Matemática Aplicada

Profesor Jesús MuñozTema III.Caracas , 15 de Mayo de 2009.

Algebra lineal

En este tema se trata los conceptos relacionados con el cálculo vectorial y matricial, su representación y aplicación en la resolución de sistemas lineales de ecuaciones, y administración de todos estos conceptos y procedimientos con el software matemático Wolfram Mathematica.

Algebra linealCálculo vectorial

Componentes de un vector.

Sea Oxy un sistema de coordenadas cartesianas y un vector que

une dos puntos A y B cualesquiera, también llamado vector .

Para leer las coordenadas del vector , podemos descomponer la

traslación que transforma A en B, que es la traslación del vector ,

en dos traslaciones sucesivas: primero una paralela al eje

horizontal Ox, y después otra paralela al eje Oy.

Es decir, para trasladarnos de A a B, primero nos desplazamos

paralelamente a Ox, y después paralelamente a Oy.

Algebra linealCálculo vectorial

El desplazamiento paralelo a Ox será la abscisa, coordenada x o

componente x del vector:

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x

crecientes (a la derecha de O), se considera un valor positivo;

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las x

decrecientes (a la izquierda de O), se considera un valor negativo.

El desplazamiento paralelo a Oy será la ordenada, coordenada y o componente y del vector:

Algebra linealCálculo vectorial

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y crecientes

(hacia arriba de O), se considera un valor positivo;

—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de las y decrecientes

(hacia abajo de O), se considera un valor negativo;

Ejemplo: consideremos la figura siguiente:

Algebra linealCálculo vectorial

Para ir de A a B, necesitamos desplazarnos 4 unidades

paralelamente al eje Ox en la dirección de las x crecientes; la

abscisa o coordenada x del vector es entonces +4. Después

necesitamos desplazarnos 2 unidades paralelamente al eje Oy en

la dirección de las y decrecientes; la ordenada o coordenada y del

vector es entonces – 2.

El vector tiene pues las coordenadas (4, –2). Lo escribimos así:

(4, -2).

Algebra linealCálculo vectorial

Es fácil deducir las componentes de cualquier vector conocidas

las coordenadas de los puntos A y B. En un sistema de

coordenadas cartesianas, si A tiene de coordenadas y B

tiene de coordenadas , entonces las del vector serán :

El modulo de vector es igual a :

Algebra linealCálculo vectorial

Operaciones con vectores.

Suma.

la suma de los dos vectores y es el vector de

coordenadas

La solución en forma gráfica es : u v

u+v ó u+v

Algebra linealCálculo vectorial

Las operaciones declarativas de vectores , modulo vectorial , suma

vectorial, producto vectorial(escalar y cruz),se ejecutan en el

ambiente matemático Wolfram de la siguiente forma:

u={a,b} , v={c,d} define dos vectores en el ambiente informático.

s= v+u realiza la suma ( {a+c,b+d} ) de los vectores u y v

Norm[s] calcula la norma ( ) del vector suma “s “Absa c 2 Absb d 2

Algebra linealCálculo vectorial

La solución gráfica de la suma de vectores viene dada por:

Graphics[{Line[{{0,0},u}],Line[{{0,0},v}],Line[{{0,0},s}]}]

u . v realiza el producto escalar (a*c + b*d) de dos vectores .

pc=Cross[{a,b,c},{x,y,z}] calcula el producto cruz de dos

vectores .

Algebra linealTeoría de matrices

Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de

las principales aplicaciones de las matrices es la

representación de sistemas de ecuaciones de primer

grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz

representa una ecuación, siendo los valores de una fila

los coeficientes de las distintas variables de la ecuación,

en determinado orden.

Algebra linealTeoría de matrices

Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o entre llaves en el ambiente Wolfram mathematica.

m={{1,5,2},{1,1,7},{0,-3,4}} MatrixForm[m]

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

1x + 5 y + 2 z = 9 1 x + 1 y + 7 z = 6 -3y + 4z = -2

Algebra linealTeoría de matrices

La forma matricial :

1 5 2 x = 9 1 1 7 y = 6 -3 4 z = -2 Lo anterior es una multiplicación de una matriz(m) y un

vector (p ) m . p = b Para la solución definimos en el ambiente informático la

matriz m y los vectores p y b.

Algebra linealTeoría de matrices

m={{1,5,2},{1,1,7},{0,-3,4}} p={x,y,z} b={9,6,-2} El producto de la matriz m por el vector p : pd =m . p pd == b La solución del sistema de ecuaciones: Solve[{pd ==b},{x,y,z}] X= -3 , y= 2 , z = 1

Algebra linealTeoría de matrices

Otra forma de solucionar el sistemas de ecuaciones es mediante el comando:

LinearSolve[{{1,5,2},{1,1,7},{0,-3,4}},{9,6,-2}]

Fuentes de información Sitios Web de utilidad.

www.wolfram.com

Bibliografía consultada.

Análisis Numérico con Aplicaciones. Gerald Wheatley .Prentice Hall

Algebra lineal, Yuan –Yu Hsieh, Prentice Hall