Asignatura: Algebra Lineal

Unidad: 5Trabajo: Investigación

Tema: Transformaciones Lineales

Docente: M.G.T.I Erick Alberto Cupul Burgos

Alumnos: José Ignacio Chí Chuc José Artemio Couoh Pech Fausto Oliverio Noh Dzul

Carrera: Ingeniería Civil

Grado y grupo: 2º Semestre “B”

Fecha: Viernes 12 De Junio del 2015

5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios

vectoriales que son compatibles con la estructura (es

decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las

funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los

espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la

multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los

sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de

funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las

operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas

funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades

generales y después veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de

ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función

T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:

         a) T (u + v) = T (u) + T (v)

         b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por

                         es lineal. 

                  

                  

Entonces: 

                    

   

Por otro lado, para todo escalar c, 

                              

          

Como se cumplen las dos condiciones:       

                      

     

T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido

a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los

valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre

conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de

funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad. 

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben

nombres particulares:

Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f: V → W una

transformación lineal. Se dice que:

f es un monomorfismo si f es inyectiva.

f es un epimorfismo si f es suryectiva.

f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio

vectorial en s ́ı mismo:

Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f: V → V se llama un

endomorfismo de V. Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo,

entonces se dice que es un automorfismo.

En términos generales, una transformación es una función que permite

transformar un vector que pertenece a un espacio vectorial (dominio) en otro

vector que pertenece a otro espacio vectorial (codominio). Por esta razón, dicha

función es una función vectorial de variable vectorial, es decir, depende de

vectores, y es del tipo w fv = ( ).

Una transformación se representa como T: V→W, donde V es el “dominio” y W el

“codominio” de la transformación T.

Una aplicación T: R n → R m es llamada transformación lineal si preserva la

estructura lineal (suma y producto por escalar): 1 Si ~x, ~y ∈ R n, entonces T (~x

+ ~y) = T (~x) + T (~y). 2 Si ~x ∈ R n y α ∈ R, entonces T (α~x) = αT (~x).

Como consecuencia de esta definición es fácil observar que una transformación

lineal toma combinaciones lineales α1~x1 + α2~x2 + · · · +αk~xk de vectores en R

n y las lleva a transformaciones lineales de vectores en R m: T (α1~x1 + α2~x2 + ·

· · + αk~xk) = α1T (~x1) + α2T (~x2) + · · · + αkT (~xk).

En particular, por ejemplo, podemos probar que la imagen del cero ~0 ∈ R n bajo

una transformación lineal debe ser el cero ~0 ∈ R m: T (~0) = T (~x + (−~x)) = T

(~x) − T (~x) = ~0.

1). Si V1 = (1,-1), V2 = (2,-1), V3= (-3,2) y W1= (1,0), W2= (0,-1), W3= (1,1).

¿Existe una transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1, 2,3?

Solución: Si { v1, v2 , v3 }es base de R 2 , entonces existe una única

transformación lineal T: R2 à R Pero: (-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1) Þ { v1, v2 , v3 } no es

linealmente Independiente Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R 2 Þ no existe tal

transformación lineal

2). Sea T: R3 à R3 , transformación lineal , tal que : T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) =

( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1) Encontrar T (x,y,z) Solución: Por demostrar que el

conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R 3 Sea a.b.c Î R, tal que . a(1,1,1) +

b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0) a + b = 0 a + c = 0 Þ a = b = c = 0 a + b + c = 0 Luego

{(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente Sea (x,y,z) Î R 3 , entonces

existen escalares a,b,c Î R tal que: a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z) a + b = x

a + c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x a + b + c = z

Ejemplos:

1.

2.

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de las

transformaciones lineales.

Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los

vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero

de la derecha es el vector cero en W.

i. T (0) = T (0 + 0)= T (0) + T (0). Así 0= T (0) – T (0) = T (0) + t (0) – T (0) = T (0)

ii.T (u-v) = T [u + (-1) v] = Tu + T [(-1) v] = Tu + (-1) Tv = Tu – Tv.

iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T

(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T (α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se

cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1:

T (α1v1 + α2v2+….+ αkvk+αk+1vk-1) = T (α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T (αk+1vk+1),

y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+

….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la

prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso

iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están

completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2      Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1, v2,

….vn}. Sean w1, w2,….en vectores en W. Suponga que T1y T2 son dos

transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…, n.

Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn.

Tales que  v = α1v1 + α2v2 +…+ αn vn. 

Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1 (α1 v1 + α2v2 +…+ αnvn)

= α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn

De manera similar T2v = T2 (α1v1 + α2v2 +…+ αnvn)  = α1T2v1 + α2T2v2 +…

+ αnTnvn                                            = α1w1 + α2w2 +…+ αnvn

Por lo tanto, T1v =T2v.

El teorema 2 indica que si T: v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es

necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto

es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen

de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1,

v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba

del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn

Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1, Tv2,….Tvn

Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores

de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que

Solución. Se tiene

 Entonces

Surge otra pregunta; si w1, w2,…., wn son n vectores en W, ¿existe una

transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…, n? La respuesta es sí.

Como lo muestra el siguiente teorema.

Definición: Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V W una transformación lineal.

Entonces

I. El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T

(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene

interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo,

observe que cuando escribimos T (0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la

derecha en W.

Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los

vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la

imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran

utilidad.

Teorema 4 Si T: V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.

ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracion

i.Sean u y v en un T; Entonces T (u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T (  ) =  = 0 = 0 de

forma que u + v y ∝u están en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V.

Esto significa que T (u + v)= Tu + Tv = w + x y T (∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w +

x y ∝w están en Im T.

Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V (T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T

= {0}.

Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para vϵ V (T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T

= V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera

todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en

el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T: R3 R3 definida por 

 T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x, y, z): x  = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T

= {(x, y, z): z = 0}, es decir el  plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definición 2      Nulidad y rango de una transformación lineal

Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

Observación. En la sección 4.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y

la nulidad de una matriz. Según el ejemplo 5.1.7, Toda matriz A de m*n da lugar a

una transformación lineal T: R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T =

NA, Im T = Im A = CA, v (T) = v(A) y p (T) = p(A). Entonces se ve que las

definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son

extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

Ejemplo 6.   Núcleo y nulidad de un operador de proyección

Sea H un subespacio de R´´ y sea Tv = proyH v. Es obvio que la Im T = H. Se

tiene que toda vϵ V si v=h + proyH v + proyHv. Si Tv = 0, entonces h=0, lo que

significa498

Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios

vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como

el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im(T) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal

que w = T(v) . 2. Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W

espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El núcleo (kernel,

espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del vector nulo: ker

(T):= x ∈ V: T(x) = 0W.

Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del

dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W).

Entonces ker (T) es un subespacio de V. 4. Proposición (la imagen de una

transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W

espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces im (T) es un

subespacio de W. Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se

demuestra que el conjunto im (T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación

por escalares, además contiene al vector cero. Mostremos que el conjunto im (T)

es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im (T). Por la definición de la imagen,

existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T, T (v1

+ v2) = T (v1) + T (v2) = w1 + w2. Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal

que T(x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im

(T). Núcleo e imagen de una transformación lineal, pagina 1 de 3 Inyectividad y

suprayectividad de una transformación lineal en términos de su núcleo e imagen 5.

Definición de función suprayectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama

suprayectiva o sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f(x) = y.

6. Observación (criterio de la suprayectividad de una función en términos de su

imagen). Según la definición, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im (f). Pero la

contención im (f) ⊂ Y es válida cualquier función f: X → Y. Por lo tanto, f es

suprayectiva ⇐⇒ im (f) = Y. 7. Definición de función inyectiva (repaso). Una

función f: X → Y se llama inyectiva si para cualesquiera x1, x2 ∈ X tales que f(x1)

= f(x2), se cumple la igualdad x1 = x2. 8. Proposición (criterio de la inyectividad de

una transformación lineal en términos de su núcleo). Sean V, W espacios

vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces: T es inyectiva ⇐⇒ ker (T) = {0V}. Demostración. =⇒. Supongamos que T es inyectiva. Tenemos por

demostrar la igualdad ker (T) = {0V}. Sabemos que la contención {0V} ⊂ ker (T) se

cumple para cualquier transformación lineal. Vamos a demostrar que ker (T) ⊂ {0V}. Para ello, consideremos un vector arbitrario v ∈ ker (T) y demostremos que v

= 0V. Por la definición del núcleo tenemos que T (v) = 0W. Por otro lado, sabemos

que T (0V) = 0W. De las ´últimas dos igualdades sigue que T (v) = T (0V). Como T

es inyectiva, podemos concluir que v = 0V. ⇐=. Supongamos que ker (T) = {0}.

Sean u, v ∈ V tales que T (u) = T (v), demostremos que u = v. Por la linealidad de

T, T (u − v) = T (u + (−1) v) = T (u) + (−1) T (v) = T (u) − T (v) = 0. Esto significa

que T (u − v) ∈ ker (T). Luego u − v = 0 y u = v.

Ejemplo 9. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación nula). La

transformación nula 0V →W: V → W está definida mediante la fórmula ∀v ∈ V 0V

→W (v):= 0W. Es fácil ver que ker (0V →W) = V, im (0V →W) = {0W}.

10. Ejercicio (el núcleo y la imagen de la transformación identidad). Determine ker

(I) y im (I) de la transformación identidad I: V → V definida mediante la fórmula ∀v ∈ V I (v):= v.

11. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación D). Consideremos el

operador D: Pan(R) → Pan(R), De = f 0. Entonces im(A) = Pn−1 (F), ker(A) = P0

(F).

12. Ejemplo (el núcleo y la imagen de una proyección en V 2 (O)). Sea P el

operador de proyección sobre `1 paralelamente a `2. Entonces ker (P) = `2, im (P)

= `1.

14. Problema adicional. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y

sean T ∈ L (V, W), U ∈ L (W, X). Demuestre que im (UT) ⊂ im (U), ker (T) ⊂ ker

(UT).

15. Problema adicional. En este problema se trata de funciones generales, no

necesariamente de transformaciones lineales. Sean f: X → Y, g: Y → Z.

Demuestre que: 1. Si la composición ge es suprayectiva, entonces g es

suprayectiva. 2. Si la composición ge es inyectiva, entonces f es inyectiva.

5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es

una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de

Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este

hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. Más aun,

v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo,

la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-

Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente.

Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para

cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.

Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre

espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una

matriz.

Teorema 1

Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n,

AT tal que

Demostración

Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1,

w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que

multiplica un vector en Rn por AT. si

Entonces

De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las

mismas porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx =

BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene

que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada

una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto

muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición: Matriz de transformación

La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación

correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar

tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de

transformación diferente.

TEOREMA 2: sea AT la matriz de transformación correspondiente a la

transformación lineal T. entonces.

i.                     Im T = Im A = CAT

ii.                   P(T) = p(AT)

iii.                  Un T = NAT

iv.                 v(T) = v(AT

Ejemplo 1    Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un

vector en R3 sobre el plano xy.

Solución

Teorema 4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una

transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las

bases B1 en V y B2  en W. entonces

i.p(T) =p(AT)         ii. V(A) = v(AT)           iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz

de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm,

respectivamente. Sea A1 la matriz de transición  de B2 a base Sm en Rm. Si

AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2,

entonces.

Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.

Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de

demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una

sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones,

compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Una expansión a lo largo del eje x es una

transformación lineal que multiplica a la coordenada x

de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal

que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante C>1. Como

antes,

Entonces la representación matricial de T es   de manera que

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Expansión en la dirección de x c = 2.

c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.

Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que

multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva

0<c<1, mientras que para la expansión c<1.

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Compresión a lo largo del eje x con c =1/3.

c)       Compresión a lo largo del eje x con c=1/2.

5.4 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, EXPANSIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓNGraficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación

lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las

transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al

momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La

notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn

Transformaciones linealesLas transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este

texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Por ejemplo, en el

capítulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visión dinámica y

gráfica de la multiplicación matriz-vector.

Definiciones1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio

euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio

euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto

de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal

situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es

realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es

como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos

dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un

cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos

del conjunto de puntos dado con un término escalar hacia la dirección donde tiene

que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la

dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí

el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el

punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección

de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto

puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza

para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la

rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las

manecillas del reloj.

Ejemplos Reflexión sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2

en R2 que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos

triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como

sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una

contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia

estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal.

Rotación por un ángulo

Sea   un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar 

cuál es la transformación T de R2 en R2 que gira cada

vector  un

ángulo , para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas,

tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que  

y tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación 

 

Tal que 

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo  y es lineal, ya que:

Bibliografías

http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html

http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/53-la-matriz-de-una-transformacion.html

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https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5---transformaciones-lineales/5-

1- introduccion-a-las-transformaciones-lineales

http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/02/transformacion-lineal-problemas.html

http://www.ramos.utfsm.cl/doc/799/sc/transformaciones1.pdf

http://samhain.softgot.com/algebralineal/notasclase/transformaciones_lineales.pdf

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