ALGEBRA-LINEAL Resumen Corregido

7/24/2019 ALGEBRA-LINEAL Resumen Corregido

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UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERA EN SISTEMAS, ELECTRNICA E

INDUSTRIALPROYECTO ACADMICO DE FIN DE SEMESTRE

Ttulo: Sistemas de ecuaciones linealesCarrera: Industrial en procesos de Automatizacin

rea Acadmica: Anlisis MatemticoLnea de Investigacin: ro!ecto Integrador de Sa"eresCiclo Acadmico ! aralelo: Segundo #$% Alumnos participantes: $elezaca &uamn 'ar(in Ale)ander

*errera &ua!a+uil ,icente 'avidMndez 'az ngel -icardoMinc.ala /ara /e0erson 1duardo

ilco 2u3ez C.ristian Ale)ander

Torres Tipn 1dison 4avier ,illagmez &arca 'ennis 'aniel

Mdulo ! 'ocente: Alge"ra LinealIng5 1din &arcs

1. PP2. YY


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INDICE DE CONTENIDOS1.1 TTULO.. 31.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Gene !".. 31.2.2 Objetivo# E#$e%&'i%o#. 3

1.3 (ES)*EN.1.+ P,L,B(,S CL,VE1.- INT(ODUCCI N.1./ *,TE(I,LES Y *ETODOLOG,...1.0 (ESULT,DOS Y DICUSI N1. CONCLUSIONES..1. (E E(ENCI,S BIBLIOG(, IC,S..1.14 ,NE5OS..

I.1 T&t6"o

,PLIC,CION DE SISTE*, DE ECU,CIONES EN (ESOLUCION DEP(OBLE*,S (E E(ENTE , L, INGENIE(I, INDUST(I,L.


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I.2 Objetivo#

I.2.1 Gene !"

Conocer la importancia de los sistemas de ecuaciones lineales aplicadaen la ingeniera industrial5

I.2.2 E#$e%&'i%o#

1studiar las tcnicas de resolucin ! el anlisis de los sistemas deecuaciones aplicadas a la Ingeniera como .erramientas0undamentales5

Comprender6 analizar ! plantear los conceptos de las ecuaciones6para poder resolver los pro"lemas +ue se presentan en ingeniera5

Compro"ar el resultado de cada pro"lema con di0erentes mtodosde resolucin5

I.3 (e#67en

1n el presente pro!ecto se detalla la resolucin paso a paso de sistemas deecuaciones lineales en los cuales se aplica diversos metodos de resolucion paralos sistemas de ecuaciones planteados tales como Crammer 6 &auss6 &auus7/ordan6 los e8ercicios planteados son:

9 ;na compa3a minera e)trae mineral de dos minas6 el cual contienepara la mina1l 9< de n+uel ! =< de co"re6 para la mina II el =< de n+uel ! >< deco"re5 ?@u cantidad de mineral se de"er e)traer de cada mina parao"tener toneladas de n+uel ! B toneladas de co"re

= 1n una 0"rica de ropa se producen tres estilos de camisas +uellamaremos 96 =6D cada prenda pasa por el proceso de cortado6 cosido6planc.ado6 ! empa+uetado5 Las camisas se ela"oran por lote5 araproducir un lote del tipo 9 se necesitan DE min5 ara cortarlas6 E min56para coserlas ! >Emin5 ara planc.arlas ! empa+uetarlas5 ara el tipo =6>E min para cortar6 >E min para coser ! >E min5 ara planc.ar !empa+uetar5 ara el tipo D6 F> min para cortar6 E min para coser ! 9>min para planc.ar ! empa+uetar5 ?Cuntos lotes se pueden producir si


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se tra"a8an G .oras en cortar6 G en coser ! G .oras en planc.ar !empa+uetar

D Tres compuesto se com"inan para 0ormar tres tipos de 0ertilizantes5 ;naunidad del 0ertilizante del tipo I re+uerido 9E Hg del compuesto A6 DE Hgdel compuesto $6 ! FE Hg del compuesto C5 una unidad del tipo II

re+uiere =E Hg del A6 DE Hg del $6 ! >E Hg del C5 ;na unidad del tipo IIIre+uiere >E Hg del C5 Si .a! disponi"les 9FEE Hg del A6 9=EE Hg del $ !D=EE del C5 ?Cuntas unidades de los tres tipos de 0ertilizantes sepueden producir si se usa todo material +umico disponi"le

I.+ P!"!b !# %"!ve8 E%6!%i9n 6n%i9n

I.- Int o:6%%i9nLos primeros intentos para resolver pro"lemas 0sicos mediante el clculodi0erencial a 0inales del siglo 4,II llevaron gradualmente a crear una nueva rama delas matemticas6 a sa"er6 las ecuaciones di0erenciales5 A lo largo del tiempo se .ademostrado +ue la dinmica de muc.os sistemas sean mecnicos6 electrnicos6trmicos6 econmicos6 "iolgicos6 etc56 se descri"en en estos trminos5 ;na vezo"tenido el modelo matemtico de un sistema6 se utilizan diversos recursos

analticos para estudiarlos ! sintetizarlos51n el centro del lge"ra lineal6 ! en gran parte de la matemtica aplicada6 se .allael pro"lema de la solucin de sistemas de ecuaciones lineales51studiaremos las tcnicas de resolucin ! el anlisis de los sistemas de ecuacioneslineales como .erramientas 0undamentales para comprender los conceptos dellge"ra lineal ! plantear muc.os de los pro"lemas +ue se presentan en ingeniera !otras ciencias5 or e8emplo: el anlisis de circuitos elctricos6 las estructuras deredes ! sus posi"les 0lu8os en el rea de transporte6 de comunicaciones6

econmicas6 las cargas +ue pueden soportar distintas estructuras6 el "alanceo dereacciones +umicas6 etc51n matemtica para resolver un pro"lema es importante la solucin de un pro"lemade ecuaciones51l siguiente tra"a8o trata de la aplicacin ! utilidad de las ecuaciones para laresolucin de pro"lemas con modelos matemticos relacionados a la ingeniera6espec0icamente a la ingeniera industrial6 en la cual veremos la aplicacin de lasmismas para el anlisis ! dise3o del comportamiento de sistemas dinmicos5


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I./ *!te i!"e# ; *eto:o"o


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Co7$!tib"e :ete 7in!:o : solucin Knica5

Co7$!tib"e in:ete 7in!:o : in0initas soluciones5

Si#te7!# e#%!"on!:o#8

Son a+uellos en +ue cada ecuacin tiene una incgnita menos +ue la anterior5

Si#te7!# e=6iv!"ente#Son a+uellos +ue tienen la misma solucin6 aun+ue tengan distinto nKmero deecuaciones5 Q"tenemos sistemas e+uivalentes por:

1liminacin de ecuaciones dependientes5 Si:

Todos los coe0icientes son ceros5

'os 0ilas son iguales5

;na 0ila es proporcional a otra5

;na 0ila es com"inacin lineal de otras5

T !n#'o 7!%ione#8

Se pueden realizar las siguientes trans0ormaciones:

Cam"iar el orden de las ecuaciones del sistema5

Cam"iar el orden de las incgnitas en la ecuacin 5

Multiplicar los dos miem"ros de una ecuacin por un nKmero distinto de cero5

Sustituir una ecuacin del sistema por una com"inacin lineal de ella ! de lasrestantes siempre +ue el coe0iciente de la ecuacin sustituida sea distinto de cero5

(e


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c) continuar sustitu!endo los trminos independientes en las distintas columnaspara .allar el resto de las incgnitas5

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales 0ormado por dos ecuaciones con dosincgnitas:

1ncontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer5

1mpezaremos con el primer paso6 +ue consiste en .allar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

1l segundo paso es calcular el determinante de A5 As pues:

R el tercero ! Kltimo paso consiste en calcular las incgnitas:

*>to:o :e G!6##

1l mtodo de &auss consiste en trans0ormar un sistema de ecuaciones enotro e+uivalente de 0orma +ue ste sea escalonado5 ara 0acilitar el clculo vamos atrans0ormar el sistema en una matriz6 en la +ue pondremos los coe0icientes de lasvaria"les ! los trminos independientes separados por una recta 5

Teo e7! :e (o6%?>@ Abeni6#


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Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas6 cu!ae)presin general es la siguiente:

Sean A la matriz del sistema ! A la matriz ampliada del sistema conlos trminos independientes 5

Si rango A J rango A J n nKmero de incgnitas 6 el sistema es%o7$!tib"e :ete 7in!:o tiene una Knica solucin 5

Si rango A J rango A P n nKmero de incgnitas 6 el sistema es%o7$!tib"e in:ete 7in!:o tiene in0initas soluciones 5

Si rango A rango A 6 el sistema esin%o7$!tib"e no tiene solucin 5

;n caso particular es el de los sistemas .omogneos6 es decir6 a+uellos en los +uetodos los trminos independientes son nulos5 ues6 en este caso6 las matrices A! A son seme8antes a e0ectos del clculo del rango6 dado +ue la matriz A es lamatriz A a la +ue se le a3ade una columna de ceros6 +ue podemos suprimir paracalcular el rango5 or lo tanto6 siempre se cumple +ue el rango A J rango A 51sto +uiere decir +ue todos los sistemas .omogneos son siempre compati"les5Se cumple:

Si rango A J n nKmero de incgnitas 6 el sistema es compati"le determinado5Tiene una Knica solucin6 +ue se conoce con el nom"re de solucin trivial5 1sa+uella en la +ue todas las incgnitas son nulas E 5

Si rango A P n nKmero de incgnitas 6 el sistema es compati"le indeterminadotiene in0initas soluciones 5

;na vez realizada la Udiscusin o identi0icacin del sistemaU6 aplicaremos algunode los mtodos +ue desarrollaremos en los epgra0es posteriores5 2o o"stante6 espreciso tener en cuenta las siguientes o"servaciones:

Si el sistema es compati"le determinado6 el valor comKn de los rangosindica el nKmero de ecuaciones principales6 es decir6 a+uellas +ue nodependen de las restantes5

Si el sistema es compati"le indeterminado6 rango A J rango A J H P nel valor comKn de los rangos H indica tanto el nKmero de ecuacionesindependientes o principales6 como el nKmero de incgnitas principales5


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Las restantes incgnitas no principales n 7 H las pasaremos al segundomiem"ro 0ormando un Knico trmino 8unto al trmino independiente5Siguiendo este procedimiento o"tendremos un sistema de H ecuacioneslineales con H incgnitas principales 6 al +ue aplicaremos uno de losprocedimientos +ue estudiaremos en los siguientes apartados: -egla deCramer6 Mtodo de &auss o6 por la matriz inversaV9W5

Di#%6#i9n :e #i#te7!#

'iscutir un sistema es determinar si tiene solucin !6 caso de tenerla6 sa"er si staes Knica5 1s decir6 determinar si es compati"le o incompati"le6 ! en caso de ser compati"le6 si es determinado o indeterminado5

(e#o"6%i9n :e $ ob"e7!#

asos a seguir:

Leer ! comprender el enunciado5 Anotar los datos utilizando: es+uemas6 di"u8os6 diagramas de r"ol555 1legir una notacin +ue nos permita relacionar las distintas varia"les5 lantear ! resolver el sistema5 Compro"ar la solucin5

,$"i%!%i9n :e "!# e%6!%ione# "ine!"e# en "!# :i'e ente# :i#%i$"in!# ; en "!in< de co"re5?@u cantidad de mineral se de"er e)traer de cada mina para o"tener toneladasde n+uel ! B toneladas de co"re

Solucin:?Cul es el pro"lema ?@u se "usca

@ueremos sa"er el nKmero de toneladas de mineral +ue .a! +ue e)traer de cadamina6 asignemos literales a esos nKmeros5 Sean ) el nKmero de toneladas +ue see)trae de la mina I5R el nKmero de toneladas +ue se e)trae de la mina II51sta"lezcamos a.ora relaciones alge"raicas entre las literales5?Cunto se o"tienede n+uel de la mina I E5E9)5 ?R de la mina II E5E= ! luego5 E5E9) E5E=!J Anlogamente para el co"re tenemos: E5E=) E5E>!JB As6 para sa"er cuntastoneladas .a! +ue e)traer de cada mina de"emos resolver el sistema de dosecuaciones lineales con dos incgnitas: E5E9) E5E=!JE5E=) E5E>!JB

Eje %i%io 281n una 0"rica de ropa se producen tres estilos de camisas +ue llamaremos 96 =6Dcada prenda pasa por el proceso de cortado6 cosido6 planc.ado6 ! empa+uetado5


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Las camisas se ela"oran por lote5 ara producir un lote del tipo 9 se necesitan DEmin5 ara cortarlas6 E min56 para coserlas ! >Emin5 ara planc.arlas !empa+uetarlas5 ara el tipo =6 >E min para cortar6 >E min para coser ! >E min5 araplanc.ar ! empa+uetar5 ara el tipo D6 F> min para cortar6 E min para coser ! 9>min para planc.ar ! empa+uetar5 ?Cuntos lotes se pueden producir si se tra"a8anG .oras en cortar6 G en coser ! G .oras en planc.ar ! empa+uetar

Solucin:

@ueremos sa"er cuntos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir6asignemos literales5 Sea 4 el nKmero de lotes de camisas del tipo 9 +ue se puedeproducir5 Sea ! el nKmero de lotes de camisas del tipo = +ue se puede producir5 SeaX el nKmero de lotes de camisas del tipo D +ue se puede producir5 1sta"lezcamosrelaciones alge"raicas entre las varia"les5

1l nKmero de minutos +ue se emplean en cortar una camisa del tipo 9 es DE46 del

tipo = es >E !6 ! del tipo D es de F>z5 1l nKmero total de min5 @ue se emplea encortar todas las camisetas es: DF) >E! F>z R tiene +ue ser igual a GEmin5 @ueson las oc.os .oras +ue se tra"a8an en cortar DF) >E! F>zJ GE Anlogamente en coser se tiene E) >E! EzJ GE 1n planc.ar ! empa+uetar tenemos: >E >E 9>zJ GE

Luego si +ueremos resolver el pro"lema .a! +ue solucionar el sistema de tresecuaciones lineales con tres incgnitas:

DE) >E! F>zJ GEE) >E! EzJ GE

>E) >E! 9>zJ GE


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Eje %i%io 38

Tres compuesto se com"inan para 0ormar tres tipos de 0ertilizantes5 ;na unidad del0ertilizante del tipo I re+uerido 9E Hg del compuesto A6 DE Hg del compuesto $6 ! FEHg del compuesto C5 una unidad del tipo II re+uiere =E Hg del A6 DE Hg del $6 !>E Hg del C5 ;na unidad del tipo III re+uiere >E Hg del C5 Si .a! disponi"les 9FEEHg del A6 9=EE Hg del $ ! D=EE del C5 ?Cuntas unidades de los tres tipos de0ertilizantes se pueden producir si se usa todo material +umico disponi"le

Solucin:@ueremos sa"er cuntas unidades de cada tipo de 0ertilizante se pueden producir6asignemos literales5 Sea ) el nKmero de unidades del 0ertilizante del tipo I5 Sea ! elnKmero de unidades del 0ertilizante del tipo II5 Sea z el nKmero de unidades del0ertilizante del III5 1sta"lezcamos relaciones alge"raicas entre las varia"les5La cantidad de Hilogramos del compuesto A +ue contiene el 0ertilizante del tipo I es9E)6 del tipo II es =E!6 ! del tipo III es >Ez5 1l nKmero total de Hilogramos delcompuesto A es: 9E) =E! >Ez R tiene +ue ser igual a 9FEE Hg +ue son losHilogramos disponi"les del compuesto A5 9E) =E! >EzJ9FEE Anlogamente para elcompuesto $ se tiene DE) DE!J9=EE ara el compuesto C se tieneFE) >E! >EzJD=EE As6 para sa"er cuntas unidades de cada tipo de 0ertilizante se puede producir6 .a!+ue resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas59E) =E! >EzJ9FEEDE) DE!J9=EEFE) >E! >EzJD=EE


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I.0 Con%"6#ione#

La aplicacin de las ecuaciones es mu! utilizada en todas las ramas de laingeniera para el modelado de 0enmenos 0sicos5 Su uso es comKn tanto enciencias aplicadas6 como en ciencias 0undamentales5

La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales apareci como una parte

importante en cual+uier campo de la ciencia ! de la ingeniera6 como por e8emplo6 laresolucin de "alances de materia en un sistema5 Los ingenieros industriales seen0ocan en los sistemas de produccin5

La ingeniera industrial se centra en la U manera U en +ue esos productos ! serviciosse .acen6 usando los mismos acercamientos +ue otros ingenieros aplican en eldesarrollo del producto o del servicio6 ! para el mismo propsito5 1n general6 laingeniera es la aplicacin de la ciencia ! de las matemticas al desarrollo de losproductos ! de los servicios Ktiles a la .umanidad5

I. (e'e en%i!# bib"io< 'i%!#

V9W A5 ena6 Y'escartes Dd6Z =EEF5 V1n lneaW5 Availa"le:.ttp:[[recursostic5educacion5es[descartes[(e"[materiales\didacticos[sistemas\de \ecuaciones\lineales\="cnt[discusion\por\el\teorema\de\rouc.e5.tm5 V]ltimoacceso: D Agosto =E9>W5

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