1. Algebra Universal Clase 2 2. Teora de Nmeros: - Es la rama de la matemtica relacionada con las propiedades de los nmeros en general y los nmeros enteros en particular. - De acuerdo a los mtodos usados, la teora de nmeros se divide en diversos campos de estudio. - Cientos de personas trabajan con problemas de la Teora de Nmeros en la Internet. - Ejercicio: Aplicaciones de la Criptografa? 3. Los nmeros mas importantes para la criptografa, son los enteros positivos, en especial: LOS NMEROS PRIMOS Fueron estudiados hace 2500 aos por los griegos. Pierre Fermat Leonhard Euler 4. Nmeros Primos: Un nmero primo es un nmero natural mayor que 1 que tiene nicamente dos divisores distintos, el mismo y el 1. Se contraponen as a los compuestos, que son aquellos que tienen algn divisor natural, a parte de s mismos y del 1.. El nmero 1, por convenio, no se considera ni compuesto ni primo. Los nmeros primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Existen infinitos nmeros primos. 5. Durante el siglo XX se ha desarrollado muchas tcnicas para el estudio de los nmeros primos. El desarrollo moderno de la Teora de Nmeros fue posible gracias a Carl F. Gauss. Desarrollo de las congruencias: 6. Dados nmeros compuestos, un problema clave es obtener o verificar la existencia de nmeros primos. Test de primalidad (Primality test) Factorizar un entero positivo en primos es otro problema central en la Teora de Nmeros. La factorizacin se puede hacer usando el mtodo Divisin Trial (Trial Division). Existen otros mtodos mas eficientes (que descubrieron Fermat, Euler y otros matemticos) La dicotoma entre el tiempo requerido para hallar primos grandes y el tiempo requerido para factorizar enteros grandes, son principios fundamentales de grandes sistemas de encriptacin, como RSA. 7. Otra parte importante de la teora de nmeros es la bsqueda de soluciones enteras. Ecuaciones de Diofanto. Ecuacin de Fermat. Ejercicio: Soluciones??? En su ltimo teorema Fermat dijo: Si n es un entero con n>2, la ecuacin no tiene solucin, para x, y, z enteros. 8. Los enteros, funciones Nmeros enteros: Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Funciones: - Floor function. - Ceil function. - Round function. 9. Divisibilidad Definicin: Sean a,b enteros con b 0. Decimos que b divide a a si existe un entero c tal que a = bc. Si b divide a a, escribimos b|a. Ejemplos: -13|182, -3|33, 6 44 10. Algoritmo de la Divisin Un nmero es divisible por otro, cuando la divisin es exacta, es decir, el residuo es cero. Criterios de divisibilidad: 11. Criterios de divisibilidad: 12. Criterios de divisibilidad: 13. Existen otros criterios de divisibilidad (por 4, 6, 8, 9, 10, 25, 125). Nmeros Primos Un entero p > 1, se dice primo si sus nicos divisores son 1 y p. Si p no es primo, se dice compuesto. Los nmeros primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Cmo saber si un nmero es primo? El problema de decidir si un nmero es primo no es en general fcil. Si n es un nmero muy grande, nos llevara a hacer, demasiados clculos. 14. Cmo Saber si es Primo? Dividir el nmero entre todos los menores a el, y que solo tenga 2 divisores (1 y el mismo). Dividir el nmero entre los primos inferiores a su raz cuadrada (). Y cmo se cuales son los primos menores a dicha raz? Ejemplos: 103 es primo? = 103 10.1, los primos inferiores a 10 son 2, 3, 5, 7 y ninguno de ellos divide a 103, por lo tanto 103 es primo. 2311 es primo? Cuntos primos hay? Hay un nmero infinito de primos (Euclides). 15. Cmo Colar nmeros primos? (Criba de Eratstenes) Cmo vimos anteriormente, se requiere conocer una lista de primos para saber si un nmero es primo. Este mtodo para determinar la primalidad se conoce como ensayo y error o trial divisin. Es efectivo para nmeros pequeos, pero no para nmeros muy grandes. La manera ms eficiente de colar primos pequeos es La Criba de Eratstenes. Permite colar todos los primos menores que un nmero natural n, eliminando los nmeros compuestos de la lista {2, , n}. Es simple y razonablemente eficiente mientras no haya almacenamiento (este es su punto dbil). 16. Cmo Colar nmeros primos? Primero tomamos una lista de nmeros {2, 3, , n} y eliminamos de la lista los mltiplos de 2. Luego tomamos el primer entero despus de 2 que no fue borrado (3) y eliminamos la lista de sus mltiplos, y as sucesivamente. 17. Cmo Colar nmeros primos? Primer refinamiento: Descartar solo los pares, excepto el 2, los pares no son primos, as que podramos continuar tachando solamente sobre la lista de impares. Segundo refinamiento; Continuar tachando de p2 k en adelante. En el paso k-esimo hay que tachar los mltiplos del primo pk desde p2 k en adelante. Por ejemplo cuando nos toca tachar los mltiplos del primo 7 ya se han eliminado los mltiplos de 2, 3 y 5 es decir 2 x 7, 3 x 7, 5 x 7 y 6 x 7. Por eso iniciamos en 72. 18. Cmo Colar nmeros primos? Tercer refinamiento: Tachar mientras p2 k