Álgebra lineal
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1. Sistemas de ecuaciones lineales2. Álgebra de matrices3. Determinantes4. Geometría de los vectores5. Espacios vectoriales6. Valores propios y diagonalización7. Transformaciones lineales8. Espacios euclidianos
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a
b
a b
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a
b
a b
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a
b
a b
a b
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El producto del escalar por el vector es
Es un vector cuya longitud es ,
tiene la misma dirección que ,y el sentido es el de si >0y el inverso que si 0
a
a
aa
a
a
a a
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Un conjunto
1,2,...,
de elementos de un espacio vectorial es llamado independiente si cualquiercombinación lineal igual a cero implicaque todos los coeficientes son cero.
iS x i k
V
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1
Es decir, si
0
entonces necesariamente0 para toda .
k
i ii
i
c x
c i
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1 2
1 2
Un conjunto de elementos de un espaciovectorial es llamado dependiente si hayun conjunto de elementos diferentes en ,
, ,...,y un correspondiente conjunto de escalares
, ,..., no todo
k
k
SV
Sx x x
c c c
1
s cero, tales que
0k
i ii
c x
![Page 12: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/12.jpg)
1 2
1 2
Un conjunto de elementos de un espacio vectorial es llamadodependiente si hay un conjunto de elementos diferentes en ,
, ,..., y un correspondiente conjunto de escalares
, ,..., no t
k
k
S VS
x x x
c c c
1
odos cero, tales que 0k
i ii
c x
1
Sea 0, entonces
1j
k
j i iiji j
c
x c xc
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1
1 2
Un conjunto de elementos de unespacio vectorial es llamadoindependiente si no es dependiente.
Es decir, 0
implica que ... 0
k
i ii
k
SV
c x
c c c
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2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es,dependiente o independiente,
el conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
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1,1 1,1 0,0a b
2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
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1,1 1,1 0,0
00
a b
a ba b
2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
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00
Unica solución:0 y 0
a ba b
a b
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1,1 1,1 0,0
00
0 y 0
a b
a ba b
a b
2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
V R
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2Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,1 , 1,1 ?
linealmente independSo ie s n nte
V R
No hay forma de que una combinación lineal de ellos de cero
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3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente,
el conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
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1) Tomamos una combinación lineal y la igualamos a cero
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0a b c
3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
![Page 22: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/22.jpg)
3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la igualamos a cero
1,
¿Eso
0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0
qué implica? , , 0,0,0a b c
a b c
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3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
1) Tomamos una combinación lineal y la igualamos a cero
1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0
¿Eso qué implica? , , 0,0,
Por tanto, a fuerza 0, 0, 0
0
a b c
a b c
a b c
![Page 24: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/24.jpg)
El conjunto
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
es linealmente INDEPENDIENTE
3Sea el espacio vectorial ¿Cómo es, dependiente o independiente, el
conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?
V R
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3Sea el espacio vectorial
El conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1
es linealmente independiente
V R
No hay forma, sin hacerlos cero, que una combinación lineal de ellos se anule
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Sea el espacio vectorial de funciones continuasdefinidas en el intervalo , .
: , es continua
Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin3 ,...,sinson linealmente independientes para todo
V
V f R f
t t t ntn
1
![Page 27: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/27.jpg)
Sea el espacio vectorial de funciones continuasdefinidas en el intervalo , .
Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin 3 ,...,sinson linealmente independientes para todo 1
V
t t t ntn
1
sin 0 ¿ ?n
k kk
a kt a
![Page 28: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/28.jpg)
1
sin 0n
kk
a kt
![Page 29: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/29.jpg)
1
1
sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
![Page 30: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/30.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
![Page 31: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/31.jpg)
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
![Page 32: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/32.jpg)
1
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
a dt lt kt l n
![Page 33: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/33.jpg)
Si
sin sin
1 cos s
c
in
1 cos sin cos sin
1 osc sos s coin
k l
lt kt dt
d lt kt dtl dt
dlt kt lt kt dtl dt
klt lkt t tl
ktl
d
![Page 34: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/34.jpg)
cos cos
1 sin cos
1 1sin cos sin cos
1sin cos sin sin
lt kt dt
d lt kt dtl dt
dlt kt lt kt dtl l dt
klt kt lt kt dtl l
![Page 35: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/35.jpg)
2
2
2
2 2
sin sin
1cos sin sin cos sin sin
Por lo tanto,
11 sin sin cos sin sin cos
lt kt dt
k klt kt lt kt lt kt dtl l l
k klt kt dt lt kt lt ktl l l
cos cos
1cos cos sin cos sin
1sin s
sin
in cos sin lt kt dtklt kt dt l
klt kt dt lt kt lt kt dtl l
t ktl l
![Page 36: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/36.jpg)
2
2 2
2 2
1cos sin sin cossin sin
1 /Por tanto, si
cos sin sin cossin sin l lt kt k lt ktlt
klt kt lt ktl llt kt dt
k lk
ktk l
l
dt
2
2 2
11 sin sin cos sin sin cosk klt kt dt lt kt lt ktl l l
![Page 37: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/37.jpg)
2 2
2 2
2 2
sin sin
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
lt kt dt
l lt kt k lt ktk l
l l k k l kk l
l l k k l kk l
2 2
cos sin sin cossin sin l lt kt k lt ktlt kt dtk l
![Page 38: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/38.jpg)
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
cos sin sin cos
lt kt dt
l l k k l kk l
l l k k l kk l
l l k k l kk l
l l k k l kk l
![Page 39: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/39.jpg)
2 2
1
sin sin
cos sin sin cos2
Como
sin 0 y cos 1
para entero,
sin sin 0
k
lt kt dt
l l k k l kk l
k k
k
lt kt dt
![Page 40: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/40.jpg)
2
Si
sin
1 cos sin
1 cos sin cos sin
1 cos sin cos cos
k l
kt dt
d kt kt dtk dt
dkt kt kt kt dtk dt
kt kt kt kt dtk
![Page 41: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/41.jpg)
2 2
2
2
Si 1sin cos sin cos
1 cos sin sin
1sin cos sin2 2
k l
kt dt kt kt kt dtk
kt kt dt kt dtk
tkt dt kt ktk
![Page 42: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/42.jpg)
2
2
1sin cos sin2 2
1 cos sin2 2 2 2
Por tanto,
sin
kt dt k kk
k kk
kt dt
2 1sin cos sin2 2tkt dt kt kt
k
![Page 43: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/43.jpg)
sin sin
, enteros mayores o iguales a 1
kllt kt dt
k l
Delta de Kronecker:
1 si 0 si
kl
kl
k lk l
![Page 44: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/44.jpg)
1
1
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
sin sin 0
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
n
kk
a kt
lt a kt l n
a lt kt l n
a lt kt dt l n
a dt lt kt l n
![Page 45: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/45.jpg)
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
n
kk
n
kk
kl
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
![Page 46: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/46.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
![Page 47: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/47.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
l
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
a l n
![Page 48: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/48.jpg)
1
1
1
sin 0
sin sin 0
sin sin
0
0 0
n
kk
n
kk
kl
n
k klk
l
l
a kt
a dt lt kt l n
dt lt kt
a l n
a l na l n
![Page 49: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/49.jpg)
Sea el espacio vectorial de funciones continuasdefinidas en el intervalo , .
: , es continua
Las funciones sin ,sin 2 ,sin3 ,.son linealmente indep
..,siendien
para nt te ds o o 1
V
V f R f
t t t ntn
![Page 50: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/50.jpg)
¿Cómo es el conjunto 2,3 , 1, 1 ?
2,3 1, 1 0,0
2 1,3 0,0
2 03 0
Solución al sistema:2 1
2 3 1 03 1La única solución eES LINEALMENTE INDEPEN
sD TE
0IEN
r s
r r s
r sr s
r s
![Page 51: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/51.jpg)
¿Cómo es el conjunto ,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4 ?
,3,0 , 1,2 2, 2 ,4 0,0,0
2 ,3 2 ,2 4 0,0
2 03 2 0
2 4 0
i i i i
a i b i c i i
ia ib c a b ic b ic
ia ib ca b icb ic
![Page 52: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/52.jpg)
2 03 2 0
2 4 02
3 1 20 2 4
21 2 3 2 3 1
3 1 2 22 4 0 4 0 2
0 2 4
0 12 2 6 0 12 12 0
ia ib ca b icb ici i
ii
i ii i
i i ii i
i
i i i
![Page 53: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/53.jpg)
2 03 2 0
2 4 0
Ya sabemos que el sistema de ecuacionestiene soluciones diferentes de la trivial,por lo tanto, el conjunto
,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4
LINEALMENTE DEPes ENDIE NTE
ia ib ca b icb ic
i i i i
![Page 54: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/54.jpg)
32
1
,2 3 1 2 2
2 1 1 23 1 2 3 1 20 2 4 0 2 4
1 1 2 1 1 20 2 4 0 1 20 2 4 0 1 2
R i
RRR R
i i ii ii i
i ii ii i
2 03 2 0
2 4 0
ia ib ca b icb ic
![Page 55: Álgebra lineal](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081419/56815e0f550346895dcc6f5e/html5/thumbnails/55.jpg)
3 2 1 2
2 1 1 23 1 2 0 1 20 2 4 0 1 2
1 1 2 1 0 00 1 2 0 1 20 0 0 0 0 0
R R R R
i i ii ii i
ii i
2 03 2 0
2 4 0
ia ib ca b icb ic
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2 0 1 0 03 2 0 0 1 2
2 4 0 0 0 0
02 0
0
0 2
0
ia ib ca b ic ib ic
ab ic
a b ic
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2 3 4
Sea el espacio vectorial de funcionescontinuas en . Es decir,
: es continua
El conjunto
1, , , , ,..., 1
es linealmente independiente
n
VR
V f R R f
x x x x x n
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Dado un conjunto 1,2,...,
de elementos de un espacio vectorial , al conjunto de vectores que se obtienencomo combinaciones lineales de loselementos de se le llama espaciogenerado por .
iS x i k
V
SS
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1
1,2,...,i
k
i ii
S x i k V
v V v a x
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2¿Qué espacio genera el conjunto 1,1 en ?R
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Una base de un espacio vectorial esun conjunto de vectores linealmenteindependientes que genera el espacio.
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Es decir, todo elemento delespacio vectorial se puedeescribir como una combinaciónlineal de los elementos de la base.
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1 2
1
2
ˆ ˆ ˆAl conjunto de vectores , ,...,
definidos comoˆ 1,0,0,...,0
ˆ 0,1,0,0,...,0
.
.
.ˆ 0,0,0,...,1
se le llama base natural de ,ya que todo vector se puede representar de manera única como
n
n
n
e e e
e
e
e
x x
R
1 1 2 2ˆ ˆ ˆ... n ne x e x e
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La dimensión de un espaciovectorial es el número deelementos en cualquiera desus bases.
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•Un espacio vectorial tiene dimensiónfinita si tiene una base con un númerofinito de vectores.
•En un espacio de dimensión finitatodas las bases tienen el mismonúmero de elementos.
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Sea un subconjunto no vacíode un espacio vectorial .Si es también un espaciovectorial con las mismasoperaciones de suma y demultiplicación por un escalar,entonces es un subespacio de
SV
S
S V
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TeoremaSea un subconjunto no vacíode un espacio vectorial .Entonces es un subespacio de
si y sólo si satisface losaxiomas de cerradura.
SV
SV S
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,
V
V
x yV
Sea un espacio vectorial sobre loscomplejos.Se dice que tiene un producto escalaró producto interno ó producto punto,si para cualesquiera dos elementos en se asocia un número complejoúnico , .x y
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, ,
, ,,
, ,
x y V x y
x y z Vc
x y y x
en se asocia un número complejo único .
Esta asignación tiene las siguientes propiedades:Para cualesquiera y para cualquier escalar
1)
C
2) , , ,
3) , ,
4) , 0 0
x y z x y x z
cx y c x y
x x x
Simetría hermitiana
Distributividad o linealidad
Asociatividad o homogeneidad
si Positividad
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Un espacio vectorial real que tiene definido un producto escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO REAL
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Un espacio vectorial complejo que tiene definido un producto escalar es llamado
ESPACIO EUCLIDIANO COMPLEJO O ESPACIO UNITARIO
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Normalmente se dice
ESPACIO EUCLIDIANO
y punto, independientemente del campo sobre el cual esté definido.
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El espacio vectorial con el producto puntousual, es un espacio euclidiano
nR
1
,
,
Es obvio que este producto escalar satisface lascondiciones necesarias. Haganlo como ejercicio.
n
n
i ii
x y R
x y x y x y
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Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,se define el producto escalar (interno ó punto)como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
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Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
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cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp p aa
p