Algebra vectorial 1
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Sistema de Referencia
Sistema de Coordenadas
Sistema de Medición de tiempo
Cuerpo de referencia
SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES
Cada punto esta
marcado con las
coordenadas (x, y).
(x, y) Q(-3, 9)
P(6, 3)
x
y
•Un punto de referencia fijo O,
denominado el origen.
•Un conjunto de ejes especificados
con escalas y leyendas apropiadas
sobre los ejes.
•Instrucciones de cómo marcar un
punto en relación con el origen y los
ejes.
Un sistema que se utiliza con
frecuencia es el sistema
rectangular o cartesiano
Se compone de:
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
22
tan
sen
cos
yxr
x
y
ry
rx
Se cumplen las siguientes
relaciones entre el sistema
rectangular y polar..
(x, y)
r
O
y
x
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
I) Magnitudes vectoriales
Los vectores Son entidades matemáticas con
* Magnitud: * Dirección: * Y Sentido:
Magnitudes Vectoriales
Posición Desplazamiento Fuerza
Campo Magnético
… etc
SIMBOLOGÍA
Vector que entra (-) Vector que sale (+)
ALGEBRA VECTORIAL
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres
elementos idénticos
2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma
magnitud y dirección pero sentido opuesto
ALGEBRA VECTORIAL: SUMA VECTORIAL Considere dos vectores A y B como se muestra.
El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley
de cosenos-
La dirección mediante la ley de cosenos
2 2
2 cosR A B A B
( )
AR B
sen sen sen
ALGEBRA VECTORIAL: RESTA VECTORIAL Considere dos vectores A y B como se muestra.
El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
La magnitud del vector diferencia D es
La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B
( )
AD B
sen sen sen
LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL 1. Conmutatividad.
2. Asociatividad
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es un nuevo vector . La
magnitud del vector producto es c veces la magnitud del
vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma
dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector
producto es de sentido opuesto a
cA
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR
1. Les asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe
2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma
de dos vectores se tiene
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la suma de dos escalares por el vector
A se tiene
SUMA DE VARIOS VECTORES
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
poligono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del
paralelogramo o del triángulo. Es decir
VI. VECTOR UNITARIO
Es un vector colineal con el vector original
Tiene un módulo igual a la unidad
Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆ
A
Ae
A
ˆAA A e
II) Caracterización de Vectores
Los vectores deben referirse SIEMPRE a un Sistema de Coordenadas
* Sistema Estándar o “Dextrógiro”
* Vectores unitarios rectangulares Son vectores “Base” 3D u
“ortonormales” (perpendiculares y de
longitud unitaria)
ˆˆ ˆi j k
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
ˆ ˆ
ˆ ˆcos
ˆ ˆ(cos )
ˆ
ˆ ˆˆ (cos )
x y
x y
A
A
A A A
A A i A j
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
e i sen j
2 2
x yA A A y
x
A
Atg
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3. En el espacio. Cualquier vector puede
descomponerse en tres componentes
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
22 2 2
x y zA A A A
cos 𝛽 =𝐴𝑋𝐴
cos 𝛾 =𝐴𝑋𝐴
cos 𝛼 =𝐴𝑋𝐴
Con la “combinación lineal” de estos tres vectores base se puede
especificar cualquier vector
Ejemplo:
Luego:
Por lo tanto, existen dos formas de escribir el vector u:
Y también:
* Módulo y versor de un vector arbitrario
Sea
- La longitud o “módulo” de A es:
- Y el versor de A es:
Ejemplo: NOTA: el versor indica los
“Cosenos Directores”:
III) Suma y Resta de Vectores
A = (Ax , Ay) = (1,3)
B = (Bx , By) = (2, 1)
* VECTOR SUMA C = A + B
- Método del Paralelógramo
- Método Cartesiano
Luego:
* VECTOR RESTA: C = A - B
- Método del paralelógramo
- Método cartesiano
En este caso:
Operaciones con vectores II:
Producto Escalar:
Dados dos vectores A y B se
define como producto
escalar:
A.B = | A | . | B | . cos
donde es el ángulo que
forman los dos vectores.
De la definición:
332211. bababaBA
Proyección de un vector sobre otro
A • B = |A| |B| cos(θ). |A| cos(θ) es la
proyección escalar de A en B
Ángulos entre dos vectores
Vectores ortogonales
Vectores paralelos o en una misma dirección
Multiplicación de Vectores
* Producto Punto El resultado SIEMPRE es un ESCALAR
- Ejemplo:
Producto vectorial:
Se define como producto
vectorial de los vectores A y
B al vector V tal que
V = A B = [A B]
es perpendicular a A y B a
la vez y cuya magnitud se
define como:
| V | = | A |.| B | sen
Puede verse que la
magnitud del vector V es
igual al área definida por A
y B.
Observe el sentido de la
rotación.
A
B
V
* Producto Cruz El resultado es SIEMPRE un VECTOR
- Longitud de C:
Finalmente:
NOTAS
1) Producto cruz y rotaciones
Sean:
A = vector que indica el punto de aplicación de una fuerza respecto del eje de giro
B = Fuerza aplicada Se tendrá que AxB indica el vector “responsable”
de la rotación y se conoce como “Torque”
Observemos que el vector B se puede escribir
como la suma de dos vectores: uno paralelo a A y
otro perpendicular a A:
Observemos que sólo “B perpendicular”
contribuye a la rotación, de modo que:
2) Producto Cruz entre versores
El sentido antihorario es positivo.
Luego:
… etc
EJEMPLO:
Compruebe que:
3) En general, AxB se calcula con un determinante:
FIN
TAREA
1. Un vector tiene una componente x de -25.0 unidades y una
componente y de 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y
dirección de este vector.
2. Considere dos vectores A = 3i - 2j y B = -i - 4j. Calcule a)
A + B, b) A - B, c) |A + B|, d) |A - B| y e) las direcciones de A
+ B y A - B.
3. Una partícula efectúa los siguientes desplazamientos
consecutivos: 3.50 m al sur, 8.20 m al noreste y 15.0 m al
oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?