ALGEBRA DE BOOLE

Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemticas y Fsica Unicor 962

INTRODUCCINSi se hace un anlisis comparativo del clculo proposicional y la teora de conjuntos, con sus conectivos lgicos y las operaciones unin, interseccin y complemento respectivamente, se observa un comportamiento idntico. Posteriormente se ver la misma analoga con el lgebra de circuitos de conmutacin ( booleanos) En efecto, la analoga entre el lgebra de proposiciones y el lgebra de conjuntos es tan grande que no puede ignorarse. Este hecho sugiere la presencia de un modelo matemtico abstracto, que vaco de todo contenido, sirve de soporte tanto a la lgica como a la teora de conjuntos. Este molde o estructura que se alcanza a vislumbrar es el LGEBRA DE BOOLE.El algebra booleana , estudiada por primera vez en detalle por George Boole , constituye un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con la aparicin y desarrollo de la computadora digital , en este caso proporcionan un eslabn entre el lgebra de conjuntos y el clculo proposicional . Son usadas ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas, por ejemplo: Las aplicaciones de la electrnica digital a los procesos de control y automatismo industriales estn fundamentadas tericamente en ste sistema matemtico. Esto se debe a que los circuitos digitales lgicos operan de un modo binario donde cada voltaje ( seal ) de entrada de salida es un cero ( 0) un uno (1) . Las designaciones 0 y 1 representan intervalos predefinidos de voltaje. Esta caracterstica de los circuitos lgicos permite emplear el lgebra booleana en el anlisis y diseo de sistemas digitales. En el nivel de lgica digital de una computadora, lo que comnmente se llama hardware, y que est formado por los componentes electrnicos de la mquina, se trabaja tambin con diferencias de tensin, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. stas funciones, en la etapa de disea del hardware, son interpretadas como funciones de Boole.

DEFINICIN DE ALGEBRA DE BOOLE :En general, un lgebra cualquiera es una estructura matemtica que se define dando un conjunto de elementos , unas operaciones binarias leyes de composicin interna que se aplican a los elementos del conjunto. Y unos principios bsicos axiomas que se aplican a stas leyes de composicin interna y a los elementos del conjunto.Para definir el algebra de Boole se necesita un conjunto de elementos que llamaremos , en el que al menos hay dos elementos diferentes : con ; y tambin est dotado de dos leyes de composicin interna , que se representan: y , que se denominan : ( Producto y ) y (Suma ) , respectivamente:

Entonces se tiene una estructura de algebra de Boole si se verifican estas condiciones y las siguientes propiedades primitivas axiomas, que deben cumplir la PROPIEDAD DUAL , entendindose sta como la forma de partir de una propiedad para obtener otra , mediante la simple sustitucin de por y por , y viceversa, en todos los lugares en que aparezcan; estas son a saber :

1) ASOCIATIVA :

2) CONMUTATIVA:

3) MODULATIVA:

tal que : tal que :

4) COMPLEMENTARIA: , existe un nico elemento , , llamado complementario de , tal que :

5) DISTRIBUTIVA : Cada ley es distributiva respecto a la otra:

Nota : ste axioma en el orden de derecha a izquierda se llama FACTORIZACION

TEOREMAS FUNDAMENTALESSe presentaran un conjunto de teoremas con sus duales, seleccionados por la aplicacin en la simplificacin que tienen y/o por los hechos fundamentales que establecen , los cuales pueden demostrarse con el uso de los axiomas propiedades primitivas .

TEOREMA 1 : llamado ley de : INVOLUCIN

TEOREMA 2 : llamado ley de : IDEMPOTENCIA: permite eliminar trminos de la forma:

TEOREMA 3 : llamado ley de : ACOTACIN:

TEOREMA 4 : llamado ley de : RECIPROCIDAD COMPLEMENTARIA

TEOREMA 5 : llamado ley de: ABSORCIN : Permite eliminar trminos de la forma : :

TEOREMA 6 : llamado ley de : COMPLEMENTACIN SUCESIVA:

TEOREMA 7 : llamado ley de : LEYES DE DE MORGAN

TALLER: Demuestre los teoremas anteriores. Quiz y trabajo grupal

FUNCIONES BOOLEANAS Definicin: Sea un conjunto finito de variables booleanas las cuales pueden ser 1 0 , cada una de ellas; entonces la aplicacin del conjunto PRODUCTO CARTESIANO en el conjunto , es decir : es llamada FUNCIN BOOLEANA de variables.Se llama EXPRESIN BOOLEANA, a la expresin que identifica a la funcin Booleana , y est estructurada por la combinacin

EXPRESIONES DE LAS FUNCIONES BOOLEANASLas funciones booleanas se pueden expresar de cuatro formas: Forma Algebraica Forma Tabular Forma Numrica Forma de circuito booleano

1) FORMA ALGEBRAICAEen ese caso la funcin presenta una combinacin de en ,, . de uno varios productos sumas de las variables , ,con sin complemento.Cada uno de stos productos , es llamado minterm ( completo incompleto) y cada suma es llamada , maxterm ( completo incompleto).

NOTA: Esta forma tiene el inconveniente que pueden existir infinitas expresiones para una misma funcin.

a) LA FORMA ALGEBRAICA DISYUNTIVA Una funcin de boole ( no nula ) , con se dice que est en forma disyuntiva ,si la expresin booleana tiene estructura de suma minterms , es decir , una suma de productos completos ( Forma cannica) incompletos de las variables.Ejemplos: (Con dos minterms completos) ( Con tres minterms completos) ( Con un nico minterms completos)

b) LA FORMA ALGEBRAICA CONJUNTIVA Una funcin de boole ( no nula ) , con se dice que est en forma conjuntiva , si la expresin booleana tiene estructura de productos de MAXTERMS , es decir , una suma de productos completos ( forma cannica) incompletos de las variables.Ejemplos: (Con dos maxterms completos ) ( Con tres maxterms completos ) ( Con un nico maxterms completo)

NOTA: Existen formas de expresiones mixtas , que usan el parntesis con complementos .

2) FORMA TABULAR

La funcin se presenta en una tabla , donde se encuentran las entradas de las variables y las distintas posibilidades de ser combinad cada variables ya sea como producto como suma. Tiene la ventaja que muestra tanto la forma disyuntiva cannica ( tomando los 1) como la conjuntiva cannica ( tomando los 0) en un mismo grfico, y por tanto la funcin que se representa sera nica, a diferencia de la forma algebraica.

Ejemplo: cuya tabla de verdad es :

0000

0010

0101

0110

1001

1011

1101

1110

3) FORMA NUMRICA:La representacin numrica es una forma simplificada de representar las expresiones cannicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el trmino, ya sea una suma o un producto, por un nmero decimal equivalente al valor binario de la combinacin. Por ejemplo, los siguientes trminos cannicos se representarn del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso):ABCD = 10112 = 1110A + B + C + D = 01002 = 410Para representar una funcin cannica en suma de productos utilizaremos el smbolo (sigma) y en producto de sumas (pi), donde n indicar el nmero de variables. Para representar una funcin cannica en suma de productos utilizaremos el smbolo n (sigma) y en producto de sumas n (pi), donde n indicar el nmero de variables. As, la representacin numrica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedar como:F = 3(2, 4, 5, 6) = 3(0, 1, 3, 7)Matemticamente se demuestra, que para todo trmino i de una funcin, se cumple la siguiente ecuacin:F = [n(i)]' = n(2n-1-i )A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior:F = 3(2, 4, 5, 6) = [3(2, 4, 5, 6)]' ' = [3(0, 1, 3, 7)]' = 3(0, 1, 3, 7)4) FORMA GRAFICALa representacin grfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrnicos. La grafica de una funcin booleana es un circuito conmutador de seales que se abren y cierran con un sistema de compuertas, que identifican los circuitos en serie ( AND) , circuitos en paralelo( OR) y la negacin ( NOT) principalmente.

CONVERSIONES ENTRE LAS FORMAS DE LAS FUNCIONES BOOLEANAS

METODOS DE OBTENCIN DE LAS FORMAS CANONICAS NORMALESEstas formas completas canonicas disyuntivas conjuntivas se pueden obtener a partir de:1). La tabla de valores de la funcin La forma cannica disyuntiva de una funcin , se obtiene a partir de los valores 1 que toma la funcin. La nica forma en la que un producto de todas las variables ( sus complementarias ) toma valor 1 es con todos sus factores tomando valor 1 .As el numero de minterms en la forma disyuntiva es igual al numero de unos ( 1) que aparecen en la tabla de valores de . La forma cannica conjuntiva de una funcin se obtiene a partir de los valores 0 que toma la funcin. La nica posibilidad para que una suma de todas las variables ( sus complementarias ) toma valor 0 es con todos sus trminos tomando valor 0 .As el numero de maxterms en la forma conjuntiva es igual al numero de unos ( 0) que aparecen en la tabla de valores de .Para una funcin la suma del numero de minterms en la forma cannica disyuntiva y el numero de maxterms en la forma cannica conjuntiva es igual a el cual coincide con el numero de trminos de .Ejemplo:Obtener las formas cannicas disyuntivas y conjuntiva de la funcin cuya tabla de verdad es :

0001

0010

0101

0111

1000

1010

1101

1111

Forma cannica disyuntiva:

Forma cannica conjuntiva:

Nmero de minterms = 5 Numero de maxterms = 3Total = 2). Una funcin normal disyuntiva conjuntiva incompleta Se presenta cuando est en la forma cannica slo para una para algunas de las variables complementadas no de la funcin en cada algunos minterms maxterms.Para obtener la forma cannica normal disyuntiva a partir de una expresin cualquiera conviene proceder as: Obtener una suma de productos , aunque estos productos no sean minterms. La propiedad que en mayor medida permita este procedimiento es la distributiva del producto respecto a la suma:

Cada variable que no figure en un producto se puede aadir al mismo al mismo multiplicando por el modulo 1 en la forma : Se vuelve a aplicar la propiedad distributiva.Ejemplo:Obtener la forma cannica disyuntiva del a funcin : : definida por : Entonces :

Mdulativa y complementaria de la + Por ( distributiva de la respecto ala ) Por Distributiva. Por conmutativa de la + Por idempotencia de la + .Para obtener la forma cannica conjuntiva se procede as. Transformar la expresin inicial en un producto de sumas, a travs del uso esencialmente de la propiedad distributiva de la suma respecto al producto: Una vez obtenido el producto de sumas , cada variable que no figure en una suma se puede aadir a la misma sumando el modulo : 0 , en la forma : . A continuacin se vuelve a aplicar la propiedad distributiva .Ejemplo:Obtener la forma cannica conjuntiva de la funcin definida en el ejemplo anterior : Entonces : Por propiedad distributiva dela respecto a la . ( Ntese la utilidad de sta propiedad , la cual consiste en separar el producto de las variables y sumarlo con la otra variable comn , guardando el producto de las sumas por separado) Por propiedad modulativa de la y la complementaria de la Por asociativa de la Por la propiedad distributiva , ntese de nuevo la observacin hecha antes . Por propiedad conmutativa de la Por propiedad idempotencia de la x

SIMPLIFICACIN DE FUNCIONES BOOOLENAS Las formas cannicas normales de una funcin Booleana en un conjunto son expresiones nicas que identifican cada funcin Booleana y la diferencia de las restantes funciones . No son , sin embargo , expresiones sencillas ni tienen una forma simplificada , es decir que la funcin presenta complementos de sumas y/ productos de las variables. El objetivo de sta seccin es la obtencin de expresiones simplificadas para las funciones Booleanas , tanto si su expresin inicial es una de las formas cannicas como si no lo es.

METODOS COMUNES 1) Mtodo de propiedades del algebra de BooleConsiste en la utilizacin de las propiedades generales( axiomas y teoremas ) del algebra de Boole. Ejemplosa) Simplificar la funcin Booleana : : definida por:

Por propiedad conmutativa y asociativa Por complementacin sucesiva y absorcin Por propiedad asociativa Por propiedad distributiva Por propiedad de acotacin Por propiedad de complementacin sucesiva Por propiedad modulativa b) Simplificar la funcin Booleana : : definida por:

Por propiedad asociativa dela x Por propiedad distributiva Por propiedad idempotente conmutativa complentaria . Por propiedad asociativa Por propiedad Distributiva Por propiedad complementaria Por propiedad modulativa Por asociativa Por idempotente Por distributiva Por complementaria Por modulativa

Ejemplo : Simplificar mediante propiedades del lgebra booleana la funcin lgica expresada en su forma normal disyuntiva.

TALLER 1) Simplificar las siguientes funciones Booleanas :

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

k) l) m) n) o)

2) Escribir cada una de las siguientes funciones en la forma normal cannica disyuntiva con el menor nmero posible de variables y luego transfrmela a su forma completa :a) b) c) d) e) 3) Escribir cada una de las siguientes funciones en la forma normal conjuntiva con el menor numero posible de variables y luego transfrmela a su forma completa:a) b) c) d) e) 4) Simplificar las siguientes funciones mediante la ley de De Morgan y otras propiedades usando las tablas :a) b) c) d) e) f) 5) Simplificar y expresarlas en forma canonca normal , simplificada.

a)

0000

0011

0101

0110

1000

1011

1100

1110

b)

0001

0010

0100

0110

1001

1010

1101

1111

c)

0001

0010

0100

0110

1001

1011

1101

1110

d)

0001

0010

0100

0111

1001

1011

1101

1110

e)

0001

0010

0100

0111

1000

1010

1101

1110

f)

0001

0011

0101

0111

1000

1010

1100

1110

G) Practicar ejercicios en la forma numrica :

6)

7)

8)

2) Mtodo grfico : Mapas de Karnaugh

3) Mtodo iterativo : El mtodo de Quine Mc Cluskey ( opcional )

Cualquier funcin de boole que sea una suma de productos se puede escribir en forma completa de suma de productos . En efecto, si un producto fundamental de la expresin booleana de la funcin , no usa , entonces podemos multiplicar , a ste producto fundamental por , ste se puede hacer ya que : . Continuamos hasta que todos los productos usen todas las variables . Otra consideracin demuestra que la forma completa de suma de productos es nica .

Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy comn que al final de un diseo se tenga un circuito con un nmero de partes (circuitos integrados y otros) mayor al necesario.

Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que optimizarlo (reducirlo).Un diseo ptimo causar que:- El circuito electrnico sea ms simple- El nmero de componentes sea el menor- El precio de proyecto sea el ms bajo- La demanda de potencia del circuito sea menor- El mantenimiento del circuito sea ms fcil.- Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la implementacin del circuito ser menor.En consecuencia que el diseo sea el ms econmico posible.Una herramienta para reducir las expresiones lgicas de circuitos digitales es la matemticas de expresiones lgicas, que fue presentada por George Boole en 1854, herramienta que desde entonces se conoce como lgebra de Boole.Las reglas del lgebra Booleana son:Nota: - (punto): significa producto lgico- + (signo de suma): significa suma lgicaOperaciones bsicas

Ley Distributiva, ley Asociativa, ley Conmutativa

Precedencia y Teorema de Morgan

Para asegurarse de que la reduccin del circuito electrnico fue exitosa, se puede utilizar la tabla de verdad que debe dar el mismo resultado para el circuito simplificado y el original.

Tabla de verdad 1 Circuitos lgicos2 Tabla de verdad

La tabla de verdad es un intrumento utilizado para la simplificacin de circuitos digitales a travs de su ecuacin booleana. Las tablas de verdad pueden tener muchas columnas, pero todas las tablas funcionan de igual forma.Hay siempre una columna de salida (ltima columna a la derecha) que representa el resultado de todas las posibles combinaciones de las entradas.

El nmero total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las entradas que hay + 1 (la columna de la salida).El nmero de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden lograr con las entradas y es igual a 2n, donde n es el nmero de columnas de la tabla de verdad (sin tomar en cuenta la columna de salida)Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad hay 3 columnas de entrada, entonces habrn: 23 = 8 combinaciones (8 filas)Un circuito con 3 interruptores de entrada (con estados binarios "0" o "1"), tendr 8 posibles combinaciones. Siendo el resultado (la columna salida) determinado por el estado de los interruptores de entrada.

Los circuitos lgicos son bsicamente un arreglo de interruptores, conocidos como "compuertas lgicas" (compuertas AND, NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lgica tiene su tabla de verdad.Si pudiramos ver con ms detalle la construccin de las "compuertas lgicas", veramos que son circuitos constituidos por transistores, resistencias, diodos, etc., conectados de manera que se obtienen salidas especficas para entradas especficasLa utilizacin extendida de las compuertas lgicas, simplifica el diseo y anlisis de circuitos complejos. La tecnologa moderna actual permite la construccin de circuitos integrados (ICs) que se componen de miles (o millones) de compuertas lgicas.Funcin booleanaConvierte un argumento en un valor booleano.Esta funcin convierte argumentos en valores booleanos, segn las siguientes reglas. Si el argumento es un nmero negativo o positivo, se convierte en el valor booleano true. Si el argumento es cero o un NaN value, se convierte en false. Si el argumento es un conjunto de nodos con contenido, se convierte en true. Un conjunto de nodos vacos se convierte en false. Si el argumento es una cadena con contenido, se convierte en true. Una cadena vaca se convierte en false. Si el argumento es un objeto de un tipo distinto a los cuatro tipos bsicos, se convierte en un valor booleano de tal modo que dependa de uno de estos tipos. EJERCICIOS1.Sol..-

2.Sol..-

3.Sol..-

4.Sol..-

5.Sol..-

6.Sol..-

7.Sol..-

8.Sol..-

9.Sol..-

10.Sol..-

. IntroduccinLas lgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas. En el nivel de lgica digital de una computadora, lo que comnmente se llama hardware, y que est formado por los componentes electrnicos de la mquina, se trabaja con diferencias de tensin, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. stas funciones, en la etapa de disea del hardware, son interpretadas como funciones de boole. En el presente trabajo se intenta dar una definicin de lo que es un lgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,haciendo una correlacin con las frmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas cannicas de las funciones booleanas, que son tiles para varios propsitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma funcin. Pero para otros propsitos son a menudo engorrosas, por tener ms operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrnicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresin mnima para una funcin es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Como solucin a este problema, se plantea un mtodo de simplificacin, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitacin de poder trabajar adecuadamente slo con pocas variables.Se realizan estas presentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el lgebra de boole y la lgica proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificacin presentado en la lgica de proposiciones. lgebra BooleanaEl lgebra booleana es un sistema matemtico deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " " definido en ste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aqu se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " " es conmutativo si A B = B A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " " es asociativo si (A B) C = A (B C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " " y " % " son distributivos si A (B % C) = (A B) % (A C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " " si A I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " " si A I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.Para nuestros propsitos basaremos el lgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a stos valores respectivamente como falso y verdadero.- El smbolo representa la operacin lgica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminar el smbolo ,por lo tanto AB representa la operacin lgica AND entre las variables A y B, a esto tambin le llamamos el producto entre A y B.- El smbolo "+" representa la operacin lgica OR, decimos que A+B es la operacin lgica OR entre A y B, tambin llamada la suma de A y B.- El complemento lgico, negacin NOT es un operador unitario, en ste texto utilizaremos el smbolo " ' " para denotar la negacin lgica, por ejemplo, A' denota la operacin lgica NOT de A.- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresin booleana, el resultado de la expresin depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, parntesis, operador lgico NOT, operador lgico AND y operador lgico OR. Tanto el operador lgico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia estn adyacentes, entonces se evalan de izquierda a derecha. El operador lgico NOT es asociativo por la derecha.Utilizaremos adems los siguientes postulados: P1 El lgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a es uno y con respecto a +es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores y + son conmutativos. P4 y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A (B+C) = (AB)+(AC) y A+ (BC) = (A+B) (A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que AA' = 0 y A+A' = 1. ste valor es el complemento lgico de A. P6 y + son ambos asociativos, sto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).Es posible probar todos los teoremas del lgebra booleana utilizando stos postulados, adems es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas ms importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes: Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A 1 = A Teorema 5: A 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)' = A' B' Teorema 8: (A B)' = A' + B' Teorema 9: A + A B = A Teorema 10: A (A + B) = A Teorema 11: A + A'B = A + B Teorema 12: A' (A + B') = A'B' Teorema 13: AB + AB' = A Teorema 14: (A' + B') (A' + B) = A' Teorema 15: A + A' = 1 Teorema 16: A A' = 0Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemtico que los descubri.Caractersticas:Un lgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes caractersticas: 1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parmetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una funcin monaria (de un solo parmetro) que representaremos por x'. 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) Y 3- Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa respecto a la primera funcin: x + y = y + xConmutativa respecto a la segunda funcin: xy = yxAsociativa respecto a la primera funcin: (x + y) + z = x + (y +z)Asociativa respecto a la segunda funcin: (xy)z = x(yz)Distributiva respecto a la primera funcin: (x +y)z = xz + yzDistributiva respecto a la segunda funcin: (xy) + z = (x + z)( y + z)Identidad respecto a la primera funcin: x + 0 = xIdentidad respecto a la segunda funcin: x1 = xComplemento respecto a la primera funcin: x + x' = 1Complemento respecto a la segunda funcin: xx' = 0 Propiedades Del lgebra De Boole 1. Idempotente respecto a la primera funcin: x + x = xIdempotente respecto a la segunda funcin: xx = xMaximalidad del 1: x + 1 = 1Minimalidad del 0: x0 = 0Involucin: x'' = xInmersin respecto a la primera funcin: x + (xy) = xInmersin respecto a la segunda funcin: x(x + y) = xLey de Morgan respecto a la primera funcin: (x + y)' = x'y'Ley de Morgan respecto a la segunda funcin: (xy)' = x' + y' Funcin Booleana Una funcin booleana es una aplicacin de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de lgebra de Boole. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayora. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La funcin devolver s (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolver 0.Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la funcin booleana devolver 0.Producto mnimo (es el nmero posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones. El nmero posible de casos es 2n. Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:Votos ResultadoABCD1111 11110 11101 11100 01011 11010 01001 01000 00111 10110 00101 00100 00011 00010 00001 00000 0Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mnimos (minterms) iguales a 1. En nuestro ejemplo la funcin booleana ser: f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD Diagramas De Karnaugh Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas. Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el nmero de 1 sea potencia de 2. En esta pgina tienes un programa para minimizacin de funciones booleanas mediante mapas de Karnaugh 4. lgebra Booleana y circuitos electrnicosLa relacin que existe entre la lgica booleana y los sistemas de cmputo es fuerte, de hecho se da una relacin uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrnicos de compuertas digitales. Para cada funcin booleana es posible disear un circuito electrnico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente stos operadores utilizando las compuertas lgicas homnimasUn hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrnico utilizando una sola compuerta, sta es la compuerta NANDPara probar que podemos construir cualquier funcin booleana utilizando slo compuertas NAND, necesitamos demostrar cmo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier funcin booleana utilizando slo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fcil, slo invertimos la salida de una compuerta NAND, despus de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados slo utilizando compuertas NAND sean lo ptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lgica OR, sto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en sntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "" por "+" despus se invierte cada literal y por ltimo se niega la totalidad de la expresin:A OR BA AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorganA' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definicin de OR utilizando NANDSi se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las ms econmicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques bsicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lgico utilizando slo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lgica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas cannicas. Mientras que la lgica NOR es til en muchos circuitos, la mayora de los diseadores utilizan lgica NAND.

Tablas De VerdadSon un medio para describir la manera en que la salida de un circuito lgico depende de los niveles lgicos que haya en la entrada del circuito. En una tabla se muestra que ocurre al estado de salida con cualquier grupo de condiciones de entrada, los verdaderos valores de salida dependern del tipo de circuito lgico.El nmero de combinaciones de entrada ser igual a 2 para una tabla de verdad con "n" entradas. http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/capitulo_04.html