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ALGEBRA LINEAL IMPARTE: IQ. JAZMIN MORALES RAMON Clave:ACF-0903 Créditos: 3-2-5 Horario:

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ALGEBRA LINEAL

IMPARTE: IQ. JAZMIN MORALES RAMON

Clave:ACF-0903Créditos: 3-2-5Horario:

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UNIDAD: 1

NÚMEROS COMPLEJOS

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CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Actividades de investigación: 10%Solución de ejercicios: 40%Análisis y discusión grupal: 10%Examen escrito: 40%

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COMPETENCIAS A DESAROLLAR

ESPECIFICA: Manejar los números complejos y las

diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.

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COMPETENCIAS A DESAROLLARGENERICA:

Instrumentales: Capacidad de análisis y síntesis. Capacidad de organizar y planificar. Comunicación oral y escrita. Habilidades básicas de manejo de la computadora. Habilidad para buscar y analizar información proveniente de fuentes

diversas. Solución de problemas

Interpersonales: Capacidad crítica y autocrítica. Trabajo en equipo

Sistémicas: Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. Habilidades de investigación. Capacidad de aprender. Capacidad de generar nuevas ideas. Habilidad para trabajar en forma autónoma. Búsqueda del logro.

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1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: Es una combinación de un número real y un

número imaginario Dado un complejo z = (a; b), la primer

componente se denomina parte real (Re(z) ) y la segunda componente parte imaginaria ( Im(z) ).

De acuerdo a la definición si:

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Los complejos de la forma (a; 0) reciben el nombre de complejos reales puros (CR ) y se encuentran situados en el eje real. Los complejos de la forma (0;b) se denominan complejos imaginarios puros y se ubican sobre el eje imaginario.

OPUESTO Y CONJUGADO DE UN COMPLEJO Dado el complejo z = (a;b) su opuesto es : – z = ( - a;- b ) Dado el complejo z = (a;b) su conjugado es: z = ( a;- b )COMPLEJO NULO z = (a; b) el es complejo nulo, si y sólo si a = b

= 0, anotándose z = (0; 0) = 0

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Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa

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NÚMEROS IMAGINARIOS

La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.

Ej. Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número reali es la unidad imaginaria

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1.2 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

ADICIÓN:

SUSTRACCIÓN:

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo:z1 - z2 = z1 +(- z2) = (a; b)+(- c; - d) = (a - c; b - d)

Dados los complejos z1=(a;b) y z2=(c;d), se define: z1+z2=(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)

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MULTIPLICACIÓN:

POTENCIACIÓN:

Dados los complejos z1=(a;b) y z2=(c;d), se define: z1*z2= (a;b)*(c;d)= (a*c-b*d; a*d+b*c)

La potenciación de un número complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada:

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FORMA BINÓMICA DE LOS NÚMEROS COMPEJOS

La forma binómica de un número complejo es:

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA BINÓMICA

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

z=a+bi

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MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS El producto de los números complejos se realiza

aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

DIVISIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS El cociente de números complejos se hace

racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

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1.3 POTENCIAS DE “I”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

La unidad imaginaria, es un número complejo imaginario puro (0:1) y se representa con la letra i, j.

VERIFICAR (i)2 = -1

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Se observa que, cada cuatro potencias sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n ∈N0 cualquiera, se puede proceder de la siguiente manera:

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo: i22

i22 = (i4)5 · i2 = − 1 i27 = −i

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1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

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El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

Expresión de un número complejo a polar. z=r Módulo arg(z)=α Argumento

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Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:

rα = r (cos α + i sen α) Forma polar o módulo-argumento Otra forma de expresar un número complejo es

la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

,

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Forma exponencial Una variante de la forma polar se obtiene al tener en

cuenta la conocida como fórmula de Euler:

Para Esto nos permite escribir un número complejo en la forma

siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma

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Forma polar y exponencial de un número complejo.

Forma polar

Forma euler

)(cos isenrz irez

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1.5 TEOREMA DE MOIVRE POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre:

y el desarrollo del binomio de Newton

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Potencia. Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para

calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

zn = z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn)n·x

Es decir, (rx)n = (rn)n·x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn = rn·(cos x + i·sen x)n = rn·(cos n·x + i·sen n·x)

De donde: cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n

expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre. Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

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1.6 ECUACIONES POLINOMICAS Podemos definir a las ecuaciones como una

igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "-"),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad. 

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Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. 

Tipos de Ecuaciones Las ecuaciones con una incógnita suelen

tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. 

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…

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Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 

3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica. Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación

lineal.  5x + 7 = 3  (es lineal).  (x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias, esta

ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene:  –10x + 29 = 0).

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c = 0, se las denomina  cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, ó (x – 2)2 + 7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, un polinomio de grado dos.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8 En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la

incógnita se encuentra afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.

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EXAMEN U1

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UNIDAD: 2

MATRICES Y DETERMINANTES

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2.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACION Y ORDEN

Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.

NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis, así:

a2a1a

aaa

aaa

= A

mnmm

n2221

n1211

2

1

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ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.

Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".

ELEMENTO GENERICO

El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

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2.2 OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES: Sean y .

La suma de A y B es la matriz definida por:

Esto es, la suma de dos matrices del mismo tamaño es la matriz de ese mismo tamaño obtenida al sumar los correspondientes elementos de A y B. La matriz C se denota por A+B. Por lo tanto,

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Teorema Sean A, B, y C matrices de tamaño m x n. Entonces:

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PRODUCTO DE MATRICES Sea y sea el

producto

de A y B es la matriz definida por:

La matriz C se denota por AB.   En la siguiente figura, hemos resaltado la fila de A y

la columna de B que son usadas para calcular el elemento cij de AB.

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Nótese que el producto de una matriz A con una matriz B solamente se define cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Además el tamaño de la matriz producto es:

La multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, si A y B son matrices, no necesariamente se cumple que AB y BA sean iguales. En realidad, puede pasar que únicamente uno de estos dos productos este definidos. Por ejemplo, sí A es de tamaño 2 x 3 y B es de tamaño 3 x 4, mientras que BA no está definida, puesto que es imposible multiplicar una matriz de 3 x 4 y una matriz de 2 x 3.

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En general, supongamos que A es una matriz de m x n y B es una matriz de r x s. Entonces AB está definida únicamente cuando n = r y BA está definida solamente cuando s =m. Por otra parte, cuando AB y BA están definidas, ellas no son del mismo tamaño a menos que m = n = r = s. Por consiguiente, si AB y BA están definidas, entonces A y B tienen que ser cuadradas y del mismo tamaño. Además, puede pasar que, A y B sean matrices de tamaño n x n, y AB no es necesariamente igual a BA

TEOREMA

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POTENCIA DE UNA MATRIZ Sea A una matriz de n x n. Definimos la n -

enésima potencia de A de la siguiente manera

Teorema: Sean m y n enteros no negativos. Entonces

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Obsérvese que la igualdad

no es cierta para matrices cuadradas. Sin embargo, si , entonces

PRODUCTO POR ESCALARSea y c un número real. El

producto por escalar es la matriz definido por:

Esto es, la matriz producto por escalar se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c. La matriz B se denota por . Por lo tanto

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DIFERENCIA DE MATRICES Sean y . Se

define la diferencia por Teorema Si c y d son números reales y A y B son

matrices, entonces.

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TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Sea La transpuesta de A es la matriz B definido por:

Esto es, la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A. La matriz B se denota por . Por lo tanto

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2.3 CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES APUNTE EN LIBRETA

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2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN. ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. RANGO DE UNA MATRIZ.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

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Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son. Dada una matriz escalonada E se define el

RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

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La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

I. Intercambiar la posición de dos filas. II. Multiplicar una fila por un número real distinto de

cero. III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a

dicha fila otra fila que ha sido previamentemultiplicada por un número cualquiera.

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TEOREMA A partir de cualquier matriz A se puede llegar,

mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

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El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

  Dada una matriz A cualquiera se define el

RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

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RANGO DE UNA MATRIZ Rango de una matriz: es el número de líneas de

esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

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Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

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F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

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Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una línea si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras. Suprimimos la tercera columna porque es

combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

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2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0 3. Tendrá rango 2 si existe alguna

submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

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4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.

5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.

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2.5 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada A, se llama inversa de A y se representa

por A-1 a la matriz tal que multiplicada por A da la identidad, es decir:

El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone, como en el apartado anterior, transformar una matriz en otra equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que vamos a describir se sale del propósito del presente curso, nosotros nos limitaremos a exponerlo y a comprobar que efectivamente obtenemos la matriz inversa aplicando la definición.

En esencia el método consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en:

Formamos una matriz de orden n x 2n tal que las n primeras columnas son las de matriz A y las otras n las de la matriz identidad de orden n.

Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertiremos la matriz anterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n últimas otra matriz que precisamente será A-1.

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EJEMPLO: Calcular la inversa de Sera:

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Entonces se tiene que:

Comprobemos si AA-1=I

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El procedimiento es muy complicado en especial si no podemos encontrar un pivote que sea igual a uno, pues en ese caso hemos de trabajar siempre con fracciones.

Si la matriz A es de orden 2, un sistema de ecuaciones nos resuelve el problema:

Sea

siendo a, b, c, d números a determinar.

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Se ha de cumplir:

Sistema de 4 ecuaciones que se puede descomponer en los dos siguientes:

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Y la inversa es:

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2.6 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

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Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

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la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jaij.

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.

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Libro: Algebra Lineal Stanley I. Grossman

Cap. 2, Pág. 172

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2.7 PROPIEDADES DE LAS DETERMINATES

Libro: Algebra Lineal Stanley I. Grossman

Cap. 2, Pág. 187

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2.8 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVES DE LA ADJUNTA

Libro: Algebra Lineal Stanley I. Grossman

Cap. 2, Pág. 210

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2.9 APLICACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES

RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES SOBRE MODELOS ECONOMICOS, CRECIMIENTO POBLACIONAL, TEORIA DE GRAFOS, CRIPTOGRAFIA, ENTRE OTRAS.