REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGA DE LA VICTORIA LA VICTORIA. ESTADO ARAGUA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS

LGEBRA ELEMENTALCURSO PREPARATORIO

LUIS E. CAPACE P.OCTUBRE - 2006

Productos Notables:Vamos a familiarizarnos con algunos productos de polinomios que son de uso corriente. Ejemplo 1: Calculemos ( x + 2) 2 Por definicin de cuadrado de una expresin ( x + 2) 2 = ( x + 2)( x + 2) . Luego, x+2 x+2 x2 + 2x 2x + 4x2 + 4x + 4

Por lo tanto ( x + 2 ) = ( x + 2)( x + 2) = x 2 + 4 x + 4 Ejemplo 2: Calculemos ( x + 5) 2 . Como ya sabemos, x+5 x+5 x 2 + 5x 5 x + 252

Luego, (x + 5) = ( x + 5)( x + 5) = x 2 + 10 x + 25 Ejemplo 3: Calculemos ahora, ( x + a) 22

x 2 + 10 x + 25

x+a x+a x 2 + ax ax + a 2

Luego,

(x + a )2 = x 2 + 2ax + a 22

x 2 + 2ax + a 2

Puedes observar que (x + a ) se calcula, de manera sencilla, sumando el cuadrado de x ( x 2 ) con el doble producto de a por x ( 2ax ) con el cuadrado de a (a 2 ) D Cax

a2

a xB 1

x2

ax

A

x

a

El rea del cuadrado ABCD se puede calcular de dos formas: 2 El rea del cuadrado ABCD es (x + a ) El rea del cuadrado ABCD es x 2 + ax + ax + a 2 = x 2 + 2ax + a 2 Ejemplo 4: Calculemos 2 x 2 + 3 As 2 x 2 + 3 = (2 x 2 ) 2 + 2.3(2 x 2 ) + 32 = 4 x 4 + 12 x 2 + 9 Ejercicio : Desarrollar: 2 2 1. ( x + 1) 2. (2 x + 3)

(

)

(

)

2

2

3. (3x + a )

2 2

4. y + 73

(

)

2

5. x + a2 2

(

2 2

)

x 1 6. + 2 3

2 1 7. x + 5 3 Analicemos ahora otra situacin:Ejemplo 5: Calculemos (x a )2

3 8. + x 2 4

2

m 3 n 2 mn 4 9. z2 + 2

2

xa xa x 2 ax ax + a 2 x 2 2ax + a 2

Por lo tanto,

(x + a )2 = x 2 2ax + a 22

Puedes observar que (x a ) se calcula, de manera sencilla as, x cuadrado ( x 2 ) menos el doble producto de a por x ( 2ax ) , ms el cuadrado de a (a 2 ) x C D

(x a )2a( x a)

a2

A B ( x a) El rea del cuadrado ABCD se puede calcular de dos formas: El rea del cuadrado ABCD = x 2 2 El rea del cuadrado ABCD = ( x a ) + a ( x a ) + a ( x a ) + a 2 = ( x a ) + 2a ( x a ) + a 22

= ( x a ) + 2ax a 22

= (x a ) + 2ax 2a 2 + a 22

2

Por consiguiente, x 2 = ( x a ) + 2ax a 2 ( x a ) 2 = x 2 2ax + a 22

de lo que se deduce que

Ejemplo 6: Calculemos 3 x 3 2 As 3x 3 2 2 = 3x 3 2 2.2 3x 3 + 2 2

(

(

) ( )6

)

2

( )

= 9 x 12 x + 4 Ejercicio 2: Calcula los siguientes productos:3

1. ( x 5)

2

2.2

(2 x 3)2

3. (5 x a )

2 2

4. x 42

(

)

5.2

(x

2

a

2 2

)

x 1 6. 3 4

4 2 7. x 3 5

2 8. x 3 5

2

a 3b 5 a 2 9. mn 3 6

2

Con el siguiente ejemplo, veamos otro caso.Ejemplo 7: Calculemos

(x a )(x + a ) el calculo ser como sigue:xa xa x 2 ax + ax a 2

x2

a2

Por lo tanto

(x a )(x + a ) = x 2 a 2

Puedes observar que este tipo de producto se calcula de manera sencilla, como x al cuadrado ( x 2 ) menos a al cuadrado (a 2 ) .Ejemplo 8 : Calculemos 3x 2 5 y 3 3x 2 + 5 y 3

As

( (3x

2

5 y3

)( )(3x

2

+ 5 y3

) ) = (3x ) (5 y )2 2

3 2

= 9 x 4 25 y 6

Ejercicio 3: Calcula los siguientes productos:

1. ( y + 3)( y 3) 1 3 1 3 4. x 2 + x 2 5 2 5 2

1 1 2. x + x 2 2 3 3 5. 2x3 y 3 2x3 y 3 5 5

3. x 2 + p3 x 2 p3

(

)(

)

5 2 ab4 5 2 ab4 6. a b c + c a b c c 3

Con los siguientes ejemplos definamos el siguiente caso:Ejemplo 9: Calculemos: (x + 3)( x + 4)

x+3 x+4 x 2 + 3x 4 x 12Por lo tanto (x + 3)( x + 4 ) = x 2 x 12Ejemplo 10: Calculemos: ( x 2)( x 4) Procedemos as,x 2 x 12

x2 x4 x2 2x 4x + 8x 2 6x + 8

Por lo tanto (x 2)( x 4) = x 2 6 x + 8Ejemplo 11: Calculemos: ( x + a )( x + b ) Procedemos as,

x+a x+b x 2 + ax + bx + ab x 2 + (a + b) x + ab

Por consiguiente:

(x + a )(x + b ) = x 2 + (a + b) + ab

De forma sencilla se puede calcular as: Al cuadrado de x ( x 2 ) le sumamos el producto de x por la suma de a + b ( x( a + b) ) y el producto de ab .Ejercicio 3: Calcula los siguientes productos:

1. (y + 3 )( y 5)

2. (x 2 1)(x 2 + 2)

3. 6.

(x + 4)(x + 5)

x 1 x 2 4. (2 x 3 8)(2 x 3 3) 5. + 3 2 3 5 7. (2 + 3x )( 7 + 3x )

(m n3

2

2n )(m 3 n 2 + 5n )

4

Ejemplo 12: Calculemos ahora (x + a )

3

Desarrollndolo de la siguiente manera: (x + a )3 = (x + a )(x + a )2= (x + a ) x 2 + 2ax + a 23 2 2

(

)2

= x + 2ax + xa + ax + 2a 2 x + a 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3

As tenemos que

(x + a )3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3

Ejemplo 13: Desarrollar 2 x 2 + 5 Utilizando la frmula anterior se tiene:

(

)

3

(2 x

2

+ 5) = (2 x 2 ) + 3.5(2 x 2 ) 2 + 3.52 (2 x 2 ) + 533 3

= 8 x 6 + 15.4 x 4 + 3.25(2 x 2 ) + 125 = 8 x 6 + 60 x 4 + 150 x 2 + 125

De igual forma

(x a )3 = x 3 3ax 2 + 3a 2 x a 33

x2 5 Ejemplo 14: Calcular 3 2

x2 5 x2 5 x2 5 = + 3 3 3 2 3 2 3 2 25 x 2 125 x 6 15 x 4 = +3 27 2 9 4 3 8 6 x 5 25 2 125 = x4 + x 27 6 4 8Ejercicio 4: Calcula los siguientes productos:1 1. 5 x 3 3

3

3

2

2

x2 5 3 2

3

2. a 3b 2 + ab 5

(

)

3

7 3 3. m n 2 3 4

3

Ejercicio 5: Desarrolla y reduce trminos semejantes, si es el caso.1. (2 x 3) + 5 x 2 ( x 5)( x + 5)2

2. (m 2n ) 2(9 + 4m ) + 10n 33 2 2

1 3. 3 y 2 3 y + 5 3 y 5 3 5 5

(

)(

)

4. x 2 y 3

(

)

2

+ 2x 2 y 3 x 2

5

Factorizacin de polinomios:Es conocido por todos que la igualdad es simtrica, es decir, si x=y entonces y=x. 2 Tambin se cumple en los polinomios. Por ejemplo, como (x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4 , entonces2

x 2 + 4 x + 4 = (x + 2) La propiedad simtrica se utilizar para estudiar un proceso llamado Factorizacin de polinomios y que est ligado al desarrollo de productos notables.

Factorizar un polinomio consiste en expresarlo en un producto de dos o ms polinomios. Previamente vamos a estudiar lo que es un Cuadrado Perfecto.

Por ejemplo, 36 es cuadrado perfecto, ya que 36=62 2 1 1 1 es cuadrado perfecto, ya que = 4 4 2x 4 es cuadrado perfecto, ya que x 4 = x 2 x 2 es cuadrado perfecto, ya que x 2 = ( x )

( )2

2

9 y 6 es cuadrado perfecto, ya que 9 y 6 = (3 y 3 ) x 3 no es cuadrado perfecto, ya que no existe una expresin tal que su cuadrado sea x 3 .2

Factorizar polinomios de la forma x 2 + 2ax + a 2 Ejemplo 1: Factorizar 16 x 2 + 24 x + 9

Observa que:

16 x 2 es cuadrado perfecto, ya que 16 x 2 = (4 x ) 9 es cuadrado perfecto, ya que 9 = 32 24x es igual a 2.(4 x ).3 Veamos el siguiente diagrama: 16 x 2 + 24 x + 9

2

(4 x )2 2.(4 x ).3 32 2 2 Luego, 16 x 2 + 24 x + 9 = (4 x + 3) , ya que, (4 x + 3) = 16 x 2 + 2( 4 x ).3 + 9 = 16 x 2 + 24 x + 9As

x 2 + 2ax + a 2 = ( x + a )

2

Ejemplo 2:

Factorizar 25 y 4 + 20 y 2 + 46

Observa que:

25 y 4 = (5 y 2 ) 4 = 22

2

20 y 2 = 2.(5 y 2 ).2Luego, 25 y 4 + 20 y 2 + 4 = (5 y 2 + 2 ) ya que (5 y 2 + 2) = 25 y 4 + 20 y 2 + 42 2

De los ejemplos anteriores podemos deducir que para factorizar polinomios de la forma x 2 + 2ax + a 2 se procede de la siguiente manera: 1. Se verifica si dos trminos son cuadrados perfectos. 2. Se verifica si el tercer trmino es igual al doble producto de las bases de los Cuadrados perfectos. 3. Si se cumple lo anterior, es igual al cuadrado de la suma de las bases de los trminos que son cuadrados perfectos.Ejemplo 3: Factorizar 9 x 2 + 3 x + 4

Se observa

9 x 2 = (3x ) que, 4 = 22 3x es diferente a 2(3 x ).2 = 1222

Luego el polinomio 9 x 2 + 3 x + 4 no se puede factorizar como (3 x + 2 )

Ejercicio 1: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios

1. x 2 + 2 x + 1 4. 9 + 60m3 + 100m 6 7. 6 x 8 + 24 x 4 + 16

2. 49 y 4 + 84 y 2 + 36 5. 4 x 2 + 2 x + 1 8. x 2 + x + 1

3. 16 + 40 y 4 + 25 y 8 1 6. y 6 + 3 y 3 + 9 4 9. 4 x 5 + 12 x 3 + 9

Factorizar polinomios de la forma x 2 2ax + a 2 Ejemplo 4: Factorizar 100 y 8 20 y 4 + 1 2 Obsrvese 100 y 8 = 10 y 4 que

(

)

1=14

2

20 y = 2(10 y 4 ).1 Luego, 100 y 8 20 y 4 + 1 = (10 y 4 1) ya que (10 y 4 1) = 100 y 8 20 y 4 + 12 2

As

x 2 2ax + a 2 = ( x a )

2

7

Ejercicio 2: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios

1. x 2 2 x + 1 4 9 4. x 4 2 x 2 + 9 4 1 7. 3 x 5 + 9 x10 4

2. 9 x 5 54 x 2 + 81 5. 16m 4 28m 2 + 49 8. y 24 5 y12 + 25

3. 81 36 y 5 + 4 y10 6. 4m 2 12mn + 9n 2

Factorizar polinomios de la forma x 2 a 2 Ejemplo 5: Factorizar 81x 4 49

En este caso,

81x 4 = 9 x 2 49 = (7 )2

( )

2

Luego, 81x 4 49 = (9 x 2 + 7 )(9 x 2 7 ), ya que (9 x 2 + 7 )(9 x 2 7 ) = 81x 4 49Ejemplo 6: Factorizar9 4 6 16 x y 4 25 9 4 6 3 2 3 x y = x y 4 4

Se observa que,

16 4 = 25 5 Luego,

2

9 4 6 16 2 2 3 4 2 2 3 4 = x y + x y , ya que x y 4 25 3 5 3 5

2 2 3 4 2 2 3 4 9 4 6 16 x y + x y = x y 5 3 5 4 25 3

Ejercicio3: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios 12 4 4 6 1. 16 y 8 81 2. 3. 36 x 25 x 9 25 y 5 16 4. 25 x 9 5. 6. 49m10 n12 n 4 9 a 6b 2 1 7. x 2 1 8. 9 x 7 25 9. 4 z4 Factorizar polinomios de la forma x 2 + cx + d Ejemplo 7: Factorizar x 2 + 5 x + 6

Observa que

x 2 = (x ) 6 = 2.3

2

5 = 2+38

Luego, x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 )( x + 3) , ya queEjemplo 8: Factorizar x 2 + 3 x 10 Observa que, 2 x 2 = (x )

(x + 2)(x + 3) = x 2 + (2 + 3)x + 2.3 =

x2 + 5x + 6

10 = 5(2) 3 = 52As x 2 + 3x 10 = ( x + 5)( x 2)Ejemplo 9: Factorizar x 4 11x 2 + 284 2 Observa que, x = (x ) 28 = (7)(4) 11 = 7 + (4) 2

Luego, x 4 11x 2 + 28 = (x 2 7 )(x 2 4 )Ejemplo 10: Factorizar x 2 2 x 15

Observa que,

x 2 = (x )

2

15 = (5).3 2 = 5 + 3

Luego, x 2 2 x 15 = ( x 5)(x + 3) De los ejemplos anteriores podemos deducir que para factorizar polinomios de la forma x 2 + cx + d se procede de la siguiente manera: 1. Se estudian las diferentes descomposiciones del trmino independiente en producto de dos factores ( p.q = d ) . 2. Se escoge aquella descomposicin en la cual la suma de los factores es el coeficiente del trmino de x ( p + q = c ) . 3. Se expresa el polinomio en la forma factorizada ( x + p )( x + q ) .Ejercicio 4: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios1. x 2 + x 2 4. x 2 2 x 35 7. a 2b 6 9ab 3 + 20 2. x 2 + x + 2 5. x 4 + 5 x 2 + 4 8. x 2 y 2 + 4 xy + 9 3. x 2 x 6 6. x 2 + x + 1

9

Factor Comn: Cuando un polinomio tiene un factor que es comn a todos sus trminos, se puede factorizar dividiendo cada trmino entre ese factor:

16 x 3 y 4 z 20 x 2 y 3 z 2 + 32 x 2 y 3 z 3 = 4 x 2 y 3 z (4 xy 5 z + 8 z 2 ) De existir ms de un factor comn, se toma el mayor, es decir el M.C.DEjercicio 5: Factorizar

1. 3a 21 4. 2 x y + xy2 2

2. a 3 a 2 + a 5. (m + n ) + (m + n )2

3. 12ac 36ab + 60ad 6. ( x y ) ( x y )3 2 4

7. (m + n )a + (m n )a 8. 9(2a 5b ) + 12 x(2a 5b ) 9. 25 x 8 y 9 35( xy ) + 10 y 5Ejercicio 6: Ejercicios Compuestos : Factorizar : 1. x 3 + 10 x 2 + 25 x 2. x 4 6 x 3 + 9 x 2 3. a 3 ab 2 ba 2 + b 3 2 4 4 2 4. m 2 m(n 1) + (n 2 2n + 1) 5. x 2 (x 2 y 2 ) (2 x 1)(x 2 y 2 ) 9 3 2 2 6. x 4a + 9 y 2 6 xy 7. t 2 + 7t + p 2 -7 p- 2tp 8

Ahora comprueba que: x 3 + y 3 = ( x + y ) x 2 xy + y 2

x y3

3

( = ( x y )(x

2

+ xy + y

2

) )3. ( x + y ) + y 33

Ejercicio 7: Utilizando las frmulas anteriores factoriza:1. 8 + y 3 4. ( x 2 ) + 8 y 33

2. x 3 27

5. x 4 y 4 + x 3 xy 3 y 3 + x 3 y

Operaciones con fracciones algebraicas: Con igual denominador: Ejemplo 1:

(2 x 3)x2 1

x2 1

2

+

(2 x 3)3x 2

3x 2

2

(2 x 3)28 = = = x 2 1 + 3x 2 8

8

(2 x 3)2 (2 x 3)2 (2 x 3)2

+

(2 x 3)2

(2 x 3)2(2 x + 3)(2 x 3) 2 x + 3 = 2x 3 (2 x 3)210

4x 2 9

Con diferente denominador: Ejemplo 2: Efecta:3 2 5 como el m.c.m 4 x,3x 2 ,6 x = 12 x 2 + 2 4 x 3x 6x

(

)

Tenemos:

3 2 5 (3 x)3 + (4)2 (2 x)5 + 2 = 4 x 3x 6 x 12 x 2 9 x + 8 10 x 8 x = = 12 x 2 12 x 2

Ejercicio 8: Halla la suma algebraica de las siguientes fracciones y simplifica si es el caso:1. x 1 3 4 2 3x 2. + + + + x x x x +1 x +1 x +1 x 3 2 5x 6x 3. 4. 3 3 + 3 3 3 x x t r t r t r3 3 5 4 x x2 5. x + + 6. + 2 6 5 x x 1 x y x2 + y2 x+ y 3 4 7. 8. 2 + 2 + 2 y 3 y 6y + 9 y + 3 x y x 2 xy + y 3x 8 1 9. 2 2 + 2 x 5 x + 6 4 x 16 5 x 45

Propiedades de la potenciacin en R:Para a, b R y m, n z , se cumplen las siguientes propiedades:

1. 2.

a n a m = a n+m a n a m = a nm

Producto de potencias de igual base. Cociente de potencias de igual base

3.

(a )

n m

= a n.m

Potencia de una potencia

4.

(a.b )n = a nb n

Potencia de un producto

11

5.

an a = n b b

n

Potencia de un cociente

Cuando el exponente es un entero negativo, se procede como sigue:

aEjemplo 1: 3 4 =1 1 = 4 3 8133

n

1 = n a

64 3 4 Ejemplo 2 : = = 27 4 3

Ejercicio 9: Simplifica utilizando las propiedades:

1.

[(a 5 ) 3 (b 2 .a) 4 ] 2

(a b )4

3 3

2.

3 2 1 5 4 2 5 2 4 2 3 3 3 1 5 4 2 2

3

Exponente fraccionario:1

Si a es un nmero real positivo y n es un entero positivo, a n denotar la raz ensima de a ; esto es:

a = an1

1 n

Tambin, se cumple

a = n am

m n

Ejemplos:

a )5 3 = 3 51

b)7 2 = 2 7 c) x y = x y5 2 3 2

(

1 3 5

)

= x .y

2 5

3 5

d ) 3 a 12 = a

12 3

= a412

Radicacin en R: Definicin: Ejemplos:n

a = b bn = aa ) 16 = 4 4 2 = 16 125 5 5 125 b) = = 27 3 27 33 3

Propiedades: Raz de un Producto:n

a.b = n a .n b

Ejemplos:

a) 4.3 = 4 . 3 = 2 3 b)5 a 4 .b 3 = 5 a 4 .5 b 3

Ejercicio 10: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior:a )3 6 .3 4 = b)7 a 3 b 4 .7 ab = c ) 4 x 2 y .4 xy .4 xy 2 =

Raz de un cociente:n

a na =n b b

Ejemplos:

a )3 b)5

3 3 7 7 7 =3 = 27 3 27

a3 5 a3 = b2 5 b2 Ejercicio 11: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior:

a)4 d )3

81 = 7 1 = a2xn m

b) 6 e) 5

x5 = y4 32a 4 = x3

c)7

x3 y 4 = a5

Raz de una raz:

a = nm a

Ejemplos:

a )3 b)53

x5 = 6 x5 ab = 15 ab

13

Ejercicio 12: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior:

a)3 12 =

b) 4

3

x2 =

d)

5

a10b 6

Potencia de una raz:

(a)n p7 2.3 7 5 5 15 10

m

= n a pm

Ejemplos:

( )= 2 = b)( a b ) = a ba ) 7 235 2 3 2

26

Ejercicio 13: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior

a) 5 a 2

( )=5

b) 4 2a 5

(

)=3

c) 2 5 3 x 2 y 3

(

)=4

Simplificacin de radicales: Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente, tal que la cantidad sub-radical no tenga denominador, ni exponentes mayores o iguales que el ndice de la raz. Ejemplos:

a)3 135 = 3 33 53

= 3 33 3 5 = 3 3 3 5 = 33 5 b)3 a 8 b 7 c15 = 3 a 6 a 2 b 6 bc15 = a 2b 2 c 5 c)7 b b a2 7 = a5 a5 a2 =73

a 2b

ba 2 1 7 2 = ba a a7 Ejercicio 14: Simplificar los siguientes radicales:a ) 108 d ) p 5 z 18 y g) j )6 2 5 a5 3 128 a5 b8 b) 4 96 e)34 128m 6 b 5 h) 4 k) ab 2 x3 y94

c)7 a 12 b14 c 21 f )5 a 9 b 7 c 40 i) x5 y 7 a 2b 3 mn 3 81 3 m2n x y x+ y

ab 2 xy

l )( x + y )

14

Otro caso de simplificacin es: Para simplificar 12 a 3b 6c15 se divide el ndice de la raz y los exponentes de la cantidad sub-radical por su mximo comn divisor, como sigue:12

a 3 b 6 c 15 =

12 3

a 3 3 b 6 3 c 15 3

m.c.d (12,3,6,15) = 3

= 4 ab 2 c 5 = c 4 ab 2 c

Ejercicio 15: Simplifica los siguientes radicales:a )6 2 3 b 6 c 15 c) d 3 c 4 a 8 b12 ab 2 c 4 d 16 b)5 32a 15 b 20 d) abt 2 a 2 b10 28

Observa los pasos a seguir en la simplificacin de los siguientes radicales:a ) x 2 12 x + 36 =

(x 6)2

= x6

b) 2 x 2 + 28 x + 98 = 2 x 2 + 14 x + 49 = 2( x + 7 ) = ( x + 7 ) 22

(

)

c)

(x + 6)(x 2 + 5 x 6) = (x + 6)(x + 6)(x + 1) = (x + 6)2 (x 1) = (x + 6)

x 1

Ejercicio 16: Resuelve en forma semejante a los ejemplos anteriores:

a ) 4 x 4 24 x 3 + 36 x 2 c) x 5 4 x 4 + 4 x 3Introduccin de factores en un radical:

b) 3x 2 24 x + 48 d ) 8x 3 2 x 2 + 2 x

Dada la expresin ab 3 4 c y se quiere introducir en el radical los factores a y b 3 . Para tal fin se procede como sigue: ab 3 4 c = 4 a 4 (b 3 ) c = 4 a 4b12 c4

Ejercicio 17: Introduce en el radical los factores para cada una de las siguientes expresiones:

a)b b d ) x 3 y 2 z 4 xyz

b)3a 2

3

ab 2

c)( x + 3)

2 5

x+3

e) x x x

f )m 2m 3 3m

15

Radicales Semejantes:

Dos o ms radicales son Semejantes cuando tienen el mismo ndice y la misma cantidad o expresin sub-radical.Ejemplos: 4 a ) 5 3a 3 y 5 5 3a 3 3b)3 3 2 xy 2 y4

son semejantes.

2 xy 2 no son semejantes, tienen diferentes ndices.

c) 5 4 2a 3b 2 y 3 4 2a 2b 3 no son semejantes, tienen diferentes expresiones sub-radicales. Veamos ahora que33

3a 2b y

3

81a 5b 4 son semejantes, ya que al simplificar el radical

81a 5b 4 se obtiene 3ab 3 3a 2b .

Ejercicio 18: Determina cules de los siguientes grupos estn formado por radicales semejantes.a ) 18 , 50 , 72 b) 24 , 54 , 18 c)3 a 4b , 6 a 8b 2 , 5a 3 ab 3 3 2 d) x y, xy 3 , x 2 y 3 5 3

Reduccin de Radicales Semejantes: Observa los siguientes ejemplos:

a)18 5 a 2 8 5 a 2 + 5 a 2 = (18 8 + 1)5 a 2 = 115 a 2 b)6 3 a + 2 ba 18 3 a 9 ba + 20 6 a 2 = (6 18)3 a + (2 9 ) ba + 20 6 a 2 = 123 a 7 ba + 20 6 a 2 pero6

a 2 = 3 a , por simplificacin

As, 6 3 a + 2 ba 18 3 a 9 ba + 20 6 a 2 = 83 a 7 baEjercicio 19:

1 75a 2 b)6 50 4 280 + 3 72 + 242 a) 3 12a + 11 27a c)2 3 3 3 2 + 4 2 2 3 3 + 33 2 d) a 1 a + 4 a2 3 a 216

Multiplicacin de Radicales de igual ndice:n

a n b = n ab

Ejemplo:3

2a 4 3 4a = 3 8a 5 ( multiplicando) = 3 23 a 3 a 2 = 2a 3 a 2 (simplificando)

Ejercicio 20: Efecta:

a )5 a 3b 2 c)5

5

a 3b 4 c

b)2b3 12a 5b 3 6a 2b 2 d) 33 2 24a 2bc 3 2a 3b 4 c 2 4 3

3 3 2 ab c 3 4a 2bc 3 4

Amplificacin de Radicales:

Amplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente de ndice mayor. Para ello se multiplica el ndice de la raz y los exponentes de la expresin sub-radical dada, por un mismo nmero natural, mayor que 1.n

am =

np

a mp

Ejemplos:

a) Amplificar por 5 el siguiente radical : a 3b 2 c 5 = 4.5 a 3.5b 2.5c 5.5 = 20 a15b10 c 25 b) Amplificar por 3 el siguiente radical :4

a 3b 2 = 2.3 a 3.3b 2.3 = 6 a 9b 6 Multiplicacin de Radicales de diferentes ndices: Para multiplicar 3 a 2b 6 ab 2 4 ab es necesario reducir los radicales dados a un ndice comn. Es conveniente reducir los radicales al menor de todos los posibles ndices comunes. Al hacer esto estamos obteniendo el Mnimo Comn ndice (M.C.I.) de los radicales dados. Para calcular el M.C.I. debemos obtener el mnimo comn mltiplo de los ndices de las races dadas. En nuestro caso son :3,4 y 6 tenemos entonces: m.c.m.(3,4 y 6)=12 por lo tanto el M.C.I.=12. Debemos ahora amplificar los radicales de manera que todos tengan el mismo ndice 12. Esto es:

17

3

a 2b

6

ab 2

4

ab = 3.4 a 2b

( ) (ab )4 6 .2 12

2 2 4..3 12

(ab )3

= 12 a 8b 4 = a12 ab11

a 2b 4

a 3b 3

= 12 a13b11

Ejercicio 21: Efecta:

a ) 4 3a 2b 3

3abc 8 32 bc 315

b)2a 5 18a 3b 3b10 12a 4b 3Divisin de Radicales de igual ndice:

ab

n n

a n a = b b

Ejemplos: Aplicando la propiedad anterior dividir: a)4 4

x3 y 2 x2 y

=4

x3 y 2 4 = xy x2 y

b)

12a 3ab 36a 2b = 6b 6b 36a 2b = = 6a 2 = a 6 6b

Ejercicio 22: Efecta:3

a)

243 3 9

b)

(x + 1)3 (x + 1)2 5 (x + 1) 2

5 4 c) 20

5 3 a 2b 2 2 3 a 2b d) 25 3 2ab

Divisin de Radicales de diferentes ndices:a 3b 4 es necesario reducir los radicales a un Mnimo Comn ndice y luego se ab procede igual a la divisin de radicales de igual ndice. Esto es:5

Para dividir

18

5

a 3b 4 = ab

5.2

(a b )(ab )5

3 4 2

=

10 10

a 6b 8 a 5b 5

2.5

= 10

a 6b8 10 3 = ab a 5b 5

Ejercicio 23: Efecta:3

a) 4 d)

2ab 2ab4

b)

a 6 x3 6 x54

3

x33

c) e)3

m2n 4 m mn 8 m x3 y 2

2a 3 3ab 3

2 x 3 y 3 xy 3 x2 y4

12

8a 2b 3 12 9a 2b

Racionalizacin de Denominadores:

Observa las siguientes expresiones: fracciones son irracionales, por qu?

2 , 3

a4

a 2b 3

,

3 2+ 5

los denominadores de estas

Al lograr obtener una expresiones equivalentes a las dadas, que no contengan radicales en el denominador, se dice que hemos racionalizado el denominador de esas expresiones, es decir las fracciones tienen un denominador racional. 2 3 Para tal fin se amplifica la fraccin multiplicando por Racionalizar:

3 , as:

2 2 3 2 3 = = 2 3 3 3 3

( )

= Racionalizar:a4

2 3 3

a 2b 3

Verifica que el factor por el cual debes amplificar la fraccin, para racionalizar el denominador es4

a 2b , veamos:a4

a 2b 3

= =

a 4 a 2b4

a 2b 3 4 a 2b a 4b 4 a4 a 2b = ab

a 4 a 2b4

19

Veamos otro ejemplo:3

2 x7 y 2

=3

2 3 x2 y x7 y 2 3 x2 y

= =

2 3 x2 y3

x9 y 3

2 3 x2 y x3 y

Ejercicio 24: Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones:

a) d)

3 x 2x3

b) e)

3 3 9a 2 b7

c)

x5

a 3b 8

54a 5b13

a 2b10 c a+ b se dice que a b es una

Expresiones Conjugadas: Dado el binomio conjugada y viceversa.

Ejemplos:a )( 5 2 ) es la conjugada de ( 5 2 ) b)(1 + 3 ) es la conjugada de (1 3 ) c)(2 7 4) es la conjugada de (2 7 + 4)

Multiplicacin de una Expresin por su Conjugada:

Es bueno recordar uno de los casos de los productos notables: (x + a )( x a ) = x 2 a 2 Multiplicar :

(

7+ 3

)(

7 3 = 7 = 73

) ( ) ( 3)2

2

=4 El resultado que se obtiene es un nmero racional.

Racionalizar el denominador de :

3 2+ 5 En este caso se multiplica el numerador y el denominador de la fraccin por la conjugada del denominador. Es decir: 3 3 2 5 = 2+ 5 2+ 5 2 5=

( ) ( 2) ( 5) 3( 2 5 ) 3( = =3 2 52 2

(

(

)(

)

)

25

2 5 3

)20

Otro ejemplo : Racionalizar el denominador de a+ b = a b a+ b a b

( a + b )( a + b ) ( a b )( a + b ) ( a + b) = ( a) + 2 a b + ( b) = a b ( a) ( b)2 2 2 2

2

=

a + 2 ab + b a b

Ejercicio 25: Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

a) d)

5 72 3 5+ 4 5 4

b) e)

2 3 3 1

c) f)

x+ y x 2 2 +1

1 2

3 7 + 5

21

Relacin de Orden en el Conjunto R:

En general si a y b son dos nmeros reales, y se cumple que a - b > 0 decimos que a es mayor que b y escribimos: a > bEjemplos:

a )7 > 3, ya que 7 3 = 4 > 0 b) 7 1 7 1 11 > , ya que = > 0 3 2 3 2 6 c) 3 > 2 , ya que tomando aproximaciones (1,732) - (1,414) = 0,318 > 0 d ) 9 > 25, ya que 9 (25) = 16 > 0Ejercicio 26: Compara los siguiente pares de nmeros utilizando la relacin > (mayor que) a ) y 1 b) 2 y 3 c)2 y 3 7 d) 5 y 7 e)2 y 2 Relacin mayor o igual que:

aba>b a=bEjemplos:

a )e e, ya que e = e b) 3 2 , ya que 3 2

Propiedades de la relacin mayor o igual que en R: Reflexiva:

a a porque a = a

Antisimtrica:

Si a b, entonces b a Si a b y b c, entonces a c

Transitiva:

Dicotoma:

Sean a y b nmeros reales, entonces a b b a

Si a b < 0 , entonces a < b

22

Compatibilidad de la adicin y la multiplicacin en R con la relacin mayor o igual que. 1) Si a y b son dos nmeros reales tales que a b y c es otro nmero real cualquiera, se cumple que: a + c b + c Ejemplo: 3 10 si le sumamos 7 tenemos : 3 + 7 10 + 7 2) Si a, b y c son nmeros reales tales que a b y c 0 , entonces ac bc Ejemplo: 3 10 si multiplica mos por 7 tenemos : 3.7 10.7 vemos que la desigualda d - 21 -70 es cierta.

3) Si a, b y c son nmeros reales tales que a b y c < 0 , entonces ac bc Ejemplo: 3 10 si multiplica mos por - 2 tenemos : 3.( 2) 10.( 2) vemos que la desigualda d 6 20 no es cierta. As 6 20

Valor absoluto de un nmero real:

x si x 0 Consideremos la funcin f : R R * tal que: f ( x) = x si x < 0 Notacin : f ( x) = xEjemplos:

a)

4 4 4 = ya que 0 3 3 3

b) 5 = (5) = 5 ya que 5 < 0 c) 0 = 0 ya que 0 0 d ) 3,9 = (3,9) = 3,9 ya que 3,9 < 0 Existir algn nmero real x tal que x = 3 ? Justifica tu respuesta.Propiedades de la funcin valor absoluto: 1) El nico nmero real cuyo valor absoluto es cero, es el nmero cero.

x =0 x=02) En general, para todo nmero real x , se cumple que su valor absoluto es igual al valor absoluto de su opuesto.

23

x = x para todo x R

Ejemplos:

a) 3 = 3 y 3 = 3 = 3 As 3 = 3 b) = y = ( ) =

(

)

As = 3) Si x = a, entonces x = a x = ax = a x = a x = a

4) En general para dos nmeros reales a y b se cumple que a + b a + b Ejemplos: a) 2 + 3 2 + 3 , es decir 5 2 + 3, se cumple la igualdadb) 8 + 3 8 + 3 , es decir 5 8 + 3 que es 5 8 + 3, se cumple la desigualdad 4 1 4 1 11 4 1 11 4 1 c) + + , es decir + que es + , se cumple la igualdad 3 2 3 2 6 3 2 6 3 2

Ecuaciones de la forma ax + b = a

Resolver x + 2 = 3 Por la segunda propiedad de la funcin valor absoluto: x + 2 = 3 x + 2 = 3 Si x + 2 = 3, entonces x = 3 2 y, x = 1

Si x + 2 = 3, entonces x = 3 2 y, x = 5 As x = 1 x = 5Ejercicio 27: Determina en cada caso los valores de x que satisfacen las siguientes igualdades: 3 4 a) 2 x + 5 = 3 b) x + 5 = c) x = 0 2 3d ) 3x

5 1 = 3 2

e)

1 x + 6 = 42 2

f ) 7 x 9 = 18

24

Intervalos reales:

Los intervalos se determinan sobre la recta real y, por tanto, se corresponden con conjuntos de nmeros. Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos. Un intervalo cerrado es un segmento, AB, en el que se incluyen los extremos. Si las abscisas de los puntos A y B son respectivamente a y b, el intervalo cerrado se designa [a, b] y representa al conjunto de todos los nmeros reales comprendidos entre a y b, incluyendo los extremos: [a, b] = {x / a x b} Geomtricamente [ a ] bR

Un intervalo abierto de extremos a y b se designa (a, b) y representa al conjunto de los nmeros reales comprendidos entre a y b, es decir, mayores que a pero menores que b: (a, b) = {x / a < x < b}Geomtricamente

( a

) b

R

Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a, b] o [a, b): (a, b] = {x / a < x b} (se excluye a y se incluye b) [a, b) = {x / a x < b} (se incluye a y se excluye b) En una concepcin ms amplia, tambin se denominan intervalos los conjuntos infinitos con un nico extremo (semirrectas):

(- , b] = {x / x b}. Es el conjunto formado por el nmero b y todos los nmerosreales menores que b.(-, b ) = {x / x < b}. Es el conjunto formado por todos los nmeros reales menores que b. (a, ) = {x / x > a}. Es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que [a, ) = {x / x> a}. Es el conjunto formado por el nmero a y todos los

nmeros reales mayores que l.Ejercicio 28:

I-.Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos:a ) M = {x R / 1 < x 3} =1 b) N = x R / x 2 = 3

c)V = {x R / x 3} = d )W = x R / 3 > x =

{

}

25

II-.Representa grficamente los siguientes intervalos: 11 a ) A = 3, 2 1 b) B = ,5 3 e) A Bc)C = ( 2,2 ) d )D =

[

2,

)

f )B C

Inecuaciones reales:

Si una desigualdad contiene incgnitas, se denomina inecuacin. Las soluciones de una inecuacin como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresin -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolucin de ecuaciones del lgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condicin de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por nmeros negativos. Por tanto, para resolver la inecuacin -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuacin se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x.Ejemplos:

Consideremos la inecuacin:

2 x + 5 < x + 2 3

Para resolverla procedemos as (justifica cada uno de los pasos que se van a seguir.)2 2 x + 5 < x + 2 x + x < 2 5 3 3 2 x + 3x < 3 3 5x < 3 3 5 x < 9 9 x x 2 2 12 2

2 x + 21 14 x 8 3 2 1 x f ) x + + 3 2 2 2x + 3 1 + 0 g) 2 3 1 1 h) x + x + x x 2 2 3 e)

Sistemas de Inecuaciones:

3x + 18 27 (1) Resolvamos: x 13 7 (2)

27

Primero resolvemos (1):

3 x + 18 27 3 x 9 Luego la solucin de (1) es : S1 = [3, ) x3

Ahora resolvamos (2):

x 13 7 x 7 + 13As la solucin de (2) es : S 2 = (- ,6] x6

La solucin del sistema es la interseccin S1 S 2 = [3,6] Geomtricamente:R

3 x 1 2 x + 9 5 Resolvamos ahora: 2 x + 3 < 5 x 7 x 10 < 2 x (1) (2) (3) (4)

6

(1) x 3 x 4 (2) Por qu? Al resolver se obtiene: (3) x > 1 (4) x < 6 Es decir: S1 = [3, ) ; S 2 = [4, ) ; S 3 = (1, ) y S 4 = (-,6 ) . La interseccin de todos ellos es la solucin del sistema: x3

x >1 x 4 x + 2

3(x + 1) 2 x 4 b) 4 x 2 3 1 2 x + 5 < 2( x + 3) d ) 2 x + 2 > 0 1 3x + 2 < x 2 c 0 se denomina

Funcin cuadrtica: A toda funcin real de la forma f ( x) = ax 2 + bx + c; funcin cuadrtica.f ( x) = ax 2 + bx + c; a0

La representacin grfica de una funcin cuadrtica es una Parbola.Diferentes posiciones de la parbola en el plano.

1) Si f ( x) = ax 2 ;

a > 0 su grfica es:

La curva pasa por el origen, de coordenadas y la funcin siempre es positiva para todo x . Se dice que el punto (0,0) (el vrtice de la parbola) es el mnimo de la curva, luego la concavidad es hacia arriba, es decir positiva. 2) Si f ( x) = ax 2 ; a < 0 su grfica es:

La curva pasa por el origen, de coordenadas y la funcin siempre es negativa para todo x . Se dice que el punto (0,0) (el vrtice de la parbola) es el mximo de la curva, luego la concavidad es decir negativa.

hacia abajo, es

3) Si f ( x) = ax 2 + c;

a > 0 y c > 0 su grfica es:

29

Observa que el valor c , el trmino independiente, es la ordenada de punto donde la curva corta a eje 0 y . La concavidad es hacia arriba y el punto (0, c ) es el mnimo de la curva.

4) Si f ( x) = ax 2 + c;

b < 0 y b > 0 su grfica es:

Analiza la grfica de acuerdo a los analices anteriores.

5) Si f ( x) = ax 2 + bx + c;

a < 0 , b 0. c 0

Ejemplo: Sea f ( x) = x 2 5 x + 6 su representacin grfica es: Se observa que la curva corta al eje de las abscisas en los puntos (2,0) y (3,0). La concavidad de la curva es hacia arriba. La curva corta al eje de las ordenadas en (0,6), la ordenada de ese punto es el trmino independiente de la funcin.

6) Si f ( x) = ax 2 + bx + c;

a > 0 , b 0. c 0

1 3 Ejemplo: Sea g ( x) = x 2 + x + su representacin grfica es: 2 2

30

Se observa que la curva corta al eje de las abscisas en los puntos (3,0) y (-1,0). Adems, el punto (1,2) es el punto mximo de la curva y la concavidad es hacia abajo. Por otra parte la curva corta al eje de 3 las ordenadas en el punto 0, . 2

Ejercicio 31: 1) Grafica las siguientes funciones cuadrticas. a) y = 6 x 2 d ) y = x2 4x +1

b) y = x 2 + 1 c) y = x 2 + x 1

e) y = 2 x 2 + 3 x 2 f ) y = x2

1 3 2) Se puede demostrar que dada la parbola y = ax 2 + bx + c la abscisa de vrtice est b dada por y la ordenada sustituyendo ese valor en y = ax 2 + bx + c . 2a De acuerdo a lo anterior, determina los valores de m y n a fin de que la parbola y = 2mx 2 + nx + 1 tenga su vrtice en el punto (2,0).

LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO:

La ecuacin de segundo grado, tambin llamada cuadrtica, en su forma ms simple es: , donde a, b, c son nmeros reales. Al nmero a se le llama coeficiente principal (y tiene que ser distinto de cero pues en caso contrario, no sera de segundo grado) El nmero c es el trmino independiente.

Resolucin: Si tenemos la ecuacin en su forma ms simple, es decir, soluciones son: , entonces sus

x1 =

b + b 2 4ac 2a

y

x2 =

b b 2 4ac 2a

31

La naturaleza de estas dos soluciones viene determinada por el radicando de la raz, es decir llamado discriminante y que, normalmente se representa por la letra griega delta mayscula . As: Si Si >0, la ecuacin tiene dos soluciones reales distintas. =0, la ecuacin tiene una nica solucin real.

Si