ÁLGEBRA DE BOOLE

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Monografía Temas: Algebra de Boole. Teorema de Peano. Sistemas Axiomáticos. Alumnas: Barría, Verónica Gutiérrez, Gisela Rivero, Daniela Materia: fundamentos de la matemática Profesor: Castañiza Curso: 4° año Profesorado de matemática Año: 2012

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Monografía

Temas: Algebra de Boole. Teorema de

Peano. Sistemas Axiomáticos.

Alumnas: Barría, Verónica

Gutiérrez, Gisela

Rivero, Daniela

Materia: fundamentos de la matemática

Profesor: Castañiza

Curso: 4° año Profesorado de matemática

Año: 2012

Instituto superior de formación docente y técnica

N°44- Subsede Marcos Paz

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ÁLGEBRA DE BOOLE

El Álgebra de Boole tanto en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, matemático inglés, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto, publicado en 1847, en respuesta a una controversia entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

DEFINICIÓN

Una álgebra de Boole es una tripleta . Donde , y son operaciones

binarias y también operaciones internas en y además para cualquier se cumplen los siguientes axiomas:

1. Propiedad conmutativa:

2

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2. Propiedad asociativa:

3. Propiedad distributiva:

4. Propiedad de los neutros.

Existen tales que:

5. Se cumple la propiedad:

tal que:

Algunos autores al definir el Algebra de Boole, prescinden del axioma o Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y de la propiedad o Ley e Absorción.

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0 1 1

1 0 1

0 1 0

1 0 0

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COMO RETÍCULO

Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas:

1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad :

4. Ley de Cancelativo

5. Ley de Absorción

OPERACIONES

Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

OPERACIÓN SUMA

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a b a + b0 0 00 1 11 0 11 1 1

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La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

OPERACIÓN PRODUCTO

La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

Esta operación en lógica de

interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

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a b a b

0 0 00 1 0

1 0 0

1 1 1

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Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

OPERACIÓN NEGACIÓN

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

OPERACIONES COMBINADAS

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

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a

0 1

1 0

a b

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

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Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

LEYES FUNDAMENTALES

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

1. Ley de idempotencia:

2. Ley de complemento:

3. Ley conmutativa:

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4. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

Distributiva por la izquierda:

Distributiva por la derecha:

6. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8 Ley de dominación:

9. Leyes de De Morgan:

PRINCIPIO DE DUALIDAD

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El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

Adición Producto123456789

OTRAS FORMAS DE NOTACIÓN DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.

Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). Las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}

Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

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En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}

Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el

aspecto:

En esta notación las leyes de De Morgan serían así:

Otra forma en la teoría de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serian así:

Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:

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Todas estas formas de representación son correctas. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.

Teoría de Peano. Sistema axiomático.En matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Una teoría matemática es un sistema axiomático y, por tanto, todos los teoremas derivados de ellos. Un ejemplo de sistema axiomático deductivo es el sistema de Peano.

El sistema de Peano es un sistema de postulados a partir del cual puede deducirse toda la aritmética de los números naturales. Los primitivos de este sistema son los términos "0" (cero), "número" y "sucesor", de los cuales, por ser primitivos no se da definición alguna. Sin embargo, se entiende por "0" dicho número, el término "número" designa a los números naturales 0, 1, 2, 3,... exclusivamente, y con "sucesor" de un número natural n se refiere al número natural inmediato siguiente de n en el orden natural. El Sistema de Peano contiene los 5 postulados:

P1: 0 es un número.

P2: El sucesor de un número es siempre un número.

P3: Dos números nunca tienen el mismo sucesor.

P4: 0 no es el sucesor de número alguno.

P5: Si P es una propiedad tal que (a) cero tiene la propiedad P, y (b) siempre que un número n tenga la propiedad P el sucesor de también tendrá la propiedad P, entonces todos los números tendrán la propiedad P.

El último postulado entraña el principio de inducción matemática e ilustra claramente el alcance de una "verdad" matemática por convención. Se construye la aritmética fundamental sobre esta base, definiendo los diversos números naturales como el sucesor de cero ( 0‘ ), el sucesor del sucesor de cero( 0‘‘ ), y así hasta el infinito.

Luego, se establece la definición de suma, que expresa que la adición de un número natural a otro dado puede considerarse como la suma repetida de 1; esta última operación es fácilmente expresable por medio de la relación de sucesor:

(a) n + 0 = n; (b) n + k' = (n + k)'

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Pasando ahora a la multiplicación de los números naturales, se la puede definir por medio de la siguiente definición por recurrencia, que expresa de manera rigurosa que el producto n.k de dos números naturales puede ser considerado como la suma de k términos cada uno de los cuales es igual a n, en otros términos:

(a) n . 0 = 0; (b) n. k' = n. k + n

AXIOMAS DE PEANO

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.

Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).

El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

El 0 es un número natural.

Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

El 0 no es el sucesor de ningún número natural.

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

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Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

PRESENTACIÓN FORMAL

Como se dijo anteriormente, existe un debate sobre si incluir al 0 entre los números naturales o no. A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:

Cuando se excluye al 0

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son .

El símbolo designa un predicado monádico que pretende ser leído como "ser un número natural". El símbolo , por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo , finalmente, designa una función sobre x que

devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe .

Los cinco axiomas de Peano son:

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

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Definiciones de suma y multiplicación:

Axiomas de la suma y de la multiplicación:

Cuando se incluye al 0

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son .

Axiomas:

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es sólo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:

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Definiciones de suma y multiplicación:

Axiomas de la suma y de la multiplicación:

MODELOS ININTENCIONALES

Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado N como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que "el cero es un número natural". Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de 0, N y x', cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de los símbolos primitivos son un modelo de la aritmética de Peano.

Originalmente, los axiomas de Peano fueron diseñados para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos debían ser interpretados de esta manera natural. Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras reglas de designación (interpretaciones), algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, podría interpretarse al símbolo 0 como el número dos, a N como el predicado "ser un número par", y a x' como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas tendrían que entenderse así:

El dos es un número par

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Si n es un número par, entonces el sucesor del sucesor de n también es un número par

El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.

Si hay dos números pares n y m con el mismo sucesor de sucesor, entonces n y m son el mismo número par.

Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.

Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, podría interpretarse a 0 como el primer día de la creación, a N como el predicado "ser un día", y a x' como el día después de x. Bajo esta interpretación, los axiomas también resultan verdaderos.

A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define a la serie de los números naturales, sino a la noción más amplia de progresión.

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Bibliografía:

www.wikipedia.com

www.monografias.com

www.personales.ya.com

Enciclopedia Encarta

Enciclopedia Temática Océano

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