.

Operación AND Tabla de verdad. A B C 0 0 0

0 1 01 0 01 1 1

U1A

7408

1

23

Compuerta AND. C= AB

La operación AND Lógica también es conocida como multiplicación lógica. Para representarla se utiliza el punto o se omite el símbolo. A·B y AB es lo mismo.

La operación OR es conocida como la suma Lógica. Entrega un 1 siempre que al menos una de sus entradas reciba un 1 lógico.

Función OR lógica : 0+0=0, 0+1 =1, 1+0 =1 y 1+1 =1.

Representado en la tabla de verdad siguiente: A B C0 0 00 1 11 0 11 1 1

C= A+B

U3A

7432

1

23

Otras compuertas:

Existen variantes de las compuertas lógicas básicas como las que se muestran enseguida:

NOR Lógica NAND Lógica OR Exclusiva

A B C A B C A B C0 0 1 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 1 0 1 1 0

U5A

7400

1

23

U4A

7402

2

31

U6A

7486

1

23

Podemos observar en la NOR y NAND que son el complemento de la OR y AND respectivamente.

Representación de la Función OR y NAND a través de Switch.

Función OR. Función AND

A

B

1 2 BA 21

Estas se forman de la aplicación de las operaciones básicas para una o más variables o constantes.

Ejemplo: AB’ +C

Se utilizan paréntesis cuando es necesario, para especificar el orden en que las operaciones son ejecutadas.

Cuando no se utiliza el paréntesis, se ejecuta primero el complemento, después la operación AND y por último la suma.

Cada expresión lógica corresponde a un arreglo de compuertas.

B'

U9A

7432

1

23

C

U8A

7408

1

23 (AB' +C)BAB'

U7A

7404

1 2

A

Representación de (AB’+C).

Hacer el circuito que represente: (A(C+D) )’ +BE

Cada aparición de una variable o su complemento en una expresión se conoce como literal. La siguiente expresión tiene 3 variables y 10 literales.

abc’ + a’b + a’bc’ + b’c’

Una tabla de verdad o tabla de combinaciones especifica los valores de una expresión booleana para cada posible combinación de valores de las variables en la expresión.

Demostrar a través de una tabla de verdad que las siguientes expresiones son equivalentes:

AB’+C = (A+C) (B’+C)

( Representar cada uno de los términos de cada expresión y cada expresión).

Operaciones con el 0 y 1.1.- X+0 =X 1D. X·1 = X2.- X+1 = 1 2D. X·0 = 0

Leyes de Identidad

3.- X + X = X 3D. X· X = X

Ley de involución

4.- (X)’ = X

Ley de complemento

5.- X +X’ = 1 5D. X· X’= 0

Ley Conmutativa

6.- X+Y = Y + X 6D. XY = YX

Ley Asociativa

7.- (X+Y) + Z = X + ( Y + Z)= X + Y + Z 7D. (XY)Z = X(YZ) = XYZ

Ley distributiva

8.- X(Y +Z) = XY +XZ 8D. X+YZ = (X+Y) ( X+Z)

Teoremas de simplificación

9.- XY + XY’ = X 9D.(X+Y)(X+Y’) = X10.- X + XY = X 10D. X(X + Y) = X11.- (X+Y’)Y = XY 11D.XY’ + Y = X+ Y

Leyes de DeMorgan

12.- (X + Y +Z + ...)’ = X’Y’Z’ 12D. (XYZ ...)’ = X’ +Y’ + Z’ + ...13.- [f(X1,X2,. . . Xn,0,1,+,·)]’ = f(X1’,X2’,. . . Xn’,1,0,·,+)

Dualidad14.- (X+Y+Z+…)D = XYZ . . . 14D. (XYZ...)D = X +Y + Z + . . .15.- [ f( X1, X2, . . .Xn ,0,1,+,·)]D = f (X1,X2, . . ., Xn, 1, 0,+, ·)

Teorema de multiplicación y factorización.

16.- (X+Y) (X’ + Z) = XZ +X’Y 16D. XY+X’Z = (X+Z)(X’+Y)

Teorema Concensus

17.- XY +YZ+ X’Z=XY+X’Z 17D. (X + Y)(Y + Z)(X’+ Z) =(X + Y)(X’ + Z)

Demostración de: ( X + Y ) ( X + Z) = X+YZ

XX +XZ +XY +YZ =X(1 +Z +Y) +YZ = X + YZ.

Ejemplos: Simplificar: Z= A’BC+A’

Z= A’ (1 +BC) = A’

Simplificar: Z = (A+B’C +D +EF) (A+ B’C + (D + EF)’) X + Y X + Y’

Por 2-12D (X + Y) (X + Y’) = X

Z = X = A + B’C.

Simplificar:Z = (AB+C) (B’D +C’E’) + (AB + C)’ Y’ X + Y

Por 2-14D Z = X+Y = B’D +C’E’ + (AB +C)’

Desarrollar y simplificar:Z= (A + BC)( A + D +E) X + Y X + Z Por 8D. (X+ Y) (X + Z) = X+YZ = A + BC (D +E) = A +BCD +BCE

Se puede obtener también multiplicando y simplificando en base a factorizar A.

La siguiente expresión esta dada en suma de productos, A +B’CD: Pasarla a producto de sumas. Utilizar el teorema 8D.

A + B’CD = (X + Y) (X + Z) = (A + B’) ( A +CD)

(A + CD) = (A + C) (A + D)

Resultado: (A + B’) ( A + C ) ( A + D )

Convertir A producto de sumas la siguiente : C’D +C’E’ + G’H

C’(D + E’) + G’H = (C’ + G’H) ( (D + E’) + G’H) )(C’ +G’) ( C’ + H) (D + E’ + G’) ( D + E’ + H)

Simplificar:

a) ABC’ + (ABC’)’ d) AB’(C+D) +(C+D)’b) (AB +CD’)(AB +D’E) e) [ (EF)’ + AB + C’D’](EF)c) A +B’C +D’(A +B’C) f) ( AB+C) + ( D + EF) (AB + C)’

Desarrollar y obtener una suma de productos:

a) (A +B) (A + C’)(A + D) (BC’D + E)b) (A +B’ + C) (B’ + C + D) ( A’ + C)c) ( A +B’C + D’) (B’C +D’ + E) (A +E’) (AD + E’)d) (A’ + BE’) (BE’ + C + D) ( E + C’)

Factorizar y obtener un producto de sumas.

a) DE + F’G’b) WX’ + WY’Z’ + WYZc) A’CD + E’F + BCD

Obtener de los siguientes arreglos su expresión lógica y obtener el arreglo más simple posible.a)

U1A

7408

1

23

U9A

74AS32

1

23

X

U2A

7408

1

23

U6A

7404

1 2

U8A

7404

1 2

A

B

b)

U12A

74AS32

1

23 Y

B

U4A

7408

1

23A

B

BU5A

7408

1

23

AU7A

7404

1 2

U3A

7408

1

23

U10A

74AS32

1

23

B

U11A

74AS32

1

23

A

Simplificar las expresiones siguientes:

a) (A’B + c) (A’B + C)’b) (AB’ + C’ + DE’) (AB’ + C’)c) (CD’(A+B’) + CD’ (A + B’)’d) (CD +A’ + B’) (CD +A’ +B)e) (A’C +A’ +B’) (CD + A’ +B)

Inversion:

(X + Y)’ = X’Y’

(XY)’ = X’ + Y’

Obtener el inveso de F = A’B +AB’ ( Observar que pasa con respecto a la tabla de verdad).

Para cualquier combinación de A y B que F= 0, F’ será 1.

Concensus.

Abc’d +a’be +bc’de(a’ + b + c)(a+d)(b+c+d)ab’c+a’bd +bcd’ +a’bc

Eliminar terminos encontrando el concensus.

A’B’C+BC’D’ +A’CD + AB’D’ + BCD +AC’D’=

A’C’D + A’BD + BCD + ABC + ACD’=

A’C’D + BCD + ACD’

a’b’ +ac +bc’ +b’c + ab =

a’b’ + ac +bc’

Combinational Network Design Using a truth table

A B C F F’0 0 0 0 10 0 1 0 1 Si Escribimos F en función de los 1’s tenemos:0 1 0 0 1 F= A’BC+AB’C’+AB’C+ABC’+ABC0 1 1 1 01 0 0 1 0 Si simplificamos tendríamos:1 0 1 1 0 F= A’BC+ A( B’C’+B’C+ BC’ +BC)1 1 0 1 0 F= A’BC+ A( B’ (C’ +C) + B(C’+C))1 1 1 1 0 F=A’BC+A=A+BC.

También se puede expresar F en función de los 0’s lo cual quedaría:

F= (A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C) X Y X Z (A+B + CC’)(A+B’+C)

F=(A+B)(A+B’+C)

F’= A’B’C’ + A’B’C + A’BC’

Expansión de Maxitérminos y MinitérminosA B C Minitérminos Maxitérminos0 0 0 A’B’C’=m0 A+B+C=M0 0 0 1 A’B’C= m1 A+B+C’=M1

0 1 0 A’BC’=m2 A+B’+C=M2

0 1 1 A’BC=m3 A+B’+C’=M3

1 0 0 AB’C’=m4 A’+B+C=M4

1 0 1 AB’C=m5 A’+B+C’=M5

1 1 0 ABC’=m6 A’+B’+C=M6

1 1 1 ABC=m7 A’+B’+C’=M7

Para el ejemplo anterior se tiene:

F(A,B,C)= m3 + m4 +m5 +m6+ m7

F(A,B,C)= ∑m (3,4,5,6,7)

F’= es 1 para las combinaciones de entrada.

ABC = 000,001 y 010, así tenemos que:

F’= A’B’C’+ A’B’C+ A’BC’

Un minitermino de n variables es un producto de n literales en el cual cada variable aparece exactamente una vez en forma complementada o sin complementar, pero no ambas.Cuando una función F es escrita como una suma de miniterminos, esto se conoce como una expansión de miniterminos o una suma estándar de productos.Si F=1 para la fila i de la tabla de verdad, entonces m i debe estar presente en la expansión de miniterminos porque mi=1 solamente para la combinación de valores de las variables correspondientes a la fila i de la tabla.

F (A,B,C) = m3+m4+m5+m6+m7

Un maxitérmino de n variables es una suma de n literales en la cual cada variable aparece una sola vez en forma complementada o sin complementar, pero no en ambas. Cada maxitérmino tiene un valor de 0 para exactamente una combinación de valores para A, B y C. Así si A= B = C= 0, A+B+C=0; si A=B=0 y C=1, A+B+C’=0; etc. Se utiliza la notación M . Cada maxitérmino es el complemento de su minitérmino correspondiente Mi=mi’.

Cuando una función F es escrita como un producto de maxitérminos, esto se conoce como expansión de maxitérminos o producto de sumas estándar. Si f=0 para la fila i, de la tabla de verdad, entonces Mi debe estar presente en la expansión de maxitérminos porque Mi =0 solamente para cada combinación de valores de las variables correspondiente a la fila i de la tabla.

La ecuación f de la tabla anterior puede describirse como:

F(A,B,C) = M0 M1 M2

F(A,B,C) = ∏ M (0,1,2)

Dado que si F≠1, F=0, esto indica que si Mi, no esta presente en la expansión de minitérminos de F, entonces Mi estará presente en la expansión de maxitérminos.

Así F’= m0 +m1 +m2= ∑m (0,1,2).F’= ∏M (3,4,5,,6,7) = M3 M4 M5 M6 M7

F’= (m3 + m4 + m5 + m6 + m7)’ = m3’m4’m5’m6’m7’= M3 M4 M5 M6 M7

Del mismo modo: F’= ( M0 M1 M2)’= M0’ + M1’ + M2’ = m0 + m1 + m2

Encontrar la expansion de minitérminos de:

F= a’b’ + a’d + acd’ ( Multiplicar por x + x’ los términos, donde hace falta la literal x.

F= a’b’ ( c+c’) (d+d’) + a’d (b+b’)(c+c’) + acd’(b+b’)

Si tenemos F = (a’ +c) (a’ + d) ( a+b’+ d)

Encontrar su expansión de maxitérminos.

( Agragar dentro de cada paréntesis la variable que hace falta xx’, lo cual no altera la función).

Desarrollar:

F= (a’+bb’ + c + dd’) (a’+bb’+cc’+d) (a+b’+cc’+d).

(a’+b+c+dd’)(a’+b’+c+dd’)(a’+b+cc’+d)(a’+b’+cc’+d).(a’+b+c+d)(a’