Algebra Lineal Apuntes FDI UDP.pdf

Algebra Lineal

Apuntes de Algebra Lineal

Juan Carlos Pozo

Universidad Diego Portales Facultad de Ingenera UDP

Segundo Semestre 2013

Facultad de Ingeniera UDP Algebra Lineal

Algebra Lineal

Programa del Curso

1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

2 Determinantes de Matrices

3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

4 Espacios Vectoriales

5 Transformaciones Lineales


Algebra Lineal

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

MATRICES


Algebra Lineal


Una matriz es una forma de ordenar en filas y columnaselementos de un conjunto. Estos elementos pueden ser numerosreales, numeros complejos, polinomios, etc... Por ejemplo

A =

(1 2 32 4 6

)

B =

x 12 4x2 x+ 1

C =

0 1 42 4 01 1 2


Algebra Lineal


En los ejemplos anteriores,La matriz A tiene 2 filas y 3 columnas.

La matriz B tiene 3 filas y 2 columnas.

La matriz C tiene 3 filas y 3 columnas.

En general usaremos letras mayusculas para denotar lasmatrices. Los elementos o coeficientes seran denotados conletras minusculas y subndices.


Algebra Lineal


En general si una matriz A tiene n filas y m columnas, lamatriz se escribe de la siguiente manera

A =

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m...

......

. . ....

an1 an2 an3 anm

Esta escritura es muy larga y se puede abreviar como sigue

A = (aij), 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m


Algebra Lineal


Sean n,m N. Diremos que una matriz A tiene orden nm sila matriz A tiene n filas y m columnas.

El conjunto de todas las matrices con n filas y m columnas concoeficientes en R sera denotado por Mnm(R).

Por ejemplo, si A M23(R) quiere decir que A es una matriz yademas

A =

(a11 a12 a13a21 a22 a23

)Por ejemplo, si B M43(R) quiere decir que B es una matrizy ademas

B =

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33b41 b42 b43


Algebra Lineal


Si una matriz tiene la misma cantidad de filas y columnas,diremos que la matriz es cuadrada.

Al conjunto de matrices con n filas y n columnas y coeficientesen R lo denotaremos simplemente por Mn(R).

Por ejemplo

A =

(1 22 3

)

B =

1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1


Algebra Lineal


Sea n N y A Mn(R).Se define

diag(A) = (a11, a22, a33, . . . , ann)

tr(A) =

ni=1

aii

= a11 + a22 + a33 + + ann

Sumar los coeficientes de la diagonal de una matriz cuadrada.


Algebra Lineal


Sea n N. Diremos que una matriz A = (aij) Mn(R) es unamatriz diagonal si aij = 0 para todo i 6= j

Por ejemplo, si n = 3 1 0 00 2 00 0 3

si n = 4

2 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 110


Algebra Lineal


Sea n N. Diremos que una matriz A = (aij) Mn(R) es unamatriz triangular superior si aij = 0 para todo i > j

Por ejemplo, si n = 3 1 0 30 2 10 0 3

si n = 4

2 1 20 0, 10 2 30 0 3 30 0 0 10


Algebra Lineal


Sea n N. Diremos que una matriz A = (aij) Mn(R) es unamatriz triangular inferior si aij = 0 para todo i < j

Por ejemplo, si n = 3 1 0 02 2 03 3 3

si n = 4

2 0 0 0 2 0 02 1 3 01 2 3 10


Algebra Lineal


Ejercicios

Escriba explcitamente las siguientes matrices:

1 A M24(R) donde aij = |3i j|.2 B M4(R) donde bij = ij.3 C M3(R) donde cij = ij .

4 Sea D = (dij) M200(R) donde dij =

i+ j, i < j

i, i = j

i j, j < iCalcule tr(D).


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre todos los valores de a, b, c R para que la matriz

A =

1 a2 + b 2c2 + ab+ a 3 a ca2 b2 a2 c2 1

sea una matriz diagonal.

2 Encuentre el valor de k R para que tr(E) = 60, donde

E =

k (k + 1)30 k100 k2 10 + k2 3 18k


Algebra Lineal


Dos matrices A = (aij) y B = (bij) se dicen iguales si es quetienen la misma cantidad de filas y columnas y ademas aij = bijpara todo i y para todo j.Por ejemplo 2 43 3

1 1

6=2 43 3

1 1

En cambio, A = (aij) M34(R) donde aij = i j es igual a

B =

1 2 3 42 4 6 83 6 9 12


Algebra Lineal


Sea A = (aij) Mnm(R). Se define la traspuesta de unamatriz At Mmn(R) como At = (bij), donde bij = aji paratodo i y para todo j.

Por ejemplo,

A =

(1 2 3

100 200 4

)At =

1 1002 2003 4

B =

8 0 3 1 a3 4 5

Bt =8 30 1 4

3 a 5


Algebra Lineal


Una matriz A = (aij) Mn(R) se dice que es:1 Simetrica si es que At = A.

2 Antisimetrica si es que At = APor ejemplo,

Simetricas (1 00 1

) (1 11 2

) 1 2 32 0 103 10 20

Antisimetricas(

0 11 0

) (0 3030 0

) 0 2 32 0 103 10 0


Algebra Lineal


Ejercicios

Encuentre todos los valores de a, b, c R para que

1 A =

2 2 ba 3 ba c 4

sea una matriz simetrica2 B =

c c+ 1 01 a b 20 2 b

sea una matriz antisimetrica.3 C =

2 a+ 6 ca2 5 bc b3 9

sea una matriz simetrica.


Algebra Lineal


Suma de Matrices

Sean A = (aij) Mnm(R) y B = (bij) Mnm(R) se define

A+B = (aij + bij), para todo i, j

Por ejemplo,2 32 00 1

+ 1 21 8

9 3

=2 + 1 3 + 22 1 0 + 8

0 + 9 1 + 3

(

2 3 42 0 5

)+

(1 2 11 8 1

)=

(2 + 1 3 + 2 4 12 1 0 + 8 5 1

)


Algebra Lineal


Ponderacion por numeros reales

Sean R y A = (aij) Mnm(R) se define

A = (aij), para todo i, j

Por ejemplo,

3

2 32 00 1

=3 2 3 33 2 3 0

3 0 3 1

4

(2 3 42 0 5

)=

(4 2 4 3 4 44 2 4 0 4 5

)


Algebra Lineal


Denotaremos por Onm a la matriz con nm cerosdistribudos en n filas y m columnas. Si la matriz es cuadrada

denotaremos por On a la matriz con n n ceros distribudos enn filas y n columnas.

Por ejemplo,

O23 =

(0 0 00 0 0

)O4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

O52 =

0 00 00 00 00 0


Algebra Lineal


Propiedades

Sean A,B,C Mnm(R) y , R1 A+B = B +A.

2 (A+B) + C = A+ (B + C).

3 A+Onm = A

4 (A+B)t = At +Bt.

5 (A)t = At.

6 (A+B) = A+ B.

7 (+ )A = A+ A.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre el valor de a, b R de la siguiente ecuacion(a 23 b3

)t+

(a2 2b4 0

)= 3

(2 12 b

)

2 Encuentre la matriz X =

(x11 x12x21 x22

)tal que

(2Xt +A)t = 2(B +A) donde

A =

(1 22 2

)B =

(0 23 2

)3 Sea A = (aij) M20(R) donde aij = i2. Calcule tr(A).


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Sean A,B M4(R). Pruebe que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).

2 Sea C =

1 2 34 1 40 2 5

Pruebe que 12(C +Ct) es una matrizsimetrica y que 12(C C

t) es una matriz antisimetrica.

3 Sea D Mn(R) una matriz cuadrada cualquiera. Pruebeque 12(D +D

t) es una matriz simetrica y que 12(D Dt) es

una matriz antisimetrica. Deduzca de esto que una matrizcuadrada se puede escribir como suma de una matrizsimetrica y una matriz antisimetrica.


Algebra Lineal


Multiplicacion

Sean A = (aij) Mnp(R) y B = (bij) Mpm(R), definimos lamatriz multiplicacion A B = (cij) Mnm(R) donde

cij =

pk=1

aikbkj

Solo se puede multiplicar dos matrices cuando la primera matriztiene el mismo numero de filas que la cantidad de filas que tienela segunda matriz.


Algebra Lineal


Por ejemplo (0 12 3

)(3 5 96 2 1

)=(

0 (3) + 1 6 0 (5) + 1 2 0 9 + 1 12 (3) + 3 6 2 (5) + 3 2 2 9 + 3 1

)=

(6 3 112 4 21

)


Algebra Lineal


Otro ejemplo 1 2 34 5 67 8 9

21

4

==

1 2 + 2 1 + 3 44 2 + 5 1 + 6 47 2 + 8 1 + 9 4

=1837

58


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Compruebe que1 2 34 5 67 8 9

1 0 00 1 00 0 1

=1 2 34 5 6

7 8 9

.2 Compruebe que1 2 34 5 6

7 8 9

2 0 00 2 00 0 2

= 2 4 68 10 12

14 16 18

.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Calcule el orden de la matriz X y escriba sus elementospara poder resolver la siguiente ecuacion matricial2 0 70 4 3

3 1 0

X =00

0

2 Calcule el orden de la matriz X y escriba sus elementos

para poder resolver la siguiente ecuacion matricial1 1 11 1 13 2 1

X =13

6


Algebra Lineal


Se define In Mn(R) la matriz identidad de la siguientemanera:

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

Por ejemplo

I2 =

(1 00 1

)I3 =

1 0 00 1 00 0 1

I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


Algebra Lineal


Propiedades

Sean A,B,C matrices y , R, cuando las operaciones estenbien definidas se cumple que

1 (AB)C = A(BC).

2 (A+B) C = A C +B C.3 A In = A4 (A B)t = Bt At.5 A B = AB.


Algebra Lineal


Sea A =

(1 23 4

)y B =

(4 01 5

)AB =

(6 1016 20

)BA =

(4 816 22

)Por lo tanto AB 6= BA.


Algebra Lineal


Sea A =

1 23 43 2

y B = (4 0 31 5 1

)

AB =

6 10 516 20 1314 10 11

BA =

(13 1419 24

)Por lo tanto AB 6= BA.


Algebra Lineal


Sea A =

0 0 10 0 00 0 2

y B =0 0 01 1 1

0 0 0

AB =

0 0 00 0 00 0 0

Por lo tanto puede pasar que AB = On sin que A sea On o Bsea On.


Algebra Lineal


Sea A Mn(R), se define Ak = A A A kveces

Sea A Mn(R) una matriz cuadrada, esta se dice:1 Involutiva, si A2 = In.

2 Idempotente, si A2 = A.

3 Ortogonal, si At A = At A = In4 Nilpotente de orden k, si Ak = On para algun numero

natural k.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre todas las matrices A de la forma A =

(x y0 z

)tal que A2 = I2.

2 Sea A =

2 1 00 2 10 0 2

. Calcule A2, A3. Encuentre unaformula general para An.

3 Sea A =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

. Encuentre k N tal que Ak = O4.


Algebra Lineal


Matriz Invertible

Sea A Mn(R), se dice que la matriz A es invertible si existeB Mn(R) tal que

AB = BA = In.

En este caso B se dice que es la matriz inversa de A y se escribeA1.

Por ejemplo A =

(1 10 1

)es invertible pues con B =

(1 10 1

)se cumple que(

1 10 1

)(1 10 1

)=

(1 10 1

)(1 10 1

)=

(1 00 1

)


Algebra Lineal


A =

2 0 00 5 00 0 9

es invertible pues con B =12 0 00 15 0

0 0 19

secumple que 2 0 00 5 0

0 0 9

12 0 00 15 00 0 19

=1 0 00 1 0

0 0 1

12 0 00 15 0

0 0 19

2 0 00 5 00 0 9

=1 0 00 1 0

0 0 1


Algebra Lineal


A =

(0 11 0

)es invertible pues con B =

(0 11 0

)se cumple que

(0 11 0

)(0 11 0

)=

(1 00 1

)

Puede darse el caso que la inversa de una matriz A sea lamisma matriz A.


Algebra Lineal


Existen matrices que no son invertibles, Por ejemplo,

(0 00 0

) (1 00 0

)0 0 00 0 0

3 1 2

1 2 32 4 63 6 9


Algebra Lineal


Propiedades

1 Si A Mn(R) es una matriz invertible entonces At es unamatriz invertible y ademas

(At)1 = (A1)t.

2 Si A Mn(R) es una matriz invertible entonces Ak es unamatriz invertible y ademas

(Ak)1 = (A1)k.


Algebra Lineal


Propiedades

1 Si A Mn(R) es una matriz invertible y R \ {0}entonces A es una matriz invertible y ademas

(A)1 =1

A1.

2 Si A Mn(R) y B Mn(R) son matrices invertiblesentonces el producto AB es invertible y ademas

(AB)1 = B1A1.


Algebra Lineal


Para determinar exactamente cuales son las matrices cuadradasde orden 2 2 que son invertibles y cual es la forma que tienentenemos el siguiente teorema.

Teorema

Sea A =

(a bc d

)M2(R).

La matriz A es invertible y A1 =1

ad bc

(d bc a

)si y solo

si (ad bc) 6= 0.


Algebra Lineal


Ejemplos

A =

(3 15 2

)M2(R) es una matriz invertible pues en este caso

se tiene que (ad bc) = (3 2 5 1) = 1 6= 0, por lo tanto

A1 =1

3 2 5 1

(2 51 3

)

B =

(3 16 2

)NO es una matriz invertible pues en este caso se

tiene que (ad bc) = (3 2 6 1) = 0, por lo tanto B1 noexiste.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre todos los numeros x R tal que(x2 x1 x

)sea

invertible.

2 Encuentre todos los numeros x R tal que(x+ 1 21 x+ 2

)sea invertible.

3 Encuentre todos los numeros a, b R tal que(a bb a

)sea

invertible.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Resuelva la siguiente ecuacion matricial

AX = BA,

A =

(2 44 2

)y B =

(0 30 2

)2 Resuelva la siguiente ecuacion matricial

(AXB I2)t = B1,

donde A =

(1 23 4

)y B =

(1 10 1

)


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Resuelva la siguiente ecuacion matricial

X = BA+ (A+B)2 B(A1 +B1)AB A(A+A1),

sabiendo que A1B1 =

(1 01 1

).

2 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones matricial,sabiendo que X es una matriz simetrica

AXt +AY A = BAX Y A = B,

donde A =

(4 53 4

)y B =

(2 11 1

)


Algebra Lineal

Determinantes de Matrices



Algebra Lineal


En la siguiente seccion estudiaremos metodos para determinaren que situaciones una matriz cuadrada A Mn(R) esinvertible y encontraremos una formula explcita para A1 pordiferentes metodos.

Para ello introduciremos los conceptos de

Determinante de Matrices y Matriz Adjunta.

Matrices Escalonadas y Rango de Matrices.


Algebra Lineal


Determinante de una matriz 2 2

Sea A =

(a bc d

)M22(R) una matriz cuadrada definiremos

det(A) = |A| = ad bc

Ejemplos

Si A =

(4 55 4

)entonces

det(A) = |A| =4 55 4

= 4 4 5 5 = 9.Si B =

(1 25 14

)entonces

det(B) = |B| =1 25 14

= 1 14 2 5 = 4.Facultad de Ingeniera UDP Algebra Lineal

Algebra Lineal


Determinante de una matriz 3 3

Sea A =

a b cd e fg h i

se define

det(A) = |A| =

a b cd e fg h i

= aei+ bfg + cdh ceg bdi afhEjemplo

1 2 30 1 20 0 1

= 1 1 1 + 2 2 0 + 3 0 3 1 0 2 0 1 1 2 0= 1


Algebra Lineal


Regla de Sarrus

Sea A =

a b cd e fg h i

. Entonces |A| se puede calcular de lasiguiente manera. Se escribe la siguiente formacion de numeros,

a b c a bd e f d eg h i g h

copiando la primera y segunda fila de la matriz A al lado de lamatriz A y escribiendo con signo positivo los productos de treselementos en diagonal de izquierda a derecha y con signonegativo los productos de tres elementos en diagonal de derechaa izquierda.


Algebra Lineal


Propiedades

Sea A M2(R) o A M3(R).1 |A| = |At|.2 Si todos los elementos de una fila son 0 entonces |A| = 0.3 Si intercambiamos dos filas (o columnas) se produce un

cambio en el signo del determinante.

4 Si dos filas (o columnas) de la matriz A son igualesentonces |A| = 0.

5 |I2| = 1 y |I3| = 1.6 Si A es una matriz triangular o una matriz diagonal

entonces |A| es el producto de los elementos en la diagonalde A.


Algebra Lineal


Propiedades

1

a1 + a2 bc1 + c2 d = a1 bc1 d

+ a2 bc2 d.

Esta propiedad es valida en la segunda columna.

2

a1 + a2 b cd1 + d2 e fg1 + g2 h i

=a1 b cd1 e fg1 h i

+a2 b cd2 e fg2 h i

.Esta propiedad es valida en la segunda columna y en latercera columna.


Algebra Lineal


Propiedades

1

a bc d = a bc d

.Esta propiedad es valida en la segunda columna.

2

a b cd e fg h i

= a b cd e fg h i

.Esta propiedad es valida en la segunda columna y en latercera columna.

3 Si A M2(R) entonces |A| = 2|A|.4 Si A M3(R) entonces |A| = 3|A|.


Algebra Lineal


Propiedades

1 Si A,B M2(R) entonces |A B| = |B A| = |A| |B|.2 Si A,B M3(R) entonces |A B| = |B A| = |A| |B|.3 Si A M2(R) o A M3(R) entonces si una fila (o

columna) se multiplica por un numero R y losresultados se suman a otra fila (columna respectivamente)entonces el valor del determinante no se altera.

Por ejemplo

a bc d = a b+ ac d+ c

,a b cd e fg h i

=a b+ c cd e+ f fg h+ i i


Algebra Lineal


Ejercicios

Sean A,B M2(R). Pruebe con un ejemplo que en generaldet(A+B) 6= det(A) + det(B).Sean A,B M3(R). Pruebe con un ejemplo que en generaldet(A+B) 6= det(A) + det(B).Pruebe que det(A+ I2) = det(A) + det(I2) tr(A) = 0.Demuestre que no existen A,B Mn(R) tal queAB BA = In.

Sea A M2(R) o A M3(R). Demuestre que |A1| =1

|A|.


Algebra Lineal


Ejercicios

Calcule los siguientes determinantes.1 a a2

1 b b2

1 c c2

a3 ab2 0 a2b b3

0 a3 ab2 a2b b3a3b ab3 a3b ab3 a4 b4

.x 1 11 x 11 1 x

.


Algebra Lineal


Ejercicios

Resuelva las ecuaciones1 2 x2 3 13 4 x2

= 0.1 x 00 1 xx 0 1

= 0


Algebra Lineal


El determinante de una matriz de orden superior esta definidode una manera recursiva. Para esto necesitamos el siguienteconcepto.

Determinantes Menores

Sean n > 3 y A = (aij) Mn(R) una matriz cuadrada. Sedefine Dij el determinante de orden (n 1) (n 1) que seproduce al no considerar la fila i y la columna j en la matriz A.


Algebra Lineal


Ejemplo

Sea A =

1 2 34 5 67 8 9

entonces

D11 =

5 68 9 D12 =

4 67 9 D13 =

4 57 8

D21 =

2 3

8 9

D22 =1 3

7 9

D23 =1 2

7 8

D31 =

2 34 5

D32 =1 34 6

D33 =1 24 5


Algebra Lineal


Ejemplo

Si A =

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16

entonces

D13 =

5 6 89 10 1213 14 16

D44 =1 2 35 6 79 10 11

D22 =

1 3 4

9 11 1213 15 16

D33 =

1 2 45 6 8

13 14 16


Algebra Lineal


Definicion. (Determinante de matrices de ordenes superiores)

Sean n > 3 y A Mn(R) se define

|A| =ni=1

(1)i+jaijDij , donde j es un numero fijo entre 1 y n.

o

|A| =nj=1

(1)i+jaijDij , donde i es un numero fijo entre 1 y n.


Algebra Lineal


Ejemplo

Calcule

1 2 34 5 67 8 9

.Fijado i = 1. Debemos calcular

3j=1

(1)1+ja1jD1j = (1)1+1a11D11 + (1)1+2a12D12

+ (1)1+3a13D13

= 1 5 68 9

2 4 67 9+ 3 4 57 8

= 0.


Algebra Lineal


Ejemplo

Fijado i = 2. Debemos calcular

3j=1

(1)2+ja2jD2j = (1)2+1a21D21 + (1)2+2a22D22

+ (1)2+3a23D23

= 2 4 67 9

+ 5 1 37 9 8 1 34 6

= 0.


Algebra Lineal


Ejemplo

Fijado j = 3. Debemos calcular

3i=1

(1)i+3ai3Di3 = (1)1+3a13D13 + (1)2+3a23D23

+ (1)3+3a33D33

= 3 4 57 8

6 1 27 8+ 9 1 24 5

= 0.


Algebra Lineal


Calcule el siguiente determinante:1 2 3 42 2 3 43 3 3 44 4 4 4

Fijado i = 1 (Primera fila). Debemos calcular

4j=1

(1)1+ja1jD1j = (1)1+1a11D11 + (1)1+2a12D12

+ (1)1+3a13D13 + (1)1+4a14D14


Algebra Lineal


1 2 3 42 2 3 43 3 3 44 4 4 4

= 1 2 3 43 3 44 4 4

2 2 3 43 3 44 4 4

+ 3

2 2 43 3 44 4 4

4 2 2 33 3 34 4 4


Algebra Lineal


Propiedades

Sea n N y A Mn(R) .1 |A| = |At|.2 Si todos los elementos de una fila (o columnas) son 0

entonces |A| = 0.3 Si intercambiamos dos filas (o columnas) se produce un

cambio en el signo del determinante.

4 Si dos filas (o columnas) de la matriz A son igualesentonces |A| = 0.

5 |In| = 1.6 Si A es una matriz triangular o una matriz diagonal

entonces |A| es el producto de los elementos en la diagonalde A.


Algebra Lineal


Propiedades

1

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

. . ....

an1 an2 ann

= a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

Esta propiedad es valida para cualquier columna (o fila).

2 |A| = n|A|.3 Si una fila (o columna) es multiplicada por un numero real y este resultado se le suma a otra fila o columnarespectivamente entonces el resultado del determinante nose ve alterado.


Algebra Lineal


Ejercicios

Compruebe que:

1

1 a b+ c1 b a+ c1 c a+ b

= 0a3 a2 1b3 b2 1c3 c2 1

=a2 a bcb2 b acc2 c ab

2 Pruebe que

2 4 13 2 07 1 3

es multiplo de 5.3 Pruebe que

1 5 02 2 52 5 5

es multiplo de 15.


Algebra Lineal


Ejercicios

Calcule

1

1 1 1 1 11 3 3 3 31 3 5 5 51 3 5 7 71 3 5 7 9

5 5 5 5 55 4 4 4 45 4 3 3 35 4 3 2 25 4 3 2 1

2

0 x y zx 0 z yy z 0 xz y x 0

3

1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

1 a a2 a3 a4

1 b b2 b3 b4

1 c c2 c3 c4

1 d d2 d3 d4

1 e e2 e3 e4


Algebra Lineal


Ejercicios

1

a b c 2a 2a

2b b c a 2b2c 2c c a b

= (a+ b+ c)3.2 Si a, b, c R cumplen que a+ b+ c = 0, resuelva la

siguiente ecuaciona x c bc b x ab a c x

= 0


Algebra Lineal


Ejercicios

1

0 a b ca 0 d eb d 0 fc e f 0

= (af be+ cd)2.

2 Resuelva la siguiente ecuacion1 1 1 1x 2 3 4x2 4 9 16x3 8 27 64

= 0


Algebra Lineal


Definicion

Sea A = (aij) Mn(R). El cofactor de orden ij asociado a lamatriz A se denota por cij y se define como

cij = (1)i+jDij ,

donde Dij denota el determinante menor de orden ij.

Definicion

Sea A = (aij) Mn(R). La matriz adjunta de A se denota porAdj(A) y se define como la matriz traspuesta delos cofactoresde A, es decir

Adj(A) = ((1)i+jDij)t = (cij)t = (cji).


Algebra Lineal


Teorema

Sea A Mn(R). La matriz A es invertible si y solo sidet(A) 6= 0 y en este caso A1 = 1

det(A)Adj(A)

Ejemplo

Encuentre la matriz inversa de

0 0 11 0 00 1 1


Algebra Lineal


Ejercicios

Decida si las siguientes matrices son invertibles, encuentre lasmatrices inversas (si es que son invertibles)

1

1 2 34 5 67 8 9

0 1 11 0 11 1 0

4 0 00 10 00 0 3

2

1 2 3 44 5 6 77 8 9 1010 11 12 13

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

3

1 2 4 81 3 9 811 4 16 641 5 25 125

0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0


Algebra Lineal


Ejercicios

Encuentre condiciones para que las siguientes matrices seaninvertibles

1

1 2 x21 y 41 2 4

2

1 2 a2 3 13 4 a2

3

k 0 0 11 k 1 11 1 k 11 0 0 k


Algebra Lineal


Matrices Escalonadasy OperacionesElementales


Algebra Lineal


Considere A = (aij) Mnm(R) una matriz con n filas y mcolumnas. Es decir

A =

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m...

......

. . ....

an1 an2 an3 anm

Cada fila de la matriz sera denotada por Fi donde i es lacorrespondiente posicion de la fila.

Por ejemplo

F2 = (a21 a22 a23 a2m)

F3 = (a31 a32 a33 a3m).


Algebra Lineal


Sobre cada una de las filas de la matriz A definiremos lassiguientes operaciones elementales

1 Permutacion entre las filas i y j, lo cual se denotara porFi Fj .

2 Multiplicacion de la fila i por un numero real , lo que seescribira como (Fi).

3 Sumar la fila i con la fila j, lo que se escribira como(Fi + Fj).

4 Cualquier combinacion de las operaciones elementalesanteriores sera una operacion elemental.


Algebra Lineal


Ejemplo

A =

(3 6 91 2 3

).

1 F1 F2 (1 2 33 6 9

)2 3F1 (

3 6 93 6 9

)3 F2 + (1)F1 (

3 6 90 0 0

)


Algebra Lineal


Ejemplo

A =

2 3 30 1 44 8 2

1 F3 + (2)F1 2 3 30 1 4

0 2 8

2 F3 + (2)F2 2 3 30 1 4

0 0 0

= E.


Algebra Lineal


Sean A,B Mnm(R) dos matrices. Si B es obtenida medianteuna sucesion de operaciones elementales sobre las filas de A.diremos que A es equivalente a B. Si A es equivalente a Bescribiremos A B.

A =

2 3 30 1 44 8 2

F32F12 3 30 1 4

0 2 8

12F1F32F21 32 320 1 4

0 0 0


Algebra Lineal


Definicion

Una matriz A Mnm(R) se llama matriz escalonada sisatisface las siguientes condiciones:

1 Si la matriz tiene filas compuestas unicamente por 0, estasfilas deben ubicarse debajo de las filas que tengancoeficientes no nulos.

2 El primer coeficiente distinto de 0 en la fila debe ser 1. Esteelemento se llama uno distinguido.

3 El numero de 0 al comienzo de una fila aumenta a medidaque se desciende en la matriz.


Algebra Lineal


Teorema

Toda matriz A Mnm(R) es equivalente a alguna matrizescalonada E Mnm(R).

Definicion

Sean A Mnm(R) y E Mnm(R) una matriz escalonada talque A E. Se define el rango de A y se denota por r(A), comoel numero de filas no nulas que componen E. Dicho de otramanera r(A) es el numero de unos distinguidos que tiene E A.

r(On) = 0.

r(In) = n

Si A Mnm entonces r(A) 6 n.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Demuestre que el rango de la matriz

A =

4 6 2 41 1 0 53 2 1 3

es 2.2 Determine todos los valores de a para que el rango de la

matriz B sea 3, donde

B =

1 2 a2 3 13 4 a2

.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre condiciones sobre los valores de a, b y c para que

la matriz A =

1 a a21 b b21 c c2

tenga rango 3.2 Determine todos los valores de a y b para que el rango de la

matriz B sea 3, donde

B =

1 2 a21 b 41 2 4

.


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre el r(A) dependiendo del valor de a donde

A =

3 a 2 a 12 5 3 11 3 1 a 03 2 4 a 1


Algebra Lineal


Teorema

Sea A Mn(R).A es invertible r(A) = n A In

Teorema

Si A Mn(R) es una matriz invertible entonces las mismasoperaciones elementales aplicadas a la matriz In sirven paracalcular A1


Algebra Lineal


Ejemplo 5 5 00 4 41 0 8

5 5 0 1 0 00 4 4 0 1 0

1 0 8 0 0 1

14F2

15F1

1 1 0 15 0 00 1 1 0 14 01 0 8 0 0 1

1 1 0 15 0 00 1 1 0 14 0

1 0 8 0 0 1

F2F3 1 1 0 15 0 01 0 8 0 0 1

0 1 1 0 14 0


Algebra Lineal


Ejemplo

1 1 0 15 0 01 0 8 0 0 10 1 1 0 14 0

F2F1 1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1

0 1 1 0 14 0

1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1

0 1 1 0 14 0

F3+F2 1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1

0 0 9 1514 1

1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1

0 0 9 1514 1

19F3 1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 1

0 0 1 145136

19


Algebra Lineal


Ejemplo

1 1 0 15 0 00 1 8 15 0 10 0 1 145

136

19

F28F3 1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 19

0 0 1 145136

19

1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 19

0 0 1 145136

19

(1)F2 1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 19

0 0 1 145136

19

1 1 0 15 0 00 1 0 145 29 89

0 0 1 145136

19

F1F2 1 0 0 845 29 190 1 0 145 29 19

0 0 1 145136

19


Algebra Lineal


Ejemplo 5 5 00 4 41 0 8

845 29 19145

29

19

145136

19

=1 0 00 1 0

0 0 1

845 29 191

4529

19

145136

19

5 5 00 4 41 0 8

=1 0 00 1 0

0 0 1


Algebra Lineal


Ejercicios

Muestre que cada una de las siguientes matrices son invertiblesy en cada caso encuentre la matriz inversa.

1 A =

0 1 11 0 11 1 0

2 B =

1 2 34 5 67 8 9

3 C =

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1


Algebra Lineal


Ejercicios

1 Encuentre los valores de a, b R para que la matriz A seainvertible.

A =

0 a b1 0 ab 1 0

.2 Encuentre el valor de x R para que la matriz sea

invertible B =

1 1 1 11 x x2 x3

3 x+ 2 2x+ 1 3x3 2x+ 1 x2 + 2x 3x2

3 Encuentre los valores de a, b R para que la matriz C sea

invertible. C =

a3 ab2 0 a2b b30 a3 ab2 a2b b3a3b ab3 a3b ab3 a4 b4


Algebra Lineal

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Programa del Curso







Algebra Lineal

Espacios Vectoriales

Programa del Curso







Algebra Lineal

Transformaciones Lineales

Programa del Curso







Matrices y Sistemas de Ecuaciones LinealesDeterminantes de MatricesSistemas de Ecuaciones LinealesEspacios VectorialesTransformaciones Lineales

Algebra Lineal Apuntes FDI UDP.pdf

Documents

Transcript of Algebra Lineal Apuntes FDI UDP.pdf