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Este artículo aporta elementos claves para la investigación en una cuestión  ampliamente debatida en esta década, que es el currículo de matemáticas que  incluye el tratamiento del álgebra. Sabemos que en los primeros cursos del  ace rcamiento a la m ism a apare cen dif icultade s e spe cíficas que no favore ce n el  aprendizaje y muchos menos un aprendizaje significativo. Reportamos refe-  rencias a problem as e spe f icos de la e nse ñanza- apre ndizaje de l álgebra e n  términos de dificultades, obstáculos y errores y al análisis del uso de diferen-  tes sistemas de representación aplicados a la enseñanza del álgebra y su con-  tribución a la búsqueda de significados para las expresiones algebraicas y las  ecuaciones lineales. The w ays of m eani ng, the sys tems of represe ntati on and err ors i n the scho ol al ge bra This paper gives specific elements for the research in a widely discussed ques-  tion, which is the curriculum of Mathematics that includes the treatment of  algebra. We know that in the first years dealing with algebra there appear spe-  cific difficulties which do not help the learning. We add references to specific  problem s of the te ach ing- le arning of algebra in term s of dif ficult ie s , obs tacles  and errors, and to the analysis of the use of different systems of representa-  tion applied to the teaching of algebra and its contribution to the search of  meanings for the algebraic expressions and lineal equations. La e nse ñanza - apre ndi zaje del álgeb ra es colar gene ra muchas dificulta- des al profesorado y a los alumnos y éstas son de naturaleza diversa. Su procedencia se puede concretar en el propio ámbito escolar, pero no só- lo en él, pues existen influencias de agentes externos a la propia escue- la, mas no ajenos a la dif ícil e m pre s a de la ens eñanza- ap rendizaje del álgebra , en este ni ve l educati vo. Durante los últimos veinte años el interés por el estudio de estas dificultades ha sido enorme, tanto desde la perspectiva del investiga- dor, como del profesor. Pero, los problemas que plantea la enseñanza- aprendizaje del álgebra no han sido resueltos y lo que debe ser enseña- do y aprendido en álgebra, está aún por determinar. El álgebra como materia escolar se introduce a finales del siglo pasado en los niveles de secundaria en los países europeos y america- nos. Los contenidos y su secuencia han permanecido casi inalterables hasta la fecha. Muchos cursos iniciales de álgebra en diferentes países em pi ezan con té rm inos li tera les y s u relación con refere ncias numéri cas dentro del contexto, primero de expresiones algebraicas, y, más tarde, ecuaciones. Después de un período breve donde se realizan sustitucio- nes numéricas en expresiones y ecuaciones, se trabaja la simplificación 7 | Un o Re vista de Didácti ca de las matemáti cas • n. 14 • pp. 7- 24 • octubre 1997 Las fuen t es de s i gni f i cado, los s is t em as de repres entaci ón y errores en el ál ge bra escol ar Martín M. Socas Robayna M. Mercedes P al area Medina Universidad de La Laguna Monografía Lenguaj es al gebr ai cos Introducción

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Este artículo aporta elementos claves para la investigación en una cuestión ampliamente debatida en esta década, que es el currículo de matemáticas que incluye el tratamiento del álgebra. Sabemos que en los primeros cursos del acercamiento a la misma aparecen dificultades específicas que no favorecen el aprendizaje y muchos menos un aprendizaje significativo. Reportamos refe- rencias a problemas específicos de la enseñanza-aprendizaje del álgebra en términos de dificultades, obstáculos y errores y al análisis del uso de diferen- tes sistemas de representación aplicados a la enseñanza del álgebra y su con- tribución a la búsqueda de significados para las expresiones algebraicas y las ecuaciones lineales.

The ways of meaning, the systems of representation and errors in theschool algebraThis paper gives specific elements for the research in a widely discussed ques- tion, which is the curriculum of Mathematics that includes the treatment of algebra. We know that in the first years dealing with algebra there appear spe- cific difficulties which do not help the learning. We add references to specific problems of the teaching-learning of algebra in terms of difficulties, obstacles and errors, and to the analysis of the use of different systems of representa- tion applied to the teaching of algebra and its contribution to the search of meanings for the algebraic expressions and lineal equations.

La enseñanza-aprendizaje del álgebra escolar genera muchas dificulta-des al profesorado y a los alumnos y éstas son de naturaleza diversa. Suprocedencia se puede concretar en el propio ámbito escolar, pero no só-lo en él, pues existen influencias de agentes externos a la propia escue-la, mas no ajenos a la difícil empresa de la enseñanza-aprendizaje delálgebra, en este nivel educativo.

Durante los últimos veinte años el interés por el estudio de estasdificultades ha sido enorme, tanto desde la perspectiva del investiga-dor, como del profesor. Pero, los problemas que plantea la enseñanza-aprendizaje del álgebra no han sido resueltos y lo que debe ser enseña-do y aprendido en álgebra, está aún por determinar.

El álgebra como materia escolar se introduce a finales del siglopasado en los niveles de secundaria en los países europeos y america-nos. Los contenidos y su secuencia han permanecido casi inalterableshasta la fecha. Muchos cursos iniciales de álgebra en diferentes paísesempiezan con términos literales y su relación con referencias numéricas

dentro del contexto, primero de expresiones algebraicas, y, más tarde,ecuaciones. Después de un período breve donde se realizan sustitucio-nes numéricas en expresiones y ecuaciones, se trabaja la simplificación

7| Uno Revista de Didáctica de las matemáticas • n. 14 • pp. 7-24 • octubre 1997

Las fuentes de significado, los sistemas derepresentación y errores en el álgebra escolar

Martín M. Socas RobaynaM. Mercedes PalareaMedinaUniversidad de La Laguna

MonografíaLenguajes algebraicos

Introducción

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de expresiones y la resolución de ecuaciones por métodos formales. Deesta manera, la manipulación y factorización de polinomios y expresio-nes racionales, se convierten en actividades regulares. Eventualmentealgunos programas incluyen funciones (lineales, cuadráticas, exponen-ciales, logarítmicas y trigononométricas) y sus representaciones alge-braicas, tabular y gráfica. Se intercalan problemas verbales, que preten-den ser aplicaciones en el “mundo real” de las técnicas algebraicas re-cién aprendidas. Estos contenidos son los que generalmente aparecenen todos los libros de texto de álgebra elemental (Kieran, 1992).

La caracterización del álgebra como una parte del pensamiento

matemático ha permanecido casi inalterable en este siglo.Las diferentes investigaciones acerca del pensamiento algebraicotratan de buscar respuestas a los principales interrogantes en torno a lanaturaleza del álgebra y a los procesos de pensamiento implicados, quefaciliten procesos de enseñanza-aprendizaje del álgebra significativos,tienen el soporte teórico en la llamada ciencia cognitiva, donde la psi-cología, la lingüística, la inteligencia artificial, la antropología, la filo-sofía, etc., juegan un papel esencial.

Actualmente hay cierta unanimidad sobre las competencias delálgebra en la escuela obligatoria -en el sentido de que ésta debe ocu-

parse del estudio de las “letras” o “variables” y de las propiedades quelas relacionan-, existen diferentes interpretaciones sobre las formas dealcanzar estas competencias en el lenguaje algebraico.

La interpretación que está más en consonancia con el desarrollohistórico del álgebra en sus tres etapas: retórica, sincopada y simbólica,sugiere que la forma más convencional de concebirla es como la rama delas matemáticas que trata de la simbolización de las relaciones numéri-cas generales, de las estructuras matemáticas y de las operaciones deesas estructuras. En este sentido, el álgebra escolar se interpreta comouna “aritmética generalizada” y como tal involucra a la formulación ymanipulación de relaciones y a propiedades numéricas. Es fundamental-mente ésta la propuesta que se contempla en el Diseño Curricular Basedel Área de Matemáticas para la Enseñanza Secundaria Obligatoria (12-16 años) en la Nueva Reforma del Sistema Educativo Español (1989).

Dado que la tarea de reflexión sobre este tema, desde la investiga-ción misma es muy amplia, en este artículo nos referiremos al pensa-miento algebraico en sus niveles más elementales: expresiones numéricasy alfanuméricas y ecuaciones lineales con una incógnita, en cuanto alcontenido, dejando expresamente, las cuestiones relativas al estudio de

relación de variabilidad entre cantidades y las funciones y sus gráficas.Las referencias a las investigaciones se harán desde las perspectivaspsicológicas (cognitivas) y lingüísticas. No abordamos el importantísimo

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papel que juegan los medios computacionales en el tratamiento de los pro-cesos de enseñanza-aprendizaje y en la investigación, ni otros acercamien-tos como, por ejemplo, la inteligencia artificial o la antropología, porquemerecen un tratamiento específico, dada su amplitud e importancia.

Sí abordaremos, en los dos tópicos antes mencionados, expresio-nes algebraicas y ecuaciones lineales, problemas específicos de la ense-ñanza-aprendizaje, en términos de dificultades, obstáculos y errores,así como la búsqueda de significados para las expresiones algebraicas ylas ecuaciones lineales, analizando el papel que juegan las diferentesrepresentaciones en el lenguaje algebraico, y sus implicaciones en el

currículo, en una propuesta de aprendizaje significativo del álgebra yen las interacciones en una clase de matemáticas.

La educación matemática como disciplina científica se ha abierto cami-no en el campo de la investigación hasta situarse en medio, entre las in-vestigaciones en ciencias y en ciencias humanas. La problemática espe-cífica de la enseñanza del álgebra participa de las ventajas y de las des-ventajas de esta situación. El soporte teórico de las investigaciones ac-tuales se encuentra fuertemente relacionado con la llamada ciencia

cognitiva, que busca dar respuesta a los principales interrogantes entorno a la naturaleza de los procesos de pensamiento en todos sus as-pectos, y, en particular, en relación a la construcción del conocimientomatemático. Dentro de esta nueva ciencia tienen especial relevancia losaportes de la psicología, la lingüística, la inteligencia artificial, la an-tropología, etc. De estas ciencias el enfoque psicológico es el que haaportado más elementos a los estudios sobre el aprendizaje del álgebra,aunque en últimas fechas, los estudios basados en la lingüística y en lainteligencia artificial son cada vez más significativos, y hay una ten-dencia más general que trata de encontrar respuestas a diferentes inte-rrogantes en el contexto cultural de los sujetos, por lo que la antropo-logía cada vez aporta más a la educación matemática.

El enfoque desde la perspectiva psicológica sobre la enseñanza-aprendizaje del álgebra se documenta bien en trabajos como Wagner yKieran (1989), Kieran y Filloy (1989) o Kieran (1992), donde se identifi-can los factores más significativos que afectan a la enseñanza-aprendi-zaje del álgebra en estos últimos cincuenta años. Estas investigacionesse realizan desde las perspectivas diferentes de los psicólogos cogniti-vos y de los didactas de las matemáticas y, a modo de síntesis, están di-

rigidas a determinar los procesos cognitivos involucrados en el aprendi-zaje del álgebra, en los que se pueden diferenciar dos grandes bloques:los procesos cognitivos que se derivan de considerar la aritmética como

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Características dealgunasinvestigacionesacerca de laenseñanza-aprendizaje del

álgebra

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fundamento del álgebra y los procesos específicos del pensamiento al-gebraico, y los intentos continuados de los investigadores por desarro-llar una teoría de la enseñanza-aprendizaje del álgebra.

Las investigaciones ponen de manifiesto las implicaciones que tienenpara el aprendizaje del álgebra, considerar la aritmética como su anteceso-ra; el álgebra no es simplemente una generalización de la aritmética; supo-ne un cambio en el pensamiento del estudiante y la dificultad para muchosprincipiantes en la transición desde lo que puede considerarse modo infor-mal de representación y resolución de problemas, al modo formal.

En álgebra los alumnos y alumnas necesitan reconocer y usar es-

tructuras que han podido evitar en la aritmética al no tener que llegar ala formalización, ya que les basta implicarse en procedimientos intuiti-vos e informales. Se observa, de los resultados de estas investigaciones,que las dificultades que los estudiantes tienen están centradas en:

.el significado de las letras,

.el cambio a una serie de convenciones diferentes de las usadasen aritmética

.el reconocimiento y uso de estructuras.

En segundo lugar, se pone de manifiesto, la falta de modelos teóricos

para la enseñanza-aprendizaje del álgebra, al estilo de Kieren (1988)para la construcción del número racional, o de Van Hiele (1987) para lasnociones geométricas, aunque en la década de los ochenta cabe desta-car las adaptaciones del modelo Piagetiano de las etapas de desarrollopara los conceptos del álgebra (Küchemann, 1981 y Booth, 1984).

Frente a la concepción conceptualista de la década de los setenta,apoyada en posiciones constructivistas que tienen su origen en la psico-logía genética de Piaget, aparecen, en la década de los ochenta y noven-ta, tendencias en las investigaciones de la matemática escolar a conside-rarla como lenguaje y en especial el lenguaje algebraico por ser el álgebrael lenguaje básico de las matemáticas. Este enfoque lingüístico se docu-menta bien en el trabajo de Rojano (1994). A lo largo de estas casi dos dé-cadas se va despertando el interés por los aspectos semánticos y sintácti-cos de la matemática, para poder explicar las observaciones hechas acer-ca de las interpretaciones y usos que los estudiantes dan a los símbolosmatemáticos, y se va observando un cambio significativo en la educaciónmatemática que lleva a considerar esta disciplina como un lenguaje.

Estas tendencias conducen a reformulaciones importantes y aplanteamientos que varían de unos autores a otros. Así, los aspectos

semántico y sintáctico del lenguaje matemático se han convertidoen centro de atención de las investigaciones, como consecuencia delas observaciones realizadas en estudios que incluyen tareas de tra-

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ducción del lenguaje matemático a otro lenguaje o viceversa.Existen investigaciones con una fuerte orientación didáctica queaplican los conocimientos actuales sobre la psicolingüística al estudiode la matemática como es el caso de Pimm (1987), que además sitúa sutrabajo en las matemáticas como lenguaje; este autor pretende cons-truir las matemáticas en términos lingüísticos con el elemento básicode la «metáfora» entendida como (Lakoff y Johnson, 1980) comprendery experimentar una cosa en términos de otra.

Como resumen de esta tendencia, Rojano (1994) señala que las in-vestigaciones ponen de manifiesto que el lenguaje matemático guarda

diferencias sustanciales con las lenguas vernáculas y por ello el conoci-miento, la experiencia y los métodos de investigación propios de ellas, nopueden ser aplicados de manera directa al caso del álgebra. Se observangrandes variaciones en el panorama de investigación como consecuenciade que las bases teóricas de éstas se corresponden con diferentes corrien-tes de la psicolingüística, y son además, una manifestación de la ausenciade un paradigma para el estudio del sistema matemático de signos, queabarque sus aspectos sintáctico, semántico, pragmático y sociocultural.

El álgebra resulta difícil e incluso irrelevante para muchos alumnos yalumnas, y algunos llegan a experimentar un rechazo tan intenso que im-pregna el conjunto de su actitud hacia las matemáticas. Para ellos, lo queles pedimos hacer en álgebra no tiene un significado real subyacente. Mu-chos estudiantes no están dispuestos en el mismo sentido que el profeso-rado, que se muestra siempre ansioso por pasar al tema siguiente, e intro-duce ideas algebraicas demasiado pronto y demasiado deprisa. La explica-ción piagetiana de este fenómeno se correspondería con el razonamientosegún el cual, el desarrollo a partir del pensamiento operacional concretopara pasar al pensamiento operacional formal, no está lo suficientementeavanzado en el momento en que deseamos progresar para llegar a las si-guientes ideas algebraicas. En términos de la teoría piagetiana, sólo en laetapa de las operaciones formales se puede esperar que vaya desapare-ciendo la dependencia de los referentes concretos. Frecuentemente todosnecesitamos funcionar en un nivel más concreto y a menudo, es útil unaintroducción de modelos y de distintos sistemas de representación.

Como ya hemos señalado, el poder del álgebra radica en la posibilidadde realizar una manipulación extensiva de relaciones entre variables den-tro de un sistema de representación semiótico (SRS) completamente con-

fiable, que no requiere una atención continua del significado referencial delas expresiones intermedias generadas en la representación. El hecho deque este sistema de representación puede realizar transformaciones y ope-

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La búsqueda designificados y lossistemas derepresentaciónen álgebra

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raciones sobre sí mismo es sin lugar a dudas un factor de su eficiencia. Peroa su vez, las aplicaciones de álgebra en entornos muy concretos le confiereun significado más plausible, y hasta cierto punto, esos entornos o situa-ciones empíricas son el origen histórico y genético del álgebra.

Los objetos de álgebra, al igual que el resto de los objetos de lasmatemáticas, se presentan bajo un aparente dilema con estatus dife-rente: el estatus operacional, de carácter dinámico, donde los objetosson vistos como un proceso, y el estatus conceptual, de carácter estáti-co, donde los objetos son vistos como una entidad conceptual. Peromientras el estatus conceptual del objeto matemático se presenta orga-

nizado en diferentes redes conceptuales y es plenamente aceptado, losSRS que caracterizan el estatus operacional (representaciones numéri-cas, códigos algebraicos, gráficas, diagramas, etc.) en los que los obje-tos son expresados y comunicados, ha recibido menor atención por losmatemáticos y en el sistema educativo.

Sin embargo, las matemáticas no pueden ser comunicadas sin es-tos sistemas de representación y en muchas ocasiones, los estudiantes yprofesores trabajan con sistemas de representación intermedios (dia-gramas, geométricos, balanza, etc.) de manera inconsciente, con la in-tención de que ayude al estudiante a ser competente en el sistema de

representación convencional apropiado.Kaput (1987) señala que cualquier SRS se ocupa al menos de cua-

tro fuentes de significado:.Las traslaciones entres SRS formales, por ejemplo, las traslacio-

nes entre los sistemas de representación formal aritmético y for-mal algebraico.

.Las traslaciones entre SRS formales y no formales, por ejemplo,las traslaciones entre representaciones mediante el lenguaje na-tural, las representaciones físicas, las representaciones geomé-tricas, los diagramas, etc. y la representación formal algebraica.

.Las transformaciones y operaciones dentro de un mismo SRS, sinreferencia a ningún otro SRS, por ejemplo, las transformacionesy operaciones dentro del sistema de representación formal alge-braico, sin otro significado referencial que sí mismo.

.La consolidación a través de la construcción de objetos mentalesmediante acciones, procedimientos y conceptos que se dan enlos SRS intermedios, creados durante el desarrollo de la secuen-cia de enseñanza. Estos SRS intermedios se integran en SRS másabstractros y sirven de base para nuevas acciones, procedimien-

tos y conceptos en un nivel de generalización mayor (a veces de-nominado: «abstracción reflexiva», «encapsulación», «reifica-ción», «generalización», etc.).

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En el álgebra, entendida como «aritmética generalizada», todo cálculoalgebraico se construye a partir de las cinco propiedades característicasdel sistema numérico: a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a . b = b . a;(a . b) . c = a . (b . c); a. (b + c) = a . b + a . c y George Peacock (1791-1858) afirma que todas las reglas anteriores que se verifican en los nú-meros naturales, siguen verificándose para los demás números y objetosrepresentados por las letras. Por eso el nivel de comprensión del álgebraestá muy relacionado con la progresión que se sigue en la utilización delas letras, siendo una de las mayores dificultades con que se encuentranlos alumnos y alumnas, la del uso y significado de las mismas, y de ahí 

que se piense que las dificultades del álgebra se deben a la naturalezaabstracta de sus elementos.En general, en los procesos de enseñanza-aprendizaje del álgebra,

se observa que ésta toma su significado de tres fuentes diferentes:. El álgebra toma en parte su significado de los números y sus

operaciones. Las expresiones algebraicas pueden ser vistas comoenunciados de relaciones que pueden ser válidas entre númerosy operaciones en general;

.Las expresiones algebraicas y las reglas de transformación tam-bién pueden referirse a situaciones reales donde las relaciones

entre cantidades juegan un papel determinante. Situaciones quepueden matematizarse expresando sus relaciones cuantitativascon una formalización matemática adecuada. Esto se da cuandoal resolver un problema, primero escribimos una ecuación ade-cuada. También es posible usar una situación real para explicar y

 justificar las reglas de transformación..En un determinado nivel el significado del álgebra está conteni-

do completamente en el sistema formal, es decir, las expresionesalgebraicas tienen significado en cuanto que están bien forma-das conforme a las condiciones del sistema formal.

Para un aprendiz del álgebra no es suficiente obtener el resultado de lasexpresiones algebraicas de una sola fuente, sino que hay que complemen-tarlo con las tres, para asegurar una comprensión adecuada y flexible.

Los objetos matemáticos se comunican mediante los SRS y existendiferentes tipos de representaciones que favorecen una comprensión másamplia de los conceptos, sin embargo, existe la preocupación entre losmatemáticos y los profesores de matemáticas para que los alumnos noconfundan los objetos matemáticos con sus representaciones, y es por

ello por lo que se ha favorecido los SRS más formales frente a los SRS másvisuales o también caracterizados como representaciones más intuitivas.Pero el dominio de un SRS formal es más una meta que un camino

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donde aparece una sucesión de estadios de desarrollo cognitivo que sedan, hasta producir competencia, en el manejo del SRS formal:.el estadio semiótico, donde los alumnos aprenden signos nuevos

que adquieren significado con los signos antiguos ya conocidos,.estadio estructural, donde el sistema nuevo se estructura según

la organización del antiguo; aparecen en este estadio estructu-ral verdaderas dificultades cognitivas que al no ser explicadaspor el sistema antiguo, se recurre a la observación de regularida-des y comportamientos patrones para dotarlos de significado,

.estadio autónomo donde los signos actúan con significados pro-

pios independientemente del sistema anterior. Es éste el procesode generalización de las matemáticas y es una característica dela misma como parte inherente del desarrollo de sus signos. Portanto, el sistema nuevo es una fuente de dificultades al encon-trarnos con elementos que no pueden ser conocidos en términosdel sistema de signos antiguo, como es el caso del álgebra.

Las investigaciones sobre la visualización en matemáticas y el papel delas imágenes mentales, han puesto de manifiesto la importancia de lasrepresentaciones para la formación adecuada de conceptos.

Diversos investigadores, Janvier (1987), Hiebert (1988), Kaput (1987,1991), Duval (1993, 1995), han realizado experimentos y desarrollado as-pectos teóricos con la intención de aclarar los mecanismos de articulaciónque se dan dentro de un proceso de comprensión del conocimiento.

 Janvier (1987), tomando como ejemplo el concepto de función,usa una figura en forma de estrella de cinco puntas, la cual, en cadauna de las esquinas exhibe una representación de la función (descrip-ción verbal, objeto, tabla, gráfica y fórmula). Proporciona algunos re-sultados que muestran la importancia de las representaciones y la nece-sidad de efectuar «un proceso de traducción» entre representaciones,como una etapa importante en la construcción del concepto.

Hiebert (1988) elabora una teoría para explicar el desarrollo de lacompetencia del manejo de los símbolos matemáticos escritos (entendi-dos como entidades que se usan para ocupar el lugar de otras). Proponeuna sucesión de procesos cognitivos que se acumulan para producir lacompetencia en el manejo de dichos símbolos. Identifica cinco tipos deprocesos básicos: conectar o relacionar los símbolos individuales con susreferentes; desarrollar procedimientos de manipulación de símbolos;elaborar procedimientos para los símbolos; rutinizar los procedimientos

con los símbolos; y, construir un sistema de símbolos más abstracto.Cada tipo de proceso debe emplearse y debe hacerse siguiendo lasecuencia señalada.

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El uso de los primeros procesos permite la fundamentación deldominio de los procesos posteriores. Desde este punto de vista, losprimeros conocimientos y experiencias son cruciales para el aprendi-zaje posterior. Por lo tanto, la teoría sugiere que muchas de las defi-ciencias que muestran los estudiantes al trabajar con símbolos escri-tos, se debe a que éstos se involucran en los procesos más avanzadossin tener los fundamentos de los procesos más elementales. El sentidoacumulativo de esta teoría indica que los primeros procesos no sondescartados, sino empleados como nuevos procesos que se adquiereny usan.

Kaput (1987, 1991) desarrolla un acercamiento teórico para expli-car el uso de los símbolos matemáticos. Señala, 1991, que:He intentado expresar relaciones entre la «notación A (escrita, dibujada,

etc.) y el referente B» donde cada uno (y quizá la correspondencia) es ex- 

presable en forma material, pero donde la relación referencial existe sólo 

en términos de operaciones mentales de los miembros de un dominio 

consensual particular.

Es claro que Kaput subraya la presencia de operaciones mentales y quelas transformaciones (acciones) de una representación a otra, juegan un

papel importante en la construcción de conceptos matemáticos.Duval (1993, 1995) realiza un trabajo teórico, coherente y unifica-

dor (Semiosis- aprehensión o producción de una representación semió-tica-, y, Noesis -articulación de varias representaciones semióticas-) delos diferentes acercamientos teóricos, a las representaciones.

Duval (1993) caracteriza un sistema semiótico como un sistema derepresentación de la manera siguiente:

un sistema semiótico puede ser un registro de representación, si permite 

tres actividades cognitivas relacionadas con la semiosis:

.La presencia de una representación identificable...

. El tratamiento de una representación que es la transformación de la

representación dentro del mismo registro donde ha sido formada...

.La conversión de una representación es la transformación de la repre- 

sentación en otra representación de otro registro en la que se conserva

la totalidad o parte del significado de la representación inicial...

Sobre la construcción de conceptos, Duval (1993), establece que:toda representación es parcialmente cognitiva con respecto a lo que re- 

presenta» y por tanto: «la comprensión (integral) de un contenido con- 

ceptual está basada en la coordinación de al menos dos registros de re- presentación, y esta coordinación queda de manifiesto por medio del uso 

rápido y la espontaneidad de la conversión cognitiva.

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Parece razonable aceptar que la apropiación de un objeto matemático

difícilmente puede lograrse sin reunir a diversas representaciones delmismo. La manipulación por parte de los estudiantes de representacio-nes matemáticas les proporciona los medios para construir imágenesmentales de un objeto matemático y la riqueza de la imagen del objetoconstruido dependerá de las representaciones que el sujeto haya utili-zado.

De nuestros estudios experimentales sobre lenguaje algebraico(Palarea y Socas, 1994 a, 1994 b) hemos constatado la necesidad de am-pliar las fuentes de significados para el lenguaje algebraico a SRS deprocedencia visual (registros geométricos) (Palarea y Socas, 1994 b),

quedando determinada las fuentes de significado para el álgebra comose indica en el cuadro 1 que en términos de la tesis de Duval interaccio-nan de la manera que figura en el cuadro 2.

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Lenguajes algebraicos

Cuadro 1

Registros form ales

(SRS form al algebraico)

Núm eros y operaciones

(SRS form al aritm ético)

Registros geom étricos

(SRS visual geom étrico)

Situaciones reales que

involucran cantidades y relaciones

Cuadro 2

Objeto cognitivo representado

Objeto matemático

Representación mental Representación mental

SRSvisual-geométrico

(analógico)(semántico-sintáctico)

SRSformal algebraico

(digital)(semántico-sintáctico)

Noesis

Semiosis

 Transformación Transformación

Semiosis

Conversión

Conversión

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Problemasespecíficos en laenseñanza-aprendizaje delálgebra escolar.Dificultades,obstáculos y errores

El álgebra escolar es considerada como una de las partes de la matemáticaque influye considerablemente en el aspecto formativo, por la potencia ysimplicidad de sus registros formales y por sus métodos, pero su aprendi-zaje genera muchas dificultades a los alumnos y alumnas y estas dificulta-des son de naturaleza diferente, y tienen que ver con la complejidad de losobjetos del álgebra, con los procesos de pensamiento algebraico, con eldesarrollo cognitivo de los alumnos y alumnas, con los métodos de ense-ñanza y con actitudes afectivas y emocionales hacia el álgebra.

Estas dificultades de procedencia distinta se conectan y refuerzanen redes complejas que se concretan en la práctica en forma de obstá-

culos y se manifiestan en el alumnado, mediante errores.Con relación a las dificultades asociadas a la complejidad de losobjetos del álgebra, observamos como éstos operan a dos niveles, el ni-vel semántico -los signos son dados con un significado claro y preciso-,y el nivel sintáctico - los signos pueden ser operados mediante reglas sinreferencia directa a ningún significado-. Son éstos dos aspectos los queponen de manifiesto la naturaleza abstracta y la complejidad de losconceptos matemáticos.

En relación a las dificultades asociadas a los procesos de pensa-miento en álgebra, también se observa que se ponen de manifiesto en la

naturaleza lógica del álgebra y en las rupturas que se dan necesaria-mente en relación a los modos de pensamiento algebraico.

Los modos de pensamiento algebraico provocan rupturas que seconvierten en dificultades en el proceso normal de construcción del co-nocimiento matemático. El saber matemático anterior produce modelosimplícitos para resolver los problemas matemáticos. Muchas veces estosmodelos son adecuados, pero otras, por el contrario, aparecen como di-ficultades para el saber matemático nuevo, el saber algebraico.

Estas dificultades, en general, no se pueden evitar ya que formanparte del proceso normal de construcción del conocimiento matemáti-co, pero los profesores tienen que conocerlas y reflexionar sobre ellaspara facilitar su explicitación por parte de los alumnos. Si se quedanimplícitas, es muy difícil incorporar otro saber nuevo.

Veamos a título de ejemplo como al quedar implícito un modelo,éste constituye un conflicto para otros. Así por ejemplo a los modelos «a x + b», «x2», « » ó «1/x», se les suele aplicar las propiedades de li-

nealidad:(a + b)2 = a2 + b2, = + , 1/(x + y)= 1/x + 1/y,donde este primer error adquiere más fuerza a causa de la analo-

gía con (a+b) (a-b) = a2 - b2.A otras funciones también se les aplica las propiedades de linealidadsen 3a = 3 sen a o 2n +m= 2n + 2m.

baa b+

 x

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Las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrolla-dos para el aprendizaje del álgebra tienen que ver con la institución es-colar, con el currículo y con los métodos de enseñanza de la misma.

Las dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivode los alumnos y alumnas tiene que ver con los estadios generales deldesarrollo intelectual, representado cada uno de ellos por un modo ca-racterístico de razonamiento y por unas tareas específicas de álgebraque los alumnos y alumnas son capaces de hacer. Nos encontramos, sinembargo, con diferentes teorías generales sobre el desarrollo cognitivoque, por distintas razones, no han tenido un efecto claro y directo en

las aulas de matemáticas de secundaria.En relación a las dificultades asociadas a actitudes afectivas yemocionales, sabemos de las dificultades de muchos estudiantes haciael álgebra. Muchos tienen sentimientos de tensión y miedo hacia el ál-gebra. Sin lugar a duda, muchos son los aspectos que influyen en estaaversión. Por ejemplo, la naturaleza jerárquica del conocimiento mate-mático, la actitud de los profesores y profesoras de matemáticas haciasus alumnos y alumnas, los estilos de enseñanza y las actitudes y creen-cias hacia las matemáticas que les son transmitidas.

Otro elemento que tiene que ver con la organización de los errores

es la noción de obstáculo. El concepto de obstáculo fue introducido porprimera vez por el filósofo francés Bachelard (1938) en el contexto delas ciencias experimentales y bajo la denominación de obstáculo episte-mológico.

El traslado del concepto de obstáculo epistemológico al campo dela didáctica de las matemáticas es objeto de debate, ya que plantea di-ficultades que han sido descritas por personas como Brousseau (1983),Sierpinska (1985), Artigue (1989)...

Un obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta de cono-cimiento. Tiene un dominio de eficacia. El alumnado lo utiliza para pro-ducir respuestas adaptadas en un cierto contexto en el que el dominiode ese conocimiento es eficaz y adecuado. Cuando se usa este conoci-miento fuera de ese contexto genera respuestas inadecuadas, inclusoincorrectas; el dominio resulta falso. Es resistente, y resultará más resis-tente cuanto mejor adquirido esté, o cuanto más haya demostrado sueficacia y su potencia en el anterior dominio de validez. Es indispensa-ble identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber y aún así después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándose es-porádicamente.

Como señala Matz (1980) «los errores son intentos razonables perono exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situa-ción». Los errores aparecen en el trabajo de los alumnos y alumnas sobre

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álgebra, concatenación denota multiplicación. Esto explica por qué va-rios estudiantes cuando se les pidió sustituir 2 por a en 3a, pensaron queel resultado sería 32. Sólo cuando específicamente se les requirió respon-der «en álgebra», respondieron 3veces2 (Chalouh y Herscovics, 1988).

Errores que tienen su origen en ausencia del sentidoAl originarse estos errores en los diferentes estadios de desarrollo

que se dan en los sistemas de representación (semiótico, estructural yautónomo), podemos diferenciar errores en tres etapas distintas.

Errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética.El significado de los signos usados es el mismo en ambas ramas delas matemáticas. El álgebra no está separada de la aritmética y aquéllase puede considerar con la perspectiva de aritmética generalizada. Deaquí que para entender la generalización de relaciones y procesos se re-quiere que éstos sean antes asimilados dentro del contexto aritmético.Por eso, a veces las dificultades que los estudiantes encuentran en álge-bra, no son tanto dificultades en la misma como problemas que se que-dan sin corregir en la aritmética, por ejemplo, en el caso de las fraccio-nes, uso de paréntesis, potencias, etc.

Ejemplos de estos errores son los cometidos por los alumnos yalumnas que no dominan las operaciones con fracciones y dan resulta-dos como:

1/2 + 1/3 = 1 / (2 + 3) (1/x + 1/y = 1 / (x + y)1/2 + 1/3 = 2 / (2 + 3) (1/x + 1/y = 2 / (x + y)1/2 + 1/3 = 1 / (2 . 3) (1/x + 1/y = 1 / (x . y)

 También surgen muchos errores en la suma o la resta de fraccio-nes. Por ejemplo, para calcular 3/28 + 8/35, escriben 3/28 + 8/35 = (3 +8)/( 4. 7. 5) que, traducido algebraicamente, da x/(y . z) + k/(y . p) = ( x +k)/(y . z . p)

Otras veces, con la preocupación de no olvidar los factores por losque hay que multiplicar los numeradores primitivos, omiten éstos. Así 3 / 28 + 8 / 35 = (5 + 4)/( 4. 7. 5)

 Y, de forma análoga, x/(y . z) + k/(y . p) = ( z + p)/(y. z. p)El signo «-», sobre todo cuando va colocado delante de un parén-

tesis o de una fracción, genera frecuentes errores:(3 + 5) = - 3 + 5 ( (a + b) = - a + b- (3 + 5)/4 = - 3 / 4 + 5/4 ( - (a + b) / c = - a/c + b/c

Errores de procedimientos Son consecuencia del uso inapropiado de «fórmulas» o «reglas deprocedimiento»: los alumnos y alumnas usan inadecuadamente una

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fórmula o regla conocida, que han extraído de un prototipo o libro detexto, y la usan tal cual la conocen o la adaptan a una situación nueva. Tienden así un «puente» para cubrir el vacío entre reglas conocidas yproblemas no familiares. La mayoría de estos errores se originan comofalsas generalizaciones sobre operadores, por falta de linealidad de losmismos.

Estos errores se pueden agrupar en:.Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva, ya sea

como extensión de la propiedad distributiva de la multiplicacióncon relación a la adición (o sustracción), al caso de la multiplica-

ción, por ejemplo: a . (b + c) = a .b + a . c ( a . (b . c) = a . b . a . c, oextienden la estructura (a . b)2 = a2 . b2 al caso de la suma, (a +b)2 = a2 + b2, de un modo inconsciente, para los alumnos yalumnas muy natural; o, análogamente con las raíces: es muyfrecuente extender la distributividad de la radicación respecto ala multiplicación, a la distributividad de la radicación respecto ala adición o sustracción.

.Errores relativos aluso de recíprocos:1/x + 1/y = 1/(x + y) 1/x + 1/y = 2/(x + y) 1/x + 1/y = 1/(x . y)

.Erroresde cancelación:

Por ejemplo: (x . y)/( x . z ) = y/z se extiende a: (x + y)/ (x + z) = y + z

Estos tipos de errores parecen indicar que los alumnos y alumnas gene-ralizan procedimientos que se verifican en determinadas ocasiones.

Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico.Estos errores son de naturaleza estrictamente algebraica y no tie-

nen referencia explícita en la aritmética; cabe destacar el sentido delsigno «=» en su paso de la aritmética al álgebra y la sustitución formal.

En el primero, sentido del signo «=» aparece un cambio importan-te. El sentido de igualdad aritmética sólo se conserva en álgebra cuandotrabajamos con tautologías algebraicas, no en expresiones como 4 x - 3= 2 x + 7, que sólo es verdadera cuando x = 5, pues el signo igual en unaecuación no conexiona expresiones equivalentes.

En el segundo, sustitución formal, queremos señalar que los pro-cesos de sustitución que conducen de 3 . 5 = 5 . 3, a, a . b = b . a, sonprocesos formales, que no incluimos en la sustitución formal propia-mente dicha, y que denominamos procesos de generalización.

La sustitución formal es un instrumento de cálculo algebraico im-portante a causa de su amplio campo de aplicaciones. Por ejemplo, de laidentidad (a + b) . (a - b) = a2 - b2 se obtiene, al reemplazar a por a + c y

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b por b + d, la igualdad (a + c + b + d) . (a + c - b - d) = (a + c)2

- (b + d)2

,donde, variables de una expresión, son sustituidas por expresiones máscomplejas, que son nuevamente variables.

Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocio-nalesSon errores de naturaleza diversa: faltas de concentración (excesi-

va confianza), distracciones debidas a la presencia de palabras clave ode rasgos perceptuales, bloqueos, olvidos, omisiones, creencias, etc.

Esta distinción de los errores en tres ejes, obviamente no disjun-

tos, nos permite centrar la atención en ellos y realizar una evaluación ydiagnóstico más eficaz para poder ayudar a los estudiantes en sus difi-cultades cognitivas y sus carencias de sentido de los objetos matemáti-cos y en el desarrollo de una actitud racional hacia las matemáticas.

Hemos señalado como los diferentes desarrollos del currículo del álgebrahan ignorado el enorme interés que los SRS tienen en la construcción delconocimiento algebraico y lo han considerado, en el mejor de los casos co-mo un añadido al proceso de conceptualización. Sin embargo, en el apren-

dizaje del álgebra, los SRS ocupan un lugar central donde la habilidad paracambiar de registros constituye una capacidad matemática esencial.

Muchas de las dificultades que presentan nuestros alumnos yalumnas en álgebra y que ponen de manifiesto en los errores que come-ten, sobre todo los que tienen su origen en ausencia de significado yque están relacionados con las dificultades asociadas a la complejidadde los objetos algebraicos y a los procesos de pensamiento algebraico,pueden ser explicados como una falta de coordinación de registros delas representaciones.

Para entender mejor la aprehensión de los objetos matemáticos, esdecir, la construcción de los conceptos y procedimientos matemáticos porparte de los alumnos y alumnas, es necesario entre otros elementos unateoría del conocimiento que no sólo organice y articule las redes concep-tuales, sino que se apoye en una teoría de la representación (por ejemplo,semiosis y noesis), donde el conocimiento del objeto matemático aparececomo el invariante de las diferentes representaciones semióticas.

Finalmente, para hacer una propuesta de enseñanza-aprendizajesignificativa del álgebra ésta ha de ser presentada como un lenguajeque admite diferentes SRS que sirven de fuente de significado para la

misma. Abordar el aprendizaje del lenguaje algebraico desde el uso dediferentes SRS, permite analizar, desde una perspectiva cognitiva, lasoperaciones, procesos y estrategias que utiliza el alumnado cuando

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Consideracionesfinales

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Referencias

bibliográficas 

construye este conocimiento, proporcionándole medios que le ayuden areflexionar sobre sus propios procesos cognitivos, además de facilitarlas interacciones entre el profesorado, los estudiantes y el contenido.

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Martín M. Socas Robayna, Catedrático de Escuela Universitaria. Departamentode Análisis Matemático. Área de Didáctica de las Matemáticas. Universidad deLa Laguna. E-mail: [email protected]íneas de investigación: Formación de profesores; pensamiento numérico y al-gebraico.

M. Mercedes Palarea Medina, Profesora Titular de Escuela Universitaria. Depar-tamento de Análisis Matemático. Área de Didáctica de las Matemáticas. Univer-

sidad de La Laguna. E-mail: [email protected]íneas de investigación: Formación de profesores; pensamiento numérico y al-gebraico.

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Referencias de los

autores