Álgebra Lineal y Cálculo Unidades 4 y 5 (1)

FUNDACIÓN EDUCATIVA SAN NICOLÁSFESNI

ÁLGEBRA LINEAL Y CÁLCULO 21/04/2023

UNIDAD 4. LÍMITES

4.1 DEFINICIÓN DE LÍMITE

El límite de una función f (x) es un valor aproximado a L cuando x se aproxima a un valor c. Esto es:

limx→c

f ( x )=L

La forma elemental de encontrar el límite de una función es sustituir x por el valor de c. Sin embargo algunas veces, esto no es posible y, se generan lo que llamamos indeterminaciones o inconsistencias que se deben resolver aplicando otros métodos.

Ejemplos:

Hallar limx→1

(2x+3 )

Sustituimos el valor de tendencia y encontramos el resultado:

limx→1

(2x+3 )=(2 (1 )+3 )

limx→1

(2x+3 )=5

Hallar

limx→3

x+1x−2

Sustituimos el valor de tendencia y encontramos el resultado:

limx→3

x+1x−2

= 3+13−2

=4

4.2 SOLUCIÓN DE INCONSISTENCIAS

Cuando verificamos una sustitución del valor de tendencia en el límite de una función y nos encontramos con una inconsistencia del tipo 0/0,… debemos resolverlo bien sea, aplicando factorización, conjugadas u otro método

Ejemplo: Hallar

limx→−2

x2−4x2+5 x+6

[email protected] Pérez (Pág.1 de 6) 311 758 20 21



Al sustituir x por -2 tenemos:

limx→−2

x2−4

x2+5 x+6=

(−2 )2−4(−2 )2+5(−2)+6

limx→−2

x2−4

x2+5 x+6= 4−44−10+6

limx→−2

x2−4

x2+5 x+6=00

Y obtenemos una indeterminación, la cual podemos resolver factorizando las expresiones del numerador y del denominador:

limx→−2

x2−4x2+5 x+6

=( x−2 ) (x+2 )( x+3 ) ( x+2 )

Cancelamos factores semejante en el numerador y denominador, y sustituimos el valor de tendencia:

limx→−2

x2−4x2+5 x+6

=(−2−2 )(−2+3 )

limx→−2

x2−4x2+5 x+6

=−4

4.3 CONJUGADO DE UN BINOMIO

El conjugado de un binomio es el mismo binomio, cambiando el signo del segundo término. Y sirve para resolver ciertas indeterminaciones de límites.

Ejemplo: Hallar

limx→ 4

2−√x4−x

Si sustituimos el valor de tendencia,

limx→4

2−√x4−x

=2−√44−4

=00




Obtenemos una indeterminación que podemos resolver multiplicando, tanto el denominador como el numerador, por el conjugado del numerador

limx→4

2−√x4−x

=limx→4

2−√x4−x

∗2+√ x

2+√x=limx→4

(4−x )(4−x ) (2+√x )

Cancelamos factores semejantes, y nos queda:

limx→4

12+√ x

Sustituimos el valor de tendencia y obtenemos el resultado:

limx→ 4

1

2+√ x= 1

2+√4=14

4.4 EJERCICIOS

Evalué los siguientes límites

limx→3

x+1x−2

limx→−1

x2+4 x+3x2+3 x+2

limx→9

√x−3x2−81

limx→0

√ x+1−1x

limx→ 4

x2−3 x−42−√8−x




limx→2

(3 x2+7 x−1 )

5. LA DERIVADA

5.1 DEFINICIÓN

La derivada de una función f(x) en el punto X = c es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

dydx

= lim∆ x→ 0

∆ y∆ x

=¿ lim∆ x→ 0

f ( x+∆ x )−f (x)∆ x

¿

Ejemplo: Determinar f ’ (x ) si f ( x )=2x2+3 x+1

SOLUCIÓN:

Sea y=f ( x )=2 x2+3 x+1. Entonces

y+∆ y=f ( x+∆ x )=2 ( x+∆ x )2+3 ( x+∆ x )+1

¿2 [ x2+2 x ∆ x+ (∆ x )2 ]+3x+3∆ x+1

¿2 x2+4 x ∆ x+2 (∆x )2+3 x+3∆ x+1

¿2 x2+4 x ∆ x+2 (∆x )2+3 x+3∆ x+1

Restamos la función y para obtener ∆ y

∆ y=∆ x (4 x+3+2∆ x )

∆ y∆ x

=4 x+3+2∆ x

Y obtenemos, por definición, la derivada de la función

dydx

= lim∆ x→ 0

∆ y∆ x

=¿ lim∆ x→ 0

(4 x+3+2∆ x )¿

dydx

=4 x+3

RESOLVER POR DEFINICIÓ[email protected]

Guillermo Pérez (Pág.4 de 6) 311 758 20 21



1. f ’ ( x ) si f ( x )=√x

2. Hallar la derivada de 4 x3−3 x2+7

5.2 FORMULAS BÁSICAS DE DERIVADAS

5.2.1 Derivada de una potencia

dydxc xn=cn xn−1

5.2.3 Derivada de una suma de funciones

d (u+v )dx

=dudx

+ dvdx

5.2.3 Derivada del producto de dos funciones

d (u . v )dx

=u dvdx

+v dudx

5.2.4 Derivada del cociente de dos funciones

d ( uv )dx

=vdudx

−u dvdx

v2

5.2.5 Derivada de una constante (c)

dcdx

=0

5.3 EJERCICIOS

Halle la derivada de las siguientes expresiones

√ x

4 x3−3 x2+7

2 x2+3 x+1




4 x3+2+ 1x

2 x2−x3

( x+2 )3


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