Algebra de Vectores
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ÁLGEBRA DE VECTORES
VECTORES EN EL PLANO________________________________________2
Operaciones con vectores._______________________________________4
Propiedades de las operaciones con vectores________________________6
Vector unitario_________________________________________________6
Vectores unitarios canónicos_____________________________________7
VECTORES EN EL ESPACIO______________________________________8
Distancia entre dos puntos_______________________________________8
Vectores en el espacio__________________________________________9
Operaciones con vectores en el espacio____________________________9
Producto escalar_______________________________________________9
Propiedades algebraicas del producto escalar_______________________10
Ángulo entre dos vectores_______________________________________10
Dirección de un vector en el espacio______________________________11
Proyección de un vector________________________________________12
Producto vectorial_____________________________________________14
Propiedades del producto vectorial________________________________15
Producto escalar triple._________________________________________20
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
1
VECTORES EN EL PLANO
Un vector es como una flecha, y tiene una dirección y una longitud. Utilizamos vectores cuando queremos representar cantidades como una velocidad o una fuerza, que poseen tanto dirección (hacia donde van o empujan) como una magnitud o tamaño, que corresponden a su longitud.
ejemplos de vectores
Cada vector tiene un punto de inicio y uno final . En el plano, y respectivamente. Podemos considerar al vector de desplazamiento como el
segmento de recta dirigido desde P1 a P2 ó
La longitud del vector (magnitud o norma) la podemos calcular usando la
fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano x-y. Se denota por
1
1
P2(x2,y2)
P1(x1,y1) |y2-y1|
|x2-x1|
Un vector como un segmento de recta dirigido
La dirección del vector es el ángulo que forma con respecto a la horizontal. En el plano x-y, tomando como referencia el semieje x positivo y midiendo el ángulo
en sentido antihorario ( al reves del sentido de las manecillas del reloj), lo calculamos mediante la identidad trigonométrica
entonces
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
2
1
1
P2(x2,y2)
P1(x1,y1) |y2-y1|
|x2-x1|
es el ángulo de dirección del vectorDos vectores son equivalentes si ambos tienen la misma longitud o magnitud y la misma dirección. Esto es, no importa su posición en el plano.
1
1
u
v
w
los vectores u, v y w son equivalentesAl vector cuyo punto de inicio es el origen del sistema coordenado se dice que está en posición canónica.
Usualmente se denota un vector por una letra en negritas (bold): u, v, w ó
mediante una flecha encima del nombre del vector. .
Un vector en el plano tiene dos componentes, una horizontal (en la misma dirección que el semieje positivo x) y la otra vertical ( en dirección al semieje positivo y). Para el vector que va del punto al punto las
componentes son los números u1 y u2. .
u
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)u2= y2-y1
u1=x2-x1
y
x
uP(u
1,u
2)
componentes del vector
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
3
Si el vector está en la posición canónica entonces las componentes coinciden con las coordenadas del punto final del vector.
Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.
Si y entonces
Ejemplo: Hallar las componentes y calcular la longitud del vector con punto inicial P(-2, 1) y punto final Q(1, 5). Dibujar el vector en posición canónica.
Solución: las componentes de u son y ó
, la magnitud o longitud del vector es
-2 1
5
P
Q
u
3
u
en posición canónica
y
x
Operaciones con vectores.Aún y cuando los vectores no son números sus componentes si lo son, entonces podemos realizar algunas operaciones como sumar, restar o multiplicar vectores.
Sean y vectores en el plano y c un escalar.
Suma: es el vector cuyas componentes son
u
v
y
x
y
xu
v
en posición canónica
y
xu
v
u + v
Método del paralelogramo
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
4
Multiplicación de vector por escalar: es el vector con componentes ,
el vector se denomina múltiplo escalar de
u
2u
0.5u
-1.5u
-u
-0.25u
Múltiplos escalares de
Cuando multiplicamos un vector por un escalar c el resultado es un vector
paralelo a pero |c| veces la longitud de . Si c es negativo entonces tiene
dirección opuesta al vector . Si c = 0, entonces es un vector con magnitud
igual a cero, o vector cero: .
Sea el múltiplo escalar de tal que entonces la
magnitud del vector v es
(c veces la magnitud de )
Si multiplicamos un vector por el escalar -1, entonces obtenemos el negativo del vector ( un vector paralelo del mismo tamaño, pero en dirección opuesta )
.
Diferencia. es el vector cuyas componentes son , restar el
vector de es equivalentye a sumar al vector el negativo de .
u
v
y
x
y
xu
v
en posición canónica
y
xu
v
Como diagonal del paralelogramo
u-v
M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III
5
u
v
y
x
u
y
x
-v
Trasladamos -v al punto final de u
u
y
x
-v
Como resultante de la suma de u y -v
u-v
Propiedades de las operaciones con vectores:Sean vectores en el plano y c y d escalares.
Propiedad conmutativa:
Propiedad asociativa:
Propiedad distributiva:
Identidad:
Inverso aditivo: vector cero:
Vector unitario. Es un vector de magnitud igual a uno.
Para encontrar un vector unitario en la misma dirección a un vector dado
buscamos un múltiplo escalar de que tenga magnitud 1. Esto es
donde o sea que , por lo tanto .
Cuando multiplicamos un vector por el recíproco de su norma o magnitud decimos que normalizamos el vector.
Si conocemos el ángulo de dirección del vector , el vector unitario en
dirección de es
||u||u2
u1
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Vectores unitarios canónicos. En el plano existen dos vectores unitarios en
dirección de las ejes coordenados y son y . Cualquier vector en
el plano se puede representar como una combinación lineal de los vectores i y j.
Por ejemplo el vector , v1 y v2
son las componentes horizontal y vertical respectivamente del vector
x
y
v=<v1,v2>
i
j
v1i
v2j
Ejemplo: El vector
x
y
i
j
-2i
4j
v= - 2i+4j
Si conocemos la longitud y dirección de un vector sus componentes son:
Ejemplo: Las componentes del vector de longitud 5 y con dirección
(ángulo en radián)
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VECTORES EN EL ESPACIOSi al plano xy le trazamos por el origen un eje perpendicular z tendremos un sistema de coordenadas tridimensional. Cada dos ejes forman un plano coordenado que divide al espacio en ocho regiones u octantes.
z
y
x
Pla-no xz
Pla-no xy
Pla-no yz
z
y
x
Pla-no xz
Pla-no xy
Pla-no yz
Sistema de coordenadas tridimensionales Primer octante
Un punto P en el espacio está determinado por un trío o terna ordenada de
números reales (x,y,z) donde x,y, z representan las distancias dirigidas de los planos yz, xz, xy al punto P respectivamente.
y
z
x
P
Plano xz
Plano yz
Plano xy
y
z
x
y
z
x
P(1,2,3)
3
1
Plano xz
Plano yz
Plano xy
2
Coordenadas x,y,z como distancias dirigidas Posición del punto P(1,2,3)
Distancia entre dos puntos
La distancia entre los puntos y
2 2 2( , , )Q x y z la calculamos
mediante la fórmula:
Ejemplo: Calcule la distancia entre los puntos P(1,2,3) y Q(3,1,5).Solución:
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8
y
z
x
Q(x2,y
2,z
2)
Q´1
P(x1,y
1,z
1)
P'x2-x
1
y2-y
1
z2-z
1
Vectores en el espacio
Un vector en el espacio se denota por medio de un trío ordenado:
Vector de desplazamiento de a 2 2 2( , , )Q x y z :
Vector cero:
Vectores unitarios canónicos: ˆˆ ˆ1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k Vector como combinación lineal de vectores unitarios canónicos:
Operaciones con vectores en el espacio.
Sean y vectores en el espacio y c un escalar.
Suma:
Resta:
Múltiplo escalar:Las propiedades de la suma y multiplicacion de vector por escalar para vectores en el plano se aplican de la misma forma para vectores en el espacio.
Producto de dos vectores
Ya vimos como multiplicar un vector por un escalar. Tambien podemos multiplicar dos vectores y existen dos formas distintas de hacerlo
El producto escalar ( o producto interno ó producto punto) nos dá como resultado un escalar.
El producto vectorial ( ó producto cruz ) cuyo resultado es un vector.
Producto escalar. Sean y vectores en el plano, el
producto escalar de y , denotado por se obtiene sumando los productos de las componentes correspondientes.
Para los vectores en el espacio y :
Ejemplos:
para , , , ˆˆ ˆ1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k
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Propiedades algebraicas del producto escalar
Sean vectores en el plano o en el espacio y c un escalar.
1. Propiedad conmutativa :
2. Propiedad distributiva :
3.
4.
5.
podemos ver que no está en la lista la propiedad asociativa que nos diría que
, pero esto no es posible. ¿Por qué?
El producto escalar solo puede efectuarse entre vectores, cuando multiplicamos
obtenemos como resultado un escalar por lo tanto no se puede
realizar.
Ángulo entre dos vectores
Sean vectores no nulos y el ángulo
entre ellos, los vectores forman un triángulo ¨con lados de longitud
repectivamente.
Por la ley de los cosenos tenemos que:
Por las propiedades del producto escalar:
sustituyendo en la ley de los cosenos y simplificando:
despejamos cos :
cuando conocemos la magnitud de los vectores y el ángulo entre ellos, una forma de calcular el producto escalar es
definición geométrica del producto escalar
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u
v
v-u
dado que ambos son positivos para vectores no nulos entonces el cos determina el signo del resultado del producto punto.
u v
u
v
u
v
u
v
u
v
Cuando dos vectores forman un ángulo de 90 (/2 rad) se dice que son ortogonales.
Si dos vectores son ortogonales entonces
ó tambien si entonces son ortogonales.
Dirección de un vector en el espacio
Un vector en el espacio cuando está en su posición canónica forma ángulos
con los ejes coordenados. Considerando a , y como los ángulos que forma
el vector con los vectores unitarios canónicos respectivamente,
denominados ángulos de dirección o ángulos directores del vector.
cosenos directores de
Si normalizamos el vector obtenemos
Y, puesto que la longitud de un vector normalizado es 1, entonces ó
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z
y
x
k
ji
v
Ejemplo: Calcular los ángulos directores del vector
Solución:
, ,
Proyección de un vectorEn ocaciones es util descomponer un vector en la suma de dos vectores ortogonales cuando queremos ver el efecto del vector en una dirección determinada. Por ejemplo, un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado.
Debido a la acción de la gravedad sobre la masa del objeto, el peso empuja el cuerpo contra el plano inclinado mientras que, al mismo tiempo, hace que tienda a desplazarse hacia abajo de la rampa,
formando los 2 vectores ortogonales y
.
El vector es la proyección del vector en la dirección del plano. Si tenemos
un vector el cual que nos indica la direccion de la rampa, entonces es la
proyección del vector sobre , y se le conoce como el vector componente
de en dirección de mientras que es el vector componente de
ortogonal a .
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z
y
x
k
ji
v
3
-45
w2
w1
P
Sean dos vectores no nulos y . Donde
, es un múltiplo
escalar de de tamaño
de donde entonces
tenemos que (vector componente de en dirección de .)
y ( vector componente de ortogonal a .)
Ejemplo: Encuentre los vectores componentes del vector en la
dirección de y ortogonal a .
,
Trabajo. Cuando una fuerza de magnitud f= actúa sobre un objeto a
traves de una distancia d= , el trabajo realizado por la fuerza para desplazar el
objeto es W=fd
Siempre y cuando la fuerza y el desplazamiento estén en la misma
dirección
dF
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u
vw1
w2
y
x
v
u
w1
w2
¿Qué pasa si la fuerza y el desplazamiento no están en la misma dirección? Esto quiere decir que entre los dos vectores existe un ángulo tal que
d
F
ProydF
donde podemos ver en la figura que , por lo
tanto
;
el trabajo W es igual al producto escalar de la fuerza y el desplazamiento .
Ejemplo: un niño tira de un carrito con una fuerza de 20 libras en un ángulo de 30con respecto al suelo. ¿Cuál es el trabajo realizado para desplazarlo 50 pies?
Solución: la proyección de la fuerza en dirección del desplazamiento tiene una
magnitud de de manera que el trabajo es igual a
.
Producto vectorial. Sean y vectores en el
espacio. El producto vectorial ( o producto cruz) de los vectores es el vector
Esta expresión es más fácil de recordar si la escribimos como un determinante de 3x3 con los vectores unitarios canónicos en el primer renglón y los
componentes de en los renglones 2 y 3 respectivamente.
y lo resolvemos por expansión de cofactores
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50 pies
F=20 lb
Ejemplo: Sean y , calule a.b.
Solución:
a.
b.
Propiedades del producto vectorial.Sean , y vectores en el
espacio, el ángulo entre y sea c un escalar.
Algebraicas1.
2.
3.
4.
5.
6.
Geométricas1. el vector es ortogonal tanto a como a .
2.
3. si es un múltiplo escalar de , entonces
4. es igual al área del paralelogramo que tiene como lados
adyacentes a .
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z
x
y
v
u
uxv
vxu
Demostración: La propiedad algebraica 1: .
Las propiedades algebraicas 4 y 5: ,
La propiedad geométrica 3: Si es un múltiplo escalar de (), entonces
( usando las propiedades algebraicas 3 y 5)
La propiedad aritmética 6:
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La propiedad geométrica 1: el vector es ortogonal tanto a como a .
Dos vectores no nulos son ortogonales si , entonces
, el vector es ortogonal a
, el vector es ortogonal a .
Las propiedades geométricas 2 y 3: y
es igual al área del paralelogramo que tiene como lados
adyacentes a .
El área del paralelogramo ABCD es igual al producto
de su base por la altura h.
, donde la altura h es el lado opuesto al ángulo
en el triángulo rectángulo ABE de hipotenusa igual a .
De la razón trigonométrica despejamos h y
la sustituimos en la fórmula del área:
.
es el ángulo que forman los vectores , por lo tanto ,
sabemos tambien que ,
, si lo sustituimos en la fórmula del área del
paralelogramo tenemos que
.
Desarrollando los términos de la raiz:
.
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u
v
h
base
altura
Area=(base)(altura)
A
B
C
D
E
reacomodando términos y reordenando factores tenemos que
por lo tanto el área del paralelogramo es igual a
de la definición de producto vectorial:
, la norma del vector es
.
Ejemplo: Encuentre un vector de magnitud 3 ortogonal a los vectores y .
Solución:el vector es ortogonal tanto a como a ,
el vector es paralelo a .
Ejemplo: Calcular el área del paralelogramo con lados adyacentes
y
Solución:
El área del paralelogramo:
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Ejemplo: Calcular el área del triángulo con vértices en los puntos A(0,0,0), B(1,4,3) y C(4,-2,5)
Solución:
tomamos los vectores y
como los lados adyacentes
del triángulo ABC. Calculamos el área del triángulo como:
Momento de una fuerzaCuando aplicamos una fuerza sobre un punto Q de una palanca que contiene al punto P. Ésta fuerza genera un momento de fuerza que es normal al plano
que forma la palanca con la fuerza , y cuya magnitud mide la tendencia
de la palanca en girar en torno a un eje dirigido al vector en el punto P.
El momento de fuerza está dado por
con magnitud
con como el ángulo entre los vectores y .
Ejemplo: Se emplea una fuerza de 30 lb sobre la llave para aflojar una tuerca como se muestra en la figura. Calcular la magnitud del momento respecto al punto P al tiempo de que el ángulo entre los vectores y es de 60. La longitud de la llave es de 10 pulg. (1 pie = 12 pulg)
Solución:
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x
y
z
v u
A
B
C
PQ
F
M
P
Q
P
Q
F
PQPQxF
Producto escalar triple.
Dados , y tres vectores en
el espacio, cuando combinamos el producto vectorial y el producto escalar
tenemos lo que se denomina producto escalar triple o
producto mixto.
Podemos calcular el producto escalar triple mediante una determinante
Ejemplo: Calcular el producto mixto de los vectores , y
Solución:
Si los vectores no son coplanares, cuando comparten el mismo punto de inicio forman entonces los lados adyacentes de un paralelepípedo cuyo volumen está dado por
donde la base es el paralelogramo formado
con los vectores tal que
y la altura es igual a la longitud de la proyección del vector sobre el vector , tal como se muestra en el dibujo.
De manera que el volumen del paralelpípedo es igual a
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u
w
v
uxv
area de la base: ||uxv||
h
h=||w||cos
Volumen = ||uxv|| ||w|| cos
El producto escalar triple de los vectores es igual al volumen del paralelepípedo con esos tres vectores como sus lados adyacentes
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