Algebra Lineal 5

Álgebra Lineal.

Unidad 5. Espacios Vectoriales.

5.1. Propiedades básicas de un vector.

R2 es el conjunto de vectores (x1,x2), con x1 y x2 números reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (x,y) es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en R2 y viceversa. Sin embargo para muchas aplicaciones físicas es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y “dirección”.


SEGMENTO DE RECTA DIRIGIDO.Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q

denotado por , es el segmento de la recta que va de P a Q.

Observe que los segmentos de recta dirigidos mostrados en las figuras a) y b) son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas.

x

yQ

P0

PQa)

Punto Inicial

Punto Terminal

x

yQ

P0

QPb)

Punto Inicial

Punto Terminal

PQ


Las dos propiedades más importantes de un segmento de recta dirigido son su magnitud y dirección.

Si dos segmentos de recta dirigidos tienen la misma magnitud y dirección se dice que son equivalentes sin importar en donde se localizan respecto al origen.

x

y

0

En la figura anterior se puede observar un conjunto de segmentos de recta dirigidos que son equivalentes.


DEFINICION GEOMETRICA DE UN VECTOR.

El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalen a un segmento de recta dirigido llamado vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se denomina una representación del vector.

DEFINICION ALGEBRAICA DE UN VECTOR.

Un vector v en el plano xy es un par ordenados de números reales (a, b). Los numeros a y b se denominan elementos o componentes del vector v.

El vector tiene las siguientes características.

•Punto de aplicación u origen.

•Magnitud. Indica su valor y se representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional.

•Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal, vertical u oblicua.

•Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la derecha o la izquierda y queda señalado por la punta de la flecha.


Puesto que en la realidad un vector es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, se define la magnitud o longitud de un vector como la longitud de cualquiera de sus representaciones y la dirección como la dirección de cualquiera de sus representaciones.

Podemos encontrar la magnitud del vector v =(a,b) haciendo uso de la siguiente formula , donde observamos que v es una escalar.

∣v∣=magnitud de v= a 2b2 (1)

MAGNITUD O LONGITUD DE UN VECTOR.


Se define la dirección del vector v=(a,b) como el angulo θ, medido en radianes, que forma el vector con el lado positivo del eje x. Por convención, se escoje θ tal que

Si a es diferente de 0, entonces

Nota: tan θ es periódica con periodo π, entonces si a es diferente de cero siempre

existen dos números en [0,2 π) tales que tan tan θ= b/a. Para determinar θ de manera única es necesario determinar el cuadrante de v.

0Ө2

tan Ө =b/a

En general si b>0 Dirección de (0,b)= π/2 y dirección de (0,-b)= 3 π/2

(2)


MAGNITUD DE DE αv

Si v=(a,b), entonces αv=(αa, αb). Se encuentra que

Multiplicar un vector por un escalar diferente de cero tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector por el valor absoluto de ese escalar.

∣PQ∣= 2 a22 b2=∣∣ a 2b2=∣∣∣v∣ (3)

5.2. Suma, resta, multiplicación escalar y norma de vectores en R.

DIRECCION DE DE αv

Si α >0, entonces αv esta en el mismo cuadrante que v y, por lo tanto, la dirección de αv es la misma dirección de v . Si a < 0, entonces αv tiene dirección opuesta de la de v. En otras palabras:

Dirección de αv = dirección de v, si α>0Dirección de αv = (dirección de v) + π si α < 0

(4)



Supongamos que se suman dos vectores: u=(a1,b1) y v=(a2,b2), su puede apreciar que el vector u+v=(a1+a2,b1+b2) se puede obtener trasladando la representacion del vector v de manera que su punto inicial coincida con el punto final del vector u. Por lo tanto se puede obtener el vector u+v dibujando un paralelogramo con un vertice en el origen y lados u y v. Entonces u+v es el vector que va del origen a lo largo de la diagonal del paralelograma.


TEOREMA. Si u,v y w son vectores en el espacio bidimensional o tridimensional y k y l son escalares, entonces se cumplen las siguientes relaciones.●u+v=v+u●(u+v)+w=u+(v+w)●u+0=0+u=u●u+(-u)=0●k(lu)=(kl)u●k(u+v)=ku+kv●(k+l)u=ku+kl●1u=u

VECTOR UNITARIO.

Un vector unitario es un vector con longitud 1. Sea u=ai + bj un vector unitario. Entonces

de manera que a2 + b2 =1 y u se puede representar por un punto en el circulo

unitario. Si θ es la dirección de u, es claro que a= cos θ y b sen θ. De este modo cualquier vector unitario se puede escribir de la siguiente forma

u= (cos θ)i + (sen θ)j

Donde θ es la dirección de u.

Sea v un vector diferente de 0 entonces

es un vector unitario que tiene la misma dirección que v.

∣u∣= a 2b2

u=v/∣v∣


5.3. Producto Punto (Escalar).

DEFINICION DE ANGILO ENTRE DOS VECTORES:Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el angulo φ entre u y v esta definido como el angulo no negativo más pequeño entre las representaciones de u y v que tienen el origen como punto inicial. Si u = αv para algún escalar α, entonces φ =0 si α>0 y φ = π si a < 0Esta definición se ilustra en las siguientes figuras. Observe que φ siempre se puede elegir para que sea un ángulo positivo en el intervalo [0,π] .


Teorema.Sea v un vector , entonces :

∣v2∣=v⋅v

Teorema.Sean u y v dos vectores diferentesde cero.siθes el angulo entre ellosentonces :

cosθ=u⋅v∣u∣∣v∣

Encuentre el angulo de los siguientes pares de vectores.u=2i+3j y v=-7i+j.u=(2,-3) y v=(-4,6).u=3i+4j y v=-4i+3j.


DEFINICION VECTORES PARALELOS:

Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el angulo entre ellos es cero o π. Los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.

DEFINICION VECTORES ORTOGONALES:

Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2.


DEFINICION PROYECCION:

Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v es un vector denotado por proy

vu, que se define por

proy vu=u⋅v/∣v∣2v

Sea u=2i+3j y v=i+j calcule proy v u

5.4. Producto Cruz.

Sea u=a1i+b

1j+c

1k y v=a

2i+b

2j+c

2k. Entonces el producto cruz de u y v, denotado

por u x v, es un nuevo vector definido por

u×v=b1 c2−c1 b2ic1 a 2−a1 c2 ja1 b2−b1 a 2k

Ejemplo. Calcular el producto cruz de u=2i+4j-5k y v=-3i-2j+k

∣u x v∣=∣u∣∣v∣sen

TEOREMA 2ii. u x 0 = 0 x u = 0.ii. u x v = -(v x u) (Propiedad anti conmutativa para el producto vectoria l) .iii. (αu) x v = α (u x v).iv. u x (v + w) = (u x v ) + (u x w) (propiedad distributiva para el producto

vectorial)v. (u x v) . w = u . (v x w). (Esto se llama triple producto escalar de u, v y w)vi. u . (u x v) = v . (u x v) = 0. (Es decir, u xv es ortogonal a u y a v.)vii. Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos y si y solo si u x v = 0.

TEOREMA 3Si φ es un angulo entre u y v , entonces

5.4. Producto Cruz.

5.5. Triple Producto Escalar.

5.5. Triple Producto Escalar.

EJEMPLO:

Dados los puntos A(1,2,-3); B(-1,1,-2); C(4,2,-1) y D(-1,0,1) del espacio. Verifique si los puntos son coplanares.

5.6. Espacios vectoriales y subespacios.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y mult ipl icación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.Notación. Si x y y están en V y si α es un numero real,

entonces la suma se escribe como x+y y el producto escalar de α y x como αx. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales

Axiomas de un espacio vectorial

i . Si x є V y y є V, entonces x+y є V (cerradura bajo suma).i i . Para todo x,y y z en V, (x+y)+z=x+(y+z) (ley asociativa de la suma de vectores ).i i i . Existe un vector 0 є V tal que para todo x є V, x + 0=0 + x = x (el 0 se l lama vector

cero o idéntico aditivo).iv. si x є V, existe un vector -x en є V tal que x+(-x)=0(-x se l lama inverso aditivo de x )v. Si x y y están en V, entonces x+y=y+x.vi. Si x є V y α es un escalar, entonces α x є V(cerradura bajo la multipl icación por

un escalar).vi i . Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x+y) =αx+αy(primera ley distributiva).vi i i . Si x є V y α y β son escalares, entonces ( α + β)x = αx + βx (segunda ley

distributiva).ix. Si x є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x (ley asociativa de la

multiplicación por escalares).x. Para cada vector x є V, 1x=x.



Ejemplos de espacios vectoriales:

V=R n

V=1V=R2

TEOREMA Sea V un espacio vectorial. Entoncesi. α0 = 0 para todo escalar α.i i . 0 ּx = 0 para todo x є V .i i i . Si αx = 0, entonces α = 0 o x = 0 (o ambos).iv.(-1) x = -x para todo x є V .


Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial “padre” V.


TEOREMA 1 subespacio

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio

i. Si x Є H y y Є H, entonces x+y Є H.i i . Si x Є H, entonces xα Є H para todo escalar α.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que x +y y xα están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.


La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece ser mencionado de forma explicita:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Este hecho con frecuencia facilitara la averiguación de si un subconjunto de V en particular no es un subespacio de V. Es decir, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio. Note que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V.

TEOREMA 2. Sea H1

y H2

dos subespacios de un espacio vectorial V.

Entonces

es un subespacio de V.

H 1∩H 2


Ejemplo 1. El subespacio tr ivial .

Para cualquier espacio vectorial V,el subconjunto {0} que consiste en el vector cero es únicamente un subespacio ya que 0 + 0 = 0 y α0 = 0 para todo numero real α. Esto se denomina el espacio tr ivial .

Ejemplo 2. Un espacio vectorial es un subespacio de si mismo.

Para cada espacio vectorial V, V es un subespacio de si mismo, todo espacio vectorial V contiene dos subespacios {0} y V(que coinciden si V={0}). Es mas interesante encontrar otros subespacios distintos a {0} y V se denominan subespacios propios .

Ejemplo 3.Un subespacio propio de R2.

Sea H ={(x,y):y=mx}. Entonces, H es un subespacio de R2 , entonces H consiste en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen, es decir, un conjunto de puntos que se encuentra sobre una recta que pasa por el origen es el único tipo de subespacio propio de R 2


Ejemplo 4. Un subespacio propio de R 3.

Sea H = {(x,y,z): x=at,y=ct y z=ct;a,b,c,t reales} . Entonces H consiste en los valores en R 3 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. Para ver que H es un subespacio de R3 , sea x=(at

1,bt

1,ct

1) Є H y

y=(at2,bt

2,ct

2) Є H . Entonces

x y=a t1t 2 , bt1t 2 , c t 1t2∈H

x= t1 , b t2 , c t3∈H

y


Algebra Lineal 5

Documents

Transcript of Algebra Lineal 5