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Captulo 1 Teora de exponentes I 4
Captulo 2 Teora de exponentes II 9
Captulo 3 Notacin P(x) 14
Captulo 4 Grados y polinomios especiales 19
Captulo 5 Repaso I 25
Captulo 6 Productos Notables 30
Captulo 7 Divisin algebraica 36
Captulo 8 Factorizacin I 42
Captulo 9 Factorizacin II 47
Unidad I
Captulo 10 Fracciones Algebraicas 53
Captulo 11 Cantidades Imaginarias I 59
Captulo 12 Cantidades Imaginarias II 64
Captulo 13 Cantidades imaginarias III 69
Captulo 14 Teora de ecuaciones 75
Captulo 15 Repaso II: Productos Notables y Factorizacin 81
Captulo 16 Ecuaciones de segundo grado I 86
Captulo 17 Ecuaciones de segundo grado II 92
Unidad II
-
lgebra
Captulo 18 Ecuaciones de segundo grado III Planteo 98
Captulo 19 Sistema de ecuaciones I 104
Captulo 20 Sistema de ecuaciones II 110
Captulo 21 Repaso III: Ecuaciones y sistemas 116
Captulo 22 Inecuaciones I 122
Captulo 23 Inecuaciones II 128
Captulo 24 Funciones I 134
Captulo 25 Funciones II 141
Unidad III
Captulo 26 Funciones III 147
Captulo 27 Funcin cuadrtica 153
Captulo 28 Repaso IV: Ecuaciones de segundo grado 160
Captulo 29 Progresiones I 165
Captulo 30 Progresiones II 171
Captulo 31 Logartmos I 177
Captulo 32 Logartmos II 182
Captulo 33 Logartmos III 188
Unidad IV
-
Captulo
4
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
1
Lectura: La peticin deL invento deL ajedrez
Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presenta su invento a un prncipe de la india. El prncipe qued tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para la cual ledijo: Pdeme lo que quieras, que te lo dar. El inventor del ajedrez formul su peticin del modo siguiente:
Deseo que me entregues un gramo de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, diecisis por la quinta, y as sucesivamente hasta la casilla 64.
La sorpresa fue cuando el sacerdote del prncipe calcul la cantidad del trigo que representaba la peticin del inventor, porque toda la tierra sembrada de trigo era insuficiente para
obtener el trigo que peda el inventor. Cuntos trillones de granos de trigo peda aproximadamente) utiliza la calculadora para hallarlo: 1+2+22+23+24+...+262+263.
FUENTE: http://thales.cica.es
En este captulo aprenderemos
Teora de exponentes I
. Potenciacin (base, exponente, potencia)
. Definiciones
Exponente entero positivo. Exponente cero. Exponente entero negativo.
. Teoremas:
Bases iguales (multiplicacin y divisin) Exponentes iguales (multiplicacin y divisin) Potencia de potencia.
. Ejercicios.
teora de exponentes i
-
lgebra
5www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Sntesis terica
-
Captulo
6
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Saberes previos
1. EfectuarE=10+5(1)2(1)
2. CalcularE 25 36= +
3. Reducir:E=3m2m+9m
14. Descomponer cannicamente los siguientes
nmeros.
120 180
5. Factorizar:
P(x)=x3+x5+x4
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
a) 5 5 5 5 5 I. 5
b) 5+5+5+5+5 II. 56
c) 51+51+51+51+ 51 III. 55
d) 55+55+55+55+55 IV. 5
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. am x a2m = a3m ( )
II. a5m a3m = a2m ( )
III. a4m + a2m = a6m ( )
IV. (a3)m = a3+m ( )
3. Completar correctamente
a) En la 39, la base es
y el exponente es
.
b) Si una base negativa se eleva a un exponente
par, la potencia resultante es siempre de
signo .
c) Luego de reducir xx5
7 el exponente final es
.
4. Efectuar: 231 70 1 5
1 0 0+ + + -
` ^ ^j h h
5. Simplificar: x y zx y z7 3 9
7 9 11
ferchisIII
ferchisv
-
lgebra
7www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Aprende ms
1. Relacionar correctamente:
a) (2x)(2x)(2x) I. 21.x
b) (x2+2)+(x2+2) II. 4x2
c) (2x1)1 III. 8x3
d) (2x)2 IV. 2x
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. ;xx
x1 R1 6 != ( )
II. 1;x x Ro 6 != ( )
III. ( ) ;x x x R2 5 25
6 != ( )
IV. ;x x x R1 6 != ( )
3. Completar correctamente
a) Si una base negativa se eleva a un exponente
impar, la potencia resultante es .
b) 36 indica que la base se
multiplica veces.
c) Luego de reducir ( )( )xx3 2
2 3 el exponente final es
.
4. Reducir: ( ) ( ) ( )2 231 4 33 4 1 0+ + + ; E
a) 4 b) 2 c) 0d) 3 e) 1
5. Calcular: E361 2 3
4 0 12 5 51 3 7
= + +
` j
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20
6. Simplificar: . . .
( ) (( ) )b a b aa b a2 10 6 10
3 2 4 2 2 2
a) a b) b c) ab
d) ba e) 1
7. Reducir: 3
3 3 3x
x x x1 1+ + +
a) 3 b) 13 c) 133
d) 1 e) 313
8. Simplificar: .
. .5 525 125 5
x x
x x x
2 3 9 3
a) 1 b) 51 c) 5
d) x e) 25
9. Simplificar: 100 2775 6 2
2
2 3
#
# #
a) 5 b) 9 c) 4d) 15 e) 6
10. Reducir: E5 5 55 5 5
x x x
x x x
3 2 1
1 2 3=
+ +
+ ++ + +
a) 625 b) 152 c) 25d) 5 e) 1
11. Luego de reducir, indicar el exponente final de " x":
x
x3
8164 ; x > 0
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12. Si: a+b=1; ab= 2 , simplifique la expresin:
(ab + ba)(aa + bb) (2a/2 + 2b/2)
a) 0 b) 1 c) ab+1
d) a+1 e) ba+1
13. Si x es positivo, simplificar la expresin:
....
x
x x x x x
n n
nn
3
154
43
32
21
2+
+
a) x1/2 b) xn c) x2
d) x e) 1
14. Los planetas A, B, C se encuentran unidas colinealmente con respecto a un eje de referencia. Si las distancias entre A y B y B y C son 2x+11 y 2x+9 respectivamente y la distancia de A y C es 293+293+294+297, hallar x
a) 86 b) 85 c) 87d) 88 e) 84
15. En cierto planeta un virus se duplica cada segundo. Si A representa la cantidad de virus que se tienen en 31 segundos y B representa la cantidad de virus en 28 segundos. Hallar AB
a) 12 b) 16 c) 4d) 2 e) 8
-
Captulo
8
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
1Practica en casa
1. Reducir: ( )A51 2012 2013 81
- /1 0 1 4= + + +` j
2. Calcular: 2 (3 ) ( 5 ) ( 2 )B 3 5o o o o= + + +
3. Reducir: E251 2
5o=
` j
4. Calcular: . ( ) . ( )A x x x35 2 4 2=
5. Efectuar: ( ) ( ) ( )E 4 7 5 o3 2=
6. Reducir: . . .A x x x x( ) ( )4 2 3 4o2 2
=
7. Simplificar: .
;x x
x x x 02
2 4 2
3 4^
^^
hh
8. Simplificar: . .
;x x x
x x x x 0o
4 3 11
4 3 2 5 4^
^ ^ ^h h h
1. Calcular el exponente final de x2; luego de
reducir : . .x x x
x x x x
.2 3 10
6 2 3 2
2 2
^` h j
a) 8 b) 3 c) 4d) 2 e) 1,0
2. UNMSM 2008 II
Si 4 , ;x x hallar el valor de x21x z xx x z= =
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Si n 3n =
Calcular En
n n n2 5 27 /n
n n n n
3
3 1n n= + + ++
+
a) 211 b) 11 c)
311
d) 113 e)
112
9. Simplificar: . .. .
80 35 2114 15 30
3 3 6
9 4 2
10. Simplificar: 5
5 5x
x x1+
11. Reducir: . ;Exx
xx
xx
xx x x 013
15
5
7
7
9 3 2 != + + + e o
12. Calcular: A3 3 33 3 3x x x
x x x
1 2
2 1=
+ +
+ ++ +
13. Si xx=2 , calcular E xx1x
=+
14. Calcular: 6 56 52 2
2 2
++
15. Si 5m=3 y 2m=7 ; calcular 2110m
4. UNMSM 2003
Si 32x+32y=27 ; 3x+y=11 , calcular el valor de K= (3x+3y)3
a) 512 b) 216 c) 729d) 125 e) 343
5. UNMSM 2010 II
Si x 32k 12
=+
donde k es un nmero entero no negativo, entonces el valor de x x4+ es
a) 3 3 12 2k k1 12 2
+ ` j
b) 3 3 12 2k k12 2
+ ` j
c) 3 32 2k k 22 2+
d) 3 3 12 2k k 22 2+ +
` j
e) 3 3 12 2k k1 12 2
+ +` j
T puedes
-
9www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Captulo 2
Lectura: Los descendientes de carLomagno
Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto da top con un matemtico de su entorno que le hizo los siguientes clculos:
Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el nmero de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el nmero de antepasados que tiene usted es:
2+22+23+24+ ... +238+239+240=22 199023, 255550
As que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemtico de nuestra historia pens Poca sangre noble tiene este buen hombre; pero sigi sintindose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna.
FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com
En este captulo aprenderemos
Ecuaciones exponenciales
. Criterios de resolucin
De bases iguales. Formas anlogas.
. Casos particulares
teora de exponentes ii
-
Captulo
10
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
2Sntesis terica
Criterios de resolucin
Casos particulares
ECUACIONESEXPONENCIALES
De las bases iguales
De la forma anloga
De los exponentes iguales
-
lgebra
11www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Saberes previos
1. Resolver: x23 4+ =
2. Efectuar: x7.xa
3. Efectuar: xxb
7
4. Efectuar: (x2.y3)5
5. Efectuar: (x3)4
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
a) 3x=36 I. x=3/2
b) 3x1=37 II. x=2
c) 3x+1=27 III. x=6
d) 9x=27 IV. x=8
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. 5x1= 50 entonces x=1 ( )
II. 7x2= 1 entonces x=2 ( )
III. 7x1= 9x1 entonces x=1 ( )
IV. 62x = 42x entonces x=2 ( )
3. Completar correctamente
a) En 3x1=9x, la solucin es
b) En 11x5=1, la solucin es
c) En 2x1=61x, la solucin es
d) x 3xx3
= , la solucin es
4. Resolver:
8x2=4x+3
5. Resolver
x 5xx...
=
-
Captulo
12
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aprende ms
1. Relacionar correctamente:
a) 22x 2 3= I. x=8
b) 77x3 1 3=
II. x= 33
c) 551 x 3=` j III. x=8
d) x 3x3
= IV. x=3
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. 1x3=1, entonces la nica solucines x=3 ( )
II. x axa
= , entonces x aa= ( )
III. x bx...= , entonces x bb= ( )
IV. 21
412
141
=` `` `j j
j j ( )
3. Completar correctamentea) Si xx=27, entonces la solucin es
.b) Si x2
x=16; entonces la solucin es
.
c) Si xx7
, entonces x7 es .d) (0,2)x=52, entonces la solucin es
.
4. Resolver: 3 35 5n 1 9
=
a) 8 b) 4 c) 10d) 11 e) 12
5. Resolver: 63n9=27n3
a) 3 b) 2 c) 2d) 3 e) 0
6. Resolver: 4n+1=0,5
a) 1 b) 3 c) 2
d) 23 e) 2
7. Hallar x: x2 3x23
=^ h^ h
a) 33 b) 33 c) 233
d) 233 e) 0
8. Hallar x: (0,2)51x 3=
a) 151 b)
61 c)
51
d) 21 e)
31
9. Hallar x: 3x3+3x2+3x1=39
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0
10. Hallar x: 4x4+4x3+4x2+4x1=340
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
11. Calcular el valor de "x": 3 8184 4xx
11
4=
++6 @
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12. Si: 7 77 7 74 315
n
n 81
== G , hallar la suma de cifras de "n"
a) 1 b) 2 c) 3
d) 8 e) 9
13. Resolver: 52n 4.5n 5=0
a) 1 b) 2 c) 2d) 1 e) 5
14. Un terreno triangular tiene las siguientes
dimensiones dadas por el grfico 2n+22n+1
2n+3
si el permetro de dicho terreno es 56m. Halle el lado ms grande.a) 4 b) 64 c) 8d) 32 e) 16
15. La edad de un padre es igual que la suma de las edades de sus tres hijos. Si las edades de sus hijos son 3n3, 3n2, 3n1 y la del padre 39. Halle la edad del mayor hijo.
a) 6 b) 9 c) 18d) 27 e) 30
2
-
lgebra
13www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Practica en casa
1. Hallar x: 5x3=54
2. Resolver 7x2=49
3. Hallar x: x 3xx3
=
4. Resolver: 11x5=7x5
5. Resolver: x 7x...
=
6. Hallar x: 9x1=52x2
7. Halle el mnimo valor de n en: 7n24=54n
2
8. Si x 2xx2
= ; hallar x xx22
+
9. Luego de resolver:
25x1= (1251 )12x
Indique el valor de 4x
10. Resolver: ,0 251n 3
1= ` j
11. Resolver: 2n+3+2n+2+2n+1=56
12. Hallar x: 32x 7.3x 18=0
13. Resolver: xx=363
14. Si 5aaa5= y b 2b
b...
= , calcular E=a5+b2
15. Resolver : x 36x3
=
1. UNMSM 2009 I
Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" en un nmero entero, entonces el valor de: 2(n+3) es.
a) 4 b) 10 c) 6d) 15 e) 8
2. UNMSM 210 II
Si: 264=aa y ( )b3 3 b54 = , halle 3a+2b
a) 48 b) 96 c) 99d) 44 e) 66
3. UNMSM 2010 II
Si xy=2 (donde x>0), halle el valor de la
expresin x x
x x2 6
4y y
x x x y y
2
2yy y
+
^ ^ ^h h h
a) 316 b) 3 c)
516
d) 411 e)
413
4. UNMSM 2008 I
.
b4
9 2 3
4 2 2 0
b r r
x x
4
10 2
2 1
=+
=+
^ hZ
[
\
]]
]
Entonces se puede afirmar que:
a) x b=3 b) x+b=3 c) |b|
-
Captulo
14
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
3
Lectura: paoLo ruffini
Matemtico y mdico, naci el 22 de septiembre de 1765 en velantano, estados pontificios, y muri en Mdena el 10 de mayo de 1822.
Estudi medicina, y cuando acab la carrera se dedic a estudiar matemticas. Sus estudios de matemticas le valieron pronto para tener muy buena reputacin en el campo matemtico y en 1787 accedi al puesto de profesor en la universidad de Mdena, donde haba estudiado.
Fue nombrado rector de la universidad y catedrtico de clnica mdica, medicina prctica y matemticas aplicadas.
Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los aos, dentro del mundo matemtico, como el descubridor de la regla de Ruffini que hace que se permita encontrar los coeficientes del polinomio wue resulta de la divisin de un polinomio cualquiera por el binomio (xa). Pero esto no ha sido lo nico con lo que Ruffini ha colaborado en el mundo de las matemticas, elebor una demostracin de la imposibilidad de la solucin general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y superiores, aunque no fue del todo exacta su teora, que sera corregida posteriormente por Niels Henrik Abel, matemtico noruego.
FUENTE: http://www.rtre.es
En este captulo aprenderemos
Evaluaciones exponenciales
. Polinomio (definicin)
. Clasificacin
De acuerdo al nmero de trminos. De acuerdo al grado.
. Polinomio de una sola variable
. Valor numrico
Teoremas: suma de coeficientes, trmino independiente. . Cambio de variable
. Ejercicios
notacin p(x)
-
lgebra
15www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Sntesis terica
POLINOMIO
Para P(x), se cumpleSuma de coeficientes
Trmino independiente
Segn el nmero de trminos
Monomio Binomio Trinomio, etc.
Segn el grado
1er grado 2do grado 3er grado, etc
Polinomio de una sola variable
Valor numrico
Cambio de variable
Clasificacin
-
Captulo
16
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
3Saberes previos
1. Calcular: 3(1)2+5(1) 2(1) 1
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
2. Calcular: 5(0)3 2(0)2+7(0)5 6(0)4+3a) 7 b) 1 c) 0d) 4 e) 3
3. Calcular: 1(2)2 2(2)+6a) 5 b) 6 c) 7d) 9 e) 2
4. Calcular: 23.22 32.3+42
a) 30 b) 20 c) 16
d) 21 e) 30
5. Reducir: x3y2.x5y4
a) x12y4 b) x3y9 c) xy
d) x8y6 e) x6y8
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
a) P(x)=x+3 I. P(0)=0
b) P(x)=x2 II. P(10)=21
c) P(x)=x III. P(5)=8
d) P(x)=2x+1 IV. P(3)=1
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
Sea P(x) =3x1
I. P(0)=1 ( )
II. P(1)=5 ( )
III. P(1)=7 ( )
IV. P(2)=5 ( )
3. Completar correctamente
a) En P(x,y)=x+2y las variables son
.
b) En P(x)=3x2+2x5 el trmino independiente
es .
c) En P(x)=2x2+x1 el coeficiente principal
es .
d) En P(x)=4x2+x+2 la suma de coeficientes
es .
4. Si P(x;y)=2x+3y, calcular P(1;0)
5. Si P(x)=2x+1, calcular P(y+1)
-
lgebra
17www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Aprende ms
1. Relacionar correctamente:
a) P(x)=x I. P(1)=10
b) P(x+1)=x+10 II. P(10)=12
c) P(x+2)=x+1 III. P(0)=0
d) P(x1)=x+1 IV. P(7)=6
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)Sea P(x)=4x53x4+7x3+x2
I. El grado del polinomio es 5 ( )
II. El coeficiente principal es 4 ( )
III. El trmino independiente es 2 ( )
IV. La suma de coeficiente es 7 ( )
3. Completar correctamente
a) En P(x,y)=3xyz, las variables son .
b) En P(x)=(x1)20+3x1, la suma de coeficientes es .
c) En P(x)=(1x)20+2, el trmino independiente es .
d) En P(x+1)=(1+x)2, entonces P(2) es .
4. Si P(x;y)=5xy, hallar P(1;1)
a) 5 b) 5 c) 6d) 6 e) 1
5. Si P(x)=x21, hallar P(x+1)
a) x2+2x b) x22x c) x2
d) 2x e) x+1
6. Si P(x2)=x23x, halle P(3)
a) 3 b) 3 c) 9
d) 10 e) 9
7. Si P(x+1)=2x3, halle P(x1)
a) 2x7 b) 2x+7 c) 7x+2
d) 7x2 e) 7
8. Si P(x1)=2x+1, calcular P(0)+P(1)+P(2)
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 15
9. Si P(x)=x2, calcular ( 1) ( )x
P x P x 1+
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
10. Si P(x1)=2 P(x2) 1
Adems P(3) = 2, hallar P(0)
a) 1 b) 2 c) 8d) 9 e) 12
11. Si P(x)=(a37)x5+ax2+a2+1 es un polinomio mnico, hallar el trmino independiente.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1
12. Si P(x)=(x1)6+(x+2)4+3, hallar la suma de coeficientes de P(x) multiplicado por el trmino independiente.
a) 1850 b) 1520 c) 1680d) 1560 e) 1280
13. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios, adems:P(x) + Q(x) = ax + bP(x) Q(x) = a + bxdonde: P(5) = 4, calcular P(Q(1))a) 4/3 b) 1/3 c) 2/3d) 5/3 e) 4/3
14. Una empresa de galletas contabiliza sus ganancias en soles mediante: P(x)=(x+1)23, donde x indica un ciento de galletas. Cunto ganar si vende 9900 galletas?a) S/.9999 b) S/.9996 c) S/.9998d) S/.9997 e) S/.9995
15. Un terreno rectangular tiene las dimensiones de x+5 de largo y x+2 de ancho. Hallar el rea de dicho terreno representado por P(x).
a) P(x)=x2+7x+10
b) x2+7x
c) x2+7x10
d) P(x)=x
e) P(x)=x210
-
Captulo
18
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TRILCE Central: 6198-100
3Practica en casa
1. Si P(x)=x2+3x+1
Calcular P(0)+P(1)+P(2)
2. Si P(x;y)=(x+1)8+(y1)4+xy
Calcular P(2;2)
3. Si P(x) =(x1)2+x(x7)3+4
Halle el trmino independiente.
4. Si P(x)=(2x1)11+(5x4)2+(9x10)8
Halle la suma de coeficientes
5. Si P(x)=x2+1
Halle P(x1)
6. Si P(x4)=x22x
Halle P(1)
7. Si P(x1)=3x1
Halle P(x+1)
1. UNMSM 2010 IISabiendo que f(x+6)=ax+b; f(2)=14 y f(3)=29, halle el valor de 2ab
a) 6 b) 10 c) 4d) 12 e) 8
2. UNMSM 2010 IP(x)+Q(x)=ax+b, P(x)Q(x)=a+bx y P(5)=4, calcule P(Q(1))
a) 34 b)
31 c)
32
d) 35 e)
34
3. UNMSM 2004 IISi g(z+1)=g(z)+5z23z+2 y g(0)=2, entonces g(1)+g(1) es
a) 4 b) 4 c) 2d) 0 e) 2
8. Si P(x+1)= 3x1
Calcular P(0)+P(1)+P(2)
9. Si P(x)=x2, calcular ( ) ( )x
P x P x1
1 12+
+ +
10. Si P(x)=x+1; q(x)=x21;
Halle P(q(0))
11. Si P(x)=(a326)x4+2x3x+a21 es un polinomio mnico, hallar el trmino independiente.
12. P(2x5)= x x2 1 43+ + + ; hallar R(3)
13. Si P(x)=x993x98+2x1; hallar P(3)
14. Si ( );
;P x
x si x es parx si x es impar2
1= +* ; hallar P(2)+P(5)
15. Si P(x)=x22x; calcular ( (... (2)) ...)P P Pveces100
1 2 3444 444
4. UNMSM 2004 IIEl polinomioP(x)=(7x23)n3(2x1)n+1+(n2x39)7(2x+3)n17
+(5x7n)(5x1)2n17 Tiene como trmino independiente 112. Hallar "n"
a) 13 b) 18 c) 16d) 20 e) 12
5. UNMSM 2002 I
Dado 3f(x)=x+4+ ( )f x2
, calcular f(f(4))
a) 4 b) 58 c) 4
d) 0 e) 58
T puedes
El xito es 1% inteligencia y 99% esfuerzo
-
19www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Captulo 4
En este captulo aprenderemos
Grados
. Definicin
. Grado en un monomio
Grado relativo (G.R) Grado absoluto (G.A)
. Grado en un polinomio
Grado relativo (G.R) Grado absoluto (G.A)
. Operaciones con grados.Polinomios especiales
. Definicin
. Tipos
Polinomio ordenado. Polinomio completo. Polinomio competo y ordenado. Polinomio homogneo. Polinomios idnticos. Polinomio idnticamente nulo.
Lectura: eL ndice de masa corporaL (i.m.c)
El ndice de masa corporal (I.M.C) es un mtodo simple para estimar la proporcin de grasa corporal de una persona. Se calcula con facilidad dividiendo el peso del sujeto expresado en kilogramos, entre el cuadrado de su altura en metros.
IMC=peso(Kg)/talla2(mts)2
Por ejemplo para una persona que mide 1.70mts y pesa 75Kg el ndice de masa corporal se calculara as:
IMC=75Kg / (170mts)2
IMC=75Kg / 2,89mts2
IMC=25,95Kg / mts2
Actualmente un IMC entre 18,5 y 24,9 se considera saludable; un IMC entre 25 y 29,9 indica sobrepeso; un IMC entre 30 y 39,9 corresponde a obesidad y un IMC de 40 a ms es propio de una obesidad severa o mrbida.
FUENTE: http://www.n/m.nih.gor
grados y poLinomios especiaLes
-
Captulo
20
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4Sntesis terica
GRADOS
Polinomios Operaciones entre polinomios
Potenciacin
Divisin
Multiplicacin
Sustraccin
Adicin
P. Ordenado
P. Completo
P. Completo y ordenado
P. Homogneo
P. Idnticos
P. Idnticamente nulo
Polinomios especiales Grado relativo (G.R)
Grado Absoluto (G.A)
-
lgebra
21www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Saberes previos
1. Escribir un trmino semejante a x2n+5y4
2. Si P(x)=x4+3x3, hallar el valor numrico cuando x=4
3. Hallar la suma de coeficientes de:
P(x)=3x2+5x9
4. Calcular (2m4n6)(5m2n)(mn4)
5. A partir de P(x)=5x33x2+5x4, indicar su
coeficiente principal aumentado en su trmino
independiente.
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
a) P(x;y)=3x2y7 I. G.R.(x)=5
b) Q(x;y)=9xy II. G.R.(y)=1
c) R(x;y)=x4y III. G.A.=9
d) S(x;y)=4x5y3 IV. G.A.=2
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda
I. En P(x;y)=2x4y5x2y6 el grado relativo a "x" es 4 ( )
II. En R(x;y)=x4y6+2x8y6 el grado absoluto es 24 ( )
III. En Q(x;y)=3xy5x2y+4x3y el grado relativo a "y" es 1 ( )
IV. En S(x;y)=7xn+1y4xn25xn+3yn5, si n=6, el grado absoluto es 10 ( )
3. Completar los espacios en blanco.
Si se sabe que el grado de P(x) es 3 y el grado de
Q(x) es 2, entonces.
a) El grado de P(x)+Q(x) es .
b) El grado de P(x).Q(x) es .
c) El grado de P2(x) es .
d) El grado de P(x).Q3(x) es .
4. Si el polinomio P(x;y)=3x2ya+34x4yb+1+x5y3
es homogneo, hallar a+b.
5. Si el polinomio Q(x)=7xa1+xb3+xc2+8 es
completo y ordenado, hallar a+b+c
-
Captulo
22
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4Aprende ms
6. Si el monomio R(x)=( )
( )x
xn
n
3 5
2 3 47
es de segundo
grado, hallar 7n
a) 26 b) 2 c) 1d) 3 e) 31
7. Sea el polinomio: N(x;y)=xa+7ya3x2a+3x3a+7y5a si se cumple que G.A.(N)=20; calcular GR(x).GR(y)a) 95 b) 76 c) 98d) 91 e) 8
8. Hallar "a+b" si el polinomio:
( ; )R x y x y x y x y3 74a b a b a b1 1 3 32 2 2
= ++ + , verifica que G.A.=17 y GR(y)=10
a) 12 b) 8 c) 12d) 13 e) 11
9. Hallar (ab)2, si G.A.(P)=24 y GR(x)=13; siendo: P(x;y)=3x2a+bya5x2a+b+1ya+64xa+by2a+4
a) 16 b) 25 c) 49d) 1 e) 9
10. Dado el polinomio P(x) de grado (3m+4n) y el
polinomio Q(x) de grado (7m5n), hallar "m" si
el grado de P5(x).Q4(x) es 172
a) 5 b) 3 c) 1d) 4 e) 6
11. Si el grado de P(x) es "a+1" y el grado de Q(x)
es "a3", hallar el grado de: ( ) ( )( ) . ( ); ( 3)
P x Q xP x Q x a3 4
2
a) a+3 b) a5 c) 2a+3d) 3a+5 e) 2(3a5)
12. Calcular el valor de 2(a+b+c), si el polinomio P(x)= xb+2+xa+b+75x2a+c es completo y ordenado en forma creciente.a) 72 b) 8 c) 92d) 10 e) 14
2. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:
I. El grado de P(x;y;z)=7xyz4w es 7 ( )
II. El grado relativo a "x" en P(x;y)=3x4y64x3y7 es 7 ( )
III. Si P(x) es de grado 12, el grado de ( )P x3 es 4 ( )
IV. Si Q(x) es de grado 22, el grado de ( )Q x es 11 ( )
3. Completar correctamente
a) El polinomio P(x)=3x5y+x4y73x3x2y7x+9 es .
b) El polinomio P(x;y)=3x4+3xy3x2y2 es .
c) El polinomio: P(x;y)=(a1)x2y4+(b2)xy5 para a=1 y b=2 es .
d) Sean P(x)=3x2+4x y Q(x)=ax2+bx, si
a=3 y b=4; P(x) y Q(x) son: .
4. Calcular a2+b2 para P(x;y) =n x y5 a b b3 4 2+ + si
G.A. (P)=21 y G.R.(Y)=10
a) 10 b) 13 c) 11d) 16 e) 12
5. Si Q(x;y)=ab x y15 a b2 3
4` j , adems GR(x)=40 y
G.R.(y)=12; hallar el coeficiente.
a) 16 b) 625 c) 81d) 1 e) 256
1. Relacionar correctamente:
A P(x;y;z)=3x2y5z3 [P2(x).Q(x)]=10
B P(x;y)=3n2xy4+n5x2y6 n x7 [P(x)+Q(x)]=32
C P(x) es de grado 3 y Q(x), de grado 4 G.A.(P)=8
D P(x) es de grado 32 y Q(x), de grado 24 G.R.(Y)=5
-
lgebra
23www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Practica en casa
1. Relacionar correctamente:
A P(x;y;z)=74x2y4z7 [P(x)Q(x)]=12
B P(x;y)= n2x3y5+ n
33
x4y G.A.=13
C [P(x)]=3 [Q(x)]=7 G.R.(x)G.R.(y)=1
D [P(x)]=9 [Q(x)]=12 [P5(x)Q(x)]=15
2. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:
I. El grado de P(x;y;z)=23x4y5z6 es 18 ( )
II. En P(x;y)=4x7y67xy9 x5y5,
GR(x) GR(Y)=2 ( )
III. Si P(x) es de grado 25, [P3(x)]=75 ( )
IV. Si Q(x) es de grado 38, ( ) Q x 219 =6 @ ( )
3. Completar correctamente
a) Si a=8, b=5 y c=3, el polinomio
P(x)=8x35x2ax3+bx2+3+c es: .
b) El polinomio P(x;y)=3x2y11x13z+x10y3 es .
c) El polinomio P(x;y)=7x57xy+12x6y24y3 es .
d) Para m=5 y n=3 los polinomios P(x)=7x3+3x y Q(x)=(6n)x+(12m)x3 son .
13. Hallar el valor de ab+cd si el polinomio Q(x)=3dx3+18x29x3+9ax2+2c5bx+15x es idnticamente nulo.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
14. Nico, Nacho y Nolbert son trabajadores de una fbrica textil en la que pegan botones. Luego de la primera semana de trabajo el supervisor not que: Nico peg 5m+3n botones Nacho peg 125(n+1) botones y Nolber, 55(n1) botones. Cul es el valor de nm si se sabe que los tres pegaron la misma cantidad de botones?a) 64 b) 8 c) 27d) 125 e) 216
15. Dos empresas de bebidas gaseosas "Chim Cola" y "Chavn Cola" compiten por la hegemona de sus productos en el mercado. Luego de un estudio se supo que el consumo de "Chim Cola" en un mes estuvo dado por la expresin: F(x)=(a+2b)x2+(b+2c)x+(a+c) y el consumo de "Chavn Cola" estuvo regido por la expresin: G(x)=3bx2+3cx+2c. Hallar (2a+b+c)(b+c) si dicho mes ambas empresas registraron el mismo consumo (x: nmero de cajas distribuidas en cada tienda)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Calcular a.b2 si G.R.(y)=14 y G.A.(Q)=59 en Q(x;y)=3 x5a+8byb+9
5. Si M(x;y)= ab x y2 a b3 5 2
5 +c m , adems G.R.(x)=20 y G.R.(y)=40; hallar el coeficiente.
6. Si la expresin ( )( )
( )N xx
xa a
a a
3 5 2
2 7 3
2
2 51
=+ +
+ +> H es de tercer grado, hallar a2
7. Sea el polinomio R(x;y)=x3a+7y9a5x2a7xa+4y7+a si se cumple que G.A.(R)=34, hallar G.R.(x)G.R.(y)
8. En el polinomio:
( ; )P x y x x y x y4 7 8m m m m m7 2 6 4 7 6 7= + + se tiene que G.R.(x)=20, calcular m2+G.R.(y)
-
Captulo
24
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4
1. Universidad agraria 2006 IHallar "m", si P(1)+P(0)=200;P(x2)=(x+2)3+3(x1)+mx+5
a) 8/3 b) 2/3 c) 2d) 8/5 e) 5/3
2. Universidad agraria 2007 II
Si f(x)=(x1)2+a, entonces ( ) ( )x
f x f x 2 + ser:
a) 4 b) 2 c) 1d) 4 e) 2
3. UNAC 2006 I
Si F(a)=a2 y F(a;b)=b3+a, halle F(3, F(4))
a) 7 b) 6 c) 29d) 8 e) 11
4. UNMSM 2009 II
Si el polinomioP(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+ ... es ordenado y completo, calcular P(1)P(1)
a) 15 b) 12 c) 12d) 5 e) 15
5. Villarreal 2008
Si f(x+4)=x2+3x, halle f(a+1)a) a2+3a+4b) a26a+4c) 3a4d) a23ae) a23a+4
T puedes
Quiero, puedo y lo lograr
9. Hallar el valor de ba sabiendo que el grado relativo a "x" es 6 y el grado relativo a "y" es 9: M(x;y)=xa1yb+2+2xayb+13xa+1yb
10. Si [P(x)]=5 y [Q(x)]=7, hallar el grado de:
( ) ( )( ) . ( )
Q x P xP x Q x
2
7
6 @11. Si el grado de M es 5 y el grado de N es 6,
calcular el grado de (M2.N3)
12. Dado el polinomio homogneo:
P(x;y;z)=xny3zn+1+xynzm+x3yn+1z4 Calcular: G.R.(x)+G.R.(y)+G.R.(z)+1
13. El siguiente polinomio est completo y ordenado en forma descendente:
P(x)=x2m10+3xm+n75x3n2p Calcular: E mnp 1= +
14. Giovana y Luca son dos personas muy solidarias por ello cuando su vecino Jess sufri un accidente ambas salieron a pedir apoyo econmico a sus vecinos. Al final del da, el dinero recaudado por Giovana estaba definido por la expresin a(x2)+b(x+1) y el dinero recaudado por Luca estaba dado por la expresin: 5x25. Hallar a/b si ambas recolectaron la misma cantidad (x: nmero de vecinos)
15. Las inversiones en Bolsa de "Don Gernimo Grito de Las Casas" estaban representadas por la expresin: P(x;y)=(9n)x2y+mxy2+3x2y2xy2 (x: activos en moneda nacional; y activos en moneda extranjera). Un "Jueves negro" todos las Bolsas del mundo cayeron y las inversiones de Don Gernimo se redujeron a nada. Hallar nm 4
-
25www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Captulo 5
En este captulo recordaremos
. Teora de exponentes I (definiciones, teoremas)
. Teora de exponentes II (ecuaciones exponenciales)
Lectura: aLgo sobre Las bacteriasLas bacterias son microorganismos unicelulares que presentan un tamao de algunos micrmetros y diversas formas incluyendo esferas, barras, hlices, etc.
Las bacterias son los organismos mas abundantes del planeta, crecen hasta en los hbitats ms extremos como en los manantiales de aguas calientes y cidas, en desechos radiactivos, en las profundidades tanto del mar como de la corteza terrestre. Algunas bacterias pueden incluso sobrevivir en las condiciones extremas del espacio exterior.
Lo mas interesante, sin embargo, se encuentra en su forma de reproduccin. Algunas bacterias se dividen cada cierto tiempo. En condiciones favorables, si se dividen un vez cada 30 minutos, transcurridas 15 horas, una sola habr dado lugar a MIL MILLONES de descendientes.
FUENTE: http://ventanaalreinomonera.blogspot.com
repaso i
-
Captulo
26
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5
Aprende ms
1. Relacionar correctamente
a) . . .x x x x( ) ( )3 3 3 32 2 ...10 factores I. (xy)
20
b) (xy)(xy)(xy)... 30 factores II. x60 a b c d
c) . . .x y x y5 7 5 70 0 0 0
... 40 factores III. (x2y2)15
d) ...x x x x1 1 1 11 2 3 10: : IV. (x11)5
1. Relacionar correctamente
a) (2)424 I. 2
b) (3)4+92 II. 448
c) 232+(4)3 III. 0
d) (5.125.625)(52)4 IV. 162
a b c d
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn
corresponda
a) 23=8 ( )
b) (2)3(2)4(2)2=29 ( )
c) 23+25+27=215 ( )
d) 2 1( )5 1253
= + ( )
3. Completar correctamente
a) En 7x8=49, el valor de "x" es:
b) Para que se cumpla: 2x+2+2x+1=48, "x"
debe ser igual a:
c) Si se verifica que 9a=7b2; el valor de a+b
es:
d) En la siguiente igualdad yy=27; y2 toma el
valor de:
4. Reducir: . ( ) .
( 3) . . ( )R27 3 3
3 33 1
2 3 2=
= G
5. Reducir: .
. ( )55
5 55 5
1
2
5 2
3 6 2 e o
6. Efectuar: . . . ....y y y y y y3 1 3 1 1
factores20
20 1 2 344444 44444
7. Si xx=2, hallar xxx2x+^ h
8. Si: A= .
, hallar A32 2
2 2 2 3xx x x8 7 5+ + ++ + +
9. Hallar "x" en (3x2)5=32
10. En: 2x+4x=72, hallar x3+1
Aplica lo comprendido
-
lgebra
27www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
2. Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda
a) x0=1, se cumple para cualquier valor real de "x" ( )
b) . .x x x x( )5 3 3 132 2
= ( )
c) ( ) ;x x1 0R( )4 5 6254
6 != " , ( )
d) x x2 1232
= ( )
3. Completar
a) Si 5 52 8x3
= el valor de "x" es
b) Si 3.2x=2.3x; "x" toma el valor de
c) Si (5x+7)9=512; x3 es igual a
d) Si 2 .3 .2 .3 2 .3x y3 2 3 2 3 42 3 2 3
= ; x+y es
4. Si:
2 2 2... 2 2 2 2 ... 2P Rveces veces9 128
# # # /= + + + +=1 2 3444 444 1 2 34444 4444
hallar ( )P RRP
a) 512 b) 300 c) 1
d) 518 e) 360
5. Si P(x)=x21, hallar P(x+1)
a) x22x b) x2+x c) x2+2x
d) x2x e) x2+3x
6. Simplificar 30 8
25 36 324 3
2 2
#
# #
a) 1/4 b) 1/16 c) 2
d) 1/2 e) 5
7. Simplificar 8 162 4m n
m m n
2 2
3 2 3
#
# +
+ += Ga) 16 b) 2 c) 6
d) 4 e) 8
8. Simplificar: 3 3 33 3 3n n n
n n n
1 2 3
1 2 3
+ ++ +
+ + +
a) 37 b) 38 c) 35
d) 34 e) 33
9. Reducir: Q 2 2 2 22 2 2 2b b b b
b b b b
1 2 3 4
1 2 3 4=
+ + ++ + +
+ + + +
a) 2 b) 16 c) 1
d) 64 e) 32
10. Si: M 1642 1
=
indicar M1
a) 1/2 b) 1/8 c) 1/4
d) 1/16 e) 1/32
11. Simplificar: . . . ... ( ). . ... ( )Q
y y y y n factoresy y y n factores2 4 6 8
2 3 2=
6 @
a) y b) yn c) yn+1
d) 1 e) yn2
12. Si xx=2 calcular x x21x xx x1 1 2
1+
+ +` j
a) 4 b) 1/2 c) 1/4
d) 8 e) 1/8
13. Efectuar: ( ( ... ( ( ( ) ) ) ... ) )
( . . ... )( . . ... )x x x x xy y y y y
x x x x y y y y
"2 "
" " "2 "
a par ntesis
a veces a veces26 7 844 44 6 7 844 44
1 2 3444444 444444
a) xy b) 1 c) xya
d) xay e) xaya
14. Simplificar: ( ) ( )
( ) ( ) ( )m m
m m m ( )3 4 4 3
2 3 3 2 2 2 2
a) (m22)2 b) (m11)3 c) m44
d) m22 e) m24
15. Resolver: 27 9 81y y y3 1 9=# + +
a) 19 b) 18 c) 16
d) 12 e) 43
-
Captulo
28
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
516. Resolver: 2 5123
327x 7
6
=` j , luego indicar
x 3x 4 +
a) 5 b) 3 c) 7
d) 8 e) 6
17. Hallar el valor de "m" que verifica:
xx
x/
//( )m
1 30 8
2 13 60 1 2= +
^^
hh
a) 2 b) 1/2 c) 4
d) 3 e) 7
18. Resolver: 3
2 2x 9
33 537 13
x
x
=++
+
a) 1/2 b) 1/4 c) 1/5
d) 1/3 e) 1/7
19. En un departamento selvtico, una especie de planta se reproduce de forma rara, siguiendo la siguiente secuencia:1 semana: 1
2 semana: 321x4
3 semana: 52(1+2)x4Cuntas plantas habr la cuarta semana?
a) 21 b) 23 c) 25d) 26 e) 27
20. Se estima que existen 10 billones de galaxias cada una con 10 billones de estrellas y cada una con 10 planetas girando a su alrededor. De acuerdo con estos datos, Cuntos planetas aproximadamente existen en el universo?
a) 1021 b) 1022 c) 1023
d) 1024 e) 1025
Practica en casa
1. Relacionar correctamente
a) . .x x x3 3 32 2 2 ...(15 factores) I. x
10
b) .x x9 9/ /1 2 1 2
...(18 factores) II. x135
c) x1.x2.x3.x4 ...(20 factores) III. x63
d) x7 . x14 . x7 . x14 ...(18 factores) IV. x54
a b c d
2. Colocar verdadero (V) o falso (F)
a) 3 381 34 1
=
( )
b) 625 516 12 1
=
( )
c) ( )2 2 02 423
=6 @ ( )
3. Completar correctamente
a) 23.24.25.(2)6=2x; entonces x+1 es
b) Si xx=2; xxx3x+8 B es igual a
c) Si 12a5=13b7, ba es
d) Si 4x+4x+1+4x+2=21; x+9 es
4. Reducir: 3 3 3... 3 3 3 3 ... 3factores sumandos20 319
# # # + + + +1 2 3444 444 1 2 34444 4444
5. Reducir: 81
(5 5 5 ... 5)(15 15 ... 15)5
veces veces
2 15
10 7
#
# # # # # # #6 7 84444 4444 6 7 84444 4444
6. Efectuar: ( )3 3 3
63 3a a a
a
4 2 3
4
+ + + ++
-
lgebra
29www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
T puedes
1. Universidad Agraria 2007ICalcular:
E2 2 22 2 2x x x
x x x
3 2 1
1 2 3=
+ ++ +
+ + +
a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 22
2. UNAC 2006 I
Si: x 5x52
1
=
; determine x 25^ h
a) 5 b) 1/25 c) 53
d) 1/125 e) 5
3. UNAC 2007 IISi "a" y "b" son nmeros reales tales que:
. 2a bb a 2= , entonces el valor de (ab)2 es:
a) 2 b) 2 c) 4
d) 8 e) 2 2
4. UNAC 2007 II
Si los nmeros enteros "x" e "y" satisfacen la
ecuacin: 3 2 2 3x y y x1 2+ = + + . El valor de 3x
es:
a) 3 b) 1/3 c) 1/9
d) 1 e) 9
5. UNAC 2009 II
Si xx=2, entonces F xxx1 2 x1
=+ +
es igual a:
a) 212 b) 216 c) 224
d) 28 e) 218
Equivocarte no es fracasar; el mayor fracaso es no intentarlo
7. Reducir: A3 3 3 33 3 3 3x x x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 3 4=
+ + ++ + +
+ + + +
8. Calcular: A81 9
2 1
=
` j
9. Si: 2 2 2 2 2 124x x x x x4 3 2 1+ + + + =+ + + + , hallar 3x
10. Simplificar: .125 125
5 n4 1
( )n nn
n
31
3 3
1+
+ +> H
11. Hallar "6x"en 2 .2 .2 ... 2 10246 6 6 6x x x x
factores12= 1 2 3444444 444444
12. Si: R(2x5)= x x2 1 43+ + + , hallar R(3)
13. Resolver: 7 755
5x
xx4 1
2 370
=+
+
14. Si: ( ); " "
; " "P x
x si x es parx si x es impar21= +*
Hallar; P(2) + P(5)
15. Si P(x) = x22, calcular: ( ( ..... ( ) ...))P P P P 2veces100
1 2 34444 4444
-
Captulo
30
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6
productos notabLes
Lectura: muLtipLicacin rabe
Este es un mtodo derivado del Hind. Es un mtodo grfico
que pasaremos a describir:
Pongamos que se quiere multiplicar 8537 x 435
1. Se dibuja un rectngulo apoyado sobre uno de los vrtices. Se colocan los factores sobre los lados del rectngulo, de manera que a cada cifra le corresponda una cuadrcula.
2. Se traza la diagonal vertical en cada cuadrado.
3. Se obtiene una tabla de doble entrada. Se multiplican las cifras de las distintas casillas. Los resultados se colocan en la casilla correspondiente y se separan las decenas de las unidades por la diagonal. Si el producto nada ms tiene una cifra, se pone un cero en el lugar de las decenas.
4. Se prolongan las diagonales y se suman las cantidades obtenidas, por columnas, comenzando por la derecha. Del grfico, el resultado para nuestro ejemplo sera: 3713595
FUENTE: http://intercentres.cult.gra.es
En este captulo aprenderemos
Productos notables
. Binomio al cuadrado.
. Producto de dos binomios con un trmino comn.
. Diferencia de cuadrados.
. Suma y diferencia de cubos.
. Identidades de Legendre.
-
lgebra
31www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Sntesis terica
PRODUCTOS NOTABLES
Trinomio cuadrado perfecto
Suma y diferencia de cubos
Identidades de Legendre
Diferencia de cuadrados
Producto de dos binomios con un trmino en comn
-
Captulo
32
Colegios
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6Saberes previos
1. Efectuar
(8)(+12) =
(+5)(13) =
(2)(4)(+5) =
(6)(3)(4) =
2. Completar la igualdad
x5.x6.x =
x9.y.x2.y3 =
xa.xa+b.xb =
x5.x3a2.x2a3 =
3. Efectuar
(x5)2(x3)3 =
(x3)2(x2)3 =
(x4)3.(x3)4 =
( )x x23 5 3 4^ h8 B =
4. Operar
(4x)(5x) =
(3xy)(7xy) =
(4x2y)(6xy2) =
(2xy)(3x2y)(xy) =
5. Desarrollar:
2x2(3x2+4y) =
4x(6x23z) =
7xy2(2xy2+3z) =
Aplica lo comprendido
1. Relacionar correctamente
a) (x+3)(x+4) I. x2+6x+9
b) (x+3)2 II. x2+7x+12
c) (x4)2 III. x216d) (x+4)(x4) IV. x28x+16
a b c d
2. Sealar verdadero (V) o falso (F)
a) (x+1)(x1)=x21 ( )
b) (x1)(x2+x+1)=x31 ( )
c) (x+1)(x2x+1)=x3+1 ( )
d) (x+2)(x22x+4)=x3+8 ( )
e) (x2)(x2+2x+4)=x38 ( )
3. Completar
a) (x+9)(x+7) =
b) (x8)2 =
c) (x+6)(x6) =
d) (x12)(x+4) =
4. Reducir: (x+6)2(x+4)22(2x+5)
5. Reducir: (a+b)(ab)(a2+b2)+b4
-
lgebra
33www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Aprende ms
1. Relacionar correctamente
a) (x+3)(x23x+9) I. x327
b) (x+4)2+(x4)2 II. 16x
c) (x3)(x2+3x+9) III. x3+27
d) (x+4)2(x4)2 IV. 2(x2+16)
a b c d
2. Sealar verdadero (V) o falso (F)
a) (x+12)(x10)=x2+2x+120 ( )
b) (x+3)(x+3)=x2+9 ( )
c) (x+5)2(x5)2=20x ( )
d) (x+5)2+(x5)2=2(x2+25) ( )
3. Completar
a) (x+1)(x9) =
b) (x+7)(x7) =
c) (x+4)(x24x+16) =
d) (x+2)2+(x2)2 =
e) (x+2)2(x2)2 =
4. Reducir :
A=(x+8)(x3)+(x+7)(x5)2(x+4)(x+6)
a) 13x+107 b) 13x+107
c) 13x107 d) 13x107
e) 13x+7
5. Calcular:
M=(x+4)(x4)+(x+5)(x5)2(x+3)(x3)
a) 12 b) 16 c) 20
d) 14 e) 23
6. Reducir
(x+3)2(x+4)2+(x1)(x2+x+1)(x+1)(x2x+1)
a) 2x7 b) 2x5 c) 2x+5
d) 2x+7 e) 2x9
7. Hallar
( ) ( ) ( ) ( )E x y x y x y x y y2 2 4 4 88= + + + + x 02^ h
a) x b) xy c) yx
d) x2 e) 8x
8. Calcular: ( )
Rab
a b a b2
2 2 2 2
2
2 2 1000
= + ^ ^h h= G
a) 1000 b) 10 c) 1
d) 108 e) 42000
9. Si x=2012, hallar B
B=(x2+1)(x4x2+1)(x21)(x4+x2+1)x12
a) 2011 b) 2010 c) 1
d) 1 e) 2013
10. Hallar N , para x=2, y=3, si:
N x y x y x y4
2 2 2 2 2 2+= + ^ ^ ^h h h6 @a) 12 b) 16 c) 8d) 20 e) 4
11. Si x+y=13 xy=10, calcular
I. x2+y2
II. xy
a) ;149 129!
b) 149; 129
c) 149; 129
d) 140; 10
e) 149; 129
12. Si se cumple: x3 = 8; x 2 y3 = 1; y 1Hallar el valor de: (x2 + 2x + 3)(2y2 2y +5)
a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 6
13. Si (a+b+c+d)2=4(a+b)(c+d), encontrar
T 625( ) a bc d4= ++
a) 4 b) 3 c) 5d) 25 e) 5
-
Captulo
34
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614. Tano estaba reflexionando y se dio cuenta de que
si al cuadrado de los meses transcurridos del ao se le suma uno y a este resultado lo dividimos entre dicho nmero de meses se obtiene dos. Cuntos meses han transcurrido?
a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 7
15. La suma de las edades de tres hermanos es 8, una vecina curiosa observa adems que la suma de sus cuadrados es 26. Qu resultado obtendremos si sumamos los cuadrados de la suma de estas edades tomadas de 2 en 2, sin repeticin?
a) 90 b) 80 c) 70d) 60 e) 50
Practica en casa
1. Relacionar correctamente
a) (x+3)(x12) I. x2+16x+64
b) (x+8)2 II. x29x36
c) (x+8)2(x8)2 III. 2(x2+64)
d) (x+8)2+(x8)2 IV. 32x
a b c d
2. Sealar verdadero (V) o falso (F)
a) (x+5)(x25x+25)=x3125 ( )
b) (x5)(x2+5x+25)=x3+125 ( )
c) (x+9)2(x9)2=2(x2+81) ( )
d) (x+9)2(x9)2=36x ( )
3. Completar
a) (x+11)(x7) =
b) (x+11)(x11) =
c) (x+12)2 =
d) (x+6)2(x6)2 =
e) (x+8)(x28x+64) =
4. Reducir:
M=(x+9)(x4)+(x+8)(x5)2(x+8)(x+7)
5. Calcular:
R=(x+7)(x7)+(x+8)(x8)2(x+6)(x6)
6. Reducir(x+5)2(x+8)2+(x+2)(x22x+4)(x2)(x2+2x+4)
7. Hallar "K"
( ) ( ) ( ) ( ) ( )K a b a b a b a b a b b2 2 4 4 8 8 1616= + + + + +
8. Calcular: .
( ) ( )Se e
e e e e2 x y
x y x y2 2= +
9. Si x=1000000, hallar M
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )M x x x x x x x1 1 13 6 3 3 6 3 18= + + + + +
10. Hallar T,
( ) ( ) 4 ( 3)T x y x y x y2
2 2 22 2
=+
+ ; E
11. Si 15A B AB 36/+ = = , calcular
I. A2+B2 II. AB
12. Si xx1 6+ = , hallar H
H= x2+x1+x+x2
-
lgebra
35www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
13. Si (m+n+p+q)2=4(m+q)(n+p), encontrar
Q 81( ) n pm q4= +
+
14. Si elevamos al cuadrado la temperatura de una cuidad y le sumamos la inversa de dicho resultado, obtenemos dos. Cul es la temperatura de la ciudad?
15. Elisa divide los aos que ha vivido entre los meses del ao que ya han transcurrido y a este resultado le suma el inverso de dicha divisin, notando con sorpresa que obtiene dos. De lo anterior podemos afirmar que:
a) aos vividos =meses transcurridosb) aos vividos >meses transcurridosc) ha vivido 13 aosd) ha transcurrido 9 meses del aoe) no podemos afirmar nada
T puedes
1. UNMSM 2005 IISi se satisfacen:x+y= 5 xy=2
Hallar: xy
yx+
a) 1/2 b) 1 c) 1/3d) 3 e) 2/3
2. Villarreal 2009Simplifique:
( ) ( )Ma b
a b a b2 22 2
4 4=
++
a) 6ab b) a2+b2 c) abd) 4ab e) 2
3. Universidad Agraria 2010 ICalcular E2
E3 25 24
3 25 24=
++ +
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
4. Sean "a" y "b" nmeros reales tales que a+b=5 y ab=1. Hallar a3+b3
a) 120 b) 124 c) 100d) 110 e) 125
5. UNAC 2008 I
Si: ( ) ( )
( ) ( )x x
x x1 1
1 1 12 2
+ + = , entonces el valor de
xx144+ es
a) 324 b) 318 c) 300d) 320 e) 322
Cada obstculo es una oportunidad, supralo y s un ganador
-
Captulo
36
Colegios
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7
Lectura: eL nmero ureo ( 1,618)
El numero ureo representado por la letra griega es un nmero irracional. Se trata de un nmero que posee muchas propiedades y que fue descubierto en la antigedad como relacin entre segmentos de rectas. Este nmero se encuentra presente en algunas figuras geomtricas y en la naturaleza, algunos de los ejemplos ms resaltantes son:
Al dividir la altura de un ser humano entre la altura de su ombligo, el resultado es aproximadamente el valor de .
La divisin entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La divisin entre la cantidad de abejas macho y hembra en un panal.
Adems, un estudio realizado el ao 2005 mostr que la cruz en la que Jesucristo fue crucificado mantiene la proporcin urea, es decir, al dividir la longitud del madero ms largo entre el valor de la longitud del madero ms corto, el resultado es aproximadamente .
FUENTE: http://www.abc.es
En este captulo aprenderemos
Divisin algebraica
. Definicin
. Clases de divisin
. Propiedades
. Mtodos para dividir polinomios
Mtodo de Horner Mtodo de Ruffini
. Teorema de Resto
divisin aLgebraica
-
lgebra
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Sntesis terica
DIVISIN ALGEBRAICA
-
Captulo
38
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Saberes previos
1. Dividir e indicar el cociente y residuo en: 72415 2703
2. Si: Grado (P)=8 Grado (Q)=6
HallarGrado (PQ)Grado (PQ)
3. Sea P(x)=x32x2+x2, calcular P(1) P(2)
4. Ordenar en forma ascendente con respecto al exponente de la variable, los siguientes polinomiosP(x)=2x3+x6+x23x4+x53x+8P(y)=2y2+3y+y56y43y3+9
5. Completar los siguientes polinomios con los trminos faltantes y luego ordnalos.Ejem: P(x)=x32+x2
Luego queda: P(x)=x3+x22
Q(x)=x23x4+5 R(x)=2x3+9x53x2
Aplica lo comprendido
1. Relacionar las columnas correctamente:
Divisin exacta A R(x) 0
Grado(D)Grado(d) B Mx grado(R)
Divisin inexacta C Grado (q)
Grado (d)1 D R(x)=0
2. Completa correctamente
a) En la divisin: (2x2+x3+x4)(x2x+1) el grado del cociente es igual
b) En la divisin:
(x6x5+2x4x+1)(x23x+2) el grado mximo del es igual a uno.
c) Identidad fundamental de la divisin esta dada por .
d) Al dividir dos polinomios por la regla el divisor es de la forma: ax+b.
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir: (x42x3+x2+x1) (x2x+1)
a) Se aplica la regla Ruffini ( )
b) El grado del cociente es igual a 2 ( )
c) El dividendo es un polinomio de grado 4 ( )
d) Se obtiene un residuo de la forma: ax+b ( )
4. Calcular el cociente en la siguiente divisin: (x2+3x+5)(x2)
5. Calcular el residuo en (3x36xx2+12)(x2)
7
-
lgebra
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Aprende ms
1. Relacionar las columnas correctamente:
(x31)(x1) A R(x)=7(x2+x+1)(x2) B q(x)=x2+x+1(x2+1)(x1) C R(x)=2(x3+1)(x+1) D q(x)=x2x+1
2. Complete correctamente con respecto a los
mtodos de Horner y Ruffini.
a) Todos los polinomios (Dividendo y divisor)
deben ser polinomios y
con respecto a la variable en
referencia.
b) En la divisin se utiliza solo los
de los polinomios.
c) Generalmente si el divisor es un Polinomio
de la forma (ax+b) se utiliza la regla de
.
d) El grado del residuo es que
el grado del divisor.
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir
(x4+3x3x22x+1)(x+1)
a) El divisor es un polinomio de grado 3 ( )
b) Se obtiene un R(x)=0 ( )
c) El coeficiente principal del divisor es igual a
uno ( )
d) Se obtiene un cociente de grado 3 ( )
4. Hallar el cociente de la divisin
x xx x x x
13 6 7 1
2
4 3 2
+ ++ + + +
a) x22x+3 b) x2+2x+3c) x2+2x3 d) x2+3x+2e) x2+3x+3
5. Hallar el resto de la divisin
xx x x x
24 5 44 3 2
++ +
a) 2 b) 6 c) 7d) 3 e) 2
6. Hallar el cociente en la siguiente divisin
x xx x x x
2 3 16 11 2 5
2
4 3 2
+ ++ + +
a) 3x2+x+2 b) 3x22x+1
c) 3x2+x2 d) 3x2+2
e) x2+3x2
7. En la siguiente divisin
x xx x x x x
13 2 2 3 1
3
5 4 3 2
++ + +
Hallar la suma de coeficientes del cociente
a) 6 b) 7 c) 3
d) 4 e) 9
8. Despus de dividir:
x xx x x x
3 2 16 2 11 5
2
4 2 3
+ +
+ + +
Se obtiene un cociente igual a: mx2+nx+p,
hallar "m+n+p"
a) 2 b) 3 c) 5d) 2 e) 0
9. Calcular el resto en: x x
x x x x4 3
16 8 2 62
4 3 2
+ + + +
a) 3+2x b) 3x+2 c) 2x3
d) x+3 e) 3x+3
10. Hallar el resto en: x
x x x1
2 117 5 3
++ +
a) 3 b) 5 c) 3d) 6 e) 5
11. Al dividir: ( )x x
x ax bx cx d3 2 1
6 4 3 2+
+ + + + se obtiene
un cociente cuyos coeficientes son nmeros
enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7.
Calcular: ab+cd
a) 23 b) 19 c) 12
d) 6 e) 13
12. Hallar el resto en la siguiente divisin: ( )
x ax a x a5 5 5
+ +
a) 0 b) 2a5 c) 2a5
d) 34a5 e) 30a5
-
Captulo
40
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
13. Luego de dividir x
x x x x x1
5 3 2 12
10 8 6 4 2
+ + +
El termino independiente del cociente es:
a) 2 b) 4 c) 7d) 1 e) 3
14. Don Julio, por "Halloween" decide repartir x63x4+3x5 caramelos entre los (x2) nios que vayan a su tienda a pedir dulces. A cada uno le dio cierta cantidad de caramelos y al final
sobraron unos cuantos. Hallar la cantidad de dulces que quedaron sin repartir a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
15. Un padre posee una herencia de:
P(x)=(ax7+5x114x+8) soles y decide repartirla
en forma equitativa entre sus (x1) hijos.
Sucede que al hacerlo se obtiene un sobrante
que asciende a S/.11009 y dicho monto se lo
obsequia a Doa Juana, la seora que trabaj
siempre en su casa. Hallar el valor de "a".
a) 11000 b) 12000 c) 13000d) 15000 e) 10000
Practica en casa
1. Relacionar las columnas correctamente:
(x24)(x+2) A q(x)=x2+2x+4
(x38)(x2) B R(x)=4
(x2+2x4)(x2) C q(x)=x2
(x2+4)(x2) D R(x)=8
2. Complete correctamente
a) Al dividir (x2+3x+1)(x1) el residuo
obtenido es
b) Al dividir (x23x+2)(x2) el cociente
obtenido es
c) Al dividir (2x2+x3)(x2) el residuo
obtenido es
d) Al dividir (x2+4x+3)(x+3) el cociente
es
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) al dividir(x2+4x+1)(x+2)
a) El cociente es igual a (x+2) ( )
b) El residuo es igual a "3" ( )
c) Se emplea el mtodo de Ruffini ( )
d) El grado del cociente es igual a 2 ( )
4. Hallar el cociente en la divisin
x xx x x x
12 3 2
2
4 3 2
+ + +
5. Hallar el residuo en la divisin
xx x x
22 3 73 2
+
6. Hallar el cociente en la siguiente divisin
x xx x x2 3
4 4 7 92
3 2
+ +
+ + +
7. En la siguiente divisin: x x
x x x x2 1
2 3 3 13
5 4 3+
+ +
Indicar la suma de coeficientes del cociente
8. Despus de dividir: x x
x x x4 2 1
16 4 4 12
4 2
+
Se obtiene un cociente igual: ax2+bx+c, hallar "a+b+c"
9. Calcular el resto en: x
x x x3 1
6 5 5 93 2
++ +
10. Hallar el resto: x
x x x1
5 2 325 3 3
+
11. Si la divisin: x x
x x x ax b1
3 42
4 3 2
+ ++ + + +
Es exacta, hallar "a+b"
7
-
lgebra
41www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
12. Hallar "R(x)" en: x
x x x6
6 2 92011 2010
+
13. En la divisin: x
x x x x2
3 5 2 43
12 9 6 3
+ +
Determinar el trmino independiente del cociente.
14. Una mam decide repartir, en partes iguales, (x62x2+5x+9) soles entre sus (x1) pequeos hijos, al hacerlo, sobr cierta cantidad de dinero. Cunto dinero qued?
15. Por Navidad un supermercado reparte P(x)=(x6+2x4+5xb) panetones, en forma equitativa, entre las (x2) madres que asistan a la celebracin. Hallar el valor de "b" sabiendo que sobraron 70 panetones.
T puedes
1. Si la siguiente divisin x x
mx nx x x2
5 4 42
4 3 2
+ ++ + +
Es exacta; halle "m+n"
a) 6 b) 7 c) 8d) 1 e) 3
2. Hallar el residuo en:
( ) ( )x xx
1 2
3
+ +
a) 7x+6 b) 6x+3 c) 7x+3d) 6x7 e) 3x7
3. Luego de dividir(x6)5+(x4)43x+7(x4)(x6)Se obtiene un resto igual a : ax+b, hallar a b
a) 7 b) 9 c) 10d) 8 e) 4
4. Halle la suma de coeficientes del resto al dividir
x xx x
14 1
2
131 4
+ +
a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
5. Calcule el resto en la divisin:
xx x x
33 28 5 4
2
8 4 2
+ +
a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10
No triunfa el ms inteligente, sino el que ms persevera hasta vencer los obstculos
-
Captulo
42
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Lectura: una nueva forma de muLtipLicar
No se si sabeis, que los cosacos eran personas de un pueblo a los que les gustaba montar a caballo por
sus estepas rusas, Tanto les gustaba que casi nunca bajaban de el. Hasta los nios iban siempre a caballo
y, claro, no asistian a las escuela. El maestro no les dejaba entrar a caballo. Tampoco saban la tabla de
multiplicar pero saban muy bien hacer dobles y mitades de nmeros, as que inventaron este truco para
multiplicar; vamos por ejemplo a calcular: 56320
Ponemos estos dos nmeros y hacemos dos columnas. En una
hacemos la mitad y en la otra el doble, ah! no os preocupeis
si la mitad no sale exacto, luego tachamos todos los pares
de la primera columna y los que caen en frente tambin. As
sumamos los que quedan de la segunda columna y ese es el
resultado!
56320=17920
FUENTE: www.4.bp.blogspot.com
(mitad) 56 320 (doble)28 640
14 1280 7 2560 3 5120 1 10240
17920
8
factorizacin i
En este captulo aprenderemos
Factorizacin
. Definicin
. Conceptos bsicos
Factor Factor primo
. Mtodo para factorizar
Mtodo del factor comn Mtodo por agrupaciones Mtodo por identidades Mtodo del aspa simple
-
lgebra
43www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Sntesis terica
FACTORIZACIN I
-
Captulo
44
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Saberes previos
1. Efectuarx(x+3)=
a(a2)=
y(2y+5)=
2. Efectuar(a+2)(a2)=
(b3)(b+3)=
(x8)(x+8)=
3. Operar(a+2)(b2)=
(x+5)(y5)=
(y+3)(z3)=
4. Efectuar
(a+2)2=
(b2)2=
(x+6)2=
5. Factorizar
(x+y)(x2xy+y2)=
(y+2)(y22y+4)=
(a3)(a2+3a+9)=
Aplica lo comprendido
1. Relacionar las columnas correctamente:
F(x)=2x2(x+3)(x2) Tiene cinco factores primos A
M(x;y)=7xy2(x+y)(x3)(y1) Tiene cuatro factores primos B
R(x)=xyz(x+y)(y+1) Tiene tres factores primos C
N(a;b)=2ac(a+b)2(ab)(a+c) Tiene dos factores primos D
2. Completar correctamente
a) El polinomio (xy+yz) se factoriza por el mtodo del .
b) El polinomio (a2b2) se factoriza por el mtodo de identidades, propiedad llamada .
c) El polinomio (x23x+2) se factoriza por el mtodo de .
d) El polinomio (a2+ab+ca+cb) se por el mtodo de agrupaciones.
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en:
a) Al factorizar (6y22y) se obtiene 2y(3y1) ( )
b) Al factorizar (2x2x1) se obtiene (2x+1)(x1) ( )
c) Al factorizar x216 se obtiene (x+4)(x4) ( )
d) Al factorizar (aba+b1) se obtiene (a1)(b+1) ( )
4. Factorizar: T(a;b)=6a2b2+9a3b5+12a5b2 , indicar el nmero de factores primos
5. FactorizarF(x)=x216Q(x)=x23x4Indique el factor comn obtenido
8
-
lgebra
45www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Aprende ms
1. Relaciona correctamente:
y29 A x(x2)
x2+4x+4 B (x2)2
x22x C (y+3)(y3)
x24x+4 D (x+2)2
2. Completar correctamentea) Al factorizar (x236) se obtiene
b) Al factorizar (12y26y) se obtiene
c) Al factorizar (3y2+10y+3) se obtiene
d) Al factorizar (16a225b2) se obtiene
3. Indicar verdadero (V) o falso (F)a) El polinomio esta totalmente factorizado:
P(x)=x(y+x)(x3) ( )
b) El polinomio esta parcialmente factorizado:
f(x)=5x(x29) ( )
c) El nmero de factores primos de primer grado de: 2ab(a+3)(a+b) es 4 ( )
d) El polinomio factorizado:
f(x;y)=x(y+3)(y3)(xy+2) tiene un factor primo cuadrtico ( )
4. Uno de los factores primos de:
a3b3c2abc2+a3bc3ab3c ; es:a) b2+c b) a+c c) a+1d) bc e) b+c
5. Despus de factorizar: m2(n+p)+p2(n+p)np; indicar el factor trinomio
a) m2+p2 b) m+pc) m2p2+1 d) n+pe) m2+p21
6. Factorizar: f(y)=a3a2y+ay2y3, indicar un factor primoa) a b) a2+y2 c) (ay)2
d) a+y e) a3+y
7. Indicar cuantos factores primos tiene:P(x)=x3+x2x1
a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5
8. Uno de los factores primos de: N(x)=x81
a) x41 b) x21 c) x1
d) x+1 e) Hay dos correctas
9. Factorizar: 16x2(y+x)2
a) (4x+y)(4xy) b) (4x+y)(3xy)
c) (3xy)(5x+y) d) (5xy)(3x+y)
e) (3xy)(6x+y)
10. Al factorizar: xyx2y+xy2+x22xy+y2 Indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primosa) 3 b) 0 c) 4d) 1 e) 5
11. Luego de factorizar: H(a)=6a45a36a2
Indicar el nmero de factores de primer gradoa) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 0
12. Factorizar: x425x2+144Indicar la suma de factores primos
a) 4x+13 b) 4x+14 c) 4x
d) 2x+14 e) 3x+9
13. Indicar la cantidad de factores primos de:M(x)=x52x3x2(2x1)4a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 1
14. La velocidad de un cuerpo se calcula por la siguiente frmula d=vt; si la partcula recorre d=(x3+2x23x)m; en t=x(x1)seg.
I. Hallar la velocidad
II. Hallar su velocidad cuando x=1a) x+3; 4 b) x+2; 3 c) x+5; 6d) x3; 4 e) x+3; 3
15. El volumen de un deposito que tiene la forma de un paraleleppedo est dada por V(x)=x3+3x2+2x; si la altura del deposito es igual a"x"
I. Hallar los lados de la base, indicar uno de ellos.
II. Hallar el rea de la base cuando x es igual a 3.
a) (x+2);6 b) (x+1);4c) (x+2);20 d) (x+3);20e) (x+5);10
-
Captulo
46
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TRILCE Central: 6198-100
Practica en casa
1. Relaciona correctamente:
a2b2 A a(ab)
a28a+16 B (a+4)2
a2ab C (ab)(a+b)
a2+8a+16 D (a4)2
2. Completar correctamentea) Al factorizar (9y24) se obtiene
b) Al factorizar (3x2+19x+6) se obtiene
c) Al factorizar (6a212a) se obtiene
d) Al factorizar (x22xy+y2) se obtiene
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al factorizarF(x)=(x23x10)(x2+5x14)
a) El polinomio f(x) posee 4 factores primos ( )
b) Uno de sus factores primos es (x7) ( )
c) La suma de sus factores de primer grado es 4x+2 ( )
d) Existe un factor primo de segundo grado ( )
4. Factorizar:N(x)=(3x2+2x)(x5)+(5x+7)(x5)5x+25, indicar el nmero de factores primo
5. Factorizar: 4a4101a2+25, sealar e indicar la suma de sus factores primos.
6. Despus de factorizarx2(y+z)+z2(y+z)yz, indicar el factor trinomio
7. Indicar cuntos factores primos tieneQ(y)=y3+y24y4
8. Despus de factorizar: P(x)=y424, indicar el factor primo cuadrtico.
9. Factorizar: (a+b)4(ab)4, luego indicar un factor primo cuadrtico
10. Al factorizar: P(a; b) = a2b2a2b+4ab2+a24ab+4b2, indicar la mayor suma de coeficientes en uno de sus factores primos.
11. Luego de factorizar: M(x)=12x325x2+12x, indicar la suma de sus factores primos de primer grado
12. Factorizar: x62x3+1, indicar la cantidad de factores primos obtenidos
13. Factorizar: y24y+44x2, e indicar el nmero de factores primos obtenidos
14. La velocidad esta dada por la siguiente frmula d=Vt, si un auto recorre (x2+5x14)m en (x2)seg. Hallar la velocidad cuando x es 2.
15. El volumen de un depsito esta dada por V(x)=x3+4x25x; si el rea de la base es igual a x(x1), hallar la altura cuando x=3
8
T puedes
1. Factorizar: x85x4+4, indicar la suma de factores primos de primer gradoa) 3x b) 2x c) 2x+2d) x+2 e) 3x+1
2. Determinar el nmero de factores primos al factorizar P(a;b)=a12a8b4a4b8+b12
a) 3 b) 4 c) 6d) 7 e) 8
3. Al factorizar: (m+n)3(mn)3, se obtiene un factor primo de la forma: am2+bn2, hallar "a+b"a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 7
4. Halle la suma de los factores primos de:P(x)=x42(a2+b2)x2+(a2b2)2
a) x b) 3x c) 4xd) 6x e) 7x
5. Factorizar: x8x6x2+1, indicar el nmero de factores primosa) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 8
-
47www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Captulo
Lectura: cmo resoLver operaciones bsicas con habiLidad
La matemtica no solo se trata de saber frmulas, teoremas, etc. Es importante saber resolver problemas y sobre todo resolveremos con habilidad, utilizando uno que otro truco que nos ayude a llegar a la respuesta rpidamente, por ejemplo, si en algn ejercicio nos enfrentamos a una operacin as: 627623254
Seguro que a ms de uno se le ocurrir multiplicar, resolver la potencia y finalmente restar, sin embargo,
hay un camino mucho ms sencillo que ese. Sucede que la multiplicacin indicada es posible expresarla como una diferencia de cuadrados, Observa:
(252+2)(2522)254
2544254
4
FUENTE: www.recursosparaeleducador.blogspot.com
factorizacin ii
En este captulo aprenderemos
Factorizacin II
. Mtodo del aspa doble
. Mtodo del aspa doble especial
. Mtodo de divisores binomicos
. Mtodos de sumar y restar
9
-
Captulo
48
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
9Sntesis terica
FACTORIZACIN II
-
lgebra
49www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Saberes previos
1. Factorizarx23x+2=
x25x6=
2. Completarx2+....+16=(x+4)2
y2....+81=(y9)2
3. Dividir(x25x14)(x7)
4. Si: P(x)=x33x2+124x, HallarP(3)=
P(2)=
P(2)=
5. Sea: Q(x)=3x(x3)(x+2)Indicar:Factores primos:Factores primos de primer grado:Factores primos cuadrticos:
Aplica lo comprendido
1. Relaciona correctamente:
P(x)=x42x215 A (x2)(x2+4x+4)
Q(x)=x38 B (x25)(x2+3)
R(x)=x281 C (x9)(x+2)
T(x)=x27x18 D (x9)(x+9)
2. Completar correctamente
a) Si al polinomio P(x)=x4+4 se le agrega 4x2 se forma un trinomio
b) Si x=1 anula al polinomio P(x)=x3+x2x1, entonces (x1) es un del polinomio.
c) El polinomio x23xy+2y2+2x3y+1 se factoriza por el mtodo .
d) El polinomio x4+x3+2x2+5x+3 se factoriza por el mtodo doble
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en:
a) El mtodo del aspa doble especial se aplica para factorizar polinomios de cuarto grado ( )
b) Para factorizar polinomios de grado superior se utiliza el mtodo de divisores binmicos ( )
c) Al factorizar un polinomio por el mtodo del aspa doble siempre se obtiene dos factores primos ( )
d) Al factorizar un polinomio por el mtodo de divisores binomicos se obtiene al menos un factor lineal ( )
4. Factorizar:x22xy+y2+3y3x+2, luego indicar un factor primo
5. Luego de factorizar por el mtodo del aspa doble se obtiene el siguiente esquema:P(x)=6x2+cxy+6y2+ax+by+2
3x 2y 2
2x 3y 1Hallar "a+b+c"
-
Captulo
50
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
9Aprende ms
1. Relaciona correctamente:
x4+7x3+14x2+7x+1 A divisores binmicos.
x2+2xy+y22x2y63 B aspa doble
x3+6x7 C aspa simple
x2+4x5 D aspa doble especial
2. Complete correctamente, con respecto al mtodo de divisores binmicos se tiene:a) El polinomio P(x)=x3+2x2x2 tiene como
posibles ceros: .
b) El polinomio Q(x)=x3+4x2+x2 tiene como posibles ceros: .
c) El polinomio R(x)=x32x+4 tiene como posibles ceros: .
d) El polinomio M(x)=x3+4x5 tiene como posibles ceros: .
3. Indicar verdadero (V) o falso (F)a) (x1) es un factor del polinomio
P(x)=x3+3x23x1 ( )
b) (x2) es un factor del polinomio Q(x)=x35x+2 ( )
c) (x+3) es un factor del polinomio R(x)=x38x+3 ( )
d) (x5) es un factor del polinomio M(x)=x310x+5 ( )
4. Factorizar: x23xy+2y2+5x7y+6, indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primosa) 4 b) 2 c) 5d) 7 e) 2
5. Factorizar: x37x6, dar la suma de sus factores primos de primer gradoa) 2x b) 3x c) x+3d) 3x+1 e) 3x3
6. Factorizar: x4+2x3+6x2+5x+6, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor trmino independientea) 5 b) 7 c) 3d) 8 e) 2
7. Factorizar: x4+x37x24x+6, e indicar el nmero de factores primos de primer grado.
a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3
8. Al factorizar: P(x)=(x+2)(x1)(x3)(x+4)+24, indicar la suma de coeficientes del factor primo de mayor grado.
a) 4 b) 6 c) 2d) 5 e) 8
9. Al factorizar: a4+2a2+9, indicar el nmero de factores primos de primer grado.
a) 3 b) 4 c) 0d) 1 e) 2
10. Al factorizar por el mtodo del aspa doble el polinomio P(x); se tiene: P(x)=15a2+19ab+6b2+5a+4b10
3a nb 2
ma 3b p
Hallar "m+n+p"
a) 10 b) 8 c) 15d) 12 e) 14
11. Al factorizar: x3+x210x+8, indicar la suma de los trminos independientes de sus factores primos.
a) 1 b) 3 c) 10d) 8 e) 4
12. Si(x+1) es un factor primo del polinomio: P(x)=x3+x2+ax4, hallar "a"
a) 3 b) 2 c) 2d) 4 e) 5
13. Indicar el factor primo cuadrtico de menor suma de coeficientes, al factorizar M(y)=y4+4y2+16
a) y2+y2 b) y2+2y4c) y2+y8 d) y2+8e) y22y+4
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lgebra
51www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
14. Juancito al factorizar un polinomio por aspa doble, elabora el siguiente esquema4x2+29xy+30y2+14x+27y+6
x
x
y
ySi los coeficientes que falta colocar son nmeros consecutivos del 1 al 6; indicar la suma de coeficientes de uno de los factores.
a) 7 b) 11 c) 13d) 9 e) 12
15. Un cientfico descubre una frmula que permite predecir la cantidad de temblores que habr cada mes en el mundo, a lo largo del 2012. La frmula es: P(x)=x23x+2a (x: nmero de mes), hallar el valor de "a" sabiendo que en el mes de abril se registrarn 8 temblores
a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6
Practica en casa
1. Relaciona correctamente:
Polinomio a factorizar Mtodo a emplear
x24 A Aspa doble
x35x+4 B Aspa doble especial
x2+3xy+2y2+5x+8y+6 C Diferencia de cuadrado
x43x32x23x+1 D Divisores binmicos
2. Completar correctamente, con respecto al mtodo de divisores binmicos se tiene :
a) El polinomio P(x)=x33x2+2x4 tiene como posible ceros: .
b) El polinomio Q(x)=x33x+6 tiene como posibles cero: .
c) El polinomio R(x)=x32x+5 tiene como posibles ceros: .
d) El posible N(x)=x3+4x8 tiene como posibles ceros: .
3. Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) (x4) es un factor del polinomio
P(x)=x34x2+3x12 ( )
b) (x+2) es un factor del polinomio
Q(x)=x3+3x2+x2 ( )
c) (x1) es un factor del polinomio
M(x)=x3+2x22x1 ( )
d) (x+3) es un factor del polinomio
N(x)=x3+3x22x+6 ( )
4. Factorizar:x2+2xy3y2+3x+y+2, indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos
5. Factorizar: x313x+12, dar la suma de factores primos de primer grado
6. Factorizar: x4+3x3+8x2+10x+8, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor trmino independiente.
7. Factorizar: x4+5x3+7x2x2, indicar el nmero de factores primos de primer grado.
8. Al factorizar: (x3)(x+1)(x4)(x+2)14, indicar la mayor suma de coeficientes de un factor primo
9. Al factorizar: b4+4b2+16, indicar el nmero de factores primos de primer grado.
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Captulo
52
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
910. Al factorizar por el mtodo del aspa doble el
polinomio Q(x; y); se tiene el siguiente esquema10x2+14xy+by2+10y+16x+6
5x cy 3
ax 2y dhallar "a+b+c+d"
11. Al factorizar: x36x2+11x6, indicar la suma de los trminos independientes de sus factores primos
12. Si (x+2) es un factor primo del polinomio Q(x)=x32x2+ax6, hallar "a"
13. Indicar el factor primo cuadrtico de menor suma de coeficientes, al factorizar: N(x)=x4+x2+25
14. Al factorizar un polinomio por aspa doble se obtiene el siguiente esquema:10x2+32xy+24y2+41x+54y+21
x
x
y
ySi los coeficientes que faltan colocar son nmeros consecutivos del 2 al 7, indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primos
15. Un dentista descubre una frmula que deduce la cantidad de caries que posee una persona a partir del nmero de veces que dej de lavarse los dientes antes de dormir. La frmula es: P(x)=x2+5ax (x: nmero de veces que no se lav los dientes). Hallar "a" si Mara dej de lavarse una vez y tiene 6 caries.
T puedes
1. Si P es un polinomio factorizable P(x)=3x4+7x3+13x2+2x+20, halle la suma de los factores primosa) 4x2+x+5 b) 4x2+5x+3c) 4x2+x+9 d) 4x+x+10e) 4x2+10x+5
2. Determinar un factor primo de P(x;y)P(x;y)=15x22xyy2+47x+3y+28a) 5xy b) 5x+y c) 5x+y+4d) 5xy4 e) 5xy+4
3. Determinar el valor de "a" para que: P(x)=x4+ax3+7x2+6x+9, tenga raz cuadrada exacta.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7
4. Factorizar x5+x+1, e indicar el nmero de
factores primos.
a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5
5. Si H es un polinomio factorizable definido por H(x;y)=6x2+15xy+9y2+10x+12y+4, sume los factores primos y determine el coeficiente de
la variable "x".
a) 1 b) 8 c) 3d) 5 e) 6
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53www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Captulo 10
Lectura: johannis WaLLis (ashford 1616 oxford, 1703)
Profesor en la Universidad de Oxford, fue uno de los fundadores de la Royal Society y es el ms importante
Matemtico ingls anterior a Newton. Sus trabajos sobre aritmtica y lgebra dieron a estas ramas de las
matemticas una independencia respecto de la geometra.
Fue un precursor del clculo infinitesimal, desarroll y present la
identidad
2 4 4 6 6 8 ...3 3 5 5 7 7 ...4
99
# # # # # ## # # # # #
pi =
El primer presidente de la Royal Society, Lord Broucker (1620
1684) transform esta identidad en
1
...
4
22
2 75
31
2
2
2
2= +
+
+
pi
+
Waallis tom la iniciativa y comenz los primeros pasos para la
generalizacin de la teora de fracciones continuas. Entre sus obras
ms notables estn: Cnicas, Aritmtica infinitorum, y De cicloide
tractaus, todos ellos recogidos en su libro Opera Mathematica
(1695), explic cmo calcular el ensimo convergente y descubri
algunas de las propiedades ya conocidas de los convergentes. Fue
tambin en este trabajo que el trmino "fraccin continua" fue
utilizado por primera vez.
FUENTE: www.gap_system.org
En este captulo aprenderemos
Fracciones algebraicas
. Fraccin algebraica (concepto)
. Signos en una fraccin.Regla para cambiar signos.
. Simplificacin de una fraccin.
. Operaciones con fracciones
Adicin y/o sustraccin Multiplicacin Divisin
fracciones aLgebraicas
-
Captulo
54
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Sntesis terica
10
-
lgebra
55www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Saberes previos
1. FactorizarN=x22xD=x24
2. FactorizarA=3x210x+3B=2x212x+18
3. Efectuar5x(x2+7x)3(x3+8x2)x(2x2+11x)
4. Reducirxy(x+y)+x(y2xy)2y(xy)
5. CalcularR=a(bc)+b(ca)+c(ab)+(ab)(a+b)+(bc)(b+c)+(ca)(c+a)
Aplica lo comprendido
1. Relaciona correctamente:
a xx a
2
2
A ba
x yx y
x yy2
+
B 1
x yx
C y xx
ab ba ab2
2 D 1
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) x 23
esta definida slo si x 2! ( )
b) x52 no es una fraccin algebraica. ( )
c) Toda fraccin reductible se puede simplificar. ( )
d) El equivalente de 1
1
x1 +
es xx1+
( )
3. Completar correctamente:Si una fraccin es simplificable entonces es ..........., luego de transformarla quedara una fraccin irreductible.
4. Simplificar: xx x
122
5. Reducir: Hx yx
x yx5 5
3 8
7
3 8
7= +
+
-
Captulo
56
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aprende ms
1. Relaciona correctamente:
x 23
esta definida si: A 5
cuando x=2, xx
392
es: B x
xxx
53
21'
+` `j j
xx
xx
53
12
+` `j j equivale a: C x 2!
x3 1+ equivale a: D x
x3 1+
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Si yx
yz
yx
yz3 1 2&+ = + = ( )
II. x32+ no es una fraccin algebraica ( )
III. x 25
equivale a la fraccin
x25
( )
IV. x yx y
6 43 2
es reductible ( )
3. Completar correctamente:
Si la fraccin: F(x)=xx x
164
2
2
es simplificada su
valor ser cuando "x" sea "2"
4. Simplificar: ( ) ( )x x x
x x7 10 5
7 102
2
+ + + ++ +
a) x 51+ b) 0 c) 1
d) xx
52
++ e)
xx
32
++
5. Reducir: Ma b ca b
a b cb a=
+ +
+
a) 1 b) 0 c) a b c
1 +
d) a b c
a +
e) a b ca b +
6. Reducir: a bab a
a bab a
b aa b2 2
2 2'
++
c c em m o
a) ab2
2b)
ba2
2c)
ab2
2
d) ba2
2 e) ab
7. Multiplicar: .xx x
xx x
255
15
2
2 2
+
+e co m
a) xx1
2
+b)
xx1+ c) 1
d) 5xx
1+ e)
xx
15
++
8. Dividir:
( ) ( )( ) ( )
x x xx x x
xx
9 4 105 6 4
53'+ + +
+ + +++
a) xx
53
++ b) x c) x
x5+
d) x
x 3+ e) 1
9. Operar:
;x
xx
x
xx
xx x x x
1 11
1
1 11
10 1 1/ /^ ^ ^
+ +
++
` `
` `
j j
j j
a) x 11+
b) xx1+
c) x
x 1
d) xx
11
+ e)
xx
11
2+
10. Efectuar
Sa a
a aa aa a
aa a
6 52 2
7 105 6
253 18 15
2
2
2
2
2
2=
++
+
+ + +
a) a 53
b) a 52+
c) a3
6
d) a 53+
e) a5
6
11. Efectuar:
xyx y
yxx y
x y1 11
1 1
1
++ +
++
+
c m
a) x b) xy c) x+yd) 1 e) 0
12. Calcular nm si:
x xx
xm
xn
3 21
2 12+ + =
++
+
a) 8 b) 9 c) 81d) 64 e) 1
10
-
lgebra
57www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
13. Indicar el equivalente de:F(x)=
32x
x
13 1
a) xx
3 14 1
b) 3x+1 c) 7x2
d) xx3 17 2
e)
xx
7 24 1
14. En el cumpleaos de Diego: "x" personas se encontraban (Incluido el dueo del cumpleaos). Si la mitad de la torta queda para Diego y la otra mitad se reparte a los dems, llegando en ese instante 2 personas ms. Cunto menos le toc a cada uno de los presentes?
a) x x1
2 b) x 122
c) x 112
d) x12 e) x 1
1
15. Andrea cuenta: si el primer da de agosto repart mi sol de propina entre mis "a" amigas, el segundo da entre mis (a+1) amigas, el tercer da entre mis (a+2) amigas y as sucesivamente hasta el ltimo da de este mes. Siendo Sofa la amiga que estuvo en todas las reparticiones, le pregunt: Cul es el producto de las diferencias "De lo que yo tena con respecto a lo que te toc" da a da?, indicar la respuesta de Sofa.
a) a1 b)
a21 c)
a 301
+
d) aa
301
+ e)
aa
302
+
Practica en casa
1. Relaciona correctamente:
El denominador comn de: x y xy1 1 1+ + A 1
Luego de simplificar xxy y
1++
queda B y
y z xx y z +
C xy
El equivalente de: x y
x y2 2
D x y
1+
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
a) xx
52
est definida slo si: x x2 5/! ! ( )
b) x 23+
es una fraccin irreductible. ( )
c) xx6
5+
es una fraccin reductible. ( )
d) La suma de 3x 2+
con x 23
es cero. ( )
3. Completar correctamente:
La suma algebraica de fracciones homogneas origina igual en la fraccin resultante.
4. Simplificar: ( )( )x xx x
15 810 3 +
+
5. Efectuar:
Rx y z
xx y z
zy x z
y= +
+ +
+
6. Efectuar: x x34
12
+
+
7. Operar: Rx
x xx x
x x9
4 35
8 152
2
2
2= + + +
e eo o
8. Dividir :x xx x
x xx
6 53 2
3 104
2
2
2
2'
+ ++ +
+ e eo o
-
Captulo
58
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
9. Operar: Ha
a
aa
aa
aa
11
1 1
11
1 1'=
++
+ +
`
`
`
`
j
j
j
j
Siendo: a a a1 1 0/ /^ ^ ^
10. Efectuar:
Fm
m mm mm m
m mm m
42
62 3
6 84
2
2
2
2
2
2=
+
+ ++
11. Identifique el numerador resultante:
Fz z z21
21
11=
++
+
12. Calcular a+b si:
xa
xb
xx
2 2 43 22
++ = +
13. Hallar el equivalente de:
12
1E
n
11
11
= +
+
14. Cul es el equivalente de 517 en fraccin
continua?
15. Un procesador formado por dos ncleos variables tales que:
El ncleo T1000, realiza:
El ncleo U1000, realiza:
Los primeros 4000 clculos en 1/2 segundo los siguientes 4000 clculos en 1/3 segundo, los siguientes 4000 clculos en 1/4 segundo y as sucesivamente.
Los primeros 4000 clculos en 1/3 segundo los siguientes 4000 clculos en 1/4 segundo, los siguientes 4000 clculos en 1/4 segundo y as sucesivamente.
Para el mismo nmero de clculos en cada uno, indique las diferencias de las "fracciones de segundo totales" empleadas por T1000 y U1000 respectivamente
T puedes
1. UNMSM 2011IDisminuyendo una misma cantidad a los dos trminos de la fraccin propia
ba resulta la
fraccin ab . Cul es aquella cantidad?
a) 2a+b b) 3a+b c) a+bd) a+2b e) ba
2. Simplificar: x x xx x x2 5 23 3 2 2
3 2
3 2
+ + + + +
Indicar como respuesta el numerador reducido valuado en dos.a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 6
3. Efectuar.R
x x
11 1
11
12 1
11=
++ +
a) 3252 b) 321 c) 5223
d) 3223 e) x
4. Si:
( ).M
aba bba
ab
18
2
1 2
212=
+
++c m
N
a bb
a ba
a ba
a bb
2 22
22
2=
+
++
Calcular "M+N"
a) 22+1 b) 326 c) 231d) a e) b
5. UNMSM 2006II
Si: (x)e e y e e2 2
(x)x x x x
3 4= = +
Calcular: ( )
( )x
x1 2
243+
a) 1(x)
(x)43+ b)
(x)(x)
1 33+
c) (x)(x)
43
d) (x)
(x)1 43+
e) (x)(x)
34
Si otros pudieron, Porque no voy a poder yo?"
San Agustn
10
-
59www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Captulo 11
Lectura: Los super computadores ms poderosos de La tierra
La organizacin a cargo del sitio Top 500.org ha publicado su "International Top 500 List", (como el Ranking Forbes pero de los Supercomputadores) correspondientes al mes de noviembre y donde se rankea las 500 sper mquinas de cmputo ms poderosas del planeta, este listado precisamente no "Rankea" amigo lector su flamante computador QuadCore, con sus 4GB de RAM DDR3, sus cuatro discos de 1TB o su sistema CrossFireX de Radeon HD 4870 X2 o 3Way SLI de GeFoce GTX 280 con sper Windows Vista ultra Fast. Lo que hace este Ranking es agrupar los Supercomputadores ms poderosos del planeta en cuanto a su potencia de cmputo expresada e TeraFlops, una medida de rendimiento especialmente destinada a clculos que requieren un intensivo uso de operaciones de punto flotante, en donde las capacidades aritmticas y el poder conjunto de cientos de procesadores / ncleos es vital para superar varios TeraFlops de potencia. Estos Supercomputadores son usados por gobiernos, instituciones de investigacin, universidades y otras instituciones para fines cientfios y de investigacin en donde Gigantes como IBM, INTEL, AMD y Sun son los principales proveedores de procesadores para estas mquinas del tamao de un armario y ensambladas por compaas como IBM, Cray, Sum, HP entre otras.
El ordenador "K", una supercomputadora japonesa capaz de realizar mas de 8 billones de clculos por segundo (petaflop / s) es el nuevo nmero uno del sistema en el mundo. ...
Los nmeros complejos se emplean en electrnica, para la descripcin adecuada de las seales peridicas
variables.
FUENTE: http://www.madboxpc.com
cantidades imaginarias i
En este captulo aprenderemos
Cantidades imaginarias I
. Cantidades imaginarias
Unidad imaginaria Potencias de i Propiedades
. Nmero complejo
Forma binmica y cartesiana Clases de complejos: Real, imaginario puro, nulo.
-
Captulo
60
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
11Sntesis terica
-
lgebra
61www.trilce.edu.pe Tercer ao de secundaria
Saberes previos
1. Calcular:
25 =
144 =
5 16+ =
2. Efectuar
8 32 1253 5 3 + +
3. Calcular:
2 33
4. Efectuar:
(x+yz)(3x+2yz)
5. Efectuar: (x3y)2+(3xy)2
Aplica lo comprendido
1. Relaciona correctamente:
i5.i3 A 3
i4+i12+i16 B 6
(2i)(3i) C 15 i2
(5i)(3 2 ) D 1
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) Al efectuar i3+i4+i5+i6 se obtiene cero ( )
b) (1+i) presenta como parte imaginaria a "1"
( )
c) Si Z=2+4i, su forma cartesiana es (2; 4i) ( )
d) Si W=3i+2, su forma cartesiana es (3;2) ( )
3. Completar correctamente:
La raz cuadrada de "1" es la unidad ,
y su equivalente es .
4. A partir de: Z=3+2i
Indique el doble de su parte real aumentada en
su parte imaginaria.
5. Efectuar:
S=i3+i4+i5+i6+i7+...+i103
Aprende ms
1. Relaciona correctamente:
i8+i12 A 2i
i3+i B 0
4 C 2
83 D 2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Si (m+4)+(n3)i es nulo, entonces mn=12 ( )
II. Si 3+(n5)i es real, entonces n=5 ( )
III. En Z=42i su parte imaginaria es 2 ( )
IV. En Z=3+5i su parte real es 3 ( )
3. Completar correctamente
En el complejo 3+2i su parte es el nmero dos y su parte es el nmero tres.
4. Sea Z3=2+5i
Indique la parte real de Z disminuida en su parte imaginaria.
a) 10 b) 2 c) 4d) 5 e) 0
5. Calcular: 5m+2n, si el complejo
Z=(mm27)+(n3125)i es nulo.
a) 10 b) 25 c) 15d) 20 e) 30
-
Captulo
62
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
116. Indicar "xy" si
Z=(x38)+(y327)i, es un complejo nuloa) 8 b) 9 c) 4d) 6 e) 3
7. Reducir: S= i5+i9+i13+i17+i21
a) i b) 1 c) 1d) i e) 5i
8. Calcular: M=i403+i216+i325+i423+i121
a) 1 b) i c) id) 0 e) 1
9. Efectuar: 3 12 5 20 + a) 16i b) 16i c) 16d) 16 e) 4
10. Calcular: 4 2 2 3 3 9 a) 5i b) 5i c) 3id) 12i e) 3i
11. Si al complejo (3;2) le disminuimos 2 unidades en su parte real y le aumentamos 2 unidades en su parte imaginaria, resulta un:a) imaginario puro b) complejo realc) complejo nulo d) la unidad imaginariae) hay 2 correctas
12. Calcular: ( )m i i iI 12 20 19+ +
a) i b) i c) 1d) 1 e) 0
13. Efectuar: ( )e i i i iR 40 55 70 95+ + +
a) 2 b) 2 c) 1d) 0 e) 1
14. Al sumar las primeras quince potencias positivas sucesivas de la unidad imaginaria se obtiene:
a) el opuesto de dos
b) el opuesto de tres
c) cero
d) la unidad imaginaria
e) el opuesto de la unidad
15. Si (m;n) es la unidad imaginaria en su forma cartesiana y (p;q) es la unidad real en su forma cartesiana. CalcularE=(m+1)n+1+(p+2)q+2
a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 17
Practica en casa
1. Relaciona correctamente:
i10+i14 A 5
5 5 B 1
La parte real de: 5i+5 C 2
i30+i31+i32+i33+i34 D 5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Si(r3)+8i es imaginario puro, en-tonces r=3 ( )
II. En Z=3i4 su parte imaginaria es 3i ( )
III. Luego de efectuar i+i5+i6, su parte real es 1 (