Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del...
Transcript of Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del...
![Page 1: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/1.jpg)
Matriz
DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
La i-esi ma fila y la j-esima columna de la matrix A
(ai1 ai2 · · · ain
)y
a1ja2j...
amj
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 2: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/2.jpg)
Matriz
DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
La i-esi ma fila y la j-esima columna de la matrix A
(ai1 ai2 · · · ain
)y
a1ja2j...
amj
Notacion: La matrix A la podemos denotar por[a1 a2 · · · an
]o tambien
por (ai j), donde aij es la componente (i , j) de la matriz A, y es unnumero real.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 3: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/3.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 4: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/4.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 5: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/5.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 6: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/6.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 7: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/7.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 8: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/8.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
A =
1 0 0 05 2 0 0−2 0 1 0
B =
1/3 −1 4 10 −1 4 00 0 0 10 0 0 40 0 0 0
C =
0 0 00 −3 00 0 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 9: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/9.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
D =
−3 0 00 −3 00 0 −3
E =
1 0 00 1 00 0 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 10: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/10.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 11: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/11.jpg)
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.
PREG: las siguientes matrices son iguales
C =(−1 3 5
)y
−135
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 12: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/12.jpg)
Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 13: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/13.jpg)
Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )
α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 14: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/14.jpg)
Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )
α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.
EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde
A =
0 −63 0−1 3
B =
−2 34 10 −1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 15: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/15.jpg)
Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )
α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.
EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde
A =
0 −63 0−1 3
B =
−2 34 10 −1
Aquı X =
−2 −16 1
−2/3 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 16: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/16.jpg)
Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 17: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/17.jpg)
Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 18: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/18.jpg)
Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 19: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/19.jpg)
Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .
PROPIEDADES(AB)C = A(BC ). A(B + C ) = AB + AC
(A+ B)C = AC + BC α(AB) = (αA)B = A(αB)ArAs = Ar+s (Ar )s = Ars
(AB)r = ArB r ,Si (AB = BA).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 20: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/20.jpg)
COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 21: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/21.jpg)
COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutanEJEM
AB =
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
BA =
(1 0−1 0
)(1 10 0
)
=
(1 1−1 −1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 22: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/22.jpg)
COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.EJEM
AB =
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 23: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/23.jpg)
COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.
CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .EJEM
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
=
(1 10 0
)(0 −20 2
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 24: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/24.jpg)
COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.
CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .
A2 = I no implica que A = ±I .EJEM (
2 1−3 −2
)(2 1−3 −2
)
=
(1 00 1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 25: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/25.jpg)
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 26: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/26.jpg)
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 27: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/27.jpg)
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica?
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 28: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/28.jpg)
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible?
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 29: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/29.jpg)
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa?
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 30: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/30.jpg)
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa? Comocalcular una inversa de una matriz?
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 31: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/31.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 32: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/32.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 33: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/33.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 34: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/34.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 35: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/35.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
IB = C
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 36: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/36.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
IB = C
B = C .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 37: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/37.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 38: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/38.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 39: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/39.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 40: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/40.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices
[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]
y encontrar n pivotes.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 41: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/41.jpg)
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices
[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]
y encontrar n pivotes. De ser necesario calcular A−1, aplicamosAlgoritmo Eliminacion de Gauss + Sustitucion hacia atras a la matrizaumentada conjunta
[A : e1 e2 · · · en] = [A : I ]
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 42: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/42.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 43: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/43.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 44: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/44.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I . Si tomamos C = A, tenemos
A−1A = I .
Ası que A−1 es invertible y su inversa (que es unica) es A. En otraspalabras, (A−1)−1 := C = A.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 45: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/45.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 46: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/46.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que
(λA)C = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 47: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/47.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que
(λA)C = I . Si tomamos C = 1
λA−1 entonces
C (λA) =( 1
λA−1
)
(λA) =( 1
λλ)
(A−1A) = I
Ası que λA es invertible y (λA)−1 := C = 1λA−1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 48: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/48.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 49: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/49.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 50: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/50.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I . Si tomamos C = B−1A−1
entonces
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .
Ası que AB es invertible y (AB)−1 := C = B−1A−1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 51: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/51.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 52: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/52.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 53: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/53.jpg)
Propiedades algebraicas de A−1
TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I . Si tomamos C = (A−1)m
entonces(Am)(A−1)m = (AA−1)m = Im = I .
Ası que Am es invertible y (Am)−1 := C = (A−1)m
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 54: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/54.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 55: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/55.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 56: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/56.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 57: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/57.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.
Ahora, supongamos que y es otra solucion de Ax = b. Ası, Ay = b y
A−1(Ay) = A−1b
(A−1A)y = A−1b
y = x .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 58: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/58.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx + h es tambien solucion de Ax = b,
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 59: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/59.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx + h es tambien solucion de Ax = b, como la solucion es unica,entonces x = x + h; por lo tanto, h = 0; es decir, el vector 0 es la unicasolucion de Ax = 0.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 60: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/60.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (3) ⇒ (4) Si Ax = 0 tiene solucion unica, entonces las columnas dela matriz A son l .i . (Pues, recuerde queAx = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0 y aquı xi = 0 )
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 61: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/61.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (4) ⇒ (5) si las columnas de la matriz A son l .i . entonces todaforma escalonada de A tiene n pivotes.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 62: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/62.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b;
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 63: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/63.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 64: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/64.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 65: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/65.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0,
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 66: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/66.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0, por lo tanto, existe x 6= 0 tal que ABx = 0,es decir AB no es invertible lo cual no es posible.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 67: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/67.jpg)
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) si la matriz B es invertible y la matriz A no,entonces existe y 6= 0 tal que Ay = 0. Sea x = B−1y , como y 6= 0,entonces x 6= 0. Ademas, ABx = AB(B−1y) = Ay = 0 entonces AB noes invertible, lo cual no es posible.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 68: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/68.jpg)
Transposicion de Matrices
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 69: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/69.jpg)
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 70: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/70.jpg)
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 71: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/71.jpg)
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
OBS:
u · v =
u1u2...un
·
v1v2...vn
= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
=(u1 u2 · · · un
)
v1v2...vn
= uTv
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 72: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/72.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 73: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/73.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 74: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/74.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 75: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/75.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 76: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/76.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 77: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/77.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,
de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 78: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/78.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,
de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .
((AB)T )ij = (AB)ji
= Fijaj(A) · Columi (B) = Columj (AT ) · Filai (B
T )
= filai (BT ) · columj(A
T )
= (BTAT )ij .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 79: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/79.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 80: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/80.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .Ahora, por la Propiedad 4,
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 81: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/81.jpg)
TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .Ahora, por la Propiedad 4,
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .
Ası, que AT es invertible y su inversa es (AT )−1 = (A−1)T .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 82: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/82.jpg)
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 83: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/83.jpg)
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 84: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/84.jpg)
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 85: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/85.jpg)
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?. SI, pues
(AAT )T = (AT )TAT = AAT
.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 86: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/86.jpg)
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 87: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/87.jpg)
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 88: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/88.jpg)
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 89: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/89.jpg)
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .
EJEM
E1 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E2 =
(1 0
−3 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 90: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/90.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 91: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/91.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 92: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/92.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1 =
(0 1
1 0
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 93: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/93.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 94: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/94.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 95: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/95.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Pre-multipliquemos la matriz B por E1
E2 =
(1 0 0
0 1 0
0 2 1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 96: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/96.jpg)
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Pre-multipliquemos la matriz B por E1
E2A =
(1 0 0
0 1 0
0 2 1
)(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
=
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
= B1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 97: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/97.jpg)
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 98: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/98.jpg)
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 99: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/99.jpg)
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 100: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/100.jpg)
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
E cFi → Fi Fi + cFj → Fi Fi ↔ Fj
E−1 1cFi → Fi Fi − cFj → Fi Fi ↔ Fi
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 101: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/101.jpg)
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 102: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/102.jpg)
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 103: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/103.jpg)
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Ası que
1 0 0
0 1 0
0 −23
1
︸ ︷︷ ︸
E2
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
︸ ︷︷ ︸
E1
1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
︸ ︷︷ ︸
A
=
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
︸ ︷︷ ︸
U
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 104: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/104.jpg)
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Ası que
1 0 0
0 1 0
0 −23
1
︸ ︷︷ ︸
E2
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
︸ ︷︷ ︸
E1
1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
︸ ︷︷ ︸
A
=
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
︸ ︷︷ ︸
U
(E7E6E5E4)(E3E2E1)A =
1 0 1 00 1 −1 00 0 0 1
las columnas pivotales (primera, segunda y cuarta) son precisamente e1,e2 y e3
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 105: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/105.jpg)
Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 106: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/106.jpg)
Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss)+Jordan=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que
Ek · · ·E2E1A = I . ⇔ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k I
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 107: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/107.jpg)
Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss)+Jordan=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que
Ek · · ·E2E1A = I . ⇔ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k I
⇐ si A = E1E2 · · ·Er entonces A es invertible pues el producto dematrices invertibles
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 108: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/108.jpg)
Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss a una matriz A logramos encontrar lasmatrices elementales Ei tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 109: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/109.jpg)
Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss a una matriz A logramos encontrar lasmatrices elementales Ei tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.
Si A = LU, el sistema Ax = b se convierte en
b = Ax = LUx = L(Ux) = Ly ,
donde Ux = y por lo tanto, para calcular x , primero resolvemos Ly = b ya continuacion resolvemos Ux = y .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 110: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/110.jpg)
Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 111: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/111.jpg)
Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 112: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/112.jpg)
Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 113: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/113.jpg)
Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Por tanto L = E−11 E−1
2 E−13 , es decir,
L =
(1 0 0
−1 1 0
0 0 1
)(1 0 0
0 1 0
2/3 0 1
)(1 0 0
0 1 0
0 −3/4 1
)
=
(1 0 0
−1 1 0
2/3 −3/4 1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 114: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/114.jpg)
Utilidad de LU
EJEM Sea
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Por tanto L = E−11 E−1
2 E−13 , es decir,
L =
(1 0 0
−1 1 0
0 0 1
)(1 0 0
0 1 0
2/3 0 1
)(1 0 0
0 1 0
0 −3/4 1
)
=
(1 0 0
−1 1 0
2/3 −3/4 1
)
Ahora, resolvemos Ly = b mediante sustitucion hacia adelanteHector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 115: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/115.jpg)
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 116: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/116.jpg)
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 tt
013
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 117: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/117.jpg)
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 tt
013
EJEM Encontremos dos vectores x y z de R4 tales que Ax = b y
zTA = cT , donde
A =
2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8
, b =
−5102113
, c =
2−415
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 118: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/118.jpg)
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 tt
013
EJEM Encontremos dos vectores x y z de R4 tales que Ax = b y
zTA = cT , donde
A =
2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8
, b =
−5102113
, c =
2−415
Observe que zTA = cT equivale a AT z = c, Luego tenemos que resolverdos sistemas, Ax = b y AT z = c
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 119: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/119.jpg)
Utilidad LU
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 120: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/120.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 121: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/121.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 122: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/122.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales
F2 +1
2F1 → F2
F3 −3
2F1 → F3
F4 −5
3F2 → F4
F4 + 3F3 → F4
[V |r ] =
2 −2 0 4 2
0 3 9 −3 −3
0 0 −1 −5 −2
0 0 0 −2 4
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 123: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/123.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales
F2 +1
2F1 → F2
F3 −3
2F1 → F3
F4 −5
3F2 → F4
F4 + 3F3 → F4
[V |r ] =
2 −2 0 4 2
0 3 9 −3 −3
0 0 −1 −5 −2
0 0 0 −2 4
z =
−303912−2
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 124: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/124.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 125: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/125.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 126: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/126.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5, 5, 6,−2)T y, mediante Sus Atras, el sistema Ux = y ,para obtener que x = (2, 0,−3, 1)T .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 127: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/127.jpg)
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5, 5, 6,−2)T y, mediante Sus Atras, el sistema Ux = y ,para obtener que x = (2, 0,−3, 1)T .
Como AT = UTLT , entonces AT z = UT (LT z) = UTw = c usando SustAdel tenemos w = (1,−1, 2,−2)T y, mediante Sust Atras, el sistemaLT z = w , para obtener que z = (−30, 39, 12,−2)T .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 128: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/128.jpg)
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
,
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 129: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/129.jpg)
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
,
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 130: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/130.jpg)
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 131: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/131.jpg)
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como
Aij = (−1)i+jdetMij .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 132: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/132.jpg)
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como
Aij = (−1)i+jdetMij .
DEF Sea An×n = (aij). Definimos el determinante de una matriz A como
det (A) = a11detM11 − a12detM12 + · · ·+ (−1)1+na1n
= a11A11 + a12A12 + · · ·+ (−1)1+na1nA1n
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 133: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/133.jpg)
Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 134: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/134.jpg)
Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 135: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/135.jpg)
Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT
EJEM Calculemos el determinante de
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
y B =
1 0 0 02 3 0 01 −1 −2 07 1/2 4 −1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 136: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/136.jpg)
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 137: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/137.jpg)
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 138: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/138.jpg)
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 139: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/139.jpg)
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 140: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/140.jpg)
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 141: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/141.jpg)
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
detA(n) =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an1 an2 · · · ann
= a11
a21 0 · · · 0
a31 a32 · · · 0
.
.
....
. . ....
an1 an2 · · · ann
= a11(a22 · · · ann)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 142: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/142.jpg)
Propiedades importantes
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 143: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/143.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
DEM: Sea la Fi = (0, 0, . . . , 0), Calculemos el detA usando la Fi
detA = 0Ai1 + 0Ai2 + · · ·+ 0Ain = 0
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 144: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/144.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 145: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/145.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 146: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/146.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 147: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/147.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 148: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/148.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 149: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/149.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 150: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/150.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 151: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/151.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
A(2) =
(a b
c d
)
= ad − bc B(2) =
(c d
a b
)
= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)
detA = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · ·+ arnArn
= br1(−Br1) + br2(−Br2) + · · ·+ brn(−Brn)
= −[br1Br1 + br2Br2 + · · ·+ brnBrn]
= −detB ,Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 152: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/152.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 153: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/153.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 154: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/154.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
DEM: Supongamos que las filas i y j son iguales. sea B la matriz A
con las filas i y j intercambiadas Entonces,
detA = −detB = −detA, ⇒ 2detA = 0
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 155: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/155.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 156: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/156.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 157: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/157.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 158: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/158.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ. Ahora, calculamos el detA usando la Filai
detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin
= λai1Ai1 + λai2Ai2 + · · ·+ λainAin
= λ(ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin)
= λdetA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 159: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/159.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 160: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/160.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 161: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/161.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 162: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/162.jpg)
Propiedades importantes
CORO Sea E una matriz elemental n × n.
Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 163: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/163.jpg)
Propiedades importantes
CORO Sea E una matriz elemental n × n.
Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.
CORO Sea E y A matrices de igual tamano, donde E es una matrizelemental. Entonces
det (EA) = (detE )(detA).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 164: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/164.jpg)
Propiedades importantes
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 165: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/165.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 166: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/166.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A
,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 167: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/167.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A
,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
detEi = −1 para las p matices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 168: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/168.jpg)
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A
,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
detEi = −1 para las p matices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.como U es una matriztriangular superior
detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 169: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/169.jpg)
Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 170: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/170.jpg)
Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 171: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/171.jpg)
Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 172: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/172.jpg)
Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.
TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces
det (αA) = αdetA.det (AB) = detA detB .det (Am) = (detA)m.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 173: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/173.jpg)
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 174: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/174.jpg)
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA
EJEM: Dadas las matrices A =
−1 0 10 2 13 0 0
y B =
2 0 01 0 −20 3 1
calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 175: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/175.jpg)
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA
EJEM: Dadas las matrices A =
−1 0 10 2 13 0 0
y B =
2 0 01 0 −20 3 1
calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).
DEF: Dada A(n), definimos la matriz de cofactores de A como la matrizcuya componente (i , j) es el cofactor Aij y definimos adj(A), la matrizadjunta de A, como la transpuesta de la matriz de cofactores.
Cof (A) =
A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
.
.
....
. . ....
An1 An2 · · · Ann
adj(A) =
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
.
.
....
. . ....
A1n A2n · · · Ann
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 176: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/176.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 177: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/177.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 178: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/178.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
DEM: Si A es una matriz invertible, detA 6= 0; por lo tanto, usando laspropiedades del producto de matrices y el teorema anterior, tenemos
A( 1
detAadj(A)
)
=1
detA(A adj(A)) =
1
detA(detA)I = I .
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 179: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/179.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz
A =
−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 180: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/180.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz
A =
−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1
SOL: Sea A−1 = (αij), entonce α32 =A23
|A|=
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 181: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/181.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 182: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/182.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 183: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/183.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
DEM: Observe que
A adj(A) = (detA)I , ⇒ det (A) det[adj(A)
]= (detA)n.
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 184: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/184.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =
−2 0 1 0
0 −1 0 −2
4 0 −7 −1
0 3 0 1
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica
![Page 185: Algebra lineal B sica - WordPress.com · 4 1 calculemos AB = [Ab1 Ab2] OBS: componente (i,j) del producto AB es el producto escalar de la i-fila de la matriz A y la j-columna de](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022052518/5f0ad6ec7e708231d42d9844/html5/thumbnails/185.jpg)
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =
−2 0 1 0
0 −1 0 −2
4 0 −7 −1
0 3 0 1
Como
detA = 50 y A4×4 ⇒ det (adj(A)) = 503
Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica