Algebra_-_método_simplex

7/28/2019 Algebra_-_mtodo_simplex

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El mtodo del simplex. Ejercicios resueltos y comentados

1.- Resolver utilizando el mtodo del simplex el programa siguiente

Max

sujeto a

x x x

x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

9

2 3 9

3 2 2 15

0

+ +

+ + + +

, ,

.

Solucin:

Paso 1: En primer lugar, transformamos este programa de forma cannica a forma estndar mediante la

introduccin de dos variables de holgura

Max

sujeto a

x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

h h

h

h

h h

1 2 3 1 2

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 1 2

9 0 0

2 3 9

3 2 2 15

0

+ + + +

+ + + =

+ + + =, , , ,

Expresamos ahora los componentes del problema en forma matricial

C X

x

x

x

x

x

A Bh

h

=

=

=

=

1

9

1

0

0

1 2 3 1 0

3 2 2 0 1

9

15

1

2

3

1

2

; ; ;

y comprobamos que rg rgA A B= =( , ) 2 . Esto significa que el sistema AX B= es compatible.

Adems obtenemos una base cannica en la matrizA utilizando las dos ltimas columnas lo que implica que

no son necesarias variables artificiales para este problema.

Paso 2: Determinamos una primera solucin factible bsica utilizando la matriz bsica cannica Ab =

1 0

0 1,

y tenemos X A Bb01 1 0

0 1

9

15

9

15= =

=

Esta solucin bsica es factible no degenerada y permite considerar las variables de holgura como bsicas y

sus costes asociadas como bsicos

Xx

xb

h

h=

1

2

C00

0=

.

Las variables deholgura se

incorporan a lafuncin objetivo con

costos (coeficientes)

nulos.Este es el

cuerpo de lasrestriccionesRestricciones de no

negatividad para las

variables


2/10

Paso 3: Como se trata de un problema de maximizacin utilizaremos el siguiente esquema para la primera

tabla del simplex

XT

CT

z cj j C A CT T0 C BT

0

Calculamos en primer lugar los valores C A CT T0 y C BT

0 y luego sustituimos en esta primera tabla

C A CT T

0 = ( , ) ( , , , , ) ( , , , , )0 01 2 3 1 0

3 2 2 0 119 1 0 0 1 9 1 0 0

=

C BT

0 0 09

150=

=( , )

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

x

h

h1

2

0

0

1 2 3 1 0

3 2 2 0 1

9

15

z cj j -1 -9 -1 0 0 0

Paso 4: Para evitar confusiones prescindimos de los valores de la segunda columna y a continuacin

localizaremos el nmero ms negativo de la ltima fila (excluyendo la ltima columna). La columna del

cuerpo de la tabla que est situada inmediatamente encima ser la columna de trabajo.

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

x

h

h1

2

[ ]

[ ]

1 2 3 1 0

3 2 2 0 1

9

15

z cj j -1 -9 -1 0 0 0

X Cb b A BEste es el cuerpo de

la tablaAqu se

disponen las

variables bsicasy sus costes

asociados

Este es el nmero

ms negativo de la

ltima fila (sin contarel elemento de la

ltima columna)

Esta es la columna

de trabajo


3/10

Ahora dividiremos cada nmero de la ltima columna del cuerpo de la tabla por el correspondiente en la

columna de trabajo

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

x

h

h1

2

[ ]

[ ]

1 2 3 1 0

3 2 2 0 1

9

15

z cj j -1 -9 -1 0 0 0

y obtenemos los valores 9/2 = 4,5 y 15/2= 7,5. Entre tales valores se escoge el que d un resultado menor

y el elemento de la columna de trabajo que proporciona este valor mnimo se distingue como elemento

pivote.

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

x

h

h1

2

1 2 3 1 0

3 2 2 0 1

*

9

15

z cj j -1 -9 -1 0 0 0

Paso 5: Prescindimosde los valores numricos de la ltima fila de la tabla y utilizando operaciones

elementales defilas reducimos a ceros todos los elementos de la columna de trabajo distintos del pivote y a

ste lo hacemos igual a la unidad

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

x

h

h1

2

1 2 1 3 2 1 2 0

3 2 2 0 1

/ / /*

9 2

15

/

z cj j

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

x

h

h1

2

1 2 1 3 2 1 2 0

2 0 1 1 1

/ / /*

9 2

6

/

z cj j

A la segunda fila leaadimos el

resultado demultiplicar (-2) por

la primera

Este es el elemento

pivote

Hemos multiplicado

por todos loselementos de la

primera fila del

cuerpo de la tabla


4/10

Paso 6: La variable bsica situada en la fila del pivote pasa a ser no bsica y la variable no bsica situada en

la columna del pivote pasa a ser bsica. Aadimos ahora sus costes asociados. (Sealemos que no es

conveniente retocar las variables de la primera fila de la tabla).

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 00

x

xh2

2

9

0

1 2 1 3 2 1 2 0

2 0 1 1 1

/ / /*

9 2

6

/

z cj j

Paso 7: Reiteramos los pasos 3 y 4 y volvemos a efectar los clculos z cj j , teniendo en cuenta que ahora

es

A =

1 2 1 3 2 1 2 0

2 0 1 1 1

/ / /*; B =

9 2

6

/; C0

9

0=

y resulta

C A CT0 9 01 2 1 3 2 1 2 0

2 0 1 1 11 91 0 0 7 2 0 25 2 9 2 0 =

=( , )

/ / /( , , , , ) ( / , , / , / , )

*

C BT

0 9 09 2

681 2=

=( , )

// .

Reiteracin del paso 3x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

xh2

2

9

0

1 2 1 3 2 1 2 0

2 0 1 1 1

/ / /*

9 2

6

/

z cj j 7/2 0 25/2 9/2

0

81/2

Reiteracin del paso 4: No es posible debido a que no hay valores negativos en la ltima fila (sin contar laltima columna). En consecuencia, el algoritmo se detiene. En el caso de que hubiera aparecido un

nmero negativo en esta ltima fila, deberemos reiterar los pasos 5, 6 y 7.

Una vez que el algoritmo se ha detenido, identificamos las variables bsicas presentes, que en este caso,

son x xh2 2, y les asociamos los valores de la ltima columna del cuerpo de la tabla


5/10

x x x x xh h1 2 3 1 2

1 9 1 0 0

x

xh2

2

9

0

1 2 1 3 2 1 2 0

2 0 1 1 1

/ / /*

9 2

6

/

z cj j 7/2 0 25/2 9/2

0

81/2

x

xh2

2

9 2

6

=

/

y el resto de las variables se hace cero

x

x

xh

1

3

1

0

0

0

=

quedando como vector solucin

x

x

xx

x

h

h

1

2

3

1

2

0

9 2

00

6

=

/

y como valor mximo de la funcin objetivo tenemos el indicado en la ltima fila y ltima columna: 81/2.

2.- Resolver utilizando el mtodo del simplex el programa siguiente

Min

sujeto a

z x x

x x

x x

x x

= +

+ + =

80 60

0 20 0 32 0 25

1

0

1 2

1 2

1 2

1 2

, , ,

,

.

Solucin:

Paso 1: Transformamos este programa de forma mixta a forma estndar mediante la introduccin de una

variable de holgura

Min

sujeto a

z x x x

x x x

x x

x x x

= + +

+ + =+ =

80 60 0

0 20 0 32 0 25

1

0

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3

, , ,

, ,

.

Como no podemos obtener una base cannica para la determinacin de la primera solucin factible bsica,debemos introducir una variable artificial en la ltima restriccin. Esta variable artificial se incorpora a la

funcin objetivo con un coeficienteMmuy grande con el fin de que el algoritmo quede penalizado por los

valores de esta variable

Min

sujeto a

z x x x Mx

x x x

x x x

x x x x

= + + +

+ + =+ + =

80 60 0

0 20 0 32 0 25

1

0

1 2 3 4

1 2 3

1 2 4

1 2 3 4

, , ,

, , ,

.


6/10

Expresamos el programa en forma matricial

C

M

X

x

x

x

x

A B=

=

=

=

80

60

0

0 20 0 32 1 0

1 1 0 1

0 25

1

1

2

3

4

; ;, ,

;,

y ahora podemos comprobar que rg rgA A B= =( , ) 2 .

Paso 2: Determinamos una primera solucin factible bsica utilizando la matriz bsica cannica Ab =

1 0

0 1,

y tenemos X A Bb01 1 0

0 1

0 25

1

0 25

1= =

=

, ,. Esta solucin bsica es factible y no degenerada, pudiendo

escribir

Xx

xb =

3

4

CM

0

0=

.

Paso 3: Como se trata de un problema de minimizacin utilizaremos el siguiente esquema para la primera

tabla del simplex

XT

CT

c zj j C C AT T 0 C BT

0

Vamos a efectar los clculos y sustituir en esta primera tabla

( , , , ) ( , ), ,

( , , , ); ( . ),

80 60 0 00 20 0 32 1 0

1 1 0 180 60 0 0 0

0 25

1M M M M M M

=

=

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

c zj j 80-M 60-M 0 0 -M

Paso 4: Para evitar errores de redondeo vamos a desglosar la ltima linea de la primera tabla en dos lineas.

La primera contiene a los trminos que no contienenMy la segunda a los trminos que lo contienen.

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

X Cb b A B

x

x M

3

4

0

0 20 0 32 1 0

1 1 0 1

, ,

0 25

1

,


7/10

80 60 0 0

-1 -1 0 0

0

-1

Paso 5: Se aplica ahora el algoritmo del simplex a la ltima fila de la tabla anterior, considerando que el

cuerpo de la tabla se amplia con la penltima fila. As buscamos, en primer lugar, el elemento ms

negativo de esta ltima fila (sin incluir la ltima columna).

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

x

x

3

4

0 20 0 32 1 0

1 1 0 1

, ,

80 60 0 0

0 25

1

,

0

-1 -1 0 0 - 1

De esta forma, la columna de trabajo es la primera del cuerpo de la tabla

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

x

x

3

4

[ ][ ]

0 20 0 32 1 0

1 1 0 1

, ,

80 60 0 0

0 25

1

,

0

-1 -1 0 0 - 1

x

x M

3

4

0

0 20 0 32 1 0

1 1 0 1

, ,

0 25

1

,

Hay dos elementos

ms negativos, y

elegimos este por

comodidad


8/10

Dividimos cada elemento de la ltima columna del cuerpo de la tabla por el correspondiente en la columna

de trabajo.

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

x

x3

4 [ ]

[ ]0 20 0 32 1 0

1 1 0 1, ,

80 60 0 0

0 25

1

,

0

- 1 -1 0 0 - 1

y obtenemos 0,25 /0,20 = 1,25 , 1/1 = 1. Esto nos indica que el elemento pivote es el segundo de la primera

columna del cuerpo de la tabla

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

x

x

3

4

0 20 0 32 1 0

1 1 0 1

, ,*

80 60 0 0

0 25

1

,

0

- 1 -1 0 0 - 1

A continuacin hacemos ceros con operaciones elementales de filas en el cuerpo de la tabla

y en la ltima fila.

x x x x1 2 3 4

80 60 0 M

x

x

3

4

0 012 1 0 20

1 1 0 1

, ,

0 -20 0 -80

0 05

1

,

-80

0 0 0 1 0

Cambiamos las variables bsicas y no bsicas. As x1 pasa a ser bsica y x4 deja de ser bsica.

Observacin importante: Siempre que una variable artificial deja de ser bsica, se elimina de la

primera lnea de la tabla junto con toda la columna por debajo de ella.

Como la variable x4 es artificial y ha dejado de ser bsica, podemos eliminar toda la columna por debajo de

ella.

Observacin importante: La ltima fila de la tabla puede eliminarse si nos da todo ceros.


9/10

Como esto ocurre en nuestra tabla podemos suprimir la ltima fila.

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

3

1

0 0 12 1

1 1 0

,

0 -20 0

0 05

1

,

-80

Calculamos de nuevo C C AT T 0 y C BT

0 , con los valores

A =

0 0 12 1

1 1 0

,; B =

0 05

1

,; C0

0

80=

,

( , , ) ( , ),

( , , )80 60 0 0 800 0 12 1

1 1 00 20 0

= ;

= ( , )

,0 80

0 05

180

resultando la tabla

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

3

1

0 0 12 1

1 1 0

,

0 -20 0

0 05

1

,

-80

c zj j 0 -20 0 -80

El nmero ms negativo en la ltima fila (excluyendo el correspondiente a la ltima columna) es -20, luego

la columna de x2 es la columna de trabajo.

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

3

1

[ ]

[ ]

0 0 12 1

1 1 0

,

0 -20 0

0 05

1

,

-80

0 -20 0 -80

Las razones entre los elementos de ltima columna y los correspondientes de la columna de trabajo son

0,05/0,12= 0,417 y 1/1 =1. De esta manera, el elemento pivote es el 0,12.

Esta es la columna

de trabajo

correspondiente al

nmero ms negativo


10/10

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

3

1

0 0 12 1

1 1 0

, *

0 -20 0

0 05

1

,

-80

Convertimos el pivote en 1 y hacemos ceros de forma adecuada

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

3

1

0 1 8 333

1 1 0

,

0 -20 0

0 416

1

,

-80

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

3

1

0 1 8 333

1 0 8 333

,

,

0 0 166,7

0 416

0 584

,

,

-71,68

Entra como variable bsica x2 y sale como no bsica x3 quedando.

x x x1 2 3

80 60 0

x

x

2

1

0 1 8 333

1 0 8 333

,

,

0 0 166,7

0 416

0 584

,

,

-71,68

Como en la ltima fila no aparecen elementos negativos se termina la aplicacin del algoritmo y la solucin

es z= 7168, ya que se cambia el signo del valor obtenido en la ltima fila y columna. Este valor se alcanza

para x x1 20 584 0 416= =, , , .

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