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Diplomatura en Ciencia y Tecnología

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICAPRIMER CUATRIMESTRE DE 2007

Profesora Mariana Suarez

CRONOGRAMA- PROGRAMATRABAJOS PRACTICOS

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICAPRIMER CUATRIMESTRE DE 2007

Profesora Mariana Suarez

Condiciones de aprobación de la asignatura Asistencia: 75%. Las clases son teórico-prácticas.Evaluación: Aprobar tres parciales teórico-prácticos.

CRONOGRAMA

Primer parcial 13/4 10 hsRecuperatorio Primer parcial 4/5 12 hsSegundo parcial 21/5 10 hsRecuperatorio Segundo parcial 8/6 12 hsTercer parcial 29/6 10 hsRecuperatorio Tercer parcial 6/7 12 hsRecuperatorio general (sólo un parcial) 10/7 12 hs

Temas de los parciales

1. Primer parcial Polinomios. Números complejos. Binomio de Newton. Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales.Trabajos Prácticos 1 a 4.

2. Segundo parcial Determinantes. Matriz inversa. Regla de Cramer. Vectores en el plano y en el espacio. Rectas y planos.Trabajos Prácticos 5 a 8.

3. Tercer parcial Distancias. Cónicas. Superficies.Trabajos Prácticos 9 a 11.

Clases adicionales para uso de software (Mathematica y/o Matlab)

Se realizarán clases explicativas con el objetivo de tener una primera aproximación a la utilización del software. Los horarios se convendrán oportunamente.

Clases de consulta

Se agregarán horarios de consulta a convenir.

Programa analitico

I. NÚMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOSNúmeros complejos. Suma, resta y producto. Conjugado. Cociente. Representación en el plano. Forma trigonométrica: argumento y valor absoluto. Raíces. Fórmula de De Moivre.Polinomios en una indeterminada. Grado. Operaciones. Cociente.Teorema del resto. Raíces. Factorización. Multiplicidad. Teorema fundamental de álgebra. Potencias de un binomio. Fórmula de Newton.Apéndices: Funciones trigonométricas. Números primos.

II. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESIntroducción: sistemas lineales y matrices. Matrices especiales. Traspuesta. Suma y producto de matrices y propiedades. Operaciones elementales sobre filas y reducción a la forma escalonada y reducida. Matriz inversa y cálculo por operaciones elementales.Sistemas lineales: compatibles e incompatibles. Sistemas homogéneos. Resolución por Gauss-Jordan. Determinantes: definición, desarrollos y propiedades. Matriz adjunta e inversa usando determinantes. Regla de Crámer.

III. VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIOCoordenadas cartesianas en el plano y en el espacio. Distancia. Vectores. Suma y producto por escalares. Propiedades. Dependencia lineal y bases. Segmentos orientados equipolentes. Ángulo entre vectores. Producto escalar. Proyecciones ortogonales.Producto vectorial: definición, cálculo y propiedades. Producto mixto: volumen de un paralelepípedo.

Aplicaciones: rectas y planos. Ecuaciones. Ángulos. Intersecciones. Distancias.

IV. CÓNICAS Y SUPERFICIESParábola, elipse e hipérbola: definición métrica, ecuaciones canónicas y propiedades. Traslación y rotación de ejes. Discusión de la ecuación general de segundo grado en dos variables.Superficies cilíndricas, cónicas y de revolución: definición y ecuaciones. Superficies regladas. Cuádricas canónicas. Discusión de la ecuación general de segundo grado en tres variables.

BibliografíaEn lo que sigue, se detallan los temas del programa que pueden encontrarse en cada libro.

Apóstol T., Calculus I. Ed. Reverté, 1965.Temas: Vectores, Rectas y planos, Cónicas y cuádricas. Grossman I.S., Algebra Lineal , 4ta. Ed, Mc. Graw Hill, 1993.Temas: Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes, vectores. Larson, Hostetler, Edwards, Cálculo (Volumen 2), 6ta. Ed., Mc Graw-Hill, 1999.Temas: Vectores, Rectas y planos, Cónicas y superficies. Números complejos (apéndice F, vol. 1) Stewart J.; Cálculo de una variable, 4ta.ed., Thomson Learning, 2001.Temas: Trigonometría (Apéndice D), Números complejos (Apéndice G) Swokowski E., Cole J.; Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 3ra. Ed., Grupo Ed.

Iberoamérica, 1996.Temas: Trigonometría, polinomios, matrices y determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Cónicas. Swokowski E. ; Cálculo con Geometría Analítica., 2da. Ed., Grupo Ed. Iberoamérica, 1989.Temas: Vectores, rectas y planos, superficies.

Otra bibliografía de consulta.

Burgos J., Algebra lineal y geometría cartesiana, 2da. Ed. , Mc Graw Hill, 2000. Lang, Introducción al Algebra Lineal , Addison-Wesley Iberoamericana, 1990.

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA.PRIMER CUATRIMESTRE 2007PROFESOR: Suarez

PRACTICA 1.

Ejercicio 1.Calcular el seno y el coseno de /2, /4, -, 7/4, -5/4, 3/2, -5/6, /3

Ejercicio 2.Sean x1 y x2 dos números reales. Conociendo sen x1, sen x2, cos x1, cos x2, obtener fórmulas para cos (x2 - x1)

cos (x2+x1)sen (x2+x1)sen (x2-x1)

Ejercicio 3.Usando senx y cosx, expresar sen 2x cos 2x sen(x+) cos(x+)

Ejercicio 4.Obtener expresiones exactas para seno y coseno de los ángulos de 15º y 75ºIndicación: Escribir 15 = 45 - 30

Ejercicio 5.a) ¿Cuál es el signo de sen 300º? y de cos 200º? b)Si para un ángulo del cuarto cuadrante se tiene cos = 0.12, calcular sen , sen (+/2) y cos(+/2)

Ejercicio 6.Determinar todos los valores de x en el intervalo tales que:a.- b.-

Ejercicio 7a.- Conocida tg x, hallar cos x b.- Conocido cos 2x, hallar sen x y cos x

Ejercicio 8

Calcular la longitud de un arco circular subtendido por un ángulo de , si el radio del

círculo es de 36 cm.


PRACTICA 2

Ejercicio 1.Realizar las operaciones indicadas

a) (-12 + 5i ) + (- 9 – i ) b) (18 – 6i) – (- 4i +9) c) (3 + 5i)(- 8 – 3 i) d)

Ejercicio 2.Determinar los valores de x e y reales tales que a) 8 + (3x + y)i = 2x – 4i b) (3x + 2y) – y3i = 9 – 27i

Ejercicio 3.Si y , hallar en forma binómica

Ejercicio 4.a.- Calcular z sabiendo que b.- Calcular z sabiendo que

Ejercicio 5.

a.- Para y , comprobar las siguientes propiedades:

b.- Demostrar las cuatro propiedades de la conjugación enunciadas en el ítem a.-

Ejercicio 6.

a.- Sean y . Calcular la distancia

. Graficar.b.- Demostrar que la igualdad anterior se cumple para cualquier par de números complejos z y w.

Ejercicio 7.Escribir en forma polar los siguientes números complejosz= 5, z = 15i, z = 1 + i, z = , z = , z = , z = 2 – 2iz = - 14, z = - 8i

Ejercicio 8.Describir el lugar geométrico de los puntos del plano z = x + iy que verificana) Re(z) > 1 b) Im(z) 3 c) Re(z) + Im(z) <2 d) Re(z) - Im(z) > 1 e)z<2 f)z-1=3 g) z – 1+ i 2 h) arg(z) = /3 i)

j) z+i<1 7/4 < arg z < 2Ejercicio 9.a) Si z1 = cos/2 + i sen/2 y z2 = 4( cos/3+ i sen/3), calcular z1.z2 , z1/z2, z1

4 y z23.

b) Calcular i) ii)

Ejercicio 10.Calcular ; ; ,

Ejercicio 11.Sabiendo que 1+2i es raíz cúbica del complejo z, calcular el producto de las demás raíces cúbicas de z

Ejercicio 12.a.- Hallar dos complejos de módulo unitario cuya suma es 1. Graficar. b.- Calcular el número complejo z cuyo valor absoluto es 2 y cuyo argumento es el doble del de

. Graficar.

Ejercicio 13.Resolver la ecuación a) 4z5 = ( - i)2 b) (z3 – i)2 = 1


PRACTICA 3.PRIMERA PARTE

Ejercicio 1.a) Sea P(x) = 3x3 - 2x2 - 1; calcular P(2), P(0), P(y+1), P(- 4t)b) Al evaluar el polinomio en se obtiene – 2. ¿Cuánto vale k ?

Ejercicio2.a.- Obtener m, p y q para que valga la igualdad (m - 1) x3 + 3 p x2 + 6q x = 2x2 + 7x b.- Si , ¿cuánto vale k ?

Ejercicio 3.Siendo P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x + 1 y Q(x) = 2x2 + 5x calcular P(x) + Q(x); P(x) - Q(x); 5.P(x) y P(x).Q(x)

Ejercicio4.a)Determinar el cociente y el resto de la división de por , y de por b)Obtener k para que el polinomio D(x) = x3 + 2x2 + x + k sea divisible por x2 + 1c)Determinar el cociente y el resto de la división de D(x) = x3 - 4x2 + 2x - 3 por x-1

Ejercicio 5.a) Sin efectuar la división averiguar si el polinomio P(x) = 2x5 + 7x4 + 9x3 + 9x2 + 7x + 2 es divisible por x+1 ¿ y por x-2?b) Obtener a y b sabiendo que los restos de las divisiones de P(x) = 2x2 + ax + b por x +1 y por x – 1 son, respectivamente, -2 y 4.c) Discutir la divisibilidad de xn + an por x + a y por x – a

Ejercicio 6.Mediante un adecuado cambio de variables resolver las ecuacionesa) x4 – 9 x2 + 20 = 0b) (x2-2x)2-11(x2-2x)+24=0

Ejercicio 7.a.- ¿Para qué valores de k el número – 1 es raíz del polinomio ?b.- ¿Para qué valores de y el polinomio tiene a 1 y – 2 como raíces?

Ejercicio 8. Hallar las raíces reales y factorizar los polinomios: a) 2x3 – 3x2 – 17x + 30b) x4 – 5x3 + 2x2 + 20x – 24c) 6x5 + 19x4 + x3 – 6x2

d)

e) 2.5x3 + x2 + 0.6x + 0.1

Ejercicio 9.Construir un polinomio de grado mínimo con coeficientes enteros tal que:

a) 1 sea un cero simple y –2 un cero tripleb) –2 sea un cero simple, 1 un cero doble y 0 un cero triple

Ejercicio 10.¿Cuál es el polinomio de grado mínimo que tiene a 1, 2, y -3 por raíces y evaluado en vale 3?

SEGUNDA PARTE

Ejercicio 1.Hallar todas las raíces de los polinomios y factorizarlos.

Ejercicio 2.Explicar porqué el polinomio tiene al menos una raíz real.

Ejercicio 3.a.- Verificar que 2+i es una raíz de Q(x) = (1+i)x2 – 7x + 15. ¿(2-i) es raíz?b.- Calcular las raíces de y factorizarlo.

Ejercicio 4.Sabiendo que x4 + 3x3 –2x2 – 15x – 15 tiene dos raíces reales de signos opuestos e igual valor absoluto, hallar todas las raíces en C.

Ejercicio 5.Factorizar en R[x] y en C[x] el polinomio a) 2x6 – 5x5 + 3x4 + 2x2 – 5x + 3b) x6 + 3x4 +4x2 + 2 (Indicación: hacer la sustitución x2 = t)

Ejercicio 6.Escribir un polinomio de grado mínimo con coeficientes reales que tiene raíces simples 2; 1 – i y 3.

Ejercicio 7.Un polinomio F(x) con coeficientes reales y coeficiente principal 1, tiene los ceros y el grado indicado. Expresar F(x) como producto de polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes realesa) -3, 1 - 7i ; grado 3b) -1, 0, 3+i ; grado 4c) 4+3i , -2 + i ; grado 4d) 0, -2i , 1 - i ; grado 5

TERCERA PARTE a) Desarrollar (a + 2b)5

b) Desarrollar (1 - b)6

c) Determinar, si existe, el coeficiente de x15 en el desarrollo de: i) (2x – 3 )40 ii) (- 4x7 – 2 x1/7)9 iii)(x5 – 2 x8)14

d) Determinar el coeficiente constante en

e) ¿Cuánto vale la constante si el coeficiente de en el polinomio es 10?

f) Demostrar que

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LAS PRÁCTICAS 1, 2 Y 3.

1. Si , hallar parte real e imaginaria de

2. Demostrar que el conjugado de una suma de números complejos es la suma de los conjugados.

3. Demostrar que el conjugado de un producto de números complejos es el producto de los conjugados.

4. Demostrar que el conjugado de un cociente de números complejos es el cociente de los conjugados.

5. Demostrar que el módulo de un producto de números complejos es el producto de los módulos.

6. Demostrar que el módulo de un cociente de números complejos es el cociente de los módulos.

7. Probar para todo número complejo z no nulo se verifica que 8. Obtener una fórmula para calcular las potencias de i.9. Demostrar que el producto de un complejo z por su conjugado es igual al cuadrado del

módulo10. Demostrar que la parte real de un complejo z se puede escribir como la semisuma del

complejo con su conjugado11. Interpretar en términos de distancia el módulo de la diferencia de dos complejos.12. Demostrar que el producto de dos números complejos es otro número complejo cuyo

módulo es el producto de los módulos y el argumento es la suma de los argumentos.13. Demostrar que el cociente de dos números complejos es otro número complejo cuyo módulo

es el cociente de los módulos y el argumento es la resta de los argumentos.14. Demostrar, aplicando la fórmula de De Moivre que: a) (z1.z2)n = z1

n. z2n

b) zn.zm = zn+m

15. Si z = r (cos+isen) , con z no nulo, probar que

16. Encontrar una fórmula para obtener las raíces enésimas de un complejo justificando cada paso.

17. Enunciar y demostrar el “Teorema del resto”18. Estudiar la divisibilidad de ; justificar.19. Demostrar que un polinomio de grado mayor o igual que uno, con coeficientes complejos,

tiene EXACTAMENTE n ceros complejos.20. Demostrar que si un polinomio tiene coeficientes reales y z es una raíz, entonces el

conjugado de z también es raíz.21. Demostrar que si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, puede expresarse como un

producto de polinomios lineales ó cuadráticos con coeficiente reales.22. Demostrar que si P(x) = ax3 + bx2 +cx + d, y r, s y t son las raíces de P(x), entonces b = - a ( r + s + t) , c = a (r.s + rt + st) , d = - a (r.s.t)23. Completar: es raíz de multiplicidad cinco de P(x) si .........24. Indicar cuándo puede utilizarse el teorema de Gauss y decir qué tipos de raíces pueden

obtenerse a partir del mismo. Escribir un polinomio no mónico en el cual pueda aplicarse el teorema de Gauss pero del cual no se obtenga ninguna raíz por dicho método. Explicar.


PRACTICA 4

Ejercicio 1.Construir la matriz:a) A = ( aij ) ; i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2 si aij = 2i+j

b) tal que bij =

c) M, cuadrada de orden tres tal que

Ejercicio 2.Una compañía tiene las listas mensuales de ventas de sus productos expresados como matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos standar, de lujo y superlujo que se vendieron y las columnas, también en orden, indican el número de unidades rojas, blancas amarillas y azules que se vendieron. Las matrices para enero y febrero son:

a) ¿Cuántos modelos blancos de superlujo se vendieron en enero?b) ¿En qué mes se vendieron más modelos standar amarillos?c) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades ambos meses?d) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

Ejercicio 3.Hallar los valores de las incógnitas y si

Ejercicio 4.

a) Para las matrices

calcular A + B, A – B , 2A - C y 3B + 2C

b) Sean A = B = C =

Calcular, si es posible, A.B, A.C, At.B y B2

c) Si Bt.At = y C = calcular A.B.C

Ejercicio 5.Una empresa tiene cuatro panaderías: A, B, C, D y en cada una de ellas produce tres tipos de pan: blanco, de centeno e integral de trigo. El número de kilogramos de pan producidos diariamente en cada una de las panaderías se muestra en la siguiente tabla:

El beneficio es de 0.70$ por cada kilogramo de pan blanco, 0.45$ por cada kilogramo de pan de centeno y 0.50$ por cada kilogramo de pan integral. Encontrar la ganancia que obtiene la empresa en cada una de las panaderías, expresándolo en forma matricial.

Ejercicio 6.

Demostrar que satisface la ecuación

Ejercicio 7.

Sean C= . Comprobar que

a) (A+B)(A-B) A2 – B2

b) (A+B)(A+B) A2 + 2AB + B2

c) A(B+C) = AB + ACd) A(BC) = (AB)C

Ejercicio 8.

Considerar la matrices A = B = C = D =

a) Verificar que A.B es una matriz nulab) Calcular A.C y A.D. Discutir el resultado. ¿Qué pasa con la ley cancelativa del producto?

Ejercicio 9.

Sean y . Hallar los valores de x para los cuales se verifica la

siguiente ecuación A2 – 3A = B

Ejercicio 10.Descomponer la matriz A como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica

a) A = b) A =

Ejercicio 11.

Sean y

a.- Hallar los valores de k para los cuales la matriz A.B - B.A es antisimétrica. b.- Hallar los valores de k para los cuales la matriz A.B+B.A es simétrica

Ejercicio 12Mediante operaciones elementales sobre filas de la matriz ampliada, resolver los sistemas siguientes.

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 4.

1. Demostrar que la suma de toda matriz cuadrada con su traspuesta es simétrica2. Demostrar que la diferencia de toda matriz cuadrada con su traspuesta es

antisimétrica3. Demostrar que toda matriz cuadrada se puede escribir como suma de una matriz

simétrica y una antisimétrica4. Probar que para cualquier matriz A, A.At es una matriz simétrica5. Probar que si A es una matriz simétrica de orden n, entonces Bt.A.B es simétrica,

cualquiera sea B de orden n.6. Probar que si A y B son matrices simétricas, entonces A+B es simétrica7. Probar que si A y B son matrices antisimétricas, entonces A+B es antisimétrica, y

A.B – B.A también.8. Probar que si A y B son matrices de orden n, A.B + Bt.At es una matriz simétrica9. Probar que si A y B son matrices de orden n, A.B – Bt.At es una matriz antisimétrica10. Si A es una matriz de orden n e I es la matriz identidad de orden n, demostrar que

I.A = A y que A.I = A


PRACTICA 5

Ejercicio 1.Mediante operaciones elementales sobre filas encontrar la inversa, si existe, de las matrices siguientes, comprobando el resultado:

Ejercicio 2.Utilizando las matrices del ejercicio anterior, resolver los sistemas lineales:

Ejercicio 3.Comprobar que las matrices siguientes son invertibles

M = 1 0 11 1 N =

4 2 -20 1 0-1 -3 -1

00 2 1

y verificar que: a) (M. N)-1 = N-1. M-1 b) (M-1)T = (MT)-1

Ejercicio 4.Calcular las inversas de

Ejercicio 5.Es posible usar la multiplicación de matrices para codificar y decodificar mensajes secretos.Primero, las letras del alfabeto se convierten en números; a=1, b=2,........,z=27. Entonces los números se convierten en las entradas de una matriz cuadrada M. Para completar el código, M se multiplica por alguna matriz K “clave” no singular que tenga el mismo orden que M. Por

ejemplo, HELP 8 5 12 17 8 512 17

= M

Si K =

2 51 3 entonces K.M = 44 75

28 46

= C.

La matriz C contiene el mensaje “HELP” codificado.a) ¿Cómo puede decodificarse C para obtener la matriz M?

b) Si K = 8 1 35 1 2

10 1 4

y C =

118 24 770 18 1

149 31 12

decodifique C y determine el mensaje.

Ejercicio 6.Hallar una matriz X, cuadrada y de orden 2, de modo que

Ejercicio 7.Hallar todas las matrices B de orden 2, no nulas, de modo que

, si

Ejercicio 8.Si A es una matriz de orden n, que verifica , hallar en función de A.

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICAPRIMER CUATRIMESTRE 2007PROFESOR: Suarez

PRACTICA 6.

Ejercicio 1.i.- Calcular, usando la definición, el valor de los determinantes:

a) b) c) d) e)

ii.- Haciendo operaciones elementales entre filas y usando con cuidado las propiedades de los determinantes, calcular el determinante a)

Ejercicio 2.Consideremos matrices de 3x3.a) Comprobar que el determinante se puede obtener desarrollando por cualquier fila o columna.b) Comprobar que el determinante de toda matriz coincide con el de su traspuesta : det (AT) = det (A)c) Comprobar que si se intercambian dos filas (o dos columnas) de una matriz el determinante cambia de signo.d) Comprobar que si una fila (o columna) de una matriz se multiplica por un número el determinante queda multiplicado por ese número.

Ejercicio 3.a) Demostrar, sin necesidad de calcularlos, que los siguientes determinantes son nulos

i) ii) iii) iv)

b) Sabiendo que , calcular utilizando propiedades:

c) Si , demostrar que

d) Demostrar usando propiedades que

Ejercicio 4.Usando la regla de Cramer resolver los sistemas:

Ejercicio 5.Calcular, usando determinantes, las inversas de las matrices:

Verificar que det(A-1) = 1/ det(A)

Ejercicio 6.

a.- Hallar los valores de a para que las siguientes matrices sean invertibles

b.- Dadas y , si , hallar los valores de x para los

cuales C es inversible.

Ejercicio 7.a.- Encontrar los valores de para los cuales si

i) ii)

b.- Si A es una matriz triangular, encontrar los valores de para los cuales

Ejercicio 8.Si A es una matriz cuadrada de orden 4, y det(A) = -4, calcular:

Ejercicio 9.

Probar que (Determinante de Vandermonde)

Ejercicio 10.

Comprobar que el determinante de la matriz es ,

utilizando

Ejercicio 11.Discutir las soluciones de los siguientes sistemas según los diferentes valores de m

Ejercicio 12.

Encontrar los valores reales de m para los que el sistema posee soluciones no triviales

EJERCICIOS TEORICOS CORRESPONDIENTES A LAS PRACTICAS 5 Y 6

1.- Definir matriz inversa2.- Demostrar : a ) (A.B)-1 = B-1. A-1 b) (A-1)-1 = A c) (A-1)t = (At)-1

3.- Demostrar para matrices cuadradas de orden 3 que si k es un número real, entonces . Generalizar esta idea para matrices de orden n (sin demostrarla).

4.- Demostrar, para matrices de orden 2, que el determinante del producto es el producto de los determinantes.5.- Demostrar que si A de orden 3 es una matriz triangular superior, entonces su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

6.- Si A es una matriz de orden 4, demostrar que Det [adj A] = (Det A)3

7.- Demostrar que si una matriz cuadrada A de orden n es invertible, entonces.

8.- Demostrar que una matriz cuadrada con determinante no nulo tiene inversa, y que también vale el recíproco.9.- Enunciar y demostrar la regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.


PRACTICA 7.

PRIMERA PARTE

Ejercicio 1.a) Situar en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los puntos A(0,0,4) B(3,4,0) C(6,0,0) D(5,4,3)b) Si desde el punto D se trazan rectas perpendiculares a los planos coordenados, ¿cuáles son las coordenadas del pie de cada perpendicular?c) Si desde D se traza una recta perpendicular al plano z=-2, ¿cuáles son las coordenadas del pie de la citada perpendicular?

Ejercicio 2.Describir geométricamente todos los puntos P(x,y,z) que satisfagan la condición indicadaa) z=5 b) x=1 c) x=2, y=3 d) x=4, y=-1, z=7 e) (x-2)(z-8)=0 f) z2-16=0

Ejercicio 3.Dibujar una caja rectangular que tenga al origen y al punto P(2 , 3 , 5) como vértices opuestos y sus caras paralelas a los planos coordenados. Luego encontrar las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y la longitud de la diagonal de la caja.

Ejercicio 4.a) Usar la fórmula de distancia para decidir si los puntos R(1,4,0) S(-2,-2,-3) y T(7,10,16) son colinealesb) Encontrar x si P1(x,x,1), P2(0,3,5) y d(P1,P2) = 5c) Encontrar los puntos del eje y que equidistan de P(3, 2, 0) y Q(2, -1, 1). Interpretar geométricamente.

SEGUNDA PARTE

Ejercicio 1.Calcular el vector z a) Si u = (2, -1) y v = (1, 2) .z = u + 2 v z = ½ ( 3u + v) z = -u + ¼ v . Graficar.b) Si u = (1, 2, 3) , v = (2, 2 -1) y w = (4, 0, -4)z = u - v z = 2u + 4v - w z = 5u - 3v - ½ w z=v.w

Ejercicio 2.Dados a = (2 , 1 , 2) y b = (-3, 4 , 5), hallar un vector unitario que tenga la misma dirección que a + 3b

Ejercicio 3.a) En cada uno de los siguientes casos determinar cuáles vectores PQ y AB son equivalentes (o equipolentes):i) P = (1, -1) , Q = (4, 3) , A = (-1, 5) , B =(5, 2)ii) P = (1, 4) , Q = (-3, 5) , A =(5, 7) , B = (1, 8)iii) P = (1, -1, 5) , Q = (-2, 3, -4) , A = (3, 1, 1) , B = (0, 5, 10)iv) P = (2, 3, -4) , Q = (-1, 3, 5) , A = (-2, 3, -1) , B = (-5, 3, 8)b) Determinar m para que los vectores a = (2,3m,-m) y b = (m2+2m-1,m2+2,m2-2m) resulten equipolentes

Ejercicio 4.Si es un representante del vector v=(7,-1,3) y B es (-2,3,5) ¿cuál es A? Ejercicio 5.Usando vectores, demostrar que el punto medio M del segmento determinado por

P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2) es M = ( )

Ejercicio 6.Determinar cuáles de los siguientes vectores son colineales con

Ejercicio 7.

Determinar las proyecciones escalar y vectorial de a en la dirección de b y de b en la dirección de a si a) a=-5i+5j b=-3i+4jb) a=-i-2j+7k b=6i-3j-2k

Ejercicio 8.a) Determinar un vector u colineal con v = 3i + 2j + 2k que verifica u.v = 3.b) Determinar k para que u = (k, 3+k) sea perpendicular a v = ( 1, 1) y dibujarlos.c) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de /4 . Si el módulo de a es 3¿cuál debe ser la longitud de b para que a - b sea perpendicular a a ?d) ) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de /3 . Si el módulo de a es 3y el módulo de b es 5, calcular a – b .

Ejercicio 9.

Demostrar que el vector n = Ai + Bj es perpendicular a la recta de ecuación Ax + By +C = 0. (Sugerencia : Tomar dos puntos distintos de la recta)

Ejercicio 10.Mostrar, usando vectores, que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Ejercicio 11.Dados los puntos P1(1,0,1) y P2(k,2-k,2+k), hallar k tal que los vectores OP1 y OP2 determinen un ángulo de /3.

Ejercicio 12.Mostrar que si u es perpendicular a v1 y v2 entonces es perpendicular a c1 v1 + c2 v2 siendo c1 y c2 números cualesquiera. Interpretar geométricamente.

Ejercicio 13.Sean v1 ,v2 y v3 tres vectores no nulos perpendiculares dos a dos. Mostrar que si c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 entonces c1 = c2 = c3 = 0 .

Ejercicio 14.Calcular u x v y comprobar que que es ortogonal a u y v . Calcular además el área del paralegramo determinado por u y v .a) u = (2, -3, 1) v = (1, -2, 1) b) u = (12, -3, 0) v = (-2, 5, 0)

Ejercicio 15.Hallar un vector de módulo 2 perpendicular al plano de los vectores u=(2,-1,0) y v=(3,-2,-1)

Ejercicio 16.Calcular el área del triángulo de vértices (2, -3, 1) , (0, 1, 2) y (1, 4, 2) .

Ejercicio 17.a.- Hallar x para que el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas u = (-1,1,1)v = (1,0,x) y w = (2,-1,1) sea 7.b.- Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por

Ejercicio 18.Averiguar si los vectores (2, 3, -1) , (1, -1, 3) y (1, 9, -1) son coplanares.

Ejercicio 19.a) Comprobar que v = (1, 1, 1) es combinación lineal de v1 = (1, -2, 1) , v2 = (0, 1, 3) y v3 = (1 , 5, 1) . Explicar gráficamente su significado. ¿Vale para cualquier vector v?b) Averiguar si cualquier vector del espacio puede escribirse como combinación lineal de los vectores v1 = (1, -2, 1) , v2 = (0, 1, 3) y v3 = (-2 , 5, 1)

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 7.

1.- Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento del espacio.2.- Dado el vector (c,d), encontrar un representante del mismo con punto inicial (m,n)3.- Definir ángulo entre dos vectores4.- Producto escalar, definición. Propiedades.5.- Cálculo del ángulo entre dos vectores.

6.- Definir ángulos y cosenos directores de un vector del espacio7.- Definir proyección escalar y proyección vectorial de un vector sobre otro.8.- ¿Qué se puede decir acerca del ángulo que forman dos vectores no nulos u y v si:a) u.v = 0 b) u.v > 0 c) u.v < 09.- ¿Qué se puede decir de dos vectores u y v si la proyección escalar de u sobre v es u? ¿ y si es 0?10.- Completar y demostrar: el módulo del producto vectorial es .........11.- Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial.12.- Triple producto escalar. Definición e interpretación geométrica. 13.- Sean u, v y w vectores del espacio. Demostrar que u(vw) = (u.w).v – (u.v).w14.- Sean u, v y w vectores del espacio. Demostrar que el módulo de u v es el producto de los módulos si u y v son ortogonales.15.- Usando vectores, demostrar el teorema del seno y el teorema del coseno de la trigonometría plana.


PRACTICA 8.

Ejercicio 1.Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas y simétricas, si es posible, de la recta a) Que pasa por A(4,6,-7) y es paralela a u=(5,9,4)b) Que pasa por los puntos R(1,2,1) y S(3,5,-2)c) Que pasa por B(3,-5,6) y es paralela al eje xd) Que pasa por C(4,3,-1) y es perpendicular al plano yz

Ejercicio 2.Con referencia al ejercicio anteriorDecidir si B pertenece a la recta que determinan R y S. Indicar otros dos puntos de esa recta y encontrar los puntos de intersección con los tres planos coordenados.

Ejercicio 3.a) Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2)

b) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (0,2,-1) y es paralela a

Ejercicio 4.Hallar la ecuación del plano a) Que pasa por el punto (5,1,3) y es perpendicular al vector , que une los puntos (1, 2, 3) con (2, 4, 12).b) Que contiene a los puntos ( 3,5,2) (2,3,1) y (-1,-1,4)c) Que pasa por el punto (2,3,-5) y es paralelo al plano x+y-4z=1d) Que pasa por el punto (3,6,12) y es perpendicular al eje y

e) Que contiene a las rectas R: (1,-1,5) + t(1,1,-3) y S:

f) Que contiene a las rectas R: (1,-1,5) + t(1,1,-3) y S: (3,4,2) + t(-2,-2,6)g) Que pasa por el origen y contiene a la recta S de (f)h) Que pasa por (8,-2,3) y es perpendicular a la recta R de (f)i) Que pasa por los puntos (2,-1,1) y (3,1,2) y es paralelo al eje yj) Que contiene a (3,4,-5) y es paralelo a los vectores (3,1,-1) y (1,-2,1)

Ejercicio 5

Un plano tiene la ecuación . Encontrar escalares s y t no nulos de manera que los vectores y estén en un plano perpendicular al dado.

Ejercicio 6.Dibujar los siguientes planos: a) 2x + y – 1 = 0 b) x - 4y = 0 c) x - z = 0 d) 3y = 0 e) 2z + 3 = 0 f) z = 2 g) 2y + 4z – 4 = 0 h) 4x + 6y + 3z – 12 = 0

Ejercicio 7.

Indicar cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano 3x - y + 4z - 2 = 0 :

Ejercicio 8.Encontrar los tres planos que contienen a la recta y son perpendiculares a los planos coordenados (planos proyectantes)

a)

Ejercicio 9.a) Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano 3x – 2y + z = 5 que pasa por

el punto (4,1,5). ¿Cuántas puede encontrar?b) Encontrar la ecuación de la recta que es paralela al plano 3x – 2y + z = 5 que pasa por el

punto (4,1,5). ¿Cuántas puede encontrar?

Ejercicio 10.Encontrar la intersección de las siguientes rectas:

a)

b)

Ejercicio 11.Encontrar la intersección de la recta OP = (1-t, 2-3t, 4+t) con el plano x - 3y + 2z + 7 = 0

Ejercicio 12.Encontrar la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es intersección de losplanos 2x + 3y +7z -7 = 0 y x -3y - 10z = -1 .

Ejercicio 13.Discutir geométricamente todos los casos posibles de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejercicio 14.

a.- Para los distintos valores del número k, estudiar el sistema algebraica y geométricamente.

b.- Para los distintos valores de y discutir las posiciones relativas de los tres planos:


PRÁCTICA 9

Ejercicio 1.Dado el plano : 2x - y - 2z = -3 encontrar su distancia al punto P(1, 2, -1) y al origen. Interpretar geométricamente.Ejercicio 2.Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 1: 2x -2y +z -1 = 0 y 2 : 2x - 2y +z + 5 = 0 . Calcular el volumen del cubo.Ejercicio 3.Encontrar la distancia

a) entre el punto (1, 0, -2) y la recta

b) entre las rectas

c) entre la recta (1 + 2t, -2-t, 1+5t) y el plano x - 3y -z + 5 = 0Ejercicio 4.Hallar un punto del eje z que equidiste del punto (1, -2, 0) y del plano 3x - 2y + 6z = 9Ejercicio 5.Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de P1(1, 1, -1) y P2(3, 0, 2).Ejercicio 6.Determinar un plano paralelo al plano 2x -2y +z -7 = 0 cuya distancia al origen sea 4.Ejercicio 7. Determinar los planos paralelos al plano 2x - 2y - 3z = 1 que distan de él en 1.Ejercicio 8.Determinar la distancia del punto P(-1, 1, -2) al plano que pasa por A(1, -1,1) , B(-2, 1, 3) y C(4, -5, 2)Encontrar el punto R sobre el plano que realiza la distancia.Ejercicio 9Hallar la ecuación del plano paralelo a , sabiendo que el punto (3, 2, -1) equidista de ambos planos.

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 9.1.- Distancia de un punto a un plano. Definir y encontrar una fórmula para el cálculo.2.- Explicar cómo se calcula la distancia entre planos paralelos.3.- Distancia de un punto a una recta del espacio. Definir y encontrar una fórmula para el cálculo.4.- Explicar cómo se calcula la distancia entre rectas paralelas y entre un plano y una recta paralelos.


PRACTICA 10

Ejercicio 1.Dado el vértice de una parábola (6,-3) y la ecuación de su directriz 3x-5y+1=0, hallar el foco de esta parábola.

Ejercicio 2.Hallar los elementos ( foco, vértice, directriz y eje) de las siguientes parábolas y graficara) y2 = 6x b) x2 = 5y c) y2 = -4x d) x2 = - y e) (x+5)2 = 7(y-1) f) x2 -2x -4y +5 = 0 g) y2 – 8y = 4x – 8

Ejercicio 3.Encontrar la ecuación de las parábolas:a) de foco (4,0) y directriz x + 4 = 0 b) de foco (0,-2) y directriz y = 2c) de vértice en el origen, simétrica con respecto del eje x, que pasa por B(-1,3)d) de foco (-2,4) y vértice (1,4)e) de vértice (0,4) y directriz y = - 2 f) de vértice (-1,2) y foco (-1,0)g) de vértice V(4,-1), eje la recta de ecuación y + 1 = 0 y pasa por el punto (3,-3)

Ejercicio 4.Encontrar el centro, los vértices y las gráficas de las elipses cuya ecuación se indica

a) b) c) 4x2+7y2 = 28 d) 9x2+y2 = 1

e) f) 5x2+9y2-30x+18y+9 = 0 g) 16x2+25y2+32x-100y-284 = 0

Ejercicio 5.Obtener las ecuaciones de las elipses que se indican y graficarlasa) Centro en el origen, un foco (2,0) y un vértice en (3,0)b) Centro en el origen, eje focal coincidente con el eje x , que pasa por (4,- ) y (2 ,3)c) Focos (0,5) y eje mayor de longitud 14d) Vértices (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud 6e) Vértices (5,-3) y (5,7) y focos (5, )f) Focos (2,3) y (6,3) y excentricidad 2/3g) Foco ,centro (0, 6) y pasa por el punto P (4, 33/5) h) Centro en (1, 4), un foco en (1, 8) y excentricidad e=1/5

Ejercicio 6.Hallar el centro, los vértices y los focos de las hipérbolas siguientes y dibujarlas usando las asíntotas como ayuda

a) b) x2-y2 = 1 c) 2y2 - 10x2 = 40 d)

e) 16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0 f) 16x2 - 9y2 - 64x - 18y+199 = 0

Ejercicio 7.Encontrar la ecuación de las hipérbolas que se indican y graficarlasa) Centro en el origen, los focos en el eje de abscisas, la distancia entre los focos 2c = 20 y

asíntotas y = x

b) Focos (5,0) y vértices (3,0)c) vértices (3,0) y asíntotas y = 2x

d) Centro en (-5,3), un vértice (-5,7) y un foco (-5,8)e) Centro (2,4), un vértice en (2,5) y una asíntota 2y - x - 6 = 0

f) Asíntotas que pasa por el punto (3,1)

g) Focos (2,3) y (6,3) con excentricidad 2h) Focos (2,3) y (2,7) con excentricidad 2i) Vértices (4, -2) y (0, -2) que pasa por el punto P

Ejercicio 8.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones e interpretar geométricamente

a) b) c)

Ejercicio 9.El sistema {O,x’,y’} se obtiene del {O,x,y} rotando 60º.a) Encontrar las coordenadas de P(-1,2) R(3,0) y S(6,-1) en el nuevo sistema.b) Determinar la ecuación de la recta 2x – y = 1 en el nuevo sistema. Graficar

Ejercicio 10.Encontrar el sistema {0,x’,y’} de manera que la recta de ecuación x - y = 1 sea paralela al eje x’

Ejercicio 11.Identificar y graficar las cónicasa) xy - 1 = 0b) x2 + xy + y2 = 4c) 8x2 + 8xy – 7y2 – 35 = 0d) x2 – 2xy + y2 – 8x – 8y =0

Ejercicio 12.a) Encontrar el foco y la directriz de la parábola 3x2+2 xy+y2+2x - 2 y = 0b) Llevar a la forma canónica la ecuación xy – y = 2.Identificar la cónica. Representar gráficamente indicando los dos sistemas de ejes utilizados. Indicar los elementos.

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 10

1.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (0,p) y la directriz y = -p2.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (0,-p) y la directriz y = p3.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (p,0) y la directriz x = -p4.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (-p,0) y la directriz x = p5.- Definir elipse y obtener las ecuaciones canónicas6.- Definir hipérbola y obtener las ecuaciones canónicas

7.- Encontrar las asíntotas de la hipérbola

8.- Deducir las fórmulas de la rotación de ejes.9.- Justificar que la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa: Una cónica de género elipse si 4A.C – B2 > 0 Una cónica de género hipérbola si 4A.C – B2 < 0 Una cónica de género parábola si 4A.C – B2 = 0


PRACTICA 11Ejercicio 1.Encontrar la ecuación de la superficie cilíndrica:

a) directriz , generatrices paralelas al eje y

b) directriz , generatrices paralelas al eje z

c) directriz , generatrices paralelas al vector v = (1,1,1)

d) directriz , generatrices paralelas a v = (-1,-4,5)

Ejercicio 2.Describir y representar las superficiesa) x+y = 3 b) y2+z2 = 9 c) x2 - y = 0 d) 4x2+y2 = 4 e) y = ex f) zy=1 g) 3x2 + 3y2 – 6x = 0

Ejercicio 3.Encontrar la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen si la directriz es

a) y xz

2 11 b) z x

y2 24 1

1

c) y xz

3

2

Ejercicio 4.Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada al hacer girar la curva en torno del eje indicado

a) z yx2 4

0

, eje y b) 4 40

2 2z xy

, eje x c) , eje z

d) La elipse alrededor de su eje mayor

e) La elipse de (d) alrededor de su eje menor.

Ejercicio 5.Esquematizar la gráfica de las siguientes superficies haciendo un estudio completo (trazas y secciones normales)a) 2x2 + 2y2 = z b) y2 + z2 = x c) x2 + 2y2 = z2

d) 2x2 + 4y2 + 3z2 – 24 = 0 e) 2x2 – 4y2 – 3z2 – 24 = 0

Ejercicio 6.Identificar y representar gráficamente la superficie

a) xy

z22

24

1

b) 16x2 - y2+16z2 = 4

c) z xy2 2

2

41

d) x2 - y2 - z = 0 e) x2 – y + z2 = 0

Ejercicio 7.Reconocer y graficar en forma aproximada los siguientes lugares geométricosa) z = x+y b) 8x2 + 4y2 + z2 = 16 c) 25x2 – 225y2 + 9z2 = 225d) z2 – x2 – y2 = 1 e) 16y = x2 + 4z2 f) x2 – y2 = 1g) y2 + 2z2 – x2 = 1 h) x2 – 6y2 = 2z i) y2 = 4x

j) k) y2 + z2 = 9 l)

m) x2 + z2 – 4y2 = 0 n) x2 + z2 – 4y = 0 o)

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 11

1.- Definir superficie cilíndrica. Deducir la ecuación de un cilindro recto si la directriz es una curva de uno de los planos coordenados.2.- Definir superficie cónica. Deducir la ecuación si la directriz es una curva del plano z = 2 y vértice en el origen.3.- Definir superficie de revolución. Deducir la ecuación si una curva del plano yz se rota alrededor del eje z.4.- Hacer un estudio completo ( intersecciones con los ejes, trazas, secciones normales ) de un paraboloide elíptico

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