Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo de los números complejos y T :V →V un operador lineal.

a) Probar que V tiene una base ortonormal de vectores propios de T con sus valores propios de módulo 1, si y solo si T es un operador unitario.

DEMOSTRACIÓN:

=>) Sea β={v1 ,…,vn} base ortonormal de vectores propios de T, entonces [T ]β es

diagonal, con sus entradas siendo los valores propios, siendo estos {c1 ,…,cn}, y la matriz:

[T ]β=(c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn)

Como la base es ortonormal, [T¿ ]β=[T ]β¿, y se tiene que:

[T¿ ]β=(c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn)

Puesto que ambas son matrices de dimensión n, podemos efectuar su producto. Aun más: como están representadas por la misma base, podemos escribir el producto como sigue:

[TT ¿ ]β=(c1c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn cn)

Pero, por hipótesis c i c i=1∀ i∈ {1 ,…,n } pues el módulo de un número complejo tiene las siguientes equivalencias:

1=|c i|=√c i ci

, entonces se sigue que

[TT¿ ]β=(1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … 1)=I

Por ser transformaciones lineales:

T T ¿=I

De modo similar, podemos ver que:

[T¿T ]β=(c1 c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn cn)=I

Con lo cual, se concluye que:

T T ¿=T¿T=I

Es decir, T es un operador unitario.

<=) T es un operador unitario, es decir T T ¿=T¿T=I

En particular,

T T ¿=T¿T

Con lo cual T es normal. Supongamos γ={u1 ,… ,un } base ortonormal de V tal que [T ]β sea matriz triangular superior. Por un teorema, se tiene que T es normal si y

solo si [T ]β es diagonal. A partir de las hipótesis, y con la implicación de ese teorema, se deduce que las entradas de la diagonal son los valores propios, mientras que los elementos de la base gamma son los valores propios. Por las propiedades del adjunto, sabemos que los valores propios del operador adjunto serán los valores propios de T, conjugados. Por estar bajo la misma base, es válido realizar el producto siguiente

[T T¿ ]β=(c1 c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn cn)=I

La igualdad con la matriz identidad se establece por la hipótesis de ser unitaria. Entonces se cumple que:

c i c i=1∀ i∈ {1 ,…,n }

Es decir, los valores propios tienen módulo 1. Finalmente, se concluye que γ es una base de vectores propios de T, con valores propios de módulo 1.∎

b) T es operador unitario, si y solo si T es normal y |c|=1 para cada valor propio de T.

DEMOSTRACIÓN:

=>) T es operador unitario por hipótesis, es decir

T T ¿=T¿T=I

En particular, T T ¿=T¿T , que implica que T es normal. Sea β={v1 ,…,vn} base ortonormal de vectores propios de T, entonces se cumple que:

[T T¿ ]β=[T ¿T ]β=(c1 c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn cn)=I ( por hipótesis)

De aquí, podemos ver que c i c i=1∀ i∈ {1 ,…,n }, es decir 1=|c i|=√c i ci , con lo cual

|c|=1 para cada valor propio de T.

<=) T es normal, entonces T T ¿=T¿T . Sea β={v1 ,…,vn} base ortonormal de vectores propios, entonces:

[T T¿ ]β=[T ¿T ]β=(

c1 c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn cn)

Por hipótesis,∀ i∈ {1,…,n },|c i|=1=√c ic i, entonces se satisface la igualdad:

[T T¿ ]β=[T ¿T ]β=(

c1 c1 0 … 00⋮

⋱ 0⋮

0 0 … cn cn)=I

Con lo cual T T ¿=T¿T=I , y T es unitario∎