Algebra y Geometria

Banco de Preguntas de Algebra y Geometría

BANCO DE PREGUNTAS DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA PARA LOS ASPIRANTES A OFICIALES DE ARMA Y TÉCNICOS DE LA LXVIII PROMOCIÓN ESMA.

ALGEBRA

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES:

Calcular las siguientes expresiones.

1. −23−

154 × 2

25×5+1

−4÷�−19�−1−�1−13�

2+��− 3

28�(−21)

2. 𝑥

𝑥−𝑦−𝑦

𝑥−𝑦𝑥

𝑥−𝑦+𝑦

𝑥−𝑦

3. - 𝑎−2

𝑎−4+𝑎−1

+𝑎−2𝑏−1+𝑏−2

𝑏−2+𝑏−4

4. ��√853𝑎3�

5+ � 𝑎

√𝑎𝑛𝑛−1

FACTORAR LOS SIGUIENTES EXPRESIONES:

5.- 18x2 − 13𝑥 − 5

6.- x5 + 32 7.- x − 2√𝑥 + 1

8.- 𝑥 − 1

9.- √𝑥 + √3

10.- 8−n+1−4−𝑛 × 2𝑛

4(22𝑛)−1

11.- � 64𝑎−6 𝑏2/3

125𝑎−9 𝑏−4/3�23�

12.- 𝑎2𝑏2

c÷ �𝑎

2 𝑐2

𝑏÷ �𝑏

2𝑐2

𝑎� �ac

𝑏2��÷ �𝑎𝑏

𝑐2÷ 𝑏𝑐

𝑎2��

FACTORAR:

13.- 49𝑚4 − 151𝑚2𝑛4 + 81𝑛8

GENERATRIZ:

14.- Dado P(x) ER demostrar que P(x)E R = 6760

siendo que:

1


P(x)= 1,05-1.055….+ 0,210100,9090×0,2

– 0,0033….× 9,999 ….

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

15.- Si la masa de una partícula es 4,3 × 10−7 gramos, entonces la masa de 5 millones de esas partículas.¿ es más próxima a 1 gramo, 10 gramos, 100 gramos o 1000 gramos?

16.- La masa de una molécula de agua es: 0.00000000000000000000003 gramos es:

17.- La distancia de la tierra al sol es 149000000 Km.

PRODUCTOS NOTABLES:

18.- 24𝑥4 + 3𝑥

19.- 𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 4

20.- Se va a construir una caja abierta con una pieza de cartón rectangular de 1 pie por 3 pies, recortando cuadrados idénticos de longitud x de cada una de las esquinas de la hoja de cartón y doblado luego los lados por líneas punteadas como se muestra en la gráfica. Determine el volumen de la caja en términos de x.

EXPRESAR LO SIGUIENTE EN SU FORMA RADICAL MÁS SIMPLE:

21.- � 𝑥−29 (𝑥+1)

3

22.- � 29𝑚

23.- √𝑥24 − √𝑥64 √𝑥+1

RACIONALIZAR EL DENOMINADOR:

24.- √33

�9− √633

25.- √𝑎−√𝑏√𝑎+√𝑏

X

XX

X

X

X

X

X

3 pies

2


26.- 5�𝑚2− 3m � 2

9𝑚 + √8𝑚3 − 1

2 √50𝑚

27.- Hallar la raíz cuadrada de 4𝑥4 − 25𝑥2 − 24𝑥 + 16

28.-Calcular la altura de un triángulo ABC de ( BD=h); cuyos lados son AB=9m;BC=12m;CA=15m.

29.- �2√𝑥 − 3�𝑦��2√𝑥 + 3�𝑦�

30.- ��𝑥 + 𝑦 �2− �√𝑥 + �𝑦�

2

DADOS LOS INTERVALOS EXPRESAR GRÁFICAMENTE:

31.- ⌊−5 , 10⌋ = ⌈𝑋𝐸𝑅 /−5 ≤×≤ 10⌉

32.- ⌊1 , 5⌋ = ⌈𝑋𝐸𝑅 /(𝑥 < 1) ∨ ( 𝑥 ≥ 5⌉

33.- (−∝ ,−2) = (𝑥 𝑙 𝐸𝑅 / 𝑥 > −2)

34.- Expresar el valor absoluto de:

|−332 , 87|


�√32�


�√−52�

37.- Sea el conjunto A= (-2, -1, 0, 1,2) y ∆ una operación en A tal que a ∆ b = |𝑎| + |𝑏| −2 ;𝑎, 𝑏 𝐸𝐴. identifique el valor de verdad de cada proposición.

38.- ∀ 𝑎 𝐸 𝐴∃𝑏 ∈ 𝐴 ⌈𝑎 ∆𝑏 = 0⌉

39.- Sea el conjunto de A=⌈−2 ,−1 , 0 , 1 , 2⌉ y ∆ una operación binaria en A tal que a∆ b = |𝑎| + |𝑏| − 2 ;𝑎, 𝑏 𝐸𝐴.

40.- Identifique el valor de verdad de cada proporción.

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴(𝑎∆𝑏 = 𝑏∆𝑎)

La operación no es asociativa esta proposición es falsa.

41.- �14− 4

5� ≤ �1

4� + �− 4

5�

42.- �−3− 12� ≥ �⌊−3⌋ − �1

2��

3


NÚMEROS COMPLEJOS:

43.- (3 + 4𝑖) + (5 − 6𝑖)

44.- (𝑎 + 𝑏𝑖) (𝑐 − 𝑑𝑖)

45.- 7−4𝑖2+𝑖

DETERMINE EL VALOR DE LA EXPRESIÓN:

46.- 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + ⋯+ 𝑖10

47.- a+𝑏𝑖

c+ 𝑑𝑖

ECUACIONES, LINEALES, CUADRÁTICAS:

48.- (5 − 3𝑥) − (−4𝑥 + 6) = (8𝑥 + 11) − 3𝑥 − 6

49.- Dada la formula 𝑃 = 𝐾𝑣 𝑇

, donde K es una constante, ¿ que ocurre a T cuando P se duplica

y V se triplica.

50.- Una tienda de descuento de computadoras realiza una barata de fin de verano de dos tipos de computadoras. Se obtiene $41800 por la venta de 58 computadoras. Si uno de los dos tipos se vendió a $600 y el otro a $ 850. ¿Cuantas computadoras de cada tipo se vendieron?

51.- Pérez puede procesar 200 formas por hora y Martínez puede procesar 150 formas por

hora. ¿Cuánto tardarían en procesar 900 formas trabajando juntos. Si pereza comienza 12

hora después de Martínez?

52.- 5𝑥 + 8(20 − 𝑥) ≥ 2 (𝑥 − 5)

53.- Una solución al 10% de alcohol debe mezclarse con una solución al 25% de alcohol para producir 24 litros de una solución que tenga al menos 15% pero no más de mezcla 20% de alcohol. ¿cuánta solución al 10% de alcohol puede utilizarse para producir una mezcla con un contenido de alcohol dentro de los límites dados?.

54.- Sea R y P(x): 3𝑥2 − 11𝑥 + 6 = 0 , determine Ap (x).

55.- Utilizando la formula general para resolución de ecuaciones cuadráticas sea:

IR y P(x): 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0, determine Ap (x).

56.- √𝑥 + √𝑥 + 1 = √2𝑥 + 1

55.- Una solución de sal se hizo 10% y la otra al 25% ¿Cuantos litros de cada una se deben mezclar para obtener 20 litros de solución al 16% de sal?

4


57.- 4𝑥 + 3 ≥ 12𝑥 − 13

58.- Sea R y P(x) 𝑥21 − 𝑥 − 2 ≥ 0 determine Ap(x).

RESOLVER LA SIGUIENTE ECUACIÓN:

59.- (2𝑥 − 5) = (3𝑥 − 5)

60.- Despejar x: (5𝑥 − 3) < 8 y graficar.

61.- �23

𝑥 + 1� > 5

SISTEMAS DE ECUACIONES:

62.- Resolver por suma y resta los siguientes sistemas de ecuaciones.

𝑥 + 𝑦6

− y − x

3=

724

𝑥2

+ x − y

6=

512

63.- Resolver por sustitución el sistema de ecuaciones.

72x − 24𝑦 = 42

8x − 2𝑦 = 5

64.- Resolver el siguiente sistema por igualación o suma y resta.

2𝑥

+ 2𝑦

= 𝑚 + 𝑛𝑚𝑛

𝑚𝑥− 𝑛𝑦

= 0

65.- Resolver el siguiente sistema.

2x + 𝑦 − 𝑧 = 2

x + 3𝑦 + 2𝑧 = 1

x + 𝑦 + 𝑧 = +2

66.- x + 𝑦 − 𝑧 = 1

2x + 𝑦 + 𝑧 = 2

x − 2𝑦 + 𝑧 = 3

5


67.- 2x2 − 3𝑦2 = 15

x2 + 2𝑦 2 = 11

68.- Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordán.

Una empresa de rentas de vehículos planea gastar 3 millones de dólares en adquirir 200 nuevos vehículos cada camioneta cuesta $10000, cada camión el doble de camionetas que de camiones pequeños. ¿ Cuantos vehículos de cada tipo pueden comprarse?.

69.- Resolver el siguiente sistema por el método de igualación.

5x − 3𝑦 = 7

2𝑥 − 4𝑦 = 8

INECUACIONES:

70.- Un promotor artístico quiere realizar un concierto. El costo del mismo puede ser cubierto con un pago único de $ 2440 o un pago de $ 1000 más el 40% de lo que se obtenga por la venta de las entradas. El pronostica que asistirán 800 personas. ¿Cuánto podría cobrar por el boleto de manera que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único?

71.- Demostrar que el conjunto de los vectores es un grupo (𝑣→; +)

∀𝑎→, 𝑏→, 𝑐→ 𝜖 𝑣→

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES:

72.- Calcular el número de maneras diferentes en que pueden sentarse los alumnos del curso “A”

𝑃𝑛 = 𝑛!

P 24

73.- Con estos números de conjunto 2𝑥 cuantas organizaciones pueden realizarse.

𝑃𝑛 = 𝑛!

74.- En la escuela superior Militar de Aviación “Cosme Rennella” en el departamento de comunicaciones existen 15 códigos, cuantos códigos diferentes pueden utilizar, sabiendo que 3 códigos son cortos y 5 son largos, 4 son medianos y el resto iguales.

75.- En una carrera participan 10 atletas ¿De cuantas formas distintas podrán ser permitidas los tres primeros lugares con medallas de oro plata y bronce.

76.- Calcular el número de permutaciones con las letras de la palabra Constantinopla.

6


77.- Para un cierto experimento se seleccionan 3 ratones de un grupo de 5 blancos y 4 cafés.

a) ¿ De cuantas maneras se pueden escoger 3 ratones blancos?.

78.- Para un cierto experimento se seleccionan 3 ratones de un grupo de 5 blancos y 4 cafés.

a) ¿ De cuantas maneras se pueden escoger 2 ratones blancos y 1 café?.

79.- Con 32 personas cuantas combinaciones de 6 elementos pueden realizarse.

80.- Calcular el número de combinaciones cuaternarias que pueden realizarse con los números múltiplos de 4 menores que 40.

81.- Calcular el valor de n sabiendo que combinaciones de n elementos tomados de 8 en 8 es igual a combinaciones de n elementos tomados de 7 en 7.

FUNCIONES MATEMÁTICA:

82.- Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 20 demostrar que 𝑓(7) = 5𝑓(−1)

83.- Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 20 demostrar que 𝑓(0) = −2𝑓(3)

84.- Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 5 ; 𝑓(𝑎 − 𝑏)

85.- Si 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑥−3

determine 𝑔 �1𝑥�

86.- Si ℎ(𝑥) = 𝑥3/2 y 𝑄(𝑥) = (𝑥2 + 1)−1 determine 𝑄[ℎ(𝑥)]

87.- 𝑓(𝑥) = 8𝑥3

; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 10 ; Halle 𝑄[𝑓(−2) + 𝑔 (2)]

88.- Si 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡+2 , ℎ(𝑡) = 𝑒𝑏 2 𝑡 y 𝑔(𝑦) = 𝑦𝑏2 Encuentre 𝑔 �𝑓(𝑡)ℎ(𝑡)�

89.- Si 𝑓(𝑥) = 1𝑥 determine 𝑓�√2 − √3�

90.- Si 𝑓(𝑥) = 1𝑥 determine 𝑓�√𝑥23 − √𝑥3 + 1�

91.- 𝑓(2 , 3) siendo 𝑓(𝑥) = 1𝑥

92.- f(x)= log 1−𝑥1+𝑥

demostrar 𝑓(𝑦) + 𝑓(𝑧) = 𝑓 � 𝑦+𝑧1+𝑦𝑧

�

93.- Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 siendo 𝑓(2𝑥 + 2) − 𝑓(3𝑥 − 1)

94.- 𝑓(𝑥) = 23𝑥−7 siendo 𝑓(2𝑥 + 1) − 𝑓(3𝑥 + 2) + 3𝑓(𝑥 − 3)

7


95.- Determine el dominio de la función.

𝑓(𝑥) =3

�⌊𝑥 − 1⌋ − 2

96.- Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥 siendo 𝑓 = � 𝑥−1√𝑥−15 �

LOGARITMOS:

97.- (1 + 𝑥)115 = 2.14710927

98.- Calcular n:

(1 + 0,05)𝑛 = 63,25435344

99.- 3,24 + (1 + 𝑥)50 = 6,345242 − 1

100.- 𝑛 = 34,2 ∗ 0,97 x √18725∗964153

(12,3 )4 ∗ �38715∗0,260,6487

5

101.- Calcular el valor de 𝑛: 48,25(1 + 𝑛)−20 = 478,4847342,15

− 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS:

102.- Encontrar el término número 20 y la suma de los 20 primeros términos de la progresión.

3 , 5 , 7 , 9 ………….

103.- Encontrar el término número 20 y la suma de los 20 primeros términos de la

−2 ,−234

,−324

, … … … ..

104.- Una empresa comercial tiene un incremento anual de 100 clientes Hoy tiene 12750. Con un nuevo programa de ventas espera incrementar los clientes 150 adicionales anuales. Cuantos clientes tendrá después de 10 años.

105.- Una empresa tiene ventas de $ 500.000 anuales y desea incrementar el 12% anualmente. ¿Cuánto venderá al inicio del año 12?

106.- El 5to término de una progresión aritmética es 7 y el 7mo término es 8 13 Hallar el 1er

término.

107.- El 1er término de una progresión A es S y el 18 término es -80. Hallar la razón.

108.- El 2do y el 4to término de una progresión aritmética suma 22 y el 3ro y 7mo término suman 34. ¿Cuántos son esos 4 términos?

8


109.- En el primer año de negocios un hombre ganó $500 y el último ganó $1900. Si en cada año ganó $200 más que el año anterior ¿Cuantos años tuvo el negocio?

110.- En una progresión aritmética de 12 términos el 1ro y el 2do término suman 53�12 ¿Cuál

es la suma de 3ro y el 10mo?

111.- El 5to término de la suma de términos es 31 y el 9no término es 59. Hallar el 12avo término.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS:

112.- Hallar el 8vo término de 34

,−12

, 13

113.- Hallar la razón de +5, ….640 de 8 términos.

114.- Hallar los 8 primeros términos de 2 14

, 1 12

, … … .. de la suma de progresión geométrica.

115.- 6 medios geométricos entre 2 y 34 1164

116.- Un hombre que ahorra cada año los 23 de lo que ahorro del año anterior el 5to año $160.

¿Cuánto ahorrará en 5 años?

117.- En una progresión geométrica de 5 términos el cuadrado del 3 término es 4/81. Si el último término es 8/81 ¿Cuál es el primer término?

118.- Un distribuidor vende 120 teléfonos en 4 días. Si cada día vendido 1/3 de lo que vendió el día anterior,¿ Cuantos teléfonos vendió el primer día?

119.- En la gráfica se indica un árbol genealógico que muestra tres generaciones anteriores y un total de 14 antecesores. Si usted tuviera que analizar su historia familiar 10 generaciones atrás ¿Cuántos ancestros encontrarías?

120.- 5 medios geométricos entre 128 y 2

121.- Interpolar tres medios geométricos entra 1 y 81

USTED

Padre Madre

9


GEOMETRÍA ANALÍTICA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN LOS DIFERENTES ESPACIOS: 1.- Calcular la distancia.

2.- Calcular la distancia.

3.- Calcular la distancia entre los puntos.

(2 , 3) Λ (2,−2)


(5 , 5) Λ (−2,−3)


A(3, 4, 5)

B(−2, 1, 3)

6.- Calcular el perímetro de la figura que une los puntos.

A(−2 , 0)

B(8 , 7)

C(8,−2)

7.- Calcular la superficie y el perímetro de los siguientes puntos que forman la figura.

A(4 , 3)

B(1 ,− 5)

C(−3, 2)

01

p14

p2

0-2p1

4p2

10


8.- Calcular la distancia entre los puntos P1 Λ P2

P1(5,−3,−2,−7, 6, 4)

P2(−2, 1, 6, 7, 0, 4)

9.- Calcular cuanto a recorrido la pelota lanzada desde el punto A por un jardinero hasta la tercera base (Punto B) en una cancha de beisbol.

A(280 , 20)

B(9 , 90)

10.- Que coordenadas tiene el punto C (x, y) del eje x que equidista de A (0, 6) y de B (5,1) y graficar.

11.- Encontrar las coordinadas del punto medio del segmento que une a P(3 , 1) Λ Q(9, 1)

12.- Si los vértices opuestos de un cuadrado tienen coordenadas (-2, -1) Λ (2, -1) ¿Cuáles son las coordinadas de su centro?

13.- Dividir en tres partes iguales un segmento de recta.

P1 (5, 3 )

P2 (-4, -5)

14.- Dados los P(5, 0) y Q (9,0) en el eje X y la razón r=-2. Busquemos el punto R que divide al segmento PQ, en la razón r.

15.- Dividir en siete partes iguales el segmento:

A (-10, 8 )

B (8, -10)

16.- Encuentra las coordenadas del punto R que satisface r = 23 , para el segmento dirigido

con extremos:

P(-3, 5) Λ Q (2, -4)

17.- La calcular la pendiente de un ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos.

P1(-4, 4)

P2(1, -3)

18.- Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos.

A(2, 2)

11


B(-2, -3)

19.- Encuentra el ángulo que forma la recta con el punto.

P(-3, 1)

Q�0,1,−3√3� con el eje X.

20.- Determine la ecuación de la recta l1 que contiene al punto Po(4, 2) que es paralela al eje x.

21.- Encuentra la ejecución de la recta que pasa por el punto P(4, -1) Λ Q(8, 3)

22.- Hallar los ángulos internos del triángulo formado por los siguientes puntos.

A(3 , 2) Angulo entre AB Λ AC

B(5 ,− 4)

C(2,− 2)

23.- A (3 , 2) Angulo entre B C Λ B A

B(5 ,− 4)

C(2,− 2)

24.- Encuentre el ángulo de la recta X=7 a la recta 5X-3Y=4.

25.- Escribimos la ecuación en forma de pendiente de la desigualdad de la región subrayada de L1 y L2.

L1= 6x+2y+3=0

L2=x+2y-16=0

26.- Determine la distancia del punto Po(-2, 1) a la recta L, cuya ecuación es 2x-3y=0.

27.- Calcular la ecuación de las rectas que se definen los segmentos de coordenadas.

a=3

b=4

28.- Encontrar la ecuación dada de los siguientes datos:

P(5, -4)

m = −23

12


29.- Calcular la ecuación de la recta que pasa por el P(2,3) y es paralela a b recta de ecuación 4x-5y=15

30.- Calcular la ecuación de la recta perpendicular a la recta de la ecuación 5x+2y-10=0 si pasa por el P(4,3).

31.- Determine si es simétrica con el eje de las x la : x2 + y2 = 49

32.- Determinar si es simétrica con el origen los siguientes.

x2 + y2 = 49

33.- Encuentra el vértice (bisectrices) de los ángulos formados por las rectas x=y Λ 3x+4y=2

34.- Calcular las intersecciones de x2y − 4y + x = 0

35.- Calcular las simetrías de la curva: x2y − 4y + x = 0

36.- Calcular el campo de variación de la ecuación x2 + y2 = 49

37.- Suponga que una zapatería determinan que venden 23 pares de zapatos por día, a $30 el par, y 20 pares por día a $36 el par. Suponga que existe una relación lineal entre P, el precio de un par de zapatos y N, el número de pares vendidas, pronostique el número de pares vendidos por dia a $ 40 el par.

38.- Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y)que equidistan de los puntos A(-5, 2) Λ B(1,4).

39.- Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x,y) tales que la diferencia de los cuadrados de sus lados de distancias a los puntos A(-2, -1) Λ B ( 0, 3)sean iguales a 16.

40.- Calcular la ecuación general de la recta que pasa por el punto (5, 3) y es paralela a la recta 6x-7y+8=0

41.- Encuentre el lugar geométrico de los puntos cuya distancia de origen es 4.

42.- Encuentra el lugar geométrico de los puntos equidistan de la recta y+1=0 y el punto P(0 , 1)

43.- Transformar la ecuación general 3x+4y-8=0 a la forma normal, reducida normal y calcular los parámetros ϱ y θ

44.- Calcular la distancia entre el punto (7,6) de la recta 3x+4y=8

45.- Calcular la ecuación de la recta normal definiendo el parámetro θ, ϱ de la ecuación 5x-7y+11=0

46.- Calcular la distancia de la recta 5x-7y+11=0 del punto (2,7)

13


47.- Calcular la ecuación normal de la recta y definir los parámetros ϱ y θ de la ecuación 7x-11y=11

48.- Calcular la distancia de la recta al punto (-2, -2) de la ecuación 7x-11y-11=0

49.- Dado: ϱ = 4 Λ θ = 7π4

calcular la ecuación general de la recta.

50.- Dado : ϱ = 3 Λ θ = 00 calcular la ecuación de la recta.

51.- Calcular la ecuación de la mediana de segmento de la recta formado por

P1(8, 3) ; P2 (-2, 4) Λ c(-3, -3) que forman un triángulo.

52.- Encontrar el lugar geométrico de los puntos, tal que suman de las distancias de los puntos ≠ (12 , 0)Λ ≠ (−12, 0) sean igual a 26

53.- Encuentre las coordenadas de los puntos A(3, -2), B(-7, 3) , C (2,4 , 8, 6) si se traslada el origen de coordenadas 0’ (-4,3)

54.- Trasladar los ejes para tener un nuevo sistema de coordenados con el 0’ en el punto medio del segmento con extremos A(5,5), B(11,-3) y proporciona las coordenadas de A y B con respecto al nuevo sistema de coordenadas.

14

Algebra y Geometria

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