Autor:Albbanys Campos

CI.25569567

Algebra de probabilidad

Las situaciones aleatorias son aquellas que no se pueden predecir con certeza. Sin embargo, probabilidad, una medida de qué tan probable es que una situación aleatoria resultará de una manera particular, podemos ser capaces de hacer algunas predicciones sobre esas situaciones. Por ejemplo, muchos juegos usan dados o ruletas para generar números aleatoriamente. Si entendemos cómo calcular las probabilidades, podemos tomar decisiones informadas sobre cómo jugar esos juegos conociendo las probabilidades de varios resultados.

INTRODUCCIÓN

Primero necesitamos introducir algunos términos. Cuando trabajamos con probabilidad, una acción aleatoria o serie de acciones se llama experimento. Un resultado es la consecuencia de un experimento, y un evento es una colección particular de resultados. Los eventos usualmente son descritos usando una característica común de los resultados. Apliquemos este lenguaje para ver cómo funcionan los términos en la práctica. Algunos juegos requieren lanzar un dado de seis lados, numerado del 1 al 6. La tabla siguiente ilustra el uso de experimento, resultado, y evento en ese juego:

DEFINIENDO EVENTOS

Un evento  simple es un evento con un solo resultado. Sacar un 1 sería un evento simple, porque existe sólo un resultado que funciona: 1. Sacar más que 5 también sería un evento simple, porque el evento incluye sólo al 6 como un resultado válido. Un evento compuesto es un evento con más de un resultado. Por ejemplo, lanzar un dado de 6 lados y sacar un número par: 2, 4, y 6. Cuando lanzamos muchas veces un dado de 6 lados, no debemos esperar que un resultado ocurra más frecuentemente que otro. Los resultados en esta situación se dice que son igualmente probables. Es muy importante reconocer cuándo los resultados son igualmente probables cuando calculamos probabilidades. Como cada resultado en el experimento de lanzar los dados es igualmente probable, esperaríamos obtener cada resultado de los lanzamientos. Eso es, esperaríamos que salga 1 en   de los lanzamientos, 2 en   de los lanzamientos, 3 en  de los lanzamientos y así sucesivamente.

Un evento es normalmente descrito usando características comunes de los resultados, si es posible, como lanzar un dado un número par de veces. El espacio de eventos, sin embargo, es una lista de todos los resultados en un evento, como {2, 4, 6}. El espacio muestral consiste de todos los resultados posibles, no sólo aquellos del evento.

PROBABILIDAD DE EVENTOS

La probabilidad de un evento es la frecuencia con que se espera que ocurra. Cuando todos los resultados posibles de un experimento son igualmente probables, la probabilidad es la relación entre el tamaño del espacio de eventos (los resultados en el evento) y el espacio muestral (todos los posibles resultados del experimento). La probabilidad de un evento E normalmente se escribe P(E).

Cuando un experimento consiste en más de un elemento aleatorio, el número de resultados en el espacio muestral es igual al producto de el número de resultados para cada elemento aleatorio. Ejemplos

·         Lanzar dos dados de 6 lados: Cada dado tiene 6 resultados igualmente probables, entonces el espacio muestral es 6 • 6 o 36 resultados igualmente probables.

·         Lanzar tres monedas: Cada moneda tiene 2 resultados igualmente probables, por lo que el espacio muestral es 2 • 2 • 2 u 8 resultados igualmente probables.

·         Lanzar un dado de 6 lados y una moneda: El espacio muestral es 6 • 2 o 12 resultados igualmente probables

EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.

De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.

Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.

Auxiliándonos de un diagrama de árbol.

⅓

AS

AS

AS

A1

S1

A2

S2

A2

S2

⅓

⅓⅔

⅔

⅔

P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

PROBABILIDAD MARGINAL

Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.

En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:

Evento A1 A2 Total

B1 40 60 100

B2 15 20 35

Total 55 80 135

Eventos Característica

A1 Largo

A2 Corto

B1 Punta plana

B2 Punta de Cruz

Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135.

Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n

Considérese que únicamente nos interesa conocer la probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1, P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa que el subíndice correspondiente al evento B permanece constante en la suma del numerador n11+n21..Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier evento Bj puede calcularse P(Bj)=Ʃi=1

nnij/ns, pero Ʃi=1nnij/ns=Ʃi=1

nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1nP(Ai∩Bj).

En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual a la suma de probabilidades conjuntas del evento Bj y los eventos Ai, la suma se realiza sobre los eventos Ai.También se puede determinar la probabilidad marginal de cualquier evento Ai: P(Ai)=Ʃj=1

nP(Ai∩Bj), en este caso la suma se realiza sobre los eventos Bj.Se puede demostrar que la suma de probabilidades marginales de los eventos Ai, o de los eventos Bj, es igual a uno, como se demuestra a continuación:

P(A1)=55/135=0.4075 yP(A2)=80/135=0.5925Por lo tanto Ʃi=1

2P(Ai)=1P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1

P(B1)=100/135=0.74 yP(B2)=35/135=0.26Por lo tanto Ʃi=1

2P(Ai)=1P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTESRegresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B). Si los eventos A y B son independientes entre sí, esto significa que la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad condicional sería igual a la probabilidad de ocurra cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B).

Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta, tenemos P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean eventos independientes entre sí y se le denomina Ley de multiplicación de eventos independientes.

Ejemplo: En una Olimpiada compiten tres arqueros para la final, la probabilidad de que den en el blanco son 1/2, 1/3 y 1/6. Si la final se define con un solo tiro por arquero. Calcular la probabilidad de que:a) Sólo uno de en el blanco, b) los dos primeros den en el blanco y el tercero no y c) Ninguno da en el blanco.

Solución: a) Si i=1, 2, 3 es el orden de los tiros al blanco, se establecen los siguientes eventos: A={Sólo un arquero da en el blanco}, Ai={El arquero Ai da en el blanco} y Ai

c={El arquero Aic

no da en el blanco}.

P(A)=P[(A1∩A2c∩A3

c)U(A1c∩A2∩A3

c)U(A1c∩A2

c∩A3)] =P(A1)P(A2

c)P(A3c)+P(A1

c)P(A2)P(A3c)+P(A1

c)P(A2c)P(A3)

P(A)=(1/2)(2/3)(5/6)+(1/2)(1/3)(5/6)+(1/2)(2/3)(1/6)=0.4722b) B={el primero y el segundo arqueros dan en el blanco y el tercero falla} P(B)=P(A1∩A2∩A3

c)=P(A1)P(A2)P(A3c) P(B)=(1/2)(1/3)(5/6)=5/36=0.1388

c) B={El primero, el segundo y el tercer arqueros fallan} P(C)=P[(A1

c ∩ A2c

∩A3c)=P(A1

c)P(A2c)P(A3

c)=(1/2)(2/3)(5/8) P(C)=10/36=0.277

TEOREMA DE BAYESConsiderando P(Ai) como la probabilidad a priori de los eventos Ai, y se

requiere conocer una probabilidad a posteriori de cada uno de ellos, dado que ya conocemos el evento B, Ak representa a cualquiera de los eventos Ai.

P(Ak|B)=P(Ak∩B)/P(B), como P(Ak∩B)=P(Ak)P(B|Ak) y la probabilidad total de B es P(B)=Ʃi=1

nP(Ai∩B), tenemos: P(Ak|B)=[P(Ak)P(B|Ak)]/[Ʃi=1nP(Ai)P(B|Ai)]

Esta última expresión se conoce como Teorema de Bayes, que establece la probabilidad de un evento particular Ak de los eventos Ai, dado que ya sucedió el evento B, expresada en términos de probabilidad condicional.

Ejemplo: En una escuela el 5% de los hombres y el 2% de las mujeres tienen más de 1.8m de estatura. Además el 60% de los estudiantes son mujeres. Se selecciona al azar un estudiante para que realice una determinada función en el comité de seguridad del plantel, ¿Qué probabilidad hay de que: a) sea estudiante con estatura mayor de 1.8m? b) ¿sea mujer dado que tiene una estatura mayor de 1.8m?

Solución: Se define los eventos A1={estudiante mujer}, A2={estudiante hombre} y B={estatura mayor a 1.8m}Datos: P(A1)=0.6, P(A2)=0.4, P(B|A1)=0.02 y P(B|A2)=0.05.

Gracias por su

atención