1

LGEBRA Y LGICA LGEBRA I

APUNTES DE CLASE

Escritos por la Profesora Nora Andrada

2

Temas

El Clculo Proposicional

lgebra de Conjuntos

Combinatoria

Nmeros Enteros

Nmeros Complejos

Polinomios

3

EL CLCULO PROPOSICIONAL

Introduccin

En la vida diaria, y en el desarrollo de cualquier ciencia deductiva, por ejemplo las matemticas, se utilizan ciertas construcciones gramaticales denominadas enunciados o proposiciones, es decir una oracin declarativa que es verdadera o falsa, por ejemplo:

(a) 2+2=4 (b) Todos los hombres son mortales. (c) La vida es hermosa. (d) Existen infinitos enteros primos.

Algunas de estas afirmaciones se consideran a veces vlidas a priori, es decir sin demostracin previa, y son los denominados axiomas : Por un punto exterior a una recta pasa una y slo una paralela, es un axioma de la geometra euclideana. Es decir, entendemos por una proposicin a una sentencia del lenguaje que es verdadera (V) o falsa (F). La verdad o falsedad de una proposicin es su valor de verdad. Denotaremos la proposiciones con las letras P , Q , R , etc. Naturalmente, nosotros estamos ms interesados en proposiciones como la de los ejemplos (a) y (d) , que corresponden al terreno de las matemticas, si bien (b) y (c) son ejemplos legtimos de proposiciones. Podra argirse que (c) no es exactamente una proposicin en virtud de que su validez depende de una interpretacin individual. Pero nuestro objetivo aqu es sintctico, es decir cmo obtener nuevas proposiciones a partir de otras proposiciones. Las proposiciones pueden ser combinadas entre ellas formando proposiciones compuestas, mediante nexos llamados conectivos lgicos. En este sentido las proposiciones: Si la vida es hermosa entonces 2+2 = 4. Si Juan tiene 16 aos, entonces no termin el secundario. se obtienen combinando otras proposiciones mediante un formato comn que se puede sintetizar: ''Si P entonces Q ''

En una ciencia deductiva, la verdad o falsedad de ciertas proposiciones permite hacer inferencias o tomar decisiones posteriores.

Si todo hombre es mortal y Scrates es hombre, entonces Scrates es mortal, es una inferencia tpicamente filosfica. Si es ab>0 entonces debe ser a>0 y b>0, o debe ser a

4

Q, R , ect. que intervienen en una determinada construccin. Entonces, si consideramos a P, Q, R como variables que toman los valores en = {V , F }, podemos definir operaciones entre estas variables. Estas operaciones pueden ser 1-arias , 2-arias, 3-arias, etc. Nosotros slo definiremos una operacin 1-aria (unaria) y todas las 2-arias (binarias).

Negacin lgica: Esta es una operacin 1-aria, que consiste en, dada un proposicin P negar lo que ella afirma. Obtenemos as una nueva proposicin que indicaremos P. Es claro que si P es verdadera P ser falsa. La siguiente Tabla define P , la negacin de P:

P P F V V F

Ahora definiremos las operaciones binarias. Si llamamos = {V , F }, hay 4 elementos en x , a saber (F,F), (F,V), (V,F) y (V,V) . Cualquier funcin de x en debe asignar un valor, o F o V , a cada uno de esos elementos. Como a cada uno de esos cuatro elementos se le puede asignar uno de los dos valores F o V, hay 16 posibles funciones de x en . En la siguiente tabla mostramos todas las funciones posibles:

P Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 F F F F F F F F F F V V V V V V V V F V F F F F V V V V F F F F V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V F V F V F V F V F V F V F V F V

Tabla 1

En la Tabla 1 estn representadas todas las asignaciones posibles de valores de verdad para dos argumentos P y Q, luego, no importa cuan compleja sea una proposicin construida a partir de dos proposiciones bsicas, siempre ser posible calcular su valor de verdad, si podemos verificar leyes. Observando esta Tabla encontramos la representacin para las operaciones o conectivos que queremos definir.

Columna 1: Conjuncin lgica: responde a P y Q . Intuitivamente es claro que esta nueva proposicin es cierta o verdadera s, y slo s, tanto P como Q son verdaderas. Definimos entonces la conjuncin de P y Q , que indicaremos PQ , mediante la siguiente tabla:

P Q PQ F F F F V F V F F V V V

5

Columna 7: Disyuncin Lgica : Es una operacin binaria que corresponde a la expresin P o Q , pensando la palabra o en sentido incluyente, lo cual significa que P o Q es verdadera si P es verdadera o Q es verdadera o ambas lo son. La siguiente Tabla define entonces la disyuncin P o Q , que indicaremos PQ :

P Q PQ F F F F V V V F V V V V

Columna 6: Inequivalencia Lgica: esta operacin binaria corresponde al o excluyente , el nombre de inequivalencia responde al hecho de que la proposicin compuesta P o Q tiene valor de verdad V cuando P y Q tienen valores de verdad distintos, y F cuando tienen el mismo valor de verdad. La siguiente tabla define entonces la inequivalencia, que indicaremos P Q

P Q P Q F F F F V V V F V V V F

Se observa tambin que P est representada en la columna 3 , P en la columna 12 , Q en la columna 5 y Q en la columna 10. La columna 15 es universalmente verdadero y la columna 0 universalmente falsos . En general, dada una columna n de la Tabla, la columna 15 - n , corresponde a su negacin. As: la columna 7 representa la disyuncin (PQ) y la columna 8, su negacin ( ni ).

Columna 13: esta una nueva operacin entre proposiciones, la llamamos condicional o implicacin e indicamos PQ. que responde a la expresin si P entonces Q o P implica Q. La tabla de valor de verdad del condicional, es:

P Q P Q F F V F V V V F F V V V

La columna 15 - 13 = 2 representa la negacin de P implica Q .

6

De igual modo, la columna 9 responde a la expresin P si y slo si Q, operacin que denominamos bicondicional o equivalencia, e indicamos P Q . Luego la tabla de valor de verdad de esta operacin es:

P Q P Q F F V F V F V F F V V V

La columna 15-9 = 6 representa la negacin de P si, y slo si Q, que no es sino la inequivalencia. Observemos que la columna 11 representa la operacin Q P .

POLINOMIOS BOOLEANOS

Las sumas, productos y diferencias de variables x y z, , ,..., bajo las reglas usuales del lgebra ordinaria, constituyen los Polinomios en esas variables. Por ejemplo: f (x, y) = x.x.y + x.y.y - y.y.y = x

2y + x y2 - y3

Si en ese polinomio se reemplaza cada una de las variables por nmeros reales x0, y0 ,... , la expresin f(x0, y0 ) es ella misma un nmero real.

De igual modo, si P, Q, R, ... son variables proposicionales, combinando estas variables con los conectivos , , ~, , , se obtienen expresiones llamadas Polinomios Booleanos.

Ejemplo: A (P, Q ) = (P Q ) (~P ) B ( P, Q, R ) = ( P Q ) R son polinomios booleanos en dos y tres variables, respectivamente.

Tambin puede operarse con polinomios booleanos, de modo que puede hablarse de conjuncin, negacin, disyuncin, etc., de polinomios booleanos.

Ejemplo: A (P, Q) B ( P, Q, R ) = [(P Q ) (~P )] [ ( P Q ) R ]

Reemplazando las variables P, Q, R, ... de un polinomio booleano A (P, Q, R, ...) por valores particulares P0, Q0, R0 ,. . . la expresin A (P0, Q0, R0, ...) tiene valor F o V, luego es ella misma una proposicin.

Ejemplo: A (P, Q) = ~(P ~ Q ) Sean P0 = 2 x es impar. y Q0 = 3 es un nmero primo.

no es cierto que 2x es par y 3 no es un nmero primo resulta verdadera.

7

Sean P0, Q0, R0, ... proposiciones particulares cuyo valor de verdad coinciden, respectivamente con los de las proposiciones P1, Q1, R1, ..., entonces A (P0, Q0, R0, ...) tiene el mismo valor de verdad que A (P1, Q1, R1, ...). Por ello, el valor de verdad de un Polinomio Booleano evaluado sobre enunciados particulares depende slo de los valores de verdad de los enunciados y no de los enunciados mismos. As hablamos del valor de verdad de cada una de las variables P, Q, R, ... y del valor de verdad del Polinomio. El modo de determinar el valor de verdad de un Polinomio Booleano es a travs de los valores de verdad de las variables que lo integran, mediante la construccin de una Tabla de valor de verdad.

Ejemplo: A (P, Q, R ) = (P Q ) [ ( ~Q P) R ]

P Q R P Q ~Q ~Q P (~Q P) R (P Q ) [ ( ~Q P) R ] F F F F V F F V F F V F V F V V F V F F F F F V F V V F F F V V V F F F V V V V V F V F V V V V V V F V F F F F V V V V F F V V

En la columna final se dan los valores de verdad para el Polinomio booleano dado. Una Tabla de Valor de Verdad es, entonces, un cuadro que muestra el valor de verdad de un polinomio booleano para cada valor de veradd de las proposiciones componenetes.

Definicin: Si para toda asignacin de valores de verdad de sus variables, un polinomio booleano tiene valor V, entonces diremos que ese polinomio es una tautologa.

Definicin: de igual modo, si para todo asignacin de valores de verdad de sus variables, un polinomio booleano tiene valor de verdad F, diremos que es una contradiccin.

Observemos entonces que si un polinomio booleano A (P, Q, R, ...) es una tautologa, entonces ~ A (P, Q, R, ...), es una contradiccin.

Equivalencia lgica y Consecuencia lgica

Definicin: Dos polinomios booleanos en las variables P, Q, R, ...; A (P, Q, R, ...) B ( P, Q, R ), son lgicamente equivalentes si y slo si tienen la misma tabla de valor de verdad. Indicaremos A B.

Que dos polinomios booleanos sean equivalentes no significa que sean la misma cosa. Por ejemplo: Si hoy es lunes entonces tengo clase, y Si x es par, entonces x es

8

divisible por dos. Ambas expresiones tienen la misma forma lgica ( P Q) y son lgicamente equivalentes.

Teorema: Un polinomio booleano A(P, Q,...) es equivalente a otro B(P, Q,...) si y slo si al establecer el bicondicional entre ellos se obtiene una tautologa. Esto es, A B si y slo si A(P, Q,...) B(P, Q,...) es tautologa.

Demostracin: supongamos que A(P, Q,...) B(P, Q,...) es tautologa, entonces, para todo valor de verdad de las variables P, Q, .. , A(P, Q,...) B(P, Q,...) es siempre V. Esto significa que si A es V, debe ser B tambin V, y si A es F, debe ser el valor de verdad de B tambin F. Luego ambos tienen la misma tabla de valor de verdad y, por lo tanto, son equivalentes. Recprocamente: supongamos que A B , esto significa que ambos polinomios tienen la misma tabla de valor de verdad. Consideremos un asignacin particular para las variables de A y supongamos que A(P0, Q0,...) es V, entonces B (P0, Q0,...) debe ser V, luego AB es V, pues ambos lo son. De igual modo, si A(P0, Q0,...) es F, debe ser B (P0, Q0,...) tambin F por tener la misma tabla de valor e verdad, luego AB es V. Resulta entonces que AB es tautolgico.

Propiedades de los conectivos lgicos

Mediante la equivalencia lgica, pueden expresarse las ms importantes propiedades de los conectivos lgicos y leyes del clculo proposicional, demostrables por las Tablas de Valor de Verdad correspondientes.

En la siguiente Tabla se resumen las propiedades del lgebra de Proposiciones:

LEYES DEL LGEBRA DE PROPOSICIONES Leyes de Idempotencia

1a. PP P 1b. PP P

Leyes Asociativas 2a. (P Q ) R P (Q R) 2b. (PQ) R P(QR)

Leyes Conmutativas 3a. PQ Q P 3b. PQ Q P

Leyes Distributivas 4a. P(QR) (PQ) (PQ) 4b. P(QR) (PQ)(PR)

Leyes de Identidad 5a. PF P 5b. PV P 6a. P V V 6b. P F F

Leyes del Complemento 7a. P P V 7b. P P F

9

8a. P P 8b. V F , F V

Leyes de De Morgan 9a. (PQ) P Q 9b. (PQ) P Q

A ttulo de ejemplo, consideremos la siguiente propiedad de la Conjuncin: Propiedad Distributiva respecto de la disyuncin: P (Q R) (PQ) (P R )

P Q R P (QR) (PQ) (PR) F F F F F V F F F F F V F V V F F F F V F F V V F F F F V V F V V F F F V F F F F V F F F V F V V V V F V V V V F V V V V V F V V V V V V V V V

Como se observa, el bicondicional establecido entre P (Q R) y (PQ) (P R ) resulta tautolgico, luego P (Q R) (PQ) (P R ).

Consecuencia o implicacin lgica

Definicin: Diremos que A (P, Q, R, ...) implica lgicamente a B ( P, Q, R,...), o que B ( P, Q, R,...) es consecuencia lgica de A (P, Q, R, ...), si para toda asignacin de valores P0, Q0,... tales que A(P0, Q0,...) es V, resulta tambin que B (P0, Q0,...) es V. Indicaremos A (P, Q, R, ...) B ( P, Q, R,...), para indicar que el polinomio booleano A implica lgicamente a B, o que B es consecuencia lgica de A.

Teorema: Un polinomio booleano A (P, Q, R, ...) implica formalmente el polinomio booleano B ( P, Q, R,...) si y slo si A B es una tautologa.

Demostracin: supongamos que A (P, Q, R, ...) B ( P, Q, R,...) es tautolgico, entonces para todo valor de verdad de las variables P, Q, R,.. , A (P, Q, R, ...) B ( P, Q, R,...) es verdadero. Luego, si A (P, Q, R, ...) es V, debe ser tambin V el valor de verdad de B ( P, Q, R,...), as resulta A (P, Q, R, ...) B ( P, Q, R,...) , esto es, B es consecuencia lgica de A. Recprocamente: supongamos que B es consecuencia lgica de A, esto es A B, lo que significa que para toda asignacin de valores de las variables de A, toda vez que A tiene valor de verdad V, B tambin tiene valor de verdad V. Entonces resulta A B (por definicin de ).

10

Puede generalizarse el concepto del teorema anterior, reemplazando el polinomio A (P, Q, R, ...) por A1 A2 ... An , con Ai polinomios booleanos en varias variables, para todo subndice i = 1, 2, ..,n. As: A1 A2 ... An B si y slo si siempre que A1 A2 ... An sean todos V, es B tambin cierta.

11

q p (~p ~q)

12

13

14

M.T por M.T

15

16

CUANTIFICADORES

Funciones proposicionales o funciones lgicas:

Sea A un conjunto cualquiera, explcita o implcitamente dado. Una funcin proposicional sobre A es una expresin que denotamos por P(x), que tiene la propiedad de que P(a) es Verdadera o Falsa para todo elemento a A. Esto es, P(x) es una funcin proposicional sobre A si al reemplazar la variable x por un elemento a A, se convierte en proposicin.

Ejemplo: P(x) : x es un nmero primo P(x) es una funcin proposicional sobre Z. As, 8 Z , entonces P(8): 8 es un nmero primo es una proposicin P. En este caso el valor de verdad de P es F.

Si P(x) es una funcin proposicional sobre un conjunto A, entonces el conjunto de elementos a A, tales que P(a) es verdadera, se llama Conjunto de validez de P(x), que indicaremos VP. VP = {x / x A, P(x) es verdadera} VP = {x / P(x)}

Ejemplo 1: sea P(x): x + 2 < 7 est definida en N entonces VP = {x N / x + 2< 7 } VP = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } es su conjunto de validez.

Ejemplo 2: sea P(x): x + 5 < 2 definida sobre N. Entonces su VP = { x N / x + 5 < 2 } = Como se ve, el conjunto de validez de P(x), definida sobre A, puede ser todo A, algunos elementos de A o ningn elemento de A.

Cuantificador Universal:

Sea P(x) una funcin proposicional sobre un conjunto A. Entonces, anteponiendo a P(x) la expresin para todo elemento de A, obtenemos la proposicin: para todo x en A, P(x) es verdadero Simblicamente: xA, P(x) o x, P(x) y se lee para todo x en A se verifica P(x). es el Cuantificador Universal. La expresin x, P(x), significa en definitiva que el conjunto de validez de P(x) es todo A: VP = {x / P(x)} = A Obsrvese que P(x) es una funcin proposicional y no tiene valor de verdad. En cambio, precedindola de : x, P(x) es una proposicin y por lo tanto tiene un valor de verdad. Si {x / x A, P(x)} = A , entonces x, P(x) es V. Si {x / x A, P(x)} A , entonces x, P(x) es F.

17

Cuantificador existencial:

De modo equivalente, si a P(x) le anteponemos la expresin existe un x en A, resulta: existe un x en A tal que P(x) se verifica o para algn x, P(x) En smbolos: x A, P(x) . se lee existe y se denomina cuantificador existencial.

Si P(x): x + 4 7 definida sobre N, entonces x en N tal que P(x) x N, tal que x + 4 7 es un proposicin V. Si {x / x A, P(x) } entonces x A, P(x) es V. Si {x / P(x) }= entonces x A, P(x) es F.

En el ejemplo: {x / x + 4 7} = {1, 2, 3 }, luego x N tal que P(x) es verdadero.

18

LGEBRA DE CONJUNTOS Ante la seguridad de que el tema de conjuntos ya es conocido, recordaremos aqu los conceptos bsicos para su aplicacin y relacin con el Clculo Proposicional.

Conjuntos - Introduccin

Intuitivamente podramos decir que un conjunto es una clase bien definida de objetos. El concepto bien definido significa que cualquiera sea el objeto considerado, se puede determinar si est o no en el conjunto dado. Los elementos que estn en el conjunto se llaman elementos del conjunto, y se dice que pertenecen al conjunto. As, si a es un objeto que est en el conjunto A, escribiremos aA (y se lee a pertenece a A ) y en caso contrario aA (y se lee a no pertenece a A). Un conjunto puede definirse enumerando los objetos que lo forman, como por ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = { 3, 5, 7} En este caso se dice que el conjunto se ha definido por extensin. Solo los conjuntos finitos pueden definirse por extensin. Otra forma de definir un conjunto es indicando la propiedad que caracteriza los objetos que estn en l, esto es los elementos que lo forman. Por ejemplo: C = { x / x es nmero entero primo} D = { x / x es nmero real tal que x2 + 4 x -1 = 0 } En ente caso decimos que el conjunto ha sido definido por comprensin. Por lo ya visto, la expresin x es un nmero entero primo es una funcin proposicional, por lo que podramos simbolizarla por P(x). As C = {x/ P(x)}. En general los conjuntos definidos por comprensin quedan caracterizados a travs de una funcin proposicional. Recprocamente, dada una funcin proposicional Q(x) queda determinado un conjunto A={x/ Q(x)}. Entonces aA es equivalente a decir Q(a), esto es aA es verdadero es equivalente a decir Q(a) es proposicin verdadera.

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, es decir A = B, si

para todo x, x A es equivalente a x B.

Inclusin Sean A y B dos conjuntos, diremos que A est incluido en B, o que A es subconjunto de B, si todo elemento de A lo es tambin de B. Esto es, A est incluido en B si xA entonces xB. Simblicamente escribiremos AB para indicar que el conjunto A est incluido en el conjunto B. As, siendo B y C los conjuntos arriba definidos: B C. Si un conjunto A est includo en otro B, diremos que A es un subconjunto de B.

19

Observacin: algunos autores definen la igualdad de conjuntos de la siguiente manera: A = B si AB y BA.

Otra observacin: todo conjunto es subconjunto de si mismo, ya que siempre que xA, entonces xA.

Algunos conjuntos especiales

Como los elementos que pueden estar en un conjunto pueden ser de cualquier tipo, es oportuno introducir un conjunto universal. Habitualmente se trabaja con subconjuntos de un conjunto al que llamaremos referencial o conjunto universal e indicaremos simblicamente con U. Un conjunto universal U no contiene todo, sino que es el universo del discurso en un momento determinado. As, observando los conjuntos A, B, C y D definidos en los ejemplos anteriores, vemos que los elementos de todos ellos son nmeros reales, esto es, el conjunto universal es entonces U = R. En cambio, no podra considerarse para estos ejemplos, que U = N. Sea A ={ x / x entero, 2 x = 7 }. Se observa que A no tiene ningn elemento, pues para todo valor de x, resulta 2x par y por lo tanto de 7. Se ve entonces la necesidad de otro conjunto especial , llamado Conjunto Vaco o Conjunto Nulo, que es el conjunto que no tiene elemento alguno. Podra caracterizarse como = {x / x x}.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Complementacin Sea U un conjunto universal y A U, un conjunto cualquiera. Definicin : El complemento de A , indicado por A, est definido por A = { x / x U y xA} Ejemplo: Sea U={ x / x nmero dgito } , A = { 2, 4, 6, 8, 10} , B={ 1, 6} entonces A = { 1, 3, 5, 7, 9} , B = { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 }

Definicin : Si A y B son conjuntos, el complemento relativo de A respecto de B es B-A = { x / x B y x A }. Si A = { x / x es un nmero entero primo} B= { x / x es nmero natural primo} entonces A-B = { x / x es nmero primo negativo}.

Interseccin

Sea U un conjunto referencial y AU , BU ;llamaremos interseccin de A con B al conjunto que denotaremos A B formado por los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir:

20

A B = { x U/ xA xB }

Ejemplo: Si U = N , A ={ x / x es nmero natural / x 18 } y B = { x / x N , x es primo } entonces A B = {x N/ x es un nmero primo x 18 } A B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }

Si los conjuntos A y B estn definidos por comprensin por las funciones proposicionales P(x) y Q(x), respectivamente, resulta que el conjunto AB est definido por la funcin proposicional P(x) Q(x). Es decir, si A={xU / P(x)}; B= {xU / Q(x)} entonces AB= {xU / P(x) Q(x)} Esto muestra que relacin existe entre la interseccin de conjuntos y la disyuncin, relacin que permite probar las propiedades de la interseccin mediante las propiedades de la disyuncin.

Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos, entonces podemos dar la siguiente definicin: A y B son disjuntos si AB = .

Unin

Sea U un conjunto referencial y AU, BU; llamaremos unin de A con B al conjunto que denotaremos AB, formado por los elementos comunes y no comunes de ambos conjuntos, es decir: AB = {xU/ xA xB}

Ejemplo: U = Z , A ={xU/ -2< x 7 } , B={ xU/ x es natural par x 12} Entonces AB ={ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12}

Si los conjuntos A y B estn definidos por comprensin por las funciones proposicionales P(x) y Q(x), respectivamente, resulta que el conjunto AB est definido por comprensin por la funcin proposicional P(x) Q(x), es decir: Si A = { xU/P(x) } ; B= { xU/ Q(x) } entonces AB ={ xU/ P(x) Q(x)}.

Como en la operacin anterior, esto muestra una relacin entre la unin y la conjuncin, de modo que pueden probarse las propiedades de la primera mediante las propiedades de la segunda.

Diferencia simtrica de conjuntos

Sea U un conjunto referencial y AU, BU. Llamaremos diferencia simtrica de A con B al conjunto que denotaremos AB formado por los elementos de A o de B pero no de ambos, es decir: AB = { xU / xA xB }

Ejemplo: Sea U = {xN/ x 12}, A = { xU/ x es par } , B={ xU/ x es mltiplo de 3}

21

Entonces AB = { xU /x es par x es mltiplo de 3} o tambin: AB = {2, 3, 4, 8, 9, 12}

Si los conjuntos A, B estn definidos como antes, por las funciones proposicionales P(x) y Q(x) respectivamente, entonces AB queda definido por la funcin proposicional P(x) Q(x).

Si A = { xU/P(x) } ; B= { xU/ Q(x) } entonces AB ={ xU/ P(x) Q(x)}.

La siguiente Tabla muestra las propiedades de las operaciones de conjuntos:

LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS

Leyes de Idempotencia 1a. AA = A 1b. AA = A

Leyes Asociativas 2a. (A B)C = A(BC) 2b. (AB)C = A(BC)

Leyes Conmutativas 3a. AB = BA 3b. AB = B A

Leyes Distributivas 4a. A(BC) = (AB)(AC) 4b. A(BC) = (AB)(AC)

Leyes de Identidad 5a. A = A 5b. AU = A 6a. AU = U 6b. A =

Leyes de Complemento 7a. AA = U 7b. AA = 8a. (A) = A 8b. U = , = U

Leyes de De Morgan 9a. (AB) = AB 9b. (AB) = AB

Observando la similitud de las leyes que son vlidas en el lgebra de Conjuntos y en el lgebra de Proposiciones y considerando la siguiente correspondencia entre operaciones:

lgebra Proposiciones lgebra de Conjuntos Negacin Complementacin Conjuncin Interseccin Disyuncin Unin

22

analizamos la posibilidad de considerar una estructura abstracta con operaciones que verifiquen ciertos axiomas, de modo que cualquier propiedad vlida para esta estructura, sea vlida tanto para el Clculo Proposicional como en el lgebra de Conjuntos.

En el cuadro siguiente se muestra el paralelismo entre las Leyes del lgebra de Conjuntos y las del Clculo Proposicional.

Leyes del lgebra de Conjuntos

Leyes del Clculo Proposicional

De Idempotencia 1.a- AA = A 1.b- AA = A

De Idempotencia 1.a- PP P 1.b- PP P

Asociativas 2.a- A(BC) = (AB)C 2.b- A(BC) = (AB)C

Asociativas 2.a- P(QR) (PQ)R 2.b- P(QR) (PQ)R

Conmutativas 3.a- AB = BA 3.b- AB = BA

Conmutativas 3.a- PQ QP 3.b- PQ QP

Distributivas 4.a- A(BC) = (AB)(AC) 4.b- A(BC) = (AB)(AC)

Distributivas 4.a- P(QR) (PQ)(PR) 4.b- P(QR) (PQ)(PR)

De Identidad 5.a- A = A 5.b- AU = A

De Identidad 5.a- P F P 5.b- P V P

6.a- A U = U 6.b- A =

6.a- P V V 6.b- P F F

De Complemento 7.a- AA = U 7.b- AA =

De Complemento 7.a- P P V 7.b- P P F

8.a- (A) = A involucin 8.b- U = ; = U

8.a- (P) P involucin 8.b- V F ; F V

de De Morgan 9.a- (A B) = A B 9.b- (AB) = A B

de De Morgan 9.a- (PQ) P Q 9.b- (PQ) P Q

23

COMBINATORIA

Contar es hallar el cardinal de un conjunto. Si el conjunto es pequeo y sin regla de formacin fija, el nico procedimiento viable para contar sus elementos es hacer la enumeracin de los mismos. Para contar las provincias argentinas, ir enumerndolas una a una: Jujuy, Salta, Misiones, . . . , Chubut, Tierra del Fuego. Las provincias son 24. Oralmente, la mayora lo har tocndose la punta de los dedos. Puede ser que los conjuntos a contar tengan muchos elementos para enumerarlos exhaustivamente. Pero si sus elementos obedecen a una regla de formacin fija, pueden construirse artificios que permitan conocer cuantos son sin necesidad de hacer la lista. A menudo estos artificios son ingeniosos y poner de manifiesto la estructura del conjunto. La Combinatoria es la parte de la Matemtica que estudia los problemas sobre cuntas combinaciones diferentes sometidas o no a otras condiciones- se pueden formar con objetos dados. La Combinatoria surgi en el siglo XVI. En la vida de las capas sociales privilegiadas de entonces, ocupaban un lugar importante los juegos de azar: cartas, dados, loteras de lo ms variadas. Es comprensible entonces que, al principio, los problemas combinatorios trataran fundamentalmente sobre juegos de azar, tratando de averiguar de cuntas maneras puede obtenerse un nmero determinado de puntos al arrojar dos o tres dados juntos, o de cuntas formas se pueden obtener dos reyes en un juego de cartas. Estos y otros problemas fueron la fuerza motriz del progreso de la Combinatoria y de la Teora de Probabilidades, que se desarroll paralelamente. Uno de los primeros en ocuparse del recuento del nmero de combinaciones diferentes en el juego de los dados fue el matemtico italiano Tartaglia. El estudio terico de los problemas combinatorios fue abordado en el siglo XVII por los cientficos franceses Pascal y Fermat. La Combinatoria es el arte de contar sin hacer enumeraciones. Es contar usando la cabeza en lugar de los dedos. En este captulo veremos algunos procedimientos para contar.

Primer mtodo para contar

El primer mtodo consiste en establecer una correspondencia biunvoca entre los elementos del conjunto en cuestin y un conjunto de la forma {1, 2, 3, ,n}, lo que permite afirmar que ambos conjuntos son coordinables; sabemos entonces que el cardinal del conjunto dado es n.

Ejemplo 1: Cuntos nmeros enteros hay entre 3 y 25, incluidos ambos?

Establecemos entonces la correspondencia: 3 4 5 . . . 24 25 1 2 3 . . . 22 23 La funcin aplicada consiste en asignar a cada nmero del conjunto, el que se obtiene restndole 2.Luego hay 23 nmeros. En forma general: si m n, el conjunto {m, m+1, m+2, . . ., n-1, n} de los enteros comprendidos entre m y n, ambos incluidos, se puede poner en correspondencia

24

con el conjunto {1, 2, 3, . . . , n-m+1} mediante la relacin restar m-1 unidades a cada elemento.

Entonces tenemos:

m m-(m-1) = 1, m+1 (m+1)-(m-1) = 2, . . . , n-1 (n-1)-(m-1) = n-m, n n-(m-1) = n-m+1 As, entre m y n hay n-m+1 enteros, o, dicho de otra manera, el conjunto de los enteros {m, m+1, m+2, , n} tiene n-m+1 elementos.

Ejemplo 2: El cardinal del conjunto {-7, -6, -5, , 10, 11} es 11-(-7) +1= 19 Aqu se podra haber enumerado los elementos del conjunto pues son pocos, pero en el caso de tener que determinar, por ejemplo, cuntos enteros hay entre 14.576 y 74.531, incluidos ambos, tendramos: 74.531 - 14.576 + 1 = 59.956 Aqu se nota claramente la ventaja de tener un mtodo general.

Razonamientos equivalentes pueden emplearse en muchas situaciones similares. Ejemplo3: Cuntos nmeros pares hay entre 1 y 75? Aqu la relacin posible de tomar es divida cada elemento del conjunto por 2 y tome el cociente: 2: 2 = 1 luego al 2 le asigno el 1 4 : 2 = 2 4 2 6 : 2 = 3 6 3 ..

74 : 2 = 37 74 37 Hay entonces 37 nmeros pares entre 1 y 75.

A veces no es tan evidente que transformacin biyectiva usar. Ejemplo 4: En cada eliminatoria de un campeonato de tenis, se forma el nmero de parejas posible y, tras jugar el correspondiente partido, el ganador clasifica para la siguiente ronda y el perdedor, queda eliminado. Si en alguna de las instancias el nmero de jugadores es impar, uno de ellos (elegido de alguna manera, por ejemplo por sorteo) pasa directamente a la siguiente ronda sin jugar. Cuntos partidos se jugarn en un campeonato con 37 inscriptos?

Para simplificar el problema y poder esquematizar la situacin, pensemos en que son slo 9 los inscriptos. As, el esquema de los partidos ser: 1 Ronda: 321

* * 321

* * 321

* * 321

* * *

2 Ronda: 44 344 21 * * * 44 344 21 * *

3 Ronda: 44 344 21 * * *

4 Ronda : 44 344 21 * *

* ganador

Luego, en la primera ronda se juegan 4 partidos, se eliminan 4 jugadores y pasan 5 a la ronda siguiente. En la segunda ronda se juegan 2 partidos, se eliminan 2 jugadores y pasan 3 a la siguiente. En la tercera ronda se juega un partido, se elimina 1 jugador y paran 2 a la final o cuarta ronda, en la que se juega el ltimo partido en el que se elimina

25

1 jugador y queda el ganador. As, habiendo 9 jugadores, se han jugado 9 1 = 8 partidos. Siguiendo el mismo esquema, al tener 37 jugadores inscriptos, se tendr:

1 Ronda: se juegan 18 partidos, se eliminan 18 jugadores y pasan 19 a la siguiente. 2 Ronda: se juegan 9 partidos, se eliminan 9 jugadores y pasan 10 a la siguiente. 3 Ronda: se juegan 5 partidos, se eliminan 5 jugadores y pasan 5 a la 4 Ronda: se juegan 2 partidos, se eliminan 2 jugadores y pasan 3 a la 5 Ronda: se juega 1 partido, se elimina 1 jugador y pasan dos a la 6 Ronda: se juega 1 partido final, se elimina 1 jugador y resulta otro ganador. Entonces: 18 + 9 + 5 + 2 + 1 + 1 = 36 partidos jugados. Esto en realidad es tambin contar con los dedos pero, analicemos: . para que se juega cada partido?

- Para eliminar 1 jugador. . Todo jugador es eliminado en algn partido, salvo el ganador. entonces: la transformacin que a cada jugador le asigne el partido en el que fue eliminado, es una biyeccin. Luego hay que jugar tantos partidos como jugadores se pretende eliminar.

En general: si hay n jugadores, se jugarn n-1 partidos.

Segundo mtodo para contar

En ocasiones, el conjunto cuyo cardinal se quiere determinar no es coordinable con ningn conjunto de estructura ms simple, ni est ordenado, ni puede ordenarse para facilitar el recuento, de modo que deber escribirse exhaustivamente, elemento a elemento y luego contar.

Ejemplo 5:Cuntos anagramas distintos (esto es palabras, tengan o no sentido) se pueden formar con las letras de la palabra TEMO, de modo que tengan 4 letras distintas y la primera sea vocal? Este sera el caso de escribirlas todas y contar, lo que no es muy inteligente. De cualquier manera, habra que hacerlo con mucho cuidado para no olvidar ninguna posibilidad. Esto obligara a escribirlas siguiendo un orden o alguna regla que permita consignar todas las posible: 1) como deben comenzar con vocal, la 1 letra ser E u O. Luego hay 2 posibilidades de elegirla : E _ _ _ O _ _ _ 2) como no se pueden repetir las letras, para las que comienzan con E habr 3 posibilidades de elegir la segunda letra: E T _ _ , E M _ _ , E O _ _ 3) elegida la segunda letra, por ejemplo la T, para elegir la tercera quedan 2 posibilidades: E T M _ , E T O _ 4) elegida la tercera letra, queda slo una posibilidad de elegir la ltima: E T M O , E T O M

Luego hay 2 anagramas que comienzan con ET, de igual modo hay 2 que comienzan con EM, y hay otras 2 que comienzan con EO. Hay entonces 6 anagramas que comienzan con E. Razonando anlogamente, resulta que hay 6 anagramas que comienzan con O, en total, hay 12 anagramas de cuatro letras distintas que pueden armarse con las letras de la palabra temo.

26

Este proceso de construir da la pauta para hacer el recuento de anagramas sin escribirlos todos. Todo consiste en recorrer mentalmente los pasos a seguir, anotando las bifurcaciones que se pueden elegir en cada paso:

dposibilida 1 :4 Pasodesposibilida 2 :3 Pasodesposibilida 3 :2 Pasodesposibilida 2:1 Paso

2 . 3 . 2 . 1 = 12 posibilidades

Esto obedece a la siguiente:

Regla de la multiplicacin: si un conjunto A tiene n elementos y el conjunto B tiene m elementos, el nmero de elecciones distintas de un elemento en A y otro en B en n.m.-

En el caso de que el nmero de elecciones posibles en cada caso depende de qu elementos fueron elegidos antes, resulta cmodo representar el proceso de confeccin o armado de los distintos casos en forma de rbol. Primero se trazan, a partir de un punto, tantos segmentos como elecciones distintas se pueden hacer en el primer paso, as, cada segmento corresponde a un elemento. A partir del extremo de cada segmento, se trazan tantos segmentos como elecciones posibles hay para el segundo paso, si la primera vez fue elegido el elemento dado. As se contina hasta el ltimo elemento dado. Como resultado de esta construccin resulta un rbol cuyo anlisis da fcilmente en nmero de soluciones a nuestro problema. El diagrama de rbol correspondiente al problema anterior, es: M O T O M O T E M T O M T O T M

M E T E M E T O M T E M T E T M

Ejemplo 5: Cuntos nmeros capicas se pueden formar con 5 cifras significativas?

La primera cifra la podemos elegir de 9 maneras distintas, ya que los nmeros no podrn comenzar con cero. La segunda cifra puede elegirse de 10 maneras, lo mismo

27

que la tercera cifra, pero una vez elegida la segunda, hay una nica manera de elegir la cuarta y lo mismo con la quinta cifra, ya que el nmero ha de ser capica, de modo que:

}-

9 }-

10 }-

10 }

1 }

1 9 . 10 . 10 . 1 . 1 = 900

Cuntos de esos nmeros son impares?

}_

5 }-

10 }-

10 }

1 }

1 Luego 5 . 10 . 10 . 1 .1 = 500 son impares, ya que la primera cifra puede ser slo un dgito impar para que la ltima tambin lo sea.

Ejemplo 6: De cuntas maneras se pueden escoger dos fichas de domin, de las 28 que hay en el juego, de modo que se puedan aplicar una en la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo nmero de tantos en ambas fichas)?

Al elegir una ficha se lo puede hacer de 28 maneras distintas: 1) en 7 casos la ficha elegida puede ser doble, 2) en los 21 casos restantes la ficha ser simple. En el 1 caso, la segunda ficha puede elegirse de 6 maneras distintas, entonces hay 7 . 6 = 42 posibles elecciones de una ficha doble y otra que se aplica en ella. En el 2 caso, la segunda ficha se puede elegir de 12 maneras distintas (6 por cada punta de la primera ficha), luego habr 21 . 12 = 252 posibles elecciones de dos fichas simples que se apliquen una en otra. Luego, el nmero total de posibles elecciones del par de fichas es: 42 + 252 = 294. Esto lleva a la:

Regla de la suma: si cierto objeto A puede elegirse de m maneras y otro objeto B puede elegirse de n maneras, la eleccin de o A o B se puede hacer de m + n maneras.

Debe cuidarse que ninguna forma de elegir A coincida con alguna forma de elegir B. Si existiera esa coincidencia, la regla de la suma pierde validez y se obtienen m + n k modos de eleccin distintos, siendo k en nmero de coincidencias.

Algunos importantes modelos

Los mtodos anteriores permiten resolver una infinidad de problemas de recuento; pero entre ellos hay algunos que se presentan con mucha frecuencia y por eso han merecido un nombre propio y una simbologa particular. Nota: Ante un problema concreto no es conveniente tratar de ajustarse a uno de esos modelos, es preferible razonar directamente empleando el mtodo constructivo y ajustndose al enunciado propuesto.

Permutaciones o Sustituciones

Ejemplo 7: De cuantas maneras distintas pueden ordenarse en fila 8 personas? Usando el mtodo de seleccin anterior, podemos resolver fcilmente:

{8

__

{7

__

{6

__

{5

__

{4

__

{3

__

{2

__

{1

__

28

La primera persona se puede elegir de 8 maneras distintas; por cada eleccin de la primera, la segunda puede elegirse entre las 7 restantes; elegida esa, hay 6 posibilidades para elegir la tercera; y as sucesivamente. Luego, segn la regla del producto, hay: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320 maneras distintas de ordenar 8 personas en fila.

Esas ordenaciones se denominan Permutaciones o sustituciones.

Definicin: Dado un conjunto de m elementos, se llama permutacin de orden m a cada uno de los distintos ordenamientos de esos elementos. As, dos permutaciones son distintas slo cuando difieren en el orden en que ha sido considerado al menos uno de sus elementos. Indicaremos con Pm el nmero total de permutaciones de m elementos, que calcularemos mediante el producto de enteros positivos consecutivos decrecientes a partir de m, hasta 1. Para simplificar su escritura, se emplea la siguiente notacin: m! En el caso del ejemplo: 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1

Definicin: Sea m Z , m 0, se llama factorial de m y se representa por m! al nmero definido por recurrencia de la siguiente manera: 0! = 1 m! = m. (m-1)! Es decir que: m! = m.(m-1)! (m-1)! = (m-1)(m-2)! (m-2)! = (m-2)(m-3)! . . . . . . . . . . . . . . . . .

entonces m! = m.(m-1) (m-2) . . . 2.1

Ejemplo 8: Un padre ha comprado para regalar a sus tres hijos, una caja de lpices de colores, una pelota y un libro. De cuntas maneras puede repartir los regalos entre sus hijos?

{3

__

{2

__

{1

__ 3! = 3. 2. 1 = 6

Entonces, existen 3! = 6 formas distintas de repartirlos. En cambio, si hubiera trado dos pelotas idnticas y un libro, cmo podra ahora repartir los regalos? 1 2 3 L P P P L P P P L esta construccin nos permite ver que slo hay 3 repartos posibles. Esto muestra que la regla enunciada antes slo es aplicable si los elementos son distinguibles. Analicemos otra situacin que nos permitir generalizar una respuesta cuando hay objetos repetidos entre los que se debe ordenar.

Ejemplo 9: En un bar, cinco amigos han pedido tres cafs y dos cervezas. De cuntas maneras distintas puede el mozo distribuir las cinco bebidas?

29

Si los cafs fueran distintos (solo, con crema , cortado) y las cervezas fueran de distintas marcas, entonces es claro que las posibles distribuciones podran hacerse de 5! =120 maneras distintas. Pero siendo los 3 cafs iguales y las dos cervezas idnticas, una vez hecho un reparto, los 3 cafs podran permutarse entre s sin que cambie el resultado. Esto significa que los 120 resultados pueden agruparse en 3! = 6 grupos que no presentan diferencias.

Quedan pues 20 6

120= resultados distintos.

Anlogamente, cada reparto idntico a aquel en que se intercambian las cervezas. Por lo

tanto, hay slo 2

20 maneras distintas de distribuir las bebidas.

En resumen, el nmero de repartos posibles es: 10 2 . 6

120

!2 !3!5

==

Luego: Una coleccin de n objetos, clasificados en grupos de objetos idnticos entre s, el primero con k1 objetos, el segundo con k2, etc., se pueden ordenar de !!...!

!21 rkkkn

maneras distintas. En este caso estamos frente a permutaciones con repeticin de n objetos, con k1, k2, ,kr iguales entre s.

Subconjuntos ordenados o Variaciones

Veamos ahora otra situacin: Ejemplo 10: En una carrera de 7 atletas, de cuntas maneras distintas pueden adjudicarse las medallas dorada, de plata y de bronce? Aqu no interesa la lista completa de llegada, sino los nombres de los tres primeros. Mediante el mtodo constructivo obtenemos la respuesta: El atleta que recibir la medalla dorada puede ser cualquiera de los 7 participantes de la carrera, adjudicada esa, la medalla de plata puede obtenerla cualquiera de los 6 restantes y la de bronce, alguno de los 5 que quedaron. Esto es: { { {

5673 2 1 luego hay 7 . 6 . 5 =210 formas distintas de adjudicar las tres

medallas. Obsrvese que son 7! Los rdenes de llegada de los 7 atletas, pero para los efectos de la adjudicacin de las medallas, los 4 ltimos da lo mismo que lleguen en el lugar 4 que en el lugar 7. Entonces, todas las listas de llegada se pueden dividir en grupos de 4! Listas, obtenidas permutando sus cuatro ltimos nombres. Entonces, el

nmero de listas con diferencia en la entrega de medallas es: 7.6.5 4!

7.6.5.4!

!4!7

==

En general: Dado un conjunto A, de n elementos, el nmero de subconjuntos ordenados de r elementos que pueden elegirse entre los n, es: )!(

!rn

n

.

Obviamente, se consideran subconjuntos ordenados distintos aquellos que difieren en al menos un elemento o en el orden en que han sido considerados.

30

Usualmente el nmero de subconjuntos ordenados de r elementos, de un conjunto de n elementos, se denominan Variaciones de n elementos de orden r. Siempre n > r. El nmero de Variaciones de n elementos de orden r (o tomas de a r) lo indicamos:

1)r-2)...(n-1).(n-n.(n r)!-(n

n! +==rnV

Ejemplo 11: Consideremos el conjunto {1, 2, 3, 4}, las Variaciones de esos 4 elementos de orden 2, o tomados de a 2, son: 123.424 ==V Ellas son: 1 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 3 3 2 4 2 1 4 2 4 3 4 4 3

Si ahora quisiramos construir las variaciones de esos elementos tomados de a 3, bastar agregar a cada una de las anteriores otro elemento a elegir de entre los restantes. As, para cada una de las anteriores habr 2 nuevas: 3 3 2 1 2 2 1 3 1 . . . 4 4 4 2 1 3 . . . 4 Luego: 2 . 24

34 VV = 24 4.3.2

24 ==V

Proposicin: El nmero de variaciones de n elementos tomados de a r (r n) est dado por la expresin: 1)r-2)...(n-1).(n-n.(n V rn += , esto es, r factores decrecientes a partir de n.

Demostracin: Por Induccin sobre r: 1) Sea r = 1: n V1n = pues hay n maneras distintas de elegir 1 elemento entre los n. 2) Sea r > 1 y supongamos que la expresin es verdadera para (r-1) elementos:

[ ]11)-(r-n1)...-n(n V 1-rn += = n (n-1) (n r + 2) 3) Probaremos que tambin es verdadera para r: De acuerdo al ejemplo anterior, una vez formadas las variaciones de orden (r-1), para formar las de orden r podremos agregar a cada una de las anteriores un nuevo elemento elegido entre los restantes n-(r-1) que no estn considerados en ella. Con eso, por cada variacin de orden (r 1) tendremos n-r+1 variaciones de orden r. Luego:

1)r-2)(nr-1)...(n-n.(n V)1.(V V

r

n

1-rn

r

n

++=

+= rn

lo que prueba la proposicin.

Variaciones con repeticin

31

Definicin: dado un conjunto finito A de n elementos, se llama variacin con repeticin de orden r de esos n elementos, a toda sucesin de r trminos formada por elementos de A, no necesariamente distintos entre s. Indicaremos: r'nV .

Ejemplo 12: Cuntas sucesiones de tres elementos pueden formarse con los elementos 0 y 1? Armemos esas sucesiones: 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Luego: 8V '32 =

Proposicin: El nmero r'nV de variaciones con repeticin de n elementos tomados de a r, est dado por la expresin: rr'n n V = .

Demostracin: Por Induccin sobre r. 1) Sea r = 1, es inmediato que 1'1n n n V == 2) Sea r > 1 y supongamos que la expresin es verdadera para (r-1) elementos:

1-r1)-(r'n n V =

3) Probemos que la expresin es verdadera para r. Razonando como en la Proposicin anterior, una vez construidas las variaciones con repeticin de orden (r-1) para obtener las de orden r, deberemos agregar un elemento a cada una de las anteriores, que puede ser cualquiera de los n elementos de A. Por lo tanto, de cada una de las anteriores obtendremos n, de orden r: n .V V 1)-(r'n

r 'n =

= nr-1

. n

= nr con lo que queda demostrada la validez de la Proposicin.

Subconjuntos o Combinaciones

Ejemplo 13: De cuntas maneras distintas pueden seleccionarse los 6 nmeros de la boleta del Quini 6? Sabemos que hay que elegir los 6 nmeros entre los 36 primeros nmeros naturales y que han de ser distintos entre s. Constructivamente calcularamos los subconjuntos ordenados as:

{36

__

{35

__

{34

__

{33

__

{32

__

{31

__

6)!-(3636!

V636 =

Pero, en esta situacin, el orden en que elegimos los nmeros no distingue dos tarjetas, as es que ese nmero de posibilidades se puede dividir en 6! grupos, lo que deja un total de

!6!.30!36

posibles elecciones o tarjetas distintas.

32

Esto es, se eligen 6 elementos de 36, pero dos tarjetas son distintas si difieren al menos en un nmero. Esto es, se eligen subconjuntos de 6 elemento, no subconjuntos ordenados.

Luego, de un conjunto de n elementos, pueden formarse )!rn(!r!n

subconjuntos de r elementos. Los subconjuntos de r elementos de un conjunto de n elementos se denominan Combinaciones de n elementos tomados de a r (o de orden r). Indicaremos:

r)!-(n r!n!

Crn =

Ejemplo 14: Sea A = {a, e, i, o, u }, de cuantas maneras pueden elegirse conjuntos de tres vocales? Construyamos las posibilidades: aei aeo aeu aio aiu aou eio eiu eou iou Son:

10 C35 =

Obsrvese que si ahora formamos las 35V , tendramos:

aei aeo aeu aio aiu aou eio eiu eou iou aie aoe aue aoi aui auo eoi eui euo iuo eai eao eau iao iau oau ieo ieu oeu oiu eia eoa eua ioa iua oua ioe iue oue oui iae oae uae oai uai uao oei uei ueo uio iea oea uea oia uia uoa oie uie uoe uoi

Esto es, por cada una de las combinaciones obtenidas antes, permutando sus elementos, obtenemos todas las variaciones de orden 3.

335

35 P . C V =

3

353

5 PV

C =

3! 3)!-(55!

C35 =

En general, el nmero de combinaciones de n elementos tomados de a r, est dado por la expresin:

r! r)!-(nn!

C PV

C rnr

r

nr

n ==

Como el nmero rnC aparece con frecuencia en muchos tipos de clculos, existe

una notacin especial para indicarlo:

=

r

n C rn que llamamos nmero combinatorio

n sobre r.

Definicin: Se llama nmero combinatorio n sobre r al nmero que indicamos:

r! r)!-(nn!

=

r

n

33

As: 1546

2!4!6.5.4!

!4)!46(!6

46

=

=

=

792 5! 5)!-(12

12!

512

==

Propiedades de los nmeros combinatorios

Los nmeros combinatorios verifican interesantes propiedades y relaciones entre ellos. Entre las ms simples:

P.1.-

=

r-n

n

r

n Estos nmeros combinatorios se dicen complementarios.

Definicin: Dos nmeros combinatorios se dicen complementarios si tienen igual numerador y sus denominadores suman ese numerador.

Verificacin de P.1.:

[ ]!r)-(n-n r)!-(nn!

r-n

n =

=

r)!n-(n )!r-n(!n

+

=

r! )!r-n(!n

=

r

n

P.2.-

+

=

1-r1-n

r

1-n

r

n

Verificacin a cargo del lector.

P.3.- nn

02

kn

=

=k

Esto es: n2 n

n . . .

2n

1n

0n

=

++

+

+

Cmo verificarlo? Obsrvese que el primer miembro expresa el nmero total de subconjuntos de un conjunto de n elementos, pues es la suma del nmero de subconjuntos de cero elementos, ms el nmero de subconjuntos de un elemento, ms Pero el nmero total de subconjuntos puede calcularse directamente. Para identificar un subconjunto arbitrario, se puede sealar con X los elementos elegidos y con 0 los descartados. Hay

34

dos posibilidades de eleccin (X o 0) para el primer elemento del conjunto, las mismas para el segundo elemento, y las mismas para cualquiera de los n elementos:

{ { { {2222

__ . . . __ __ __

Luego, el nmero total de subconjuntos es 2n.

La propiedad P.2. permite el clculo rpido de los nmeros combinatorios de numerador n, conociendo los de denominador n-1. Suelen escribirse en filas sucesivas, as:

n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1

Este es el llamado Tringulo Aritmtico, atribuido a Tartaglia, aunque parece que su origen es mucho ms antiguo. Este Tringulo ofrece mltiples relaciones interesantes y curiosas entre sus elementos.

Obsrvese que, escritas las dos oblicuas 1, 1, , 1, los elementos de cada lnea se forman aplicando P.2., que en definitiva expresa: cada elemento es la suma de los dos que figuran encima de l; la P.1. expresa la igualdad de los nmeros colocados simtricamente respecto del eje vertical de simetra del tringulo.

Potencia de un binomio

Una aplicacin interesante de los nmeros combinatorios es su empleo en la frmula que permite calcular expresiones del tipo (a + b)n, con n Z, n 0, esto es, el desarrollo de la potencia n-sima de un binomio. Las expresiones correspondientes a n = 1, n =2 y n = 3, son conocidas por los alumnos, expresiones que escribimos:

n = 1 (a + b)1 = a + b = b 11

a 01

+

n = 2 (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 = 22 b 22

ab 12

a 02

+

+

n = 3 (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

= 3223 b

33

b a 23

ba 13

a 03

+

+

+

35

En general demostraremos el siguiente

Teorema: Cualesquiera sea el entero no negativo n, es:

( ) n0kk-n22-n1-n0nn b a n

n ... ba

kn

... b a 2n

b a 1n

a 0n

b a

++

++

+

+

=+ b

(a + b)n = kk-nn

0kb a

=

kn

Demostracin: se har por Induccin sobre n:

1) sea n = 1 ( ) kk-110k

1 b a k1

b a =

=+

= b a 11

b a 01 00

+

= a + b luego es vlida la expresin para n = 1.

2) Supongamos vlida la expresin para el exponente (n1), esto es:

( ) kk-1-n1-n0k

1-n b a k

1-n b a

=

=+

y 3) probemos su validez para exponente n: (a + b)n = (a + b)n-1 (a + b) (a + b)n = (a + b) . kk-1-n

1-n

0kb a

k 1-n

=

(aplicando propiedad

distributiva) (a + b)n = 1kk-1-n

1-n

k

kk-n1-n

0kb a

k 1-n

b a k

1-n

+

=

+

Sacando fuera de la primera sumatoria el primer sumando (que corresponde a k = 0) y en la segunda sumatoria, sacamos el ltimo sumando (que corresponde a k = n-1), resulta:

(a + b)n = n01k1-k-n2-n

0k

kk-n1-n

1k

0n b a 1-n1-n

b a k

1-n b a

k 1-n

b a 0

1

+

+

+

+

==

n

En la segunda sumatoria haciendo un cambio en el ndice de la variable k, por k-1, resulta:

kk-n1-n

1k

1k1-k-n2-n

0kb a

1-k1-n

b a k

1n

=

+

=

=

Luego:

(a + b)n = n0kk-n1-n

1k

1-n

1k

kk-n0n b a 1-n1-n

b a 1-k1-n

b a k

1-n ba

0 1n

+

+

+

==

36

En ambas sumatoria hay trminos semejantes que podemos agrupar, con lo que quedar:

(a + b)n = n01-n

1k

kk-n0n b a 1-n1-n

b a 1-k1-n

k 1-n

ba 0

1n

+

+

+

=

(a + b)n = an + nkk-n1

1b b a

kn

+

=

n

k

(a + b)n = kk-nn

0kb a

n

=

k con lo que queda probado el teorema.

Esta expresin general recibe el nombre de Frmula del binomio de Newton.

Ejemplo 15: Desarrollar (x2 + 3y)6.

(x2 + 3y)6 = ( ) ( )kk6260k

3y x k6

=

(x2 + 3y)6 =

06 (x2)6 (3y)0 +

16 (x2)5 3y +

26 (x2)4 (3y)2 +

36 (x2)3 (3y)3 +

+

46 (x2)2 (3y)4 +

56

x2 (3y)5 +

66 (x2)0 (3y)6

(x2 + 3y)6 = x12 + 6 x10 3y + 15 x8 9 y2 + 20 x6 27 y3 + 15 x4 81 y4 + 6 x2 243 y5 + 729 y6 (x2 + 3y)6 = x12 + 18 x10 y + 35 x8 y2 + 540 x6 y3 + 1215 x4 y4 + 1458 x2 y5 + 729 y6

Veamos ahora cmo calcular un trmino dado, correspondiente al desarrollo de la potencia n-sima de un binomio.

Ejemplo 16: Calcular el sexto trmino del desarrollo de (3x + 2y)8.

De acuerdo a la frmula de Newton, el desarrollo correspondiente es:

(3x + 2y)8 = ( ) ( )kk880k

2y 3x k8

=

Luego, el sexto trmino corresponde a k=5, con lo que ser:

T5 =

58 (3x)3 (2y)5 = 53 y 32 x27 .

!3!.5!5.6.7.8

T5 = 48382 x3 y5

Ejemplo 17: Desarrollar (1 a2)5

( ) k2550k

52 )a (-1/2 1 k5

a 2/11 k=

=

=

05

15 +

15

14 (-1/2 a2) +

25

13 (-1/2 a2)2 +

35

12 (-1/2 a2)3 +

37

+

45

1 (-1/2 a2)4 +

55 (-1/2 a2)5

(1 a2)5 = 1 5/2 a2 + 5/2 a4 5/4 a6 + 5/16 a8 1/32 a10

Obsrvese que, tratndose de un binomio diferencia, esto es de la forma (a b)n, resultan siempre, en el desarrollo, los signos alternados.

38

Los nmeros enteros

En el conjunto Z de los nmeros enteros estn definidas dos operaciones binarias: la suma y el producto. Esas operaciones verifican las siguientes propiedades:

S1.- Asociatividad. a, b, c Z : (a+b) + c = a + (b+c) S2.- Conmutatividad. a, b Z : a + b = b + a S3.- Existencia de elemento neutro. 0 Z : 0 + a = a a Z S4- Existencia de elemento opuesto. a Z, b Z : a + b = 0 Notacin: b = -a, luego: a + (-a) = 0 y decimos que (-a) es opuesto de a y viceversa.

P1.- Asociatividad. a, b, c Z : (a b) c = a (b c) P2.- Conmutatividad. a, b Z : a b = b a P3.- Existencia de elemento neutro. 1 Z : 1 a = a a Z

D.- Distributividad del producto respecto de la suma. a, b, c Z : a (b+c) = ab + ac y tambin (b+c) a = ba + ca

Estas propiedades de la suma y el producto dan a Z su estructura caracterstica de anillo.

En base a estas propiedades o leyes de las operaciones de suma y producto, se pueden probar otras propiedades tales como: a) a Z: a (-1) = -a Esto es, el opuesto de a es igual a (-1)a b) -(-a) = a a Z c) Si a + b = 0 entonces b = -a d) -(a+b) = (-a) + (-b)

Notacin: escribimos a + (-b) = a - b y a ese elemento le llamamos a menos b

e) (a-b) = b a

En Z se define tambin una relacin binaria 0 a c < b c a < b y c Z , c < 0 a c > b c

Notacin: Si a < b entonces b > a a b si y slo si a = b a < b

39

El tema central de esta Unidad es analizar otras dos propiedades importantes y caractersticas del conjunto Z, que son:

1.- La existencia del algoritmo de la divisin. 2.- La Factorizacin de enteros. Antes de llegar a ellas, hemos de analizar la relacin divide en Z.

Definicin: Se dice que un entero a 0 es divisor de un entero b, si k Z : b = k a. En tal caso decimos que a es divisor de b o a divide a b y escribimos a/b.

Ejemplos: -3 / 15 pues existe -5 Z : (-5) (-3) = 15 9 / 9 pues existe 1 Z : 9 1 = 9 -1 / -4 pues existe 4 Z : 4 (-1) = -4

Propiedades:

1.- Propiedad reflexiva. a Z : a / a

2.- a Z : a / 0

3.- Si a / b a / -b ; -a / b ; -a / -b

4.- Propiedad transitiva. Si a / b y b / c a / c

5.- Si a / b y a / c a / xb + yc x, y Z Esto es, a divide a cualquier combinacin lineal de b y c.

6.- Si a / b ac / bc c Z Recprocamente: si c 0 y ac / bc a / b.

A modo de ejemplo desarrollaremos la demostracin de alguna de estas propiedades, quedando las restantes a cargo del lector.

Propiedad 3. Demostracin: Si a / b k1 Z: b = k1 a Como k1Z -k1Z, luego, multiplicando por (-1) la igualdad anterior, resulta: (-1) b = (-1) k1 a -b = [(-1)k1] a -b = -k1 a a / -b

A partir de esta demostracin, pruebe el lector que -a / b y que -a / -b.

Propiedad 5. Demostracin: Si a /b b = k1 a con k1Z Sea xZ : x = x . b x = (x k1) a (*)

40

Si a / c c = k2 a con k2Z Sea yZ : y = y . c y = (y k2) a (**)

Sumando (*) y (**) resulta: b x + c y = (x k1 + y k2) a Como (x k1 + y k2) Z, entonces a / bx + cy

Propiedad 6. Demostracin: Si a /b b = k1 a con k1Z. Sea c Z : cb = ck1 a aplicando propiedad conmutativa: cb = k1 ca ca / cb

Recprocamente. Sea c 0, c Z c-1Q Si ac / bc bc = k ac multiplicando por c-1: b = k acc-1 b = k a a / b.

Importancia de la relacin divide en Z

300 aos antes de Cristo, ya Euclides y sus contemporneos conocan y manejaban muchos resultados sobre el tema. Es claro que si a Z, a0, entonces a / b, bZ si y slo si el resto de dividir a por b es cero. En cambio si se piensa en el conjunto Q de los racionales, no existe problema para dividir, ya que cualquier racional es divisible por cualquier otro distinto de cero.

Divisin entera

Es bien conocido el procedimiento por el que, dados dos enteros positivos a y b se determina el cociente q y el resto r, de la divisin de a por b. Si a = 1543 y b = 25 1543 | 25 . 043 61 18 q = 61 y r = 18 1543 = 25 61 + 18

En general: a = b q + r

Teorema: Para todo par de enteros a y b, con b0, existen enteros q y r, llamados cociente y resto de dividir a por b, unvocamente determinados, tales que a = q b + r con 0 r < b

Demostracin: Por razones de simplicidad probemos primero que si q y r existen, entonces son nicos. Supongamos, por Absurdo, que adems del par de enteros q y r, existen q y r Z, tales que:

a = q b + r con 0 r < b

41

a = q b + r con 0 r < b entonces ser: q b + r = q b + r q b - q b = r - r

(q q) b = r r y tomando valor absoluto, resulta: q qb = r - r

Entonces, si r r r - r 0 y si q q q q 0

tenemos: q qb = r - r () b q qb = r - r b r - r (*)

Pero, siendo r < b y r< b b>r - r lo que contradice la expresin (*). Esta contradiccin provino de suponer que r r, luego r = r y entonces, como b0, en () debe ser: q q = 0 q = q, lo que prueba la unicidad del cociente y del resto.

Probemos ahora que, efectivamente existen los enteros q y r en las condiciones del teorema. 1) Obsrvese primero que si a es mltiplo de b, entonces: a = k b , para algn kZ, entonces tomando q = k y r = 0, se tiene el par de enteros en las condiciones exigidas.

2) Supongamos que a no es mltiplo de b, esto es xZ, a x b (o, dicho de otro modo, no existe ningn xZ, tal que a = x b) Consideremos entonces el conjunto S de todos los enteros positivos de la forma a xb con xZ. Por lo dicho anteriormente, a x b 0, pero habra que ver si existe xZ de tal modo que esa diferencia sea positiva; en caso contrario, S sera vaco.

Veamos que S :

Sea

=

0 a si 1-0 a si 1

=

0 b si 1-0 b si 1

Entonces a= a y b= b

Consideremos xZ, x de las forma : x = - a Entonces: a xb = a (- a) b a xb = a + a b a xb = a + ab a xb = a+ab a xb = a(+b) siendo b> 1, pues b 0 y a b Entonces: (+b) > 0 (+b)a> 0 , por lo tanto a xb > 0, esto es, es un entero positivo, luego S . Significa entonces que S es un subconjunto no vaco de N, luego S tiene primer elemento.

42

Sea r el primer elemento de S, que se obtiene cuando x asume el valor q: r = a qb Entonces:

a = q b + r

Veamos ahora que r < b.

Que r >0, lo hemos dicho al indicar que rS y SN. Supongamos que r b r > r - b 0 Como r - b = a qb - b = a (q+)b > 0 pues a b , entonces r - b tiene la forma a xb (para x = q + ) con lo que r -bS. Luego resulta r - b< r, un elemento de S. Absurdo! Pues r es el primer elemento de S. Por lo tanto, r < b.

Con lo que queda demostrado el teorema.

Ejemplos: Si a = 3 y b = 9 q = 0 y r = 3 ya que 3 = 09 + 3 Si a = 18 y b = -4 q = -4 y r = 2 18 = (-4)(-4) + 2 Si a = -1548 y b = 12 q = -129 y r = 0 -1548 = (-129)12 + 0

Una interesante aplicacin del Algoritmo de la divisin entera es la de representar un entero positivo cualquiera en base b >1:

Representacin b-dica de un entero, o representacin en base b.

El problema es el siguiente: Representar el entero positivo a 0 en forma de polinomio en b, cuyos coeficientes ci satisfagan las relaciones:

a = c0 + c1 b + c2 b2 + c3 b3 + . . . + cn bn b >1, 0 ci < b , para i = 0, 1, 2, , n

Esto es: a = in

0ii b c

=

El problema radica en determinar los ci, que llamaremos cifras, siendo b la base de representacin. Una vez determinados los ci, se conviene en escribir el entero a de la siguiente manera:

a = cn cn-1 . . . c2 c1 c0 (base b)

Veamos un ejemplo: sea a= 1536 y b= 10 (b es la base de la representacin)

a = 1530 + 6 a = 153 10 + 6 a = (150+3) 10 +6 a = (15 10 +3) 10+ 6 a = {[(10 +5) 10] +3} 10 + 6 a = [(510 + 1010) +3] 10+6 a = 5 102 + 103 + 310 + 6

43

a = 6 + 310 + 5102 + 1103 Descomposicin 10-dica o decimal de a.

Cmo resolver el problema en forma general? Simplemente procediendo como en el ejemplo, usando sucesivamente el algoritmo de la divisin: a = b q1 + r1 con 0 r1 < b Obsrvese que por ser a > 0, 0 q1 < a

Si q1 < b, ya est la solucin, tomando: c0 = r1 , c1 = q1 y entonces n = 1 : a = c1 b + c0 entonces a = c1c0 Si q1 b, entonces lo dividimos por b: q1 = q2 b + r2 0 r2 < b ; 0 q2 < q1 Entonces: a = b (q2 b + r2) + r1

a = q2 b2 + r2 b + r1 Si q2 < b c0 = r1 ; c1 = r2 ; c2 = q2 , n = 2 a = c0 + c1 b + c2 b2 a = c2c1c0(b)

Si q2 b q2 = b q3 + r3 0 r3< b ; q3

44

Ejemplo: Expresar 117 en base 5

117 5 . 17 23 5 . As, 117 = 432(5) 2 3 4 Cmo constatar? Escribiendo el polinomio: 250 + 35 + 452 = 117

Observaciones:

1.- Nuestro sistema de numeracin es decimal, esto es, en base 10. Las cifras son 0, 1, 2, . . .,9 El nmero 3429 = 9 + 2 10 + 4102 + 3103 El 756 es: 6 + 510 + 7100

2.- En base b, las cifras son 0, 1, 2, , b-1 b 10 Los nmeros menores que b se representan mediante una nica cifra .

3.- El nmero b se representa siempre como : b = 10 (b) As, 6 = 10 (6) En efecto: 6 6 . entonces 6 = 0 + 16

0 1

4.- Para representar nmeros en base b>10, se necesitan ms smbolos para indicar las cifras que siguen al 9.

Por ejemplo, para b = 13, las cifras pueden ser: 0, 1, 2, , 9, , ,

As 1493 = 8 (13) ya que 1493 13 . 19 114 13 . 63 8 1493 = + 13 + 8132

Ejemplos:

1. Qu nmero decimal es N = 233 (13) ?

N = 2 134 + 133 + 3132 + 13 + 3 N = 2 28561 + 10 2197 + 3 . 169 + 12 13 + 3 N =57122 + 21970 + 507 + 156 + 3 N = 79758

2. Representar en base 9 el nmero 2534 (7) 2534 (7) = 273 + 572 + 37 + 4 = 956 = 1272 (9)

45

3. Considerando el entero positivo cuya representacin en base 6 es: n = 342x (6),determinar la cifra x para que dicho nmero sea divisible por 5. n = 342x (6) n = 363 + 462 + 26 + x n = 648 + 144+12 + x n = 804 + x

Luego, si x = 1 n = 805 por lo tanto es divisible por 5

Nmeros primos

Hemos dicho que si a0 y a/b, entonces b es mltiplo de a y al dividir b por a, el resto es cero. Es claro que, aZ, a es divisible por 1, -1, a y -a. Estos son los llamados divisores triviales de a. Cualquier divisor de a, distinto de ellos, se llamar divisor propio de a.

Ejemplo: sea a = 48, entonces los divisores triviales de 48 son: 1, -1, 48 y -48. Son divisores propios de 48: 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 16, -16, 24 y -24

Definicin: un entero p, distinto de 0, 1 y -1 se dice primo, si no admite mas divisores que los triviales. Esto es: pZ es primo si sus nicos divisores son: 1, -1, p y -p.

Si aZ no es primo, entonces a se dice compuesto.

Ejemplos: son enteros primos: 17, 43, -7, -61 Son enteros compuestos: -96, 28, 100, -65

As, Z queda dividido en tres subconjuntos disjuntos dos a dos, no vacos: {0, 1, -1 } P = { pZ : p es primo} C = {a Z : a es compuesto} Z C

P Constituyen esos tres subconjuntos una particin de Z?

Vemos cmo son los divisores de un entero dado.

Teorema: Sea aZ, a 0 y sea c/a, entonces 1 c a Si c es divisor propio de a, entonces 1 < c < a

46

Demostracin: Si c/a a = k c con c 0 y k0 a=kc siendo k 1 pues k0 ac 1 ()

Si c es divisor propio de a c 1 c 1 y c a c a Luego la expresin () se reduce a : a>c > 1 con lo que queda probado el Teorema.

Esto nos dice que dado aZ, a0, a tiene un nmero finito de divisores. Estos divisores forman un subconjunto del conjunto de los enteros cuyo valor absoluto est comprendido entre a y 1. Si a es compuesto, entonces es de la forma a = b c siendo b y c divisores propios 1 < b< a y 1 < c < a

Proposicin: Cualesquiera sean a, b Z, las siguientes proposiciones son equivalentes:

1) a y b tienen los mismos divisores 2) a y b difieren en un factor unitario, esto es, a = b 3) a/b y b/a

Demostracin: Recordemos que los nicos enteros que tienen inverso multiplicativo en Z son 1 y -1. A ellos se los llama enteros unitarios. Respecto de la divisin, los enteros unitarios tienen la particularidad de dividir a cualquier otro entero.

1 2: Supongamos que a y b tienen los mismos divisores, entonces como a / a ,a Z, debe darse tambin que a / b b = k1 a con k1Z. De igual modo, como b / b y a tiene los mismos divisores que b, entonces b / a a = k2 b con k2Z. Luego: b = k1 (k2 b) b = (k1k2) b Entonces, si b 0, por la ley cancelativa, resulta: k1k2 = 1 k1 = k2 = 1 k1 = k2 = -1 con lo que resulta b = a Si b = 0, siendo a = k2b a = 0 y obviamente se verifica la proposicin.

2 3 : Suponiendo que a = b, entonces b / a pues existe (1) Z, tal que : a = 1b y si a = b b = a a / b

3 1: Si a /b y b/ a veremos que a y b tienen los mismos divisores: Sea cZ tal que c / a, entonces como a / b c / b. Esto es, cualquier divisor de a lo es tambin de b. De igual modo, si k / b como b /a k /a. Luego, todo divisor de b tambin divide a a.

47

Definicin: Dos enteros a y b que verifican las condiciones de la Proposicin anterior se dicen enteros asociados. Evidentemente el asociado de un entero a es a.

Ejercicio: Probar que la relacin ser asociado de definida sobre Z es una relacin de equivalencia.

Divisor Comn Mayor

Sea aZ, indicaremos con D(a) el conjunto de todos los divisores de a. D(a) = {xZ : x /a }

Ejemplos: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12 } D(-27) = {1, 3, 9, 27} D(1) = {1} D(p) = {1, p} D(0)= Z

D(12) D(-27) = {1, 3}

En general, el conjunto de los divisores comunes de dos enteros no simultneamente nulos, es distinto de vaco y finito. Entonces, como subconjunto de Z finito y distinto de , tiene ltimo elemento. Esto es, existe un divisor comn de a y de b que es mayor que los dems y adems, ese es positivo, pues si c/x -c/x de modo que c D(a)D(b) -c D(a)D(b).

Definicin: Dados dos enteros a y b, no simultneamente nulos, se llama Divisor Comn Mayor de a y b al mayor de los divisores comunes.

Indicaremos el divisor comn mayor de los enteros a y b con: (a, b). Ejemplo: (12, -27) = 3

Observacin: Si b/a (a, b) =b b0 En particular: (0, a) = a

Proposicin: Si a, b Z, b0 y r es el resto de dividir a por b, entonces a y b tienen los mismos divisores que b y r.

Demostracin: Sean q y r Z: a = q b + r , con 0 r

48

Recprocamente: Sea t un divisor de b y de r t/b y t/r t / q b + r t / a Luego t es divisor de a y de b.

Corolario: (a, b) = (b, r) Esto es, el divisor comn mayor entre a y b es igual al divisor comn mayor entre b y r.

Probar el Corolario anterior como ejercicio.

Ejemplo: consideremos el problema de calcular el divisor comn mayor de los nmeros 342 y 126. 342 126 12690 90 36 36 18 90 2 36 1 18 2 0 2

As: (342, 126) = (126, 90) = (90, 36) = (36, 18) = 18

Clculo del divisor comn mayor Algoritmo de EUCLIDES

Vamos a organizar las divisiones sucesivas realizadas en el ejemplo anterior, a travs del siguiente cuadro:

2 1 2 2 342 126 90 36 18 90 36 18 0

Obsrvese que el divisor comn mayor entre 342 y 126 es el ltimo resto no nulo obtenido luego de las sucesivas divisiones.

Veamos en general: Sean a , b Z , b0 Efectuamos divisiones sucesivas como indica el cuadro. Se observa que los restos que se obtienen son positivos y estrictamente decrecientes, por ello el procedimiento podr repetirse un nmero finito de veces. El ltimo resto ser siempre nulo.

q1 q2 q3 qn-2 qn-1 qn qn+1 a b r1 r2 rn-3 rn-2 rn-1 rn r1 r2 r3 rn-1 rn 0

Formalizamos ahora en el siguiente:

Teorema: si a , bZ , b0, el ltimo resto no nulo que se obtiene en el Algoritmo de Euclides, es el divisor comn mayor d de a y b. Adems d = xa + yb , x, y Z.

Demostracin: 1) Si el primer resto obtenido es cero d = (a, b) = b y este puede escribirse: b= 0a + (1)b con lo que se verifica el teorema.

49

2) Si el resto es 0 al cabo de n+1 divisiones, n>1, se tiene: a = q1 b + r1 0 r1 < b b = q2 r1 + r2 0 r2 < r1 r1 = q3 r2 + r3 0 r3 < r2 . . . . . . . . . . . . . . . .

rn-2 = qn rn-1 + rn 0 rn < rn-1 rn-1 = qn+1 rn + 0

De esta ltima igualdad resulta que: rn/rn-1 (rn-1, rn) = rn Por el Corolario de la Proposicin anterior, resulta:

rn = (rn-1, rn) = (rn-2, rn-1) = . . . = (r1, r2) = (b, r1) = (a, b) Esto es,

rn = (a, b) = d

Por otra parte, de las igualdades anteriores, resulta: r1 = a q1 b r1 = a + (-q1) b r2 = b q2 r1 r2 = b q2 (a + (-q1) b) r2 = (-q2) a + (1 + q1q2) b r3 = r1 q3 r2 r3 = a + (-q1) b q3 [(-q2) a + (1 + q1q2) b] r3 = (1 + q2 q3) a + (-q1 q3 q1 q2 q3) b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sea observa que todo resto se puede escribir como un mltiplo de a ms un mltiplo de b, en particular:

rn = d = x a + y b con x, y Z

En el ejemplo anterior, expresaremos (342, 126) = 18 como un mltiplo de 342 ms un mltiplo de 126: 342 = 2 126 + 90 90 = 342 + (-2) 126 126 = 1 90 + 36 36 = 126 + (-1) 90 90 = 2 36 + 18 18 = 90 + (-2) 36

18 = [342+(-2) 126]+ (-2)[126 + (-1)90] 18 = 342 + (-4) 126 + 290 18 = 342 + (-4) 126 + 2 [342 + (-2) 126] 18 = 3342 + (-8)126 donde se ve que x = 3 , y = -8

Observaciones: 1.- Como a y a tienen los mismos divisores, entonces por la definicin de divisor comn mayor, resulta: (a, b) = (-a, b) = (a, -b) = ( -a, -b)

Luego, para el clculo del divisor comn mayor, d, de dos enteros cualesquiera, no simultneamente nulos, se puede suponer a ambos positivos.

Enteros relativamente primos.

50

Definicin: se dice que el entero a es primo con el entero b, o que a y b son coprimos o primos relativos, si (a, b) = 1

Proposicin: Si (a, b) = 1 entonces existen enteros s, t, tales que a s + b t = 1 y Recprocamente, si tales enteros existen, entonces a y b son coprimos.

Demostracin: A cargo del alumno

Proposicin: Sean a, bZ, (a, b) = 1 y a / b c entonces a/c.

Demostracin: (a, b) = 1 1 = s a + t b multiplicando ambos miembros por cZ: c = s a c + t b c y como por hiptesis a/ bc y a/a a / (sc) a + t (bc) a/c.

Corolario: Si p es un entero primo y p/ bc, entonces p/b p/c.

Demostracin: 1) Si p/b entonces es obvio que se verifica el corolario. 2) Supongamos que p no divide a b y probaremos entonces que p/c. Como p es primo y no divide a b (p, b) = 1, luego, por la proposicin anterior, resulta que: p/ bc y (p, b) = 1 p/c

Corolario: Si p/ a1 a2 ar y p es primo, entonces p/ ai para algn i =1, 2, .., r.

Proposicin: Si a, b, c Z y (a, b) = 1 entonces existen x0, y0 Z tales que: a.x0 + b.y0 = c. Es decir, la ecuacin a.x + b.y = c admite al menos una solucin entera.

Demostracin: Si (a, b) = 1 s a + t b = 1 y multiplicando por c y asociando, es: (cs) a + (ct) b = c con lo que x0 = cs , y0 = c t, probando la existencia de soluciones x0, y0.

Proposicin: la condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin de coeficientes enteros a x + b y = c tenga solucin entera, es que el divisor comn mayor de a y b sea divisor de c. Esto es: (a, b) /c. Demostracin: 1) Probaremos primero que si (a, b) =d y d/c entonces la ecuacin a x + b y = c admite

solucin entera:

51

Sea d= (a, b) tal que d/c, entonces existe kZ : c = k d Por otra parte, existen enteros s, t: d = s a + t b multiplicando por k: k d = k s a + k t b c = (ks) a + (kt) b Tomando x0 = ks Z y y0 = kt Z resulta que (x0, y0) es solucin de la ecuacin dada. 2) Recprocamente: si a x + b y = c tiene solucin, probaremos que d/c. Sea (x1, y1) una solucin de la ecuacin a x + b y = c a x1 + b y1 = c Si d = (a, b) a = ad y b = bd, reemplazando en la expresin anterior: adx1 + bdy1 = c d (ax1 +by1) = c d/c.

Ecuaciones DIOFNTICAS

Las ecuaciones Diofnticas son ecuaciones de coeficientes enteros, para las que interesa determinar, si existen, las soluciones enteras. El matemtico Diofanto (siglo III a.C) se ocup de estudiar las soluciones enteras de ciertas ecuaciones, de ah el nombre dado a estas ecuaciones. Las ecuaciones planteadas en las Proposiciones anteriores, son de ese tipo, en particular, son ecuaciones diofnticas lineales de dos incgnitas como las siguientes: 3 x + 5 y = 8 137 x 25 y = 1 12 x + 81 y = 3

Veamos que una ecuacin Diofntica del tipo ax + by = c, no tiene solucin entera o admite infinitas soluciones enteras:

1) Si a = b = c = 0 es obvio que todo para de enteros (x0, y0) es solucin de la ecuacin, ya que 0 x0 + 0 y0 = 0

2) Si a = b = 0 y c 0, entonces no existe solucin posible.

3) Si a y b no son simultneamente nulos, la proposicin anterior nos indica que la ecuacin admite al menos una solucin si (a, b) / c.

La siguiente Proposicin muestra que si hay solucin, entonces existen infinitas soluciones.

Proposicin: Si ax + b y = c , con a, b, c Z, tiene solucin entera y (x0 ,y0) es una solucin cualquiera, entonces todas las soluciones de esa ecuacin son de la forma:

*

tda

y y

tdb

- xx

0

0

+=

=

siendo d = (a, b) y tZ

Demostracin: 1. Veamos que cualquier par de enteros de las forma indicada en * es solucin de la

ecuacin ax + by = c Reemplazando en la ecuacin, segn *, resulta:

=

++

t

da

y b tdb

- x a 00 a x0 - a db

t + b y0 + b da

t

52

= a x0 + b y0 siendo (x0, y0) una solucin = c

Luego, efectivamente la forma indicada en * es solucin de la ecuacin.

2. Veamos ahora que toda solucin de la ecuacin ax + b y = c se escribe de la forma indicada en *:

Supongamos que a 0 y sea (m, n ) otra solucin, entonces tenemos: a x0 + b y0 = c a m + b n = c

restando, miembro a miembro, a la segunda expresin la primera: a ( m - x0) + b (n - y0) = 0 a ( m - x0) = - b (n - y0)

Como d = (a, b) a = a' d y b = b' d siendo a' y b' coprimos

Remplazando en la expresin anterior: a' d (m - x0) = - b' d (n -y0) cancelamos d en ambos miembros: a' (m - x0) = - b' (n -y0) Esto muestra que: a' / -b (n - y0) a' / n -y0 n - y0 = t a' n = y0 + a' t

n = y0 + tda

De igual forma, tomando n - y0 = tda

a' (m - x0) = - b' tda

con

a 0

m - x0 = - tdb

m = x0 - tdb

Luego, una solucin (m, n) cualquiera, est dada por la forma * , con tZ, lo que hace que entonces existan infinitas soluciones, una para cada t elegido. En resumen, conociendo una solucin de la ecuacin ax + by = c, se pueden conocer todas.

Ejemplo 1: Consideremos la ecuacin lineal diofntica 3 x + 12 y = 6 Como (3, 12 ) = 3 y 3/6, entonces existen infinitas soluciones. Fcilmente se observa que el par (-2, 1) es una solucin ya que : 3 (-2) + 12 1 = 6 Luego las restantes soluciones sern del tipo:

+=

=

t33

1 y

t3

12 - 2- x

+=

=

t 1 y t4- 2- x

t Z

Luego tambin son soluciones, por ejemplo:

53

Para t = 1 el par (-6, 2) Para t = 3 el par ( -14, 4) Para t = -1 el par ( 2, 0) Etc., etc.

Ejemplo 2: 8 x + 12 y = 5 Como ( 8, 12) = 4 y 4 no divide a 5 no existen soluciones para esta ecuacin.

Ejemplo 3: Sea la ecuacin: 11 x + 4 y = 120 Como (11, 4) = 1 Expresamos d = 1, como combinacin lineal de 11 y 4. 11 = 4 2 + 3 3 = 11 - 4 2 4 = 3 1 + 1 1 = 4 - 3 1 1 = 4 - 11 + 4 2 1 = 3 4 - 11 1 = (-1) 11 + 3 4 u = -1 y v = 3

Por otro lado, como d = 1 c' = c, en este caso c' = 120 Luego la solucin obtenida es: x0 = (-1) 120 = -120 y0 = 3 120 = 360

esto es:

=

=

360y120- x

0

0

Verificacin: 11 (-120) + 4 360 = -1320 + 1440 = 120

Cualquier otra solucin de la ecuacin dada ser de la forma:

+=

=

t11 360 y t 4 - 120- x

siempre

t Z

Mltiplo comn menor

Teorema: Dados a, b Z+, existe un m Z+, tal que: 1) m es mltiplo de a y de b, 2) si m' es mltiplo de a y de b, entonces m' es mltiplo de m.

Demostracin: Sea d = (a, b) a = d a', b = d b' siendo (a', b') = 1 Sea m = a b' m es mltiplo de a, pero m = a' d b' m es mltiplo de b Luego m rene la condicin 1) Supongamos que m' Z+: m' es mltiplo de a y es tambin mltiplo de b m' = k1 a , m' = k2 b con k1, k2 Z m' = k1 d a' , m' = k2 d b' k1 d a' = k2 d b' , esto es k1 a' = k2 b' a' /k2b' pero siendo (a', b') = 1 a'/ k2 luego existe cZ : k2 = a' c m' = a' d b' c m' = a' c b y como a' b = m

54

m' = m c m/m' m' es mltiplo de m.

Definicin: El entero m de la proposicin anterior es el mltiplo comn menor de a y b. Lo indicamos: m = [a, b]

De acuerdo a la proposicin ante