Algebra de boole
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POSTULADOS Proposiciones que deben ser demostradas ALGEBRA DE BOOLE ALGEBRA DE BOOLE
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POSTULADOS
Proposiciones que deben ser demostradas
ALGEBRA DE BOOLEALGEBRA DE BOOLE
1- Postulado del elemento Nulo
• Si cualquier Variable se opera con AND con un “0” el resultado siempre es “0”.
• Si cualquier Variable se opera con OR con un “1” el resultado siempre es “1”.
X * 0 = 0
X + 1 = 1
2- Postulado de Identidad
• Si cualquier Variable se opera con AND con un “1” el resultado siempre es la Variable “X”.
X * 1 = X
• Si cualquier Variable se opera con OR con un “0” el resultado siempre es la Variable “X”.
X + 0 = X
3- Postulado Potencia Idéntica
• Si se opera una AND con una misma variable X el resultado es la variable X
X * X = X
• Si se opera una OR con una misma variable X el resultado es la variable X
X + X = X
4- Postulado de los Complementos
• Si se opera una AND con una variable X y su inversa de X el resultado es “0”.
X * X = 0
• Si se opera una OR con una variable X y su inversa de X el resultado es “1”.
X+ X = 1
• Si se invierte dos veces una variable X el resultado es el valor original de la variable
XX =
X
4- Postulado de los Complementos
POSTULADOSPOSTULADOS
1. X · 0 = 0
2. X · X´ = 0
3. X + 1= 1
4. X + X´ = 1
5. X · 1 = X
6. X + 0 = X
7. X · X = X
8. X + X = X
9. X´´ = X
8
Ley Conmutativa
• X * Y = Y * X• X + Y = Y + X
LeyesLeyes
Reglas invariables del algebra de Boole
7- Ley Asociativa
• X · Y · Z = (Y · X) · Z = Y · (X · Z)
• X + Y + Z = (Y + X) + Z = Y + (X + Z)
5 - Ley Distributiva
• X(Y+Z) = XY + XZ
• X+(Y · Z) = X·Y + X·Z
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TEOREMASTEOREMAS
Reglas que conciernen a una relación fundamental entre las variables lógicas
Teorema de Absorción X + XY = X X (X+Y) = X
XYXXYXXYXX
XYXXYX
+=+=+=+=+
)(
)1(
Teorema de Eliminación
A + ĀB = A + B
A ·(Ā + B) = A · B
(A + Ā)·(A + B) = A + B
1 · (A + B) = A + B
(A · Ā)+ (A · B) = A · B
0 + (A · B) = A · B
TEOREMAS DE MORGAN Teorema 1
• Al invertir la suma OR de dos Variables es equivalente a invertir cada variable por separado y operarlas mediante una AND
2
31
74LS33
== 1
23
74LS08
1 2
74LS04
3 4
74LS04
2
31
Demostración
X Y YX + YX ·
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
Teorema 2• Al invertir el Producto AND de dos variables
es igual a invertir cada variable por separado y operar con OR
1
23
74LS00 ==1
23
74LS323 4
74LS04
1 2
74LS04
1
23
74LS24
Demostración
X Y YX + YX ·
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
0
0
0
1
FORMAS CANÓNICAS
• Suma de productos (Mini términos)
( )( )( )( )cbacbacbacbaf ++++++++=1
• Producto de Sumas (Maxi términos)
cabcbacbacbaf +++=1
Formas Canónicas de una Formas Canónicas de una función (Ejemplo)función (Ejemplo)
A B C f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
CBA
CBA
CBA
CAB
Mini términos
Maxi términos
CBA ++CBA ++CBA ++
CBA ++
Formas Canónicas de una Formas Canónicas de una función (Ejemplo)función (Ejemplo)
No A B C f
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
Mini términos
Maxi términos
CABCBACBACBAf CBA +++=),,(
)6,5,4,0(),,( mf CBA ∑=
( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBAf CBA ++++++++=),,(
)7,3,2,1(),,( Mf CBA Π=
