ALGEBRA -Maria Teresa Alcalde Cesar Brgueño

Algebra

Dra. Marıa Teresa Alcalde CorderoDr. Cesar Burgueno Moreno

Depto. de Matematica y EstadısticaUniversidad de La Frontera

Indice de materias

Prologo 5

1 Logica y Teorıa de conjuntos 71.1 Proposiciones Logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Conectivos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 La equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 El conectivo ”no” . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Los conectivos ”y”, ”o” . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 El conectivo ”implica” . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Concepto de Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Teoremas logicos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Conectivos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Demostraciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.1 Demostracion directa de ”p ⇒ q” . . . . . . . . 241.7.2 Demostracion indirecta de ”p ⇒ q” . . . . . . . 241.7.3 Demostracion por contradiccion de ”p ⇒ q” . . 24

1.8 Circuitos Logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8.1 Descripcion logica de circuitos . . . . . . . . . . 28

1.9 Teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9.1 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9.2 Negacion de los cuantificadores . . . . . . . . . 391.9.3 Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . 411.9.4 Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . 411.9.5 Union e interseccion . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.6 Conjunto Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 451.9.7 Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . 47

1

2

1.9.8 Diferencia simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Sumatorias y Recurrencia 552.1 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Propiedades de la sumatoria . . . . . . . . . . . 582.1.2 Progresiones Geometricas . . . . . . . . . . . . 672.1.3 Sumas de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2 Induccion o recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.1 Los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Binomio de Newton 833.1 Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Numero combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3 Desarrollo del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Relaciones Binarias 1094.1 Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.4 Propiedades de las relaciones binarias . . . . . . . . . . 117

4.4.1 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4.2 Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.3 Transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4.4 Antisimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.1 Introduccion y definicion . . . . . . . . . . . . . 1304.5.2 Clases de Equivalencia y conjunto cuociente . . 1354.5.3 Congruencias en ZZ . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.6 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5 Funciones 1535.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.2 Propiedades de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3 Imagen recıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4 Inyectividad, epiyectividad y biyectividad . . . . . . . . 1615.5 Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3

5.6 Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.7 Funciones biyectivas sobre conjuntos finitos o permuta-ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.7.1 Permutaciones de In . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.8 Funciones sobre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . 172

5.8.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.8.2 Numero de funciones entre dos conjuntos finitos 175

5.9 Algunas funciones sobre conjuntos no finitos . . . . . . 177

6 Estructuras Algebraicas 187

6.1 Ley de composicion interna . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.1.1 Propiedades de una l.c.i. en un conjunto . . . . 189

6.2 Subestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.3 Grupos, anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.5 Estructura de ZZn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.6 Estructura de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.7 Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7 Numeros complejos 219

7.1 Construccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.2 Estructura algebraica de (C, +, ·) . . . . . . . . . . . . 222

7.3 Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.4 Forma polar de un numero complejo . . . . . . . . . . 231

7.5 Multiplicacion de numeros complejos . . . . . . . . . . 232

7.6 Elevacion a potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.7 Extraccion de raıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.8 Forma exponencial de un numero complejo . . . . . . . 240

8 Polinomios 249

8.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.2 Funcion polinomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.2.1 Raıces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . 256

8.3 Divisibilidad en el conjunto de polinomios . . . . . . . 259

8.3.1 Teorema de la descomposicion unica . . . . . . 263

8.4 Division Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

4

8.4.1 Teorema de la Division Euclidiana o Algoritmode la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.5 Descomposicion en C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.6 Descomposicion en IR[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.7 Descomposicion en Q[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.8 Fracciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Bibliografıa 286

Prologo

Este libro ha sido pensado para ti que vienes llegando a la Universidad,despues de haber tenido una formacion matematica en la EducacionMedia. Esperamos que esta sea una linda experiencia para ti y quetengas mucho exito en tus estudios.

El texto contiene gran cantidad de ejercicios resueltos, con la final-idad de ayudarte a comprender mejor cada una de las materias delcurso. Puede que algunos ejercicios te parezcan muy sencillos, pero esconveniente que los desarrolles y los entiendas en profundidad.

Aparentemente este curso es facil, pero requiere de mucho estudio departe tuya. Es importante que estudies todos los dıas cada uno de losramos que estas siguiendo, hasta lograr una disciplina de estudio quete permita sentirte bien contigo mismo y lograr un buen rendimiento.

Por nuestra parte estamos dispuestos a ayudarte en las dudas que tevayan surgiendo, para ello debes acercarte a nosotros y solicitar dichaayuda.

El contenido del curso abarca las materias correspondiente al cursode algebra de primer semestre. Dichas materias tambien las puedesencontrar en muchos otros libros, pero el tratamiento que hacemosaquı corresponde a la forma en que te expondremos la materia. Evi-dentemente que es conveniente que consultes otros textos y hagas losejercicios que se proponen.

Queremos agradecer a nuestro amigo y colega Dr. Cristian Mallol Co-mandari por la ayuda prestada, siendo algunos temas y ejercicios in-spiraciones personles de el.

5

6

Agradecemos a Dios por ayudarnos a escribir este libro el cual ha sidoun trabajo muy agradable y se lo dedicamos a nuestros hijos.

Dra. Marıa Teresa Alcalde Cordero

Dr. Cesar Burgueno Moreno

Depto. de Matematica y Estadıstica

Universidad de La Frontera

Temuco, Marzo de 2005

Capıtulo 1

Logica y Teorıa de conjuntos

En este curso, veremos solamente algunos conceptos basicos y apren-deremos a trabajar algebraicamente con estos conceptos.

Veremos lo justo y necesario para vuestros estudios y vida profesional.

1.1 Proposiciones Logicas

Nota. Trabajaremos solamente con frases a las cuales se les puedaasignar el valor de verdadera o falsa.

Diremos que a una frase se le puede asignar un valor de verdad si sepuede decir: ”esta frase es verdadera” o ”esta frase es falsa”.

Definicion 1.1.1 Una proposicion es una frase a la cual se le puedeasignar un valor de verdad.

Ejemplos de proposiciones

1. Temuco es mas grande que Santiago.

2. Juan ama a Francisca.

3. No es una proposicion: ¿Ama Ignacio a Francisca?

7

8 Alcalde - Burgueno Algebra

4. Loreto canta hermoso.

5. No es una proposicion: ¡Vamos al Lago Budi!

Definicion 1.1.2 Hay frases, oraciones o secuencias de oraciones amodo de historias, a las cuales no se les puede asignar un valor deverdad. Estas son llamadas paradojas.

Ejemplos

1. Una paradoja muy famosa es aquella conocida como ”La paradojadel mentiroso”. Esta paradoja dice:

”Yo soy mentiroso”

Si una persona te dice esta frase, tu no sabes si esta frase esverdadera o falsa.

2. Otra paradoja muy conocida es la ”paradoja del barbero”. Estaparadoja dice ası:

”En un pueblo, habıa un barbero, el cual afeitaba a todos aque-llos que no se afeitaban a si mismo”.

Uno se pregunta: ¿Quien afeitaba al barbero?

Si el como persona no se afeitaba a si mismo, entonces porel hecho de ser ”el barbero” del pueblo, debıa afeitarse. Con-tradiccion.

Si el se afeitaba a si mismo, esto no podıa ser, pues por el hechode ser el barbero, no podia afeitarse a si mismo. Nuevamentellegamos a una contradiccion.

3. La siguiente historia, tambien es una paradoja. Dice ası:

”Habıa un botero, que llevaba a la gente desde una isla, al con-tinente. Ocurre que este botero preguntaba a los islenos sobreque iban a comprar al continente. Si no respondıan la verdad,entonces ellos eran guillotinados.

Resulta que un isleno le dijo:

Capıtulo 1. Logica y Teorıa de conjuntos 9

”Voy al continente a ser guillotinado”.

O tambien:

4. En una biblioteca, habıa una coleccion de 15 libros de 500paginas cada uno, titulado:

”Como ser breve en cada instante”

1.2 Conectivos logicos

Nota. Una proposicion, se puede unir con otra proposicion, a travesde los conectivos logicos. Los conectivos logicos son:

La negacion, la conjuncion (y), la disyncion (o), la implicacion y laequivalencia.

1.2.1 La equivalencia

Definicion 1.2.1 Dos proposiciones p y q son logicamente equiv-alentes, denotado p ≡ q, si ellas tienen el mismo valor de verdad.

Si p y q son dos proposiciones, entonces p ≡ q, tambien es unaproposicion y su valor de verdad, puede ser determinado con la ayuda,de lo que llamaremos ”tabla de verdad”.

La tabla de verdad de la equivalencia es la siguiente

p q p ≡ qV V VV F FF V FF F V

En esta tabla, la columna del lado derecho, contiene el valor de verdadde ”p ≡ q”, para todas las combinaciones posibles de los valores deverdad de p y q.

Ejemplo. Son equivalentes los pares de proposiciones siguientes:


1. a) ”Juan es mas alto que Loreto”

b) ”Loreto es mas baja que Juan”

2. a) ”Temuco es mas grande que Parıs”

b) ”Parıs es mas pequeno que Temuco”

1.2.2 El conectivo ”no”

Definicion 1.2.2 Si ”p” es una proposicion, el valor de verdad de laproposicion ”no p”, queda determinada por la siguiente tabla de verdad

p no pV FF V

Ejemplos

1. p: Ignacio ama a Francisca.

no p: Ignacio no ama a Francisca.

2. p: Julieta no ama a Romeo.

no p: Julieta ama a Romeo.

1.2.3 Los conectivos ”y”, ”o”

Definicion 1.2.3 Si ”p” y ”q” son dos proposiciones, las proposi-ciones ”p y q” y ”p o q”, estan determinadas por las siguientes tablasde verdad.

p q p y qV V VV F FF V FF F F

p q p o qV V VV F VF V VF F F


En espanol, es algo ambiguo el uso del monosılabo ”o”. Generalmentees usado en sentido excluyente, pero en matematicas puede incluirambas proposiciones.

Ejemplos

1. ”Escuchemos el pronostico del tiempo para saber si manana eldıa estara bonito o feo”.

Este es exactamente el ”o” que dejaremos de usar.

2. Un papa matematico, ofrece a su hijo Juan, conocedor del ”omatematico”: ”helados de frutilla o helados de chocolate”. Suhijo Juan responde

”Quiero que me des helados de frutilla y tambien helados dechocolate”.

3. La frase ”Loreto es alta o baja” es matematicamente verdadera.

4. La frase ”Temuco es mas grande que Niamey y Temuco es maspequeno que Niamey” es falsa pues una de las dos proposicionesiniciales es falsa.

Notaciones. El conectivo y se denota por ∧, y el conectivo o por ∨.

1.2.4 El conectivo ”implica”

Si p y q son dos proposiciones, entonces la proposicion ”p implica q”,denotada por p ⇒ q, esta definida por la siguiente tabla de verdad:

p q p ⇒ qV V VV F FF V VF F V

En lenguaje de la vida diaria, esto es usual expresarlo diciendo:


”si p, entonces q”

o bien:

”p es condicion suficiente para q”

o bien:

”q es condicion necesaria para p”

Ejemplos

1. p: esta lloviendo

q: se esta mojando el campo

”p ⇒ q”: ”Si esta lloviendo, entonces se esta mojando el campo”.

o bien:

”Es suficiente que este lloviendo, para que se este mojando elcampo”

o bien:

”Basta que este lloviendo, para que se este mojando el campo”

2. p : n es multiplo de 6.

q : n es multiplo de 2.

La proposicion ”p ⇒ q”, es verdadera, pues ”basta ser multiplode 6, para ser multiplo de 2”.

o bien:

”Si n es multiplo de 6, entonces n es multiplo de 2”.

3. ”Si un polıgono regular tiene 2n, n ≥ 2, lados, entonces puedeser construıdo con regla y compas”

Notese que el triangulo equilatero puede ser construıdo con reglay compas.

Tambien el pentagono, el hexagono, o el polıgono regular de 17lados.

Pero, basta que 2n, n ≥ 2, lados, para que pueda ser construıdocon regla y compas.


Es decir

(Un polıgono regular tiene 2n, n ≥ 2 lados)⇒(puede ser con-struıdo con regla y compas)

4. ”Si Juan se lee la Enciclopedia Britanica e un dıa, entonces Fran-cisca andarıa en bicicleta”

p: ”Juan lee la Enciclopedia Britanica en un dıa”

q: ”Francisca andarıa en bicicleta”

”p⇒q” es una proposicion considerada verdadera, pues ”p no esverificado, luego no podemos contradecir q.

5. a = b ⇒ a + 5 = b + 5

6. Si n es divisible por 2, entonces n2 es divisible por 4.

1.3 Concepto de Teorema

Definicion 1.3.1 Una tautologıa es una proposicion que siempre esverdadera, independientemente de la veracidad o falsedad de las pro-posiciones iniciales.

Ejemplo. ”p o (no p)” es una tautologıa

p no p p o (no p)V F VF V V

Ejemplo. ”Castro esta en Chiloe o el dıa esta asoledado”.

Esta proposicion es una tautologıa pues, es siempre verdadera, inde-pendiente si el dıa esta soleado o no lo esta. Ocurre que ”Castro estaen Chiloe” es siempre verdadera.

Definicion 1.3.2 Una contradiccion es una proposicion que siem-pre es falsa, independientemente de la veracidad o falsedad de lasproposiciones iniciales.


Ejemplos

1. ”p y no p” es una contradiccion

p no p p y (no p)V F FF V F

2. ”El lago Llanquihue esta en el norte de Chile y tu tienes unacalculadora en el bolsillo”

Puesto que la primera proposicion es siempre falsa y que estanconectadas por la conjuncion ”y” entonces la proposicion finales siempre falsa.

F y V ≡ F ; F y F ≡ F

Definicion 1.3.3 Un axioma o un postulado es una proposicionque hemos supuesto verdadera.

Ejemplo. ”Una cantidad es igual a si misma”.

Ejemplo. 50 Postulado de Euclides: ”Por un punto fuera de una rectase puede trazar una unica recta paralela a ella”.

Definicion 1.3.4 Un teorema es una proposicion que necesita serdemostrada.

Demostrar un teorema consiste en poner en evidencia su veracidad apartir de proposiciones conocidas o axiomas.

Definicion 1.3.5 Diremos que una proposicion es trivial u obvia sies facil pensar la demostracion.

En general estas dos palabras se usan de manera abusiva. Es tıpico quela proposicion: ”p es trivial” es usada para significar: ”Yo no puedopensar en una demostracion de p, pero yo estoy seguro que es ver-dadera”.


1.4 Teoremas logicos basicos

Teorema 1.4.1 (Idempotencia)

i) p ∨ p ≡ p

ii) p ∧ p ≡ p

p no p p y (no p)V F FF V F

Las tres columnas tienen el mismo valor de verdad, luego las tresproposiciones son equivalentes.

Teorema 1.4.2 (Doble negacion) no(no p) ≡ p

Demostracion.

p no p no (no p)V F VF V F

La primera columna coincide con la tercera, luego ambas proposicionestienen el mismo valor de verdad, es decir, son equivalentes.

Teorema 1.4.3 (Conmutatividad)

i) p ∨ q ≡ q ∨ p

ii) p ∧ q ≡ q ∧ p

Teorema 1.4.4 (Asociatividad)

i) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

ii) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r


Luego podemos borrar los parentesis.

Teorema 1.4.5 (Distributividad)

i) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

ii) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Teorema 1.4.6 (Ley de Absorcion)

i) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

ii) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Demostracion i)

p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q)V V V VV F V VF V V FF F F F

La primera columna coincide con la cuarta columna, luego ambasproposiciones son equivalentes.

Demostracion ii)

p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q)V V V VV F F VF V F FF F F F

La primera y la cuarta columna coinciden, luego las proposiciones sonequivalentes.

Teorema 1.4.7 (Leyes de Morgan)

i) no(p ∨ q) = (no p) ∧ (no q)


ii) no(p ∧ q) = (no p) ∨ (no q)

Demostracion i)

p q p ∨ q no(p ∨ q) no p no q (no p) ∧ (no q)V V V F F F FV F V F F F FF V V F V F FF F F V V V V

Demostracion ii) De la misma manera que i).

Notacion: no p sera abreviada por p

Lema. Si p es una proposicion, entonces se tiene

i) V ∨ p ≡ V

ii) V ∧ p ≡ p

iii) F ∨ p ≡ p

iv) F ∧ p ≡ F

Demostracion i)V p V ∨ pV V VV F V

Las otras demostraciones son analogas.

Teorema 1.4.8 (Tercero Excluıdo) ”p ∨ p” es una tautologıa, esdecir, p ∨ p ≡ V

Demostracion. Mediante tabla de verdad.

Teorema 1.4.9 La proposicion p ≡ q tiene el mismo valor de verdadque la proposicion (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)


Demostracion.

p q p ≡ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)V V V V V VV F F F V FF V F V F FF F V V V V

La tercera y la sexta columna son iguales, luego se tiene demostradoel teorema.

Notacion. El sımbolo p ⇔ q resume la proposicion:

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Decimos p si y solo si q.

Observacion. El teorema anterior nos dice que es equivalente escribirp ≡ q que p ⇔ q

1.5 Conectivos basicos

Nota. En esta seccion veremos que a partir de los conectivos ”no” y”o”, se pueden obtener los otros tres conectivos. De la misma manera,a partir de ”no” e ”y”.

Teorema 1.5.1 (Reduccion de ”⇒” a ”no” y ”o”)

(p ⇒ q) ≡ (p ∨ q)

Demostracion.p q p ⇒ q p p ∨ qV V V F VV F F F FF V V V VF F V V V


La tercera y quinta columna coinciden, luego ambas proposicionestienen el mismo valor de verdad.

Muy Importante: Los teoremas anteriores ustedes los van a utilizara lo largo de sus estudios, es decir, siempre!. Necesitaran recordar losenunciados.

Ejercicios.

1. Reduccion del ”⇔” a ”no”, ”o” e ”y”

En efecto

i) p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)

Es decir p ⇔ q ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)

Otra posibilidad es:

ii) p ⇔ q ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ≡≡ ((p ∨ q) ∧ q) ∨ ((p ∨ q) ∧ p) ≡(p ∧ q) ∨ (q ∧ q) ∨ (p ∧ p) ∨ (q ∧ p) ≡(p ∧ q) ∨ F ∨ F ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

es decir

p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

2. Reduccion de ”y” a ”no” y ”o” En efecto

p ∧ q ≡ p ∧ q ≡ p ∨ q

es decirp ∧ q ≡ p ∨ q

3. Reduccion de ”⇔” a ”no” y ”o”: En efecto

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ p)

Nota. Los conectivos ”y”, ”⇒”, ”⇔” pueden ser expresados apartir de ”no” y ”o”, o bien a partir de ”no” e ”y”.

4. (Tarea.) Describa p∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q a partir de los conectivos”no” e ”y”.


1.6 Demostraciones algebraicas

1. Demostremos que p ⇒ (p ∨ q) es una tautologıa, es decir essiempre verdadera.

Demostracion.

(p ⇒ (p ∨ q)) ≡ (p ∨ (p ∨ q))≡ ((p ∨ p) ∨ q)≡ V ∨ q≡ V

2. Demostremos que (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q.

Demostracion.

p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ≡ (p ∧ (p ∨ q)) ∨ q≡ (p ∨ (p ∨ q)) ∨ q≡ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q)

3. Teorema (contrarecıproco): (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p).

Demostracion.p ⇒ q ≡ p ∨ q

≡ q ∨ p≡ q ∨ p≡ q ⇒ p

Nota. Esta ultima proposicion es muy usada, es por esto que lleva elnombre de teorema.

Observacion. Recordemos el ejemplo:

p: esta lloviendo

q: se esta mojando el campo

Es equivalente decir:

”Si esta lloviendo, entonces se esta mojando el campo”

y

”Si no se esta mojando el campo, entonces no esta lloviendo”


Observe que el negar p no conduce a ninguna deduccion, pues

”si no esta lloviendo”, puede ocurrir que ”se este mojando el campo”o bien, ”que no se este mojando el campo”

Ejercicios Resueltos

1. ((p ∨ q) ∨ q) ⇒ p

Solucion.

((p ∨ q) ∧ q) ⇒p ≡ ((p ∨ q) ∧ q) ∨ p≡ (p ∨ q) ∨ q ∨ p≡ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q)≡ V

2. (p ⇒ (q ∧ q)) ⇒ p

Solucion.

(p ⇒ (q ∧ q)) ⇒ p ≡ (p ⇒ F ) ⇒ p≡ (p ∨ F ) ∨ p≡ (p ∧ V ) ∨ p≡ (p ∨ p) ∧ (V ∨ p)≡ V ∧ V≡ V

En palabras, si una proposicion induce una contradiccion, en-tonces uno concluye que la proposicion verdadera es la negacionde la proposicion inicial.

3. Ley de simplificacion: p ∧ q ⇒ p.

Solucion.(p ∧ q) ⇒p ≡ p ∧ q ∨ p

≡ (p ∨ q) ∨ p≡ (p ∨ p) ∨ q≡ V ∨ q≡ V

Nota. Si tenemos dos proposiciones verdaderas unidas por un”y”, ¡obvio! que cada una de ellas es tambien verdadera.


Se dice: ”en particular” cada una de ellas es verdadera.

Por Ejemplo:

”Ignacio tiene alguien que lo ama y Juan tiene alguien que loama”, en particular Juan tiene alguien que lo ama.

Esto es lo que se llama un ”caso particular”.

4. Teorema de Reduccion al Absurdo.

p ⇒ q ≡ (p ∧ q) ⇒ p

Solucion.(p ∧ q) ⇒ p ≡ p ∧ q ∨ p

≡ (p ∨ q) ∨ p≡ p ∨ q≡ p ⇒ q

5. Primer Teorema de Demostracion por casos.

((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q

es un tautologıa.

Solucion.

((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ≡ (p ⇒ q ∧ p ⇒ q) ∨ q

≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∨ q

≡ (p ∧ p) ∨ q ∨ q≡ F ∨ q ∨ q≡ q ∨ q≡ V

6. Segundo Teorema de Reduccion al Absurdo.

p ⇒ q ≡ (p ∧ q) ⇒ q

Solucion.(p ∧ q) ⇒ q ≡ (p ∧ q) ∨ q

≡ (p ∨ q) ∨ q≡ p ∨ q≡ p ⇒ q


7. Segundo Teorema de Demostracion por casos.

[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ∨ q) ⇒ r]

Solucion.

(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r) ≡p ⇒ r ∧ q ⇒ r ∨ ((p ∨ q) ⇒ r) ≡(p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ∨ ((p ∨ q) ∨ r) ≡(p ∧ q) ∨ r ∨ (p ∨ q ∨ r) ≡((p ∨ q) ∨ r ∨ (p ∨ q ∨ r) ≡ V

8. (p ⇒ q) ≡ ((p ∨ q) ⇔ q)

Solucion.

((p ∨ q) ⇔ q) ≡ ((p ∨ q) ⇒ q) ∧ (q ⇒ p ∨ q))≡ (p ∨ q ∨ q) ∧ (q ∨ p ∨ q)≡ (p ∨ q ∨ q) ∧ V≡ p ∨ q ∨ q≡ (p ∧ q) ∨ q≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ q)≡ (p ∨ q) ∧ V≡ p ∨ q≡ (p ⇒ q)

1.7 Metodos de demostracion

Nota. La mayorıa de los teoremas tienen una de las dos formas sigu-ientes:

”p ⇒ q” o ”p ⇔ q”

La segunda de estas formas, realmente consiste en dos teoremas en unoy es usualmente probado en dos partes. Se demuestra separadamente”p ⇒ q” y ”q ⇒ p”.

El primer tipo de demostracion que veremos es llamado:


1.7.1 Demostracion directa de ”p ⇒ q”

En este caso se supone verdadero p y se trata de deducir la veracidadde q.

No es necesario preocuparse cuando p es falso, pues en este caso laimplicacion ”p ⇒ q” es siempre verdadera.

Ejemplo.

Teorema: Sea n un numero entero, entonces

n par ⇒ n2 par

Demostracion directa: n par ⇒ n tiene la forma n = 2t, cierto tnumero entero ⇒ n2 = 4t2 = 2(2t2) = 2s, donde s = 2t2 es un numeroentero ⇒ n2 es un numero par.

1.7.2 Demostracion indirecta de ”p ⇒ q”

Este metodo consiste en demostar el contrarecıproco: q ⇒ p

Entonces suponemos la veracidad de q y se trata de deducir la veraci-dad de p.

Ejemplo.

Teorema: Sea n un numero entero, entonces

n2 par ⇒ n par

Demostracion indirecta: Por demostrar n impar ⇒ n2 impar.

En efecto n impar ⇒ n = 2k + 1, cierto k numero entero ⇒ n2 =4k2 + 4k + 1 ⇒ n2 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2t + 1, donde t = 2k2 + 2k elcual es un numero entero ⇒ n2 impar.

1.7.3 Demostracion por contradiccion de ”p ⇒ q”

Este metodo consiste en la reduccion al absurdo:


”p y (no q)”

Suponemos la veracidad de ”p y (no q)” al mismo tiempo y buscamosuna contradiccion. Luego ”p∧q” es falso, luego p ∧ q ≡ p∨q ≡ (p ⇒ q)es verdadero.

Ejemplo.

Proposicion. n =√

2 ⇒ n es un numero irracional.

Demostracion por contradiccion: Recordemos que un numeroracional es un numero de la forma n

m, con n y m numeros enteros

y m 6= 0.

Un numero es irracional si y solo si no puede ser escrito como fraccion.

Supongamos que√

2 = nm

es su forma reducida

⇒ 2m2 = n2 ⇒ n2 par ⇒ n par ⇒ n = 2t, cierto t numero entero⇒ 2m2 = 4t2 ⇒ m2 = 2t2 ⇒ m2 par ⇒ m par ⇒ m = 2s, cierto snumero entero⇒

√2 = 2t

2slo cual es una contradiccion, pues habıamos

supuesto que√

2 estaba escrita en su forma reducida.

Llegamos a una contradiccion ¿Cual fue el error que cometimos?. Elerror fue suponer que

√2 podıa ser escrito como una fraccion.

Conclusion:√

2 es un numero irracional.


1. Demostremos que: ((p ∨ q) ∧ q) ⇒ p es siempre verdadera.

Solucion.

((p ∨ q) ∧ q) ⇒p ≡(1) p ∨ q) ∧ q∨p≡(2) ((p ∨ q) ∨ q) ∨ p≡(3) (p ∨ q) ∨ (p ∨ q)≡(4) V

(1) r ⇒ t ≡ r ∨ t, (2) Leyes de Morgan, (3) doble negacion yasociatividad de ∨, (4) t ∨ t ≡ V .

O bien,

((p ∨ q) ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ F ≡ p ∧ q


Pero p ∧ q ⇒ p

2. Demostremos que: (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ≡ (p ⇔ q).

Solucion.

(p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ≡ p ∧ q ∧ p ∧ q≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p)≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)≡ p ⇔ q

3. Neguemos la proposicion: p ⇔ q

Solucion.p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

≡ (p ∧ q) ∧ (p ∧ q)≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

4. Simplifiquemos la expresion logica: (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∧ t.

Solucion.

(p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∧ t ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ q)) ∧ t≡ ((p ∧ p) ∨ q) ∧ t≡ (F ∨ q) ∧ t≡ q ∧ t

5. Demostremos que: (p ∧ q ⇒ r) ⇔ ((r ⇒ p) ∧ (q ⇒ r)).

Solucion. Comencemos con el primer lado de la equivalencia ydemostremos que es equivalente al segundo lado

(p ∧ q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ∨ r≡ (p ∧ q) ∨ r≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)≡ (r ⇒ p) ∧ (q ⇒ r)


6. Demostremos que: ((p ∨ q) ⇒ (p ∧ q)) ≡ (p ⇔ q).

En palabras:

Si una o la otra proposicion ⇒ las dos proposiciones, esto quieredecir que ambas proposiciones son equivalentes.

Solucion. Comencemos por el lado izquierdo

((p∨ q ⇒ (p∧ q)) ≡ (p ∨ q)∨ (p∧ q) ≡ (p∧ q)∨ (p∧ q) ≡ p ⇔ q

7. La siguiente expresion algebraica: (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)escribamosla en funcion de los conectivos ”o” y ”no”.

Solucion.

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ∨ (p ⇒ r)≡ p ⇒ q ∨ q ⇒ r ∨ p ∨ r≡ p ∨ q ∨ q ∨ r ∨ p ∨ r

8. Exprese solamente con los conectivos ”o” y ”no”:

(p ⇔ q) ⇒ (p ∧ q)

Solucion.

(p ⇔ q) ⇒ (p ∧ q) ≡ (p ⇔ q) ∨ (p ∧ q)

≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ∨ (p ∧ q)

≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ∨ (p ∧ q)≡ p ∨ q ∨ p ∨ q ∨ p ∨ q≡ p ∨ q ∨ p ∨ q

9. Demostremos que: (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q).

Solucion.

(p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ ((p ∨ q) ∧ p) ∨ ((p ∨ q) ∧ q)≡ (p ∧ p) ∨ (q ∧ p) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ q)≡ F ∨ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ∨ F≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)


10. Demostremos que: (((p ∧ q) ⇒ p) ∧ (p ⇒ (p ∧ q))) ⇔ (p ⇒ q).

Solucion. Comencemos por el lado izquierdo

((p ∧ q) ⇒ p) ∧ (p ⇒ (p ∧ q) ≡ (p ∧ q ∨ p) ∧ (p ∨ (p ∧ q))≡ (p ∨ q ∨ p) ∧ (p ∨ p) ∧ (p ∨ q))≡ (V ∨ q) ∧ V ∧ (p ∨ q)≡ V ∧ V ∧ (p ∨ q) ≡ p ∨ q)≡ (p ⇒ q)

11. Transitividad del ⇒: (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r).

Solucion.

(p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) ≡ (p ⇒ q ∧ q ⇒ r) ∨ (p ⇒ r)

≡ ((p ∨ q) ∧ (q ∨ r)) ∨ (p ∨ r)

≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ r) ∨ (p ∨ r)≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (p ∨ r)≡ ((p ∧ q) ∨ p) ∨ ((q ∧ r) ∨ r)≡ (V ∧ (p ∨ q)) ∨ ((q ∨ r) ∧ V )≡ (p ∨ q) ∨ (q ∨ r)≡ (q ∨ q) ∨ p ∨ r≡ V ∨ (p ∨ r)≡ V

12. Demostremos que (p ⇔ q ∧ q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r)

Solucion.

(p ⇔ q ∧ q ⇔ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ∧ (q ⇒ r) ∧ (r ⇒ q)≡ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ∧ ((r ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)⇒ ((p ⇒ r) ∧ (r ⇒ p))≡ (p ⇔ r)

1.8 Circuitos Logicos

1.8.1 Descripcion logica de circuitos

A un interruptor P , le vamos a asociar la proposicion logica p, de lamanera siguiente:


p pV Pasa la corrienteF NO pasa la corriente

Podemos interpretar la conjuncion como un circuito en serie y ladisyuncion logica como un circuito en paralelo, es decir tenemos:

Dado un interruptor P , designamos por P otro interruptor por el cual”pasa corriente si y solo si por P no pasa corriente”.

obviamente a P le asignamos la proposicion p.

Ejercicios

1. Representemos en un circuito, la proposicion logica p ∨ q ∨ r.

Solucion.

2. Representemos en un circuito, la proposicion (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

Solucion.

Observacion. Sabemos que

((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)) ≡ ((p ∨ q) ∧ r)

Luego, son equivalentes los circuitos


Podemos concluir tambien que hemos reducido el circuito.

Definicion 1.8.1 Reducir un circuito, es sacar interruptores queno son necesarios.

Observacion. Nosotros sabemos que

p ∨ p ≡ V

esto significa que por el circuito

siempre pasa la corriente

Observacion. Sabemos que

p ∧ p ≡ F

En lenguaje de circuito, significa que por el circuito

nunca pasa la corriente.


1. Simplifiquemos el siguiente circuito

Solucion. Vamos resolviendolo por partes, ¿te parece?

i. Tomando la parte superior del circuito


en lenguaje algebraico tenemos

p ∨ (p ∧ q) ≡ p (ley de absorcion)

ii. Tomando la parte inferior del circuito

en lenguaje algebraico tenemos

p ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∨ p) ∧ (p ∨ q) ≡ V ∧ (p ∨ q) ≡ p ∨ q

Luego, el circuito queda

En forma de proposiciones logicas tenemos

p ∨ (p ∨ q) ≡ (p ∨ p) ∨ q ≡ p ∨ q

Luego, su simplificacion maxima es

2. Reduzcamos el circuito

Solucion. Comencemos por escribir su expresion algebraica:

(p ∧ q) ∨ r ∨ (p ∧ r) ∨ (r ∧ q) ≡ (p ∧ q) ∨ r ∨ (r ∧ (p ∨ q))≡ (p ∧ q) ∨ r ∨ (r ∧ (p ∧ q))

≡ ((p ∧ q) ∨ r) ∨ (r ∨ (p ∧ q))≡ V

Es decir, por este circuito siempre pasa corriente.

Luego, la reduccion queda


es decir, un cable sin interruptores. Es lo maximo en simplifi-cacion.


Solucion. Usando la ley de absorcion, lo reducimos al siguientecircuito:

Luego, lo reducimos a

Algebraicamente, tenemos

p ∨ ((r ∨ p) ∧ q) ≡ (p ∨ r ∨ p) ∧ (p ∨ q)≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ q)≡ p ∨ (r ∧ q)

Su reduccion maxima es:

4. Estudiemos el siguiente circuito. Es decir, veamos si lo podemosreducir, o si pasa siempre corriente, o nunca, o si depende dealgun interruptor.


Solucion. El lado izquierdo del circuito es:

(p ∧ r) ∨ [[(q ∧ r) ∨ (r ∧ q)] ∧ p] ≡(1) (p ∧ r) ∨ [(r ∧ (q ∨ q)) ∧ p]≡(2) (p ∧ r) ∨ ((r ∧ V ) ∧ p)≡ (p ∧ r) ∨ (r ∧ p)≡(3) p ∧ (r ∨ r)≡(4) p ∧ V≡(2) p

Luego, el circuito queda

Luego, por el circuito NUNCA pasa corriente.

(1) Distribucion mirada de derecha a izquierda, digamos “fac-torizacion”.

(2) : r ∧ V ≡ r

(3) Factorizacion de p

(4) : r ∨ r ≡ V


Solucion. Representemos en forma algebraica, este circuito:

q ∧ (p ∨ r) ∧ (r ∨ q)∧p ≡ (q ∧ (r ∨ q)) ∧ ((p ∨ r) ∧ p)≡ ((q ∧ q) ∨ (q ∧ r)) ∧ ((p ∧ p) ∨ (r ∧ p))≡ (F ∨ (q ∧ r)) ∧ (F ∨ (p ∧ r))≡ (q ∧ r) ∧ (p ∧ r) ≡ p ∧ q ∧ r

Luego, el circuito queda reducido a



Solucion. El circuito de mas arriba se reduce a Q luego tenemos:


Solucion. Comencemos por el lado izquierdo del circuito:

((p ∧ (q ∨ r)) ∨ (q ∧ r)∨p ≡ (p ∧ (q ∨ r) ∨ p) ∨ (q ∨ r)≡ ((p ∨ p) ∧ (q ∨ r ∨ p)) ∨ (q ∨ r)≡ (V ∧ (q ∨ r ∨ p)) ∨ (q ∨ r)≡ (q ∨ r ∨ p) ∨ (q ∨ r)≡ ((q ∨ r) ∨ (q ∨ r))∨p≡ V ∨p≡ V

Luego, por el lado izquierdo del circuito siempre pasa corriente.

El circuito, al ser reducido a su expresion mınima queda:

8. Reduzcamos el circuito siguiente:


Solucion. Comencemos por expresarlo algebraicamente

(p ∧ ((q ∨ r) ∨ (q ∧ r))) ∨ p ∨ t ≡ (p ∧ ((q ∨ r) ∨ (q ∨ r))) ∨ p ∨ t≡ (p ∧ V ) ∨ p ∨ t≡ p ∨ p ∨ t≡ V ∨ t≡ V

Entonces, por este circuito SIEMPRE pasa corriente, es decir,es equivalente a un circuito sin interruptor.

9. Estudiemos el circuito

Solucion. Comencemos por escribir su expresion algebraica

((p ∧ q) ∨ ((p ∧ q) ∨ q))∧p ≡ (((p ∧ q) ∨ q) ∨ (p ∧ q)) ∧ p≡ (q ∨ (p ∧ q)) ∧ p≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ p ∧ q)≡ (p ∧ q) ∨ F ≡ p ∧ q

Luego, el circuito queda reducido a

1.9 Teorıa de conjuntos

En esta seccion veremos solo algunas definiciones sobre conjuntos. Elresto sera obtenido como consecuencia de lo estudiado en la seccionanterior.

Un conjunto es una coleccion de objetos los cuales seran llamadoselementos.


Si a es un elemento de un conjunto A, decimos ”a pertenece a A” yescribiremos a ∈ A. En caso contrario diremos que ”a no pertenece aA ” y escribiremos ”a /∈ A”.

Definicion 1.9.1 Diremos que dos conjuntos son iguales si tienenlos mismos elementos.

Ejemplo. {1, 1, 2, 2, 2} = {2, 1}

Definicion 1.9.2 El conjunto al cual pertenecen todos los elementosque estamos considerando sera llamado conjunto universal y lo de-notaremos por U .

Nota. Es absurdo pensar en un conjunto universal unico. Es unaparadoja pensar en ”el conjunto que contiene a todos los conjuntos”

Ejemplo. Si estamos trabajando solamente con numeros naturales,entonces, en este caso U = IN

Observacion. Consideremos las oraciones:

(i)√

2 = n; (ii) x = y + z; (iii) x = y2 + z2; (iv) x2 = −1

Estas oraciones al ser consideradas dentro de un conjunto, adquierenun valor de verdad que puede ser verdadero o falso. Estas oracionesseran llamadas predicados.

Por ejemplo si pensamos que U = IN, el predicado (iii) a veces esverdadero y a veces es falso. (13 = 22 + 32, 5 = 12 + 22), sin embargoel 3 no puede ser escrito como suma de dos cuadrados.

El predicado (iv) es falso para todo numero real. Sin embargo es ver-dadero si x ∈ C y x = i o x = −i

Definicion 1.9.3 Un predicado es una oracion que contiene una omas variables, las cuales se transforman en proposiciones cuando sonreemplazadas por objetos del conjunto A considerado.

Nota. Cuando un conjunto tiene una cantidad infinita o una grancantidad de elementos es descrito con el uso de un predicado.


Ejemplo. A = {x ∈ IR; x = y2 + z2}; B = {n ∈ ZZ;−1 ≤ n < 50};C = {a ∈ Z; a2 > 1}Nota. Sera conveniente dar una notacion para aquel conjunto que notiene elementos.

Definicion 1.9.4 Llamaremos conjunto vacıo, denotado ∅, al con-junto que no tiene elementos. Este conjunto puede ser descrito dediferentes maneras.

Ejemplo.

1. {n ∈ N ; n + 2 = 0} = ∅; 3. {r ∈ Q; r =√

2} = ∅

2. {n ∈ ZZ; 2n = 1} = ∅; 4. {x ∈ IR; x2 = −1} = ∅

1.9.1 Cuantificadores

Observacion. Sea U = ZZ. Consideremos los siguientes predicados:

(i) x = y + z; (ii) x = y2 + z2

Cada vez que nos damos x ∈ ZZ, existe y, z ∈ ZZ tal que x = y + z.Sin embargo no es verdadero que ”cada vez que nos damos x ∈ ZZ”,”exista y, z ∈ ZZ tal que x = y2 + z2”. Por ejemplo, para x = 6, noexiste y, z ∈ ZZ tal que 6 = y2 + z2, es decir el 6 no se puede escribircomo suma de dos cuadrados.

Nota. Queremos medir, cuantificar, la cantidad de elementos de unconjunto que hacen verdadero o falso un predicado.

En general vamos a considerar solo dos casos: (1) Todo elemento o(2) Existe un elemento. El segundo caso, es en el sentido de ”existe almenos un elemento”

Nota. Cuando nos interese la cantidad exacta de elementos que sat-isfacen un predicado, hablaremos del ”cardinal del conjunto.”

Definicion 1.9.5 Se definen los siguientes cuantificadores:


1. Para todo, denotado por ∀, una A hacia arriba, primera letrade la palabra ”any” del ingles que significa para cada o para todo.

2. Existe, denotado por ∃, una E hacia la izquierda, primera letrade la palabra inglesa ”exists” . There exists= existe

Ejemplo.

1. ∀n ∈ IN, n ≥ 0. Proposicion verdadera.

2. ∀n ∈ IN, n > 0. Proposicion falsa pues el 0 no la satisface.

3. ∃n ∈ IN, n > 0. Proposicion verdadera.

4. ∃n ∈ IN, n > 7. Proposicion verdadera.

Ejercicio

Sea U = {personas}. Comparemos las siguientes proposiciones:

1. p : ∀y, ∃x; x ama a y.

2. q : ∃y, ∀x ; x ama a y.

3. r : ∀y, ∃x; y ama a x.

4. s : ∃y, ∀x; y ama a x.

En lenguaje de la vida diaria, tenemos

1. p: Toda persona es por alguien amada.

2. q: Existe una persona que es por todos amada.

3. r: Toda persona tiene a alguien a quien ama.

4. s: Existe una persona que nos ama a todos


1.9.2 Negacion de los cuantificadores

La negacion de la proposicion: ∀x; p(x) es ∃x; p(x).

La negacion de la proposicion ∃x; p(x) es ∀x; p(x)

Ejemplo. Veamos la negacion de las proposiciones anteriores:

1. p : ∃y, ∀x; x no ama a y.

2. q : ∀y, ∃x; x no ama a y.

3. r : ∃y, ∀x; y no ama a x.

4. s : ∀y, ∃x; y no ama a x.

En lenguaje de la vida diaria tenemos:

1. p: Existe una persona que no es por nadie amada.

2. q: Toda persona tiene alguien que no la ama.

3. r: Existe una persona que no ama a nadie.

4. s: Toda persona tiene a alguien a quien no ama.

Ejercicio

Neguemos las proposiciones siguientes:

1. p: ∃n, m, t ∈ IN tal que n = m2 + t2.

2. q: ∀n ∈ ZZ, ∃m, t ∈ ZZ tal que n = m + t.

3. r: ∃n ∈ IN, ∀m ∈ IN tal que n ≤ m.

4. s: ∀n ∈ IN, ∃m ∈ IN tal que n = m + 1

5. t: ∀n ∈ IN, ∃m ∈ IN tal que n + 1 = m

Sus negaciones son las siguientes:


1. p: ∀n,m, t ∈ IN, n 6= m2 + t2.

2. q: ∃n ∈ ZZ, ∀m, t ∈ ZZ tal que n 6= m + t

3. r: ∀n ∈ IN, ∃m ∈ IN tal que n > m

4. s: ∃n ∈ IN, ∀m ∈ IN tal que n 6= m + 1

5. t: ∃n ∈ IN, ∀m ∈ IN tal que n + 1 6= m

En lenguaje ordinario tenemos:

1. p: Existen tres numeros naturales tales que uno de ellos es lasuma de los cuadrados de los otros dos.

2. q: Todo numero entero puede ser escrito como suma de otros dosnumeros enteros.

3. r: Existe un numero natural que es menor o igual a todo numeronatural.

4. s: Todo numero natural es el sucesor de otro numero natural.

5. t: Todo numero natural tiene un sucesor.

6. p: Cada vez que tengo tres numeros naturales, uno de ellos noes la suma de los cuadrados de los otros dos.

7. q: Existe un numero entero que no puede ser escrito como sumade dos enteros.

8. r: Para todo numero natural, existe un numero natural menorque el.

9. s: Existe un numero natural que no es sucesor de ningun numeronatural.

10. t: Existe un numero natural que no tiene sucesor.


1.9.3 Ejemplos y contraejemplos

Nota. Para demostrar la proposicion ∀x; p(x), es necesario dar unargumento que demuestre la veracidad de p(x), cualquiera sea el valorde x.

Si uno da varios ejemplos, incluso podrıan ser infinitos ejemplos, estoNO es una demostracion de la proposicion. Es decir puede haber unnumero infinito de valores que satisfagan una proposicion y sin em-bargo ser esta falsa.

Ejemplo. Sea p: ∀n ∈ IN; n2 ≥ 7. Vemos que hay infinitos numerosque la satisfacen, sin embargo es una proposicion falsa ya que haynumeros naturales (por ejemplo el 2) cuyo cuadrado no es mayor oigual 7.

Observacion. Pensemos en la proposicion siguiente: p: Todos losarboles conservan sus hojas durante el invierno. ¿Como explicar queesta proposicion es falsa? ¿Buscar toda una explicacion biologica paraexplicar la falsedad de esta proposicion? Hay una solucon ¡trivial ! Du-rante el invierno llevar a esa persona que afirma ”p” y ponerla delantede un alamo o ciruelo o cualquier arbol que halla perdido sus hojas.Esto basta para explicar la falsedad de ”p”. Diremos que el alamo oel ciruelo son contraejemplos. La idea es trivial, pero a veces es difıcilencontrar un contraejemplo.

Definicion 1.9.6 Un contraejemplo de la proposicion ∀x; p(x) esun valor de x que no cumple p(x)

Ejemplo. Demostremos que es falsa la proposicion:

∀x ∈ IR; x2 − 2x + 5 ≤ 0

Basta considerar el contraejemplo x = 0, pues 02 − 2 · 0 + 5 > 0

1.9.4 Operaciones entre conjuntos

Definicion 1.9.7 Si S y T son conjuntos, diremos que S es un sub-conjunto de T y escribiremos S ⊂ T si todo elemento que pertenece


a S, pertenece tambien a T , es decir

x ∈ S ⇒ x ∈ T

Ejemplo. Sea S = {numeros pares}, T = ZZ

Proposicion 1.9.1 Si S ⊂ T y T ⊂ S entonces S = T

Demostracion. x ∈ S ⇒ x ∈ T y x ∈ T ⇒ x ∈ S. Luego x ∈ S ⇔x ∈ T . Luego S = T

Proposicion 1.9.2 El conjunto vacıo es subconjunto de todo con-junto. Es decir

∅ ⊂ S, ∀S conjunto

Demostracion. En efecto, supongamos que existe un x ∈ ∅. Estaproposicion es falsa luego la implicacion es verdadera, es decir, x ∈ S,cualquiera sea S

Proposicion 1.9.3 El conjunto vacıo es unico.

Demostracion. Supongamos que existen ∅ y ∅′ dos conjuntos vacıos.Tenemos: ∅ ⊂ ∅′ y ∅′ ⊂ ∅ y por la proposicion anterior tenemos ∅ = ∅′.

Definicion 1.9.8 Sea U el conjunto universal que estamos considerando.Si A es un conjunto, su complemento, denotado A, se define por

A = {x ∈ U ; x /∈ A}

Ejemplo. Sea U = IN.

1. Sea A = {n ∈ IN; n es par}. Entonces A = {n ∈ IN; n es impar}.

2. Sea B = {n ∈ IN; n = 3m, m ∈ IN}. Entonces

B = {n ∈ IN; n = 3m + 1 o n = 3m + 2, m ∈ IN}


Observacion. Se tiene que:

x ∈ A ⇔ x ∈ A

x ∈ A ⇔ no(x ∈ A) ⇔ x ∈ A

Proposicion 1.9.4 Sean A y B conjuntos, entonces

1. A = A

2. A ⊂ B ⇒ B ⊂ A

Demostracion 1. x ∈ A ⇔ x ∈ A ⇔ A ⇔ x ∈ A

Demostracion 2. x ∈ B ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ A x ∈ A.

1.9.5 Union e interseccion

En U , consideremos A y B dos conjuntos. La union e intersecciondenotadas A ∪B y A ∩B respectivamente, estan definidas por:

A ∪B = {x ∈ U ; x ∈ A ∨ x ∈ B}; A ∩B = {x ∈ U ; x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ejemplo. Sea A = {a, b, c, d}, B = {a, d, e, f}. Entonces

A ∪B = {a, b, c, d, e, f}; A ∩B = {a, d}

Nota. Todas las propiedades de las proposiciones de logica se puedenutilizar en la teorıa de conjuntos. A modo de ejercicio, veamos algunasde ellas.


1. Idempotencia de ”∪ ” y ”∩ ”, es decir A∪A = A y A∩A = A.

Solucion. x ∈ A ∪ A ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ A) ⇔ x ∈ A

x ∈ A ∩ A ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ A) ⇔ x ∈ A


2. Leyes de Morgan

(a) A ∩B = A ∪B

(b) A ∪B = A ∩B

Solucion. x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∩B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇔x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∪B

La segunada afirmacion se demuestra de manera analoga a laanterior.

Nota. De esta manera se demuestran todas las propiedadesbasicas de teorıa de conjunto.

3. Usando las propiedades basicas, demostremos que

((A ∩B) ∪ ((A ∩B) ∪B)) ∩ A = A ∩B

Solucion.

(A ∩B) ∪ ((A ∩B) ∪B)) ∩ A =(A ∩B ∩ A) ∪ (((A ∩B) ∪B) ∩ A) =(A ∩B) ∪ (((A ∩B ∩ A) ∪ (B ∩ A)) =(A ∩B) ∪ (∅ ∪ (B ∩ A)) =(A ∩B) ∪ (A ∩B) =A ∩B

4. En U simplifiquemos la expresion: (A∩B)∪C∪(A∩C)∪(C∩B)

Solucion.

(A ∩B) ∪ C ∪ (A ∩ C) ∪ (C ∩B) =(A ∩B) ∪ C ∪ (C ∩ (A ∪B)) =(A ∩B) ∪ C ∪ (C ∩ (A ∩B)) =

(A ∩B) ∪ C ∪ (C ∪ (A ∩B)) =U

5. Demostremos que: (A ∪B) ∩ (A ∪B) = (A ∩B) ∪ (A ∩B)


Solucion.

(A ∪B) ∩ (A ∪B) = ((A ∪B) ∩ A) ∪ ((A ∪B) ∩B)= (A ∩ A) ∪ (B ∩ A) ∪ (A ∩B) ∪ (B ∩B)= ∅ ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ ∅= (A ∩B) ∪ (A ∩B)

6. Demostremos que: A− (B ∪ C) = (A−B)− C

Solucion. A− (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) =

= (A ∩B) ∩ C = (A−B)− C

7. Demostremos que: (A ∪B) ∩ C) ∪B = B ∩ C

Solucion.

(A ∪B) ∩ C) ∪B = (A ∪B) ∩ C) ∩B= ((A ∪B) ∩ C) ∩B= ((A ∪B) ∩B) ∩ C= B ∩ C

Notese que en la ultima igualdad utilizamos la ley de absorcion.

8. Demostremos que: ((A−B) ∪B)− A) ∩ (A ∪B) = A

Solucion. Comencemos por simplificar la primera expresion.Tenemos:

(A−B) ∪ B = (A ∩B) ∪ B = (A ∪ B) ∪ B = A ∪ (B ∪ B) =A ∪ U = A.

Reemplacemos esta simplificacion en la expresion inicial. Ten-emos:

(A− A) ∩ (A ∪B) = (A ∩ A) ∩ (A ∪B) = A ∩ (A ∪B) = A

1.9.6 Conjunto Potencia

Observacion. Sea A = {a, b, c}. El conjunto formado por todos lossubconjuntos de A, denotado P (A), es el siguiente:


P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}

Sera llamado ”conjunto potencia de A”.

Definicion 1.9.9 Sea A un conjunto cualquiera. Llamaremos con-junto potencia de A, denotado P (A), al conjunto formado por todoslos subconjuntos de A.

Teorema 1.9.5 Sea A un conjunto finito, entonces

|P (A)| = 2|A|

Demostracion. Sea A un conjunto y consideremos el conjunto B =A ∪ {b} con b /∈ A. Comencemos por estudiar P (B). Tenemos lasituacion siguiente: T ⊂ B y T 6⊂ A ⇒ b ∈ T .

Luego T = S ∪ {b}, con S ⊂ A.

De donde

P (B) = {S; S ⊂ A} ∪ {S ∪ {b}; S ⊂ A}

Ambos conjuntos tienen el cardinal de P (A). Luego

|P (B)| = 2 · |P (A)|

Es decir cada vez que agregamos un elemento, se duplica el cardinalde la potencia del conjunto anterior. Luego tenemos que si A posee nelementos entonces |P (A)| = 2n.

Proposicion 1.9.6 Si A ∩B = ∅, entonces P (A) ∩ P (B) = ∅.

Demostracion. La proposicion a demostrar es equivalente a de-mostrar:

P (A) ∩ P (B) 6= ∅ =⇒ A ∩B 6= ∅

Sea P (A) ∩ P (B) 6= ∅, entonces existe X 6= ∅, X ∈ P (A) ∩ P (B).Luego X ⊂ A y X ⊂ B. Es decir X ⊂ A ∩B. De donde A ∩B 6= ∅


Observacion. La definicion de igualdad de conjuntos dice que ”dosconjuntos son iguales si tienen los mismos elementos”. Ahora de-mostraremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos sub-conjuntos. Es decir, si coinciden sus conjuntos potencia. Tenemos laproposicion siguiente:

Proposicion 1.9.7 P (A) = P (B) ⇔ A = B

Demostracion. A = B ⇒ P (A) = P (B) ¡Obvio!

Sea P (A) = P (B). Por demostrar A = B.

x ∈ A ⇒ {x} ⊂ A ⇒ {x} ∈ P (A) = P (B) ⇒ {x} ∈ P (B) ⇒{x} ⊂ B ⇒ x ∈ B. Luego hemos demostrado que A ⊂ B. En formaanaloga se demuestra que B ⊂ A.

Proposicion 1.9.8 A ⊂ B ⇔ P (A ∪B) ⊂ P (B)

Demostracion. (i) Por demostrar: A ⊂ B ⇒ P (A ∪ B) ⊂ P (B).X ∈ P (A ∪ B) ⇒ X ⊂ A ∪ B. Pero A ∪ B = B. Luego X ⊂ B. Dedonde X ∈ P (B)

(ii) Por demostrar: P (A ∪B) ⊂ P (B) ⇒ A ⊂ B.

x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ {x} ⊂ A ∪ B ⇒ {x} ∈ P (A ∪ B) = P (B) ⇒{x} ∈ P (B) ⇒ {x} ⊂ B ⇒ x ∈ B

1.9.7 Conjuntos numericos

1. IN = {0, 1, 2, ..., n, ...}. El conjunto de los numeros naturales.

2. ZZ = {...,−n, ...,−2,−1, 0, 1, 2, ...n, ...}. El conjunto de los nu-meros enteros.

3. Q = {pq; p, q ∈ ZZ, q 6= 0} = {decimales periodicos}. El conjunto

de los numeros racionales.

4. IR = {numeros reales}


5. IR+ = {x ∈ IR; x > 0}. El conjunto de los reales positivos.

6. IR− = {x ∈ IR; x < 0}. El conjunto de los reales negativos.

7. IR∗ = IR− {0}

8. I = IR−Q. El conjunto de los numeros irracionales.

Se tiene:IN ⊂ ZZ ⊂ Q ⊂ IR

1.9.8 Diferencia simetrica

Sean A y B dos conjuntos. Llamaremos diferencia simetrica entreA y B, denotado A4B, al conjunto siguiente

A4B = (A−B) ∪ (B − A)

Ejercicio. Demostremos que: A4B = A4 C =⇒ B = C

Demostracion. Por demostrar

(A−B) ∪ (B − A) = (A− C) ∪ (C − A) =⇒ B = C

Consideremos las proposiciones siguientes:

p : x ∈ A; q : x ∈ B; r : x ∈ C

Entonces nosotros queremos demostrar la siguiente proposicion:

(p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ (p ∧ r) ∨ (r ∧ p) ⇒ (q ⇔ r)

Hemos visto que:

(a ∧ b) ∨ (a ∧ b) ≡ (a ⇔ b)

Luego(p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ (p ∧ r) ∨ (r ∧ p)

Es equivalente a(p ⇔ q) ≡ (p ⇔ r)

Luego q ⇔ r. De donde q ⇔ r

Ejercicios Propuestos


1. (a) Traduzca a lenguaje ordinario las proposiciones siguientes:

i. (∀n ∈ IN)(∃m ∈ IN), m > n

ii. (∃m ∈ IN)(∀n ∈ IN), m > n

iii. (∀x, y ∈ Q)(∃z ∈ Q), x < z < y

iv. (n ∈ IN y m ∈ IN) ⇒ (n + m ∈ IN y n−m ∈ IN)

v. (∀n ∈ IN) n > 3 ⇒ n > 6

vi. (∀r ∈ Q)(∃m, n ∈ IN), r = mn

vii. (∀x ∈ X)(∃A ∈ P (X)), x ∈ A

viii. (∀A ∈ P (X))(∃x ∈ X), x ∈ A

(b) Diga si ellas son verdaderas o falsas. Explique o pruebe sicorresponde.

2. Traduzca a lenguaje formal las proposiciones siguientes:

(a) La suma y el producto de dos numeros racionales sonnumeros racionales.

(b) Todo numero positivo posee una raız cuadrada.

(c) El cuadrado de todo numero real es positivo.

(d) Todo numero racional multiplicado por 1 es igual a elmismo.

(e) Un numero divisible por 10 es divisible por 5.

(f) Todo numero par es divisible por 4.

(g) El cuadrado de un numero par es divisible por 4.

(h) El producto de dos numeros es positivo si y solo si ellostienen el mismo signo.

(i) Un triangulo es equilatero si y solo si sus angulos soniguales.

(j) Un cuadrilatero es un cuadrado si y solo si todos sus angulosson iguales.

(k) 2 y 3 son lasunicas raıces de la ecuacion x2 − 6x + 5 = 0.

(l) Para todos los numeros reales x e y se tiene ya sea x esmenor o igual a y, o bien y es menor o igual a x.


(m) Existen dos conjuntos A y B tales que ni A esta incluıdoen B, ni B esta incluıdo en A.

¿Cuales de estas proposiciones son ciertas?

3. Construya la tabla de verdad de la formula (p∨q)∧q. Demuestreque es equivalente a q. Ademas la formula (p∧q)∨q es equivalentea q. Deducir que para dos conjuntos A y B se tiene: (A∪B)∩A =(A ∩B) ∪ A = A.

4. Pruebe sirviendose de las tablas de verdad las tautologıas sigu-ientes:

(a) (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)

(b) (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q)

(c) (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q)

(d) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q)

(e) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r).

Aplique estas tautologıas para probar

(a) Si n2 es par entonces n es par.

(b) Sean A y B subconjuntos de un conjunto X. Pruebe queA ⊂ B ssi A ∪B = X

(c) Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C.

5. Sirviendose de las reglas

((∃x)p(x)) ⇔ (∀x)(p(x))

((∀x)p(x)) ⇔ (∃x)(p(x))

Encuentre las negaciones de las proposiciones siguientes:

(a) Toda parte de un conjunto finito es finito

(b) El cuadrado de un numero par es divisible por 4

(c) Todo numero primo es impar

(d) Existe un hombre que no es mortal


(e) Para todo entero x existe un entero mayor que el

6. Dibuje los circuitos correspondientes a las expresiones simbolicassiguientes:

(a) (P ∧Q) ∨ P

(b) (P ∧Q) ∨ (P ∧Q)

(c) (P ∧Q) ∨R ∨ (P ∧Q ∧R)

7. ¿ Que tipo de circuito le corresponde a una tautologıa ?, de unejemplo.

8. Sea A = {a, {a}, {a, {a}}}. Diga cuales de las siguientes afirma-ciones son verdaderas:

(a) a ⊆ A (b) a ∈ A (c) {a} ∈ A (d) {a} ⊆ A(e) {{a}} ⊆ A (f) {{a}, a} ⊆ A (g) {{a}, a} ∈ A

9. Sea A = {a, φ, {b}, {a}, {φ}, {a, φ}}. Encuentre P (A).

10. ¿Puede dar un ejemplo en que P (A) = φ?

11. Diga si es valido el siguiente argumento, utilizando diagrama deVenn.

Todos los productos baratos son baratijas

Todas las baratijas se agotan

Todos los productos baratos se agotan.

12. Use un diagrama de Venn para obtener una conclusion validapara el siguiente argumento.

Algunos comerciales de television son inefectivos

Todos los comerciales de television son cuidadosamente disenados


13. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen almenos una semana, 43 gastan al menos $ 30 diarios, 32 estancompletamente satisfechos del servicio; 30 permanecieron almenos una semana y gastaron al menos $ 30 diarios; 26 per-manecieron al menos una semana y quedaron completamentesatisfechos; 27 gastaron al menos $ 30 diarios y quedaron com-pletamente satisfechos y 24 permanecieron al menos una semana,gastaron al menos $ 30 diarios y quedaron completamente satis-fechos.

a) ¿Cuantos visitantes permanecieron al menos una semana, gas-taron al menos $ 30 diarios pero no quedaron completamentesatisfechos?

b) ¿Cuantos visitantes quedaron completamente satisfechos peropermanecieron menos de una semana y gastaron menos de $ 30diarios?

c) ¿Cuantos visitantes permanecieron menos de una semana, gas-taron menos de $ 30 diarios y no quedaron completamente sat-isfechos?

14. Sean A, B subconjuntos de un conjunto X: Pruebe, usando di-agrama de Venn que (A∩Bc)∪(Ac∩B) = A∪B ⇐⇒ A∩B = φ

15. Demuestre que

(a) A ∩B = φ ⇒ P (A) ∩ P (B) = φ

(b) Ac\Bc = B\A

16. Demuestre que

(a) A ∩B = φ ⇒ A = φ ∧B = φ

(b) A ∩ (A ∪B) = A

17. ¿Para cuales S ∈ {IN, ZZ, Q, IR, C} son verdaderas las siguientesafirmaciones?

(a) {x ∈ S/x2 = 5} 6= φ


(b) {x ∈ S/ | x− 1 |≤ 12} = {1}

(c) {x ∈ IR | x2 = −1} = φ

18. De un ejemplo de tres conjuntos A, B y C tales que A ∩ B 6=φ,B ∩ C 6= φ,A ∩ C 6= φ pero A ∩B ∩ C = φ

19. Determine las posibles relaciones de inclusion entre A y B:

a) A = {0, 1, 2, 6}, B = { divisores de 30 }b) A = X − (Y − T ), B = T

c) A = E − S, B = {x ∈ S; x ∈ E − S}d) A = P (E − S) , B = P (E)− P (S)

20. Demuestre que

(a) (A ∪ (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ C) = (A ∪ C) ∩B

(b) A ∪ ((A−B) ∩B) ∪ (A ∪B) = A

(c) (A ∪B ∩ (A ∪B = A

(d) A ∩ (B − C) = (A ∩B)− (A ∩ C)

(e) A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C)

(f) (A−B)− C = A− (B ∪ C)

21. Escriba como expresion logica las expresiones conjuntistas sigu-iente:

(a) (A ⊂ B ∧B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C)

(b) A ⊂ B ⇔ A ∩B = A

22. Demuestre que:

(A ∩B) ∪ (A ∩B) = A ∪B ⇔ A ∩B = ∅

23. Demuestre que:

(A−B) ∪ (B − A) = (A ∪B)− (A ∩B)


24. Demuestre que:

(a) (A ∩B)− C = (A− C) ∩ (B − C)

(b) (A− C)− (A−B) = A ∪ (B − C)

(c) A ∪ (B − C) = (A ∪B)− (C − A)

25. Demuestre las identidades:

(a) X − (Y −X) = X

(b) X − (X − Y ) = X ∩ Y

(c) X − (Y ∪ Z) = (X − Y ) ∩ (X − Z)

(d) P (A) = P (B) ⇔ A = B

(e) A ⊂ B ⇔ P (A ∪B) ⊂ P (B)

(f) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪B)

(g) P (A) ∪ P (B) = P (A ∪B) ⇔ A ⊂ B o B ⊂ A

26. Sea X = {1, 2, 3, ..., 18}. Si X tiene p subconjuntos con unnumero par de elementos e i subconjuntos con un numero imparde elementos, compare p e i. ¿ Puede calcularlos ?

27. Resuelva en P (E) las ecuaciones:

a)X − A = Φ b)X − (A ∩X) = Φc)A− (X − A) = X d)A ∪X = Be)A ∩X = B

28. Resuelva en P (E) los sistemas:

X ∪ Y = AX ∩ Y = B

(X −B) ∩ (Y −B) = φ

(X ∪ Y ) ∩ A = BX ∩ Y ) ∪ A = B

}

Capıtulo 2

Sumatorias y Recurrencia

2.1 Sumatorias

Motivacion. Queremos encontrar el valor de sumas tales como:

13 + 23 + 33 + ·+ 5.0003

o bien

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n + 1)

Problema. Comencemos por algo sencillo. Busquemos el valor de lasuma de 1 a 50.

Gauss (1.777-1.855) a temprana edad, tuvo el chispazo genial siguiente:

1 + 2 + 3 + · · · + 48 + 49 + 5050 + 49 + 48 + · · · + 3 + 2 + 1

Si sumamos hacia abajo tenemos 50 veces 51. Luego

2(1 + 2 + 3 · · ·+ 48 + 49 + 50) = 50 · 51

De donde

1 + 2 + 3 + · · ·+ 50 =50 · 51

2

55


Problema. Ahora nos interesa la siguiente suma:

1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n

Donde n es un numero natural cualquiera. Hacemos el mismo calculo:

1 + 2 + · · · + (n− 1) + nn + (n− 1) + · · · + 2 + 1

Si sumamos en forma vertical tenemos n veces (n + 1). Pero hemossumado dos veces la suma pedida. Luego:

2(1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n) = (n + 1)n

De donde:

1 + 2 + · · ·+ (n− 1) + n =n(n + 1)

2

Nota. Por un metodo un poco mas sofisticado, se puede encontrarel valor de la suma de los cuadrados, de los cubos y otros. Los dosprimeros los buscaremos al final de esta seccion.

Estos resultados son:

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =(n(n + 1))2

4

Problema. Ahora trateremos de calcular sumas con n terminos quetengan formas tales como:

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·

1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + · · ·

1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · ·

Para esto sera necesario hacer uso del concepto y propiedades de”sumatoria”

Capıtulo 2. Sumatorias y Recurrencia 57

Definicion 2.1.1 Sumatoria es la suma de n terminos que estanconstruıdos con una cierta regla.

Observacion. Ahora vamos a introducir una notacion que es muyutil. Comencemos por verlo en ejemplos.

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n∑

i=1

i2

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =n∑

i=1

i3

Notacion. a0 + a1 + a2 + · · ·+ an =n∑

i=0

ai

De la misma manera puede ser denotado como sigue:

n∑k=1

ak o bienn∑

l=1

al etc.

Ejercicio. Escribamos en forma de sumatoria, la suma de los nprimeros terminos de cada una de las expresiones siguientes:

1. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·

2. 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·

3. 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · ·

4. 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + · · ·

5. 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + · · ·

6. 9 + 11 + 13 + 15 + · · ·

Solucion.

1. El termino general es de la forma: k(k+1). Luego la suma pedidatiene la forma

n∑k=1

k(k + 1)


2. El termino general es de la forma: k(k + 10). Luego la sumapedida es

n∑k=1

k(k + 10)

3. El termino general es k(k + 2). Luego la suma pedida es

n∑k=1

k(k + 2)

4. Los segundos numeros son impares. Todo numero impar es de laforma 2k +1. Necesitamos que para k = 1 el impar sea 3. Luegoel termino general es de la forma k(2k + 1). La suma pedida seescribe

n∑k=1

k(2k + 1)

5. Ahora tenemos dos impares seguidos. Pero queremos empezarpor k = 1, el termino general tendra la forma: (2k − 1)(2k + 1).La suma pedida es

n∑k=1

(2k − 1)(2k + 1)

6. Se va sumando 2 (progresion aritmetica). Luego escribiremos9 = 2 · 1 + 7; 11 = 2 · 2 + 7; 13 = 2 · 3 + 7. Luego el terminogeneral es de la forma 2 · k + 7. Se nos pide

n∑k=1

(2k + 7)

2.1.1 Propiedades de la sumatoria

Observacion. (12+1)+(22+2)+(32+3) = (12+22+32)+(1+2+3).Es decir:

3∑k=1

(k2 + k) =3∑

k=1

k2 +3∑

k=1

k


Observacion.

(12 +1)+(22 +2)+ · · ·+(n2 +n) = (12 +22 + · · ·+n2)+(1+2+ · · ·n)

Es decir:n∑

k=1

(k2 + k) =n∑

k=1

k2 +n∑

k=1

k

En general, tenemos la propiedad siguiente:

n∑k=1

(ak + bk) =n∑

k=1

ak +n∑

k=1

bk

Observacion. 5 · 12 + 5 · 22 + · · ·+ 5 · n2 = 5 · (12 + 22 + · · ·+ n2).

Luegon∑

k=1

5k2 = 5n∑

k=1

k2

Es decir factorizar por 5 equivale a sacar el 5 fuera de la sumatoria.En general se tiene:

n∑k=1

(a · ak) = a ·n∑

k=1

ak

Ahora estamos en condiciones de poder calcular las sumatorias escritasanteriormente.


1. Busquemos el valor de la suma de los n primeros terminos de lasumatoria que comienza por:

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·

Solucion. Vimos que el termino general es de la forma: k ·(k+1)


Tenemos:

n∑k=1

k(k + 1) =n∑

k=1

k2 +n∑

k=1

k

=n(n + 1)(2n + 1)

6+

n(n + 1)

2

=n(n + 1)(2n + 1) + 3n(n + 1)

6

=n(n + 1)(2n + 1 + 3)

6

=n(n + 1)(n + 2)

3

Pregunta: ¿Por que la cantidadn(n + 1)(n + 2)

3es un numero

natural?

2. Busquemos el valor de la suma de los n primeros terminos de lasumatoria que comienza por:

1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·

Solucion. Entonces tenemos

1 · 11 + 2 · 12 + · · ·+ n(n + 10) =n∑

k=1

k(k + 10)

=n∑

k=1

(k2 + 10k)

=n∑

k=1

k2 + 10n∑

k=1

k

=n(n + 1)(2n + 1)

6+

10n(n + 1)

2

=n(n + 1)(2n + 1 + 30)

6

=n(n + 1)(2n + 31)

6

3. Idem ejercicio anterior para:

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · ·


Solucion.

1 · 3 + · · ·+ n(n + 2) =n∑

k=1

k(k + 2)

=n∑

k=1

(k2 + 2k)

=n∑

k=1

k2 + 2n∑

k=1

k

=n(n + 1)(2n + 1)

6+

2n(n + 1)

2

=n(n + 1)(2n + 1 + 6)

6

=n(n + 1)(2n + 7)

6

4. Analogamente al ejercicio anterior, para la progresion airtmeticasiguiemte:

5 + 8 + 11 + · · ·

Solucion.

(2 + 3 · 1) + · · ·+ (2 + 3 · n) = n · 2 + (3 · 1 + · · ·+ 3 · n)

= n · 2 +n∑

k=1

3k

= 2n +3n(n + 1)

2

=4n + 3(n + 1)

2

=n(3n + 7)

2

5. Al igual que el ejercicio anterior para la sumatoria que comienzapor:

1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + · · ·


Solucion.

1 · 3 + · · ·+ (2n− 1) · (2n + 1) =n∑

k=1

(2k − 1)(2k + 1)

=n∑

k=1

(4k2 − 1)

= 4(n∑

k=1

k2)− n

=4n(n + 1)(2n + 1)

6− n

=n((2n + 2)(2n + 1)− 3)

3

=n(4n2 + 6n− 1)

3

Nota. En el capıtulo dedicado a la aritmetica veremos que 3divide a n(4n2 + 6n− 1)

6. Idem para la serie

7 · 1 + 9 · 2 + 11 · 3 + · · ·

Solucion. Tenemos 7, 9, 11, · · ·. Estos numeros van uno pormedio, luego tenemos 2k. Para n = 1, se tiene 7 = 2 · 1 + 5.Luego el termino general es de la forma: 2k + 5 Entonces

n∑k=1

(2k + 5)k =n∑

k=1

(2k2 + 5k)

= 2n∑

k=1

k2) + 5n∑

k=1

k

=2n(n + 1)(2n + 1)

6+

5n(n + 1)

2

=n(n + 1)(4n + 2 + 15)

6

=n(n + 1)(4n + 17)

6

Nota. En la seccion de Aritmetica veremos quen(n + 1)(4n + 17)

6es un numero natural.


7. Expresemos como un producto de numeros naturales48∑

k=1

k2.

Solucion.48∑

k=1

k2 =48 · 49 · (2 · 48 + 1)

6. Es decir 8 · 49 · 97

8. Calculemos: 52 + 62 + 72 + · · ·+ 502.

Solucion.50∑

k=5

k2 =50∑

k=1

k2 −4∑

k=1

k2

= 50·51·1016

− 4·5·96

= 25 · 17 · 101− 30

Curiosidad. En ambos casos las fracciones se simplificaronhasta obtener 1 en el denominador. Luego obtuvimos un numeroentero. ¡Corresponde! pues al lado izquierdo se tiene un numeroentero.

9. Encontremos el valor de la sumatoria:10∑

k=5

(2k − 1)2

Solucion.10∑

k=5

(2k − 1)2 =10∑

k=1

(2k − 1)2 −4∑

k=1

(2k − 1)2

=10∑

k=1

(4k2 − 4k + 1)−4∑

k=1

(4k2 − 4k + 1)

= 4·10·11·216

− 4·10·112

+ 10− (4·4·5·96

− 4·4·52

+ 4)= 1246

10. Calculemos:100∑

k=10

k2

Solucion.100∑

k=10

k2 =100∑k=1

k2 −9∑

k=1

k2

= 100·101·2016

− 9·10·196

= 50 · 101 · 67− 15 · 19


11. Encontremos el valor de la sumatoria:200∑k=8

(2k − 1)(3k + 1)

Solucion.200∑k=8

(2k − 1)(2k + 1) =200∑k=8

(6k2 − k − 1)

=200∑k=1

(6k2 − k − 1)−7∑

k=1

(6k2 − k − 1)

= 6200∑k=1

k2 −200∑k=1

k − 200− 67∑

k=1

k2 −7∑

k=1

k + 7

= 6·200·201·4016

− 200·2012

− 193− 6·7·8·156

− 7·82

= 200 · 201 · 401− 20.100− 193− 7 · 8 · 15− 28

12. Sabiendo que:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

Encontremos

(1)n+3∑k=1

k (2)n+2∑k=1

k2 (3)n−1∑k=1

k

(4)n−1∑k=1

k2 (5)n−3∑k=1

k (6)n−4∑k=1

k2

Solucion

(1)n+3∑k=1

k =(n + 3)(n + 4)

2(2)

n+2∑k=1

k2 =(n + 2)(n + 3)(2n + 5)

6

(3)n−1∑k=1

k =(n− 1)n

2(4)

n−1∑k=1

k2 =(n− 1)n(2n− 1)

6

(5)n−3∑k=1

k =(n− 3)(n− 2)

2(6)

n−4∑k=1

k2 =(n− 4)(n− 3)(2n− 7)

6

13. Sabiendo que

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1) · (2n + 1)=

n

2n + 1


Encontremos el valor de:

(1)1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

15 · 17

(2)1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n + 9) · (2n + 11)

Solucion (1) Escribimos 17 de la forma: 17 = 16+1 = 2 ·8+1.Luego

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

15 · 17=

8

17

Solucion (2) Tenemos que 2n+11 = (2n+10)+1 = 2(n+5)+1.Ademas 2n + 11 es mayor que 2n + 9. Luego

1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n + 9) · (2n + 11)=

n + 5

2n + 11

14. Busquemos el valor de la suma de los n primeros terminos de lasumatoria:

1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + · · ·

Solucion. El termino general es de la forma k(2k +1). Luego setiene la sumatoria

n∑k=1

k(2k + 1) =n∑

k=1

(2k2 + k)

= 2n∑

k=1

k2 +n∑

k=1

k

=2n(n + 1)(2n + 1)

6+

n(n + 1)

2

=n(n + 1)(4n + 2 + 3)

6

=n(n + 1)(4n + 5)

6

15. Encontremos la suma de los n primeros terminos de la sumatoria:

1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · ·


Solucion. El termino general es de la forma k(k + 1)(k + 2).Luego se tiene la sumatoria

n∑k=1

k(k + 1)(k + 2) =n∑

k=1

(k2 + k)(k + 2)

=n∑

k=1

(k3 + 3k2 + 2k)

=n∑

k=1

k3 + 3n∑

k=1

k2 + 2n∑

k=1

k

=n2(n + 1)2

4+

3n(n + 1)(2n + 1)

6+ n(n + 1)

=n(n + 1)(6n(n + 1) + 12(2n + 1) + 24)

24

=n(n + 1)(6n2 + 30n + 36)

24

=n(n + 1)(n2 + 5n + 6)

4

=n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

4

16. Encuentre la suma de los n primeros terminos de la sumatoria:

(6 + 5 · 1) + (6 + 5 · 2) + (6 + 5 · 3) + · · ·

Solucion. El n-esimo termino de la sumatoria es de la forma6 + 5 · n. Luego tenemos:

n∑k=1

(6 + 5 · k) = 6n + 5n∑

k=1

k

= 6n +5n(n + 1)

2

=n(17 + 5n)

2

17. Encontremos la suma de los n primeros terminos de la progresionaritmetica siguiente:

5 + 8 + 11 + 14 + · · ·


Solucion. Vemos que cada vez vamos sumando 3, luego elprimer termino lo escribimos como 3·1+algo. Esto es 5 = 2+3·1;8 = 2 + 3 · 2; 11 = 2 + 3 · 3; etc.

El termino general es de la forma: 2 + 3k. Tenemos:

n∑k=1

(2 + 3 · k) = 2n + 3n∑

k=1

k

= 2n +3n(n + 1)

2

=n(3n + 7)

2

18. Encontremos la suma de los n primeros terminos de la progresionaritmetica siguiente:

1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + · · ·

Solucion. El termino general es de la forma (2k−1)(2k). Luegose nos pide

n∑k=1

(2k − 1)(2k) =n∑

k=1

(4k2 − 2k)

= 4n∑

k=1

k2 − 2n∑

k=1

k

=4n(n + 1)(2n + 1)

6− 2

n(n + 1)

2

=2n(n + 1)(2n + 1)− 3n(n + 1)

3

=n(n + 1)(4n− 1)

3

2.1.2 Progresiones Geometricas

Ejemplos de progresiones geometricas

3 + 3 · 2 + 3 · 22 + · · ·+ 3 · 2n

5 + 5 · 4 + 5 · 42 + · · ·+ 5 · 4n


Definicion 2.1.2 Una progresion geometrica, es una sucesion deltipo:

a, a · r, a · r2, a · r3, · · · a · rn, · · ·

donde r es llamada la razon de la progresion. Nuestro problema escalcular la suma de los n + 1 primeros terminos de la progresiongeometrica.

Observacion. Veamos un procedimiento similar al que usamos parasumar los n primeros terminos de la sumatoria 1+2+3+· · ·n. Busque-mos el valor de la sumatoria siguiente:

3 + 3 · 2 + 3 · 22 + · · ·+ 3 · 2n

Seasn = 3 + 3 · 2 + 3 · 22 + · · ·+ 3 · 2n

Multipliquemos ambos lados de la igualdad por −2. Se tiene:

sn = 3 + 3 · 2 + 3 · 22 + · · ·+ 3 · 2n

−2sn = −3 · 2− 3 · 22 − 3 · 23 − · · · − 3 · 2n − 3 · 2n+1

Tenemos :sn − 2sn = 3− 3 · 2n+1

De donde(1− 2)sn = 3(1− 2n+1)

Luego

sn =3(1− 2n+1)

1− 2

Caso general

Dada la progresion geometrica

a, a · r, a · r2, a · r3, · · · a · rn, · · · con r 6= 1

La suma de los n + 1 primeros terminos es:

sn = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn


Calculemos esta suma. En efecto, consideremos

sn = a + a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn y

−rsn = −a · r − a · r2 − a · r3 − · · · − a · rn+1

Sumando ambas igualdades se obtiene

sn − r · sn = a− a · rn+1

Factorizando queda:

(1− r)sn = a(1− rn+1)

De donde

sn =a(1− rn+1)

1− r

Donde a es el primer termino de la progresion y r es la razon de laprogresion.

Ejemplo

7 + 7 · 13

+ 7 · (13)2 + · · ·+ 7 · (1

3)n =

7(1−( 13)n+1)

1− 13

=7(1−( 1

3)n+1)

23

2.1.3 Sumas de cuadrados

Buscamos el valor de:

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2

En efecto, sean

Sn(2) =n∑

i=1

i2 = 02 + 12 + 22 + · · ·+ n2

Sn(3) =n∑

i=1

i3 = 03 + 13 + 23 + · · ·+ n3


Se tiene

03 + 13 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3 =n∑

i=0

(i + 1)3

Es decir

Sn(3) + (n + 1)3 =n∑

i=0

(i + 1)3 ∗

Peron∑

i=0

(i + 1)3 =n∑

i=0

(i3 + 3i2 + 3i + 1)

=n∑

i=0

i3 +n∑

i=0

i2 + (n∑

i=0

i) + n + 1

Reemplazando en * se tiene:

Sn(3) + (n + 1)3 = Sn(3) + 3Sn(2) +3n(n + 1)

2+ n + 1

Luego

3Sn(2) = (n + 1)3 − 3n(n + 1)

2− n− 1

Sn(2) =2n3 + 3n2 + n

6

De donde

Sn(2) =n(n + 1)(2n + 1)

6

2.2 Induccion o recurrencia

2.2.1 Los numeros naturales

Construccion segun Peano

Existe un conjunto no vacıo IN, cuyos elementos se llaman numerosnaturales y a cada elemento m se le asocia un numero s(m), llamadoel siguiente o el sucesor de m, sometidos a las siguientes condiciones,llamadas postulados de Peano, que son:


P.1. A cada numero naturural le corresponde un unico numero sigu-iente y cada numero natural es a lo mas el siguiente de un numeronatural.

P.2. Hay un numero que no es el siguiente de ningun numero, llamadoprimer elemento.

P.3. Sea A ⊂ IN tal que:

i) Hay n0 ∈ A con n0 un numero natural.

ii) Todo elemento en A tiene un numero siguiente en A

Entonces A = IN

El postulado 3 dice si un conjunto tiene un primer elemento y contienetodos los siguientes elementos dicho conjunto es IN. Este postuladoes conocido como ”Axioma de Induccion”. Entonces vemos que esteaxioma esta en la esencia de los numeros naturales.

El segundo postulado tambien lo cumple solamente el conjunto de losnumeros naturales. Sin embargo el conjunto de los numeros enteroscumple el primer postulado.


1. (Suma de los cuadrados) Demostremos por induccion que:

12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6;∀n ∈ IN

Solucion.

(a) Para n = 2, tenemos:

Lado izquierdo: 12 + 22 = 5

Lado derecho:2 · 3 · 5

6= 5

Luego cumple para n = 2

(b) Supongamos que esta propiedad es valida para un cierto n,es decir, supongamos que

12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6


(c) Por demostrar que esta propiedad es valida para el numerosiguiente, es decir para n+1. Queremos entonces demostrarque

12 + 22 + · · ·+ n2 + (n + 1)2 =(n + 1)(n + 2)(2n + 3)

6

Demostracion.

12 + 22 + · · ·+ (n + 1)2 =n(n + 1)(2n + 1)

6+ (n + 1)2

=n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2

6

=(n + 1)(2n2 + n + 6n + 6)

6

=(n + 1)(n + 2)(2n + 3)

6

Por (a), (b) y (c) esta propiedad es valida para todo numeronatural.

2. (Suma de los cubos) Demostremos por induccion que:

13 + 23 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + · · ·+ n)2;∀n ∈ IN

Solucion.

(a) La comprobacion para n = 1 es evidente.

(b) Supongamosla valida para un cierto n. Es decir, supong-amos que:

13 + 23 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + · · ·+ n)2

(c) Por demostrar para el numero siguiente, es decir, por de-mostrar que:

13 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3 = (1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1))2


Demostracion.

13 + · · ·+ n3 + (n + 1)3 = (1 + 2 + · · ·+ n)2 + (n + 1)3

= (n(n + 1)

2)2 + (n + 1)3

=(n + 1)2

4(n2 + 4(n + 1))

=(n + 1)2

4(n + 2)2

= ((n + 1)(n + 2)

2)2

= (1 + 2 + · · ·+ n + (n + 1))2

3. (Suma de los numeros pares) Demostremos por induccion que:

2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n(n + 1); ∀n ∈ IN

Solucion.

(a) Para n = 2 se verifica la igualdad.

(b) Hipotesis de induccion:

2 + 4 + 6 + ·+ 2n = n(n + 1)

(c) Por demostrar para n + 1, es decir, por demostrar que :

2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2)

Demostracion.

2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n + 2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1)= (n + 1)(n + 2)

Por (a), (b) y (c) se tiene que esta formula es verdadera paratodo numero natural n.

4. (Suma de los numeros impares) Demostremos por induccion que:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2;∀n ∈ IN

Solucion.


(a) Trivialmente se verifica la proposicion para n = 1.

(b) Hipotesis de induccion. Supongamos que es verdadera paraun cierto n, es decir, supongamos que:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2

(c) Por demostrar que es valida para n + 1, es decir:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) + (2n + 1) = (n + 1)2

Demostracion.

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)= n2 + 2n + 1= (n + 1)2

Por (a), (b) y (c) esta propiedad es verdadera para todo n ∈ IN.

5. (Suma de los multiplos de 4) Demostremos por induccion que:

4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = (2n)(n + 1); ∀n ∈ IN

Solucion.

(a) Demostremos que esta proposicion es verdadera para n = 2

Lado izquierdo: 4 + 8 = 12. Lado derecho: (2 · 2)(3) = 12.Luego es valido para n = 2


4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = (2n)(n + 1)

(c) Por demostrar que es verdadera para n + 1, es decir,

4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n + 4(n + 1) = 2(n + 1)(n + 2)

Demostracion.

4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n + 4(n + 1) = 2n(n + 1) + 4(n + 1)= (n + 1) · 2 · (n + 2)= 2(n + 1)(n + 2)


Por (a), (b) y (c) esta propiedad es verdadera para todo numeronatural.

6. Demostremos por induccion que:

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3;∀n ∈ IN

Solucion.

(a) Es claro que la proposicion es verdadera para n = 2.


1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

(c) Por demostrar que es verdadera para n + 1, es decir,

1·2+2·3+· · ·+n(n+1)+(n+1)(n+2) =(n + 1)(n + 2)(n + 3)

3

Demostracion.

1 · 2 + · · ·+ (n + 1)(n + 2) =n(n + 1)(n + 2)

3+ (n + 1)(n + 2)

=n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1)(n + 2)

3

=(n + 1)(n + 2)(n + 3)

3

Por (a), (b) y (c) esta proposicion es valida para todo numeronatural


1 · 31 + 2 · 32 + 3 · 33 + · · ·+ n · 3n =(2n− 1)3n+1 + 3

4;∀n ∈ IN

Solucion.



Lado izquierdo: 1 · 31 + 2 · 32 = 21

Lado derecho:(2 · 2− 1) · 32+1 + 3

4= 21

Luego es valido para n = 2


1 · 31 + 2 · 32 + 3 · 33 + · · ·+ n · 3n =(2n− 1)3n+1 + 3

4

(c) Por demostrar que esta proposicion es verdadera para n+1,es decir, por demostrar que:

1·31+2·32+3·33+· · ·+n·3n+(n+1)·3n+1 =(2n + 1)3n+2 + 3

4

Demostracion.

1 · 31 + · · ·+ (n + 1) · 3n+1 =(2n− 1)3n+1 + 3

4+ (n + 1)3n+1

=3n+1((2n− 1) + 4(n + 1)) + 3

4

=3n+1(6n + 3) + 3

4

=3n+1 · 3(2n + 1) + 3

4

=3n+2(2n + 1) + 3

4

Por (a), (b) y (c) se tiene que esta propiedad es verdadera paratodo numero natural n.

8. (Suma de las potencias de1

2.) Demostremos por induccion que:

1

2+

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

2n= 1− 1

2n;∀n ∈ IN

Solucion.



Lado izquierdo:1

2+

1

22+

1

23=

7

8,

Lado derecho: 1− 1

23=

7

8.



1

2+

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

2n= 1− 1

2n

(c) Por demostrar que es verdadero para n + 1, es decir, pordemostrar que:

1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n+

1

2n+1= 1− 1

2n+1

Demostracion.

1

2+ · · ·+ 1

2n+

1

2n+1= (1− 1

2n) +

1

2n+1

= 1 +−2 + 1

2n+1

= 1− 1

2n+1

Por (a), (b) y (c), se tiene que esta propiedad es verdadera paratodo numero natural n.


1

1 · 2+

1

2 · 3+ · · ·+ 1

n(n + 1)=

n

n + 1;∀n ∈ IN

Solucion.

(a) Para n = 2 es facil ver que la proposicion es verdadera.


1

1 · 2+

1

2 · 3+ · · ·+ 1

n(n + 1)=

n

n + 1



1

1 · 2+

1

2 · 3+ · · ·+ 1

n(n + 1)+

1

(n + 1)(n + 2)=

n + 1

n + 2

Demostracion.

1

1 · 2+ · · ·+ 1

n(n + 1)+

1

(n + 1)(n + 2)=

n

n + 1+

1

(n + 1)(n + 2)

=n(n + 2) + 1

(n + 1)(n + 2)

=n2 + 2n + 1

(n + 1)(n + 2)

=n + 1

n + 2



1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n + 1)=

n

2n + 1;∀n ∈ IN

Solucion.


Lado izquierdo:1

1 · 3+

1

3 · 5=

2

5,

Lado derecho:2

5.



1

1 · 3+

1

3 · 5+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n + 1)=

n

2n + 1



1

1 · 3+ · · ·+ 1

(2n− 1)(2n + 1)+

1

(2n + 1)(2n + 3)=

n + 1

2n + 3

Demostracion.

11·3 + · · ·+ 1

(2n−1)(2n+1)+ 1

(2n+1)(2n+3)= n+1

2n+1+ 1

(2n+1)(2n+3)

= 2n+3n)+1(2n+1)(2n+3)

= 2n2+3n+1(2n+1)(2n+3)

= n+12n+3



1. Pruebe por recurrencia para todo n ∈ IN.

14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 =1

30n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n− 1)

2. Pruebe por recurrencia para todo n ∈ IN.

(a)n∑

k=1

(2k − 1)2 =1

3n(4n2 − 1)

(b)n∑

k=1

1

(2k − 1)(2k + 1)=

n

2n + 1

(c)n∑

k=1

k · k! = (n + 1)!− 1

Escriba las sumas del lado izquierdo de las igualdades como lasexpresiones del ejercicio 1.

3. Verifique las reglas siguientes para trabajar las sumas.


(a)n∑

k=1

(ak + bk) =n∑

k=1

ak +n∑

k=1

bk

(b)n∑

k=1

λak = λn∑

k=1

ak

4. Muestre que no es cierto que(n∑

k=1

ak

)·(

n∑k=1

bk

)=

n∑k=1

ak · bk

(basta dar un contraejemplo)

5. Calcule las siguientes sumas (utilice las propiedades conocidas):

(a)n∑

k=1

(6k − 5)

(b)n∑

k=1

k(k + 1)

(c)n∑

k=1

k(k + 1)(k + 2)

Pruebe por recurrencia las formulas que usted encontro.

6. Pruebe por recurrencia las proposiciones siguientes.

(a) La suma de los angulos en un polıgono convexo de n ladoses (n− 2)π.

(b) Un polıgono convexo de n lados posee n(n−3)2

diagonales.

7. (a) Encuentre k ∈ IN tal que n3 > 3n2 + 3n + 1, para todon ≥ k.

(b) Encuentre k ∈ IN tal que 2n > n3, para todo n ≥ k.

8. Demuestre por recurrencia que en un conjunto de n elementos(n ≥ 3) hay

(a) n(n−1)2!

sub-conjuntos de 2 elementos.

(b) n(n−1)(n−2)3!

sub-conjuntos de 3 elementos.


(c) 2n sub-conjuntos arbitrarios.

9. Demuestre por recurrencia.

(a) 1 + q + q2 + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q

(b) an + an−1b + an−2b2 + · · ·+ abn−1 + bn =an+1 − bn+1

a− bNota: Se puede deducir (b) de (a) poniendo q = b

a.

10. (a) Considere la sucesion (an) dada por

a0 = 2, a1 = 5, an+2 = 5an+1 − 6an

Pruebe que para todo n se tiene an = 2n + 3n.

(b) Considere la sucesion (an) dada por

a0 = 2, a1 = 3, an+1 = 3an − 2an−1

Pruebe que para todo n se tiene an = 2n + 1.

11. En este ejercicio se prueba el teorema siguiente:

Todos los caballos son del mismo color.

Demostracion.

Sea P (n) la proposicion siguiente:

”En todo conjunto de n caballos, todos los caballos son delmismo color”.

Se prueba P (n), para todo n, por recurrencia. Para comenzar,la proposicion P (1) es evidentemente verdadera.

Supongamos que P (k) es verdadero y consideremos un conjuntode k+1 caballos, c1, c2, . . . , ck, ck+1. Por otra parte c1, c2, . . . , ck,por la hipotesis de induccion son del mismo color α. Por la mismahipotesis los k ultimos caballos c2, . . . , ck, ck+1 tienen el mismocolor β. Como c2, . . . , ck son al mismo tiempo de color α y β. Sesigue que α = β. Luego se tiene que P (k + 1) es verdadero, quees lo que habıa que demostrar.

Encuentre el error en esta demostracion.

Capıtulo 3

Binomio de Newton

El objetivo de este capıtulo es llegar a conocer la ley del desarrollode binomios tales como (a + b)10, (a3 − 2b

5a)35, (a + b)n, donde n es un

numero natural.

3.1 Factorial

En este capıtulo sera muy comun tener que multiplicar cantidadescomo 1 · 2 · 3 · 4 o bien 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12. Entonces se invento unaabreviacion para tales operaciones. Ası, 1 · 2 · 3 · 4 · 5, sera abreviado5! y diremos ”5 factorial”

la abreviacion 7!, denotara 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7.

Tenemos entonces la definicion siguiente:

Definicion 3.1.1 Si n ∈ IN, n ≥ 1, se define el factorial de n por

n! = 1 · 2 · 3 · · ·n

y diremos n factorial.

Observacion. De acuerdo a la definicion anterior, 0! no tiene sentido,sin embargo, para que otras definiciones que veremos mas adelante,

83


se puedan extender al caso del 0, las cuales sı tienen sentido, seranecesario definir 0!.

Definicion 3.1.2 0! = 1

Ejemplos.

6!

5!=

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 61 · 2 · 3 · 4 · 5

= 6

5!

3!=

1 · 2 · 3 · 4 · 51 · 2 · 3

= 4 · 5

10!

6!=

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6= 7 · 8 · 9 · 10

(n + 1)!

n!=

1 · 2 · 3 · · · (n− 1) · n · (n + 1)

1 · 2 · 3 · · · (n− 1) · n= n + 1

(n + 2)!

n!= (n + 1)(n + 2)

n!

(n− 3)!= (n− 2)(n− 1) · n

(n + 2)!

(n− 2)!= (n− 1) · n · (n + 1) · (n + 2)

(n− k)!

(n− k − 1)!= n− k

Ejercicio. Expresemos con factoriales la suma de fracciones sigu-ientes:

Capıtulo 3. Binomio de Newton 85

1)5!

2! · 3!+

5!

1! · 4!=

5! · 4 + 5! · 22! · 4!

=5! · (4 + 2)

2! · 4!

=6!

2! · 4!

2)8!

5! · 3!+

8!

4! · 4!=

8! · 4 + 8! · 55! · 4!

=8! · (4 + 5)

5! · 4!

=8!

5! · 4!

3.2 Numero combinatorio

En esta seccion estaremos preocupados de problemas tales como:

”En un teatro hay solo tres asientos libres, desde los cuales la visiones completamente diferente. Estamos interesados en saber de cuantasmaneras se pueden sentar 3 personas, tomadas de un grupo de 7 per-sonas que quieren ocupar estos asientos”.

Otro problema:

”Hay 7 personas y solamente 3 de ellas podran ir a un paseo. ¿Cuantasformas diferentes de grupos de 3 personas se pueden formar a partirde estas 7 personas?”

Problema. Sea X un conjunto formado por 7 personas. Hay 3 asientosen un teatro en los cuales hay una vision muy diferentes en cada unode ellos. Denotemos estos asientos por:

A B C

¿Cuantas son las formas posibles de ocupar estos 3 asientos, tomadasde un grupo de 7 personas?

Solucion. Para el asiento A hay 7 posibilidades. Cada vez que hayuna persona en el asiento A, quedan 6 posibilidades para el asientoB. Luego si tenemos el asiento A y B, hay 7 · 6 posibilidades paraocuparlos.


Cada vez que hay una persona en el asiento A y una en el asiento B,hay 5 posibilidades para el asiento C. Luego si tenemos los asientosA, B y C hay

7 · 6 · 5

posibilidades para ocuparlos, tomados de un grupo de 7 personas.

Problema. ¿Cuantas maneras diferentes tienen para sentarse 3 per-sonas, en 3 asientos en un teatro?

Solucion. Consideremos 3 asientos:

A B C

Para el asiento A hay 3 posibilidades. Cada vez que hay una personaen el asiento A, hay 2 posibilidades para el asiento B.

Si hay una persona sentada en el asiento A y otra en el asiento B, haysolo una posibilidad para el asiento C. Luego hay

3 · 2 · 1 = 3!

formas diferentes de sentarse 3 personas en 3 asientos diferentes.

Problema. En un teatro hay 7 personas. Queremos saber cuantosgrupos diferentes, formados de 3 personas, se pueden formar, paraque se paseen por el escenario.

Solucion. Primero pensemos que hay 3 asientos, luego hay 7 · 6 · 5maneras de ocuparlos. Si ahora hacemos pasar esas personas al es-cenario, ocurre que cada vez que consideramos 3 personas, estas hanestado sentadas de 3! maneras diferentes. Luego si hay 7 personas hay:

7 · 6 · 53!

maneras diferentes que se pasee un grupo de 3 de ellas en el escenario.Esta es la respuesta.

Ahora queremos escribir de manera mas elegante este resultado:

7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1(4 · 3 · 2 · 1) · 3!

=7!

4! · 3!=:(

73

)


Nota. No dice: ( 73), ni tampoco 7

3.(

73

)es llamado el numero combinatorio de 7 sobre 3. Es usado para

denotar todas las combinaciones que se pueden hacer de 3 elementostomados de un grupo formado por 7 elementos.

Problema. Tenemos un conjunto X formado por n elementos. Quer-emos saber cuantos subconjuntos de X, de k (k ≤ n) elementos pode-mos formar.

Solucion. Si estos k elementos los ponemos en un cierto orden yrespetamos los lugares, entonces hay:

n · (n− 1) · · · ((n− k) + 1)

de ponerlos respetando los lugares.

Puesto que son subconjuntos formados por k elementos, debemos en-tonces dividir por k!, los k elementos estaban de k! maneras diferentespuestos en estos lugares. Luego hay

n · (n− 1) · · · ((n− k) + 1)

k!

subconjuntos de k elementos tomados de un conjunto de n elementos.

Si queremos escribirlo de un manera mas elegante tenemos:

n · (n− 1) · · · ((n− k) + 1) · (n− k) · · · 2 · 1((n− k) · · · 2 · 1) · k!

=n!

(n− k)! · k!

Nota.(

nk

)denotara el numero de combinaciones posibles de k ele-

mentos, tomados de un conjunto de n elementos. Diremos que(

nk

)es el numero combinatorio de n sobre k.

Proposicion 3.2.1 Sean n, k ∈ IN, n ≥ k, entonces se tiene(nk

)=

n!

(n− k)! · k!


Esto ha sido demostrado anteriormente.

Nota. Quiero que sepas que este numero tiene propiedades muy her-mosas que iremos descubriendo a partir de ejercicios. Es por esto quete invito a no saltarte ejercicios. Como te explique, nos ayudaran adescubrir leyes que ellos cumplen.

Ejercicio.(30

)=

3!

3! · 0!= 1 ;

(31

)=

3!

2! · 1!= 3 ;

(32

)=

3!

1! · 2!= 3(

33

)=

3!

0! · 3!= 1 ;

(20

)=

2!

2! · 0!= 1 ;

(21

)=

2!

1! · 1!= 2(

22

)=

2!

0! · 2!= 1 ;

(10

)=

1!

1! · 0!= 1 ;

(11

)=

1!

0! · 1!= 1

Ademas (00

)=

0!

0! · 0!= 1

Nota. Famoso es el triangulo de Pascal el cual lleva el nombre delmatematico y filosofo Blaise Pascal(1.623-1.662)

3.2.1 Triangulo de Pascal

n = 0(

00

)

n = 1(

10

) (11

)

n = 2(

20

) (21

) (22

)

n = 3(

30

) (31

) (32

) (33

)Haciendo los calculos, estos numeros son los siguientes:


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Al mirar estos numeros, uno descubre leyes muy curiosas, admirables.Realmente fue un chispazo genial el de Pascal el ordenar en esta formaestos numeros.

Propiedades del triangulo de Pascal

La primera propiedad que salta a la vista, es que en los bordes tenemossolamente 1. Esto se expresa como sigue:

Propiedad 1.(

n0

)= 1;

(nn

)= 1

Demostracion.(

n0

)=

n!

n! · 0!= 1;

(nn

)=

n!

0! · n!= 1 ¡Trivial!

¿cierto?

Observacion. Observa que este triangulo es simetrico. Por ejemplola fila de n = 6 es:

1 6 15 20 15 6 1

Algo ası como ”los numeros se devuelven”

Para la fila de n = 7, tenemos

1 7 21 35 y luego 35 21 7 1

Ahora es necesario escribir esto mediante una expresion algebraica.

Con respecto a las filas de n = 6 y n = 7, tenemos:


(60

)=(

66

);

(61

)=(

65

);

(62

)=(

64

);(

70

)=(

77

);

(71

)=(

76

);

(72

)=(

75

);

(73

)=(

74

)¿Cual es entonces la ley que cumplen?

Propiedad 2. Sean n, k ∈ IN, n ≥ k, entonces se tiene

(nk

)=(

nn− k

)

Demostracion.

(n

n− k

)=

n!

(n− (n− k))!(n− k)!

=n!

k!(n− k)!

=n!

(n− k)!k!

=(

nk

)

Observacion. Observa que en una misma fila, la suma de 2 numerosseguidos tiene su resultado en la fila siguiente, justo al medio de losdos numeros dados.

Por ejemplo:

6 4 es decir(

42

) (43

)

10(

53

)


Veamos que esto ocurre efectivamente:(42

)+(

43

)=

4!

2! · 2!+

4!

1! · 3!

=4! · 3 + 4! · 2

2!3!

=4! · (3 + 2)

2! · 3!

=5!

2! · 3!

=(

53

)Pero esto que nos ”parece” verdadero, obviamente debemos demostrarlo.Entonces:

Propiedad 3. Sean n, k ∈ IN, n ≥ k, entonces se tiene(nk

)+(

nk − 1

)=(

n + 1k

)Demostracion.(

nk

)+(

nk − 1

)=

n!

(n− k)!k!+

n!

(n− (k − 1))!(k − 1)!

=n!(n− k + 1) + n!k

(n− k + 1)!k!

=n!(n− k + 1 + k)

(n + 1− k)!k!

=n!(n + 1)

((n + 1)− k)!k!

=(n + 1)!

((n + 1)− k)!k!

=(

n + 1k

)

Observacion. La suma de dos elementos seguidos de una fila, da unelemento de la fila siguiente. Tenemos por ejemplo:(

n·

)+(

n·

)=(

n + 1·

)


o bien: (n + 1·

)+(

n + 1·

)=(

n + 2·

)o bien: (

n− 2·

)+(

n− 2·

)=(

n− 1·

)etc.

Observacion. El numero obtenido de la suma de dos numeros com-binatorios consecutivos de una fila, corresponde al numero combina-torio ubicado en la siguiente fila entre ambos numeros dados. Luego,el numero de abajo en el numero combinatorio obtenido de la suma,corresponde al mayor de los dos numeros dados. Tenemos:( ·

k

)+( ·

k + 1

)=( ·

k + 1

)

o bien ( ·k

)+( ·

k − 1

)=( ·

k

)

Observacion. Esta propiedad se puede escribir de infinitas maneras.Como por ejemplo(

n− 1k − 3

)+(

n− 1k − 2

)=(

nk − 2

), con k − 2 ≤ n− 1

(n− 3k + 5

)+(

n− 3k + 6

)=(

n− 2k + 6

)con k + 6 ≤ n− 3

Estas son las tres propiedades mas conocidas del triangulo de Pascal.

Ejemplo. (254

)+(

255

)=(

265

)

Observacion. En el triangulo de Pascal, si dejamos fijo k = 2 yhacemos variar n = 2, 3, 4, 5, 6 y sumamos, tenemos:(

22

)+(

32

)+(

42

)+(

52

)+(

62

)=(

73

)


Es decir,6∑

i=2

(i2

)=(

73

)Observe que esto corresponde a la suma de los elementos de una partede la diagonal para k = 2. Tenemos la siguiente propiedad a modo deejercicio.

Ejercicio. Dado n ∈ IN, entonces se tiene

n∑i=2

(i2

)=(

n + 13

)

En efecto, la demostracion la haremos por induccion sobre n.

1. Para n = 5 tenemos: Lado izquierdo: 1+3+6+10; Lado derecho:20. Luego es valido para n = 5.

2. Hipotesis de induccion. Supongamos que esta propiedad es ver-dadera para n.

3. Por demostrar que es verdadera para n + 1, es decir, por de-mostrar que:

n+1∑i=2

(i2

)=(

n + 23

)En efecto

n+1∑i=2

(i2

)=

n∑i=2

(i2

)+(

n + 12

)=

(n + 1

3

)+(

n + 12

)=

(n + 2

3

)

Por (1), (2) y (3) esta propiedad es verdadera para todo numero nat-ural n ∈ IN.


Otras propiedades

n∑i=3

(i3

)=(

n + 14

)

O bienn∑

i=4

(i4

)=(

n + 15

)En general tenemos la proposicion siguiente a modo de ejercicio.

Ejercicio. Demuestre que para n ∈ IN se tiene

n∑i=k

(ik

)=(

n + 1k + 1

)

Observacion. Veamos de que manera en una fila podemos obtener elnumero siguiente hacia la derecha.

Por ejemplo: como pasar del 6 al 4, o del 10 al 5, o del 20 al 15.

Ejemplo. Como pasar del 6 al 4.

(42

)· 2

3=(

43

)Ejemplo. Como pasar del 10 al 5.

(53

)· 2

4=(

54

)Ejemplo. Como pasar del 20 al 15.

(63

)· 3

4=(

64

)Ejercicio Resueltos.

1. Demostremos que:(mn

)· m− n

n + 1=(

mn + 1

)


(Como avanzar un lugar hacia la derecha en una fila cualquiera.)

Solucion.(mn

)· m− n

n + 1=

m− n

n + 1· m!

(m− n)!n!

=m− n

n + 1· m!

(m− n− 1)! · (m− n) · n!

=m!

(n + 1) · n!(m− (n + 1))!

=m!

(n + 1)!(m− (n + 1))!

=(

mn + 1

)

2. Determinemos n tal que:

3 ·(

n4

)= 5 ·

(n− 1

5

)

Solucion.

3 · n!

(n− 4)!4!= 5 · (n− 1)!

(n− 1− 5)!5!

Luego, se tiene:

3(n− 3)(n− 2)(n− 1)n

1 · 2 · 3 · 4=

(n− 5)(n− 4)(n− 3)(n− 2)(n− 1)

4!

De donde

3n = (n− 5)(n− 4)

Luego n2 − 12n + 20 = 0. Luego (n− 2)(n− 10) = 0.

Las soluciones son entonces: n = 2 y n = 10. Pero n = 2 notiene sentido. Luego hay una sola solucion y esta es n = 10

3. Demostremos que(64

)+ 2

(63

)+(

62

)=(

84

)


Solucion.(64

)+ 2

(63

)+(

62

)= (

(64

)+(

63

)) + (

(63

)+(

62

))

=(

74

)+(

73

)=

(84

)

4. Simplifiquemos la expresion

n!− (n− 1)!

(n− 1)!

Solucion.

n!− (n− 1)!

(n− 1)!=

(n− 1)!n− (n− 1)!

(n− 1)!= n− 1

5. Simplifiquemosn!− (n + 1)! + (n− 2)!

(n− 2)!

Solucion.

n!− (n + 1)! + (n− 2)!

(n− 2)!= (n− 1) · n− (n− 1) · n · (n + 1) + 1

= n2 − n− (n3 − n) + 1= −n3 + n2 + 1

6. Calculemos el valor de n en las siguientes relaciones

(1)(

n3

)=

(n4

)(2)

(n + 1

3

)= 2

(n2

)Solucion de (1) Se tiene: n− 4 = 3, luego n = 7

Solucion de (2)

(n + 1)!

(n + 1− 3)!3!= 2 · n!

(n− 2)!2!


Luegon!(n + 1)

(n− 2)!3!=

n!

(n− 2)!

De donde n + 1 = 6, es decir n = 5

7. Demostremos que: (nk

)· n + 1

k + 1=(

n + 1k + 1

)Solucion. (

nk

)· n+1

k+1= n!

(n−k)!k!· n+1

k+1

=(n + 1)!

(n + 1− (k + 1))!(k + 1)!

=(

n + 1k + 1

)

3.3 Desarrollo del binomio

Nota. Ahora tenemos los elementos necesarios para calcular binomiosde la forma:

(x + y)n

donde n es un numero natural.

Problema. Desarrollemos el binomio

(x + y)7

Solucion.

(x + y)7 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

El primer termino del desarrollo es x7.

El segundo termino queremos que tenga la forma x6y.¿Cuantos x6yhay? y ¿Por que?. De las 7 y que hay, queremos saber todas las posi-bilidades de tomar una sola.


1. Del primer binomio tomamos ”y” y de los 6 restantes tomamos”x”.

2. Del segundo binomio tomamos ”y” y de los 6 restantes tomamos”x”, etc.

Tenemos(

71

)combinaciones posibles. Luego el segundo sumando es(

71

)x6y.

El tercer termino queremos que tenga la expresion ”x5y2”. El tercer

sumando tiene la forma(

72

)x5y2, etc.

Luego el desarrollo del binomio es:

(x + y)7 =(

70

)x7y0 +

(71

)x6y1 +

(72

)x5y2 +

(73

)x4y3 +

(74

)x3y4

+(

75

)x2y5 +

(76

)x1y6 +

(77

)x0y7

Este genial descubrimiento fue hecho por el fısico y matematico IsaacNewton (1642-1727)

Teorema 3.3.1 (Binomio de Newton) Sean x, y ∈ IR y n ∈ IN,entonces se tiene:

(x+y)n =(

n0

)xny0+

(n1

)xn−1y1+· · ·+

(n

n− 1

)x1yn−1+

(nn

)x0yn

Demostracion. Por induccion sobre n.

1. Para n = 2 tenemos:

(x + y)2 = (x + y) · (x + y)= x2 + xy + xy + y2

= x2 + 2xy + y2

=(

20

)x2y0 +

(21

)xy +

(22

)x0y2


2. Hipotesis de induccion. Supongamos que:

(x + y)n =(

n0

)xny0 +

(n1

)xn−1y1 + · · ·+

(nn

)x0yn

3. Por demostrar que:

(x+ y)n+1 =(

n + 10

)xn+1y0 +

(n + 1

1

)xny1 + · · ·+

(n + 1n + 1

)x0yn+1

Demostracion. (Las explicaciones estan al final)

(x + y)n+1 = (x + y)n(x + y)

=(

n0

)xn+1y0 +

(n1

)xny1 + · · ·+

(nn

)x1yn+

+(

n0

)xny1 +

(n1

)xn−1y2 + · · ·+

(nn

)x0yn+1

=(

n0

)xn+1y0 + (

(n1

)+(

n0

))xny1 + · · ·+

+((

nn

)+(

nn− 1

))x1yn +

(nn

)x0yn+1

=(

n + 10

)xn+1y0 +

(n + 1

1

)xny1 + · · ·+

+(

n + 1n

)x1yn +

(n + 1n + 1

)x0yn+1

Nota. En la segunda igualdad, multiplicamos la expresion (x + y)n

por x y le sumamos la expresion (x + y)n, mutiplicada por y.

En la tercera igualdad factorizamos xny1, luego xn−1y2, · · · ,x1yn, esdecir sumamos los terminos semejantes.

En la cuarta igualdad usamos las tres propiedades mas importantesdel Triangulo de Pascal.

Por (1), (2) y (3), esta propiedad es verdadera para todo numeronatural.

Notacion

(x + y)n =n∑

k=0

(nk

)xn−kyk


Ejemplo de notacion

(23a4 − 1

5ab7)30 = (2

3a4 + (−1)1

5ab7)30

=30∑

k=0

(30k

)(2

3a4)30−k · ((−1)

1

5ab7)k

Corolario 3.3.2 Sea n ∈ IN, entoncesn∑

k=0

(nk

)= 2n

Demostracion. Tomemos x = y = 1. Entonces

2n = (1 + 1)n =n∑

k=0

(nk

)1n−k1k =

n∑k=0

(nk

)

Corolario 3.3.3 Sea n ∈ IN, entoncesn∑

k=0

(−1)k(

nk

)= 0

Demostracion. En el teorema tomemos x = 1, y = −1. Entonces:

0 = 0n = (1 + (−1))n =n∑

k=0

(nk

)1n−k(−1)k = C

n∑k=0

(nk

)(−1)k

Observacion. En el Triangulo de Pascal, observemos, en la linea cor-respondiente a n = 5, que la suma para los impares, coincide con lasuma de los k pares. Ası 5 + 10 + 1 = 1 + 10 + 5.

Para n = 6, la suma de los k impares es 6 + 20 + 6 y la suma de los kpares es: 1 + 15 + 15 + 1.

Entonces uno se pregunta si esto es una coincidencia o si bien ocurrepara todo n. Esta hipotesis tiene su respuesta en la propiedad sigu-iente:

Propiedad del Triangulo de Pascal Sea n ∈ IN, entonces

n∑j=0, j,par

(nj

)=

n∑j=0, j,impar

(nj

)


Demostracion.

n∑j=0, j,par

(nj

)−

n∑j=0, j,impar

(nj

)=

n∑j=0, j,par

(nj

)(1)n−j(−1)j

+n∑

j=0, j,impar

(nj

)(1)n−j(−1)j

=n∑

j=0

(nj

)(1)n−j(−1)j

= (1 + (−1))n

= 0

Nota. Hemos usado el Teorema del Binomio de Newton, el cual esvalido para todo numero natural, luego este corolario es valido paratodo n, numero natural.


1. Escribamos el desarrollo del binomio

(x23 − y

23 )6

Solucion.

(x23 − y

23 )6 =

(60

)(x

23 )6−0(−y

23 )0 +

(61

)(x

23 )6−1(−y

23 )1

+(

62

)(x

23 )6−2(−y

23 )2 +

(63

)(x

23 )6−3(−y

23 )3

+(

64

)(x

23 )6−4(−y

23 )4 +

(65

)(x

23 )6−5(−y

23 )5

+(

66

)(x

23 )6−6(−y

23 )6

= 1 · x123 − 6 · x

103 · y

23 + 3 · 5 · x

83 y

43 − 4 · 5x

63 y

63

+15x43 y

83 − 6x

23 y

103 + y

123

= x4 − 6x103 y

23 + 15x

83 y

43 − 20x2y2 + 15x

43 y

83

−6x23 y

103 + y4

2. Hagamos el desarrollo del binomio

(2a− 3y)5


Solucion.

(2a− 3y)5 =(

50

)(2a)5−0(−3y)0 +

(51

)(2a)5−1(−3y)1

+(

52

)(2a)5−2(−3y)2 +

(53

)(2a)5−3(−3y)3

+(

54

)(2a)5−4(−3y)4 +

(55

)(2a)5−5(−3y)5

=5!

5!0!25a5 − 5!

4!1!24a43y

+5!

3!2!23a332y2 − 5!

2!3!22a233y3

+5!

1!4!2a34y4 − 5!

0!5!35y5

= 25 · a5 − 5 · 24 · 3 · a4 · y + 10 · 23 · 32 · a3 · y2

−10 · 22 · 33 · a2 · y3 + 5 · 2 · a · 34 · y4 − 35 · y5

Nota. Observemos que el primer termino corresponde a k = 0.Luego el n-esimo termino corresponde a k = n− 1

3. Dado el binomio(6− 5a)19

Busquemos el decimo termino y el coeficiente de a14

Solucion. El decimo termino corresponde a k = 9. Este terminoes el siguiente:(

199

)(2 · 3)19−9 · 59 · a9 = − 19!

10! · 9!· 210 · 310 · 59 · a9

= −211 · 310 · 11 · 13 · 17 · 59 · a9

El coeficiente de a14, corresponde a k = 14. Este es:(1914

)· (2 · 3)5(−5)14 = 27 · 37 · 17 · 19 · 514

4. En el binomio

(2x2 − 1

x)9

Busquemos el termino independiente de x.


Solucion. El termino general es(9k

)(2x2)9−k(−1

x)k

Si ponemos la atencion solamente en las ”x” para obtener elvalor de k, tenemos:

(x2)9−k · ( 1

x)k = x18−2k−k = x18−3k

Luego 18− 3k = 0. Entonces k = 6.

El termino independiente de x es entonces(96

)· 29−6 · (−1)6 =

9!

3!6!23 = 25 · 3 · 7

5. Busquemos el termino central del desarrollo del binomio

(2

x+

x

2)8

Solucion. El termino central corresponde a k = 4. Es decir(84

)(2

x)8−4(

x

2)4 = 2 · 5 · 7

Notese que en este caso, el termino central, tambien correpondeal termino independiente de x.

6. Busquemos el quinto termino del binomio siguiente:

(

√x3

√a

+

√y5

√b3

)8

Solucion. El quinto termino corresponde a k = 4. Tenemos(84

)(x

32

a12

)8−4(−y52

b32

)4 =8!

4!4!· x

324

a124· y

5·42

b3·42

= 2 · 5 · 7 · x6 · y10

a2 · b6


7. Dado el binomio

(2x

25y− 5y2

4x3)27

Busquemos el ultimo termino y el coeficiente dey51

x77

Solucion. El ultimo termino se obtiene para k = 27 y este es :

(2727

)(

2x

52y)27−27(− 5y2

22x3)27 = −527y54

254x81

El termino general tiene la forma siguiente:

(27k

)(

2x

52y)27−k(− 5y2

22x3)k

Consideremos solamentey

x

x27−k

y27−k· y2k

x3k=

y2k+k−27

x3k+k−27=

y3k−27

x4k−27

De donde 3k − 27 = 51, es decir k = 26, o bien, consideremos4k − 27 = 77, luego k = 26. El coeficiente pedido es

(2726

)(

2

52)27−26(

5

22)26 =

27!

26!1!

2

52

526

252=

52427

251

Luego el coeficiente dey51

x77es

52427

251

8. En el desarrollo del binomio (1+x)43, el coeficiente del (2r +1)-esimo termino y del (r + 2)-esimo termino son iguales. Encon-tremos r.

Solucion. (432r

)=(

43r + 1

)Luego 2r = 43− (r + 1), de donde r = 14


9. En el binomio (a + b)6, busquemos el valor de a y b, sabiendoque el segundo y tercer termino de su desarrollo son 576 y 2.160

Solucion. Tenemos el sistema de ecuaciones siguientes:

(1)(

61

)a5b1 = 576

(2)(

62

)a4b2 = 2.160

=⇒ (1) 6a5b = 576(2) 15a4b2 = 2.160

=⇒ (1) a5b = 96(2) a4b2 = 144

a · (2) : a5b2 = 144a, luego a5b · b = 144a, de donde 96b = 144a.Es decir b = 3

2a. Reemplazando el valor de b en la ecuacion (1),

tenemos a5 · 32a = 96, es decir a6 = 64. Luego a = 2 y b = 3.

El binomio que buscabamos es (2 + 3)6, o bien, (−2 +−3)6

10. En el binomio (x+y)n, busquemos los valores de x, y, n, sabiendoque el segundo, tercer y cuarto termino del desarrollo son 240,720 y 1080 respectivamente.

Solucion. Tenemos:

(1)(

n1

)xn−1y1 = 240

(2)(

n2

)xn−2y2 = 720

(3)(

n3

)xn−3y3 = 1080

Luego

(1)n!

(n− 1)!1!xn−1y = 240

(2)n!

(n− 2)!2!xn−2y2 = 720

(3)n!

(n− 3)!3!xn−3y3 = 1080

Haciendo todas las simplificaciones posibles, nos queda:

(1) nxn−1y1 = 240(2) (n− 1)nxn−2y2 = 720 · 2(3) (n− 2)(n− 1)nxn−3y3 = 1080 · 6


Tomamos

x · (2) : (n− 1)nxn−1y · y = 720 · 2 · x

Reemplazando la ecuacion (1) en esta ecuacion, nos queda:

(n− 1) · 240y = 720 · 2 · x

Simplificando, tenemos:

(a) : (n− 1)y = 6x

Luego

y =6x

n− 1

Ahora multipliquemos por x la tercera ecuacion

x · (3) : (n− 2) · (n− 1)nxn−2y2 · y = 1080 · 6x

Reemplazando (2) en esta ecuacion, queda:

(n− 2) · 720 · 2 · y = 1080 · 6x

De donde obtenemos la ecuacion siguiente:

(b) : (n− 2)2y = 9x

Ahora consideremos la ecuacion (a) en (b):

(n− 2)2 · 6x

n− 1= 9x

Luego 4(n− 2) = 3(n− 1). De donde n = 5

Consideremos (a) y n = 5 en (1):

5x4 6x

4= 240

Lluego x5 = 25, es decir, x = 2

Reemplazando x = 2 en (a):y = 6·24

, luego y = 3.

Entonces el binomio que cumple estas condiciones es (2 + 3)5



1. Escriba como un numero combinatorio, la suma:(85

)+(

86

)+(

86

)+(

87

)

2. Demuestre que (243

)· 21

4=(

244

)

3. Demuestre por induccion que

(a)n∑

k=2

(k2

)=(

n + 13

)

(b)n∑

k=i

(ki

)=(

n + 1i + 1

)

4. Encuentre el termino independiente de a en el desarrollo delbinomio siguiente (

2b

3a6− 9a2

4b2

)8

5. Dado el binomio(

2x

5y− 5y

2x

)12

Encuentre:

(a) El termino central

(b) El coeficiente dex6

y6

(c) Encuentre, si existe, el termino independiente de x

6. Dado el binomio(

x12 − 1

3x32

)6

. Encuentre:

(a) El coeficiente de1

x(b) El termino central


7. En el binomio (a + b)7, encuentre el valor de a y b sabiendo que

el tercer y cuarto termino del desarrollo del binomio son:7 · 23

34

y−2 · 5 · 7

34

Capıtulo 4

Relaciones Binarias

4.1 Producto Cartesiano

Comencemos a estudiar lo que es un ”par ordenado”. Un ejemplo depar ordenado, es nuestros apellidos, en los cuales hay que respetar elorden en que estan. Un par ordenado es denotado en la forma (x, y).

Observacion. (1, 2) 6= (2, 1), (1, 2) 6= (1, 4).

Definicion 4.1.1 Diremos que el par (x, y) es igual al par (z, t), de-notado (x, y) = (z, t) si y solamente si x = z e y = t.

Observacion. La definicion de par ordenado puede ser dada a partirde la teorıa de conjuntos. Es la siguiente:

(x, y) = {x, {x, y}}

Ejemplo. (1, 2) = {{1, 2, 2}, 1} = {1, {1, 1, 1, 2, 2, 2, }}(3, 1) = {3, {1, 3}} = {{3, 1}, 3} = {{1, 3}, 3, 3, 3, 3}Observacion. Sea A = {1, 2}, B = {a, b, c}. Queremos escribir elconjunto formado por todos los pares que tienen un elemento de A allado izquierdo y un elemento de B al lado derecho. Este conjunto lodenotaremos por A×B y es el siguiente:

A×B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

109


Diremos que este es el producto cartesiano entre A y B. Tenemos ladefinicion siguiente:

Definicion 4.1.2 Sean A y B dos conjuntos. Definimos el productocartesiano entre A y B, denotadoA × B, de la manera siguiente:A×B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}

Ejemplos.

1. Sea A = {1, 2, 3} y B = {4}. Entonces A×B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}

2. Sea A = {a, b, c}. Entonces

A×A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b), (c, c), (c, a)}

Proposicion 4.1.1 Sean A, B, C,D conjuntos. Si A ⊂ C y B ⊂ D,entonces A×B ⊂ C ×D

Demostracion. (a, b) ∈ A × B ⇒ (a ∈ A ∧ b ∈ B) ⇒ (a ∈ C ∧ b ∈D) ⇒ (a, b) ∈ C ×D

Proposicion 4.1.2 Sean A, B conjuntos, entonces A × B = ∅ ssi(A = ∅ o B = ∅)

Demostracion.

1. Por demostrar A×B = ∅ ⇒ (A = ∅ o B = ∅)Supongamos no (A = ∅ o B = ∅), es decir, (A 6= ∅ ∧ B 6= ∅).Luego existe al menos un a ∈ A y al menos un b ∈ B.

Luego tenemos (a, b) ∈ A×B, es decir A×B 6= ∅.En consecuencia tenemos no (A×B = ∅)

2. Por demostrar (A = ∅ o B = ∅) ⇒ A×B = ∅Supongamos no (A× B = ∅). Equivalentemente, A× B 6= ∅, esdecir, existe (a, b) ∈ A × B, ciertos a ∈ A, b ∈ B. Luego existea ∈ A y b ∈ B. Esto quiere decir que A 6= ∅ y B 6= ∅. Luegono(A = ∅ o B = ∅)

Capıtulo 4. Relaciones Binarias 111

Proposicion 4.1.3 Sean A, B, C tres conjuntos cualesquiera. En-tonces

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

Demostracion.

(a, t) ∈ A× (B ∪ C) ⇔ (a ∈ A ∧ t ∈ B ∪ C)⇔ (a ∈ A ∧ (t ∈ B ∨ t ∈ C))⇔ ((a ∈ A ∧ t ∈ B) ∨ (a ∈ A ∧ t ∈ C))⇔ ((a, t) ∈ A×B ∨ (a, t) ∈ A× C)⇔ (a, t) ∈ (A×B) ∪ (A× C)

Proposicion 4.1.4 Sean A, B, C tres conjuntos cualesquiera. En-tonces

A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

Demostracion. Te dejamos la alegrıa de hacer esta demostracion

4.2 Conceptos basicos

Estamos interesados en estudiar relaciones entre dos conjuntos dadosy algunas propiedades que ellas puedan cumplir. Comencemos porformalizar el concepto de relacion. Primero veamoslo en un ejemplo.

Observacion. Sea A = {1, 4, 5, 6} y B = {2, 6, 8, 12}. Consideremosel siguiente subconjunto de A×B:

R = {(1, 2), (1, 6), (1, 8), (1, 12), (4, 8), (4, 12), (6, 6), (6, 12)}

Al mirar detenidamente R, observamos que la primera componentedivide a la segunda. Es decir,al considerar un subconjunto de A× B,hemos obtenido una relacion entre A y B.

Podemos escribirR por comprension de la manera siguiente:


R = {(n, m); n divide a m}.

Parece natural entonces la definicion siguiente:

Definicion 4.2.1 Diremos que R es una relacion entre A y B si Res un subconjunto de A× B. Es decir, todo subconjunto de A× B esllamado una relacion entre A y B

Ejemplo. Sea X = {2, 3, 5, 6, 8, 10}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}Sea R = {(2, 1), (6, 3), (8, 4), (10, 5)}.Entonces R es una relacion entre X e Y .

Nosotros diremos (2, 1) ∈ R o (6, 3) ∈ R. De ahora en adelante es-cribiremos 2R1 o 6R3. y diremos ”2 esta relacionado con 1” y ”6 estarelacionado con 3”

Notacion. Si (x, y) ∈ R, escribiremos xRy y diremos ”x esta rela-cionado con y”. En caso contrario escribiremos x 6Ry y diremos que ”xno esta relacionado con y”

Ejemplo. El ejemplo anterior lo podemos escribir de la manera sigu-iente:

aRb ssi a = 2b

Observacion. Sean A = {1, 2, 3, 4} y R ⊂ A×A una relacion, definidapor

R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.

En este caso 1R3 y 3R1, tambien 1R4 y 4R1. Mientras que 2R1 y16R2, analogamente 3R1 y 16R3.

Observemos tambien que 26R4 y 46R2.

Conclusiones.

1. xRy no implica necesariamente yRx.


2. No necesariamente todos los elementos de un conjunto estanrelacionados, es decir, puede que no tengamos xRy y tampocotengamos yRx.

Ejemplo. Sea R ⊂ IN× IN definida por:

aRb ssi a + b es un numero par.

En este caso, todo numero par esta relacionado con todo numero par,pues la suma de dos numeros pares es un numero par.

En efecto, a, b pares ⇒ a = 2k, b = 2t, ciertos k, t ∈ IN ⇒ a + b =2k + 2t = 2(k + t), ciertos k, t ∈ IN. Es decir, a + b es par.

Ademas todo numero impar esta relacionado con todo numero impar.

En efecto, a, b impares ⇒ a = 2k + 1, b = 2t + 1, ciertos k, t ∈ IN⇒ a + b = 2k + 1 + 2t + 1 = 2(k + t + 1). Es decir, a + b es par.

Sin embargo un numero par no esta relacionado con ningun numeroimpar ni recıprocamente. En efecto a par, b impar⇒ a = 2k, b = 3t+1,ciertos k, t ∈ IN ⇒ a + b = 2k + 2t + 1 = 2(k + t) + 1, es decir a + b esimpar.

Ahora estamos interesados en definir nuevos conceptos. Veamoslosprimero en la siguiente observacion.

Observacion. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} y

R = {(1, b), (1, c), (2, c), (4, c)}. Diremos que el Dominio de R, deno-tado Dom(R), es Dom(R) = {1, 2, 4}.Diremos que la imagen de R, denotada Im(R) es Im(R) = {b, c}B es llamado codominio de R.

Tenemos las siguientes definiciones

Definicion 4.2.2 Llamaremos Dominio de la relacion R, denotadoDom(R), al conjunto formado por todas las primeras componentes delos pares ordenados que forman R. De manera simbolica, escribimos:Dom(R) = {a ∈ A/∃b ∈ B; (a, b) ∈ R}


Definicion 4.2.3 Llamaremos Imagen de la relacion R, denotadoIm(R), al conjunto formado por todas las segundas componentes delos pares ordenados que forman R.De manera simbolica, escribimos:Im(R) = {b ∈ B/∃a ∈ A; (a, b) ∈ R}.

Definicion 4.2.4 Si R ⊂ A × B, entonces B es llamado el Codo-minio de R

Ejemplos

1. Sea R ⊂ IN× IN, definida por

aRb ssi a = b2.

Vemos que la primera componente debe ser un cuadrado per-fecto, luego Dom(R) = {b2; b ∈ IN} 6= IN. Sin embargo la se-gunda componente no tiene ninguna exigencia, luego Im(R) =IN = Codom(R).


aRb ssi b = a2 ssi b es un cuadrado perfecto.

En este caso Dom(R) = IN, Im(R) = {a2; a ∈ IN}. Im(R) 6= IN.Codom(R) = IN


aRb ssi a + b es par

Dom(R) = IN, pues si a es par, todo b par cumple a+ b par. Porotra parte si a es impar, todo b impar cumple a + b par, luegoIm(R) = IN.

Si tomamos b par en Codom(R), existe a par en Dom(R) quecumple a + b par. Si tomamos b impar en Codom(R), existe aimpar en Dom(R) que cumple a + b par, es decir se tiene:


R = {(2k, 2t), (2r + 1, 2s + 1); k, t, r, s ∈ IN}.

4. Sean A = {z ∈ ZZ;−10 ≤ z ≤ 20} y R ⊂ A× A definida por:

aRb ssi a = |b|.

Entonces

R = {(0, 0), (1, 1), · · · , (20, 20), (1,−1), · · · (10,−10)}

Entonces Dom(R) = {0, 1, 2, ..., 20}, Im(R) = A = Codom(R)

5. Sea R ⊂ ZZ × ZZ definida por

aRb ssi a + b = 3.

Si a ∈ ZZ, siempre existe b ∈ ZZ tal que a + b = 3. LuegoDom(R) = ZZ.

De la misma manera, dado b ∈ ZZ, siempre existe a ∈ ZZ tal quea + b = 3. Luego Im(R) = ZZ

6. Sea B = {2, 3, 4, 6, 8, 9}. Sea R ⊂ B ×B definida por

aRb ssi (a, b) = 1.

Donde (a, b) denota el maximo comun divisor entre a y b.

Tenemos entonces que:

2R3,2R9,3R4,3R8,4R9,8R9,3R2,9R2,4R3,8R3,9R4,9R8.

Luego Dom(R) = {2, 3, 4, 8, 9} = Im(R). Ademas Codom(R) =B

7. Sean A = {2, 3, 5, 7} y R ⊂ A× A definida por:

aRb ssi a < b.


Tenemos 2R3, 2R5, 2R7, 3R5, 3R7, 5R7. Luego Dom(R) ={2, 3, 5}. Im(R) = {3, 5, 7}. Codom(R) = A.

8. Sea R ⊂ IN× IN definida por:

aRb ssi ab = 1.

Dado 0 ∈ IN, 6∃b ∈ IN tal que 0b = 1. Luego 0 /∈ Dom(R).Sin embargo, ∀a ∈ IN, a 6= 0, a0 = 1. Luego Dom(R) = IN∗,Im(R) = {0}.

4.3 Grafos

En esta seccion veremos una representacion de relaciones en un con-junto A finito. Es decir, R ⊂ A× A, con A finito.

Observacion. Sean A = {1, 2, 3} y R ⊂ A × A, definida por: R ={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Su grafo es:

El bucle en el 1 significa 1R1. La flecha desde 1 hacia 2, significa 1R2.La flecha desde 2 hacia 1, significa 2R1 y la flecha desde 3 hacia 1,significa 3R1.

Nota. Sea R ⊂ A×A con A finito. La expresion aRa la representare-mos por un bucle en a:

La expresion aRb, la representaremos por una flecha desde a hacia b:

Ejemplos.


1. Sean A = {a, b, c} y R ⊂ A× A, definida por:

R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, c)}.

Entonces su grafo es:

2. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y R ⊂ A× A, definida por:

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 5), (5, 4)}.

Su grafo es el siguiente:

4.4 Propiedades de las relaciones bina-

rias

De ahora en adelante, estudiaremos una relacion R, R ⊂ A × A oexcepcionalmente R ⊂ A× B, donde A y B difieren en una cantidadfinita de elementos. (Por ejemplo, R ⊂ IN× IN∗)

En esta seccion estudiaremos las propiedades que son necesarias paratener los conceptos de relaciones de equivalencia y las relaciones deorden.

Comenzaremos por aquellas que nos parecen mas faciles de compren-der (reflexividad, simetrıa y transitividad) y luego de tener estos con-ceptos bien dominados estudiaremos la antisimetrıa.¡Veras que es facil!

4.4.1 Reflexividad

Definicion 4.4.1 Sea R ⊂ A×A. Diremos que R es refleja si xRx,∀x ∈ A.


Ejemplos.

1. Sean A = {1, 2, 3} y R ⊂ A× A, definida por:

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 2)}

Su representacion cartesiana es:

Que sea refleja se observa en que estan todos los elementos de ladiagonal.

Su grafo es:

R es refleja. Esto se observa en que todo elemento tiene un bucle.

2. Sean A = {2, 3, 5} y R ⊂ A× A definida por:

R = {(2, 2), (3, 3), (5, 5)}.

Tenemos que R es refleja. Esta relacion es llamada la identidaden A

3. Sea R ⊂ ZZ × ZZ definida por:

aRb ssi a− b = 3n, cierto n ∈ ZZ

Demostremos que R es refleja. En efecto a−a = 0 = 3 ·0. LuegoaRa, ∀a ∈ ZZ.

4. Sea T ⊂ IN× IN definida por:

aRb ssi a + b es par.


T es refleja pues: a + a = 2a ⇒ a + a es par ⇒ aRa, ∀a ∈ IN

5. Sea S ⊂ IN× IN definida por:

aSb ssi a2 + b2 ≥ 1.

S no es refleja pues 02 + 02 = 0 < 1. Es decir, el 0 no estarelacionado con el 0. Luego ∃a ∈ IN tal que a 6Ra.


aRb ssi ∃r ∈ ZZ tal que a · r = b.

T es refleja pues: a · 1 = a, ∀a ∈ ZZ, luego aRa, ∀a ∈ ZZ


aRb ssi a + b = 3n, cierto n ∈ ZZ.

R no es refleja. Contraejemplo: 1 no esta relacionado con 1, pues1 + 1 6= 3n, ∀n ∈ ZZ. Es decir, 6 ∃n ∈ ZZ tal que 1 + 1 = 3n.


aRb ssi a ≤ b.

R es refleja pues a ≤ a ∀a ∈ ZZ, es decir aRa, ∀a ∈ ZZ


aRb ssi a < b.

R no es refleja pues es falso que a < a.


aRb ssi (a, b) = 1.

El unico numero natural tal que (a, a) = 1 es a = 1. Luego aRasolo para a = 1. Luego R no es refleja.


4.4.2 Simetrıa

Definicion 4.4.2 Sea R ⊂ A× A. Diremos que R es simetrica si

aRb ⇒ bRa

Es decir cada vez que tenemos aRb, debemos tener tambien bRa. Di-remos que el elemento simetrico a (a, b) es (b, a). Llamaremos ejede simetrıa al subconjunto de A× A siguiente: {(a, a); a ∈ A}Ejemplos.

1. Sean A = {1, 2, 3} y R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}Graficamente se tiene

Es claro que esta relacion es simetrica. La diagonal es el eje desimetrıa. La recta que une (a, b) con (b, a) es perpendicular a ladiagonal y ambos puntos estan a la misma distancia, es decir,son simetricos entre sı.

En un grafo se tiene:

Cuando hay un camino de ida, entonces tambien esta el caminode regreso.

2. Sean A = {a, b, c} y R ⊂ A× A, definida por:

R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c)}.

Su grafico es


No esta el punto simetrico a (b, c), que es (c, b). Luego R no essimetrica.

Su grafo es:

El camino desde b hacia c, no tiene camino de regreso. Luego Rno es simetrica.


aRb ssi a + b es par.

Si aRb entonces a + b = 2n, cierto n ∈ IN, luego b + a = 2n,n ∈ IN, luego b + a es par. Es decir bRa. Luego R es simetrica.


aRb ssi a ≤ b.

R no es simetrica. Contraejemplo: 1R3 pero 36R1.


aRb ssi a− b es un multiplo de 3.

Tenemos que R es simetrica. En efecto, aRb ⇒ a−b = 3n, cierton ∈ ZZ ⇒ b− a = −3n, n ∈ ZZ ⇒ b− a = 3(−n), (−n) ∈ ZZ ⇒bRa

Nota. Si en el caso anterior, hubiesemos tomado IN en vez deZZ, no serıa simetrica, pues si a − b ∈ IN, ocurre que b − a nosiempre tiene sentido en IN.


aRb ssi a + b = 3.


Tenemos que R es simetrica.

En efecto, aRb ⇒ a + b = 3 ⇒ b + a = 3 ⇒ bRa.


aRb ssi a + 2b = 10.

Tenemos que 4R3, pues 4 + 2 · 3 = 10, sin embargo 3 no estarelacionado con 4. Filosoficamente hablando, si usted cambia acon b, no obtiene la misma expresion. Luego no es una ”expresionsimetrica”

4.4.3 Transitividad

Definicion 4.4.3 Sea R ⊂ A × A. Diremos que R es transitivasi ”cada vez que tengamos aRb y tambien tengamos bRc, entoncesobligadamente debemos tener aRc”.

En lenguaje simbolico:

aRb y bRc ⇒ aRc

Ejemplos.

1. Sean A = {1, 2, 3} y R la relacion definida por:

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3)(3, 2), (2, 2), (3, 3)}

En un grafo:

Tenemos el camino del 1 hacia el 2, el camino del 2 hacia el 3 yel camino mas corto: del 1 hacia el 3.

Tenemos el camino del 1 hacia el 3, el camino del 3 hacia el 2 yel camino mas corto: del 1 hacia el 2.


Son triviales las situaciones siguientes:

1R1 ∧ 1R3 ⇒ 1R3; 3R2 ∧ 2R2 ⇒ 3R2; 3R3 ∧ 3R2 ⇒ 3R2.Luego R es transitiva.


aRb ssi 2a + b = 7.

R no es transitiva. Contraejemplo: 2R3 ∧ 3R1 ∧ 26R1.


aRb ssi a− b = 3n, cierto n ∈ ZZ.

Efectivamente R es transitiva pues: aRb y bRc ⇒ a − b = 3n,b − c = 3m, ciertos n,m ∈ ZZ ⇒ (a − b) + (b − c) = 3n + 3m,n,m ∈ ZZ ⇒ a− c = 3(n + m), n + m ∈ ZZ

Nota. En el ejemplo anterior si aRb, entonces a−b es un multiplode 3, lo escribiremos 3n, n ∈ ZZ. Por otra parte, bRc significaque b− c es un multiplo de 3, pero no tiene por que ser el mismomultiplo de 3, luego b − c = 3m, m ∈ ZZ. No podemos usar lamisma letra n, pues no son necesariamente iguales.


xRy ssi x ≤ y

es una relacion transitiva.

En efecto, xRy ∧ yRz ⇒ x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz

4.4.4 Antisimetrıa

Definicion 4.4.4 Sea R ⊂ A×A. Diremos que R es antisimetricasi los unicos elementos que pueden tener su simetrico son aquellos quepertenecen al eje de simetrıa.


Es decir:

R es antisimetrica ssi aRb ∧ bRa ⇒ a = b.

Ejemplos.


xRy ssi x ≥ y

Esta relacion es antisimetrica, su grafico es:


R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3)}

R no es antisimetrica, pues hay un par, el par (2, 3), que tienesu simetrico y no esta en la diagonal. Notese que esta relacionno es simetrica pues el par (1, 3) no tiene su simetrico.


R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Es antisimetrica. Tambien es simetrica, refleja y transitiva.

¿Puede, en un conjunto cualquiera, haber una relacion diferentede la identidad, que cumpla las 4 propiedades estudiadas?

Ejercicios Resueltos.

1. En ZZ consideremos, el subconjunto A = {1, 2, 3, 4}. Estudiemoslas propiedades de la relacion R definida en A por:


aRb ssi 2a ≤ a · b

Solucion

Comencemos por encontrar los pares que estan en la relacion.Tenemos: 1R2, 1R3, 1R4, 2R2, 2R3, 2R4, 3R3, 3R4, 4R4. Esdecir,

R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

R no es refleja, pues falta el par (1, 1). R no es simetrica, puesesta (1, 2) y no esta (2, 1). Ademas hay varios pares que no tienensu simetrico. R es antisimetrica, pues los unicos pares que tienensu simetrico (3, 3), (2, 2), (4, 4).

R es transitiva (te lo dejamos como ejercicio).

En un grafo tenemos:


2. Sean A ⊂ ZZ, A = {1, 2, 3, 4} y R ⊂ A× A, definida por:

aRb ssi a2 − 2b ≤ 0

Solucion. Tenemos que

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

R no es refleja ya que 36R3.

No es simetrica pues 1R2 y 26R1.

Es antisimetrica, pues los unicos pares que tienen su simetricoson (1, 1) y (2, 2).

Es transitiva, pues 2R3 ∧ 3R4 ∧ 2R4, 1R3 ∧ 3R4 ∧ 1R4, 2R3 ∧3R4 ∧ 2R4 y tambien 1R2 ∧ 2R4 ∧ 1R4.

Su grafo es:




aRb ssi a2 + 1 ≥ b

Solucion. Los elementos que estan relacionados son: 1R1, 1R2,2R2, 2R3, 3R3, 3R2, 3R1.

Su grafo es:

Observamos que R es refleja, pues tenemos 1R1, 2R2, 3R3. Rno es simetrica pues 1R2 y 26R1. R no es antisimetrica pues2R3 ∧ 3R2 ∧ 2 6= 3. R no es transitiva pues 1R2 ∧ 2R3 sinembargo 16R3.


aRb ssi a · b ≤ a + 1

Estudiemos las propiedades de R

Solucion. Tenemos 1R1, 1R2, 2R1, 3R1 Su grafo es:

R no es refleja pues 26R2. R no es simetrica pues 3R1 y 16R3. Rno es antisimetrica pues 1R2 y 2R1 y 1 6= 2. R no es transitivapues 2R1 y 1R2 y 26R2.



aRb ssi a3 = b2 − 1

Estudiemos las propiedades de R.

Solucion. Tenemos solamente 2R3.

R no es refleja pues 16R1. R no es simetrica pues 2R3 y 36R2. Res antisimetrica y transitiva.

6. Sobre ZZ se define la relacion R siguiente:

aRb ssi a− b es un numero impar


Solucion.

(a) R no es refleja. Contraejemplo: 2 no esta relacionado con-sigo mismo, pues 2− 2 = 0 y el 0 es par.

(b) R es simetrica pues aRb ⇒ a − b = 2n + 1, cierto n ∈ ZZ⇒ b− a = −(2n + 1), cierto n ∈ ZZ ⇒ b− a = 2(−n)− 1⇒ bRa.

(c) R no es transitiva. Contraejemplo: 7R4 y 4R3 y 76R3. Masaun se puede demostrar que no es transitiva: aRb∧ bRc ⇒a − b = 2n + 1, b − c = 2m + 1 ⇒ (a − b) + (b − c) =(2n + 1) + (2m + 1) ⇒ a− c = 2(n + m + 1) ⇒ a 6Rc.

(d) R no es antisimetrica. Contraejemplo: 5R2 ∧ 2R5 ∧ 2 6= 5


aRb ssi a− b es un numero primo


Solucion. Recordemos que un numero entero se dice primo sitiene exactamente 4 divisores. Ejemplo el 5 es primo, pues susdivisores son: 1,−1, 5,−5.


(a) R no es refleja. Contraejemplo 56R5 pues 5 − 5 = 0 y el 0no es primo.

(b) R es simetrica, en efecto:

aRb ⇒ a− b = p ⇒ b− a = −p ⇒ bRa

Observe que los divisores de p coinciden con los divisoresde −p

(c) R no es transitiva. Para demostrar que no es transitivabasta que demos un contraejemplo:

8R5 y 5R2 y 86R2, pues 8− 5 = 3 y 5− 2 = 3 y 3 es primo.Sin embargo 8− 2 = 6 y 6 no es primo.

(d) R no es antisimetrica. Contraejemplo: 7R5 y 5R7 y 5 6= 7


aRb ssi a · b ≥ 0


Solucion.

(a) R es refleja. En efecto:

aRa ssi a · a ≥ 0 ssi a2 ≥ 0, lo cual es verdadero ∀a ∈ ZZ.

(b) R es simetrica. En efecto:

aRb ⇒ a · b ≥ 0 ⇒ b · a ≥ 0 ⇒ bRa

(c) R no es transitiva, pues

1R0 ∧ 0R− 2 pero 16R− 2

(d) R no es antisimetrica. Tenemos el siguiente contraejemplo:

1R2 pues 1 · 2 ≥ 0 y 2R1, pues 2 · 1 ≥ 0 pero 1 6= 2

9. Sobre IR2 se define la relacion R siguiente:

(a, b)R(c, d) ssi a · c ≤ b · d


Estudiemos las propiedades de R

Solucion.

(a) R no es refleja. Contraejemplo: (4, 3) no esta relacionadocon (4, 3), pues 42 > 32. Sin embargo (a, a)R(a, a) ∀a ∈ IR

(b) R es simetrica pues: (a, b)R(c, d) ⇒ a ·c ≤ b ·d ⇒ c ·a ≤ d ·b⇒ (c, d)R(a, b).

(c) R no es antisimetrica. Contraejemplo: (4, 5)R(3, 7) y (3, 7)R(4, 5)y (3, 7) 6= (4, 5)

(d) R no es transitiva. Contraejemplo: (2, 3)R(2, 5) y (2, 5)R(7, 3)y (2, 3)6R(7, 3)

10. Sea R ⊂ A2 una relacion en A. ¿Que podemos decir de la relacionR (el complemento de R) si

(a) R es refleja

(b) R es simetrica (Argumentemos la respuesta)

Solucion.

(a) R refleja ⇒ (x, x) ∈ R,∀x ∈ A ⇒ (x, x) 6∈ R ∀x ∈ A ⇒ Rno es refleja.

(b) Sea R simetrica. Tenemos:

xRy ⇒ (x, y) ∈ R ⇒ no (x, y) ∈ R ⇒ no (y, x) ∈ R ⇒(y, x) ∈ R ⇒ yRx. Luego R es simetrica.

11. Sea R en IR2 definida por

(a, b)R(c, d) ssi a + b < c + d

Estudie las propiedades de R

Solucion.

(a) R no es refleja (a, b)R(a, b) ssi a + b < a + b. Lo cual esFalso.


(b) R no es simetrica. Contraejemplo: (1, 2)R(3, 4) sin embargo(3, 4)6R(1, 2)

(c) R es transitiva.

(a, b)R(c, d) ∧ (c, d)R(e, f)⇒ a + b < c + d ∧ c + d < e + f⇒ a + b < e + f⇒ (a, b)R(e, f)

4.5 Relaciones de equivalencia

4.5.1 Introduccion y definicion

El concepto de ”Relacion de equivalencia”, es un concepto que estainmerso en la vida diaria. Es un concepto que se utiliza diariamente.

...el tiempo ha ido transcurriendo...

... los anos, los siglos, los milenios ....

... los segundos, los minutos, las horas.

Los anos, los siglos, los milenios, han sido denotados por numerosnaturales, aunque escondidamente son numeros enteros. Por ejemploel s.II A.C. podrıa ser denotado s.-II.

Para las horas, minutos, segundos, aparentemente usamos los numerosnaturales, pero, en este caso, la apariencia engana.

En el caso de la hora, solamente usamos los numeros naturales desdeel 0 hasta el 23, o bien desde el 0 hasta el 11.

Si tu observas mas detenidamente, estos numeros no se suman de lamisma manera que los numeros naturales, solo a veces coincide lamanera de sumar.

Imagina que son las 20 hrs y que en 5 horas mas te vas a desconectarde internet. Decimos: 20 + 5 = 1. La respuesta es a la 1 : 00 hrs tedesconectaras de internet.

¿Cual fue el razonamiento que hemos usado?


Obsevemos que para nosotros, el 25 y el 1 son ”como si fuera lomismo”. En lenguaje matematico: ”Hemos hecho una identificacion”.

¿Que hay detras de todo esto?

Hay una relacion R, R ⊂ ZZ × ZZ

La relacion R que se define al estar pensando en la hora, es la siguiente:

aRb ssi a− b es un multiplo de 24.

Ası tenemos por ejemplo: 26R2, 30R6, etc.

Observamos que esta relacion es:

refleja, simetrica y transitiva

Esta idea ha sido generalizada de la manera sguiente:

Definicion 4.5.1 Sea A un conjunto y R una relacion en A. Diremosque R es una Relacion de equivalencia si R es refleja, simetrica ytransitiva. Los elementos que estan relacionados entre sı son llamadosequivalentes.

Su nombre se debe a que los elementos que estan relacionados entre sı,son muy parecidos, se comportan de la misma manera, es por esto queson llamados equivalentes y la relacion es llamada de equivalencia.

Ejemplos.

1. Sea A = {a, b, c} y R ⊂ A× A, definida por:

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}

Ocurre que R es una relacion de equivalencia.

Su grafico es:


Su grafo es:

En su grafo se observa facilmente que es una relacion de equiv-alencia.

2. Sea R una relacion en ZZ definida por:

aRb ssi a− b es un multiplo de 3

Entonces R es una relacion de equivalencia.

En la seccion anterior demostramos que R es refleja, simetrica ytransitiva.

Observemos que:

Todos los multiplos de 3, estan relacionados entre sı.

Todos los multiplos de 3 mas 1, estan relacionados entre sı.

Todos los multiplos de 3 mas 2, estan relacionados entre sı.

Denotemos por 0 el conjunto formado por los multiplos de 3, por1 el conjunto formado por los multiplos de 3 mas 1 y por 2 elconjunto formado por los multiplos de 3 mas 2.

Y los ponemos en un reloj.

3. Sea A = {a, b, c, d, e, f} y R ⊂ A× A, definida por:

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (e, f), (f, e), (e, e), (f, f)}

Tenemos que R es una relacion de equivalencia.

4. Sea P = {personas} y R ⊂ P × P , definida por:

aRb ssi tienen el mismo grupo sanguıneo.


Ocurre que R es una relacion de equivalencia. Observamos quehay 8 grupos sanguıneo, a saber: A+, B+, 0+, AB+, 0−, A−, B−, AB−

5. Sobre ZZ × ZZ∗, definimos la relacion siguiente:

(a, b)R(c, d) ssi a · d = b · c

Demostremos que es de equivalencia. En efecto

(a) R es refleja:

(a, b)R(a, b) ssi a · b = b · a, lo cual es verdadero ∀a ∈ ZZ y∀b ∈ ZZ∗.

(b) R es simetrica:

(a, b)R(c, d) ⇔ a · d = b · c ⇔ b · c = a · d ⇔ c · b = d · a ⇔(c, d)R(a, b)

(c) R es transitiva:

Esta demostracion es mas elaborada, pero no es para de-sanimarse pues es muy interesante:

(a, b)R(c, d) y (c, d)R(e, f) ⇒ ad = bc y cf = de ⇒ adcf =bcde

Puesto que d ∈ ZZ∗, podemos cancelar d, luego acf = bce.

Para c, tenemos dos posibilidades:

i. c 6= 0, en este caso, cancelamos c y tenemos af = be,luego (a, b) = (e, f) y se tiene que R es transitiva.

ii. c = 0, luego ad = 0 y de = 0. Como d 6= 0, se tienea = 0 y e = 0, luego 0 · f = b · 0, es decir, af = be,entonces (a, b)R(e, f).

Por (a), (b) y (c) R es una relacion de equivalencia.

Es curioso que esta relacion no es transitiva sobre ZZ×ZZ. Con-traejemplo: (1, 9)R(0, 0) y (0, 0)R(2, 5) y (1, 9)6R(2, 5)

6. Sea L = {rectas sobre el plano}.Sobre L se define la siguiente relacion

lRl′ ssi l es paralela a l’


Recordemos que una recta l es paralela a una recta l′ ssi tienenla misma pendiente.

(a) R es refleja. lRl porque l tiene la misma pendiente que l

(b) R es simetrica. ¡Trivial!

(c) R es transitiva. Sea l de pendiente m. Si lRl′ y l′Rl”, en-tonces l′ tiene pendiente m y l” tiene pendiente m, luegolRl”.

Por (a), (b) y (c) tenemos que R es una relacion de equivalencia.

7. Sea A un conjunto y R una relacion refleja y simetrica en A.

Se define en A la relacion R′ siguiente:

aR′b ssi ∃a1, a2, ..., an ∈ A tq. a1 = a, an = b y aiRai+1,i = 1, n− 1.

Demostremos que R′ es una relacion de equivalencia.

Demostracion.

(a) R′ es refleja ya que R es refleja, luego se tiene aRa ∀a ∈ A.Luego a1 = a, an = a y aRa. Luego aR′a.

(b) R′ es simetrica. aR′b ⇒ ∃a1, ..., an ∈ A tal que a1 = a,an = b y aiRai+1 ⇒ ∃a1, ..., an ∈ A talque a1 = a, an = b yai+1Rai. Sea b = b1 = an, b2 = an−1,...,bi = an−(i−1),...,bn =a1 = a y biRbi+1. Luego bR′a

(c) R′ es transitiva.

aR′b ∧ bR′c⇒ (∃a1, ..., an; a1 = a, an = b ∧ aiRai+1)∧(∃b1, ..., bm; b1 = b, bm = c ∧ bjRbj+1)

⇒ ∃a1, ..., an = b1, ..., bm; aiRai+1 ∧ bjRbj+1

⇒ aR′c

8. Sea R una relacion refleja y transitiva en un conjunto A. En Ase define:


aR′b ssi aRb y bRa

Demostremos que R′ es una relacion de equivalencia.

(a) R′ es refleja. En efecto, aRa,∀a ∈ A ⇒ aRa ∧ aRa ⇒aR′a,∀a ∈ A.

(b) R′ es simetrica. aR′b ⇒ aRb ∧ bRa ⇒ bRa ∧ aRb ⇒ bR′a.

(c) R′ es transitiva. aR′b ∧ bR′c ⇒ aRb ∧ bRa ∧ bRc ∧ cRb ⇒(aRb ∧ bRc) ∧ (cRb ∧ bRa) ⇒ aRc ∧ cRa ⇒ aR′c

Por (a), (b) y (c) tenemos que R′ es una relacion de equivalencia.

4.5.2 Clases de Equivalencia y conjunto cuociente

Nuevamente quiero que sepas que el concepto de ”clases de equiva-lencia” es utilizado en la vida diaria. Imaginemos que sobre una mesaextendemos una masa. Uno se aleja, mira y dice: ”es una masa”. ¡Ob-vio! Ahora, con un cuchillo cortamos la masa en lıneas rectas paralelas,cercanas una de otra.

Definamos la relacion: ”Dos elementos estan relacionados si estan en elmismo pedazo de masa”. Es trivial que es una relacion de equivalencia.

Si ahora uno mira le mesa, dice: ”son tallarines”. Ocurre que cadatalların es una ”clase de equivalencia”. Todos los elementos que estanen un talların, estan relacionados entre sı y no estan relacionados conlos elementos que estan en otro talların.

Bueno, filosoficamente hablando, tenemos que cambio la esencia de lamasa que tenıamos sobre la mesa, es por esto que nos vimos invitadosa cambiarle el nombre.

Esto es exactamente lo que ocurre con una relacion de equivalencia,”parte” el conjunto en clases de equivalencia y si ahora miramos elconjunto obtenido, ha cambiado su esencia. Hablaremos de ”conjuntocuociente”, para designar la union de todas las clases. Le llamaremoscuociente, pues todos los pedazos de masa que estan en el mismotalların los identificaremos con ”un solo talların”. Hay intrınsecamenteun concepto de division.


Mas, no queda nuestraalma tranquila con este ejemplo culinario.Quiero demostrarte que utilizas los conceptos de ”clase de equivalen-cia” y ”conjunto cuociente” en un ejemplo matematico. Comencemospor ver las definiciones:

Definicion 4.5.2 Sean A un conjunto no vacıo y R ⊂ A × A unarelacion de equivalencia. Se llama clase de equivalencia moduloR de un elemento a , a ∈ A, al conjunto formado por todos loselementos x ∈ A que estan relacionados con a, por la relacion R,denotada C(a) o cl(a) o a y se lee: clase de a. Es decir

cl(a) = {x ∈ A; xRa}

La clase de a es un subconjunto de A, luego cl(a) ∈ P (A). Cadaelemento de la clase de a puede ser considerado un representante desu clase.

Definicion 4.5.3 Se llama conjunto cuociente de A por R, alconjunto formado por todas las clases de equivalencia de A segun R,se denota A/R. Es decir,

A/R = {cl(a); a ∈ A}

Veamos ahora el ejemplo matematico de la vida diaria:

Observacion Sobre ZZ×ZZ∗ consideremos la relacion de equivalenciaantes definida, a saber

(a, b)R(c, d) ssi a · d = b · c

La clase del elemento (a, b), denotada cl(a, b), consiste en el conjuntoformado por todos los elementos relacionados con (a, b), es decir,

cl(a, b) = {(c, d); (a, b)R(c, d)}

Por ejemplo veamos la clase del elemento (1, 2). Tenemos: (a, b)R(1, 2)ssi a · 2 = b · 1 ssi b = 2a, b 6= 0. Luego


cl(1, 2) = {(a, 2a); a ∈ ZZ∗}

Observemos por ejemplo: (1, 2)R(2, 4); (1, 2)R(3, 6); (1, 2)R(4, 8), etc.,luego podemos escribir: cl(1, 2) = cl(3, 6) = cl(4, 8).

En este ejemplo, en particular, usaremos otra notacion. La clase delelemento (a, b), sera denotada a

b. Luego 1

2= 2

4= 3

6= a

2a, a 6= 0

¡Aparecieron las fracciones! Estamos, entonces de acuerdo que unotiene incorporado el concepto de clase de equivalencia en la vida diaria¿cierto? ¡ seguro!

Nuevamente, hemos cambiado la esencia de los entes, luego estamosfilosoficamente invitados a cambiarles el nombre. Cada clase sera lla-mada un numero racional. Ahora bien, el conjunto formado por to-das las clases de equivalencia, llamado ”conjunto cuociente”, es lla-mado, conjunto de los numeros racionales, denotado Q. Escribiremos(ZZ × ZZ∗)/R = Q.

Recordemos que al comienzo del ejemplo vimos que esta relacion noes de equivalencia sobre ZZ × ZZ. Esta es una explicacion de por queno puede haber 0 en el denominador de una fraccion.

Ejemplo. Sea R ⊂ ZZ × ZZ definida por:

aRb ssi a− b = 3n, cierto n ∈ ZZ.

Recordemos que ya analizamos esta relacion, por lo que podemos es-cribir directamente las clases de equivalencia, a saber:

cl(0) = {3n; n ∈ ZZ}

cl(1) = {3n + 1; n ∈ ZZ}

cl(2) = {3n + 2; n ∈ ZZ}

El conjunto cuociente es: ZZ/R = {cl(0), cl(1), cl(2)}Ejemplo. Sean A = {a, b, c}, R ⊂ A× A definida por :


R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}

cl(a) = {a, b} = cl(b); cl(c) = {c}Observacion. El conjunto de personas se puede dividir en ocho gru-pos, de acuerdo a su grupo sanguıneo. Son ocho grupos disjuntos dedos en dos, es decir, no hay una persona que pertenezca a dos grupos.La union de los ocho grupos es exactamente el conjunto formado portodas las personas, es decir,

cl(0+)∪cl(A+)∪cl(B+)∪cl(AB+)∪cl(0−)∪cl(A−)∪cl(B−)∪cl(AB−)

Tenemos H = Humanidad, ”partido” en ocho subconjuntos, luego:

{cl(0+), cl(A+), cl(B+), cl(AB+), cl(0−), cl(A−), cl(B−), cl(AB−)}

es una ”particion” de H. Esto nos invita a la definicion siguiente:

Definicion 4.5.4 Sean A un conjunto y P1, P2, ..., Pt ∈ P (A). Dire-mos que el conjunto {P1, P2, ..., Pt} es una particion de A si:

1. Pi 6= ∅, ∀i = 1, ..., t

2. P1 ∪ P2 ∪ · · · ∪ Pt = A

3. Pi ∩ Pj = ∅, ∀i 6= j

Teorema 4.5.1 (Teo. Fundamental sobre rel. de equivalencia)A toda relacion de equivalencia R, en un conjunto A, le correspondeuna descomposicion de A en clases de equivalencia disjuntas dos a dosy cuya union es A. Es decir, el conjunto A/R es una particion de A.

Demostracion. Comenzaremos por demostrar que :

aRb =⇒ cl(a) = cl(b)


En efecto, si x ∈ cl(a) entonces xRa y puesto que aRb entonces setiene xRb es decir x ∈ cl(b), luego cl(a) ⊂ cl(b). Analogamente seprueba que cl(b) ⊂ cl(a), luego cl(a) = cl(b).

Ahora demostraremos que si dos elementos no estan relacionados en-tonces sus clases de equivalencia son disjuntas, es decir:

a 6Rb ⇒ cl(a) ∩ cl(b) = ∅

En efecto, sea x ∈ cl(a) ∩ cl(b) ⇒ x ∈ cl(a) y x ∈ cl(b) ⇒ xRa y xRb⇒ aRx y xRb ⇒ aRb ⇒⇐, luego cl(a) ∩ cl(b) = ∅De lo anterior se desprende que A es le union disjunta de todas lasclases de equivalencia.

Teorema 4.5.2 (Teorema recıproco) A toda particion de un con-junto A, le corresponde una relacion de equivalencia R de A, cuyasclases de equivalencia son los elementos de la particion.

Demostracion. Se define la relacion de equivalencia:

aRb ssi a y b estan en el mismo elemento de la particion.

Ejemplos.

1. Sobre ZZ definamos la relacion de equivalencia siguiente:

aRb ssi a− b = 12n, n ∈ ZZ

Denotemos por a la clase del elemento a. Tenemos 0 = {12n; n ∈ZZ}; 1 = {12n + 1; n ∈ ZZ},..., 11 = {12n + 11; n ∈ ZZ}.Cada elemento de la particion es una clase de equivalencia y launion de todas las clases es el conjunto ZZ. Es decir

ZZ/R = 0∪1∪ · · · ∪11



aRb ssi a + b = 2n, cierto n ∈ ZZ

Ya vimos que R es una relacion de equivalencia. Recordemosque la suma de dos numeros es par si y solo si ambos numerosson pares o ambos impares. Luego tenemos dos clases de equiv-alencia: la clase de los numeros pares y la clase de los numerosimpares. Es decir, ZZ/R = {2n; n ∈ ZZ}∪{2n + 1; n ∈ ZZ}

3. Sea L el conjunto de todas las rectas en el plano euclidiano. SeaR la relacion de equivalencia definida por:

lRl′ ssi l es paralela a l′

Vimos que R es una relacion de equivalencia. Esta relacion deequivalencia en l, permite clasificar todas lasa rectas del planoeuclidiano como sigue:

(a) Dos rectas paralelas pertenecen a la misma clase.

(b) Dos rectas que no son paralelas, pertenecen a clases distin-tas.

Ası todas las rectas estan clasificadas. Cada clase se llama una”direccion”. Toda recta puede ser escogida como representantede una direccion.

4.5.3 Congruencias en ZZ

Nosotros vimos que la relacion R en ZZ definda por:

aRb ssi a− b es un multiplo de n.

es una relacion de equivalencia. A proposito de esta relacion tenemosla definicion siguiente:

Definicion 4.5.5 Dos enteros a y b se dicen congruentes modulon, n ∈ ZZ ssi a− b es un multiplo de n. Notacion: a ≡ b(mod n).


Luego a ≡ b(mod n) ssi a− b = kn, cierto k ∈ ZZ ssi a = b+kn, ciertok ∈ ZZ. Esta relacion es llamada congruencia modulo n.

Observamos que si a ≡ b(mod n) ssi a ≡ b(mod −n), luego n y −ndefinen la misma clase de equivalencia por lo tanto hablaremos decongruencias modulo n con n ∈ IN.

Ademas notemos que cl(a) = {a, a ± n, a ± 2n, ...} y como por elalgoritmo de Euclides se tiene que a = qn + r con 0 6= r < n, por lotanto aRr y cl(a) = cl(r). Esto quiere decir que para cada clase deequivalencia se puede tomar como representante uno de los numeros0, 1, ..., n− 1.

Por otra parte si 0 6= r < r′ < n, se tiene que r no es equivalente a r′.En efecto si r′ ≡ r(mod n) luego r′ − r = kn cierto k ∈ ZZ, es decirr′ = r + kn, con k > 0. Luego r′ > n, contradiccion.

Luego hay exactamente n clases de equivalencia, las que denotaremospor 0, 1, ..., n− 1. ZZn denotara ZZ/R, el conjunto cuociente de ZZ porla relacion R. Luego

ZZn = {0, 1, ..., n− 1}.

Los elementos de ZZn se llaman enteros modulo n.

Observe que el cardinal de ZZn es n.

Ejemplo. Como caso particular de lo visto anteriormente, veamos larelacion:

aRb ssi a ≡ b (mod 5)

En este caso tenemos:

cl(0) = {x ∈ ZZ; 0Rx} = {x ∈ ZZ; x = 5k, k ∈ ZZ}.

Analogamente, se obtienen:

cl(1) = {5k + 1, k ∈ ZZ}, cl(2) = {5k + 2, k ∈ ZZ},cl(3) = {5k + 3, k ∈ ZZ}, cl(4) = {5k + 4, k ∈ ZZ}.


Ademas se tiene: ZZ/R = {0, 1, 2, 3, 4}Ejercicios Resueltos

1. En ZZ, considere la relacion:

xRy ssi x2 − y2 = 3y − 3x.

Demostremos que R es una relacion de equivalencia y busquemoslas clases de equivalencia de 0, 2 y a

Solucion. Esta relacion se puede escribir como:

xRy ssi x2 + 3x = y2 + 3y.

(a) R es refleja. En efecto, xRx ssi x2 + 3x = x2 + 3x, lo cuales verdadero ∀x ∈ ZZ.

(b) R es simetrica. En efecto,

xRy ssi x2 + 3x = y2 + 3y ssi y2 + 3y = x2 + 3x ssi yRx.

(c) R es transitiva. En efecto,

xRy ∧ yRz ssi x2 + 3x = y2 + 3y ∧ y2 + 3y = z2 + 3z

Luego x2 + 3x = z2 + 3z, es decir tenemos xRz


Busquemos la clase del 0. Tenemos: xR0 ssi x2+3x = 02+3·0⇒x2+3x = 0⇒ x(x+3) = 0⇒ x = 0∨x = −3⇒ cl(0) = {0,−3}Busquemos la clase del 2. Tenemos: xR2 ssi x2 + 3x = 22 + 3 · 2⇒ x2 + 3x− 10 = 0 ⇒ (x + 5)(x− 2) = 0 ⇒ x = −5∨ x = 2 ⇒cl(2) = {2,−5}Busquemos la clase de un elemento cualquiera a. Tenemos xRassi x2 + 3x = a2 + 3a ⇒ x2 + 3x − (a2 + 3a) = 0 ⇒ x2 + 3x −a(a + 3) = 0 ⇒ (x − a)(x + a + 3) = 0 ⇒ x = a ∨ x = −a − 3⇒ cl(a) = {a,−a− 3}

2. Construccion de ZZ. En IN× IN, consideremos la relacion:


(a, b)R(c, d) ssi a + d = b + c.

Demostremos que R es una relacion de equivalencia, busque-mos una caracterizacion de cada clase de equivalencia y luegobusquemos el conjunto cuociente.

Solucion.

(a) R es refleja. En efecto, (a, b)R(a, b) ssi a + b = b + a. Estoes verdadero para todo (a, b) ∈ IN2.

(b) R es simetrica. En efecto,

(a, b)R(c, d)⇔ a + d = b + c⇔ c + b = d + a⇔ (c, d)R(a, b)

(c) R es transitiva. En efecto,

(a, b)R(c, d) ∧ (c, d)R(e, f)⇒ (a + d = b + c) ∧ (c + f = d + e)⇒ a + d + c + f = b + c + d + e⇒ a + f = b + e⇒ (a, b)R(e, f)


Busquemos la clase del elemento (0, 0). En efecto, (a, b)R(0, 0)ssi a + 0 = b + 0 ssi a = b. Luego (0, 0) = {(a, a); a ∈ IN}Busquemos la clase del elemento (1, 2). En efecto (a, b)R(1, 2)ssi a + 2 = b + 1 ssi b = a + 1. Luego (1, 2) = {(a, a + 1); a ∈ IN}Busquemos la clase del elemento (2, 1): En efecto (a, b)R(2, 1)ssi a + 1 = b + 2 ssi a = b + 1. Luego (2, 1) = {(b + 1, b); b ∈ IN}.En un grafico:

Busquemos el representante mas simple posible de la clase de(a, b)

(a) Sea a < b. Luego ∃n ∈ IN tal que a + n = b. Luego (a, b) =(a, a + n). Entonces cl(a, a + n) = cl(0, n). Luego si a < b,la clase de (a, b) tiene un representante de la forma (0, n)


(b) Sea a > b. Luego ∃n ∈ IN tal que a = b + n. Luego (a, b) =(b + n, b). Pero cl(b + n, b) = cl(n, 0). Entonces si a > b, laclase de (a, b) tiene un representante de la forma (n, 0)

(c) Sea a = b. Luego cl(a, b) = cl(a, a) = cl(0, 0). Entoncessi a = b, la clase (a, b) tiene un representante de la forma(0, 0).

Notaciones: La cl(n, 0) sera denotada por n. La cl(0, n) sera de-notada por −n y la cl(0, 0) sera denotada por 0.

Se define: ZZ = IN × IN/R, donde cada elemento de ZZ es unaclase de equivalencia de IN× IN

3. Construccion de Q. En ZZ × ZZ hemos definido la relacion:

(a, b)R(a′, b′) ssi a · b′ = b · a′

Solucion. Nosotros vimos que R es una relacion de equivalencia.Busquemos el representante mas simple posible de cada clase. Laclase cl(a, b) sera denotada a

b

Si a y b no son primos entre sı, entonces existe k ∈ ZZ tal quea = ka′ y b = kb′ con a′ y b′ primos entre sı. Luego a

b= ka′

kb′= a′

b′.

Se deduce que para cada clase se puede tomar un representante(a, b) con a y b relativamente primos, es decir, toda clase se puedeescribir en la forma a

brelativamente primos entre sı. Los ele-

mentos del conjunto cuociente son llamados numeros racionales.Notacion ZZ × ZZ/R = Q, llamado el conjunto de los numerosracionales.

4. Numeros reales modulo 1. En IR consideremos la relacion deequivalencia siguiente:

rRr′ ssi r − r′ es un entero

Busquemos una representacion de las clases de equivalencia y desu conjunto cuociente.

Solucion. Todo numero real r′ se puede escribir como r′ = r+n,donde n es la parte entera de r′ y 0 ≤ r < 1. Luego para cada


clase de equivalencia hay un representante r tal que 0 ≤ r < 1.Ademas, dos numeros reales r, r′ con 0 ≤ r < r′ < 1, no puedentener por diferencia un numero entero, luego pertenecen a clasesdistintas. Por lo tanto el conjunto de los numeros reales r, 0 ≤r < 1 contiene uno y solo un representante de cada clase deequivalencia.

El conjunto cuociente es llamado conjunto de los numeros realesmodulo 1

5. En IR2, consideremos la relacion R siguiente:

(x, y)R(u, v) ssi x2 + y2 = u2 + v2

Demostremos que R es una relacion de equivalencia y busque-mos la clase de (0, 0), (1, 0), (3, 4), (a, b). Describamos ademas laparticion de IR2 segun R.

Solucion.

(a) R es refleja. En efecto, (x, y)R(x, y) ssi x2 + y2 = x2 + y2.Afirmacion que es verdadera ∀(x, y) ∈ IR2. Observemos queun elemento cualquiera de IR2 no es un par (x, x) sino (x, y).

(b) R es simetrica. En efecto, (x, y)R(u, v) ⇒ x2 +y2 = u2 +v2

⇒ u2 + v2 = x2 + y2 ⇒(u, v)R(x, y)

(c) R es transitiva. En efecto, (x, y)R(u, v) ∧ (u, v)R(s, t) ⇒x2 + y2 = u2 + v2 ∧ u2 + v2 = s2 + t2 ⇒ x2 + y2 = s2 + t2

⇒ (x, y)R(s, t)


Busquemos la clase del elemento (0, 0). En efecto, (x, y)R(0, 0)ssi x2 + y2 = 02 + 02 ssi x2 + y2 = 0 ssi x = 0 ∧ y = 0. Luegocl(0, 0) = {(0, 0)}.Busquemos la clase del elemento (1, 0). Tenemos (x, y)R(1, 0)ssi x2 + y2 = 12 + 02 ssi x2 + y2 = 1 ssi (x, y) pertenece a lacircunferencia con centro en (0, 0) y con radio 1. Luego

cl(1, 0) = C((0, 0), 1) = {(x, y); x2 + y2 = 1}


Busquemos la clase del elemento (3, 4). En efecto, (x, y)R(3, 4)ssi x2 + y2 = 32 + 42 ssi x2 + y2 = 25. Luego

cl(3, 4) = C((0, 0), 5) = {(x, y); x2 + y2 = 5}

Busquemos la clase de un elemento (a, b) cualquiera.

En efecto (x, y)R(a, b) ssi x2 + y2 = a2 + b2. Entonces

cl(a, b) = C((0, 0),√

a2 + b2) = {(x, y); x2 + y2 = a2 + b2}

Esta relacion R, produce la particion de IR2, formada por todaslas circunferencias con centro en (0, 0). Al mirar IR2 se ve comoun tranquilo lago al cual le tiramos un piedra.

6. Sea A = {a ∈ ZZ;−30 < a < 45} y R la relacion de equivalenciaen A definida por:

xRy ssi x2 + y = y2 + x

Determinemos la clase de equivalencia de un elemento cualquierade A y luego determinemos todas las clases de equivalencia enA.

Solucion. Busquemos la clase de a, a ∈ A. En efecto,

xRa ssi x2 − x = a2 − assi x2 − x− (a2 − a) = 0ssi x2 − x + a(1− a) = 0ssi (x− a)(x− (1− a)) = 0ssi x = a ∨ x = 1− a

Luego cl(a) = {a, 1− a}Entonces cl(0) = {0, 1}, cl(−1) = {−1, 2}, cl(−2) = {−2, 3}, ...,cl(−30) = {−30, 31}, cl(32) = {32}, cl(33) = {33}, ..., cl(45) ={45}.Hay 31 clases con 2 elementos cada una y 14 clases con un unicoelemento, luego hay un total de 45 clases de equivalencia.


7. Consideremos una relacion R en IR2, definida por

(x, y)R(z, t) ssi x = z

Demostremos que R es una relacion de equivalencia. Encon-tremos la cl(π, 3) y de un elemento cualquiera (a, b) y describ-amos el conjunto cuociente.

Solucion.

(a) R es refleja. En efecto, (x, y)R(x, y), pues x = x ∀(x, y) ∈IR2.

(b) R es simetrica pues, (x, y)R(z, t) ⇒ x = z ⇒ (z, t)R(x, y).

(c) R es transitiva. En efecto, (x, y)R(z, t) ∧ (z, t)R(u, v) ⇒x = z ∧ z = u ⇒ x = u ⇒ (x, y)R(u, v).

Busquemos la clase de (π, 3). Tenemos (x, y)R(π, 3) ssi x = π.Luego cl(π, 3) = {(π, x); x ∈ IR}. Corresponde a la recta quepasa por (π, 0) y es paralela al eje Y

Busquemos la clase de un elemento cualquiera (a, b).

Tenemos (x, y)R(a, b) ssi x = a, luego cl(a, b) = {(a, y); y ∈ IR},es decir la recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0) .

El conjunto cuociente, es el conjunto formado por todas las rec-tas paralelas al eje Y . es decir si miramos IR2/R, veremos elplano cartesiano formado por todas las rectas paralelas al eje Y ,llenando todo IR2. Ahora IR2 no son puntos. En cada punto deleje X, pasa una de estas rectas.

8. En el conjunto de los numeros reales, se define la relacion S dela manera siguiente:

aSb ssi a4 − b4 = a2 − b2

Demostremos que S es una relacion de equivalencia. Deter-minemos la cl(0), cl(1). Demostremos que cl(x) = cl(−x)

Solucion. Es mas facil escribir: aSb ssi a4 − a2 = b4 − b2


(a) S es refleja, pues aSa ssi a4 − a2 = a4 − a2 lo cual esverdadero ∀a ∈ IR

(b) S es simetrica, pues aSb ssi a4 − a2 = b4 − b2 ssi b4 − b2 =a4 − a2 ssi bSa.

(c) S es transitiva. En efecto: aSb∧ bSc ⇒ a4 − a2 = b4 − b2 ∧b4 − b2 = c4 − c2 ⇒ a4 − a2 = c4 − c2 ⇒ aSc

Por (a), (b) y (c) se tiene que S es una relacion de equivalencia.

Busquemos la clase del elemento 0. Tenemos aS0 ssi a4 − a2 =04 − 02 ssi a4 − a2 = 0 ssi a4 = a2 ssi a = 0, 1,−1. Luegocl(0) = {0, 1,−1}Busquemos la clase del 2. Tenemos aS2 ssi a4 − a2 = 16− 4 ssia4 − a2 − 12 = 0 ssi (a2 − 4)(a2 + 3) = 0 ssi (a2 = 4 ∨ a2 = −3)⇒ a2 = 4 ⇒ a = 2 ∨ a = −2 ⇒ cl(2) = {2,−2}Demostremos que cl(x) = cl(−x). En efecto xS−x pues x4−x2 =(−x)4 − (−x)2, ∀x ∈ IR, es decir x esta relacionado con −x,∀x ∈ IR por lo tanto estan en la misma clase.

9. Sean R1 y R2 dos relaciones sobre un conjunto E. Se define

R1 ∧R2 ⇔ (x(R1 ∧R2)y) ⇔ (xR1y ∧ xR2y)

R1 ∨R2 ⇔ (x(R1 ∨R2)y) ⇔ (xR1y ∨ xR2y)

Estudiemos las propiedades de la conjuncion y la disyuncion delas relaciones segun las propiedades de R1 y R2

Solucion. Estudiemos R1 ∧R2

(a) Sean R1 y R2 reflejas, luego xR1x y xR2x ∀x ∈ E, luegoxR1 ∧R2x ∀x ∈ E. Luego R1 ∧R2 es refleja.

(b) Sean R1 y R2 simetricas, luego x(R1∧R2)y ⇒ xR1y∧xR2y⇒ (yR1x∧yR2x)⇒ y(R1∧R2)x. Luego R1∧R2 es simetrica

(c) Sean R1 y R2 transitivas, luego x(R1∧R2)y∧y(R1∧R2)z ⇒(xR1y∧xR2y)∧ (yR1z∧yR2z) ⇒ (xR1y∧yR1z)∧ (xR2y∧yR2z) ⇒ xR1z ∧ xR2z ⇒ x(R1 ∧ R2)z. Luego R1 ∧ R2 estransitiva.


Estudiemos R1 ∨R2

(a) Sean R1 y R2 reflejas, luego xR1x∧xR2x ∀x ∈ E ⇒ xR1x∨xR2x ∀x ∈ E ⇒ xR1∨R2x ∀x ∈ E. Luego R1∨R2 es refleja.

(b) Sean R1 y R2 simetricas, luego x(R1∨R2)y⇒ (xR1y∨xR2y)⇒ yR1x ∨ yR2x) ⇒ y(R1 ∨R2)

(c) R1 ∨R2 no es transitiva. Contraejemplo: Sea R1 = {(x, y)}R2 = {(y, z)}. Tenemos xR1y, luego x(R1 ∨R2)y. Tambientenemos yR2z, luego tenemos y(R1 ∨ R2)z sin embargo nose tiene x(R1 ∨R2)z

4.6 Relaciones de orden

Observacion. Consideremos el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 40, 120}.En a definamos la siguiente relacion

aRb ssi a divide a b

Veamos sus propiedades y cierto diagrama para representar la relacion.

1. R es refleja pues xRx, ∀x ∈ IR

2. R es antisimetrica. En efecto, si x|y ∧ y|x ⇒ x = y

3. R es transitiva. x|y ∧ y|z ⇒ x|z

Una forma visual muy agradable de entender es el llamado ”diagramade Hasse”. Este diagrama supone la transitividad y la reflexividad.

Observemos que hay un ”orden”. Esto se diferencia de las relacionesde equivalencia, debido a la antisimetrıa. Esta observacion nos inspirala definicion siguiente:


Definicion 4.6.1 Una relacion R en A, es llamada Relacion deorden en A, si es simultaneamente

refleja, antisimetrica y transitiva

Un conjunto A provisto de una relacion de orden R, es llamado con-junto ordenado por R

Ejemplos

1. La relacion ”≤” es una relacion de orden en IR.

2. Sean A = {1, 2, 3} y P (A) su conjunto potencia. La inclusion ⊂es una relacion de orden en P (A). Recordemos que

P (A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}

Observacion. Consideremos ZZ con la relacion ”≤”. Observamos quecada vez que tomamos dos elementos de ZZ, estos estan relacionados.es decir:

a, b ∈ ZZ ⇒ a ≤ b ∨ b ≤ a

Esta observacion nos inspira la siguiente definicion

Definicion 4.6.2 Sea A un conjunto y R una relacion de orden en A.Si todos los elementos estan relacionados entre sı, diremos que R esuna relacion de orden total. Es decir, R es una relacion de ordentotal si

∀x, y ∈ R se tiene xRy o yRx

En caso contrario diremos que es una relacion de orden parcial.

Ejemplo. En el caso que tomamos A = {1, 2, 3} y consideramos lainclusion en P (A), es una relacion de orden parcial.

Nota. Tambien se puede decir que R ⊂ A × A es una relacion deorden parcial ssi: R es una relacion de orden y


∃x, y ∈ A tal que x 6Ry ∧ y 6Rx


1. Sea A = [1, 4] ⊆ IR, B = [0, 4] ⊆ IR, C = [0, 3] ⊆ IR; D =[1, 2] ⊆ IR.Dibuje en un diagrama (A×B) ∩ (C ×D)

2. Sean E, F dos conjuntos y SE,F definido por:

SE,F = {A×B; A ⊂ E, B ⊂ F}Muestre que:

a)SE,F ⊂ P (E × F )

b)SE,F = P (E × F ) ⇔ E o F es un singleton.

3. Sea A = {a, b, c}a) ¿ Cuantas relaciones se pueden establecer de A en A ?

b) ¿ Cuantas reflexivas ? ¿ Simetricas ?

c) Construya todas las relaciones de equivalencia posibles sobreA.

4. Sea n ∈ IN

xRy ⇐⇒

x = y

n∑k=0

xkyn−k = 1 si x 6= y

a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia.

b) Describa las clases de equivalencia para n = 0, 1, 2.

5. Sea una relacion definida en IR por xSy ⇐⇒ x2 = x | y + 1 | .Haga el grafico.

6. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determine los graficos de las relacionesR, S, definidas en A por (i) aRb ⇐⇒ a + b ≤ 4, (ii)aSb ⇐⇒ a(b + 1) ≤ 6


7. Las relaciones R1 y R2 estan definidas por

(i) xR1y ⇐⇒ −10 ≤ x + 5y ≤ 10(ii) xR2y ⇐⇒ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ yHaga un grafico de estas relaciones.

8. Discuta la reflexividad, simetrıa, antisimetrıa y transitividad delas siguientes relaciones en el conjunto {a, b, c} :(i) {(a, a), (b, b)} (ii) {(c, c), (c, b)} (iii) {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}(iv) {(a, a), (b, b), (c, c)} (v) {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}

9. Sobre IR× IR, discuta las relaciones siguientes:

(a) {(a, b) ∈ IR× IR; a2 + b2 ≥ 0}(b) {(a, b) ∈ IR× IR; 0 < ab < 1}

10. Averigue si la relacion en ZZ definida por aRb ⇐⇒ ab ≥ 0 esuna relacion de equivalencia.

11. En ZZ definimos: a Rb ⇐⇒ a2 + a = b2 + b. Demuestre que Res una relacion de equivalencia y encuentre las clases de equiva-lencia de los elementos 0, 1 y a.

12. Consideremos P (A), donde A es un conjunto. En P (A) se defineuna relacion como sigue: ARB ssi A ⊂ B. Determine si R es unarelacion de orden.

13. Sea A 6= ∅ y R una relacion en A. Se dice que R es circular si(x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (z, x) ∈ R. Demuestre que si Res refleja y circular, entonces R es simetrica.

Capıtulo 5

Funciones

En este capıtulo pondremos la atencion en un tipo muy particular derelaciones entre dos conjuntos. Una funcion se determina dando dosconjuntos y asociando a cada elemento del primer conjunto, un unicoelemento del segundo conjunto. Una funcion puede no estar definidapor una expresion aritmetica, ni analıtica. Lo importante es que asociea los elementos del primer conjunto, elementos del segundo conjunto.

5.1 Definiciones basicas

Definicion 5.1.1 Sea R ⊂ A×B. Diremos que R es una funcion deA en B, si a cada elemento x de A, se le hace corresponder un unicoelemento y de B.

Notacion. Usaremos generalmente las letras minusculas f, g, h, paradenotar las funciones y escribiremos

(x, y) ∈ f ssi f(x) = y

En vez de escribir f ⊂ A×B, usaremos la notacion

f : A → B; f(x) = y

153


A es llamado el dominio def , denotado Dom(f). B es llamado elcodominio de f. Tambien A puede ser llamado el conjunto de par-tida y B el conjunto de llegada. Las palabras ”transformacion” y ”apli-cacion” son utilizadas como simonimos de la palabra funcion.

Definicion 5.1.2 Sea f : A → B. Si f(x) = y, diremos que y es laimagen de x por f o el valor de f en x. Diremos que x es la preimagende y. El conjunto formado por todas las imagenes de los elementos deA por f sera denotado Im(f) o Rec(f), se define por:

Im(f) = {y ∈ B, ∃x ∈ A; f(x) = y}

Llamado conjunto imagen de f o recorrido de f .

Observacion. Las funciones deben estar definidas para todo elementodel conjunto de partida. Por ejemplo en el caso particular A = {1, 2},B = {a, b, c} y f = {(1, a), (1, b)}. Entonces f no es funcion pues el 2no tiene imagen y tambien porque el 1 tiene dos imagenes.

Nota. Dos elementos distintos pueden tener la misma imagen. Porejemplo para f : ZZ → ZZ; f(n) = |n|. Se tiene que f(n) = f(−n),con n 6= −n ∀n ∈ ZZ∗

Ejemplo. Veamos graficamente un caso en que una relacion f esfuncion y una relacion g que no es funcion.

Observacion. Sea f : A → B una funcion.

1. Si A = ∅, entonces para todo B conjunto, tenemos A × B = ∅,luego f es vacıo. Luego para cada conjunto B, hay una unicafuncion con dominio vacıo y codominio B.

2. Si B = ∅, entonces A × B = ∅ y como para cada x ∈ A, existey ∈ B entonces A = ∅ y f = ∅. En consecuencia, ∅ : ∅ → ∅, esla unica funcion con Codominio ∅.

Capıtulo 5. Funciones 155

Ejemplos

1. Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} y f = {(1, a), (2, b), (3, d)}.Notacion: f : A → B. Se tiene Dom(f) = {1, 2, 3}, Codom(f) =B y Im(f) = {a, b, d}

2. Sea s : IN → IN; s(n) = n + 1. Con IN = {0, 1, 2, 3, ...}.Dom(s) = IN, pues a todo numero natural se le puede sumar1. El 0 no tiene preimagen, luego Im(s) = IN∗ = IN − {0};Codom(s) = IN

3. Sean A = {1, 2, 3} y f : P (A) → P (A); f(X) = X ∩ {2}.Recordemos que P (A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}Busquemos la imagen de f .

f(∅) = ∅ ∩ {2} = ∅; f({1}) = {1} ∩ {2} = ∅f({2}) = {2} ∩ {2} = {2}; f({3}) = ∅f({1, 2}) = {1, 2} ∩ {2} = {2}; f({1, 3}) = ∅f({2, 3}) = {2}; f(A) = {2}

4. Sean A = {1, 2, 3}, f : P (A) → P (A; f(X) = X ∪ {2}.Entonces Im(f) = {{2}, {1, 2}, {3, 2}, A}; Dom(f) = P (A)

5. Sean A = {1, 2, 3} y h; P (A) → P (A); h(X) = X−{2}. Tenemos

h(∅) = ∅ − {2} = ∅; h({1}) = {1} − {2} = {1}h({2}) = {2} − {2} = ∅; h({3}) = {3} − {2} = {3}h({1, 2}) = {1, 2} − {2} = {1}; h({1, 3}) = {1, 3}h({2, 3}) = {3}; h(A) = A− {2} = {1, 3}

Luego Im(h) = {∅, {1}, {3}, {1, 3}}. Dom(h) = P (A)

6. Sea f : IN → IN, definida por:

f(n) =

{2n; si n es parn + 1; si n impar

Tenemos que Dom(f) = IN y Im(f) = {2n; n ∈ IN} = 2IN



f(n) =

{n + 3; si n es multiplo de 3n; si n no es multiplo de 3

Tenemos que Dom(f) = IN y Im(f) = IN∗

8. Idem ejercicio anterior, pero f : ZZ → ZZ.

Si m ∈ Codom(f) y m un multiplo de 3, se tiene f(m− 3) = m.Si m o es un multiplo de 3, entonces se tiene f(m) = m. LuegoIm(f) = ZZ

9. Sea f : P (IN) → P (IN), definida por f(X) = X ∩ A, dondeA = {4n; n ∈ IN}. Entonces Dom(f) = P (IN) y Im(f) ={{multiplos de 4}}. Es el conjunto formado por todos los con-juntos que solamente tienen mutiplos de 4.

10. Sea f : IN → IN definido por:

f(n) =

{n2; si n es par

n+32

; si n es impar

Im(f) = IN, pues dado m ∈ Codom(f) = IN, ∃ 2m ∈ IN tal quef(2m) = 2m

2= m. Al menos tiene a 2m como preimagen, pero

ademas puede venir de un numero impar, a saber: f(2m− 3) =(2m−3)+3

2= 2m

2= m

11. Sean A = {0, 1, ..., 99} y f : A → A; tal que f(a) = |a− 99|Tenemos que Dom(f) = A y Im(f) = A; En efecto, sea b ∈ A,entonces f(99− b) = |(99− b)− 99| = | − b| = b, pues b ≥ 0.

12. Sea s : Pf (IN) → IN, donde Pf (IN) denotara los subconjuntosfinitos de IN sin repetir numeros. Se define s por:

s({a1, a2, ..., an}) = a1 + a2 + · · ·+ an

Dom(s) = Pf (IN) y Im(s) = IN, pues dado n ∈ IN, basta tomar{n} ∈ Pf (IN) y se tiene s({n}) = n


13. Sean A = {1, 2, ..., n} y f : A → A; f(k) = n− k + 1.

Sea m ∈ Codom(f) = A, entonces f(n+1−m) = n−(n+1−m)+1 = m. Ademas tenemos que 1 ≤ m ≤ n, luego −1 ≥ −m ≥ −n,luego −1+n+1 ≥ n+1−m ≥ n+1−n, luego n ≥ n+1−m ≥ 1.Luego Im(f) = A

14. Sea f : ZZ → ZZ, definida por

f(z) =

−1; si z < 00; si z = 01; si z > 0

Llamada la funcion signo. En este caso Dom(f) = ZZ y Im(f) ={−1, 0, 1}.

15. Sea XZZ : IR → IR tal que

XZZ(x) =

{1; si x ∈ ZZ0; si x /∈ ZZ

Llamada la funcion cacterıstica de ZZ. Dom(XZZ) = IR, Codom(XZZ) =IR e Im(XZZ) = {0, 1}

16. Funcion de Dirichlet. Sea f : IR → IR, definida por:

f(x) =

{1; si x es racional0; si x no es racional

En este caso Dom(f) = IR y Im(f) = {0, 1}

17. Sea f : ZZ × ZZ → ZZ; f(a, b) = a + b + 2ab. Estudiemos eldominio y recorrido de f .

(a) Dom(f) = ZZ × ZZ, pues a todo par de numeros (a, b)enteros se les puede efectuar la operacion: a + b + 2ab.

(b) Rec(f) = ZZ. en efecto, dado z ∈ ZZ, tenemos que f(0, z) =0 + z + 2 · 0 · z = z, luego f(0, z) = z


18. Sea f : IN → IN tal que

f(n) =

{3n; si n es parn + 1; si n es impar

Dom(f) = IN, pues todo numero par puede ser multiplicado por3 y a todo numero impar se le puede sumar 1.

Veamos ahora su recorrido. Si n es impar, entonces f(n) es par.Por esto, Rec(f) contiene todos los numeros pares. Si n es par,f(n) contiene todos los multiplos de 6, los cuales tambien sonpares. Luego Rec(f) = {2n; n ∈ IN}

Definicion 5.1.3 Sean A y B dos conjuntos y f, g : A → B fun-ciones. Diremos que f es igual a g, denotado f = g ssi

1. Dom(f) = Dom(g)

2. f(a) = g(a), ∀a ∈ A

Ejemplos

1. Sean f, g : IR → IR; f(x) = (x + 1)(x − 1); g(x) = x2 − 1.Entonces se tiene que f = g

2. Sean f, g : IR → IR; f(x) = x2−1x+1

; g(x) = 1. Dom(f) = IR−{−1},Dom(g) = IR. Luego f 6= g, a pesar de tener f(x) = g(x),∀x ∈ IR− {−1}.

5.2 Propiedades de una funcion

Proposicion 5.2.1 Sea f : A → B una funcion. Sean X e Y dossubconjuntos cualesquieras de A, entonces

1. Si X ⊂ Y entonces f(X) ⊂ f(Y )

2. f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y )


3. f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y )

Demostracion.

1. Sea z ∈ f(X), luego z = f(x), cierto x ∈ X, luego z = f(x),cierto x ∈ Y , pues X ⊂ Y luego z ∈ f(Y )

2. Demostremos que f(X ∪ Y ) ⊂ f(X) ∪ f(Y ). En efecto sea y ∈f(X ∪ Y ), luego y = f(x), algun x ∈ X ∪ Y , luego y = f(x),algun x ∈ X o x ∈ Y , luego y ∈ f(X) o y ∈ f(Y ), luegoy ∈ f(X) ∪ f(Y ).

Demostremos ahora que f(X) ∪ f(Y ) ⊂ f(x ∪ Y ).

En efecto sea y ∈ f(X) ∪ f(Y ), luego y = f(x), cierto x ∈ X ox ∈ Y , luego y = f(x), cierto x ∈ X ∪ Y , luego y ∈ f(X ∪ Y )

3. En efecto, sea y ∈ f(X ∩ Y ), luego y = f(x), cierto x ∈ X ∩ Y ,es decir, y = f(x), cierto x ∈ X y x ∈ Y , luego y ∈ f(X)∩f(Y ).

Observacion. No se tiene necesariamente f(X) ∩ f(Y ) ⊂ f(X ∩ Y ).Por ejemplo consideremos

f : ZZ → ZZ; f(n) = |n|

Sea {−2,−1, 0}, Y = {0, 1, 2}. Tenemos que X ∩ Y = {0}, f(X) ={0, 1, 2}, f(Y ) = {0, 1, 2} y f(X)∩f(Y ) = {0, 1, 2} 6⊂ {0} = f(X∩Y )

5.3 Imagen recıproca

Observacion. Sea f : ZZ → ZZ; f(n) = |n|. Consideremos Y ={0, 1, 2} ⊂ Codom(f). Estamos interesados en todos los elementosde Dom(f) que tienen por imagen un elemento de Y . Tenemos quef−1 = {−2,−1, 0, 1, 2}. Diremos que f−1 es la ”imagen recıproca deY por f”.

Entonces tenemos la definicion siguiente:


Definicion 5.3.1 Sea f : A → B una funcion. Sea Y ⊂ B. Se llamaimagen recıproca de Y por f o preimagen de Y por f , alsubconjunto de A definido por:

f−1(Y ) = {x ∈ A; f(x) ∈ Y } = {x ∈ A;∃y ∈ Y tal que y = f(x)}

Es decir: x ∈ f−1 ssi f(x) ∈ Y . Tambien se dice: f−1(Y ) es la imageninversa de Y por f

Proposicion 5.3.1 Sea f : A → B una funcion. Sean X e Y dossubconjuntos cualesquieras de A, entonces

1. X ⊂ Y ⇒ f−1(X) ⊂ f−1(Y )

2. f−1(X ∪ Y ) = f−1(X) ∪ f−1(Y )

3. f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y )

4. f−1(X − Y ) = f−1(X)− f−1(Y )

Demostracion.

1. x ∈ f−1(X) → f(x) ∈ X ⇒ f(x) ∈ Y (pues X ⊂ Y ) ⇒ x ∈ Y .

2. (a) Tenemos

x ∈ f−1(X ∪ Y ) ⇒ f(x) ∈ X ∪ Y⇒ f(x) ∈ X o f(x) ∈ Y⇒ x ∈ f−1(X) o x ∈ f−1(Y )⇒ x ∈ f−1(X) ∪ f−1(Y )

(b) X ⊂ X ∪ Y y Y ⊂ X ∪ Y ⇒ f−1(X) ⊂ f−1(X ∪ Y ) yf−1(Y ) ⊂ f−1(X ∪ Y ).

Luego f−1(X) ∪ f−1(Y ) ⊂ f−1(X ∪ Y ).

3. (a) En efecto,

x ∈ f−1(X) ∩ f−1Y ) ⇒ x ∈ f−1(X) y x ∈ f−1(Y )⇒ f(x) ∈ X y f(x) ∈ Y⇒ f(x) ∈ X ∩ Y⇒ x ∈ f−1(X ∩ Y )


(b) X ∩ Y ⊂ X y X ∩ Y ⊂ Y . Por la proposicion anterior,f−1(X ∩ Y ) ⊂ f−1(X) y f−1(X ∩ Y ) ⊂ f−1(Y ). Luegof−1(X ∩ Y ) ⊂ f−1(X) ∩ f−1(Y )

4. (a) Tenemos

x ∈ f−1(X − Y ) ⇒ f(x) ∈ X − Y⇒ f(x) ∈ X y f(x) 6∈ Y⇒ x ∈ f−1(X) y x 6∈ f−1(Y )⇒ x ∈ f−1(X)− f−1(Y )

(b) En efecto

x ∈ f−1(X)− f−1(Y ) ⇒ x ∈ f−1(X) y x 6∈ f−1(Y )⇒ f(x) ∈ X y f(x) 6∈ Y⇒ f(x) ∈ X − Y⇒ x ∈ f−1(X − Y )

Definicion 5.3.2 Sea f : A → B y sea X ⊂ A. Una funcion g : X →B tal que g(x) = f(x) ∀x ∈ X es llamada la restriccion de f a X.La funcion g se denota por g|X . Luego la restriccion de f a X es lafuncion

f |X : X → B; f |X(x) = f(x)

Definicion 5.3.3 Sea f : A → B y sea Y ⊃ A. Entonces toda funcionh : Y → B tal que h(y) = f(y) ∀y ∈ A es llamada una extension def a Y

Nota. Dada f : A → B. La restriccion de f a un subconjunto X deA es unica, sin embargo hay mas de una extension a un conjunto Yque contenga a A.

5.4 Inyectividad, epiyectividad y biyec-

tividad

Observacion. Sea A = {a, b, c}, B = {1, 2} y f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}.Debido a que a y b tienen la misma imagen, diremos que f no es inyec-


tiva. Es decir una funcion deja de ser inyectiva cuando dos elementosdistintos tienen la misma imagen.

Definicion 5.4.1 Sea f : A → B. Diremos que f es inyectiva si

x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y)

Nota. La proposicion (x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y)) es logicamente equiv-alente a la proposicion (f(x) = f(y) ⇒ x = y). Para comprender elconcepto es mas evidente la primera version y para demostrar que unafuncion es inyectiva es preferible la segunda version.

Ejemplo. Sea f : IR → IR; f(x) = x2. Tenemos que f(−2) = 4y f(2) = 4. Luego f no es inyectiva. Sin embargo, la funcion g :IR+

0 → IR; g(x) = x2 es inyectiva. En efecto, si g(x1) = g(x2), entoncesx2

1 = x22. Luego x1 = x2, de donde g es inyectiva.

Observacion. Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2} y f = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}.Diremos que esta funcion no es epiyectiva pues el 2 no tiene preimagen.Es decir una funcion deja de ser epiyectiva cuando hay un elemento enel codominio que no tiene preimagen. Tenemos la definicion siguiente:

Definicion 5.4.2 Sea f : A → B una funcion. Diremos que

f epiyectiva si ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a)=b

Ejemplo. Sea f : IR → IR; f(x) = x2. Se tiene que f no es epiyectiva.Un contraejemplo es 6 ∃x ∈ IR tal que f(x) = −5.

Sin embargo g : IR → IR+0 ; g(x) = x2 es epiyectiva, pues dado y ∈ IR+

0 ,siempre existe x ∈ IR tal que g(x) = y, pues si tomamos x =

√y, se

tiene f(√

y) = (√

y)2 = y, pues y ≥ 0.

Definicion 5.4.3 Sea f : A → B una funcion. Diremos que f esbiyectiva ssi f es inyectiva y epiyectiva.

Ejemplo. Sea f : IR → IR; f(x) = 7x + 1

1. f es inyectiva. En efecto: f(x1) = f(x2) ⇒ 7x1 + 1 = 7x2 + 1 ⇒x1 = x2


2. f es epiyectiva. En efecto: dado y ∈ Codom(f), supongamos queexiste x ∈ IR tal que f(x) = y. Luego 7x+1 = y, luego x = y−1

7.

Luego f(y−17

) = y. De donde f es epiyectiva.

5.5 Composicion de funciones

Observacion. Sean A, B, C,D cuatro conjuntos,

f : A → B, g : C → D

tal que Im(f) ⊂ Dom(g). A todo x ∈ A, le corresponde un unicoy ∈ B tal que f(x) = y. A este y ∈ Im(f) (luego y ∈ Dom(g)),le corresponde un unico z ∈ D tal que z = g(y). Tenemos entoncesz = g(y) = g(f(x)). Y ası hemos definido una nueva funcion de A enD tal que a cada x ∈ A le asocia z = g(f(x)) en D.

Definicion 5.5.1 Esta nueva funcion es llamada g compuesta conf, se denota g ◦ f . Es decir, (g ◦ f)(x) = g(f(x))

Ejemplo. Sean f, g : ZZ → ZZ; f(x) = 2x − 5, g(x) = x2. Entonces(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x − 5) = 4x2 − 20x + 25. y (f ◦ g)(x) =f(g(x)) = f(x2) = 2x2 − 5.

En este caso ambas proposiciones tienen sentido y ambas son difer-entes.

Proposicion 5.5.1 Sea f : A → B entonces

f ◦ idA = f y idB ◦ f = f

Demostracion. En efecto,

(f ◦ idA)(x) = f(idA(x)) = f(x), ∀x ∈ A

(idB ◦ f)(x) = idB(f(x)) = f(x), ∀x ∈ A


Luego f◦idA = f y idB◦f = f . Oserve que las dos primeras igualdadesocurren en B y las otras dos igualdades son igualdades de funciones.

Nota. La composicion de funciones no es conmutativa.

Contraejemplo: Sean f, g : ZZ → ZZ; f(n) = n2 y g(n) = n + 3.

Entonces (g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(n2) = n2 + 3.

Por otra parte (f ◦ g)(n) = f(g(n)) = f(n + 3) = (n + 3)2. Luegog ◦ f 6= f ◦ g

Nota. En general no tiene sentido la composicion inversa. Observemosel caso siguiente: f, g : Q∗ → Q; f(r) = 2

r, g(r) = 0. Entonces (g ◦

f)(r) = 0 y f ◦ g no tiene sentido.

5.6 Funcion inversa

Nota. La relacion inversa de una funcion no es necesariamente unafuncion. Solamente en el caso de una funcion biyectiva podemos hablarde una funcion inversa.

Definicion 5.6.1 Se llama funcion inversa de una funcion biyec-tiva f : A → B, denotada f−1, a la funcion f−1 : B → A tal que acada elemento b ∈ B le hace corresponder el unico elemento a ∈ Acuya imagen por f es b. Es decir f−1(b) = a ssi f(a) = b. Diremosque f es invertible.

Ejemplo. Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} y f = {(1, b), (2, c), (3, a)}es biyectiva, luego existe f−1. Esta es f−1 = {(b, 1), (c, 2), (a, 3)}Ejemplo. Consideremos la funcion biyectiva f : IR → IR; f(x) =2x− 3. Busquemos su funcion inversa.

Como f es biyectiva, luego existe su funcion inversa f−1. Si f(x) =2x − 3, entonces f−1(2x − 3) = x. Escribamosla mas elegante: Seay = 2x − 3, luego x = y+3

2. Luego f−1(y) = y+3

2o tambien podemos

escribir f−1(x) = x+32

Nota. Sea f : A → B biyectiva. Puesto que f−1 : B → A tambien esuna funcion biyectiva, podemos hablar de su funcion inversa, denotada


(f−1)−1 : A → B. Tenemos (f−1)−1(x) = y ssi f−1(y) = x ssi f(x) = y∀x ∈ A. Luego (f−1)−1(x) = f(x) ∀x ∈ A. Luego (f−1)−1 = f .

Proposicion 5.6.1 Sea f : A → B una funcion biyectiva. Entoncesf−1 ◦ f = idA y f ◦ f−1 = idB

Demostracion. Sea f(x) = y, luego f−1(y) = x. Entonces

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(y) = x = idA(x) ∀x ∈ A

Por otra parte,

(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(y)) = f(x) = y = idB(y) ∀y ∈ B

Luego f−1 ◦ f = idA y f ◦ f−1 = idB.

Proposicion 5.6.2 Sean f, g : A → A biyectivas. Entonces

f ◦ g = g ◦ f = idA ssi g = f−1

Demostracion. Sea g = f−1, entonces por la proposicion anteriortenemos que f ◦ g = g ◦ f = idA.

Por otra parte, sea f ◦ g = g ◦ f = idA. Por demostrar

g(y) = f−1(y) ∀y ∈ A

es decir, por demostrar,

g(y) = x ⇔ f−1(y) = x ⇔ f(x) = y

es decir, por demostrar

g(y) = x ⇔ f(x) = y

En efecto,

g(y) = x ⇔ f(g(y)) = f(x) ⇔ (f ◦ g)(y) = f(x)

Pero f ◦ g = idA, luego idA(y) = f(x) ⇔ y = f(x).


Ejemplo. Sea f : IR → IR; f(x) = 2x + 5. Esta funcion es biyec-tiva. Calculemos su funcion inversa, f−1, utilizando el resultado recienobtenido.

(f ◦f−1)(x) = x⇒ f(f−1(x)) = x⇒ 2f−1(x)+5 = x⇒ f−1(x) = x−52

Ejemplo. Sea s : IN → IN∗; s(n) = n + 1. La funcion sucesor en IN.Busquemos s−1.

En efecto, s(s−1(n)) = idIN = n, n ∈ IN∗; luego s−1(n) + 1 = n, luegos−1(n) = n− 1, n ∈ IN∗ y tiene sentido pues n > 0.

Ejemplo. Sea X un conjunto y P (X) su conjunto potencia. Sea f :P (X) → P (X); f(X) = X, donde X denota el complemento de X.Esta funcion es biyectiva, luego podemos buscar su funcion inversa.

Se tiene (f ◦ f)(X) = f(X) = X = X. Luego f−1 = f .

Teorema 5.6.3 Consideremos las tres funciones siguientes:

f : A → B; g : B → C; h : c → D

tales queIm(f) ⊂ Dom(g), Im(g) ⊂ Dom(h)

y las funciones compuestas siguientes:

g◦f : A → C; h◦(g◦f) : A → D; h◦g : B → D; (h◦g)◦f : A → D

Entonces

1. Dom(h ◦ (g ◦ f)) = Dom((h ◦ g) ◦ f) (Igualdad de conjuntos).

2. h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (Igualdad de funciones).

Demostracion. La parte 1 es evidente por lo tanto demostraremossolo 2. En efecto

(h ◦ (g ◦ f))(a) = h((g ◦ f)(a)) = h(g(f(a))), ∀a ∈ A

Por otra parte

((h ◦ g) ◦ f)(a) = (h ◦ g)(f(a)) = h(g(f(a))) ∀a ∈ A


Luego (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). Puesto que la composicion es asociativapodemos obviar los parentesis y escribir simplemente h ◦ g ◦ f

Proposicion 5.6.4 (Composicion de funciones epiyectivas) Seanf : A → B y g : B → C con Im(f) ⊂ Dom(g) epiyectivas, entoncesla funcion g ◦ f : A → C es epiyectiva.

Demostracion. Sea c ∈ C. Puesto que g es epiyectiva, entonces c =g(b), cierto b ∈ B. Puesto que f es epiyectiva b = f(a), cierto a ∈ A.Luego c = g(b) = g(f(a)) = (g ◦ f)(a). Luego g ◦ f es epiyectiva.

Proposicion 5.6.5 (Composicion de funciones inyectivas) Seanf : A → B y g : B → C con Im(f) ⊂ Dom(g) inyectivas, entonces lafuncion g ◦ f : A → C es inyectiva.

Demostracion. En efecto

(g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(b) ⇒ g(f(a)) = g(f(b)) ⇒ f(a) = f(b) ⇒ a = b

Luego g ◦ f es inyectiva.

Proposicion 5.6.6 (Composicion de funciones biyectivas) Seanf : A → B y g : B → C biyectivas tal que Im(f) ⊂ Dom(g), entoncesla funcion compuesta g ◦ f : A → C tambien es biyectiva.

Proposicion 5.6.7 Sean f : A → B, g : B → C tal que Im ⊂Dom(g), entonces la funcion inversa de g ◦ f : A → C, denotada por(g ◦ f)−1, es la siguiente:

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

Demostracion. La funcion g ◦ f : A → C es biyectiva, luego existesu funcion inversa:

(g ◦ f)−1 : C → A

Las funciones (g ◦ f)−1 : C → A y f−1 ◦ g−1 : C → A tienen el mismodominio. Luego son iguales si se cumple (g ◦ f)−1(c) = (f−1 ◦ g−1)(c)∀c ∈ C.

Sea b = g−1(c), a = f−1(b). Luego


(f−1 ◦ g−1)(c) = f−1(g−1(c) = f−1(b) = a (*)

Ademas g(b) = c y f(a) = b

Luego c = g(f(a)) = (g ◦ f)(a), es decir

(g ◦ f)−1(c) = a (**)

De (*) y (**) se tiene que (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1. Luego se tiene laproposicion.

5.7 Funciones biyectivas sobre conjuntos

finitos o permutaciones

Observacion. Consideremos un conjunto formado por tres elementos.Por ejemplo I3 = {1, 2, 3}. Nuestra primera tarea sera encontrar todaslas funciones biyectivas en I3. Denotemoslas por f1, f2, ..., f6

1. Sea f1 definida por f1(1) = 1, f1(2) = 2, f1(3) = 3. Para escribirmas simplificado, usemos la siguiente notacion:

f1 =(

1 2 31 2 3

)

2. Sea f2 definida por f2(1) = 1, f2(2) = 3, f2(3) = 2. Escribimos:

f2 =(

1 2 31 3 2

)

3. Sea f3 definida por: f3(1) = 2, f3(2) = 1, f3(3) = 3. Escribimos:

f3 =(

1 2 32 1 3

)

4. Definamos f4 =(

1 2 32 3 1

), f5 =

(1 2 33 1 2

)f6 =

(1 2 33 2 1

)


¡Obvio que no hay mas funciones biyectivas ! Cada una de estas fun-ciones es llamada una permutacion. Diremos que f1, f2, ..., f6 sontodas las permutaciones de I3. Sea GI = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}Observacion. Consideremos el conjunto de tres elementos

B3 = {∗,4, 2}

Queremos encontrar todas las funciones biyectivas de B3.

Denotemoslas por g1, g2, ..., g6. Las definimos como sigue:

g1 =( ∗ 4 2

∗ 4 2

), g2 =

( ∗ 4 2

∗ 2 4

), g3 =

( ∗ 4 2

4 ∗ 2

)

g4 =( ∗ 4 2

4 2 ∗

)g5 =

( ∗ 4 2

2 ∗ 4

)g6 =

( ∗ 4 2

2 4 ∗

)

No hay mas permutaciones. Entonces el conjunto formado por todaslas premutaciones de B3 es GB = {g1, g2, g3, g4, g5, g6}Observacion. GI tiene el mismo comportamiento que GB.

Definicion 5.7.1 S3 denotara el conjunto formado por todas las per-mutaciones de un conjunto formado por 3 elementos.

5.7.1 Permutaciones de In

Consideremos un conjunto formado por n elementos In = {1, 2, ..., n}.Denotemos por Sn el conjunto formado por todas las biyecciones de In

en In. Estas biyecciones son llamadas permutaciones de n elementos.

Notacion: f : In → In sera denotada

f =(

1 2 ... nf(1) f(2) ... f(n)

)

Existe una permutacion identidad, denotada id y esta definida por

id =(

1 2 3 ... n1 2 3 ... n

)


Dada la permutacion

f =(

1 2 3 · · · nf(1) f(2) f(3) · f(n)

)existe f−1 definida por:

f−1 =(

f(1) f(2) f(3) · · · f(n)1 2 3 · · · n

)

Ejemplo. Sea f =(

1 2 3 44 2 1 3

)

Entonces f−1 =(

4 2 1 31 2 3 4

)=(

1 2 3 43 2 4 1

)

Definicion 5.7.2 La composicion de estas funciones biyectivas serallamada producto de permutaciones.

Ejemplo. Sea f =(

1 2 3 44 2 1 3

)y g =

(1 2 3 43 4 1 2

)

g ◦ f =(

1 2 3 43 4 1 2

)(1 2 3 44 2 1 3

)(g ◦ f)(4) = g(f(4)) = g(3) = 1; es decir, 4 7→ 3 7→ 1

(g ◦ f)(3) = g(f(3)) = g(1) = 3; es decir, 3 7→ 1 7→ 3

(g ◦ f)(2) = g(f(2)) = g(2) = 4; es decir, 2 7→ 2 7→ 4

(g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(4) = 2; es decir, 1 7→ 4 7→ 2

Notacion: fn denotara f ◦ f ◦ · · · ◦ f , n veces

Ejemplos

1. Sea f =(

1 2 3 44 2 1 3

). Encontremos n tal que fn = id y luego

calculemos f 200.

En efecto

f 2 =(

1 2 3 44 2 1 3

)·(

1 2 3 44 2 1 3

)=(

1 2 3 43 2 4 1

)


f 3 = f 2◦f =(

1 2 3 43 2 4 1

)·(

1 2 3 44 2 1 3

)=(

1 2 3 41 2 3 4

)= id

Cada vez que tengamos f 3 tendremos la identidad.

Calculemos f 200. Tenemos que 200 = 3 · 66 + 2. Luego

f 200 = f 3·66+2 = (f 3)66f 2 = id66 · f 2 = f 2 =(

1 2 3 43 2 4 1

)

2. Sean f, g ∈ S5 definidas por

f =(

1 2 3 4 55 1 4 2 3

)y g =

(1 2 3 4 53 4 2 5 1

)

Busquemos h ∈ S5 de manera que g = h ◦ f .

En efecto, para obtener las imagenes de h lo hacemos de la man-era siguiente:

g(5) = 1; f(5) = 3, luego h(3) = 1. Ası g(5) = (h ◦ f)(5)

g(4) = 5; f(4) = 2, luego h(2) = 5

g(3) = 2; f(3) = 4; luego h(4) = 2

g(2) = 4; f(2) = 1; luego h(1) = 4

g(1) = 3; f(1) = 5; luego h(5) = 3

Luego tenemos:(1 2 3 4 53 4 2 5 1

)=(

1 2 3 4 54 5 1 2 3

)·(

1 2 3 4 55 1 4 2 3

)Tambien podrıamos haber hecho el calculo de la manera sigu-iente:

g = h ◦ f ⇒ g ◦ f−1 = h. Tenemos

(1 2 3 4 53 4 2 5 1

)(5 1 4 2 31 2 3 4 5

)=(

1 2 3 4 54 5 1 2 3

)


3. Sea θ =(

1 2 3 4 55 3 1 2 4

). Busquemos el menor n ∈ IN, tal que

θn = id. Ademas busquemos el valor de θ2.001 y θ−1

En efecto

θ2 =(

1 2 3 4 55 3 1 2 4

)(1 2 3 4 55 3 1 2 4

)=(

1 2 3 4 54 1 5 3 2

)

θ3 =(

1 2 3 4 54 1 5 3 2

)(1 2 3 4 55 3 1 2 4

)=(

1 2 3 4 52 5 4 1 3

)

θ4 =(

1 2 3 4 52 5 4 1 3

)(1 2 3 4 55 3 1 2 4

)=(

1 2 3 4 53 4 2 5 1

)

θ5 =(

1 2 3 4 53 4 2 5 1

)(1 2 3 4 55 3 1 2 4

)=(

1 2 3 4 51 2 3 4 5

)Luego θ5 = id y 5 es el menor numero que cumple esta condicion.

Busquemos θ2.001. Se tiene que 2.001 = 5 ·400+1. Luego θ2.001 =θ5·400+1 = (θ5)400 · θ1 = id400 · θ = θ.

Luego θ2.001 = θ.

5.8 Funciones sobre conjuntos finitos

5.8.1 Propiedades

Principio del palomar o principio de los casilleros

Si se tienen n nidos y m palomas y m > n (mas palomas que nidos),entonces hay al menos dos palomas que ocupan el mismo nido.

Ejemplo. Si hay 8 personas entonces hay al menos dos personas quenacieron el mismo dıa de la semana.

Proposicion 5.8.1 Sea f : A → B; |A| = m, |B| = n y m < n.Entonces f no puede ser epiyectiva.

Demostracion. Supongamos que f es epiyectiva. Como a B lleganal menos n flechas, entonces hay al menos n flechas que parten desde


A. Luego hay al menos un elemento de A del cual parten dos flechas.Luego f no es funcion. Lo cual es una contraccion. Luego f no esepiyectiva.

Proposicion 5.8.2 Sea f : A → B; |A| = m, |B| = n y m > n.Entonces f no puede ser inyectiva.

Demostracion. En A hay m elementos, luego parten m flechas desdeA, luego llegan a B m flechas. Puesto que m > n entonces hay almenos dos flechas que llegan al mismo elemento en B. Luego f no esepiyectiva.

Proposicion 5.8.3 (Todo o nada) Sea f : A → B; |A| = m, |B| =n (es decir A y B finitos) Entonces

1. Si f biyectiva entonces |A| = |B|

2. Si |A| = |B| = n entonces f es epiyectiva ssi f es inyectiva.

Demostracion.

1. Sea f biyectiva. En A hay m elementos. Luego parten m flechasdesde A, Luego llegan m flechas a B. Puesto que f es inyectivahay m elementos en la imagen. Por ser epiyectiva, en el Codo-minio hay m elementos. Luego |A| = |B|

2. Sea |A| = |B| = n entonces

(a) Sea f epiyectiva. Por demostrar que f es inyectiva.

En A y en B hay la misma cantidad de elementos. Puestoque f es epiyectiva, entonces llegan al menos n flechas aB. Luego parten al menos n flechas desde A y puesto queen A hay exactamente n elementos, entonces no puedenhaber dos elementos que tengan la misma imagen, luego fes inyectiva.

(b) Sea f inyectiva. Por demostrar que f epiyectiva. En A hayn elementos, luego parten n flechas. Puesto que f es inyec-tiva, llegan n flechas a B a elementos distintos. Como en


B hay exactamente n elementos distintos, se tiene que f esepiyectiva.

Observacion. Sean I = {1, 2, 3}, f : P (I) → {n, s}× {n, s}× {n, s},definida por:

f(∅) = (n, n, n) ; f({1}) = (s, n, n);f({2}) = (n, s, n) ; f({3}) = (n, n, s);

f({1, 2}) = (s, s, n) ; f({1, 3}) = (s, n, s);f({2, 3}) = (n, s, s) ; f({1, 2, 3}) = (s, s, s)

Esta funcion es biyectiva. Luego en el dominio y en el codominio hayla misma cantidad de elementos. Luego |P (I)| tiene 23 elementos.

En general se tiene la proposicion siguiente:

Proposicion 5.8.4 Existe una biyeccion de P (I) en {n, s}m dondeI = {1, 2, ...,m}

Demostracion. Sea f : P (I) → {n, s}m; definida por

f({i1, i2, ..., ip}) = x = (x1, x2, ..., xm)

donde, xk = s ssi k ∈ {i1, i2, ..., ip} y xk = n ssi k /∈ {i1, i2, ..., ip}

1. Demostremos que f es epiyectiva. Dado x = (x1, x2, ..., xm) ∈{n, s}m, le asociamos el subconjunto X = {i ∈ I; xi = s}.Por ejemplo. Sea (n, s, s, n, s, n, s, n, ..., n) ∈ {n, s}m. Entoncesexiste X tal que f({2, 3, 5, 7}) = (n, s, s, n, s, n, s, n, ..., n)

2. Demostremos que f es inyectiva. Sean

f({i1, i2, ..., ip}) = (x1, x2, ..., xm) y

f({j1, j2, ..., jq}) = (y1, y2, ..., ym)

Supongamos f({i1, i2, ..., ip}) = f({j1, j2, ..., jq}),luego (x1, x2, ..., xp) = (y1, y2, ..., yq), es decir xk = yk, luegoik = jk ∀k ∈ {1, 2, ..., p}, de donde f es inyectiva.


Corolario 5.8.5 Sea I = {1, 2, ...,m}. Entonces |P (I)| = 2m = 2|I|

Demostracion. |P (I)| = |{n, s}m| = 2m = 2|I|

Proposicion 5.8.6 El numero de subconjuntos de un conjunto finitoA es 2|A|

Demostracion. Sea A un conjunto tal que |A| = m. Luego existe unabiyeccion

f : A → I = {1, 2, ...,m}

Luego |P (A)| = P (I) = 2m = 2|A|

5.8.2 Numero de funciones entre dos conjuntosfinitos

Observacion. Sea A = {1, 2}, B = {a, b, c}. Buscamos el numero defunciones que se pueden tener de A en B. Tenemos:

La imagen de 1 puede ser obtenida de 3 maneras diferentes. La imagende 2 tambien se puede obtener de tres maneras diferentes. Luego elnumero de funciones distintas de A en B es 32

Observacion. Sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. La imagen de 1 puedeser elegida de 2 maneras diferentes. Idem para 2 y para 3. Luego elnumero de funciones distintas de A en B es 23.

Veamos otra manera de obtener este resultado. Consideremos F (A, B) ={f : A → B}. Construyamos una biyeccion:

ϕ : F (A, B) → B ×B ×B

definida por ϕ(f(a1, a2, a3)) = (f(a1), f(a2), f(a3))

Luego |F (A, B)| = 23. Por ejemplo la funcion f tal que f(1) = a,f(2) = a, f(3) = b es llevada al trıo (a, a, b). En general, la funcion ftal que f(1) = x, f(2) = y, f(3) = z es llevada al trıo (x, y, z), dondex, y, z ∈ {a, b}


Proposicion 5.8.7 Sea |A| = m, |B| = n. Entonces el numero defunciones de A en B es nm.

Demostracion. Sea

ϕ : F (A, B) → Bm; f 7→ ϕ(f)

tal que sif(a1) = bi1 , f(a2) = bi2 , · · · , f(am) = bim

Entoncesϕ(f) = (bi1 , bi2 , ..., bim) ∈ Bm

Tenemos que ϕ es una biyeccion. Luego |F (A, B)| = nm.

Observacion. Sea A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d, e}. Buscamos elnumero de funciones inyectivas entre A y B.

El 1 tiene 5 posibles imagenes. El 2 tiene 4 posibles imagenes. El 3tiene 3 posibles imagenes. Luego hay 5 · 4 · 3 funciones inyectivas de Aen B. Tenemos que 5 · 4 · 3 puede ser escrito como sigue: 5!

(5−3)!. Esto

nos induce a la proposicion siguiente:

Proposicion 5.8.8 Sean A y B dos conjuntos finitos tal que |A| = m,|B| = n y |A| ≤ |B|. Entonces el numero de funciones inyectivas de

A en B esn!

(n−m)!.

Demostracion. Para la primera componente hay n posibilidades.Para la segunda componente hay n− 1 posibilidades. Para la terceracomponente hay n − 2 posibilidades, etc. Son m componentes luego

hayn!

(n−m)!funciones inyectivas.

Corolario 5.8.9 Si |A| = |B| = n. Entonces el numero de funcionesinyectivas es n!

Corolario 5.8.10 Sean A y B dos conjuntos tal que |A| = m, |B| =n y m ≤ n. Entonces existen m! funciones inyectivas que tienen elmismo conjunto imagen.


Proposicion 5.8.11 Sean A y B dos conjuntos tal que |A| = m,|B| = n y m ≤ n. Entonces el numero de clases de funciones inyectivas

con distinto conjunto imagen es(

nm

)=

n!

(n−m)!m!.

5.9 Algunas funciones sobre conjuntos no

finitos

El sentido comun nos dice que ZZ tiene el doble de elementos que IN.Sin embargo en el infinito el sentido comun falla. En efecto se tiene lasiguiente proposicion

Proposicion 5.9.1 Se puede establecer una biyeccion entre IN y ZZ.

Demostracion. La funcion definida por f : IN → ZZ, tal que

f(n) =

(−1)n+1 · n

2; si n es par

(−1)n+1 · n + 1

2; si n es impar

es una funcion biyectiva.

Nota. Diremos que IN y ZZ tienen el mismo cardinal, es decir el mismonumero de elementos.

Ejercicio. Se puede establecer una biyeccion entre IN y el conjuntode los numeros naturales pares.

Solucion. Construimos una biyeccion de la siguiente manera:

f : IN → {n ∈ IN; n es par}; f(n) = 2n.

Ejercicio propuesto. Establezca una biyeccion entre:

1. IN y {n ∈ IN; n es impar}

2. IN y {n2; n ∈ IN}


3. IN y {n3; n ∈ IN}.


1. Sea f : P (IN) → P (IN); f(X) = X ∪ {2}. Estudiemos estafuncion.

Solucion. Tenemos que Dom(f) = P (IN), pues todo subcon-junto de P (IN) puede ser unido al conjunto formado por el 2.

La Im(f) es el conjunto formado por todos los subconjuntos deIN que contienen el 2.

Afirmacion: f no es inyectiva. En efecto, podemos dar comocontraejemplo f({1, 2}) = f({1}) = {1, 2} y {1, 2} 6= {1}Afirmacion: f no es epiyectiva. Vimos que la imagen esta for-mada por todos los subconjuntos que tiene el 2. Por ejemplo {3}no tiene preimagen.

2. Sea g : P (IN) → P (IN); g(X) = X ∩ {2}. Estudiemos laspropiedades de g.

Solucion. Dom(g) = IN, pues todo subconjunto de IN puede serintersectado con {2}.Ademas Im(g) = {∅, {2}}.Afirmacion: f no es inyectiva. En efecto g({1, 2, 3, 5}) = g({2, 7}) ={2} y {1, 2, 3, 5} 6= {2, 7}.Afirmacion: g no es epiyectiva, pues Im(g) = {∅, {2}} 6=Codom(g) o bien Contraejemplo: dado {1} ∈ Codom(g) =P (IN), 6 ∃X ∈ Dom(g) tal que g(X) = {1}

3. Sea h : P (IN) → P (IN); h(X) = X − {2}. Estudiemos h.

Solucion. Dom(h) = P (IN). El conjunto Im(h) esta formadopor todos los subconjuntos de P (IN) que no contienen el numero2.

Afirmacion: h no es inyectiva. En efecto h({1, 2, 3}) = h({1, 3}) ={1, 3} y {1, 2, 3} 6= {1, 3}.


Afirmacion: h no es epiyectiva. Vimos que Im(h) es subconjuntoestricto del Codom(h), por ejemplo {2} ∈ Codom(h) y 6 ∃X ∈Dom(h) tal que h(X) = {2}, es decir tal que X − {2} = {2}

4. Sea U un conjunto. Definamos f : P (U) → P (U) por f(X) = X.Estudiemos f .

Solucion. Dom(f) = P (U), pues a todo subconjunto de U , sele puede tomar su complemento.

Im(f) = P (U), dado Y ∈ Codom(f), ∃X = Y tal que f(X) =

X = Y = Y

Afirmacion: f es inyectiva. En efecto, f(X1) = f(X2) ⇒ X1 =X2 ⇒ X1 = X2

Afirmacion: f es epiyectiva, pues Im(f) = Codom(f)

5. Sea f : ZZ → ZZ; f(a) = a2 + 1. Estudiemos f

Solucion. Dom(f) = ZZ, pues todo numero entero puede serelevado a 2 y sumarle 1.

Im(f) = {a2 + 1; a ∈ ZZ} = {1, 2, 5, 10, 17, 26, ...}

Afirmacion: f no es inyectiva, pues f(a) = f(−a) ∀a ∈ ZZ

Afirmacion: f no es epiyectiva. Contraejemplo: Dado 3 ∈ Codom(f) =ZZ, 6 ∃a ∈ ZZ tal que f(a) = 3

6. Sea f : P (IN) → P (IN) tal que f(A) = A ∩ B, donde B ={x2; x ∈ IN}. Estudiemos f .

Solucion. Dom(f) = P (IN), pues todo conjunto de P (IN) puedeser intersectado con B. La Im(f) es el conjunto formado por to-dos los subconjuntos que tienen solamente cuadrados perfectos.

f no es inyectiva. En efecto, f({1, 2, 3, 5}) = f({1, 2, 7, 8}) = {1}

f no es epiyectiva. En efecto, dado {1, 2, 3} ∈ Codom(f) =P (IN), 6 ∃X ∈ Dom(f) tal que f(X) = {1, 2, 3}.

7. Sea g : IN → IN definida por g(n) = n + 5. Estudiemos si f esinyectiva o epiyectiva.


Solucion. Estudiemos si es inyectiva. Sea g(n) = g(m), luegon + 5 = m + 5, cancelando el 5, tenemos n = m. Es decir f esinyectiva.

Estudiemos si f es epiyectiva. Sea m ∈ IN y supongamos queexiste n ∈ IN tal que g(n) = m, luego n + 5 = m. Observemosque los numeros 1, 2, 3, 4 no tienen preimagen. Luego f no esepiyectiva. Podrıamos haber pensado, cuando g(m − 5) = mtiene sentido.

8. Sea s : IN → IN; s(n) = n + 1. Estudiemos si s es inyectiva oepiyectiva.

Solucion. Veamos si s es inyectiva. Sea s(n) = s(m), luegon + 1 = m + 1, cancelando el 1, tenemos n = m. Luego s esinyectiva.

Por otra parte, s no es epiyectiva ya que no existe n ∈ IN tal ques(n) = 0. Luego 0 6∈ Im(s), sin embargo 0 ∈ Codom(s).

9. Sea f : IN → IN definida por:

f(n) =

{2n; si n es parn + 1; si n impar

Estudiemos si f es inyectiva o epiyectiva.

Solucion. Tenemos que f no es inyectiva. Contraejemplo: f(4) =8 y f(7) = 8.

Ademas f no es epiyectiva, pues la imagen de f esta formada porlos numeros pares solamente y Codom(f) es todo IN. Im(f) ={2m; m ∈ IN} 6= Codom(f)

10. Sea f : ZZ → ZZ tal que f(n) = 4n + 5. Estudiemos si f esinyectiva, busquemos Im(f) y estudiemos si es epiyectiva

Solucion. f es inyectiva. En efecto, sea f(n) = f(m), entonces4n + 5 = 4m + 5, luego n = m

Busquemos Im(f). Sea m ∈ Codom(f) = ZZ. Supongamos que∃n ∈ ZZ talque f(n) = m, es decir tal que 4n+5 = m. Entoncesm tiene preimagen ssi m−5

4es un numero entero ssi m − 5 es


un multiplo de 4. Por ejemplo, 5, 9, 13, ..., 5 + 4n, ..., es decirIm(f) = {5 + 4z; z ∈ ZZ}. Luego f no es epiyectiva.

11. Sea f : ZZ → ZZ tal que f(n) = 4n2 + 5. Estudiemos si f esinyectiva. Busquemos Im(f) y luego concluyamos si f es epiyec-tiva.

Solucion. Tenemos que f no es inyectiva, pues f(a) = f(−a),∀a ∈ ZZ.

Sea m ∈ Im(f), luego 4n2 + 5 = m, cierto n ∈ ZZ. Luego unnumero esta en la imagen de f si al restarle 5 es 4 veces uncuadrado perfecto. Es decir Im(f) = {4n2 + 5; n ∈ ZZ} 6= ZZ

12. Sea f : IN → IN definida por

f(n) =

{n + 3; si n es multiplo de 3n; si n no es multiplo de 3

Estudiemos si f es inyectiva o epiyectiva.

Solucion. Estudiemos si f es inyectiva. Sea f(n) = f(m), luegotenemos los casos siguientes:

(a) Si n y m son multiplos de 3, entonces n + 3 = m + 3.Cancelando el 3, tenemos n = m

(b) Si n es multiplo de 3 y m no es multiplo de 3, entoncesn + 3 = m. Pero n + 3 tambien es un multiplo de 3. Con-tradiccion, luego no se tiene este caso.

(c) Si n y m no son multiplos de 3, entonces n = m.

Entonces f es inyectiva

f no es epiyectiva, pues no existe n ∈ IN tal que f(n) = 0. Masaun Im(f) = IN∗

Nota. Si consideramos f : ZZ → ZZ con la misma escrituraanterior entonces f es epiyectiva. En efecto, sea m ∈ ZZ entonces:

(a) m es multiplo de 3. Luego f(m − 3) = m, pues m − 3tambien es multiplo de 3.


(b) m no es multiplo de 3, entonces f(m) = m.

13. Sean A = {0, 1, 2, ..., 99} y f : A → A tal que f(a) = |a − 99|.Estudiemos si f es inyectiva o epiyectiva.

Solucion. Puesto que a ∈ A, a− 99 ≤ 0 y |a− 99| = 99− a

(a) Sea f(a) = f(b), luego 99 − a = 99 − b, luego a = b. Esdecir f es inyectiva.

(b) Sea b ∈ A. Supongamos que existe a ∈ A tal que f(a) = b.Luego 99−a = b. Luego a = 99− b. Pregunta ¿99− b ∈ A?En efecto 0 ≤ b ≤ 99, luego 0 ≥ −b ≥ −99. Sumemos 99.Tenemos 99 ≥ 99−b ≥ 0. Luego 99−b ∈ A y f(99−b) = b.Luego f es epiyectiva.

14. Sea A = IR × IR∗ y f : A → A tal que f(a, x) = (ax, 2x).Demostremos que f es biyectiva.

Solucion.

(a) Por demostrar que f es inyectiva.f(a, x) = f(b, y)⇒ (ax, 2x) =(by, 2y) ax = by y 2x = 2y ⇒ y = x y a = b. Luego(a, x) = (b, y), es decir f es inyectiva.

(b) Por demostrar que f es epiyectiva. Sea (b, y) ∈ Codom(f).Supongamos que existe (a, x) ∈ A tal que f(a, x) = (b, y).Luego (ax, 2x) = (b, y) ⇒ ax = b y 2x = y ⇒ x = 1

2y y

a = bx⇒ x = 1

2y y a = 2b

y. Luego f(2b

y, 1

2y) = (b, y) (Notese

que y 6= 0). Es decir f es epiyectiva.

(c) Por los dos casos anteriores f es biyectiva.

15. Sea f : ZZ × ZZ → ZZ; f(a, b) = a + b + 2ab. Estudiemos si f esinyectiva o epiyectiva o ambas a la vez.

(a) f no es inyectiva. Contraejemplo: f(2, 1) = f(1, 2) = 7

(b) f es epiyectiva. Sea b ∈ ZZ. Tenemos que f(b, 0) = b, luegotiene como preimagen (b, 0) ∈ ZZ × ZZ

16. Sea f : IR → IR; f(x) = x + 3. Busquemos fn.

Solucion.


(a) f 2(x) = f(f(x)) = f(x+3) = (x+3)+3 = x+2·3. Por otraparte f 3(x) = f(f 2(x)) = f(x+2·3) = (x+2·3)+3 = x+3·3

(b) Hipotesis de induccion. fn(x) = x + n · 3(c) Por demostrar fn+1(x) = x + (n + 1) · 3. En efecto,

fn+1(x) = f(fn(x)) = f(x+n·3) = (x+·3)+3 = x+(n+1)·3


f(n) =

{n + 2; si n es parn + 1; si n impar

Busquemos fn

Solucion.

(a) Si n es par: f 2(n) = f(n + 2) = (n + 2) + 2 = n + 2 · 2.

Si n es impar: f 2(n) = f(n + 1) = (n + 1) + 2

Si n es par: f 3(n) = f(n + 2 · 2) = (n + 2 · 2) + 2 = n + 3 · 2Si n es impar: f 3(n) = f((n + 1) + 2) = ((n + 1) + 2) =((n + 1) + 2) + 2 = (n + 1) + 2 · 2

(b) Hipotesis de induccion

fm(n) =

{n + m · 2; si n es par(n + 1) + (m− 1) · 2; si n impar

(c) Por demostrar:

fm+1(n) =

{n + (m + 1) · 2; si n es par(n + 1) + m · 2; si n impar

Si n es par:

fm+1(n) = f(fm(n)) = f(n+m·2) = (n+m)+2 = n+(m+1)·2

Si n es impar:

fm+1(n) = f(fm(n)) = f((n + 1) + (m− 1) · 2)= (n + 1) + (m− 1) · 2 + 2= (n + 1) + m · 2

Por (a), (b) y (c) tenemos que la hipotesis de induccion esverdadera para todo numero natural.


18. Sea fa,b : IR → IR; fa,b(x) = ax + b. Busquemos fna,b

Solucion.

(a) Para n = 2 y n = 3 tenemos:

f 2a,b(x) = fa,b(fa,b(x)) = fa,b(ax + b) = a(ax + b) + b

= a2x + ab + b

f 3a,b(x) = f(a2x + ab + b) = a(a2x + ab + b) + b

= a3x + a2b + ab + b

(b) Hipotesis de induccion: fna,b(x) = anx + an−1b + · · ·+ ab + b

(c) Por demostrar fn+1a,b (x) = an+1x + anb + · · · + ab + b. En

efecto,

fn+1a,b (x) = fa,b(f

na,b(x)) = fa,b(a

nx + an−1b + · · ·+ ab + b)= a(anx + an−1b + · · ·+ ab + b) + b= an+1x + anb + · · ·+ a2b + ab + b

Por (a), (b) y (c) se tiene que:

fna,b(x) = anx + an−1b + · · ·+ ab + b

19. Sea A no vacıo, f : A → A, una funcion. Definimos fn : A → A,por medio de la recurrencia f 0 = f , fn+1 = fn◦f . Demostremosque:

(1) f biyectiva ⇒ fn biyectiva.

(2) f biyectiva ⇒ (fn)−1 = (f−1)n

Solucion (1)

(a) Para n = 2 tenemos

f 2(x1) = f 2(x2) ⇒ f(f(x1)) = f(f(x2)) ⇒ f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2

Luego f 2 es inyectiva

(b) Hipotesis de induccion. Supongamos que fn es inyectiva.


(c) Por demostrar que fn+1 es inyectiva.

fn+1(x1) = fn+1(x2) ⇒ (fn ◦ f)(x1) = (fn ◦ f)(x2)⇒ fn(f(x1)) = fn(f(x2))⇒ f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2

Luego fn+1 es inyectiva.

Por (a), (b) y (c) tenemos que fn es inyectiva ∀n ∈ IN. Laepiyectividad queda de tarea.

Solucion (2)

(a) n = 1 tenemos (f 1)−1 = f−1 = (f−1)1

(b) Hipotesis de induccion. Supongamos que (fn)−1 = (f−1)n

(c) Por demostrar: (fn+1)−1 = (f−1)n+1. En efecto,

(f−1)n+1 = (f−1)n◦f−1 = (fn)−1◦f−1 = (f◦fn)−1 = (fn+1)−1

Por (a), (b) y (c) tenemos que la proposicion es valida para todonumero natural n.

Capıtulo 6

Estructuras Algebraicas

6.1 Ley de composicion interna

En este capıtulo vamos a trabajar con conjuntos y operaciones definidasen ellos. Estudiaremos algunas propiedades que cumplen en cada caso.

Por ejemplo estudiaremos IN y la suma ahı definida. O bien ZZ con lasuma o el producto ahı definidos.

Comencemos por estudiar algunos casos.

Observacion. Cuando estudiamos las proposiciones logicas, vimosque su valor de verdad podıa ser Verdadero o Falso. Sea B = {F, V }.Pensemos en B con los conectivos ”∨” e ”∧” separadamente.

∨ V FV V VF V F

∧ F VF F FV F V

Puesto que al componer dos elementos de B obtenemos un elementode B, diremos que ”∨” e ”∧” son ”leyes de composicion interna deB”.

Observamos que (B,∨) tiene el mismo comportamiento que (B,∧),solo que F y V hacen el comportamiento cambiado.

187


Observacion. Consideremos ZZ2 = {0, 1} con la operacion suma:

+ 0 10 0 11 1 0

Diremos que la suma es una ”ley de composicion interna” de ZZ2

Observacion. Consideremos ZZ3 = {0, 1, 2} sin el 0, es decir ZZ∗3 =

{1, 2} con la multiplicacion siguiente:

· 1 21 1 22 2 1

Diremos que · es una ”ley de composicion interna” de ZZ3. Observa-mos que (ZZ2, +) tiene un comportamiento analogo a (ZZ3∗, ·). Bastacambiar el 0 de ZZ2 por el 1 de ZZ3 y el 1 de ZZ2 por el 2 de ZZ3.

Diremos que tienen la misma ”estructura algebraica”

Definicion 6.1.1 Sea A un conjunto no vacıo. Diremos que ∗,

∗ : A −→ A; (x, y) → x ∗ y

es una ley de composicion interna en A, debido a que al com-poner dos elementos de A obtenemos un elemento de A. Abreviaremossimplemente l.c.i.

Definicion 6.1.2 Un conjunto dotado de una ley de composicion in-terna es llamado una estructura algebraica. Diremos que (A, ∗) esuna estructura algebraica.

Tambien diremos que ”A es cerrado para ∗”.

Ejemplos

1. La multiplicacion es una l.c.i. en IN. Diremos tambien que (IN, ·)es una estructura algebraica. O bien que IN es cerrado para lamultiplicacion.

Capıtulo 6. Estructuras Algebraicas 189

2. La multiplicacion es una l.c.i. en ZZ, pues la multiplicacion dedos numeros enteros es un numero entero. O bien diremos que(ZZ, ·) es una estructura algebraica, o bien diremos que ZZ escerrado para la multiplicacion.

3. ZZ no es cerrado para la division, pues la division de dos numerosenteros no es siempre un numero entero. O bien, ZZ con la di-vision no es una estructura algebraica. O bien la division no esuna l.c.i. en ZZ

4. IN con la resta no es una estructura algebraica.

5. La multiplicacion es una l.c.i. en Q y tambien en IR

6.1.1 Propiedades de una l.c.i. en un conjunto

Definicion 6.1.3 Diremos que una l.c.i. ∗ es asociativa en un con-junto A si

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; ∀x, y, z ∈ A

Ejemplos

1. La multiplicacion es una l.c.i. asociativa en ZZ, pues

a · (b · c) = (a · b) · c; ∀a, b, c ∈ ZZ

2. La resta no es asociativa en ZZ. La elevacion a potencia tampocolo es. Contraejemplo

(22)3 = 26; 2(23) = 28

Definicion 6.1.4 Diremos que una l.c.i. ∗ es conmutativa en A si

x ∗ y = y ∗ x; ∀x, y ∈ A

Ejemplos


1. La suma y la multiplicacion son conmutativas en IN, ZZ y Q

2. La resta y la division no son conmutativas en IN, o bien en ZZ,etc.

Definicion 6.1.5 Dadas dos l.c.i. en A, ∗ y / , entonces ∗ se dis-tribuye con respecto a / ssi

x ∗ (y / z) = (x ∗ y) / (x ∗ z); ∀x, y, z ∈ A

Ejemplos

1. En ZZ tenemos que la suma y el producto son l.c.i. Ocurre queel producto se distribuye con respecto a la suma. Es decir:

a · (b + c) = a · b + a · c; ∀a, b, c ∈ ZZ

2. En un conjunto formado por proposiciones logicas, se tiene que ∨se distribuye con respecto a ∧ y recıprocamente ∧ se distribuyecon respecto a ∨ En efecto:

p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

3. Sea A un conjunto y P (A) su conjunto potencia. En P (A) setiene

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Es decir, la interseccion se distribuye con respecto a la union enP (A) y en el segundo caso, la union se distribuye con respectoa la interseccion en P (A)

Definicion 6.1.6 Una l.c.i. ∗ sobre A, admite un elemento neutroe si

e ∗ x = x ∗ e = x; ∀x ∈ A


Ejemplos

1. El 0 es el neutro para la suma en ZZ. El 1 es el neutro para elproducto en ZZ, pues

z + 0 = 0 + z = z; ∀z ∈ ZZ

1 · z = z · 1 = z; ∀z ∈ ZZ

2. Sea A = {funciones; f : IR → IR}, entonces idA : A → A es elneutro para la composicion en A. Se tiene

f ◦ idA = idA ◦ f = f ; ∀f ∈ A

3. Sea A = {e, a, b} con la multiplicacion dada por la siguientetabla:

∗ e a be e a ba a b eb b e a

Entonces e es el neutro con esta operacion ∗.

4. Sea A un conjunto y P (A) su conjunto potencia. Se tiene que

X ∪ ∅ = ∅ ∪X = X; ∀X ∈ P (A)

Luego ∅ es el neutro para la union en P (A). Ademas

X ∩ A = A ∩X = X; ∀X ∈ P (A)

Luego A es el neutro para la interseccion de conjuntos en P(A).

5. En ZZ4 consideremos su producto, el cual vemos en la siguientetabla:

· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Luego en ZZ4 el 1 es el elemento neutro.


Definicion 6.1.7 Un elemento z ∈ A es llamado cero o ab-sorbente en A con respecto a una l.c.i. ∗ si:

z ∗ x = x ∗ z = z; ∀x ∈ A

Ejemplos

1. El 0 es absorbente con respecto a la multiplicacion en ZZ.

2. Sea A un conjunto y P (A) su conjunto potencia.

El ∅ es absorbente con respecto a la interseccion de conjuntos.Es decir:

X ∩ ∅ = ∅ ∩X = ∅; ∀X ∈ P (A)

Por otra parte, A es absorbente con respecto a la union de con-juntos, es decir:

X ∪ A = A ∪X = A; ∀X ∈ P (A)

Definicion 6.1.8 Un elemento x ∈ A es llamado idempotente si:

x ∗ x = x;

Ejemplos

1. El 1, en ZZ, es un idempotente con respecto a la multiplicacion,pues 1 · 1 = 1.

El 0 es un idempotente en ZZ, con respecto a la suma pues0 + 0 = 0

2. Sea F un conjunto de proposiciones logicas, entonces todaproposicion en F es idempotente con respecto a la disyunciony a la conjuncion. Es decir, para toda proposicion p ∈ F setiene:

p ∨ p = p; p ∧ p = p


3. Sea A un conjunto. Todo X ∈ P (A) es idempotente para launion y la interseccion:

X ∪X = X; X ∩X = X

4. Sea A = {f ; f : IR → IR}. Se tiene que la funcion id : IR →IR; id(x) = x es idempotente en A con respecto a la composicionde funciones, pues:

(id ◦ id)(x) = id(id(x)) = id(x) = x; ∀x ∈ A

Luegoid ◦ id = id

AdemasO : IR → IR; O(x) = 0; ∀x ∈ IR

Entonces la funcion O es idempotente en A, pues:

(O ◦O)(x) = O(O(x)) = O(0) = 0 = O(x); ∀x ∈ A

LuegoO ◦O = O

Definicion 6.1.9 Dado x ∈ A, diremos que y ∈ A es inverso de xssi

x ∗ y = y ∗ x = e

donde e es el neutro con respecto a la operacion ∗.

Notacion aditiva:−x; Notacion multiplicativa x−1

Ejemplos

1. Consideremos el conjunto A={e,a,b} y la operacion ∗ definidapor la tabla siguiente:

∗ e a be e a ba a b eb b e a

En este caso a−1 = b y b−1 = a


2. En ZZ∗3 con el producto dado por la tabla siguiente:

· 1 21 1 22 2 1

En este caso 2−1 = 2. Podemos escribir: 12

= 2

3. En (ZZ5, ·), con el producto dado por la tabla sgte.:

· 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

Tenemos que 2−1 = 3, 3−1 = 2, 4−1 = 4. Tambien podemosescribir:

1

2= 3;

1

3= 2;

1

4= 4

4. Sea (ZZ4, ·) una estructura algebraica con producto definido porla tabla siguiente:

· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Entonces el 0 y el 2 no tienen inverso multiplicativo.

No existe x ∈ ZZ4 tal que 2 · x = 1. Idem para el 0. El inversode 3 es 3, es decir, 3−1 = 3 o bien 1

3= 3.

5. Sea X un conjunto universo y sea A ⊂ X. Tenemos las tablassiguientes:

∪ A ∅ XA A A X∅ A ∅ XX X X X

∩ A ∅ XA A ∅ A∅ ∅ ∅ ∅X A ∅ X


En el caso de la union, el conjunto ∅ es el neutro. X es ab-sorbente. Son idempotentes X, A, ∅. En el caso de la interseccion,X es neutro. Absorbente es ∅ y son idempotentes: ∅, A,X. Nohay inversos.

6. En IR, estudiemos la operacion ∗ definida por:

a ∗ b = a + b + ab

(a) ∗ es una l.c.i. en IR, pues la suma de numeros reales es unnumero real y el producto de numeros reales es un numeroreal, luego a ∗ b es un numero real.

(b) ∗ es asociativa. En efecto:

(a ∗ b) ∗ c = (a + b + ab) ∗ c= (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c= a + b + ab + c + ac + bc + abc

a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc)= a + b + c + bc + a(b + c + bc)= a + b + c + bc + ab + ac + abc

(c) ∗ es conmutativa

(d) Existe un neutro. Busquemoslo

a ∗ x = a; ∀a ∈ A ssi a + x + ax = a; ∀a ∈ A ssi

(1 + a)x = 0; ∀a ∈ A, luego x = 0, es decir, el neutro esel 0.

(e) Busquemos si los elementos de A tienen inversos. Dado x ∈A buscamos encontrar y ∈ A, tal que x ∗ y = 0.

x ∗ y = 0 ⇒ x + y + xy = 0 ⇒ (1 + x)y = −x

Entonces

y =−x

1 + x; ssi x 6= −1

Luego −1 es el unico elemento de IR que no tiene inversocon respecto a esta ley.


Proposicion 6.1.1 Sea (A, ∗) una estructura algebraica. Entonces, siexiste un elemento neutro e ∈ A, este es unico.

Demostracion. Sean e, e′ ∈ A, neutros, entonces

e′ = e′ ∗ e = e

En la primera igualdad utilizamos el hecho que e es neutro y en lasegunda igualdad utilizamos el hecho que e′ es neutro. Puesto quee = e′, el neutro es unico.

Proposicion 6.1.2 Sea (A, ∗) una estructura algebraica. Si ∗ es unal.c.i. asociativa y si existe elemento neutro e, entonces:

1. El inverso de un elemento es unico.

2. Si a−1 es el inverso de a y b−1 es el inverso de b, entonces elelemento a ∗ b tiene inverso y su inverso es (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1

Demostracion (1) Sea a ∈ A un elemento cualquiera. Sean c y d dosinversos de a, entonces

c = c ∗ e = c ∗ (a ∗ d) = (c ∗ a) ∗ d = e ∗ d = d

En forma sucesiva utilizamos las propiedades siguientes: que e es elneutro, que d es inverso de a, que ∗ es asociativa, que c es inverso de ay que e es el neutro. Luego a tiene un unico inverso. Esto quiere decirque todo elemento tiene un unico inverso.

Demostracion (2) (b−1 ∗ a−1) ∗ (a ∗ b) = b−1 ∗ ((a−1 ∗ a) ∗ b) =b−1 ∗ (e ∗ b) = b−1 ∗ b = e

En forma sucesiva utilizamos las propiedades siguientes: ∗ es asocia-tiva, a−1 es el inverso de a, e es el neutro, b−1 es el inverso de b.

De la misma manera se demuestra tambien que (a∗b)∗(b−1∗a−1) = e.

Luego b−1 ∗ a−1 es el inverso de a ∗ b.

Ejemplo. En ZZ, la suma es asociativa. Tenemos un unico elementoneutro, denotado 0 y todo elemento a ∈ ZZ, tiene un unico inversoaditivo, denotado −a.


Definicion 6.1.10 Diremos que un elemento a ∈ A es cancelablecon respecto a la l.c.i. ∗ si y solo si para todo b, c ∈ A se tiene:

a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = cb ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c

Ejemplo. En (IN, +), se tiene:

2 ∗ b = 2 ∗ c =⇒ b = cb ∗ 2 = c ∗ 2 =⇒ b = c

Notese que no hemos sumado −2 a ambos lados, pues no existe −2 ∈IN. Diremos que 2 es cancelable.

Observacion. Un elemento a no es cancelable cuando en su tabla setiene lo siguiente:

∗ · · · c · · · d · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·a · · · b · · · b · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Es decir, cuando tenemos a ∗ c = b y a ∗ d = b. Luego tenemos a ∗ c =a ∗ d. No podemos cancelar a. Tendrıamos c = d, lo cual es falso.

Ejemplo. Consideremos ZZ∗6, con la multiplicacion siguiente. Su tabla

es la siguiente:· 1 2 3 4 51 1 2 3 4 52 2 4 0 2 43 3 0 3 0 34 4 2 0 4 25 5 4 3 2 1

El 2 no es cancelable. Observemos que: 2 ∗ 2 = 4 y 2 ∗ 5 = 4. Es decir2 ∗ 2 = 2 ∗ 5 y 2 6= 5

El 3 no es cancelable. Contraejemplo: 3 ∗ 3 = 3 ∗ 5 y 3 6= 5. O bien3 ∗ 2 = 3 ∗ 4 y 2 6= 4

Sin embargo el 5 es cancelable.


Proposicion 6.1.3 Sea (A, ∗) una estructura algebraica, con la l.c.i.∗ asociativa y elemento neutro e, entonces todo elemento invertible escancelable.

Demostracion. Sea a ∈ A invertible, con inverso a−1. Entonces:

y ∗ a = z ∗ a ⇒ (y ∗ a) ∗ a−1 = (z ∗ a) ∗ a−1

Asociando, tenemos: y ∗ (a ∗ a−1) = z ∗ (a ∗ a−1). Luego y ∗ e = z ∗ e.De donde y = z.

De la misma manera, a es cancelable al lado izquierdo.

Ejemplo. Consideremos nuevamente ZZ∗6, con la mutiplicacion antes

definida. Tenemos que 5 es invertible. Entonces

4 · 5 = a · 5 ⇒ (4 · 5) · 5 = (a · 5) · 5 ⇒ 4 · (5 · 5) = a · (5 · 5) ⇒4 · 1 = a · 1 ⇒ 4 = a

6.2 Subestructuras

Introduccion. Si tenemos uns estructura algebraica, (A, ∗), estamosinteresados en estudiar una estructura (B, ∗), donde B es un subcon-junto de A. Estamos interesados en encontrar propiedades en comunentre A y B.

Observacion. Consideremos (Q, ·). Sabemos que es una estructuraalgebraica. Tenemos que ZZ es un subconjunto de Q. Ocurre que (ZZ, ·)es una estructura algebraica. Diremos que (ZZ.·) es una subestructuraalgebraica de (Q.·). Tambien diremos que ” · ” es estable en ZZ.

Definicion 6.2.1 Diremos que la operacion ∗ es cerrado o estableen A ssi

x ∗ y ∈ A; ∀x, y ∈ A

Ejemplos

1. La suma es estable en IN.


2. El producto es estable en IN.

3. Sea I = {impares}. Entonces la multiplicacion es estable en I.En efecto,

(2n+1)(2m+1) = 4nm+2n+2m+1 = 2(2nm+n+m)+1 = 2a+1

donde a = 2nm + n + m. Luego el producto de dos numerosimpares es un numero impar.

Pregunta: Sea A ⊂ B. Sean A y B cerrados para una l.c.i. ∗. ¿Quepropiedades de ∗ en B siguen cumpliendose en A. La respuesta a estapregunta la tenemos en la siguiente proposicion.

Proposicion 6.2.1 Sea A ⊂ B. Sean (B, ∗) y (A, ∗) dos estructurasalgebraicas. Entonces

1. Si ∗ es asociativa en B, entonces ∗ es asociativa en A.

2. Si ∗ es conmutativa en B, entonces ∗ es conmutativa en A.

3. Si a es cancelable en B, entonces a es cancelable en A.

4. Si ademas se tiene otra l.c.i. / en B entonces :

Si ∗ se distribuye con respecto a / en B, entonces ∗ se distribuyecon respecto a / en A.

Demostracion (1) Si ∗ es asociativa en B, entonces

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; ∀a, b, c ∈ B

En particular

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; ∀a, b, c ∈ A

Para las demas demostraciones se tiene el mismo razonamiento, esdecir, si es valido para todo elemento de B, entonces en particular esvalido para todo elemento de A.


Nota. Si B tiene elemento neutro segun ∗, no siempre es cierto queeste elemento neutro se encuentre en A. Es deccir, si e ∈ B, e neutrocon respecto a ∗, no siempre se tiene e ∈ A.

Lo mismo ocurre para los elementos inversos de elementos de B.

Observacion. Sabemos que IN ⊂ ZZ y que (ZZ, +) y (IN, +) sonestructuras algebraicas. Todo elemento a ∈ ZZ tiene inverso aditivo enZZ, sin embargo, ningun elemento de IN, tiene inverso aditivo en IN.

6.3 Grupos, anillos y cuerpos

Veremos en esta seccion, algunas estructuras con algunos ejemplos decada una de ellas.

Definicion 6.3.1 Dada la estructura algebraica (X, ∗), diremos quetiene estructura de grupo o que es un grupo, si la l.c.i. ∗ verifica:G.1. ∗ es asociativa.

G.2. ∗ admite elemento neutro.

G.3. Cada elemento de X tiene un inverso en X, con respecto a ∗.Si ademas ∗ es conmutativa, diremos que (X, ∗) es un grupo con-mutativo o abeliano

Ejemplos

1. Son grupos abelianos: (ZZ, +), (Q∗, ·), (IR, +), (IR∗, ·).

2. Consideremos las funciones reales siguientes: fi : IR → IR,definidas por:

f1 = id; f2(x) =1

x; f3(x) = 1− x; f4(x) =

1

1− x;

f5(x) =x− 1

x; f6(x) =

x

x− 1

Estudiemos (G, ◦), donde G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6} con respectoa la composicion de funciones.


Tenemos la tabla siguiente:

◦ f1 f2 f3 f4 f5 f6

f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6

f2 f2 f1 f4 f3 f6 f5

f3 f3 f5 f1 f6 f2 f4

f4 f4 f6 f2 f5 f1 f3

f5 f5 f3 f6 f1 f4 f2

f6 f6 f4 f5 f2 f3 f1

Observemos que:

f−12 = f2; f−1

3 = f3; f−14 f5; f−1

6 = f6

Dos ejemplos de como obtener estos resultados son los siguientes:

(f4 ◦ f3)(x) = f4(f3(x)) = f4(1− x) =1

1− (1− x)=

1

x= f2(x)

(f6 ◦ f5)(x) = f6(x− 1

x) =

x−1x

x−1x− 1

=x− 1

−1= 1− x = f3(x)

Observe que este grupo no es conmutativo.

3. Consideremos el grupo G = {N, I, D, O}. Donde se tiene:

N = no rotar; I = rotar en 900 a la izquierda; D = rotar en 900

a la derecha; O = rotar en 1800. Su tabla de composicion es lasiguiente:

◦ N I D ON N I D OI I O N DD D N O IO O D I N

Entonces (G, ◦) es un grupo conmutativo. El elemento neutro esN . El inverso de I es D. El inverso de O es el mismo.

Rotaciones y simetrıas del triangulo. La notacion4ABC consid-era los vertices en sentido horario. Definamos las rotaciones y simetrıassiguientes:


r1 : 4ABC −→ 4CAB; r2 : 4ABC −→ 4BCA

r0 : 4ABC −→ 4ABC; s1 : 4ABC −→ 4ACB

s2 : 4ABC −→ 4CBA; s3 : 4ABC −→ 4BAC

Sea (G = {r0, r1, r2, s1, s2, s3}, ◦). Consideremos la composicion fun-ciones. Entonces tenemos la tabla de composiciones sgte:

◦ r0 r1 r2 s1 s2 s3

r0 r0 r1 r2 s1 s2 s3

r1 r1 r2 r0 s2 s3 s1

r2 r2 r0 r1 s3 s1 s2

s1 s1 s2 s3 r0 r2 r1

s2 s2 s3 s1 r1 r0 r2

s3 s3 s2 s1 r2 r1 r0

Entonces (G, ◦) es un grupo. Es llamado el grupo de las rotaciones ysimetrıas del triangulo.

Ejercicio. Sea A = ZZ − {−14} y

∗ : A× A −→ A; tal que a ∗ b = a + b + 4ab

Demostremos que (A, ∗) es un grupo.

Solucion.

1. Demostremos que (A, ∗) es una estructura algebraica. Supong-amos que no lo es, es decir, supongamos que a ∗ b = −1

4con

a, b 6= −14

. Tenemos a ∗ b = −14

, es decir, a + b + 4ab = −14

. Luegob(1 + 4a) = −1

4− a. Luego b = −1−4a

4(1+4a)= −1

4. Contradiccion pues

b 6= −14


2. ∗ es asociativa.

(a ∗ b) ∗ c = (a + b + 4ab) ∗ c= a + b + 4ab + c + 4(a + b + 4ab)c= a + b + c + 4ab + 4ac + 4bc + 16abc

a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + 4bc)= a + b + c + 4bc + 4a(b + c + 4bc)= a + b + c + 4bc + 4ab + 4ac + 16abc

3. Existe elemento neutro. Sea b el elemento neutro. Luego a∗b = a;∀a ∈ A. Luego a + b + 4ab = a; ∀a ∈ A. De donde b(1 + 4a) = 0;∀a ∈ A. Puesto que 1 + 4a 6= 0; ∀a ∈ A, tenemos que b = 0.Luego el neutro es el 0.

4. Todo elemento tiene inverso. Sea a ∈ A cualquiera. Sea b su posi-ble inverso. Luego a ∗ b = 0. De donde a+ b+ 4ab = 0. Entoncesb = −a

1+4a. Es decir a−1 = −a

1+4a. Conclusion: todo elemento tiene

inverso.

5. ∗ es conmutativa pues su escritura es simetrica.

Definicion 6.3.2 Supongamos que el conjunto X forma una estruc-tura algebraica con las l.c.i. ∗ y /. Diremos que (X, ∗, /) es un anillosi se tiene:

A.1. (X, ∗) es un grupo abeliano.

A.2. / es asociativa.

A.3./ se distribuye con respecto a ∗ .

Si ademas / es conmutativa, diremos que (X, ∗, /) es un anillo con-mutativo.

Si existe un elemento neutro con respecto a la segunda l.c.i., diremosque (X, ∗, /) es un anillo con unidad

Ejemplo. (ZZ, +, ·) es un anillo con unidad.

Definicion 6.3.3 Sea (A, +, ·) un anillo. Diremos que a ∈ A, a 6= 0,es un divisor de cero si existe b ∈ A, b 6= 0, tal que a · b = 0.


Definicion 6.3.4 Diremos que (X, ∗, /) es un cuerpo si:

C.1. (X, ∗, /) es un anillo.

C.2. (X − {e}, /) es un grupo, donde e es el neutro de X, segun ∗.Si / es una l.c.i. conmutativa, diremos que (X, ∗, /) es un cuerpo con-mutativo.

Ejemplos. (Q, +, ·) y (IR, +, ·) son cuerpos conmutativos.

Nota. La seccion sub siguiente estara dedicada a dar ejemplos deanillos y cuerpos con un numero finito de elementos.

6.4 Subgrupos

Observacion. Se tiene que (Q∗, ·) es un grupo. Ademas H = ({−1, 1}, ·)tambien es un grupo y H ⊂ Q∗. Diremos que ”H es un subgrupo deQ∗”, con respecto a la multiplicacion.

Definicion 6.4.1 Dado un grupo (G, ∗), diremos que (H, ∗) es unsubgrupo de G si:

1. H 6= ∅, H ⊂ G

2. (H, ∗) es un grupo

Ejemplo. Sea G el grupo de las rotaciones y simetrıa del triangulo.

Tenemos que H1 = {r0, r1, r2} es un subgrupo de G.

H2 = {r0, s1}; H3 = {r0, s2}; H4 = {r0, s3} tambien son subgrupos deG. Sin olvidar que G y {r0} tambien lo son.

En total hay 6 subgrupos de (G, ◦)

Proposicion 6.4.1 (Caracterizacion de subgrupo) Sea G un con-junto; H ⊂ G, H 6= ∅. Son equivalentes:

1. (H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗)


2. h ∗ g−1 ∈ H; ∀h, g ∈ H

Demostracion (1) ⇒ (2) Si H es un subgrupo de G, ∗ es una l.c.i.cerrada en H. Luego

h, g ∈ H ⇒ g−1 ∈ H, h ∈ H ⇒ h · g−1 ∈ H

Demostracion (2)⇒ (1)

1. ∗ es asociativa en G, luego lo es tambien para los elementos deH.

2. H 6= ∅, luego existe h ∈ H, luego usando la hipotesis se concluyeque h ∗ h−1 ∈ H. Luego e ∈ H

3. Dado h ∈ H, entonces e, h ∈ H, entonces e ∗ h−1 ∈ H, luegoh−1 ∈ H. Es decir todo elemento de H, tiene su inverso en H.

4. ∗ es cerrado en H pues:

h, g ∈ H ⇒ h, g−1 ∈ H ⇒ h ∗ (g−1)−1 ∈ H ⇒ h ∗ g ∈ H

Luego (H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗)

Definicion 6.4.2 Diremos que (H, ∗) es un subgrupo propio de(G, ∗), si H ⊂ G, H 6= G, H 6= {e}Diremos que {e} y G son los subgrupos triviales de (G, ∗)

Ejemplos

1. (ZZ, +) es un subgrupo propio de (Q, +).

2. Consideremos las funciones reales siguientes: fi : IR −→ IR,definidas por:

f1 = id; f2(x) =1

x; f3(x) = 1− x;

f4(x) =1

1− x; f5(x) =

x− 1

x; f6(x) =

x

x− 1


Consideremos (G, ◦), donde G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6} con re-specto a la composicion de funciones. Tenemos que {f1} y G sonlos dos subgrupos triviales de (G, ∗).Hay tres subgrupos propios de dos elementos cada uno, a saber:{f1, f2}, {f1, f3}, {f1, f6}{f1, f4, f5} es un subgrupo propio de G con tres elementos.

Nota. El grupo de las rotaciones y simetrıas del triangulo tienenlos mismos subgrupos que el visto recientemente.

3. Consideremos G = {N, I, D, O} del ejemplo visto anteriormente.

Tenemos que {N} y G son los dos subgrupos triviales de G.

{N, O} es un subgrupo propio de G

4. Consideremos ZZ4 = {0, 1, 2, 3}, con su tabla de la suma:

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

Tiene como unico subgrupo propio a H = ({0, 2}, +). Tiene lamisma estructura que el grupo G = {N, I, D, O} visto anterior-mente.

5. Sea G = {e, a, b, c} y ∗ definida por la tabla siguiente:

∗ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Tiene tres subgrupos propios de dos elementos cada uno, a saber:

{e, a}; {e, b}; {e, c}

Este grupo es llamado grupo de Klein. Este grupo no tiene lamisma estructura que el grupo anterior.


Nota. Usted puede verificar que no hay mas que estos dos grupos de4 elementos.

6.5 Estructura de ZZn

Estructura de (ZZ6, +)

Sobre ZZ se define:

aRb ssi a− b = 6k; cierto k ∈ ZZ

la cual es una relacion de equivalencia. Escribimos

a = {a + 6k; k ∈ ZZ}

Tenemos que el conjunto cuociente es

ZZ6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

La suma esta definida por:

a + b = a + b

Es decir, esta dada por la tabla siguiente:

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

Se tiene que (ZZ6, +) es un grupo abeliano. Hay dos subgrupos triv-iales: {0} y ZZ6. Hay un subgrupo formado por 2 elementos, a saber:({0, 3}, +). Hay un subgrupo formado por tres elementos, a saber:({0, 2, 4}, +)


Estructura de (ZZn, +)

Generalizando la situacion anterior, sobre ZZ se define:

aRb ssi a− b = nk; cierto k ∈ ZZ

la cual es una relacion de equivalencia. Escribimos

a = {a + nk; k ∈ ZZ}

Ahora el conjunto cuociente es

ZZn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}

Con la suma definida por:

a + b = a + b

Se tiene que (ZZn, +) es un grupo abeliano.

Teorema 6.5.1 (Teorema de Cayley) Sea G un grupo de n ele-mentos. Si H es un subgrupo de G con m elementos entonces m dividea n.

Observacion. ZZp tiene p elementos, con p primo. Por el Teorema deCayley, ZZp no tiene subgrupos propios, pues el numero de elementosdel subgrupo debe dividir a p.

6.6 Estructura de Sn

Estructura de S3. Consideremos los siguientes elementos de S3

e =(

1 2 31 2 3

); a =

(1 2 33 1 2

); a2 =

(1 2 32 3 1

);

a3 = e; c =(

1 2 32 1 3

)= τ12; c2 = e


ac =(

1 2 31 3 2

)= τ23; a2 =

(1 2 33 2 1

)= τ13

Luego S3 = {e, a, a2, c, ac, a2c} Su tabla de multiplicacion es la sigu-iente:

· e a a2 c ac a2ce e a a2 c ac a2ca a a2 e ac a2c ca2 a2 e a a2c c acc c a2c ac e a2 aac ac c a2c a e a2

a2c a2c ac c a2 a e

Tenemos que ({e, a, a2}, ·), ({e, c}, ·), ({e, ac}, ·) y ({e, a2c}, ·) son sub-grupos propios de S3.

Notacion. La permutacion(

1 2 32 3 1

)puede ser denotada por

(2 3 13 1 2

),

o bien por(

2 1 33 2 1

), etc. Escribiendo siempre la imagen de cada el-

emento debajo de el.

Notacion. En general si f : In −→ In es una permutacion denotadapor:

f =(

1 2 3 · · · nf(1) f(2) f(3) · · · f(n)

)Entonces su permutacion inversa, la cual siempre existe, es

f−1 =(

f(1) f(2) f(3) · · · f(n)1 2 3 · · · n

)

Ejemplo. Si f =(

1 2 3 44 3 1 2

), entonces

f−1 =(

4 3 1 21 2 3 4

)=(

1 2 3 43 4 2 1

)



1. Dada σ =(

1 2 3 4 55 3 4 1 2

)(a) Encontremos n minimal, tal que σn = id.

(b) Busquemos σ−1

(c) Busquemos τ tal que σ ◦ τ =(

1 2 3 4 53 5 1 2 4

)Solucion.

(a) σ2 =(

1 2 3 4 52 4 1 5 3

); σ3 =

(1 2 3 4 53 1 5 2 4

)

σ4 =(

1 2 3 4 54 5 2 3 1

); σ5 =

(1 2 3 4 51 2 3 4 5

)= id

Luego n = 5.

(b) Como id = σ5 = σ4σ. De esto se deduce que σ−1 = σ4.

(c) Multipliquemos por σ−1 a la izquierda de la igualdad sigu-iente:

σ ◦ τ =(

1 2 3 4 53 5 1 2 4

)Se tiene entonces:

τ =(

1 2 3 4 54 5 2 3 1

)·(

1 2 3 4 53 5 1 2 4

)=(

1 2 3 4 52 1 4 5 3

)

2. Estudiemos la estructura algebraica de (ZZ3×ZZ2,⊕,�), dondela suma y el producto son componente a componente.

Solucion

⊕ (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1)(0, 0) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1)(0, 1) (0, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 0) (2, 1) (2, 0)(1, 0) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1) (0, 0) (0, 1)(1, 1) (1, 1) (1, 0) (2, 1) (2, 0) (0, 1) (0, 0)(2, 0) (2, 0) (2, 1) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1)(2, 1) (2, 1) (2, 0) (0, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 0)


El elemento neutro es el (0, 0). Todo elemento es invertible, luegotodo elemento es cancelable.

Veamos la tabla de multiplicacion de (ZZ3 × ZZ2)*

� (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1)(0, 1) (0, 1) (0, 0) (0, 1) (0, 0) (0, 1)(1, 0) (0, 0) (1, 0) (1, 0) (2, 0) (2, 0)(1, 1) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1)(2, 0) (0, 0) (2, 0) (2, 0) (1, 0) (1, 0)(2, 1) (0, 1) (2, 0) (2, 1) (1, 0) (1, 1)

El elemento neutro es el (1, 1).

Son divisores de cero: (0, 1), (1, 0), (2, 0).

Solamente el (2, 1) es invertible y cancelable.

3. Demostremos que S = {2n; n ∈ ZZ} es un subgrupo de (Q∗, ·)Solucion. S 6= ∅, pues, por ejemplo s = 21 = 2 ∈ S. Ademas esclaro que S ⊂ Q∗.

Sean s, t ∈ S. Debemos probar que s · t−1 ∈ S.

s ∈ S =⇒ s = 2n, cierto n ∈ ZZ

Busquemos el elemento neutro. Llamemoslo 2m. Tenemos

2n · 2m = 2n, ∀n ∈ ZZ

luego n + m = n, ∀n ∈ ZZ, luego m = 0. El neutro es entonces20.

Dado t = 2m, buscamos su inverso. Denotemoslo por 2n. Luego2m · 2n = 20. De donde 2m+n = 20. Entonces n+m = 0, es decir,n = −m. Luego t−1 = 2−m

Sean s, t ∈ S, luego s = 2n, t = 2m, ciertos n,m ∈ ZZ

Tenemos s · t−1 = 2n · 2−m = 2n−m ∈ S, pues n−m ∈ ZZ.

Luego (S, ·) es un subgrupo de (Q∗, ·)


4. Consideremos el conjunto G = {e, α, β, γ}, donde

e, α, β, γ : IR −→ IR

estan definidas por:

e(x) = x; α(x) = −x; β(x) =1

x; γ(x) =

−1

x

Estudiemos (G, ◦)Solucion. Observemos que

(α ◦ α)(x) = α(α(x)) = α(−x) = −(−x) = x; ∀x ∈ IR

Luego α2 = e.

β2(x) = (β ◦ β)(x) = β(β(x)) = β(1

x) = x; ∀x ∈ IR

Luego β2 = e

(α ◦ β)(x) = α(1

x) = −1

x= γ(x); ∀x ∈ IR

Luego α ◦ β = γ

(β ◦ α)(x) = β(α(x)) = β(−x) =1

−x= −1

x= γ(x)

Luego β ◦ α = γ.

La tabla de composicion es la siguiente:

◦ e α β γe e α β γα α e γ ββ β γ e αγ γ β α e

El neutro es la identidad e. Los tres restantes elementos α, βy γ tienen inverso, luego son cancelables. No hay divisores decero. En este conjunto la composicion es conmutativa. Luegoeste grupo es conmutativo. Este grupo es llamado el Grupo deKlein.


5. Sea I = {1, 2, 3, 4}. Consideremos las siguientes permutacionessobre este conjunto:

e =(

1 2 3 41 2 3 4

); σ =

(1 2 3 42 1 4 3

); µ =

(1 2 3 44 3 2 1

);

τ =(

1 2 3 43 4 1 2

)Estudiemos este subgrupo.

Solucion Tenemos la siguiente tabla de multiplicacion

· e σ µ τe e σ µ τσ σ e τ µµ µ τ e στ τ µ σ e

Nuevamente hemos obtenido el grupo de Klein. El neutro es elelemento e y cada elemento es el inverso de el mismo.

6.7 Aritmetica

Estudiemos el reloj de 12 numeros.

Tenemos por ejemplo que el numero 13 es el mismo que el 1. Escribire-mos 13 ≡ 1(12). Decir ”son las 15 horas” es lo mismo que decir ”sonlas 3”. Escribiremos 15 ≡ 3(12).

Escribiremos

a ≡ b si y solo si a − b es un multiplo de 12, es decir, si y solo sia− b = 12n, cierto n ∈ ZZ

Por ejemplo, tenemos las operaciones siguientes:

8 + 5 ≡ 1(12); 6 + 7 ≡ 1(12); 6 + 8 ≡ 2(12)

Anteriormente hemos visto:

ZZ12 = {0, 1, ..., 11}


El inverso aditivo de 2 es 10. Escribiremos −2 = 10. Ademas −3 = 9,−4 = 8; −5 = 7; −6 = 6.

Observacion. Consideremos ZZ3, con la suma y el producto definidospor:

⊕ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

� 1 21 1 22 2 1

Escribiremos: −1 = 2; −2 = 1. El inverso multiplicativo de 2 seradenotado por 1

2. Luego 1

2= 2, pues 2 · 2 = 1

En ZZ3, resolvamos la ecuacion:

2x + 2 = 1

2x + 2 = 1 =⇒ 2x + 3 = 2 =⇒ 2x = 2 =⇒ x = 1

Veamos a que corresponde el numero (12)1.005.

Tenemos que (12)1.005 = 21.005 y 22 = 4 = 1. Como 1.005 = 2 · 502 + 1,

luego (21.005) = 22·502+1 = (22)502 · 21 = 1502 · 2 = 2

Observacion. Consideremos ZZ4. Sus tablas de adicion y multipli-cacion son las siguientes:

⊕ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

� 1 2 31 1 2 32 2 0 23 3 2 1

El elemento unidad es el 1. El 3 es invertible y su inverso multiplicativoes 1

3= 3. El 2 es un divisor de cero, luego no es invertible y tampoco

es cancelable.

En ZZ4, estudiemos la ecuacion

2x + 3 = 1

2x + 3 = 1 =⇒ 2x + 4 = 2. Luego x = 4 o x = 3.



1. En ZZ12, resolvamos la ecuacion

2x + 3 = 10

Solucion. 2x+3 = 10 /+9 =⇒ 2x+3+9 = 19 =⇒ 2x+12 = 72x = 7, la cual no tiene solucion.

2. Resolvamos en ZZ12, la ecuacion:

2x + 3 = 11

Solucion. 2x + 3 = 11 / + 9 =⇒ 2x + 12 = 20 =⇒ 2x = 8 =⇒x1 = 4 x2 = 10

3. En ZZ5 resolvamos la ecuacion: 2x + 4 = 1.

Solucion. 2x + 4 = 1 / + 1 =⇒ 2x + 5 = 2 =⇒ 2x = 2 =⇒x = 1.

4. En ZZ5 resolvamos la ecuacion 4x− 3 = 4.

Solucion. 4x − 3 = 4 / + 8 =⇒ 4x + 5 = 12 =⇒ 4x = 2 =⇒x = 3

5. En ZZ5, busquemos el valor de 34

y 23.

Solucion. 34

= 3 · 14

= 3 · 4 = 12 = 2. Luego 34

= 223

= 2 · 13

= 2 · 2 = 4. Luego 23

= 4

6. En ZZ estudiemos si el numero 66 + 44 es divisible por 5.

Solucion. 66 + 44 = 16 + (−1)4 = 1 + 1 = 2. Luego 66 + 44 noes divisible por 5.

7. En ZZ veamos si el numero: 2.00631 + 17412 es divisible por 5.

Solucion. 2.00631 + 17412 = 131 + 412 = 1 + (−1)12 = 1 + 1 = 2.Luego no es divisible por 5.

8. Probemos que el numero:

2.0012.001 + 1.9991.999

es divisible por 2.000.

Solucion. Tenemos 2.0012.001 + 1.9991.999 = 12.001 + (−1)1.999 =1 + (−1) = 0. Luego este numero es divisible por 2.000.


9. ¿Que numeros al ser multiplicados por 7, dan una unidad masque un multiplo de 11?

Solucion. Tenemos la ecuacion: 7x ≡ 1(11). Luego x = 8

Luego los numeros de la forma 8 + 11k, k ∈ ZZ cumplen lopedido.

10. En ZZ11, calculemos el valor de:

2

7+

1

5− 2

9

Solucion. 27

+ 15− 2

9= 2 · 1

7+ 1

5+ 9 · 1

9= 2 · 8 + 9 + 9 · 5 =

16 + 9 + 45 = 5 + 9 + 1 = 15 = 4

11. Demostremos que 32n − 22n es divisible por 5.

Solucion. 32n − 22n ≡ (32)n − (22)n ≡ 9n − 4n ≡ 4n − 4n ≡ 0

12. Demostremos que 10n + 3 · 4n+2 + 5 es divisible por 9.

Solucion. 10n+3 ·4n+2+5 ≡ 10n+3 ·4n ·42+5 ≡ 1n+3 ·4n ·7+5≡ 6 + 3 · 7 · 4n ≡ 3(2 + 7 · 4n)

Por demostrar que: 2 + 7 · 4n es divisible por 3.

En efecto:

2 + 7 · 4n ≡ 2 + 1 · 1n ≡ 2 + 1 ≡ 0

Luego se tiene la propiedad pedida.

13. Cuando estudiamos sumatoria , vimos que

n∑k=1

k(k + 10) =n(n + 1)(2n + 31)

6

Ocurre que al lado izquierdo tenemos una sumatoria de numerosnaturales, la cual es un numero natural, luego al lado derechotambien tenemos un numero natural, de donde se concluye quela expresion:

n(n + 1)(2n + 31)


es divisible por por 6. Demostremos que en efecto es divisiblepor 6.

Solucion. Debemos demostrar que esta expresion es congruentea 0 modulo 6.

Primero observamos que 31 ≡ 1(6). Tenemos la tabla siguiente:

n 0 1 2 3 4 5n + 1 1 2 3 4 5 02n + 1 1 3 5 1 3 5

n(n + 1)(2n + 1) 0 0 0 0 0 0

Luego la expresion n(n + 1)(2n + 31) es divisible por 6.


1. En IR× IR se define la ley de composicion siguiente:

(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d)

(a) Estudie las propiedades de ∗(b) Calcule (1, 2)3, (2, 1)−2, (2, 4)4

2. Estudie las siguientes estructuras:

(a) (IR2, ∗); (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d + 2bd)

(b) Sea S = {a + b√

2; a, b ∈ IR}. Se define ∀x, y ∈ S

x ∗ y = (a + b√

2)(c + d√

2)

x4y = (a + b√

2) + (c + d√

2)

(c) (IN, ∗), a ∗ b = max{a, b}(d) (IN, ∗), a ∗ b = max{a, b} −mın{a, b}(e) Sea S = {1, 2, 3, 4, 6}, Estudie (S, ∗), donde a ∗ b =

m.c.d.(a, b)

(f) Sea S = {1, 2, 5, 10}, y considere (S, +, ∗), donde a + b =m.c.d.(a, b) y a ∗ b = m.c.m.(a, b)

(g) (P (X),4,∩), X 6= ∅, donde 4 es la diferencia simetrica.


(h) (P (X),∪,∩), X 6= ∅

3. Dados ZZ2 y ZZ3, se define la operacion ∗ en ZZ2×ZZ3 dada por:

(a, b) ∗ (c, d) = (a⊗2 c, b⊕3 d)

Estudie las propiedades de ∗.

4. Sea A = Q−{14}. Para todo x, y ∈ A se define x⊗y = x+y−4xy

(a) Demuestre que ⊗ es una ley de composicion interna.

(b) Demuestre que (A,⊗) es un grupo abeliano.

5. En el conjunto de los numeros naturales, se da la siguiente leyde composicion interna x ⊗ y = |x − y|. Pruebe que esta ley decomposicion las siguientes propiedades:

(a) No asociativa (basta un contra-ejemplo)

(b) Conmutativa

(c) Tiene neutro

(d) Tiene inversos

6. Sabiendo que A = {a, b, c, d} es un grupo, complete la siguientetabla de composicion:

◦ a b c da cbcd c

7. Consideremos la permutacion σ ∈ S5, σ =(

1 2 3 4 54 3 5 1 2

)(a) Determine σ12345

(b) Determine θ ∈ S5, tal que σ−1◦θ◦σ−1 =(

1 2 3 4 55 4 3 2 1

)

Capıtulo 7

Numeros complejos

7.1 Construccion

Definiciones

Comenzaremos por ver la costruccion de los numeros complejos. SobreIR× IR definamos la suma y el producto de la manera siguiente:

(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)

(x, y) · (u, v) = (xu− yv, xv + yu)

SeaA = {(x, 0); x ∈ IR}

Definamos la funcion biyectiva

f : A −→ IR; (x, o) → x

Es decir al par (x, 0), se le asocia el numero real x. En matematicasse dice que se hace una identificacion entre el par ordenado (x, 0) y elnumero real x.

Escribimos: (x, 0) =: x

Notacion. El par (0, 1) sera denotado por la letra i, es decir

(0, 1) =: i

219


Luego

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) =: a + bi

Es decir (a, b) sera identificado con la expresion a + bi

Definicion 7.1.1 En este caso diremos que z = a + bi, a, b ∈ IR esun numero complejo, cuya parte real es a y cuya parte imaginariaes b y diremos que esta expresado en su forma normal.

Notaciones. Re(z) = a y Im(z) = b

Nota. Los numeros complejos han sido construıdos a partir de losnumeros reales. En los numeros reales tenemos el concepto de igual-dad, entonces este concepto sera utilizado para definir el concepto deigualdad entre numeros complejos.

Definicion 7.1.2 Diremos que dos numeros complejos son igualessi coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias. Es decir:

a+bi=c+di ssi a=c y b=d

C denotara el conjunto formado por todos los numeros complejos. Esdecir

C = {a + bi; a, b ∈ IR}

Sobre C tenemos la suma y el producto definidos anteriormente. Us-ando la identificacion, tenemos:

(a + bi) + (c + di) =: (a, b) + (c, d)=: (a + c, b + d)=: (a + c) + (b + d)i

(a + bi) · (c + di) =: (a, b) · (c, d)=: (ac− bd, ad + bc)=: (ac− bd) + (ad + bc)i

Conclusion:

Capıtulo 7. Numeros complejos 221

(a+bi)+(c+di)=:(a+c)+(b+d)i

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) =: −1

Estas definiciones se pueden obtener si multiplicamos como si fuerannumeros reales y cada vez que aparezca i2, lo reemplazamos por −1.

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac− bd) + (ad + bc)i

Representacion geometrica. El numero complejo z = a + bi lorepresentaremos en el sistema cartesiano como un vector que parte enel origen del sistema cartesiano y termina en el punto (a, b).

-

1

6

z = a + bi

La suma de dos numeros complejos corresponde a la suma segun laley del paralelogramo de ambos vectores, como se ve en la siguientefigura

-

1

6

��

�13

z w

z + w


7.2 Estructura algebraica de (C, +, ·)

La suma definida anteriormente, es una ley de composicion interna,pues, la suma de dos numeros complejos es un numero complejo, esdecir

+ : C× C → C;

(a + bi, c + di) → (a + c) + (b + d)i

Luego (C, +) es una estructura algebraica.

Proposicion 7.2.1 (C, +) es un grupo abeliano.

Demostracion. La suma es asociativa (se utiliza que la suma en IRes asociativa)

(a + bi) + ((c + di) + (e + fi)) = (a + bi) + ((c + e) + (d + f)i)= (a + (c + e)) + (b + (d + f))i= ((a + c) + e) + ((b + d) + f)i= ((a + c) + (b + d)i) + (e + fi)= ((a + bi) + (c + di)) + (e + fi)

Existe elemento neutro, a saber, 0 = 0 + 0i; donde 0 ∈ IR.

Todo elemento tiene inverso aditivo:

−(a + bi) = (−a) + (−b)i; donde −a,−b son los inversos de a, b en IR

La suma es conmutativa. Nuevamente se utiliza la propiedad conmu-tativa de la suma en IR.

Luego (C, +) es un grupo abeliano.

Proposicion 7.2.2 (C∗, ·) es un grupo abeliano.

Demostracion. Recordemos que C∗ = C− {0}. La multiplicacion esasociativa. (te lo dejamos de ejercicio)


Busquemos el neutro multiplicativo. Sea

(a + bi) · (x + yi) = a + bi; ∀a + bi ∈ C

Luego (ax− by) + (ay + bx)i = a + bi

Es decir se debe cumplir el siguiente sistema de ecuaciones en IR:

(1) : ax− by = a(2) : ay + bx = b

Luegob · (1) : abx− b2y = aba · (2) : a2y + abx = ab

a · (2)− b · (1) : a2y + b2y = 0. Luego (a2 + b2)y = 0. Luego y = 0.

Reemplazando en (1): ax = a; ∀a ∈ IR. Luego x = 1.

El neutro multiplicativo es entonces 1 = 1 + 0i

Dado z = a + bi, busquemos su inverso multiplicativo. Sea

(a + bi)(x + yi) = 1 + 0i

Luego (ax− by) + (ay + bx)i = 1 + 0i.

Tenemos un sistema de ecuaciones en IR:

(1) : ax− by = 1(2) : ay + bx = 0

Luegoa · (1) : a2x− aby = ab · (2) : aby + b2x = 0

a · (1) + b · (2) : a2x + b2x = a, luego x =a

a2 + b2.

Reemplazando en (1) : a · a

a2 + b2− by = 1. Luego y =

−b

a2 + b2

Luego

(a + bi)−1 =a

a2 + b2+

−b

a2 + b2i

Solo queda por demostrar que el producto es conmutativo, te lo de-jamos de ejercicio. Luego (C∗, ·) es un grupo abeliano.

Proposicion 7.2.3 (C, +, ·) es un cuerpo.


Demostracion. (C, +) y (C∗, ·) son grupos. Ademas el producto sedistribuye con respecto a la suma.

Observacion. i4n+k = ik; ∀n, k ∈ IN

La demostracion de esta propiedad la haremos por induccion sobre n.En efecto: i2 = −1, i3 = i2 · i = (−1)i = −i; i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) =1. Ademas i4·1+k = i4·1 · ik = ik.

Hipotesis de induccion. Supongamos que i4·n+k = ik.

Por demostrar: i4·(n+1)+k = ik

Demostracion. i4·(n+1)+k = i4n+4+k = i4n+(4+4k) = i4+4k = ik

Luego i4n+k = ik ∀n, k ∈ IN

Cuociente de dos numeros complejos

a + bi

c + di=

(a + bi)(c− di)

(c + di)(c− di)=

ac + bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i

Ejemplo.1 + 2i

3 + 4i=

(1 + 2i)(3− 4i)

(3 + 4i)(3− 4i)=

11 + 2i

25=

11

25+

2

25i

Proposicion 7.2.4 En C no hay divisores de cero.

Demostracion. Por demostrar:

z · w = 0 =⇒ z = 0 o w = 0

Sea z = x + yi y w = u + vi

Sea z · w = 0. Supongamos z 6= 0, es decir x2 + y2 6= 0

Tenemos (x + yi) · (u + vi) = 0 ⇒ (xu − yv) + (xv + yu)i = 0 + 0i.Luego se deben satisfacer las ecuaciones siguientes:

(1) : xu− yv = 0(2) : xv + yu = 0

Luegox · (1) : x2u− xyv = 0y · (2) : xyv + y2u = 0


Sumando tenemos x2u + y2u = 0, luego (x2 + y2) · u = 0, luego u = 0,pues z 6= 0. Consideremos ahora

y · (1) : xyu− y2v = 0x · (2) : x2v + xyu = 0

Tenemos x · (2)−y · (1) : x2v+y2v = 0, luego (x2 +y2)v = 0. Entoncesv = 0. Luego w = 0 + 0i. Conclusion: w = 0.

Hemos demostrado que si z 6= 0, entonces w = 0

Complejos conjugados

Definicion 7.2.1 Si z = a + bi, entonces su conjugado, denotadopor z, es el numero complejo: z = a− bi

Ejercicio. Escribamos en su forma normal la expresion:

(1− 5i)(5 + 10i)

3 + 4i=

5(1− 5i)(1 + 2i)(3− 4i)

(3 + 4i)(3− 4i)5(11− 3i)(3− 4i)

32 + 42=

21

5− 53

5i

Proposicion 7.2.5 Sean z, w ∈ C, entonces

(1) : z + w = z + w

(2) : z · w = z · w

Demostracion. Sea z = x + yi y w = u + vi, entonces tenemos:

z + w = (x + yi) + (u + vi)

= (x + u) + ((y + v)i)= (x + u)− (y + v)i= (x− yi) + (u− vi)= z + w

Demostremos ahora la segunda parte

z · w = (x + yi) · (u + vi)

= (x · u− y · v) + ((x · v + y · u)i)= (x · u− y · v)− (x · v + y · u)i= (x− yi) · (u− vi)= z · w


Proposicion 7.2.6 Si z es un numero complejo, entonces se tiene

(1) z + z = 2Re(z)

(2) z · z = Re(z)2 + Im(z)2

En efecto, si z = x + yi, entonces

z + z = (x + yi) + (x− yi) = 2x = 2Re(z)

z · z = (x + yi)(x− yi) = x2 + y2 = Re(z)2 + Im(z)2

Observe que z + z y z · z son numeros reales.

7.3 Valor absoluto y distancia

Recordemos que todo numero complejo z = a + bi puede ser consid-erado como un vector que parte en el origen del sistema cartesiano ytermina en el punto (a, b). Es natural entonces el preguntarse por lalongitud de este vector, el cual denotaremos : |a + bi|Por el teorema de Pitagoras tenemos que:

|a + bi|2 = |a|2 + |b|2

donde |x| denota el valor absoluto del numero real x.

Puesto que |a|2 = a2 y |b|2 = b2 y puesto que a2 + b2 es una cantidadpositiva o nula, entonces siempre podemos extraer raız de ella. Setiene:

|a + bi| =√

a2 + b2

La longitud del vector a + bi es entonces√

a2 + b2

Definicion 7.3.1 El valor absoluto del numero complejo a + bi esla longitud del vector que comienza en el origen del sistema cartesianoy termina en el punto (a, b)


Nota. Puesto que es una longitud, es siempre una cantidad positiva yla suma de cantidades positivas es positiva. Ademas todo numero realal cuadrado es positivo o cero.

Ejemplo. |3 + 4i| =√

32 + 42 = 5; | − 3 + 4i| =√

(−3)2 + 42 = 5;

| − 3− 4i| =√

(−3)2 + (−4)2 = 5

Simplemente podemos olvidar los signos, pues todos los numeros estanelevados al cuadrado.

Nota. |z| = |z|, ∀z ∈ C

Nota filosofica. Una longitud no puede estar definida teniendo un i2,pues podemos obtener cantidades negativas y la longitud es siemprepositiva.

Ejemplo:√

12 + (2i)2 =√

1− 4 =√−3

Observacion. Si z ∈ C entonces

1. |z| ≥ |Re(z)| ≥ Re(z)

2. |z| ≥ |Im(z)| ≥ Im(z)

3. |z|2 = z · z

Esto se verifica pues |z|2 = |Re(z)|2 + |Im(z)|2 y si quitamos unsumando que es positivo obviamente la cantidad que queda es menoro igual a la anterior. Ademas z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2, conz = a + bi

Proposicion 7.3.1 Si z, w ∈ C, entonces

|z · w| = |z| · |w|

Demostracion. En efecto

|z · w|2 = (z · w) · (z · w)= (z · w) · (z · w)= (z · z) · (w · w)= |z|2 · |w|2


Pero |z|, |w|, |z ·w| son cantidades positivas, luego se les puede extraerraız cuadrada y sigue cumpliendose la igualdad.

Teorema 7.3.2 (Desigualdad triangular o de Minkowsky) Si zy w son numeros complejos, entonces se tiene

|z + w| ≤ |z|+ |w|

Demostracion. Si z = a + bi, entonces tenemos las siguientes rela-ciones:

z + z = 2a, |a| ≤ |z|

Luego |z + z| ≤ 2|z|Entonces

|z + w|2 = (z + w) · (z + w)= (z + w) · (z + w)= (z · z) + w · z + z · w + w · w= |z|2 + (z · w + z · w) + |w|2

Pero por lo dicho anteriormente

|(z · w + z · w)| ≤ 2 · |z · w| = 2 · |z| · |w| = 2 · |z| · |w|

Notando que se trata de una desigualdad de numeros reales podemosescribir

|z + w|2 ≤ |z|2 + 2 · |z| · |w|+ |w|2

es decir:|z + w|2 ≤ (|z|+ |w|)2

Puesto que tenemos numeros reales no negativos, podemos extraer raızy luego se tiene la proposicion.

Corolario 7.3.3 Si z1, z2, · · · , zn ∈ C, entonces se tiene

|z1 + z2 + · · · zn| ≤ |z1|+ |z2|+ · · · |zn|


Demostracion. Por induccion sobre n

1. Para n = 2 tenemos

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

Lo cual ha sido demostrado.

2. Supongamoslo valido hasta n

3. Por demostrar para n + 1, es decir, por demostrar:

|z1 + z2 + · · · zn+1| ≤ |z1|+ |z2|+ · · ·+ |zn+1|

En efecto

|z1 + z2 + · · · zn + zn+1| = |(z1 + · · · zn) + zn+1|≤ |z1 + · · · zn|+ |zn+1|≤ |z1|+ · · · |zn|+ |zn+1|

Corolario 7.3.4 Si z, w ∈ C entonces se tiene

|z − w| ≥ ||z| − |w||

Demostracion. Tenemos que: z = z−w + w. Utilizando la desigual-dad triangular, tenemos:

|z| ≤ |w − z|+ |w|

Luego|z| − |w| ≤ |z − w| (1)

Si cambiamos z por w, tenemos

|w| − |z| ≤ |w − z|

Luego−(|z| − |w|) ≤ |z − w| (2)

Pues |w − z| = |z − w|.


De (1) y de (2) se obtiene: ||z| − |w|| ≤ |z − w|Nocion de distancia. Queremos definir la nocion de distancia entredos numeros complejos.

Pensemos en los numeros complejos z y w, como puntos en el planocomplejo. El vector que parte en z y termina en w, esta definido comoel numero complejo w− z. Entonces la distancia entre w y z, d(w, z)es la longitud del vector w − z.

Definicion 7.3.2 Si z, w ∈ C, se define la distancia entre z y w pord(w, z) = |w − z|

Nota. Si w = a + bi y z = c + di, entonces d(z, w) = |w − z| =

|(a + bi)− (c + di)| = |(a− c) + (b− d)i| =√

(a− c)2 + (b− d)2.

Luego

d(w, z) =√

(a− c)2 + (b− d)2

Nota. Desde el momento que tenemos el concepto de distancia, pode-mos definir lugares geometricos. Como vemos en los ejercicios sigu-ientes.

Ejemplos

1. La expresion algebraica del lugar geometrico de todos los puntosdel plano que estan a 2 unidades de distancia del origen del planocomplejo, es la siguiente:

{z; |z − 0| = 2} = {z; |z| = 2}

que corresponde a una circunferencia con centro en el origen yradio 2.

2. La expresion algebraica de todos los puntos del plano que estana 3 unidades del numero complejo 1 + i es la siguiente:

{z; |z − (1 + i)| = 3}

que corresponde a una circunferencia con centro en el punto(1, 1) y radio 3.


7.4 Forma polar de un numero complejo

Sea z = a + bi, un numero complejo. Supongamos z en el primercuadrante y supongamos que forma un angulo θ con el lado positivodel eje real, en el sistema cartesiano.

Tenemos: cos θ =x

|z|y sin θ =

y

|z|Luego x = |z| cos θ; y = |z| sin θ. De donde

z = x + yi = |z| cos θ + i|z| sin θ. Se tiene entonces que

z = |z|(cos θ + i sin θ)

Llamada forma polar de un numero complejo de modulo |z| y argu-mento θ, denotado Arg(z).

Se obtiene la misma formula si consideramos el numero complejo enlos otros tres cuadrantes.

Ejemplos de escritura en forma polar

1. Sea z =√

2 + i√

2. Entonces

|z| =√

(√

2)2 + (√

2)2 =√

4 = 2 y Arg(z) =π

4

Luego

z = 2(cosπ

4+ i sin

π

4)

2. Sea z = 5√

3 + 5i.

|z| =√

52(√

3)2 + 52 =√

52(3 + 1) = 5√

4 = 10

z = 10(

√3

2+

1

2i)

Luego

z = 10(cosπ

6+ i sin

π

6)

.


3. Sea z = −3 + 3√

3i

Tenemos

z = 6(−1

2+

√3

2i)

Luego

z = 6(cos2π

3+ i sin

2π

3)

4. Sea z = −7− 7i. Entonces

|z| =√

(−7)2 + (−7)2 =√

2 · 49 = 7√

2

tgθ =−7

−7= 1

Luego θ =π

4o bien θ =

7π

4. Puesto que este numero complejo

se encuentra en el tercer cuadrante, el Arg(z) =7π

4. De donde,

la forma polar de este numero complejo es

z = 7√

2(cos7π

4+ i sin

7π

4)

Para un angulo cualquiera. Sea z = x + yi, con Arg(z) = θ, luego

tg(θ) =y

x. Debemos comenzar por ver en que cuadrante se encuentra

z. Hay dos angulos entre 0 y 2π que cumplen la ecuacion de la tangentey con la informacion del cuadrante al que pertenece z, se obtiene elangulo θ.

7.5 Multiplicacion de numeros complejos

Proposicion 7.5.1 Sea z = r(cos α+ i sin α) y w = s(cos β + i sin β).Entonces

z · w = (r · s)(cos(α + β) + i sin(α + β))


Demostracion.

z · w = (r(cos α + i sin α)) · (s(cos β + i sin β))= r · s[(cos α cos β − sin α sin β) + i(cos α sin β + sin α cos β)]= r · s (cos(α + β) + i sin(α + β))

Nota. La proposicion nos dice que al multiplicar dos numeros com-plejos, se multiplican los modulos y se suman los argumentos.

Ejemplo. Sea z =1

2+

√3

2i y w = 3

√3 + 3i.

Escribiendo estos numeros complejos en su forma polar se tiene

z = 1(cosπ

3+ sin

π

3); w = 6(cos

π

6+ i sin

π

6)

Su producto es

z · w = 6[cos(π

3+

π

6) + i sin(

π

3+

π

6)]

Luego

z · w = 6(cosπ

2+ i sin

π

2)

En su forma normal, tenemos

z · w = 6(0 + i · 1) = 6i

7.6 Elevacion a potencia

Proposicion 7.6.1 Sea z = r(cos θ + i sin θ). Entonces

zn = rn(cos nθ + i sin nθ), ∀n ∈ IN

Demostracion. La demostracion la haremos por induccion sobre n

1. Demostremos que es valido para n = 2

z2 = [r(cos θ + i sin θ)] · [r(cos θ + i sin θ)]= r2[(cos2 θ − sin2 θ) + i(2 cos θ sin θ)]= r2(cos 2θ + i sin 2θ)


2. Hipotesis de induccion. Supongamos que

zn = rn(cos nθ + i sin nθ), n ∈ IN

3. Por demostrar

zn+1 = rn+1(cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ)

Demostracion

zn+1 = zn · z= [rn(cos nθ + i sin nθ)] · [r(cos θ + i sin θ)]= rn+1[(cos nθ cos θ − sinnθ sin θ) + i(cos nθ sin θ + sinnθ cos θ)]= rn+1(cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ)

Por (1), (2) y (3) se tiene que esta propiedad es verdadera para todonumero natural.

Ejemplo. Sea z = 5(cosπ

3+ i sin

π

3). Entonces

z3 = 53(cos3π

3+ i sin

3π

3)

= 53(cos π + i sin π)= −53

z5 = 55(cos5π

3+ i sin

5π

3)

= 55(1

2−√

3

2i)

=55

2− 55

√3

2i

z6 = 56(cos6π

3+ i sin

6π

3)

= 56(1 + 0i)= 56

Inversos multiplicativos. Busquemos el inverso de:

z = r(cos θ + i sin θ)


Sea w = s(cos α + i sin α) su inverso. Entonces z · w = 1. Luego

r · s(cos(θ + α) + i sin(θ + α)) = 1(cos 0 + i sin 0)

Luego θ + α = 0 + 2kπ; k ∈ ZZ; de donde α = −θ. Luego

z−1 =1

r(cos−θ + i sin−θ)

Ejemplo. Sea z = 10(cos 25◦ + i sin 25◦).

Entonces

z−1 =1

10(cos−25◦ + i sin−25◦)

o bien

z−1 =1

10(cos 335◦ + i sin 335◦)

Proposicion 7.6.2 Sea z = r(cos θ + i sin θ). Entonces

zn = rn(cos nθ + i sin nθ); n ∈ ZZ

Demostracion. Para n ≥ 0, esta demostrado.

Para n = −1, tambien esta demostrado.

Sea n ∈ ZZ tal que n < −1. Sea n = −m; m ∈ IN. Sabemos que:

z−m = (z−1)m y z−1 = r−1(cos−θ + i sin−θ)

zn = z−m = (z−1)m

= (r−1(cos−θ + i sin−θ))m

= r−m(cos m(−θ) + i sin m(−θ))= r−m(cos−mθ) + i sin−mθ))= rn(cos nθ + i sin nθ)

Queda esto demostrado.

Ejemplo. Sea z = 7(cos θ + i sin θ), entonces

z−5 = (1

7)5(cos−5θ + i sin−5θ)


7.7 Extraccion de raıces

Sean z = r(cos θ + i sin θ) y w = s(cos α + i sin α), tal que

wn = z; n ∈ ZZ

Luegosn(cos nα + i sin nα) = r(cos θ + i sin θ)

Esta igualdad se desdobla en dos ecuaciones

(1) : sn = r(2) : nα = θ + 2kπ

Luego s = n√

r; α =θ

n+ k · 2π

n. Luego

w = n√

r(cos(θ

n+ k · 2π

n) + i sin(

θ

n+ k · 2π

n)); k ∈ ZZ

Cada vez que sumamos2π

n, obtenemos la raız siguiente. Dado que

el perıodo de las funciones seno y coseno es 2π, obtenemos todas lasraıces si hacemos variar k entre 0 y n− 1. Es decir 0 ≤ k ≤ n− 1.


1. Busquemos las raıces cuartas de la unidad.

Solucion. En este caso tenemos

z = 1(cos 0 + i sin 0)

Todas las raıces tienen por modulo 4√

1 = 1. La primera raıztiene por argumento 0

4= 0. Entonces

z◦ = 1(cos 0 + i sin 0) = 1

Para obtener la segunda raız debemos sumar2π

4=

π

2. Tenemos

z1 = (cosπ

2+ i sin

π

2) = i


Nuevamente volvemos a sumarπ

2al angulo de z1. Tenemos:

z2 = 1(cos π + i sin π) = −1

Lo mismo para obtener z3

z3 = 1(cos3π

2+ i sin

3π

2) = −i

z0, z1, z2, z3 son las raıces cuartas de la unidad.

2. Busquemos las raıces cubicas de z = −i

Solucion.

z = −i = 1(cos3π

2+ i sin

3π

2)

Entonces sus raıces son las siguientes:

z0 =3√

1(cos3π

6+ i sin

3π

6) = cos

π

2+ i sin

π

2

Para obtener la siguiente raız debemos sumar2π

3al argumento

de z0. Tenemos:π

2+

2π

3=

7π

6

Luego

z1 = cos7π

6+ i sin

7π

6

Ahora debemos sumar2π

3al argumento de z1. Luego la tercera

raız tiene argumento:

7π

6+

2π

3=

11π

6

y se tiene:

z2 = cos11π

6+ i sin

11|pi6

z0, z1 y z2 son las tres raıces cubicas del complejo z = −i.


Proposicion 7.7.1 (Formula de ”de Moivre”)

zmn = n

√rm(cos(

mθ

n+ k · 2π

n) + i sin(

mθ

n+ k · 2π

n)); k ∈ ZZ

Demostracion.

zmn = (zm)

1n

= (rm(cos mθ + k · 2π) + i sin mθ + k · 2π))1n

= n√

rm(cos(mθ

n+ k · 2π

n) + i sin(

mθ

n+ k · 2π

n))

Proposicion 7.7.2 Sea z ∈ C y sea ζ una raız n-esima de la unidad.Entonces las raıces n-esimas de z, pueden ser obtenidas de la manerasiguiente:

z0, z0ζ, z0ζ2, · · · , z0ζ

n−1

Donde z0 es una raız n-esima de z.

Demostracion. Al multiplicar por una raız n-esima de la unidad,no varıa el modulo del complejo, solo varıa el angulo. La raız z0ζ, se

encuentra a un angulo2π

nde z0, luego es la raız siguiente a z0 y ası

sucesivamente.


1. Demostremos que

|z − w|2 + |z + w|2 = 2(|z|2 + |w|2)

Solucion.

|z − w|2 + |z + w|2 = (z − w) · (z − w) + (z + w) · (z + w)= (z − w)(z − w) + (z + w)(z + w)= zz − zw − zw + ww + zz + zw + zw + ww

= 2zz + 2ww= 2(|z|2 + |w|2)


2. Demostremos que:

|z|−1 · |z − w| · |w|−1 = |z−1 − w−1|

Solucion.

|z|−1 · |z − w| · |w|−1 = |z−1 · (z − w) · w−1|= |z−1 · z · w−1 − z−1 · w · w−1|= |w−1 − z−1|= |z−1 − w−1|

3. Demostremos que:

|1− z

z − 1| = 1

Solucion. |1− z

z − 1| = |1− z

z − 1| = |(1− z)(z − 1)

(z − 1)(z − 1)| = |−(1− z)2

|z − 1|2| =

|1− z|2

|1− z|2= 1

4. Busquemos las raıces cuadradas de z = 25i

Solucion. Las dos raıces tienen |z| = 25. Tenemos que z escritoen su forma polar es:

z = 25(cosπ

2+ i sin

π

2)

Para obtener la primera raız, debemos dividir el argumento de

z por 2. Luego la primera raız tiene argumentoπ

4. Esta es

z0 = 5(cosπ

4+ i sin

π

4)

Debemos sumar2π

2= π al argumento de z0. Tenemos

z1 = 5(cos5π

4+ i sin

5π

4)

Los dos raıces, z0 y z1 escritas en su forma normal son:

z0 =5√

2

2+

5√

2

2i; z1 =

−5√

2

2+−5√

2

2i


7.8 Forma exponencial de un numero com-

plejo

Vimos que para multiplicar dos numeros complejos escritos en suforma polar se multiplican los modulos y se suman los argumentos,es decir:

(r(cos α + i sin α)) · (t(cos β + i sin β)) = r · t(cos(α + β) + i sin(α + β))

Consideremos la funcion f : IR → C, tal que f(x) = cos x+ i sin x. Porlo visto anteriormente, esta funcion tiene un comportamiento analogoal de la funcion exponencial, razon por la cual la denotaremos por eix,es decir usaremos la notacion:

r(cos α + i sin α) = r · eiα

Esta funcion tiene las siguientes propiedades:

eix = e−ix = (eix)−1

|eix| = 1eix · eiy = ei(x+y)

eiα = ei(α+2kπ), k ∈ ZZz = |z|eiArg(z), ∀z ∈ C

Demostracion. En efecto,

eix = cos x + i sin x = cos x−i sin x = cos(−x)+i sin(−x) = ei(−x) = e−ix

Como ejercicio queda demostrar que e−ix = (eix)−1

Para demostrar la segunda propiedad tenemos:

|eix| = | cos x + i sin x| =√

cos2 x + sin2 x = 1

En cuanto a la tercera propiedad,

eix·eiy = (cos x+i sin x)(cos y+i sin y) = cos(x+y)+i sin(x+y) = ei(x+y)

Las dos restantes propiedades quedan de ejercicio para el lector.



1. ¿Que condiciones debe cumplir z y w para tener

|z + w| = |z|+ |w|?

Solucion. Sea z = a + bi y w = c + di. Luego supongamosque tenemos la igualdad, para ver las condiciones que cumplenz y w.

|(a + bi) + (c + di)| = |a + bi|+ |c + di|

Entonces√(a + c)2 + (b + d)2 =

√a2 + b2 +

√c2 + d2/2

a2+2ac+c2+b2+2bd+d2 = a2+b2+c2+d2+2√

(a2 + b2)(c2 + d2)

Luego

ac + bd =√

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2/2

a2c2 + b2d2 + 2abcd = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2

0 = a2d2 + b2c2 − 2abcd

Luego (ad − bc)2 = 0, de donde ad − bc = 0, es decir ad = bcTenemos

dz = da + dbi = bc + dbi = b(c + di) = bw

Luego dz = bw, es decir z y w son colineales.

2. Sea z =

√3

2+

1

2i. Calculemos z3525

Solucion. Comencemos por escribir z en su forma polar. Ten-emos

z = cosπ

6+ i sin

π

6

Entonces:

z3525 = cos 3525 · π

6+ i sin 3525 · π

6= e

i3525π

6


Se tiene que 3.525 = 293 · 12 + 9, reemplazando en la expresionanterior, tenemos:

z3525 = ei(293·12+9)π6 = ei(293·2π+ 9π

6) = ei· 3π

2

z =3525= cos3π

2+ i sin

3π

2= 0 + i(−1) = −i

Luegoz3525 = −i

3. Describamos el lugar geometrico dado por

{z ∈ C; |z + 5| < 3}

Solucion. Sea z = x + yi. Luego

|x− yi + 5| < 3 ssi |(x + 5)− yi| < 3

ssi√

(x + 5)2 + (−y)2 < 3

ssi (x + 5)2 + (y)2 < 9

Representa el conjunto de todos los numeros complejos que estandentro de la circunferencia con centro en (−5, 0) y radio 3.

4. Resolvamos en C, la ecuacion siguiente:

z2 −√

3z + 1 = 0

Solucion. Sea z = x + yi. Reemplazando en la ecuacion, ten-emos:

(x + yi)2 −√

3(x + yi) + 1 = 0

Luego:x2 − y2 + 2xyi−

√3x−

√3yi + 1 = 0

Por la definicion de igualdad de numeros complejos, tenemos, enIR, el sistema de ecuaciones siguiente:

x2 − y2 −√

3x + 1 = 0

2xy −√

3y = 0


La segunda ecuacion queda: y(2x−√

3) = 0

Si y = 0, reemplazamos en la 1era ecuacion, se obtiene

x2 −√

3x + 1 = 0

de donde

x =

√3±

√3− 4

2/∈ IR

luego y 6= 0. Entonces 2x−√

3 = 0, de donde x =√

32

Reemplazando en la 1era ecuacion, tenemos:

3

4− y2 −

√3 ·√

3

2+ 1 = 0

Luego y2 = 14. De donde y = ±1

2.

Las soluciones de la ecuacion son entonces:

z1 =√

32

+ 12i y z2 =

√3

2− 1

2i

5. Sean z, w ∈ C. Entonces

zw + zw = 2|z · w| cos φ

Donde φ es el angulo comprendido entre z y w.

Solucion. Sea z = r(cos α + i sin α) y w = t(cos β + i sin β).Entonces:

z · w + z · w =rt(cos(α− β)) + i sin(α− β)) + rt(cos(−α + β) + i sin(−α + β)) =

rt(cos(α− β)) + i sin(α− β)) + rt(cos(α− β)− i sin(α− β)) =2rt cos(α− β) =

2|z| · |w| cos(α− β) =2|zw| cos(α− β)



1. Compruebe que:

a)(1− i√

3)i + (2i−√

3) = 3i; b)10

(1− 2i)(3 + i)= 1 + i;

c)(2− 1

2i)4 = 10

1

16− 15i

2. Escriba en la forma normal los siguientes numeros complejos:

a) (1−2i)(−3+2i)

; b)(1 + 3i)2 − (1− 3i)2; c)a+bia−bi

d)(2− 3i)2 − (2 + 3i)2; e)(12

+√

32

i)3 − (√

22

+√

22

i)2; d)(1 + i)4

3. Simplifique a−bic+di

+ a+bic−di

4. Sea ω = −1+i√

32

. Encuentre ω2, ω3, 1 + ω + ω2

5. Resuelva la ecuacion: z2 = 12

+√

32

i

6. Averigue cuales de los siguientes numeros complejos son pura-mente imaginariosa) z + z b) z − z c) z · z d) z1z2 + z1z2

7. Encuentre mentalmente el valor de:

a)(12

+√

32

i)(12−

√3

2i); b)(1

2+

√3

2i) + (1

2−

√3

2i);

c)(3 + 4i)(3− 4i); d)(3 + 4i) + (3− 4i)

8. Escriba en su forma polar cada uno de los siguientes numeroscomplejos:

a)12

+√

32

i; b)√

32

+ 12i; c)− 1

2−

√3

2i; d)−

√3

2− 1

2i

e)12−

√3

2i; f)

√3

2− 1

2i; g)

√2

2−

√2

2i; h)−

√2

2−

√2

2i

i)−√

3− i; j)−√

3 + i; k)√

2−√

2i; l)1− i


9. Demuestre que:

a) | z |=| z | b) | z−1 |=| z |−1 c) | z |2= Re(z)2 + Im(z)2

10. Encuentre un numero complejo z que satisfaga :a) z = 2(z − (1− 3i)); b) z−3

z−2i= 1

2

11. Describa geometricamente la region determinada por cada unade las siguientes condiciones:

a)Imz ≥ 2 b) | Imz |< 2 c) | z |≤ 1d) | z + 3 |= 5 e) | z − 3i |> 5 f) | z − (1 + 2i) |≤ 2

12. Sea z0 un numero complejo fijo y r una constante positiva. De-muestre que z esta sobre la cicunferencia de radio r y centro z0

cuando z satisface la ecuacion : | z − z0 |= r.

13. Determine la totalidad de numeros complejos que satisfacen cadauna de las siguientes condiciones:

a)z = z−1 b)z−1 = −z c) | z + 3 |=| z + 1 | d)z = z−2.

14. Dados los complejos

z1 =√

3 + i, z2 = −√

3 + 3i, z3 = 2− 2√

3i

Calcular 2z1 − (z22 − z3)− z2

z1.

15. Expresar z en la forma a + bi, donde:a) z =

√2+

√3i√

2−√

3ib)z = 1 + i

1+ i

1+ i1+i

16. Expresar en forma polar:a) z1 =

√3 + i, b)z2 = −2 − 2

√3i, c)z3 = −1 − i,

d)z4 = −3i

Ademas calcule z1z2,z1z3

z4, z−1

k ,z1z−1

2

zk, z3525

k con k =1, 2, 3, 4

17. Calcular z2, siendo z = − | −1 + i | +√

2i.


18. Dado z = 1 + senθ + icosθ, calcular | z2 − z |.

19. Determinar los reales a y b que satisfacen:(−1 + i)a + (1 + 2i)b = 1.

20. Resuelva las ecuaciones:

(a) z2 = i

(b) z3 − 2 + 2i = 0

(c) (z − 1− i)(z − 1 + i)(z + 1 + i)(z + 1− i) = 5

(d) z2 + (−2− 2i)z = 3− 6i

21. Resuelva el siguiente sistema:

a) (1 + i)x− iy = 2 + ib) (2 + i)x + (2− i)y = 2i

22. Calcule y grafique:

a)√

1 + i√

3 b) 3√−8 c) 4

√8i

d) 4√

1− i e) 3√−i f)

3√√

3 + i.

23. Grafique los siguientes conjuntos en el plano complejo:

a)Re(z) = −2 b)− 2 ≤ Im(z) < 3c)π

4≤ Arg(z) ≤ 3π

4y | z |< 2 d)z − z = i

e) | z |= z + z f)z − z−1 = 0g)z + z−1 ∈ IR h)z = z2

i) | z + 1 | + | z − 1 |= 3 j) | z + c || z − c |= c2

24. Diga cuales de los siguientes numeros estan sobre el eje X o sobreel eje Y :

a)z2 − (z)2 b) 1z−z

(1z

+ 1z)(z + z)

c)z1z2 + z1z2 d)z1z2 − z1z2


25. Probar que:

a) Re(zω + zω) = zω + zω b) Im(zω − zω) = zω − zω

26. Demostrar que:

|4z + 1| = 2|z + 1| =⇒ |z| = 1

2

27. Probar que si z ∈ C satisface az2 + bz + c = 0, con a, b, c ∈ IR,entonces a(z)2 + b(z) + c = 0

28. Sea z0 en los complejos y r > 0.Demuestre que z esta sobre unacircunferencia de radio r y centro en −z0, cuando z satisfacecualquiera de las condiciones:

a)|z + z0| = r b)zz + zz0 + zz0 + z0z0 = r2

29. Probar que:

a) Si z + 1z∈ IR entonces Im(z) = 0 o |z| = 1

b) Si |z| = 1 entonces | z+ω1+zω

| = 1 ∀ω ∈ C

30. a) Demuestre que la ecuacion zz − 2|z| + 1 = 0 tiene infinitassoluciones

b) Demuestre que la ecuacion |z|2 + 2√

zz + 1 = 0, no tienesolucion en los complejos

31. Sea ω 6= 1, una raız n-esima de 1.Probar que

ωn−1 + ωn−2 + ... + ω2 + ω + 1 = 0

32. Si ω 6= 1 es una raız cubica de 1, entonces (1− ω)(1− ω2) = 3

33. Se define la exponencial compleja por: ez = ex(cos(y)+ isen(y)),donde z = x + iy. Probar que:

a)ez 6= 0 ∀z ∈ C b)ez+ω = ezeω ∀z, ω ∈ Cc)(ez)−1 = e−z ∀z ∈ C


34. Se define el seno y coseno de z en C, por:

sen(z) = 12i

(eiz − e−iz) cos(z) = 12(eiz + e−iz)

Probar que:

a) sen(z + ω) = sen(z)cos(ω) + cos(z)sen(ω)

b) cos(z + ω) = cos(z)cos(ω)− sen(z)sen(ω)

35. Demostrar que cosα+senα = cosβ+senβ si y solo si α−β = 2kπdonde k es un numero entero.

36. Probar que, dado ω ∈ C, ω 6= 0, entonces:

ez = ω ⇔ z = ln|ω|+ i(θ + 2kπ)

donde θ es un argumento de ω y k es cualquier numero entero.

37. Dado z ∈ C, z 6= 0, z = |z|(cosθ + isenθ), denotemos por log(z),a cualquier complejo de la forma ln|z| + i(θ + 2kπ), donde k esun entero.

Calcular log(-1), log(i), log(-i).

Capıtulo 8

Polinomios

8.1 Definiciones

Introduccion

La mas hermosa definicion de polinomio se la vamos a dejar a aquellosalumnos que deseen conocer mas profundamente las matematicas. Eneste curso solo veremos una dfinicion formal de polinomios. Observe-mos que la palabra formal viene de forma. Se refiere a que solamenteconoceremos su forma, pero, no su esencia. Estos entes matematicostiene esta forma y se trabaja de tal manera con ellos.

Ejemplos

1. P (X) = X3 − 7X5 + πX24, es un polinomio.

Coeficientes: 1,−7, π; Exponentes del polinomio: 3, 5, 24

2. Q(X) = 1 + 2X30.000

Coeficientes: 1, 2; exponentes del polinomio: 0, 30.000

3. R(X) = 2X3 − e√

πX7

Coeficientes: 2, e√

π; exponentes: 3, 7

Antiejemplos. No son polinomios:

249


1. 1 + X√

5, ya que el exponente de X es irracional.

2. 1 + Xπ, ya que el exponente de X es irracional.

3. 1 + 5X−3, pues el exponente de X es negativo.

4. 1 + X + X2 + · · ·+ Xn + · · ·, debido a que la suma no es finita.

5. 1 + 5X12 , pues el exponente es un racional no entero positivo.

6. X2+11+X+7X2 , ya que es un cuociente.

Observacion. Las X son mayusculas.

Observacion. Nunca jamas podremos escribir X−1, cuando se tratede polinomios.

Definicion 8.1.1 Diremos que la expresion

P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn, n ∈ IN, a0, a1, · · · , an ∈ K

donde K es un cuerpo, es un polinomio sobre K. El sımbolo X sellama indeterminada, es decir, algo que no esta determinado.

Si K = IR, diremos que es un polinomio real. Si K = C, diremosque es un polinomio complejo. Si K = Q, diremos que es unpolinomio racional.

Notaciones. IR[X] = {polinomios reales}; C[X] = {polinomios complejos};Q[X] = {polinomios racionales}Ejemplos

1. P (X) = X7 + πX9, es un polinomio real.

2. P (X) = X5 +√

eπX30, es un polinomio real.

3. P (X) = X3 + iX4, es un polinomio complejo.

4. P (X) = X + (7 + 7i)X5, es un polinomio complejo.

5. P (X) = 23− 1

5X4 + 7

12X14, es un polinomio racional.

Capıtulo 8. Polinomios 251

6. P (X) = e + 5πX7, es un polinomio real que no es racional.

Definicion 8.1.2 (Igualdad de polinomios) Sea P (X) = a0 + a1X +· · ·+ anX

n y Q(X) = b0 + b1X + · · · bmXm. Diremos que el polinomioP (X) es igual al polinomio Q(X) y lo denotaremos P (X) = Q(X)si se cumplen simultaneamente:

1. n = m

2. a0 = b0; a1 = b1; · · ·; an = bn

Ejercicio. Si P (X) = a + bX + 5X3 + 4X7 y Q(X) = 2 + 5X3 + cX7

y P (X) = Q(X). Busquemos P (X) y Q(X).

Solucion. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

a = 2b = 04 = c

Luego P (X) = Q(X) = 2 + 5X3 + 4X7

Definicion 8.1.3 El conjunto formado por todos los polinomios concoeficientes en un cuerpo K, sera denotado por K[X], es decir:

K[X] = {a0 + a1X + · · ·+ anXn; a0, a1, · · · , an ∈ K}

Observacion. Diremos que:

1. P (X) = 1+X−X3 tiene grado 3 y escribiremos gr(P (X)) = 3.

2. Q(X) = 17−X+3X2 tiene grado 2 y ecribiremos gr(Q(X)) = 2.

3. R(X) = 15 + 4X tiene grado 1 y escribiremos gr(R(X)) = 1.

4. S(X) = 14 tiene grado 0 y escribiremos gr(S(X)) = 0.

Definicion 8.1.4 El grado de un polinomio es el maximo expo-nente con coeficiente diferente de cero.


¿Que pasa entonces con el polinomio P (X) = 0?

Respuesta: Hay dos posibilidades:

1. no asignarle grado.

2. asignarle el grado −∞.

En este curso optaremos por la primera posibilidad.

Definicion 8.1.5 Sea P (X) = a0 + a1X + · · · + anXn, entonces

a0 es llamado el termino constante y an es llamado el coeficientesupremo.

Ejemplo. P (X) = 5 −√

7X3 +√

eX8, tiene termino constante 5 ycoeficiente supremo

√e.

Definicion 8.1.6 Diremos que el polinomio P (X) = k, k ∈ K, es unpolinomio constante.

Ejemplo. Los numeros reales seran pensados como polnomios con-stantes.

Definicion 8.1.7 Diremos que un polinomio es monico si su coefi-ciente supremo es 1.

Ejemplo. P (X) = 2−5X+7X6+X9 y Q(X) = 3+X4 son polinomiosmonicos.

Observacion. Sean

P (X) = X2 − 5X3 + 2X5

Q(X) = 2−X2 + 7X8

Se define un nuevo polinomio a partir de estos dos polinomios, llamadoel polinomio suma de P (X) y Q(X), denotado P (X)+Q(X) y definidopor:

P (X) + Q(X) = 2 + (1− 1)X2 − 5X3 + 2X5 + 7X8


Notese que gr(P (X) + Q(X)) = 8, gr(P (X)) = 5 y gr(Q(X)) = 8

Observacion. Sean

P (X) = 2 + X2 − 3X5

Q(X) = 3 + X2 + 2X4 + 3X5

EntoncesP (X) + Q(X) = 5 + 2X2 + 2X4

Notese que gr(P (X) + Q(X)) = 4, gr(P (X) = 5 y gr(Q(X)) = 5.

Observacion. El grado de la suma no es la suma de los grados.Ademas el grado de la suma de dos polinomios, a veces es menorque ambos grados.

Definicion 8.1.8 Sean

P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn

Q(X) = b0 + b1X + · · ·+ bmXm

Si n ≤ m, se define la suma de los polinomios P (X) y Q(X),denotada P (X) + Q(X), como sigue:

P (X)+Q(X) = (a0 +b0)+ · · ·+(an +bn)Xn +bn+1Xn+1 + · · ·+bmXm

Con respecto al grado de la suma se tiene:

gr(P (X) + Q(X)) ≤ max{gr(P (X)), gr(Q(X))}

Observacion. Veamos como se comporta la multiplicacion de poli-nomios.

Sea P (X) = a0 + a1X y Q(X) = b0 + b1X + b2X2. Entonces:

P (X) ·Q(X) = (a0 + a1X) · (b0 + b1X + b2X2)

= a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + (a0b2 + a1b1)X2 + a1b2X

3

Observacion. Busquemos la formula del producto. Sean

P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn


Q(X) = b0 + b1X + · · ·+ bmXm

Entonces:

P (X) ·Q(X) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + (a0b2 + a1b1 + a2b0)X2 + · · ·+

+(a0bj+a1bj−1+· · ·+aj−1b1+ajb0)Xj+· · ·+anbmXn+m

gr(P (X) ·Q(X)) = gr(P (X)) + gr(Q(X))

Formula del producto

P (X) ·Q(X) =n+m∑i=0

(∑

j+k=i

ajbk)Xi

Por ejemplo, en la sumatoria de adentro se puede tener:∑j+k=3

ajbk = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0

o bien ∑j+k=4

ajbk = a0b4 + a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4b0

Ejercicio. Determine a, b, c, d ∈ IR tal que:

X4 − 1 = (X2 + aX + b)(X2 + cX + d)

Solucion.

X4 − 1 = X4 + (a + c)X3 + (b + ac + d)X2 + (ad + bc)X + bd

Por definicion de igualdad de polinomios, igualamos los coeficientes ytenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

cte : (1) bd = −1X : (2) ad + bc = 0X2 : (3) b + ac + d = 0X3 : (4) a + c = 0

De (4) c = −a, (4) en (2): ad− ab = 0, entonces a(d− b) = 0


Se tiene dos posibilidades:

Caso (i): a = 0, entonces c = 0.

Reemplazando en (3) y en (1), se tiene:

(3) b + d = 0(1) bd = −1

De (3) d = −b. (3) en (1): b(−b) = −1, luego b2 = 1, de donde b = 1o b = −1.

Si b = 1, entonces d = −1 y si b = −1, entonces d = 1.

Luego en el caso (i) se tiene :

X4 − 1 = (X2 + 1)(X2 − 1) o bien X4 − 1 = (X2 − 1)(X2 + 1)

Caso (ii): a 6= 0, entonces b − d = 0, de donde b = d, reemplazandoen (1), se tiene b2 = −1, lo cual es una contraccion. Luego se tienesolamente el caso (i)

Ejercicio de tarea. Determine a, b, c, d ∈ IR de modo:

P (X) = X4 + 2X3 − 10X2 −X + 10 = (X2 + aX + b)(X2 + cX + d)

8.2 Funcion polinomica

Observacion. Sea P (X) = X2 − 4 ∈ IR[X]. P (X) es un polinomioreal. A este polinomio le asociaremos la funcion real, p : IR −→ IR,definida por p(α) = α2 − 4, ∀α ∈ IR. Diremos que p es la funcionpolinomica asociada al polinomio P (X).

Se tiene por ejemplo: p(1) = 12 − 4 = −3; p(0) = −4, p(5) = 21.Diremos que P (X) evaluado en 1, vale −3

Definicion 8.2.1 Sea

P (X) = a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anX

n ∈ K[X]

A P (X) le asociamos la funcion

p : K −→ K


definida por:

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n

Diremos que p es la funcion polinomica asociada al polinomioP (X). Se dice que el valor del polinomio en α, es el numero:

p(α) = a0 + a1α + a2α2 + · · ·+ anα

n

8.2.1 Raıces de un polinomio

Observaciones

1. Sea P (X) = X2−4 ∈ IR. Se tiene que 22−4 = 0. Por este motivodiremos que 2 es una raız de P (X): Idem para −2. Tenemos quep(2) = 0 y p(−2) = 0

2. Sea P (X) = X2 − 2 ∈ IR[X]. Tenemos que p(√

2) = 0 yp(−

√2) = 0. Diremos que

√2 y −

√2 son raıces de P (X). P (X)

no tiene raıces racionales. Es decir, no existe α ∈ Q, tal quep(α) = 0

3. Sea P (X) = X + π ∈ IR[X]. P (X) tiene una raız real, a saber,−π, es decir, p(−π) = 0

Definicion 8.2.2 Sea P (X) ∈ K[X], K un cuerpo. Sea P (X) = a0 +a1X + a2X

2 + · · ·+ anXn. Diremos que α ∈ K es una raız de P (X)

si p(α) = 0

Ejemplo. El polinomio P (X) = X2 + X + 1, tiene por raıces a ω =−12

+√

32

i y ω = −12−

√3

2i, pues p(ω) = 0 y p(ω) = 0

Definicion 8.2.3 Si P (X) = (X −α)n ·Q(X), entonces diremos queα es una raız de multiplicidad n, si α no es una raız de Q(X).

Notas


1. Los polinomios constantes no nulos no tienen raıces.

2. El polinomio P (X) = a0 + a1X, con a1 6= 0, tiene solo una raız,a saber α = −a0

a1.

3. Si α es una raız del polinomio P (X), entonces α es raız delpolinomio H(X) = P (X) ·Q(X), ∀Q(X) ∈ K[X].

Observacion. Representacion geometrica de P (X) = X2 − 4 y sufuncion polinomica asociada.

En efecto, sea p : IR −→ IR; p(x) = x2 − 4, la funcion polinomicaasociada a P (X).

Tenemos p(0) = −4, p(2) = 0, p(−2) = 0.

Cuando x crece, p(x) tiene un valor cada vez mayor y cuando x decrece,p(x) tiene un valor cada vez mayor, es decir,

limx→+∞

p(x) = ∞ y limx→−∞

p(x) = ∞

Geometricamente, como se ve en la figura siguiente, es una parabolavertical concava, con vertice en (0,−4). Intersecta al eje X, en x = 2y en x = −2. Luego es un polinomio con raıces reales 2 y −2.

Observacion. Estudiemos el polinomio P (X) = −X2+1 y su funcionpolinomica asociada.

En efecto, las raıces del polinomio son 1 y −1.

limx→+∞

−x2 + 1 = −∞ y limx→−∞

−x2 + 1 = −∞

Geometricamente es una parabola vertical convexa con vertice en (0, 1)que intersecta al eje X en 1 y en −1. Se tiene p(1) = 0, p(−1) = 0,p(0) = 1. Su grafico es:


Observacion. Estudiemos el polinomio P (X) = X2 + X + 1 y sufuncion polinomica asociada.

Solucion. Encontrar las raıces reales del polinomio P (X) = X2+X+1es equivalente a resolver la ecuacion: x2+x+1 = 0 (x es una incognita)

y su solucion es x = −1±√

1−42

, de donde, x = −1±√−3

2/∈ IR, es decir,

no hay un numero real que cumpla la ecuacion, es decir, el polinomioP (X) = X2 + X + 1 no tiene raıces reales. Goemetricamente estoquiere decir que el grafico no toca el eje X, luego todo el grafico estasobre el eje X o todo el grafico esta bajo el eje X. Basta ver solamenteun valor, por ejemplo, p(0) = 1 > 0, luego siempre es positivo, esdecir, todo el grafico esta sobre el eje X.

Es una parabola concava vertical con vertice en (−12

, 34), como vemos

en la figura siguiente:

Observacion. Estudiemos el polinomio P (X) = (X+3)(X+1)(X−4)y su funcion polinomica asociada.

Solucion. Tenemos que

limx→+∞

p(x) = +∞ y limx→−∞

p(x) = −∞

Luego al menos una vez intersecta el eje X, es decir, tiene al menosuna raız real. En efecto tiene tres raıces reales, a saber: −3,−1, 4.La curva intersecta el eje X en los puntos: (−3, 0), (−1, 0), (4, 0). Sugrafico es:

Observacion. Estudiemos el polinomio P (X) = (X+3)(X2+2X+1)y su funcion polinomica asociada.

Solucion.

limx→+∞

p(x) = +∞ y limx→−∞

p(x) = −∞

Las raıces reales son solo dos: −3 que es una raız simple y −1 que tienemultiplicidad 2. La raız de multiplicidad 2 corresponde a un punto detangencia de la curva con el eje X. Su grafico es:


Observacion. ¿Puede haber un polinomio real de grado 3 que notenga raız real alguna?

Solucion. Sea P (X) = aX3 + bX2 + cX + d

Caso (i): a > 0, entonces

limx→+∞

p(x) = +∞ y limx→−∞

p(x) = −∞

Y puesto que es una funcion continua, la curva no puede dar saltos,luego obligatoriamente atraviesa el eje X. Algebraicamente esto sig-nifica que tiene al menos una raız real.

Caso (ii): a < 0. Analogo al caso anterior.

8.3 Divisibilidad en el conjunto de poli-

nomios

Repaso: Divisibilidad en ZZ

Tenemos que 6 = 2 · 3. Decimos: 6 es divisible por 3, 6 es divisible por2, 2 divide a 6, o bien, 3 divide a 6. Se escribe: 2|6; 3|6 (es una lıneavertical). Ademas 5 no divide a 6. Se escribe: 5 6 |6Se tiene que 2 y 3 son divisores propios de 6, en cambio 1 y 6 sondivisores triviales de 6.

5 no tiene divisores propios. Se dice que 5 es primo.

Los primeros numeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, · · ·.Los divisores propios de 555 son: 3, 5, 37.

Filosofıa de las matematicas

Puesto que en K[X], la mayorıa de los elementos no tienen inversomultiplicativo, se tiene una situacion analoga a ZZ. Entonces se desea


llevar los conceptos definidos en ZZ a K[X]. No podra ser identicopues en ZZ se tiene la propiedad de orden total, sin embargo K[X] notiene orden: Seran conceptos inspirados en ZZ

Observaciones

1. P (X) = X2 − 1 es divisible por X − 1 y por X + 1, pues

X2 − 1 = (X − 1)(X + 1)

2. En IR[X], el polinomio P (X) = X2+1 no es divisible por ningunpolinomio Q(X). Es decir no existe Q(X) ∈ IR[X], tal que

X2 + 1 = Q(X) · T (X)

con gr(Q(X)) = 1, algun T (X) ∈ IR[X].

3. El polinomio X4−1 es divisible por el polinomio X3+X2+X+1en IR[X], pues

X4 − 1 = (X − 1)(X3 + X2 + X + 1)

Definicion 8.3.1 Sean P (X) y Q(X) dos polinomios en K[X]. Elpolinomio P (X) se dice divisible por Q(X) en K[X], si existe unpolinomio R(X) en K[X] tal que P (X) = Q(X) · R(X). Tambiendiremos que el polinomio Q(X) divide al polinomio P (X) y que elpolinomio R(X) divide al polinomio P (X).

Notacion. Q(X)|P (X) y R(X)|P (X).

Definicion 8.3.2 Si P (X) 6= Q(X)·S(X), ∀S(X) ∈ K[X], gr(S(X)) >1, entonces diremos que Q(X) no divide a P (X) y lo denotaremosQ(X) 6 |P (X)



1. Busquemos los divisores de P (X) = X3 − 1 en IR[X].

Solucion.

X3 − 1 = (X − 1)(X2 + X + 1)

X3 − 1 = (2X − 2)(1

2X2 +

1

2X +

1

2)

X3 − 1 = (1

3X − 1

3)(3X2 + 3X + 3)

Luego algunos divisores de P (X) = X3 − 1 en IR[X] tienen laforma

Rλ(X) = λX − λ y Qµ(X) = µX2 + µX + µ · 1

Se tiene que P (X) = Rλ(X) · Qµ(X), con λ · µ = 1. Quedapendiente la pregunta si habra otros divisores.

2. Busquemos divisores del polinomio P (X) = X3 + 1.

Solucion.

P (X) = X3 + 1 = (X + 1)(X2 −X + 1)

Algunos divisores de P (X) en IR[X] tienen la forma:

Rλ(X) = λX + λ y Qµ(X) = µX2 − µX + µ

Se tiene que:

P (X) = Rλ(X) ·Qµ(X), con λ · µ = 1

Queda pendiente si habra otros divisores.

Definicion 8.3.3 Factorizar un polinomio es transformarlo en unproducto de polinomios.


Nota. Buscar divisores de un polinomio es entonces equivalente abuscar diferentes factorizaciones del polinomio dado.

Ejercicio. Busquemos divisores del polinomio P (X) = X12 − 1.

Solucion.

P (X) = X12 − 1= (X6 + 1)(X6 − 1)= ((X2)3 + 1)((X3)2 − 1)= (X2 + 1)(X4 −X2 + 1)(X3 − 1)(X3 + 1)= (X2 + 1)(X4 −X2 + 1)(X − 1)(X2 + X + 1)(X + 1)(X2 −X + 1)

Cada factor es un divisor de P (X). Todavıa se pueden encontrar masdivisores, pero este problema lo resolveremos mas adelante.

Tarea. Encuentre los posibles valores para a de manera que :

1. X3 + aX2 − 10X + a2 sea divisible por X − 2

2. 2X4 − 3X3 + aX2 − 9X + 1 sea divisible por X − 3

Definicion 8.3.4 Sea P (X) ∈ K[X], entonces los polinomios con-stantes y aquellos de la forma λP (X), con λ ∈ K, seran llamadosdivisores triviales de P (X) y aquellos que no son triviales seran lla-mados divisores propios de P (X). Los divisores triviales tambienson llamados divisores impropios.

Demos otro paseo por el mundo de la aritmetica.

Teorema 8.3.1 (Teorema fundamental de la arimetica) Si n esun numero natural, entonces

n = pr11 · pr2

2 · · · prkk

con p1, p2, · · · , pk primos distintos de dos en dos, se escribe de maneraunica.

Nota. En el conjunto de los polinomios, se definen conceptos inspira-dos en estos conceptos aritmeticos.


Definicion 8.3.5 Un polinomio P (X) ∈ K[X] de grado mayor oigual a 1, se llamara polinomio irreducible o primo sobre K, sitodos sus divisores son triviales en K[X]. En caso contrario sera lla-mado reducible en K[X], es decir, P (X) es reducible sobre K[X] si∃P1(X), P2(X) ∈ K[X] tal que

P (X) = P1(X) · P2(X)

con 0 < gr(P1(X)), gr(P2(X)) < gr(P (X))

Ejercicio (tarea). Estudie la reductibilidad sobre Q, IR, ZZ2 y sobreZZ3 de los siguientes polinomios:

(i) P (X) = X2 − 2, (ii) P (X) = X2 + 1, (iii) P (X) = X3 + 6

Nota. El Teorema siguiente es analogo al Teorema Fundamental dela Aritmetica, en K[X]

8.3.1 Teorema de la descomposicion unica

En K[X], todo polinomio de grado mayor o igual a 1, admite unadescomposicion o factorizacion unica, salvo el orden de los factores,en un producto de polinomios monicos irreductibles en K[X] y unfactor constante de K.

Demostracion. Se hace por induccion sobre el grado del polinomio.

8.4 Division Euclidiana

Repaso de aritmetica

Dividir significa multiplicar por el inverso multiplicativo. Puesto quelos numeros enteros no tienen inverso multiplicativo, salvo el 1 y −1,no se puede hablar de division, se hablara de division euclidiana.

Si 7 lo dividimos por 2, se obtiene 3 en el cuociente y resto 1. El restoes estrictamente menor que el divisor.

Recuerde que en ZZ hay orden total.


Filosofıa de las matematicas

En K[X], se tiene que solo los polinomios constantes diferentes decero, tienen inverso multiplicativo. Esto nos dice que en K[X] no sepuede hablar de division. ¿Sera posible construir algo parecido a ladivision? ¿Una division como la division euclidiana definida sobre elconjunto de los enteros?

Un polinomio P lo dividimos por un polinomio D, obteniendo Q en elcuociente y R en el resto, es decir P = D · Q + R. Pero en este caso”R < D” no tiene sentido.

Nuevamente nos encontramos con un problema, pues en K[X] no hayorden. Entonces vamos a comparar los grados de los polinomios.

La respuesta a todas estas interrogantes se tienen en el Teorema sigu-iente:

8.4.1 Teorema de la Division Euclidiana o Algo-ritmo de la Division

Sean P(X) y D(X) dos polinomios en K[X], con D(X) 6= 0, entoncesexisten dos unicos polinomios Q(X) y R(X) tales que:

P(X)=D(X) · Q(X)+R(X), con gr(R(X)) < gr(D(X)) o R(X)=0

Demostracion. Se hace por induccion sobre el grado de P (X).

Definicion 8.4.1 Q(X) es llamado el cuociente de la division deP (X) por D(X) y R(X) es llamado el resto

Nota. Sea P (X) = X2 − 3X + 1, D(X) = X − 2, entonces

X2 − 3X + 1 = (X − 2)(X − 1) + (−1)

Sea p : IR −→ IR la funcion polinomica asociada. Se tiene que p(2) =−1, numero que coincide con el resto de la division euclidiana de P (X)por D(X), pues p(2) = (2− 2)(2− 1) + (−1) = −1.

Se tiene el teorema siguiente:


Teorema 8.4.1 (Teorema del Resto) El resto de la division eu-clidiana de un polinomio P (X) por D(X) = X −α es el numero p(α)

Demostracion. Por el algoritmo de la division se tiene

P (X) = D(X) ·Q(X) + R(X), con gr(R(X)) < gr(D(X)) = 1

Luego gr(R(X)) = 0 o R(X) = 0, es decir, R(X) = k, k una constante.

Luego p(x) = (x − α) · q(x) + k, entonces p(α) = (α − α) · q(α) + k,luego p(α) = k

Introduccion al Teorema del Factor

Nota. El polinomio P (X) = X2 + 1 no es divisible por X − 2 puesp(2) = 22 + 1 = 5 6= 0.

El polinomio P (X) = X2−X−2 es divisible por X +1, pues p(−1) =(−1)2 − (−1)− 2 = 0.

Nota. El polinomio P (X) = X2 − 4 = (X − 2)(X + 2) y p(2) =p(−2) = 0. Es decir, P (X) es divisible por X−2 y tambien por X +2.

Tenemos el Teorema siguiente:

Teorema 8.4.2 (Teorema del Factor) Un elemento α ∈ K es unaraız o cero del polinomio P (X) ∈ K[X] si y solo si X−α es un factorde P (X) en K[X].

Demostracion. Sea α ∈ K una raız de P (X), entonces p(α) = 0. Porel Algoritmo de la Division existe Q(X) ∈ K[X] tal que

P (X) = (X − α) ·Q(X) + p(α)

luego P (X) = (X − α) ·Q(X), es decir X − α es un factor de P (X).

Por otra parte, si X−α es un factor de P (X), entonces existe Q(X) ∈K[X] tal que

P (X) = (X − α) ·Q(X)


Luego p(α) = (α − α) · q(α) = 0. Luego α es una raız del polinomioP (X).

Teorema 8.4.3 (Teorema sobre el numero maximo de raıces)Un polinomio P (X) ∈ K[X], P (X) 6= 0, con gr(P (X)) = n, posee alo mas n raıces en K

Demostracion. Por induccion sobre el grado de P (X)

1. Sea gr(P (X)) = 1, entonces

P (X) = a0 + a1X, a1 6= 0

luego α0 = −a0

a1es la unica raız de P (X)

2. Hipotesis de induccion: Supongamos que todo polinomio degrado n− 1 tiene a lo mas n− 1 raıces.

3. Por demostrar para gr(P (X)) = n

Si P (X) no tiene raıces, el teorema se cumple.

Si P (X) tiene a lo menos una raız: sea α una tal raız. Por elteorema del factor se tiene:

P (X) = (X − α) ·Q(X), con gr(Q(X)) = n− 1

Por hipotesis de induccion Q(X) tiene a lo mas n − 1 raıces.Luego P (X) tiene a lo mas n raıces.

8.5 Descomposicion en C[X ]

Definicion 8.5.1 Un cuerpo K se dira algebraicamente cerradosi todo polinomio P (X) = a0 + a1X + · · · + anX

n, con n ≥ 1, tienesus n raıces en K


Nota. Q, IR no son algebraicamente cerrados.

Contraejemplo: El polinomio P (X) = X2 + 2 no tiene raıces ni en Qni en IR.

Pregunta. ¿Habra un cuerpo algebraicamente cerrado? La respuestala tenemos en el siguiente Teorema:

Teorema 8.5.1 (Teorema Fundamental del Algebra) Todo poli-nomio en C[X] tiene todas sus raıces en C.

Otra forma de enunciar el teorema es la siguiente:

C es algebraicamente cerrado.

O bien:

Para todo P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ∈ C[X], se tiene

P (X) = an(X − z1)(X − z2) · · · (X − zn); con zi ∈ C

no necesariamente distintas todas sus raıces.

O bien:

Un polinomio complejo de grado n, tiene n raıces complejas, no nece-sariamente distintas.

La demostracion de este teorema no la veremos en este curso.

Ejemplo. Descompongamos P (X) = X3 − 1 en C[X]

En efecto, sus raıces son: ω0 = 1, ω1 = −12+

√3

2i y ω2 = −1

2−

√3

2i.

Luego P (X) = (X − 1)(X − ω1)(X − ω2)

Es decir, P (X) = (X − 1)(X − (−12

+√

32

i))(X − (−12−

√3

2i))

Ejemplo. En C[X], descompngamos el polinomio P (X) = X6 − 1

Sabemos que las raıces sextas de la unidad son:

ω0 = 1, ω1 = 12

+√

32

i, ω2 = −12

+√

32

i

ω3 = −1, ω4 = −12−

√3

2i, ω5 = 1

2−

√3

2i

Luego P (X) = (X − 1)(X − ω1)(X − ω2)(X + 1)(X − ω4)(X − ω5)


8.6 Descomposicion en IR[X ]

Observacion. En el ejercicio anterior observamos que ω1 = ω5 yω2 = ω4.

Esto nos ayuda a descomponer P (X) en polinomios irreductibles enIR[X].

Q1(X) = (X − ω1)(X − ω1) = X2 − (ω1 + ω1)X + ω1 · ω1 ∈ IR[X]

Q2(X) = (X − ω2)(X − ω2) = X2 − (ω2 + ω2)X + ω2 · ω2 ∈ IR[X]

Tenemos que

ω1 + ω1 = 1; ω1 · ω1 = 1; ω2 + ω2 = −1; ω2 · ω2 = 1

Luego Q1(X) = X2−X +1 y Q2(X) = X2+X +1. Ambos polinomiosson reales.

Luego

X6 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X2 −X + 1)(X2 + X + 1)

Los cuatro polinomios son irreducibles en IR[X]

Observacion. Si z ∈ C, se tiene que

(X − z)(X − z) = X2 − (z + z)X + z · z

el cual es un polinomio real.

Entonces uno se hace la pregunta siguiente: ¿En que caso se tiene laraız compleja con su raız conjugada? La respuesta la tenemos en lasiguiente proposicion

Proposicion 8.6.1 Sea P (X) ∈ IR[X]. Si z es una raız compleja noreal, entonces z tambien es una raız de P (X)


Demostracion. Sea P (X) = a0 + a1X + · · · + anXn ∈ IR[X]. Sea z

una raız compleja no real de P (X), entonces:

0 = p(z) = p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn

= a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn

= a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn

= a0 + a1z + a2(z)2 + · · ·+ an(z)n

= p(z)

Luego p(z) = 0.

Se tiene entonces el siguiente Teorema:

Teorema 8.6.2 (Teorema de Descomposicion en IR[X].) SeaP (X) ∈ IR[X]. P (X) admite una descomposicion unica (salvo el or-den de sus factores) en un producto de polinomios reales monicos ir-reductibles de grado 1 o 2 y un factor constante.

Demostracion. Basta observar que al efectuar el producto de factoresdel tipo (X − z)(X − z), se obtiene un polinomio real irreducible enIR[X] de grado 2.

8.7 Descomposicion en Q[X ]

Observacion. Consideremos el polinomio

Q(x) = 8X3 − 32X2 + 8X + 3

Se tiene que 12

es una raız, pues:

q(12) = 8(1

2)3 − 32(1

2)2 + 8(1

2) + 3 = 1− 8 + 4 + 3 = 0.

Observamos que pq

= 12

y p = 1|3 y q = 2|8. Es decir p|a0 y q|an.El siguiente teorema nos entrega informacion sobre las posibles raıcesracionales de un polinomio con coeficientes enteros.

Teorema 8.7.1 Sea P (X) = a0 +a1X + · · ·+anXn un polinomio con

coeficientes enteros, de grado n ≥ 1. Si α = pq

es una raız racional de

P (X), (p y q relativamente primos), entonces p|a0 y q|an


Demostracion. Sea

P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ∈ ZZ[X]

Supongamos que α = pq

es una raız de P (X), entonces

p(p

q) = a0 + a1(

p

q) + · · ·+ an(

p

q)n = 0

Luego multiplicando por qn, tenemos:

a0qn + a1q

n−1p + · · ·+ an−1qpn−1 + anp

n = 0

De donde:

a1qn−1p + · · ·+ an−1qp

n−1 + anpn = −a0q

n

Luego p|aoqn y como (p, q) = 1, entonces p|a0.

Ademas q|(a1qn−1p+ · · ·+an−1qp

n−1 +anpn). Luego q|anp

n. De dondese concluye que q|an

Ejemplo. Veamos si el polinomio P (X) = −10 + 3X + 18X2 tieneraıces racionales.

En efecto, sea α = pq

una raız. Entonces: p|10 y q|18. Luego las posi-bilidades para p y q son: p : 1, 2, 5, 10 y q : 1, 2, 3, 6, 9, 18

p(11) = p(1) = 11 6= 0

p(13) = −10 + 3 · 1

3+ 18 · 1

9= −10 + 1 + 2 6= 0

p(16) = −10 + 3 · 1

6+ 18 1

36= −20+1−1

26= 0

p(23) = −10 + 3 · 2

3+ 18 · 4

9= −10 + 2 + 8 = 0. Luego 2

3es una raız.

p(−56

) = −10 + 3 · (−56

) + 18 · 2536

= −20−5+252

= 0. Luego −56

es la otraraız.

Luego P (X) = 18(X − 23)(X + 5

6)


1. Encuentre los valores de a, de manera que

P (X) = X3 + aX2 − 10X + a2


sea divisible por X − 2.

Solucion. Que sea divisible por X − 2, significa que al dividirP (X) por X − 2, se obtiene resto 0. Por el Teorema del Resto,tenemos que la funcion polinomica asociada evaluada en 2, debetener valor 0, es decir, 8+4a−20+a2 = 0, tenemos (a−2)(a+6) =0. Luego a = 2 o a = −6. Los polinomios buscados son:

P1(X) = X3 + 2X2 − 10X + 4

P2(X) = X3 − 6X2 − 10X + 36

2. Encuentre los valores de a, de manera que el polinomio

P (X) = 4X3 + aX2 − 2X + 5

al dividirlo por X − 1, se obtenga resto 5.

Solucion. Por el Teorema del Resto, se tiene que la funcionpolinomica asociada a P (X), evaluada en 1, se obtiene el valor5. Luego 4 + a− 2 + 5 = 5, de donde a = −2.

3. En IR[X], descomponga en sus factores irreducibles monicos lospolinomios:

P1(X) = X2 + 1; P2(X) = X3 − 1; P3(X) = X3 + 1

Solucion. Se tiene que P1(X) es irreducible en IR[X]. Los otrospolinomios se descomponen de la manera siguiente:

P2(X) = (X − 1)(X2 + X + 1); P3(X) = (X + 1)(X2 −X + 1)

4. Descomponga en sus factores irreducibles en IR[X], el polinomioP (X) = X12 − 1.

Solucion. Buscamos z ∈ C, tal que z12 − 1 = 0, es decirz12 = 1, luego buscamos las raıces decimo segundas de la unidad.Comencemos por escribir la unidad en su forma polar. Tenemos

1 = 1(cos 0 + i sin 0)


Ahora busquemos las raıces decimo segundas de la unidad:

w0 = 1(cos0

12+ i sin

0

12) = 1

Para obtener la segunda raız debemos sumar 2π12

= π6

al argu-mento de w0. Tenemos:

w1 = cosπ

6+ sin

π

6=

√3

2+

1

2i

Nuevamente debemos sumar π6

al argumento de w1, para obtenerel argumento de w2 y ası sucesivamente, tenemos:

w2 = cos π3

+ sin π3

= 12

+√

32

iw3 = cos π

2+ sin π

2= i

w4 = cos 2π3

+ sin 2π3

= −12

+√

32

i

w5 = cos 5π6

+ sin 5π6

= −√

32

+ 12i

w6 = cos π + sin π = −1

w7 = cos 7π6

+ sin 7π6

= −√

32− 1

2i

w8 = cos 4π3

+ sin 4π3

= −12−

√3

2i

w9 = cos 3π2

+ sin 3π2

= −i

w10 = cos 5π3

+ sin 5π3

= 12−

√3

2i

w11 = cos 11π6

+ sin 11π6

=√

32− 1

2i

Ahora que tenemos las raıces de P (X), podemos descomponerloen sus factores irreducibles en C[X]. Se tiene:

P (X) = (X − w0)(X − w1) · · · (X − w11)

Para obtener la descomposicion en IR[X], debemos encontrar laraız conjugada de cada wi. Tenemos que w1 = w11, w2 = w10,w3 = w9, w4 = w8 y w5 = w7. Podemos entonces construir losfactores irreducibles en IR[X], de la siguiente manera:

P1(X) = (X − w1)(X − w11) = X2 −√

3X + 1P2(X) = (X − w2)(X − w10) = X2 −X + 1P3(X) = (X − w3)(X − w9) = X2 + 1P4(X) = (X − w4)(X − w8) = X2 + X + 1

P5(X) = (X − w5)(X − w7) = X2 +√

3X + 1


Luego

X12−1 = (X−1) · (X +1) ·P1(X) ·P2(X) ·P3(X) ·P4(X) ·P5(X)

Es la descomposicion de P (X) = X12 − 1 en sus factores irre-ducibles en IR[X]

5. Determine un polinomio real de grado 3 que admita las raıces 0y 2 y tal que los restos que se obtienen al dividirlo por X − 1 ypor X − 3 sean iguales. Calcule la tercera raız.

Solucion. P (X) se descompone de la manera siguiente:

P (X) = X(X − 2)(X − a)

Los restos de la division por X−1 y por X−3 son iguales, luegoal evaluar la funcion polinomica en 1 y en 3, estos valores debencoincidir. Luego p(1) = p(3). De donde:

1(1− 2)(1− a) = 3(3− 2)(3− a)

Luego a =5

2y el polinomio buscado es

P (X) = X3 − 9

2X2 + 5X

6. En IR[X], encuentre el polinomio de menor grado que tenga porraı ces:

(a) 3, −2

(b) 1 + 3i, 2

(c) −2i, 2 + i

Solucion.

(a) P (X) = (X − 3)(X + 2) = X2 −X − 6


(b) Si un polinomio real, tiene una raız compleja, entonces debetener tambien su raız conjugada. Luego el polinomio bus-cado es:

P (X) = (X − (1 + 3i))(X − (1− 3i))(X − 2)= X3 − 2X2 + 10X − 2X2 + 4X − 20= X3 − 4X2 + 14X − 20

(c) El polinomio buscado es:

P (X) = (X − 2i)(X + 2i)(X − (2 + i))(X − (2− i))= (X2 + 4)(X2 − 4X + 5)= X4 − 4X3 + 9X2 − 16X + 20

7. Encuentre el polinomio real monico que tiene por raıces: −1,1− 2i y que deja resto 45 al ser dividido por X − 2

Solucion. El polinomio P (X) tiene la forma:

P (X) = (X + 1) · (X − (1− 2i)) · (X − (1 + 2i)) · (X − a)= (X + 1) · (X2 − 2X + 5) · (X − a)

p(2) = (2 + 1) · (4− 4 + 5) · (2− a)= 45

Luego a = −1. De donde, el polinomio pedido es

P (X) = (X + 1) · (X2 − 2X + 5) · (X + 1)= (X2 + 2X + 1)(X2 − 2X + 5)= X4 + 2X2 + 8X + 5

8. Considere el polinomio P (X) = X3 + pX + q, donde q es unnumero real fijo. Determine m y p, en funcion de q, de modo quedicho polinomio sea divisible por Q(X) = X2 + mX − 1.

Solucion. Comencemos por hacer la Division Euclidiana. Ten-emos:

X3 + pX + q : X2 + mX − 1 = X −m

∓X3 ∓mX2 ±X

−mX2 + (p + 1)X + q


±mX2 ±m2X ∓m

(1 + p + m2)X + (q −m) = 0

Luego tenemos:

1 + p + m2 = 0q −m = 0

Se concluye entonces que m = q y p = −1− q2

9. Dado el polinomio

P (X) = X3 + 6X2 − 63X − 392

Busquemos sus raıces, sabiendo que una de ellas es de multipli-cidad 2.

Solucion. La descomposicion de P (X), tiene la forma:

P (X) = (X − a)2(X − b) = (X2 − 2aX + a2)(X − b)

Luego

X3 +6X2− 63X− 392 = X3 +(−b− 2a)X2 +(2ab+a2)X− a2b

Luego por definicion de igualdad de polinomios, tenemos:

X2 : 6 = −2a− bX : −63 = 2ab + a2

Cte : −392 = −a2b

De donde se obtiene a1 = −7 y a2 = 3

Luego, b1 = 8 y b2 = −12

Es facil verificar que el par (a2, b2) no satisface la tercera ecuacion.Luego la unica solucion es (a1, b1), es decir

P (X) = (X + 7)2 · (X − 8)


8.8 Fracciones Racionales

Definicion 8.8.1 Sean P (X), Q(X) ∈ K[X].

Diremos queP (X)

Q(X), Q(X) 6= 0, es una fraccion racional.

Definicion 8.8.2 Diremos que dos fracciones racionales son igualessi:

P (X)

Q(X)=

P ′(X)

Q′(X)ssi P (X) ·Q′(X) = Q(X) · P ′(X)

Definicion 8.8.3 El conjunto formado por todas las fracciones racionalescon coeficientes en K, sera denotado K(X), es decir

K(X) = {P (X)

Q(X); Q(X) 6= 0; P (X), Q(X) ∈ K[X]}

Definicion 8.8.4 En K(X) se define una suma, denotada por +, ydada por:

P (X)

H(X)+

Q(X)

G(X)=

P (X)G(X) + Q(X)H(X)

H(X)G(X)

Definicion 8.8.5 Se define la multiplicacion de la siguiente man-era:

P (X)

H(X)· Q(X)

G(X)=

P (X)Q(X)

H(X)G(X)

Definicion 8.8.6 A toda fraccion racional F (X) =P (X)

Q(X)se le aso-

cia una funcion racional

f : K −→ K; f(z) =p(z)

q(z), con q(z) 6= 0


Proposicion 8.8.1 Sean P (X) y D(X) dos polinomios en K[X] congr(P (X)) ≥ gr(D(X)), entonces existen Q(X) y R(X) tales que

P (X)

D(X)= Q(X) +

R(X)

D(X); gr(R(X)) < gr(D(X)) o R(X) = 0

Demostracion. Por el Algoritmo de la division se tiene que existenQ(X) y R(X) tales que

P (X) = Q(X)D(X) + R(X); gr(R(X)) < gr(D(X)) o R(X) = 0

Luego

P (X)

D(X)=

Q(X)D(X) + R(X)

D(X)= Q(X) +

R(X)

D(X)

Nota. Diremos que la funcion racional ha sido descompuesta en frac-ciones parciales.

Ejemplo. Descompongamos la fraccion racional

X2 −X + 1

X + 1

En efecto:

X2 −X + 1 : X + 1 = X − 2

∓X2 ∓X

−2X + 1

±2X ± 2

3

LuegoX2 −X + 1 = (X + 1)(X − 2) + 3

De donde:X2 −X + 1

X + 1= X − 2 +

3

X + 1


Teorema 8.8.2 Sean F (X), G(X) y H(X) polinomios en K[X] talesque:

1. G(X) y H(X) son primos relativos

2. a = gr(G(X)), b = gr(H(X)) y gr(F (X)) < a + b

Entonces existe una representacion lineal

F (X) = P (X)G(X) + Q(X)H(X), ciertos P (X), Q(X) ∈ K[X]

con gr(P (X)) < b y gr(Q(X)) < a. Es decir, en K(X), tenemos:

F (X)

G(X)H(X)=

P (X)

H(X)+

Q(X)

G(X)

Ejemplo. Descompongamos en fracciones parciales, la fraccion:

6X − 2

(X − 3)(X + 5)

En efecto, la forma de la descomposicion es la siguiente:

6X − 2

(X − 3)(X + 5)=

a

X − 3+

b

X + 5

Su representacion lineal es:

6X − 2 = a(X + 5) + b(X − 3)

Luego:6X − 2 = (a + b)X + (5a− 3b)

Por la definicion de igualdad de polinomios, tenemos:

a + b = 65a− 3b = −2

De donde b = 4 y a = 2

Luego:6X − 2

(X − 3)(X + 5)=

2

X − 3+

4

X + 5


Proposicion 8.8.3 Se tiene la descomposicion en suma de fraccionesparciales siguiente:

P (X)

(X − α)n=

a1

X − α+

a2

(X − α)2+ · · ·+ an

(X − α)n

Donde gr(P (X)) ≤ n− 1

Ejemplo. Descompongamos la fraccion racional siguiente:

X2 + 5X + 2

(X + 3)3

En efecto, la forma de la descomposicion es la siguiente:

X2 + 5X + 2

(X + 1)3=

a

X + 1+

b

(X + 1)2+

c

(X + 1)3

Su representacion lineal es:

X2 + 5X + 2 = a(X + 1)2 + b(X + 1) + c

LuegoX2 + 5X + 2 = aX2 + 2aX + a + bX + b + c

Por la definicion de igualdad de polinomios tenemos:

a = 12a + b = 5

a + b + c = 2

Luego a = 1, b = 3 y c = −2 La descomposicion buscada es entonces:

X2 + 5X + 2

(X + 1)3=

1

X + 1+

3

(X + 1)2+

−2

(X + 1)3

Proposicion 8.8.4 Se tiene la descomposicion en suma de fraccionesparciales siguiente:

P (X)

(aX2 + bX + c)n=

Q1(X)

aX2 + bX + c+

Q2(X)

(aX2 + bX + c)2+ · · ·+

+Qn(X)

(aX2 + bX + c)n

Con gr(P (X)) < 2n y gr(Q1), gr(Q2), · · · , gr(Qn) ≤ 1


Ejemplo. Descompongamos la fraccion racional siguiente:

2X3 + 3X2 + 6X

(X2 + X + 1)2

En efecto, la descomposicion tiene la forma siguiente:

2X3 + 3X2 + 6X

(X2 + X + 1)2=

aX + b

X2 + X + 1+

cX + d

(X2 + X + 1)2

Luego su representacion lineal es la siguiente:

2X3 + 3X2 + 6X = (aX + b)(X2 + X + 1) + cX + d

De donde:

2X3 + 3X2 + 6X = aX3 + aX2 + aX + bX2 + bX + b + cX + d

Usando la definicion de igualdad de polinomios tenemos:

a = 2a + b = 3

a + b + c = 6b + d = 0

De donde a = 2, b = 1, c = 3 y d = −1

La descomposicion buscada es entonces:

2X3 + 3X2 + 6X

(X2 + X + 1)2=

2X + 1

X2 + X + 1+

3X − 1

(X2 + X + 1)2

Ejemplo. Busquemos la forma de la descomposicion de:

P (X)

(X − 2)2(X2 + X + 1)3; con gr(P (X)) < 8

En efecto, la descomposicion buscada tiene la forma siguiente:

P (X)

(X − 2)2(X2 + X + 1)3=

a

X − 2+

b

(X − 2)2+

cX + d

X2 + X + 1+


+eX + f

(X2 + X + 1)2+

gX + h

(X2 + X + 1)3


1. En IR[X], descomponga en 6 factores, el polinomio

P (X) = X12 − 1

2. El polinomio P (X) = X4 − 1, descompongalo en:

(a) Un factor de grado 1 y un factor grado 3

(b) En dos factores de grado 2

(c) En sus factores irreducible en C[X]

(d) Encuentre sus factores propios monicos en IR[X]

3. Dado a ∈ IR, descomponga X6 − a6 como producto de factoresirreducibles en C[X]

4. Descomponga en sus factores irreducibles el polinomio P (X) =X8 − 1i) en IR[X]; ii) en Q[X]

5. El polinomio P (X) = X6 + 1, descompongalo en IR[X] en unfactor de grado 2 y un factor de grado 4.

6. Demuestre que el polinomio

P (X) = (2a− b)X2 + 4a2(b−X) + b2(X − 2a)

es divisible por D1(X) = X − 2a y D2(X) = X − b.

7. Calcule el producto P (X) = (X3 + X2 − 1)(X2 −X + 1). Digaen que se convierte este desarrollo si cambiamos X por −X. De-duzca la descomposicion de R(X) = X5 +X +1 en un productode dos factores.

8. Encuentre un polinomio P (X) con coeficientes enteros, del menorgrado posible, tal que P (

√2 +

√3) = 0


9. Determinar el cuociente y el resto al dividir el polinomio :i) 2X4 − 3X3 + 4X2 − 5X + 6 por X2 − 3X + 1ii)X5 −X4 + 1 por 2X3 − 2Xiii)−4X3 + X2 por X + 1

2

10. Al dividir el polinomio aX4 − 2X3 + bX2 − 18X + a por X − 1,el resto es 3 y el cuociente es un polinomio que toma el valor 33para X = 2. Calcular a y b.

11. En IR[X] encuentre:

(a) Un polinomio de grado 3 que tenga por raıces 1 + i, 1− i, 2

(b) Un polinomio que tenga por raıces 1, 0, 1− 2i

(c) Un polinomio que tenga por raıces 2 y 3 y que deje resto 4al ser dividido por R(X) = X − 4

12. Sabiendo que 2i es raız del polinomio

P (X) = X5 − 3X4 + 2X3 − 6X2 − 8X + 24

encuentre las otras raıces.

13. Encuentre las condiciones que deben cumplir a y b para que

P (X) = X3 + 3aX + b

tenga:

(a) Una raız de multiplicidad dos

(b) Una raız triple

14. Dos de las raıces de P (X) = X4− 2(a2 + b2)X2 + (a2− b2)2 son(a + b) y (a− b). Encuentre las otras dos

15. Dado a ∈ IR, demuestre que P (X) = X4 + aX2 + 1 no puedetener una raız triple.

16. Encuentre un polinomio P (X) en C[X], IR[X] o Q[X], de grado3, cuyas raıces sean α, α + 1 y 2α y tal que el coeficiente de X2

sea 3. Ademas determine α.


17. Encuentre todas las raıces en C del polinomio X6 +X4 +X2 +1.

18. Factorice en IR[X] y en C[X] los polinomios

(a) P (X) = X4 + 2X2 − 8

(b) Q(X) = X4 + X3 + X2 + X

(c) R(X) = X3 −X2 − 7X + 15, sabiendo que admite a 2 + icomo raız).

19. Exprese en la forma a + bi las raıces de P (X) = X4 + 4 y deQ(X) = X2 + i

20. Considere los polinomios P (X) = X2− 4X + 5 y Q(X) = X3−(1 + 2i)X2 − 3X + 2i− 1

(a) Encuentre los numeros complejos que son raıces del poli-nomio P (X)

(b) Pruebe que el polinomio Q(X) tiene una raız comun α conel polinomioP (X). Determine α

(c) Divida Q(X) por D(X) = X − α

(d) Descomponga Q(X) en factores de grado 1

(e) Determine R(X) ∈ C[X], de grado minimal que sea multiplocomun de P (X) y del polinomio S(X) = X3− (1+2i)X2−3X + a. Discuta los valores de a. Es unico este polinomioR(X)?

21. Descomponga en C[X], los siguientes polinomios a) X6− 1; b)X4 + 16; c) X4 − 2; d) X8 − 1; e) X12 + 1

22. Determine los valores de λ para que las ecuaciones siguientestengan al menos una raız doble :

(a) x3 − 3x + λ = 0

(b) x3 − 8x2 + (13− λ)x− 62λ = 0

(c) x4 − 4x3 + (2− λ)x2 + 2x− 2 = 0

y resuelva cada una de estas ecuaciones con las condicionesencontradas


23. Resuelva la ecuacion 24x3 − 14x2 − 63x + 45 = 0, sabiendo queuna raız es el doble de la otra

24. Resuelva la ecuacion x4−16x3 +86x2−176x+105 = 0, sabiendoque 1 y 7 son raıces

25. Resuelva la ecuacion 4x3 + 16x2 − 9x− 36 = 0, sabiendo que lasuma de dos de sus raıces es cero.

26. Resuelva la ecuacion 4x3 + 20x2 − 23x + 6 = 0, sabiendo quetiene dos raıces iguales

27. Descomponer en fracciones parciales, las siguientes funcionesracionales

a)2z3 + z + 1

z − 1; b)

2z + 1

(z − 1)(z + 2)

c)z2 + 1

(z − 1)3d)

z2 − z + 2

z4 − 5z2 + 4

e)z2

(z2 + 1)g)

3z3 + 4

z2 + 3z + 2

h)1

z2 + 1i)

1

(z2 + 1)

j)1

z2 + 4k)

4z3 − 2z2 + z + 1

(z − 2)(z + 1)3

l)z2 − z + 4

(z − 1)(z2 + 2z + 2)2m)

7z3 + 20x2 + 35z − 13

z2(z2 − 4z + 1)

Bibliografıa

[1] Edgard De Alencar, Relacoes y Funcoes, Livraria Nobel(Brasil). 1968

[2] Raul Benavides Gallardo, Ejercicios resueltos de lgebra, Uni-versidad de La Frontera, 1994

[3] Enzo Gentille, Estructuras Algebraicas, Monografıa N 3, SerieMatematica, OEA, 1967

[4] Eric Goles, Algebra, Dolmen. 1993

[5] Alamiro Robledo., Lecciones de Algebra Elemental Moderna.Editorial Universitaria. 1973

[6] Armando O. Rojo, Algebra, Ed. El Ateneo, Buenos Aires, 1992

[7] Elbridge Vance, Algebra superior moderna, 1965

286

Indice de terminos

Algebraicamente cerrado, 266Anillo, 203Antisimetrıa, 123Aritmetica, 213Asociatividad, 189Axioma, 14Axioma de Induccion, 71

Binomio de Newton, 83

Cancelable, 197Clase de equivalencia, 135Codominio de una funcion, 154Codominio de una relacion, 114Coeficiente supremo, 252Complejos conjugados, 225Complemento, 42Composicion de funciones, 163Congruencias en ZZ, 140Congruencias modulo n, 141Conjunto cuociente, 136Conjunto ordenado, 150Conjunto potencia, 46Conjunto universal, 36Conjunto vacıo, 37Conmutatividad, 189Construccion de Q, 144Construccion de ZZ, 142Construccion de los numeros com-

plejos, 219

Construccion de los naturalessegun Peano, 70

Contradiccion, 13Contraejemplo, 41Cuantificadores, 38Cuerpo, 204Cuociente, 264

Desarrollo del binomio, 97Descomposicion en C[X], 266Descomposicion en Q[X], 269Descomposicion en IR[X], 268,

269Distancia, 230Distancia entre numeros com-

plejos, 226Distributividad, 190Division Euclidiana, 263, 264Divisibilidad de polinomios, 259Divisor de cero, 203Divisores propios, 262Dominio de una funcion, 154Dominio de una relacion, 113

Elemento absorbente, 192Elemento cancelable, 197Elemento idempotente, 192Elemento inverso, 193Elemento neutro, 190

288

Capıtulo 8.Polinomios 289

Elevacion a potencia de un numerocomplejo, 233

Estructura algebraica, 187, 188Estructura algebraica de los numeros

complejos, 222Estructura de ZZn, 207Estructura de Sn, 208Extension de una funcion, 161Extraccion de raıces, 236

Factorial, 83Factorizacion de un polinomio,

261Forma exponencial de un numero

complejo, 240Forma polar de un numero com-

plejo, 231Fracciones racionales, 276Funcion biyectiva, 162Funcion epiyectiva, 162Funcion inversa, 164Funcion inyectiva, 162Funcion polinomica, 255, 256Funcion racional, 276Funciones, 153Funciones entre conjuntos fini-

tos, 172, 175Funciones entre conjuntos no fini-

tos, 177

Grado de un polinomio, 251Grafo de una relacion, 116Grupo, 200

Idempotente, 192Igualdad de conjuntos, 36Igualdad de funciones, 158

Igualdad de numeros comple-jos, 220

Igualdad de pares ordenados, 109Igualdad de polinomios, 251Imagen de una funcion, 154Imagen de una relacion, 114Imagen recıproca, 159, 160Indeterminada, 250Inverso, 193

Ley de composicion interna, 187,188

Multiplicacion de numeros com-plejos, 232

Multiplicidad de una raız, 256

Numero combinatorio, 85Numero combinatorio , 87Numero factorial, 83Numeros complejos, 219Numeros naturales, 70

Par ordenado, 109Paradojas, 8Parte imaginaria, 220Parte real, 220Particion, 138Permutaciones, 168, 169Polinomio complejo, 250Polinomio constante, 252Polinomio irreductible, 263Polinomio monico, 252Polinomio racional, 250Polinomio real, 250Polinomio sobre K, 250Polinomios, 249Postulados de Peano, 70


Predicado, 36Producto cartesiano, 109, 110Progresion aritmetica, 66Progresion geometrica, 67Proposicion Logica, 7Proposiciones equivalentes, 9

Raıces de un polinomio, 256Reduccion de circuitos, 30Reflexividad, 117Relacion de equivalencia, 131Relacion de orden parcial, 150Relacion de orden total, 150Relaciones binarias, 109, 117Relaciones de equivalencia, 130Relaciones de orden, 149Relaciones entre conjunto, 112Resto, 264Restriccion, 161

Simetrıa, 120Subconjunto, 41Subestructuras, 198Subgrupo, 204Subgrupo propio, 205Suma de cuadrados, 64, 69, 71Suma de cubos, 72Suma de los multiplos de 4, 74Suma de los numeros impares,

73Suma de los numeros pares, 73Suma de polinomios, 253Sumatoria, 57Sumatoria propiedades, 58

Tautologıa, 13Teo. Fund. sobre rel. de equiv.,

138

Teorema, 14Teorema de Cayley, 208Teorema de descomposicion unica,

263Teorema de Descomposicion en

IR[X], 269Teorema del Binomio, 98Teorema del Factor, 265Teorema del Resto, 265Teorema Fundamental del Al-

gebra, 267Transitividad, 122Triangulo de Pascal, 88, 100

Valor absoluto, 226Valor de verdad, 10

ALGEBRA -Maria Teresa Alcalde Cesar Brgueño

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