Algebra Lineal

RIMAC, 6 DE OCTUBRE DEL 2014

DOCENTE: Reyna Medina, Jexy Arturo

ALUMNOS:

Alcarraz Guizado, Miguel Cornejo Fuentes, Joaquín Fernández Ramos, Jesús Sánchez Vizcarra, Isaac

Introducción

Es importante para el estudiante universitario comprender e interpretar la teoría y poder resolver los ejercicios en conjunto; sin embargo, no muchos alumnos tienen la metodología correcta. Es por eso que se realiza el presente trabajo grupal, organizado previamente por el profesor del curso, con la finalidad de desarrollar la capacidad de análisis, síntesis e intuición en la resolución de los problemas.

Manejando, previamente, conocimientos preuniversitarios y con la instrucción del profesor del curso, es posible realizar el presente trabajo.

En este documento se presentará un resumen teórico sobre Determinantes y se dará paso a la resolución de los ejercicios resueltos grupalmente, tres por integrante.

It is important for the university student to understand and interpret the theory and solve the exercises together; however, not many students have the correct methodology. That is why this work in groups is performed, previously organized by the course teacher, in order to develop the capacity for analysis, synthesis and intuition in solving problems.

With the pre university knowledge and with the instruction of the course teacher, it is possible the development of this work.

In this document, we will give a short introduction of matrices and determinants and it will take a step to solving the exercises solved in groups, three per member.

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FUNDAMENTO TEÓRICO

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CUADRO RESUMEN

ALUMNO\PROBLEMARESUELTO

ALCARRAZ GUIZADO,Miguel Rafael

CORNEJO FUENTES,Joaquín Eduardo

FERNANDEZ RAMOS,Jesús Javier

SÁNCHEZ VIZCARRA,Isaac Baruch

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

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PROBLEMA 1

Suponga que la matriz A de nxnes no invertible. Demuestre que (A)(adj A) es la matriz cero.

Libro: Álgebra Lineal, Autor: Grossman, Año de publicación: 2008, Edición: Sexta, Editorial: McGraw Hill, Página: 210, Ejercicio: 21.

SOLUCIÓN

AUTOR: FERNANDEZ RAMOS, Jesús

Siguiendo la estrategia planteada

A−1= 1|A|

adjA

|A|. A−1=adjA

|A|. A . A−1=A .adjA

|A|. I=A .adjA

Como |A|=0 ya que es una matriz no invertible

0=A .adjA

Esto demuestra que

A .adjA=0

Es la matriz 0.

4

PROBLEMA 2

¿Para cuáles valores de α la matriz (α −34 1−α) es no invertible?

Libro: Álgebra Lineal, Autor: Grossman, Año de publicación: 2008, Edición: Sexta, Editorial: McGraw Hill, Página: 210, Ejercicio: 19.

SOLUCIÓN



Se sabe que cuando una matriz es no invertible entonces su determinante obligatoriamente tienes que ser cero por lo establecido en la teoría.

Desarrollando la determinante de la matriz se obtiene

|A|=α (1−α )+12=0→α=4 v α=−3

Entonces los valores que toma α son 4 y -3.

5

PROBLEMA 3

Encuentre la determinante de la siguiente matriz y si tiene inversa, también calcúlela.

A=( 0 0 50 0 3

−4 2 4)Libro: Álgebra Lineal, Autor: Grossman, Año de publicación: 2008, Edición: Sexta, Editorial: McGraw Hill, Página: 209, Ejercicio: 6.

SOLUCIÓN



Efectuamos su determinante por medio de la matriz expandida:

det A=( 0 0 50 0 3

−4 2 4)00

−4

002=0

Observamos que su determinante es cero y con ello sabemos que no existe su inversa.

6

PROBLEMA 4

Calcular el determinante de A

|A|=|28 17 212 −1 56 8 4 |

a) 716 b) 617 c) 616 d) -616 e) 161

SOLUCIÓN

AUTOR: ALCARRAZ GUIZADO, Miguel

Extraemos los factores comunes de la fila 1 y 3.

|A|=|28 17 212 −1 56 8 4 |⇒ |A|=7×2|4 1 3

2 −1 53 4 2|

Ahora calculamos las menores de la fila 3 y sus respectivos signos.

M 31=| 1 3−1 5|,(−1)3+1=1

M 32=|4 32 5|,(−1)3+2=−1

M 33=|4 12 −1|,(−1)3+3=1

Por el teorema de Laplace tenemos de la fila 3

|A|=14×(3×1×| 1 3−1 5|+4×−1×|4 3

2 5|+2×1×|4 12 −1|)

7

|A|=14×(3×1×8+4×−1×14+2×1×−6)

|A|=14× (24−56−12 )=−616 Respuesta: d

PROBLEMA 5

Calcular el determinante de B

|B|=|4 25 −8

5 22 −3

0 −26 −1

2 07 3

|a) -198 b) -891 c) 198 d) -189 e) -981

SOLUCIÓN


Transformamos el determinante mediante operaciones elementales.

|4 25 −8

5 22 −3

0 −26 −1

2 07 3

|, c2+c3|4 75 −6

5 22 −3

0 06 6

2 07 3

|, c2−2c4|4 35 0

5 22 −3

0 06 0

2 07 3

|Por el teorema de Jacobi tenemos en la columna 3

|B|=3×M 12×(−1)1+2

|B|=−3×|5 2 −30 2 06 7 3 |

Aplicando Jacobi nuevamente en la fila 2 del nuevo determinante

8

|B|=−3×(2×M22× (−1 )2+2)|B|=−3×¿)

|B|=−3×(2×|5 −36 3 |)=−3× (2×33 )=−198 Respuesta a

PROBLEMA 6

Calcule el determinante de C

|C|=| 14 226 10

18 308 14

27 7527 125

48 14764 343

|

a) -756 b) 576 c) -576 d) -657 e) -578

SOLUCIÓN


Extrayendo factores comunes de la fila 2 y 3

9

|C|=3×2×2| 14 223 5

18 304 7

9 2527 125

16 4964 343

|=12| 7 113 5

9 154 7

9 2527 125

16 4964 343

|

Transformamos el determinante mediante operaciones elementales

12| 7 113 5

9 154 7

9 2527 125

16 4964 343

|, f 1−2 f 2=12| 1 13 5

1 14 7

9 2527 125

16 4964 343

|Acomodamos respectivamente las filas 3 y 4 en cuadrados y cubos perfectos convenientemente

|C|=12| 1 13 5

1 14 7

32 52

33 5342 72

43 73|

Por teoría tenemos que |C|=|Ct| entonces

|C|=12| 1 13 5

1 14 7

32 52

33 5342 72

43 73|=12|1 3

1 532 33

52 53

1 41 7

42 43

72 73|(Matriz de Vandermonde)

Ahora aplicaremos el determinante de Vandermonde

|C|=12|1 31 5

32 33

52 53

1 41 7

42 43

72 73|=12× (3−5 ) (3−4 ) (3−7 ) (5−4 ) (5−7 ) (4−7 )=−576

Respuesta c

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PROBLEMA 7

Sea P ( x )=1+X+X2

A=(a b cd e fg h i )

Además P(A)es una matriz nula y f ( x )=X35+X25

Calcule el det ( f (A)).

a) 0 b) 1 c) -1 d) Faltan datose) Se debe conocer los valores de los elementos de A

Libro: Problemas selectos, Año de publicación: 2011, Edición: Tercera, Editorial: Lumbreras, Página: 135, Ejercicio: 270.

SOLUCIÓN

AUTOR: CORNEJO FUENTES, Joaquín

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Siguiendo la estrategia planteada:

P ( x )=1+X+X2

P (A )=I+A+A2, P (A )=0

(I−A)(I+A+A2)=(I−A )×0

I+A+A2−A−A2−A3=0

A3=I

f ( x )=X35+X25

f ( A )=A35+A25

A35 ¿(A3)11× A2=I 11× A2=I A2=A2

A25=(A3)8× A2=I 8× A=IA=A

f ( A )=A35+A25=A2+A

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f ( A )=−I=(−1 0 00 −1 00 0 −1)

det (f ( A ))=det (−1 0 00 −1 00 0 −1)=−1

Respuesta: c

PROBLEMA 8

Halle las raíces de

| x−1 x2−1 x3−12 x−4 x2−4 x3−83x−9 x2−9 x3−27|=0

Indique la suma de todas estas raíces.

a) 6 b) 4 c) 5 d) 7 e) 3


13

SOLUCIÓN


| x−1 x2−1 x3−12 x−4 x2−4 x3−83x−9 x2−9 x3−27|⟶ f 2−f 1

f 3−f 1:| x−1 x2−1 x3−1x−3 −3 −72x−8 −8 −26 |

: f 2−12f 3 :| x−1 x

2−1 x3−1

1 1 62 x−8 −8 −26 |: c2−c1c3−6c1

:| x−1 x2−x x

3−6x+51 0 0

2 x−8 −2x −12 x+22|¿ (1 ) (−1 )2+1|x2−x x3−6 x+5

−2 x −12x+22|

¿−[ (−12 x+22 ) (x2−x )−(x3−6 x+5)(−2 x)]¿2 x [ ( x−1 ) (6 x−11 )−(x3−6x+5)]

¿−2x (x3−6 x2+5x−6 )=0⟹x=0∨ x3−6 x2+5 x−6=0∑ Raíces=6+0=6 Respuesta: A

PROBLEMA 9

El sistema

(1+a ) x+ y+z+w=1x+(1+a ) y+z+w=a2

x+ y+(1+a ) z+w=a3

x+ y+z+ (1+a )w=a4

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No tiene solución para a igual a

a) 0; 1 b) -1; 1 c) 2; -1 d) -1; -2 e) -4; 0


SOLUCIÓN


Para que no tenga solución única Δsistema=0

|1+a111

11+a11

111+a1

1111+a

|=0

15

|1+a111

11+a11

111+a1

1111+a

|→ c1−c4c2−c4

,c3−c4→| a00−a

0a0

−a

00a

−a

1111+a

|→f 1+f 4f 2+f 4

, f 3+ f 4→|a000

0a00

00a0

1114+a

||a000

0a00

00a0

1114+a

|=(a ) (a ) (a ) (4+a )=a3 (4+a )=0

a=0∨a=−4

PROBLEMA 10

Si:

16

A=(2 −1 5 60 3 2 400

00

−2 150 1

)Entonces det (A) :

a) 0 b) 12 c) -12 d) 6 e) -6

Libro: Algebra lineal, Año de publicación: 2007, Edición: Sexta, Editorial: Interamericana, Página: 177, Ejercicio: III

SOLUCIÓN

AUTOR: SANCHEZ VIZCARRA, Isaac

En una matriz triangular inferior o superior el determinante es igual al producto de los elementos que se encuentran en su diagonal.

det (A )=¿(2)(3)(-2)(1) = -12CLAVE: C

PROBLEMA 11

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Para que valores de x la matriz A no tienes inversa.

A=(3 x x1 −1 03 −2 0)

SOLUCION


Una matriz no tiene inversa cuando su determinante es igual a 0.

det (A )=0=|3 x x1 −1 03 −2 0|=x|1 −1

3 −2|−0|3 x3 −2|+0|3 x

3 −2|det (A )=x|1 −1

3 −2|=X=0

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