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59

lgebra

18 LogaritmosI:Propiedades

I G U A L D A D E S F U N D A M E N T A L E S D E L O SLOGARITMOS

El logaritmo de un nmero real positivo (N), en unabase positiva y diferente de la unidad (b > 0; b 1), es elexponente al cual hay que elevar el nmero denominadobase para que nos reproduzca el nmero dado (N).As en:

DEFINICIN

logbN= x logaritmo

nmero

base

Para reafirmar la definicin de logaritmo, veamos unoscuantos ejercicios de aplicacin:

x+4

2

Determina el valor de x en:

log2

8 = x + 4

Determina el valor de x en la siguiente igualdad:

logx+1

81 = 2

Por definicin de logaritmos, se cumple:

(x + 1)2= 81 x + 1 = 9

de donde:

Si x + 1 = 9 x

1= 8 (verifica la igualdad

original) y

x + 1 = -9x

2= -10 (No verifica la igualdad original, por-

que la base tiene que ser mayor quecero y diferente de la unidad).

nica solucin: x = 8

Se sabe que:

logbN = x bx= N

(I) (II)

Reemplazando (I) y en (II), es decir, el valor de x lo reem-plazamos en la segunda igualdad y se tendr:

Primera igualdadfundamentalb = N

logbN

Ejemplo 1:

Resolucin:

x+42

Aplicando la definicin de logaritmos tendr:

2 x+4= 8 2 = 23 =3

x + 4 = 6 x = 2

Ejemplo 2:

Resolucin:

Se lee: logaritmo del nmero N enbase b es igual a x.

Si logbN = x bx= N

En efecto: 8 = 23 log28 = 3

81 = 34 log381 = 4

9 =(1/3)-2 log(1/3)

9= -2

5 = ( 5)2 log55 = 2

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60

5to Secundaria

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1. No existe el logaritmo de los nmeros negativos en elcampo de los nmeros reales pero s en el de los com-plejos.

log3-9 : en R, pero s en C

2. La base de un logaritmo debe ser siempre positiva ydiferente de la unidad.

3. El logaritmo de la unidad en cualquier base es cero.

logb1 = 0

Ejemplo:

4. El logaritmo de la base ser siempre igual a la unidad.

logbb = 1

5. El logaritmo de un producto ser igual a la suma de loslogaritmos de los factores.

logb(A.B) = log

bA + log

bB

log32 + log

35 = log

310

log23 + log

2x + log

2y = log

23xy

En general:

logb(A.B) log

bA . log

bB

6. El logaritmo de un fraccin ser igual a la diferencia delos logaritmos del numerador menos el denominadorrespectivamente.

logb = logbA -logbBAB

7. Logaritmo de una potencia(Propiedad del sombrero)

Estar expresado por el producto del exponente delnmero por el logaritmo de la base de dicha potencia.

logbNn = n log

bN

a) log352= 2log

35

b) 4log

57 = log

574

En general:

logbNn logn

bN

8. Logaritmo de una raz

Estar expresado por el logaritmo del nmero divididoentre el ndice de la raz.

Ejemplo:

Ejemplo:

54

log2( ) = log

25 -log

2x

log

35 -log

34 = log

3( )

logb( )= log

bA + log

bB - log

bC -log

bD

5x

ABCD

En general:

log( ) logAlogB

AB

Ejemplo:

logb

n N = logbN

1n

log37

3 = 7a)

log434 = 3b)

logbbx= x Segunda igualdad fundamental

Ejemplo:

Ejemplo:

a) log554= 4

b) log2 2 5= 5

c) log7

7x+1= x + 1

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61

lgebra

9. Cambio de base

logbN =

logaN

logab

o tambin:

en donde a la fraccin se le conoce como el

mdulo o factor de conversin.

As por ejemplo:

* Transforma log25 a base 7

log25 =

* log98 a base 4

log98 =

10. Regla de cadena

El producto de un logaritmo por otro que resulta deintercambiar al nmero y a la base, ser igual a la uni-dad.

logba . log

ab = 1

Consecuencias de la regla de la cadena

logba . log

cb . log

ac . log

ed = log

ea

logba . log

ac . log

cd . log

de = log

be

Corolario 1:

logbn

x m=mn logbx

Corolario 2:

Si se invierte la base de un logaritmo automticamenteeste cambia de signo:

11. Si un nmero tiene como exponente a un logaritmo, yse intercambia simultneamente (permuta) el nmerode ste, con el que hace de base la expresin no se

altera.

Es decir:

logba

x =log

bx

a

log25

3 =

log23

5

Ejemplo:

a) log3 4 = log

34

b) log25 = log

2 5

c) log72 = log

7 23

7

3

5

1

713

35

logbN = . logaN

1

logab

1

logab

log75

log72

log48

log49

logba =

1

logab

log N = -logbN1

b

Ejemplo:

7 =log

57

6log

56

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62

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Resuelve y calcula x en:

log(x-2) + log(x+3) = log14

Resolucin:

El cudruplo del logaritmo de un cierto n-

mero excede en 4 al duplo del logaritmo del

mismo. Cul es este nmero?

Resolucin:

Al resolver:

log3(2x+1) + log (x+8) = 0

el valor de x es:

Resolucin:

13

Si logba = 4, halla:

(a logca2+ b4log

cb2)log

bc4

Resolucin:

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63

lgebra

Rpta:

5

Rpta:

6Si loga2 = x; log

a3 = y; log

a5 =Z, calcula:

loga2700

Resolucin:

Calcula el valor de:

W = 7bloga3+ 3logab

si logab = log32

Resolucin:

7. Al reducir:

se obtiene:

1+log23

1- log23

1+log32

1- log32

+

8. Calcula:

log33 + log

39+ log

327 + ... + log

3310

9. Si 243(logxz)5= 32(log

yz)5.

Determina: logyx

10. Reduce:

si n > 1

nn n

n-1lognlogn

11. Si log1428 = a, halla log4916.

12. Determina el valor de x en:

log2x + log

4x = 3

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64

5to Secundaria

1. Resuelve la siguiente ecuacin:

3logx -log32 = 2logx2

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

2. Halla el valor de m en: log(m-4) + log(m+5) = log36

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

3. Resuelve y halla x en la ecuacin:

1

log(x+3)

10+

1

log(x+1)

10= log15

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

4. Si:

log3 = a; log2 = b; halla log(5!)

a) 3a+b+1 b) a-b+2 c) 3a-2b+1

d) a+2b+1 e) 2b-a+1

5. Sabiendo que a y b son races positivas de

la ecuacin:

x2-4x + m2= 0,

halla:

L = logmab

+ logmaa

+ logmbb

+ logmba

a) -4 b) 4 c) -8

d) 8 e) 6

6. Calcula x.

loga(x +1) = log

ax + 2

a) a2-1 b) a2 c)1

a2-1

d) a e) 7

7. Simplifica:

P = x . y

logxyx . log

yxy

logxy log

yx

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

9. Determina x a partir de las siguiente igualdad:

logx

10+ log2a = loga 1

2

a)5 a

a b) a c) 5 a

d) e) 6a a

10. Si log74 = m; log

75 = n, halla log

7980

a) m - n - 2 b) m+n- 2 c) m+n+2

d) 2 - m - n e) 2m+n+1

11. Halla la suma de los valores de x que resuelvenla ecuacin:

log16 + logx + log(x -1) = log(x2- 4) + log15

a) 12 b) 16 c) 8

d) 81 e) 4

12. Si 2x+ 2-x= 4, halla una solucin de x.

a) log2(2 3 -1)

b) log2(2 + 3)

c) log2( 3 -2)

d) log2

(1 + 2 3)

e) log2(1 + 3)

8. Si log2 = m; log3 = n; x =log36, halla x.

a) 2m+2n b) 2m+n/2 c) 2m-n/2

d) 2m - 2n e) m+n

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65

lgebra

19 LogaritmosII:Ecuaciones

1. aF(x)= aG(x)F(x)

= G(x)

si a > 0 a 1

ECUACIN LOGARTMICA Y EXPONENCIAL

Ejemplo:

Calcula "x"

2x+5 = 22x-10 x+5 = 2x-10

10 + 5 = 2x-x 15 = x

2. logbF

(x)=log

bG

(x)F

(x)=G

(x)>0

si b > 0 b 1

Ejemplo:

Calcula "x".

log3(4x+5)= log

3(x+20)

4x+5 = x +20

4x - x = 20 - 5 3x = 15

x = 5

John Napier, barn de Merchiston, matemtico

escocs inventor de los logaritmos (1550), publica,

en 1614, su obra Mirifici Logarithmorum canonis des-

criptio, ejusque usus in utroque Trigonometra; ut etiam

in omni logstica mathematica, amplissimi, facillimi, etexpeditissimi explicatio, en la que da a conocer los

logaritmos que l llam nmeros artificiales.

Merced a estos nmeros las multiplicaciones pueden

sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las

potencias por productos y las races por divisiones,

lo que no slo simplific enormemente la realizacin

manual de los clculos matemticos, sino que permi-

ti realizar otros que sin su invencin no hubieran

sido posibles.

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66

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Resuelve:

log2(x2-3x + 6) -log

2(x-1)= 2

Resolucin:

log(x-3)+log(x+2)log(x-1)

Si = 2

halla: log(x-3)

(x+1)

Resolucin:

Resuelve:

Resolucin:

log(2x2+3x+12)log(2x+3)

= 2

A partir de:

x logx = 18 log3

y logy = 24 log2

halla x + y.

Resolucin:

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67

lgebra

Rpta:

5

Rpta:

6Halla x en:

9log( x)3= 24

Resolucin:

Resuelve:

52log5x+ 32log32= 7log74x

Resolucin:

7. Calcula:

log2x + log

4x + log

2x = 11

8. Calcula el producto de las races de:

xlogx-4

= 0( )103

x

9. Resuelve:

Ln(Ln(Lnx)) = 0

10. Resuelve:

x1+logx(x+2)= 3

11. Resuelve:

log1/2

log4x = log

1/8log

16x

12. Sabiendo que:log log logx =1 + log2,

calcula:

R = log log logx

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68

5to Secundaria

1. Halla x en:

log x + log (x -3) = 1

a) 5 b) 2 c) -21d) -5 e) N.A.

2. Resuelve:

logx-8

(x2-16) = 2

a) {5} b) {12} c) {16}

d) {1} e) {20}

3. Resuelve:

logx(3x) . log10x = log(3x)+2

a) 2 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

4. Dada la ecuacin:

1+2 log x -log(x + 2) = 0

halla la suma de sus races.

a) 3 b) 2 c) 5

d) 4 e) N.A.

5. Calcula:

E = - log2log

3

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

44 4 43

6. Resuelve:

log2log

3(x - 2) = 2

a) 83 b) 94 c) 72d) 76 e) 81

7. Calcula:

E = log480+log15-log72

a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 2

8. Resuelve:

10logx - 3= 2,003

a) 2,006 b) 5,003 c) 2003d) 2006 e) 2000

9. Luego de resolver:y = 3(0,1)logx

x + y = 4 da la suma de cuadrados de las soluciones.

a) 12 b) 16 c) 20d) 24 e) 28

10. Resuelve:

log x -log 5 =

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) N.A.

12

11. Resuelve:

logx10 . log (x2-2) = 1

a) 2 b) 3 c) 4

d) 1 e) N.A.

12. Si se define una funcin cuya regla de corres-pondencia es:

F(x)

= log

Halla el equivalente de:

E = F(a)

+ F(b)

a) F b) F c) F

d) F e) F

( )1-x1+x

a - b1+ab( ) ( ) a - b1- ab

( )

a+b1- ab

( )a+b1+ab

( )

ab1+ab

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69

lgebra

20 Progresin Geomtrica

Decimos que una sucesin de nmeros est en progresin

geomtrica (P.G.), cuando cada uno de ellos es igual al

anterior multiplicado por una cantidad constante, llamada

razn (q) de la progresin.

1; 2; 4; 8; ...-1; -3 ; -9: -27;...a, aq, aq2, aq3,...

Representacin:

donde: q =

La razn (q), se encuentra dividiendo cualquier trminoentre su inmediato anterior.

Si 0< q< 1 la progresin es creciente.

2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ... (q = 2)

Si q

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70

5to Secundaria

SUMA DE LOS INFINITOS TRMINOS O SUMALMITE S

L

TRMINO CENTRAL ac

ac= a

1 . a

n

TRMINOS EQUIDISTANTES

En toda P.G. limitada, el producto de dos trminosequidistantes de los extremos nos da una misma cantidad.

2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128

1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243243243243

MEDIOS GEOMTRICOS

Son los trminos de una P.G. comprendida entre susextremos.

a1, ........................................ , a

n

n medios geomtricos

INTERPOLACIN DE MEDIOS GEOMTRICOS

Es la operacin que consiste en formar una P.G. conociendolos extremos y el nmero de medios a interpolar. La raznde interpolacin es:

Como: a1, a

2, a

3, ... forman una P.G.

La razn:

q = =

Luego :

=

Buscando bases iguales:

22x -1 -x/2 = 26x -4 -(2x-1)

Igualando exponentes:

= 6x 4 2x + 1

4 = 5x x=

2. Halla el dcimo tercer trmino en la P.G. :

; ; ; ...

a1, a

2, a

3, ... forman una P.G.

SL= ; 0

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71

lgebra

3. Halla el valor de a en la P.G.:

(11-a); (2a-1) ; (9a+3) ; ...

Por razn : =

Efectuando:

4a2 - 4a + 1 = 99a + 33 - 9a2 - 3a 13a2-100a -32 = 0

De donde: a = 8

4. La suma de los seis primeros trminos de una P.G. esigual a 9 veces la suma de los tres primeros. Halla larazn.

Sea la P.G.

a1, a

2, a

3, a

4, a

5, a

6, ...

Calculando S6:

S6=

Calculando S3:

S3=

Luego: S

6= 9 (S

3)

= 9

Efectuando:

(q

3

+ 1) (q

3

-1) = 9 (q

3

-1)

q3+ 1 = 9 q = 2

Como: an= a

1. qn1

a13

= . 3131

a13

= a13=729

1729

31236

2a-111-a

Resolucin:

9a+32a-1

Resolucin:

a1(q6-1)q-1

a1(q3-1)q-1

a1(q6-1)q-1

a1(q3-1)q-1

Resolucin:

5. Halla la suma de:

S = + + +

S = + + ... + + + ...

Suma lmite Suma lmite

q = q =

( )173

17

272

274

172

172

( )

Luego:

S = +

S = + = +

S=

1 -

17172

1 -172

272

17

4849

272

4849

748

248

316

Niels Henrik Abel(1802 1829)

Matemtico Noruego, su vida es un ejemplo dramtico

de lo estrechamente relacionadas que pueden llegar

a estar la pobreza y la tragedia. La contribucin ms

importante a la teora de ecuaciones, hecha por Abel

a los 19 aos, se refiere a la demostracin de que

no existe frmula para hallar las soluciones de una

ecuacin de quinto grado. Muri a los 27 aos de

tuber-culosis, enfermedad adquirida segn se supone

debido a su pobreza y a sus responsabilidades parasostener a la familia que dependa de l.

17

272

173

274

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72

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla el trmino de lugar 16 en la P.G.:

; ; ; ...

Resolucin:

1256

1128

164

Halla el dcimo segundo trmino de una P.G.,

si el quinto es 32 y el octavo es 4.

Resolucin:

El producto de tres nmeros en P.G. es 216 yla suma de los productos que resultan tomados

2 a 2 es 156. Halla los nmeros.

Resolucin:

En una P.G. se conoce que:

S6= 28(S

3), halla q.

Resolucin:

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15/24

73

lgebra

Rpta:

5

Rpta:

6Calcula la suma lmite:

S = 4 + 1 + + + ...

Resolucin:

14

116

Interpola cuatro medios geomtricos entre

1/9 y -27.

Resolucin:

8. El segundo trmino de una P.G. es -18 y elquinto trmino es 16/3. Calcula el cuarto

trmino.

7. Calcula la suma de todas las reas de todos loscuadrados que se pueden inscribir sucesivamentea partir de un cuadrado de 4m de lado.

9. La medida de los ngulos internos de untringulo forman una progresin geomtrica derazn 2. Calcula el ngulo mayor.

10. Calcula la suma:

12( )1+ 1- + 1- + 1- +1- +...

34( )

78( )

1516( )

11. Encuentra cuatro nmeros positivos que formanuna P.G. de modo que a

1+a

2=15 y a

3+a

4=60.

Halla la razn.

12. Si a 110; 90 y 60 se le resta una misma cantidad,se obtiene tres nuevas cantidades que estn enprogresin geomtrica. Cul es la razn dedicha progresin?

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16/24

74

5to Secundaria

1. Cuatro medios geomtricos interpolados entre160 y 5 de una P.G. son:

a) 5; 10; 20; 40 b) 10; 30; 60; 90c) 80; 40; 20; 10d) 120; 90; 60; 30 e) 59 ; 55; 35; 15

2. Halla :

S = + + + +...

a) 7/16 b) 7/17 c) 4/17d) 5/17 e) 5/24

3. En la progresin:

96; 48; 24; ...

calcula el dcimo trmino.

a) 1/16 b) 3/4 c) 3/16 d) 5/8 e) 3/5

6. Calcula la suma lmite:

S = 13

+ + +

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/2

d) 1/17 e) N.A.

213( )

313( )

413( )

4. En una P.G., el quinto y el segundo trmino son81 y 24, respectivamente. Calcula el primertrmino.

a) 16 b) 32 c) 36

d) 38 e) 56

5. Si en una progresin geomtrica: a1=2 y a

6=64,

encuentra r y a4.

a) 2; 61 b) 3; 16 c) 2; 16

d) 3; 64 e) N.A.

7. El producto de tres nmeros en P.G. es 27.Cul es el trmino central?

a) 1 b) 3 c) 6d) 9 e) 18

8. Interpola 3 medios geomtricos entre -2 y -512.

a) 8, 32, 128

b) -8, 32, 128

c) 8, 32, -128d) -8, 32, -128

e) -8; -32, -128

9. Calcula la suma de los trminos de laprogresin: 5, 5/2, 5/4, 5/8,...

a) 5 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

10. Calcula la razn y el primer trmino de unaP.A. en el cual a

3=3 y el sptimo trmino es

3/16.

a) 12; -1/2

b) 12; 1/2

c) 1/2; 12

d) 1/2; -1/2

e) -1/2; 12

11. En una P.G. si a5=9 y a

7=1, entonces a

6vale:

a) 8 b) 5 c) 7

d) 3 e) 1

12. Encuentra x para que (x - 4)/2; x+2 y 2(x-2)estn en P.G.

a) 3 b) 2 c) 5

d) 1 e) N.A.

17

372

173

374

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75

lgebra

21 Lmites

DEFINICIN

Nuestro propsito ser estudiar la nocin de lmite desde unnuevo punto de vista intuitivo, para lo cual damos la ideade aproximacin, de punto de acumulacin, terminandocon una nocin intuitiva de lmite.

I. Ideas de Aproximacin

recta numrica

x0

Por la izquierda de x0(menores que x

0)

En este caso se dice que x se aproxima a x0 por

la izquierda, por tanto se simboliza como x x0- ,

expresin que se lee: x0 es menor que x , pero

cercano a l.

Por la derecha de x0(mayores que x

0)

En este otro caso, se dice que x se aproxima a x0 porla derecha, por tanto se simboliza como x x

0+, expresin

que se lee: x0 es mayor que x , pero cercano a l.

En los siguientes ejemplos, analizaremos qu sucede con lasimgenes f(x)

cuando las preimgenes x varan.

Sea la funcin: f(x)

= 20 + x

Si asignamos valores a x cercanos a 2, qu sucede con f(x)

?

Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarselos valores de x al valor 2, se tiene que las imgenes f

(x)

se aproximan al valor 22.

Sea x0 un punto fijo en la recta numrica, tal como se

indica en el siguiente grfico:

Cuando un nmero desconocido x se aproxima a x0

ste, lo puede hacer con valores mayores o menoresque x

0.

Ejemplo 1:

Si tabulamos los valores anteriores y efectuamos un grfico, se tiene:

22,10

22,05

22,0222,01

2221,9921,98

21,95

21,9020,00

1,9

0

1,9

5

1,9

8

1,9

9 2

2,0

1

2,0

2

2,0

5

2,1

0

y

x

Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2

x

1,90

1,951,981,992,012,022,052,10

y

21,90

21,9521,9821,9922,0122,0222,0522,10

P7

P6

P5

P4

P3

P2

P1

P8

x 1,90 1,95 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,05 2,10

f(x)

21,90 21,95 21,98 21,99 22 22,01 22,02 22,05 22,10

por la izquierda por la derecha

Resolucin:

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76

5to Secundaria

II. Nocin Intuitiva de Lmites

* Para el ejemplo 1 de aproximacin: f

(x)= 20 + x, tenemos:

cuando x se aproxima a 2; f(x)

se aproxima a 22.

Simbolizando:cuando x 2 , f

(x) 22; y se escribe como:

lim f(x)

= 22

x 2

que se lee: el lmite de f cuando x se aproxima a 2,es 22. Luego, lim f

(x)nos indica: valor lmite de f

(x).

Por aproximacin deducimos que:cuando x se aproxima a -3se tiene que f

(x)se aproxima a -6

y se escribe como:

Luego:

Se lee: el lmite de f(x)

cuando x se aproxima a x0es L.

Esto se simboliza denotando:

Cuando x 2; se tiene que f(x)

22. Sabemosque estamos aproximando, por ello no hacemos hincapi

que para x = 2 se obtenga f(x)

= 22.

lim f(x)

= -6x-3

1. Mtodo de la cancelacin de los factorescomunes

Si es de la forma , se recomienda

factorizar el trmino (x-x0) tanto en el numerador

como en el denominador para su correspondientecancelacin.

lim f(x)

xx

0

00

Calcula:

limx0

(x +4)2-16x

limx0

(x +4)2-16x

= limx0

(x + 4 -4) (x + 4 + 4)x

2. Mtodo de la racionalizacin

Si es de la forma y estn presentes radicales,

se procede a multiplicar y dividir por la conjugadade cada una de las formas radicales, de modo que secancelen factores comunes de la forma (x -x

0).

lim f(x)

Calcula:

limx4

x -4x -2

lim f(x)

= Lxx

0

III. Clculo de Lmites

Ejemplo:

Veamos qu sucede si construimos una tabla que nosmuestre la aproximacin:

Lo que ocurre es que cuando x se aproxima a cero, laimagen f

(x)se aproxima a 8, es decir:

limx0

(x +4)2-16x

= 8

En este caso la forma indeterminada00

toma el valor de 8.

Si aplicamos la recomendacin dada para este clculo, esteproceso laborioso se puede obviar factorizando el trmino(x - x

0), que en este caso es x -0 = x, con lo cual nos queda:

x -0,5 -0,4 -0,1 -0,01 0 0,01 0,1 0,4 0,5

f(x)

7,5 7,6 7,9 7,99 8 8,01 8,1 8,4 8,5

lim x(x+8)x

= lim= (x + 8) = 8x0 x0

xx0

00

Ejemplo 2:

lim = -6x2-9

x + 3x-3

Ejemplo 1:

Resolucin:

Veamos lo que ocurre cuando se construye una tabla de

valores que nos muestre la aproximacin, para lo cual te

recomendamos usar una calculadora.

Resolucin:

x 3,8 3,9 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,1

f(x)

3,9494 3,97483,9975 3,9997 4 4,0002 4,0025 4,228

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77

lgebra

Lo que sucede es que cuando x se aproxima a 4, la

imagen

f(x)

= se aproxima a 4.

Luego

x -4x -2

limx4

x -4x -2

= 4

La forma indeterminada toma el valor 4. Aplicando

la recomendacin dada para este clculo, tenemos:

= ( x + 2)( x +2)

(x - 4) ( x + 2)

(x -4)

( x + 2) = 4

Halla:

2 + 3 xx + 8

Tenemos:

Despus de resolver estos ejemplos, te has preguntado, por

qu a la expresin00

se le llama forma indeterminada?, qu

opinas al respecto?

Calcula los siguientes lmites:

00

IV. Formalizacin de LmitesLas nociones intuitivas desarrolladas en el captuloanterior, se precisan a travs de las mediciones de lasaproximaciones, tanto cuando x se aproxima a x

0

como cuando f(x)

se aproxima a L.

1. Definicin de LmiteDada una funcin f, decimos que el lmite de lafuncin f en el punto x

0 es el nmero real L,

si y slo si:

> 0, > 0 / x Dom f 0

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20/24

78

5to Secundaria

e) lim [f(x)

]n=[ lim f(x)

]n= L1

n;

donde n Z+.

xx0 xx

0

1. Calcula:

limxa

x2-ax -2a2

x2-a2; (x a); (a > 0)

Paso 1: Evaluando:

a2+a2-2a2

a2-a2=

0

0

Paso 2: Factorizando el numerador y el denominadorpara simplificar el binomio (x -a); entonces:

lim = lim (x-a)(x+2a)

(x-a)(x+a)

= lim = =x + 2ax + a

a + 2aa + a

32

Resolucin:

xa xa

x2-ax-2a2

x2-a

2

2. Calcula:

x3 +1

x2-1

= limx-1

x2-x +1

x -1=

(-1)2-(-1)+1

(-1) -1

= -3

2

= lim (x+1)(x2-x+1)

(x+1)(x-1)

x3 +1

x2-1

Paso 1: Evaluamos:

(-1)3+1(-1)2-1

= 00

Paso 2: El binomio: x-(-1) = x + 1, debe ser simplificadopara levantar la indeterminacin.Veamos:

3. Calcula:

Paso 1: Evaluamos:

limx0

1+x +x2-1

x; x 0

1+0 +02 -1

0; x 0

Paso 2: Racionalizando el numerador.

Efectuando el numerador se tiene:

Simplificando la x que hace la indeterminacin.

limx-1

Resolucin:

=

4. Calcula:

x+1

1 + x + x2+ 1

1+0

1 + 0 + 0 + 1=

1

2

limx+

2x2 -3x +4

x4+1

Paso 1: Evaluando se tiene:

Paso 2: Dividimos el numerador y denominador porel trmino cuyo exponente sea el mayor de todos lostrminos.Dividir entonces por x2.

limx+

2x2 -3x +4

x2

x4+1

x2

limx-1 x-1

1 +x +x2-1x

. ( 1+x+x2+1)

( 1+x+x2+1)

limx0

1 +x +x2-1

x( 1 + x + x2+ 1)

limx0

x(x + 1)

x( 1 + x + x2+ 1)

limx0

Resolucin:

limx0

Resolucin:

f) limn

f(x)=n

lim f(x)=n

L1 ;

si existe n L1.

xx0 xx

0

xa

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lgebra

= = 22 -0 +0

1 + 0

x4+1

x4

3

x2 - + 4

x2= lim

x+

1

x41+

= limx+

3

x2 - +

4

x2

5. Calcula:

limx+

(2x+3)3(3x-2)2

x5+5

Paso 1: Evaluando se tiene:

Paso 2: Dividiendo el numerador y denominador porx5.

Resolucin:

(2x+3)3(3x-2)2

x5

x5

+5x5

limx+

(2x+3)3

x3

5

x5

. (3x -2)2

x2

1 +

= limx+

5

x51 +

2x+3x

33x -2

x

2

= limx+

3x

2x

2+ 3 -

3 2

5

x51 +

= limx+

(2x + 3)3(3x -2)2

x5+ 5 = 72 limx+

(2)3(3)2

1= = 72

Un caso en el que laresistencia del aire esimportante

Si uno se lanza desde un avin en el aire,posiblemente no tendr un final muy feliz, a no ser queutilice un paracadas que funcione adecuadamente. Laidea bsica de un paracadas es que, por su forma, elaire presenta una gran resistencia que funciona comouna especie de frenado. Desde luego, el frenado no estanto como para quedar completamente suspendido enel aire (resistencia del aire), de manera que al caer alsuelo con un paracadas se llega con cierta velocidad(no tanta, para no sufrir un golpe fuerte). Mediante

algunos conocimientos de fsica se puede demostrar quesi un hombre se lanza a una velocidad de 55m/s hastael momento de abrirse el paracadas y si la resistenciadel aire es proporcional al cuadrado de la velocidad,entonces la velocidad a la que baja el paracaidista es:

v =5e-25,5t+ 6

1,2-e-24,5t

Resulta que si se lanza desde una altura suficientementegrande, la velocidad comienza a estabilizarse (esto enparticular significa que casi no tendr aceleracin) ycon esa velocidad cae al suelo.Efectivamente, si vemos que sucede cuando t sehace cada vez mayor podemos calcular la velocidad deestabilizacin:

lim v = limt t

5e-25,5t+ 6

1,2-e-24,5t6

1,2= = 5;

esto es as porque: t

lim e-24,5t= 0Tenemos que a medida que va bajando, la velocidad

del paracaidista se hace cada vez ms prxima a 5m/s.

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22/24

80

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Calcula:

lim x2-4

x -2x2

Resolucin:

Calcula:

Resolucin:

limx3

x+ 1 -2

x -1 - 2

Halla:

Resolucin:

limxa

x2 - (a- 1)x -a

x2- (a-2)x -2a

Halla:

Resolucin:

limx

x3+ 2x2+ 3x + 4

4x3+ 3x2+ 2x + 1

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23/24

81

lgebra

Rpta:

5

Rpta:

6Calcula:

limxa+b

(x - a)4-b4

(x - b)3-a3

Resolucin:

Calcula:

Resolucin:

limx1

3 x - 14 x -1

( )

7. Halla:

limx

2x2+7x+5

x3+ 2x + 1

8. Calcula:

lim

x+x4- x2+2

x2- x+3

9. Calcula:

limx4

x -4

x2-7 -3

10. Calcula:

Lim ( x2+3x-1 - x2-7x +1)

x

11. Halla:

limx2

3 x2+ 4 - x + 2

x -2

12. Calcular:

Tg13x

Tg5x

Lim

x 0

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24/24

5to Secundaria

1. Calcula:

a) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 36

lim x3+27x+3x-3

2. Calcula:

a) 2 b) 4 c) 1/2d) 1/4 e) -1/2

lim x-2

x -4x4

3. Calcula:

a) 2 b) 3/2 c) 5/4d) 1 e) -5/4

limx-3

x2+x - 6

x2+2x -3

4. Calcula:

a) 0 b) + c) -d) 1/2 e) 5/3

limx+

x3- 2x +5

2x4- x+3

5. Halla:

a) n b) 1 c) n/2d) 0 e) n/2

limx1xn-1

x -1

6. Halla:

a) 0 b) -1 c) 1d) 1/2 e) -1/2

limx1

x2+ 3-2

x -1

7. Encuentra el valor de , para que el lmitesiguiente sea igual a dos:

a) 1,5 b) 9 c) 4d) 2/3 e) 6

x2-x -1

3x2-4limx

8. Calcula:

limx5

x + 4 -3x -1-2

( )

a) 0 b) 3/2 c) 1d) 2/3 e) 1/3

9. Calcula:

a) 1/2 b) 1 c) 2d) 4 e)

limx

4x4+2x3+ 1

2x4+ 5x -2( )

10. Calcula:

a) 2 b) 4 c) -2d) -4 e) 6

limx0

x41+2x -1( )

11. Calcula:

limx1

3x200 1

2x300 1( )

a) 1 b) 0 c) 3/2d) 2/3 e) 2

12. Calcula:

limx0

Sen5x

Sen7x( )

a) 1 b) 5/7 c) 7/5d) 6/7 e) 3/4