Algebra Lineal - Splash
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Tarea 1
Conjuntos numéricos
Son todos aquellos conjuntos que están formados por números, estos se dividen principalmente en:
Números Naturales:
Son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por el símbolo N y sus elementos son:
N= {1, 2, 3, 4,5…∞}
Números enteros:
Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números Naturales, sus inversos aditivos y el neutro aditivo
Z= {-∞…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3…∞}
Números Racionales:
Es el conjunto de a aquellos números que se pueden representar por medio de una facción.
Q= 12, 25,54
Números Irracionales:
No pueden expresarse en forma de fracción (a/b) siendo a y b enteros. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.
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I= {π. ∈,}
Números complejos
Es el conjunto de números con parte imaginaria y parte real.
Imaginarios
Es un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero
Negativos y Positivos
Todos los números que están a la izquierda del 0 se llaman números negativos, los de la derecha son positivos y son infinitos.
Cero (0) es el origen. Cualquier positivo es mayor, que cualquier negativo.
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Números complejos:
2√3+5√15=2√3+5√3√5=√3(2+5√5)
√−5+√−4=√6√−1+√4 √−1=√−1=ι=√6 ι+2 ι=ι √6
Fracciones comunes:
½ ¾ 2/7
3.2, 0.25,-6.42 - Fracciones decimales.
Las matemáticas son dialectos, ósea es la unidad y la lucha de contrarios.
Solo hay dos operaciones: Suma y Resta.
+ -() /E √
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Tarea 2
Representación de los conjuntos numéricos
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C = {(x,y) | x,y ∈R}.
Pareja de par
ordenado
(x,0) = Regresa a la línea (x)
(o,y) = Termino usado para término puramente puro imaginario.
i= (0,1) Es la unidad imaginaria
1 = (0,1)
Z = (x,y) ∈R (Números complejos)
Z = (x,y) = x (0,1) + y (1,0)
= x 1 + yi
= x + yi
Ejercicios :
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En otras palabras, estamos definiendo una nueva colección de números z tomando cada posible par ordenado de números reales en donde (x, y) pertenece a los números reales cabe la redundancia; en donde x, es considerada parte real del par ordenado (x, y). Esto implica, que el conjunto de los números reales podría ser identificado con la siguiente expresión,
{(x, 0) | x ∈R} ∈C.
Es común utilizar el término puramente imaginario para cualquier número complejo de la forma (0, y), donde y, pertenece a los reales. En particular, el número complejo i = (0,1) es especial, y se llama el imaginario unidad.
El uso de i es estándar cuando denota números complejo,
z = (x,y) ∈C
1 = (1,0)
2 ; (x,y) = x (1,0) + y (0,1)
= x + y𝒾Esto nos ofrece una forma significativamente simple de realizar operaciones aritméticas con números complejos cuando se escriben de esta forma,
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˖La suma de números complejos se realza sobre sus componentes nos referimos a que la parte real e imaginaria simplemente se combinan.
(x1,y1), (x2,y2) ∈C
(x1,y1) + (x2,y2)= (x1+x2, y1 + y2)
(3, 2) + (17, -4.5) = (3 + 17, 2 + (-4.5))
= (20, -2.5)
˖La resta o sustracción se puede definir como una suma del inverso aditivo donde el inverso aditivo de “z” está definida como:
Z = (x,y) -Z = (-x,-y)
(π ,√2 )( π2 ,√19)(π √2 )−( π2−√19)(π ,√2 ,√2−√19 )
π1− π2=2π−π
2= π2
“Suma y resta de números complejos”
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La adición de números complejos conserva muchas de las mismas propiedades que la adición de números reales, incluyendo la asociatividad, conmutatividad, la existencia, la identidad aditiva, y la existencia y del inverso aditivo. Agruparemos estas propiedades en el siguiente teorema, que usted debe probar para su propia práctica.
1. Asociatividad:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
2. Conmutatividad:
(z1 + z2) = (z2 + z1)
3. Inverso Aditivo:
Si tenemos un numero complejo z ∈R que pertenece los números complejos existe un único numero complejo denominado (–Z) en el cual al ser sumado el resultado es 0; Z+ (-Z)= 0. De esa manera si Z es igual a x, y cuando x y y pertenece a los reales entonces:
(z)= (x, y) (-z)= (-x, -y)4. Identidad Aditiva:Tenemos un numero único complejo denominado 0 para al operarse con cualquier numero complejo = 0
0 + z = z0 = (0, 0)
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La definición de la multiplicación de números complejos marca las diferencias y complicaciones respecto a la adición.
Se tiene dos números complejos
(x1 , y1 ) (x2 , y2 )=(x1 x2− y1 y2 , x2 y1+x1 y2)
De acuerdo a esta definición ι2=−1 en otras palabras i es la solución de la ecuación polinomial z2+1=0 la cual no tiene soluciones en los números reales.
z2+1=0
z2=−1
z=√−1
z=i
Resolviendo algunas otra ecuación de este tipo es que se planteó la necesidad del estudio de los números complejos.
Desde destacarse la relación en donde ι2 es igual a -1 y asumir que los números complejos pueden ser multiplicados como números reales y esto es suficiente para entender la regla de la multiplicación de los números complejos.
(x1 , y1 i ) (x2 , y2i )=¿
x1 x2+x1 y2 i+x2 y1i+ y1 y2 i2
x1 x2+ y1 y2 (−1 )+(x¿¿1 , y2+x2 y1) i¿x1 x2− y1 y2+(x¿¿1 , y2+x2 y1)i ¿
¿
Multiplicació
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Así como en la suma las propiedades básicas de la multiplicación compleja, son lo suficientemente sencillas para probarse usando la definición. Vamos a sintetizar estas propiedades atreves del siguiente teorema el cual podrás probar atravesó de la práctica.
El cual podrás probar atravesó de la práctica;
Teorema 2
Tenemos los números complejos z1, z2que pertenecen a los complejos los z1, z2 , z3 ∈C. Los cuales siguen las siguientes condiciones o propiedades
1. Asociatividad:
(z1 + z2) · z3 = z1 · (z2 + z3)
2. Conmutatividad:
(z1 · z2) = (z2 · z1)
3.-Identidad multiplicativa:
Tenemos un único número complejo denominado 1 el cual al ser multiplicado por cualquier número complejo que pertenezca a los números complejos
1z = z
4.- Propiedad distributiva:
Es una propiedad combinada con la suma:
z1 · (z2 +z3) = ( z1 + z2) · z3
De la misma forma que los números reales todos los números complejos que no son 0 tienen de manera única un universo multiplicativo el cual se denomina:
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z−1=1z
Multiplicación de inversos multiplicativos
Tenemos que permanecer a los números complejos z que pertenece a los números complejos cuando z = 0 tenemos un único numero complejo denominado z−1, donde multiplicar z · z−1 = 1 de esta manera si z es igual a (x, y) que pertenece a los números reales entonces z−1 es igual a este par ordenado:
z−1=( x
x2+ y2,
− yx2+ y2
)
Profundidad
Un numero complejo w es inverso de z si z · w = 1, debemos de demostrar si w y v son dos números complejos si z · w = 1 y z · v = 1 por lo tanto w y v son iguales w = v
Esto implica que cualquier número complejo cualquier z que pertenece a los complejos puede tener más de un inverso multiplicativo, para ver esto iniciamos con la idea de que z · v = 1 multiplicando ambos lados por w obtenemos w·z·v = 1w utilizando el hecho de que 1 es la unidad multiplicativa, asumimos que w es un inverso y entonces tenemos w·z·v = v = w
Existencia
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Ahora podemos asumir cuando z permanece a los complejos cuando z es diferente de 0 lo podemos escribir de la siguiente forma z = x + y𝒾 donde (x, y) ∈R de esta manera cuando z es diferente de 0 asumimos que x o y no son 0 y por lo tanto x2+ y2>0será mayor que 0.
Podemos definir entonces que w es igual:
w=( x
x2+ y2,
− yx2+ y2
)
z1 entre el número complejo diferente a 0 z2 o como el producto de (z1 ∙ z2)−1de
manera explícita para ambos números complejos tenemos:
z1=x1+ y1i
z2=x2+ y2i
El cociente complejo es:
z1z1
=x1 x2+ y1 y2+(x2 y1−x1 y2)
x22+ y2
2
Ejercicios:
División de
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Sistema de numeración binario
El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dígitos, esto en informática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensión lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. También se utiliza en electrónica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado).
Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).
1223+0122+1121+1212
8+0+2+1=1
Y para expresar que ambas cifras describe la misma cantidad la escribimos así:
10112=1110
Sistema de numeración octal
Para representar un número base octal (base 8) es necesario disponer de un conjunto, o alfabeto de 8 símbolos.En el sistema octal se utilizan 8 estados y el conjunto de símbolos utilizados van de 0 al 7.
Se utilizan en el entorno de los ordenadores es consecuencia de su facilidad de uso junto al sistema binario que se usa comúnmente.
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Sistema de numeración hexadecimal
Para representar un número en base hexadecimal (base 16), es necesario disponer de un conjunto, o alfabeto de 16 símbolos.Está compuesto por los números de 0 al 9 y las letras A, B, C, D, E y F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15).
Se utilizan como en el caso del sistema octal, por su rapidez en la conversión a sistema binario y al ahorro que representa en la presentación,
U.B C.M D.M U.M C.M D.M U.M C D U
1359 = 10101001111
2973 = 101110011101
999 = 1111100111
63457 = 1111011111100001
1010101010 = 682
11001101 = 205
101011110 = 350
10101111011 = 1403
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Operación de números binarios
Suma:
5
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Resta:
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Multiplicacion: