q)] V F V V V F F V F F V F V V V F V V V V F V F V F F F V V V F F F V V V F V V F F F V F F V F F V F F F 1 7 2 8 1 5 4 2 6 3 1 5 2

    TV=V/

    CUANTIFICADORES

    Otra manera de transformar una funcin proposicional en proposicin cerrada es mediante el uso de los

    cuantificadores.

    Definicin.- Cuantificadores son smbolos que preceden a una funcin proposicional, y nos permite

    convertir una proposicin abierta en proposicin cerrada, ya que nos indica el nmero de elementos o

    individuos que hacen siempre verdadera una funcin proposicional P(x) o Px.

    Ejemplo:

    P(x): x es un nmero par. } A conjunto satisfactor U

    1. Para todo x, P(x) Para todo x, x es un nmero par. V.V.=F Para todo: es cuantificador universal.

    Simboliza: a. x, P(x)

    b. x A, P(x)

    Tambin se lee: todo x es p

    cada x es p

    2. Existe en x tal que, P(x) Existe un x tal que, x es nmero par. V.V.=V

    Smbolo: a. x , P(x)

    b. x , P(x)

    c. x A , P(x)

    Tambin se lee: existe al menos un x tal que.

    algunos x son P

    algn x es P

    varios x son P

    existe por lo menos un x

    tal que x es P

    Obtencin del valor de verdad

    1. V.V.=V P = A = U x A = U

    V.V.=F P A U

    2. V.V.=V P

    x

    V.V.=F P =

  • 34

    Ejemplos:

    1. Forme los cuantificadores universal y existencial y obtenga los correspondientes V.V. Si:

    P(x): x2 8x + 15 = 0 donde A={1,2,3,4,5}, n(A)=5

    a. x, P(x) Para todo x A, x2 8x +15=0 P(x): x

    2 8x + 15 = 0 (x 5)(x 3) = 0 x = 5 x = 3 P= {3,5} n(P)=2

    V.V.=F ; PA

    b. x, P(x) Existe un x tal que, x2 8x +15=0

    V.V.=V ; P

    2. Si la funcin proposicional es P(x): (x2 25) = (x 5) (x + 5) A={1,2,3,4,5} n(A)=5

    Forme los cuantificadores existencial y universal; y adems su V.V.

    a. x, P(x) Para todo x A, (x2 25) = (x 5) (x + 5) V.V.=V ; P =A P= (x 5) (x + 5) = (x 5) (x + 5) P= {1,2,3,4,5} n(P)=5

    b. x, P(x) Existe un x tal que, (x2 25) = (x 5) (x + 5)

    V.V.=V ; P

    Negacin de cuantificadores 1. Negacin del cuantificador universal.

    ~[x, P(x)] x, ~P(x) Existe al menos un no P(x)

    Existe un x tal que, no P(x)

    La negacin del cuantificador universal se obtiene cambiando el cuantificador universal por el

    existencial y la funcin proposicional por su negacin.

    2. Negacin del existencial.

    ~[x, P(x)] x, ~P(x) Ningn x es P

    Ejemplos:

    Formal la negacin de los cuantificadores universal y existencial, y obtener su V.V.

    1. x, P(x) para todo x A, (x2 25) = (x 5) (x + 5) V.V.=V

    Negacin: x, ~P(x) existe un x tal que, (x2 25) (x 5) (x + 5)

    P={} V.V.=F

    2. x, P(x) existe un x tal que, (x2 25) (x 5) (x + 5) V.V.=V

    Negacin: x, ~P(x) ningn x, (x2 25) = (x 5) (x + 5) para todo x, (x2 25) (x 5) (x + 5) P = P A V.V.=F

  • 35

    Ejemplos:

    Represente aplicando el cuantificador apropiado, las negaciones y sus valores de verdad para las

    siguientes expresiones.

    1. Hay animales carnvoros. x, C(x) V.V.=V

    Negacin: Ningn animal es carnvoro. x, ~C(x) VV=F

    2. Existe al menos un volcn. x, V(x) V.V.=V

    Negacin: No existe ningn volcn. x, ~V(x) VV=F

    3. Cada nmero natural es entero. x, N(x) VV=V

    Negacin: Existe al menos un nmero natural que no es entero. x, ~N(x) V.V.=F

    4. Algunas personas son artistas. x, P(x) V.V.=V

    Negacin: Ninguna persona es artista. x, ~P(x) VV=F

    5. Todos los ngulos son congruentes. x, A(x) VV=F

    Negacin: Existe al menos un ngulo que no es congruente. x, ~A(x) V.V.=V

    6. Algunos ngulos son rectos. x, R(x) V.V.=V

    Negacin: Ningn ngulo es recto. x, ~R(x) VV=F

    7. Existe ngulos no obtusos. x, O(x) V.V.=V

    Negacin: Ningn ngulo no es obtuso. x, ~O(x) VV=F

    8. Alguna navegacin es peligrosa y toda clase de pesca es aburrida. x, P(x) x, A(x) VV=F

    V F

    F

    Negacin: Ninguna navegacin es peligrosa o existe al menos una pesca no aburrida.

    ~[x, P(x) x, A(x)] x, ~P(x) x, ~A(x) VV=V

    F V

    V

    9. Si la nacin es prospera, algunos ciudadanos son ricos. P(x) x, R(x) VV=V

    V V

    V

    Negacin: La nacin es prspera y ningn ciudadano es rico. ~[P(x) x, R(x)] VV=F

    ~[~P(x) x, R(x)]

    P(x) x, ~R(x) V F

    F

    10. Ningn nmero natural es negativo. x, ~P(x) VV=V Negacin: Algn nmero natural es negativo. ~[x, ~P(x)] VV=F

    x, P(x)

  • 36

    11. Muchas personas viven en la pobreza absoluta. x, P(x) VV=V

    Negacin: Todas las personas viven en la pobreza absoluta. ~[x, P(x)] VV=F

    x, ~P(x)

    12. Todos los pases latinoamericanos tienen deuda externa. x, ~P(x) VV=F

    Negacin: Algunos pases no tienen deuda externa. x, ~P(x) VV=V

    Formalice (representar en forma simblica), simplifique y niegue las siguientes proposiciones

    compuestas.

    Si todos los nmeros enteros son pares, entonces hay algn nmero entero primo, si solo si todos los nmeros enteros no son primos; pero cualquier nmero entero no es primo. p: todos los nmeros enteros son pares. VV=F

    q: hay algn nmero entero primo. VV=V

    ~q: todos los nmeros enteros no son primos. VV=F r: cualquier nmero entero no es primo. VV=V

    [(pq) ~q] r F V F V

    V

    F

    F

    [(p q) ~ q] r V V V F F V F V

    V V V F F V F F

    V F F F V F F V

    V F F F V F F F

    F V V F F V F V

    F V V F F V F F

    F V F V V F V V

    F V F V V F F F

    Estudie la valides del siguiente razonamiento:

    Si el mayordomo es un asesino, se pondr nervioso cuando lo interroguen. El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron. Por lo tanto el mayordomo es el asesino.

    p: el mayordomo es un asesino.

    q: el mayordomo se pone nervioso.

    H1: (pq) H2: q

    C: p

    {[(p q) q]} p V V V V V V V

    V F F F F V V

    F V V V V F F

    F V F F F V F