l gebra rea de Matemtica y Estadstica Lima Per 2012 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a2 GUA DE PRCTICAS DE ALGEBRA Derechos Reservados 2012 Prohibida la reproduccin parcial o total de esta obra por cualquier medio, sin autorizacin escrita del autor. rea de Matemtica y Estadstica Segunda EdicinPrimera reimpresin Diseo, Diagramacin e Impresin Universidad Cientfica del Sur Panamericana Sur Km.19. Lima-Per 610-6400 Tiraje 1500 ejemplares IMPRESO EN PER G u a P r c t i c a d e A l g e b r a3 Coordinador de Ciencias Bsicas Alejandro Fukusaki YoshizawaCoordinadores de rea Biologa Joyce Del PinoRoblesEcologa Hctor Aponte UbillsMatemtica y EstadsticaResponsable: Jos Dvila Tapia Matemtica: Michaels Meja Lagos Estadstica: Alfredo Salinas Moreno Qumica Nstor Gomero Ostos Fsica Rodolfo Andrade Bambaren Coordinadora Honoraria Mara Pa Sirvent de Luca Asistente de la Coordinacin Rocio Zuiga Cabrera _________________ Reservados todos los derechos: ningn material de este manual puede ser reproducido sin autorizacin expresa por escrito de los autores. La autorizacin ser en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100, slo para uso con fines educativos y sin lucro. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a4 CONTENIDO CAPITULO I: NUMEROS REALES 1.1 Nmeros Reales 1.2 Intervalos 1.3 Operaciones con Intervalos CAPITULO II: ECUACIONES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 2.1Ecuaciones de Primer y Segundo Grado 2.2Inecuacionesy Valor Absoluto CAPITULO III: EXPONENTES, EXPONENCIALES Y LOGARITMOS 3.1 Teora de Exponentes 3.2 Ecuaciones Exponenciales 3.3 El Numero E 3.4 Logaritmos CAPITULO IV: GEOMETRIA ANALITICA 4.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano 4.2 La lnea recta 4.3 Cnicas 4.3.1 La circunferencia 4.3.2La parbola 4.3.3L a elipse G u a P r c t i c a d e A l g e b r a5 CAPITULO V: MATRICES Y DETERMINANTES 5.1 Matrices 5.2 Operaciones con matrices 5.3 Tipos de matrices 5.4 Determinante de una matriz 5.5 Matriz inversa 5.6 Sistema de ecuaciones lineales BIBLIOGRAFIA G u a P r c t i c a d e A l g e b r a6 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a7 1. 1NmerosReal es Losnmerosrealessonlosnmerosquesepuedeescribirconanotacin decimal,incluyendoaquellosquenecesitanunaexpansindecimalinfinita.El conjuntodelosnmerosrealescontienetodoslosnmerosenteros,positivosy negativos; todas las fracciones; y todos los nmeros irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.Ejemplos de nmeros irracionales son:2=1.4142135623730951 =3.141592653589793e =2.7182818284590452Es muy til representar a los nmeros reales como puntos en la recta real, como mostrado aqu.Observe que los nmeros msmayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b est a la derecha del punto que corresponde a a.Ejemplos Resueltos 1.Si( ) OP 2x 1 x 11 + = y 1 xREC 2y3 y| | = |\ , hallar el valor de( ) ( ) OP x REC y +Solucin: - Efectuamos las operaciones ( ) OP 2x 1 x 112x 1 x 1110 3x10x3 + = = == y 1 xREC 2y3 y6y 1 10REC3 3y3 106y 1 3y10y51 | | = | \ | |= |\ == G u a P r c t i c a d e A l g e b r a8 - Reemplazando( ) ( )( ) ( )10 51 5310 10OP x REC y OP REC3 513 10 30+ = + = + =2.Si( ) OP x 2 = y( ) ( )REC OP y x = , hallar el valor de( ) ( ) ( ) ( )OP REC y REC OP x +Solucin: - Efectuamos la operacin( ) OP x 21 x 2 = =- as como tambin( ) ( ) ( )1REC OP y x REC y 2 y2= = =- reemplazando tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1OP REC y REC OP x OP REC REC OP 2 22 2 2+ = + = + =3.Si 5 x 13 2x 3 | | |\ es el elemento neutro aditivo en y { }32 , hallar el valor dexSolucin: - Efectuamos 5 x 10 x 13 2x 3 | | = = |\ - luego el valor de x es 1. 4.Reducir 24256

Solucin: - Efectuamos de arriba hacia abajo 2 1 12 1 4 4 1256 256 256 44 = = = = 5.Si 223x y 21x2+ son inversos multiplicativos, hallar el valor de x Solucin: - como son inversos multiplicativos, entonces el producto es 1: 212x1223x+ = - resolviendo 2x x 2 x 21 1 x 23x 2 2x 3x 2+ + = = = G u a P r c t i c a d e A l g e b r a9 Tema: Reales 1.Si 1 4 133 x 5 11| | |\ ,{} x 5 eselelementoneutrodelaadicin.Hallarelvalor de x Rpta: 49 2.Si x 1x315++ esunelementode ,cuyocorrespondienteopuestoaditivoes x18| | |\ , calcular x Rpta: -1/4 3.Si 3a11112++ y 3a 111123 ++son inversos aditivos, calcular el valor de a Rpta: 4641 1126 64.Si 41x 11| |+ |+\ y 31x 8| | |+\ sonelementosinversosmultiplicativos.Hallarel valor de x Rpta: 13 5.Si( ) OP 6x 7 +y 19 1REC3 + | | |\ son elementos inversos multiplicativos, hallar x. Rpta: 13/6 6.Hallarelvalordexparaelcualloselementosaybsernopuestos, siendo x x7 82 2a 2 2 = y x2b 2 =Rpta: 7 7.Simplificarentrminosdeb:( ) ( ) ( ) ( )3 4 229 2 3 4k a ab ab a b b= sabiendoque 2a y 7bson recprocos. Rpta: b-8 8.Calcular M y N si son elementos recprocos y M 1 2x 713 3 = , ( )N 1 4x 715 5 x 2+ =+ Rpta: M = 13 y N = 1/13 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a10 9.Si x4| | |\ y( ) 3z son elementos de R opuestos, simplificar en trminos de: ( ) ( ) ( ) E 2 x z 3 4x z 5 2x 2z = + + + + Rpta: 293x/12 10. Simplificar ( )4 12K OP 2x 5 REC OP REC7x 3 x 1| | | | | |= + + + ||| \ \ \ Rpta: (-x-17)/3 11. Hallar el elemento reciproco del opuesto de la expresin siguiente: 1 1 1 1E 1 REC ......2 6 18 54| |= + + + + + |\ Rpta: -1/2 12. Resolver ( ) ( )13OP x 1 x 5REC x16 64 +=Rpta: -1/12 13. Resolver el sistema de ecuaciones:( ) ( ) ( )( ) ( )OP 2x 5 REC y OP 512OP x 2 3REC 4y REC7 + + =| | + + =|\ Rpta: x = 22/7y = 7/44 14. Si 11xx 2 x26 5 913| | || | | | |\ | | | ||\ \ es el elemento neutro de la adicin, hallar el valor de x Rpta: -21/5 15. Si x 9 72 8 | | |\ esunelementodeR,cuyoreciprocoes 1 14 2x x 5 x 18 5 4 4 ( | | + |(\ . Calcular el valor de x Rpta: 4,7 o -3,4 16. SiloselementosdeR: 1 2x23 | |+ |\ y 1 3x2x 77 | |+ |\ soninversosaditivos, obtener un valor para x. Rpta: 5 17. Hallarelvalordexquepermitaqueloselementos 3x 52x6 | |+ |\ y 13x 2 4 x23 2 | | + |\ sean inversos multiplicativos. Rpta: 1/6 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a11 18. Si los elementos de R: 7a11112++ y 7a 111123++son opuestos, hallar a Rpta: 1/13 19. Hallar el valor de x si los elementos x 2 2 xREC REC6 x 2 ( + | | | |+ ||(+\ \ y 224 xREC OPx ( | | (|\ son inversos aditivos. Rpta: 8 20. Si ( )( )OP x 5aREC 3+=y ( )( )OP 3x 2bREC 6+= .Hallarelvalordex si: elopuestodeamas el reciproco de 1/b es igual a 5. Rpta: -8/15 1.2Intervalos Ciertos subconjuntos del conjunto de los nmeros reales, llamados intervalos, se encuentranfrecuentemente,porloquetenemosunanotacincompactapara representarlos. Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos.LosIntervalosabiertosnotienenpuntosextremos,ycadaintervalosemiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo. Tipos de Intervalos G u a P r c t i c a d e A l g e b r a12 1.3Operaciones con IntervalosConlos intervalos pueden efectuarse las operaciones siguientes: i) ii) iii) iv) EjemplosEfectuar las operaciones, , AUB A B A B y B A Ipara cada par de intervalos dados. 1)[ [ ] ]2, y 3, 4 A B = + =Solucin Respuestas ] [[ ]] [] [3,2, 44,3, 2AUBA BA BB A= += = + =I Tema: Operaciones con intervalos 1.- Si: [ ] 31 , 4 xhallar el intervalo que contiene a11 + x RPT 2.- Si: 7 , 3 xhallar el intervalo que contiene a1 3 + xRPT G u a P r c t i c a d e A l g e b r a13 3.-Hallarelintervalodelosvaloresrealesquepermiteelopuestodela expresin: 153+ x sea menor o igual que 14 RPT , 25 4.- Si: ( ) 11 30 3 2 11 < + + < x OP, obtener a y b sabiendo que: ( ) b x OP a < + + < 8 7 4 RPT 33 77 5.- Si 9 , 741+ xHallar el intervalo que contiene a: 5 6 + x RPT 6 5 167,215 6.- Si [ ) 8 , 535 2+ xHallar el intervalo al cual pertenece: 21++xx RPT , 7.- Si ((

21,4343 2 xHallar el valor de a y b si: [ ] b ax,52 11+ RPT , 8.- Si [ ] 0 , 752 7 xHallar el valor de m y n si: [ ] n m x , 81 4 + RPT 25, 95 9.- Si 9 , 7 xdemostrar que: ] [ 206 , 50 1 142 + x x RPT 14 1 50,206 10.- Si [ ) ( ] 6 , 2 8 , 2 = = B A obtener ( )` B A RPT , 6 8, 11.- Si ( ] 4 , 0 5 , 3 = = B A obtener( ) ` B B A RPT 0,4 12.- Si 9 , 2 6 , 6 = = F E obtener( ) ( ) F E F E RPT 6,6 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a14 13.- Si a y b pertenecen a R, hallar la condicin necesariay suficiente para que se verifique: b ab ab ab a++>3 3 3 3 RPTLacondicinnecesariay suficienteesdetenerayblos mismos signos 14.-Sean 0 , 0 , 0 c b aelementos de R demostrar que:bc ac ab c b a + + + +2 2 2 RPTbc ac ab c b a + + + +2 2 2 15.- Demostrar que si [ ]71133 21 4 , 2 ++ xxx RPT 71133 21 ++ xx 16.- Si: [ ] 55 , 21 xhallar el intervalo que contiene a 170 3 + x RPT 17,107 17.- Si 11 , 141+ xHallar el intervalo que contiene a: 39 13 x RPT 0,520 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a15 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a16 2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado Ecuaciones de Primer Grado Unaecuacinesunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas,quese denominanmiembrosdelaecuacin.Enellaaparecennmerosyletras (incgnitas) relacionados mediante operaciones matemticas. Ejemplo: 3 x 2=10 Es una ecuacin de primer grado que se verifica para x = 4 x2 x 6 = 0 Es una ecuacin que se verifica para x = 3 y x = - 2 CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES: Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caractersticas, siendo las principales: 1.- Segn el grado:Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. Ejemplo: 2x + 8 = 16 Es una ecuacin de primer grado x2 + 9x + 14 = 0 Es una ecuacin de segundo grado 2.-Segnsuscoeficientes: Pueden ser numricos o literales: Ejemplo: 10x 6= 4x +19Es una ecuacin numrica ax+ b = cEs una ecuacin literal con coeficientes: a, b y c 3.-Segnsus incgnitas:Pueden ser de una, dos, tres o ms incgnitas. Ejemplo: 3x + 8= 4x 12 Es una ecuacin con una incgnita; x x + y = 10 Es una ecuacin con dos incgnitas; x e y x 2y +3z = 12Es una ecuacin con tres incgnitas x, y, z G u a P r c t i c a d e A l g e b r a17 4.-Segnsussoluciones:Pueden ser compatibles o incompatibles. Compatibles: Son aquellas que tienen por lo menos una solucin. Determinada: Tiene un numero finito de soluciones Indeterminada: T|iene un numero infinito de soluciones Incompatibles:Son aquellas que no tienen solucin. Ejemplo: Resolver:2x + 8 = x 7 Solucin x = 15 Luego la ecuacin es compatible y determinada porque tiene una solucin. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.Resolver: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 2 1 5 1 4 2 6 5 9 9 10 + + = 2.Hallar x:( )81 53241331 2 +=+ xxx x 3Resolver: b - a ,2 2 2 2si b a a x b b x a + + = +4.Hallar los valores de a y b, para que la ecuacina x + 3 = 5 x 2 b, sea compatible indeterminada. 5.Resolver la siguiente ecuacin:01 431 221 232=+=+ xxx x 6.Hallar x en : ( ) ( ) 1 a , 1 1 + + = + si a a x a x a7.Resolver:( )( )( ) a xaa x a xa aa xa+=+ 2 1 2 1 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a18 8.Indicar el conjunto solucin de:( )3633 299 322+++=+xxxxxx 9.Resolver: ( )( ) ( ) 9 13 2 3 32 = + x x x x10.Resolver:( ) ( )2 22b ab ab aaxb ab ab aaxb ax b a++=++++ 11.Hallar a, para que la ecuacin sea incompatible: a x a ax 3 8 5 2 + = +12.Hallar x en: 105 55 5= + + +x xx x Ecuaciones de Segundo Grado Una ecuacin de segundo grado es una ecuacin que puede reducirse a la forma general:02= + + c bx ax con 0 aEjemplos:0 5 2 32= + x x 5 , 2 , 3 = = = c b a ;0 4 32= x x4 , 3 , 1 = = = c b a Las soluciones de la ecuacin son los valores de x que al sustituirlos verifican la igualdad Ejemplo: en la ecuacin 0 6 52= + x x el valor4 = xno es solucin porque2 6 20 16 6 4 5 42= + = + el valor2 = xsi es solucin porque 0 6 10 4 6 2 5 22= + = + Ejercicios:1.Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los coeficientes a b y c a)0 5 3 22= + x x b)1 4 32 = x x c)0 3 12= + x xa) 24 3 2 x x = e)( ) 2 1 2 = x x f)) 1 2 ( 3 ) 2 ( + = x x x xG u a P r c t i c a d e A l g e b r a19 g)1 5 4 3 22+ = x x xh) ( ) 1 3 22+ = x xi)( )( ) 3 2 3 2 = x x (Soluciones: a) a b c = = = 2 3 5 , ,b) a b c = = = 3 4 1 , ,c) a b c = = = 3 1 1 , , d) a b c = = = 4 3 2 , ,e) a b c = = = 2 2 2 , ,f)a b c = = = 5 5 0 , ,g) a b c = = = 4 7 4 , ,h)a b c = = = 9 13 3 , ,i)a b c = = = 2 7 9 , , 2. Decir en cada ecuacin si los valores que se proponen son solucin o no de la ecuacin a)0 10 72= + x x ; 5 , 3 , 2 , 0 = = = = x x x x b)0 2 5 22= + x x ; 3 , 2 , 2 / 1 , 1 = = = = x x x xc)2 3 5 02x x = ; x x x x = = = = 1 1 2 2 , , ,(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no ) 3.Enlaecuacinx x c25 0 + = ,unasolucines3.Cuntovalec?(Sol:c = 6) 4.Enlaecuacinx bx215 0 + + = ,unasolucines5Cuntovaleb? (Sol:b = 8 ) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS Si en la ecuacinax bx c20 + + =alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuacin incompletay se pueden resolver directamente a)sib c = = 0 entonces la ecuacin quedaax20 =y la solucin esx = 0b)sib = 0 entonceslaecuacinquedaax c20 + = ;ejemplo3 12 02x = ; 3 122x = ;x21234 = = ;x = = 4 2c)sic = 0entonceslaecuacinquedax bx20 + = ;Ejemplo3 12 02x x =sesacafactorcomnx;( ) x x 3 12 0 = ;primerfactorcero 0 segundo factor cero3 12 0 x = ;3 12 x = ;x = =1234; 4Ejercicios: 5.Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas G u a P r c t i c a d e A l g e b r a20 a)x x20 = b)2 02x = c)x29 0 =d)4 9 02x = e)x x22 0 + =f)8 16 02x x + =g) 3 4 282 2x x = + h)x x29 0 =i)x21 0 =j)x26 10 = k) 1 4 82 = x l)x x211 0 + = m)( )( ) x x + + = 5 1 5 0n)( )( ) 3 2 3 2 77 x x + = (Sol: a) x x = = 0 1 ,b) x = 0c) x = 3 d) x = 3 2 /e)x x = = 0 2 ,f)x x = = 0 2 , g) x = 4h)x x = = 0 9 ,i) x = 1 j)x = 4k)x = 3 2 /l) x x = = 0 11 ,m)x x = = 0 4 ,n)x = 3RESOLUCIN DE LA ECUACIN COMPLETA Laecuacindesegundogradoax bx c20 + + =sedicequeestcompleta cuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la frmula: xb b aca= 242 Elvalordelradicandodeb ac24 permitesaberelnmerodesolucionessin necesidad de hallarlas.D b ac = 24se llama discriminante. En la discriminante:D b ac = 24si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -) si D es cero, tiene una solucin (solucin doble) si D es negativo, no tiene soluciones Ejemplo:x x23 2 0 + =en esta ecuacina b c = = = 1 3 2 , ,y aplicando la frmula ( ) ( )x = = ==3 3 4 1 22 13 9 823 122 22421 31= =+= x 12221 32= == x 6.Calculandoeldiscriminante,indicarelnmerodesolucionesdelas siguientes ecuaciones: G u a P r c t i c a d e A l g e b r a21 a)x x27 3 0 + = b)x x216 64 0 + = c)x x26 13 0 + =d)x x214 49 0 + = e)3 5 2 02x x + = f)2 45 02x x = g)x x22 0 + + = h)4 12 9 02x x + = i)x x28 25 0 + = j)x x + = 2 7 02k)x x + = 5 3 02l)8 3 02+ + = x x Sol: a)2 b)1c)0d)1e)2f)2g)0h)1i)0j)2k)2l)0 7.Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: a)x x28 15 0 + = b)2 9 1 02x x = c)4 12 9 02x x + =d) x x28 25 0 + =e)4 12 9 02x x + + = f)3 2 1 02x x =g)x x27 3 0 + + = h)3 6 12 02x x = i)3 10 3 02x x + =j)2 5 2 02x x + =k) 6 5 1 02x x + = l) 6 7 2 02x x + = Sol: a) 3,5b)9 904c)32 d)no tiene e) 32 f) 113,g) 7 372 h)6 1806

i) 313,j) 212,k)1213,l)2312,8.Resuelve las siguientes ecuaciones: a)11 21 22x x + =b)( )( ) 3 1 2 3 6 x x x + = c) 21 100 212x x x = + d)2 1 12 2x x x = e)( )x = 2 32 f)( ) ( )5 3 11 4 1 12x x + =g)( )( ) 4 1 2 2 12 x x + =h)xx x221323 = i) xx23 1223+=Sol: a) 732, b) 0 c)11 d) 123, e)4 122f) 3125, g) 174, h) 2312,i) no tiene G u a P r c t i c a d e A l g e b r a22 EJERCICIOS PROPUESTOS I.Hallar el valor de la incgnita en cada una de las ecuaciones: 1) ( ) ( )( )2227 423= n n n n 2) 9216316 21 a aa + = +3)16 2143+ =+ c c c 4) 3133 152733 + = +w w w 5)( )141 6112171 3++ =++ u uu6) 10751621=+ + x x 7) 97 2314 26557 4 + =++ n n n n 8) ( ) ( )101 7101 351 2 +=+ z z z 9) 2355 8425 45725+ =+ x x x x II.Halla el valor de la incgnita en cada una de las ecuaciones: 1)22953225x x x= +G u a P r c t i c a d e A l g e b r a23 2)1033 u 17 u 1010 u 8 u 322=+ + + 3)( ) ( ) 9 219 41 1=+x x x 4)( )40 2 21 2415322 =+++n nnnnnn 5)( )( ) 2 4122 4 + ++=+ x x x xx x 6)21 52312 12+++=++++d d ddd d d 7)( )( ) 2 21 52321 +=+ a aaa a 8)24132211++=+++xxxxxxxx 9)yyy y y 67 3131493827 = + 10) ( )3 t 361 t21 t12=++ 11)( )6 52 72531 22+ ++=+++w ww ww www 12)12 677 35 24 35 83 27 622 ++ =++x xx xxxxx III. Resolver los siguientes problemas: 1. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a24 2. La edad de A es triple que la de B y hace 5 aos era el cudruplo de la de B. Hallar las edades actuales. 3. Uncomercianteadquiere 50trajesy35 paresdezapatospar16000soles. Cada traje cost el doble de lo que cost cada par de zapatos ms 50 soles. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos. 4. 6personasibanacomprarunacasacontribuyendoporpartesiguales periodosdeellasdesistierondelnegocioyentoncescadaunadelas restantes tuvo que poner 2000 soles ms. Cul era el valor de la casa? 5. La suma de dos nmeros es 108 y el doble del mayor excede al triple del menor en 156. Hallar los nmeros. 6. Ellargodeunbuque,quees461pies,excedeen11piesa9vecesel ancho, Hallar el ancho. 7. Tena $85. Gast cierta suma y lo que me queda es el cudruplo de lo que gast. Cunto gast? 8. Hace 12 aos la edad de A era el doble de la de B y dentro de 12 aos, la edaddeAser68aosmenosqueeltriplodeladeB.Hallarlasedades actuales. 9. Tengo $1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas, cuntas son de 10 centavos y cuntas de 5 centavos? 10.Si a un nmero se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, el resultado eselmismoquesialnmero se resta 27yladiferencia semultiplicapor 24. Hallar el nmero. 11.Unhacendadocompr35caballos.Sihubieracomprado5caballosms par el mismo precio, cada caballo le habra costado $10 menos. Cunto le cost cada caballo? 12. El exceso del triplo de un nmero sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el nmero. Hallar el nmero. 13.Hallartresnmerosenterosconsecutivos,talesqueelduplodelmenor ms el triplo del mediano ms el cudruplo del mayor equivalga a 740. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a25 14.Unhombreharecorrido150kilmetros.Enautorecorriunadistancia tripleque acaballoyapie,20kilmetrosmenosqueacaballo.Cuntos kilmetros recorri de cada modo? 15.Un hombre deja una herencia de 16500 soles para repartir entre 3 hijos y 2 hijas, y manda que cada hija reciba 2000 ms que cada hijo. Hallar la parte de cada hijo y de cada hija. 16.La diferencia de los cuadrados de dos nmeros enteros consecutivos es 31. Hallar los nmeros. 17.La edad de A es el triple de la de B, y la de B 5 veces la de C. B tiene 12 aos ms que C. Qu edad tiene cada uno? 18. Dentro de 5 aos la edad de A ser el triple de la de B, y 15 aos despus la edad de A ser el duplo de la de B. Hallar las edades actuales. 19. El martes gan el doble de lo que gan el lunes; elmircoles el doble de lo queganelmartes;eljueveseldobledeloqueganelmircoles;el viernes $30 menos que el jueves y el sbado $10 ms que el viernes. Si en los 6 das he ganado $911, cunto gan cada da? 20.Hallardosnmeroscuyadiferenciaes18ycuyasumaeseltriplodesu diferencia. 21. Entre A y B tienen $36. Si A perdiera $16, lo que tiene B seria el triple de lo que le quedara a A. Cunto tiene cada uno? 22. A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de C. Si A pierde $1 y Bpierde$3,ladiferencia de loque lesquedaaA y aB es eldobledelo que tendra C si ganara $20. Cunto tiene cada uno? 23.5personashancompradounatiendacontribuyendoporpartesiguales.Si hubiera habido 2 socios mis, cada uno hubiera pagado 800 dlares menos. Cunto cost la tienda? 24.Unhombrecomprdoscaballos,pagandoporambos$120.Sielcaballo peorhubieracostado$15ms,elmejorhabracostadodoblequel. Cunto cost cada caballo? 25. A y B empiezan a jugar con 80 dlares cada uno. Cunto ha perdido A si B tiene ahora el triplo de lo que tiene A? G u a P r c t i c a d e A l g e b r a26 26. AyBempiezana jugarteniendoAdobledineroqueB.Apierde$400y entoncesBtieneeldobledeloquetieneA.Concuntoempezajugar cada uno? 27.Compr cudruple nmero de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5caballosmsy5vacasmstendratriplenmerodecaballosquede vacas. Cuntos caballos y cuntas vacas compr? 28. En cada da, de lunes a jueves, gan $6 ms que lo que gan el da anterior. Siel juevesgan elcudruplo de loquegan ellunes,cuntogancada da? 29. Tena cierta suma de dinero. Ahorr una suma igual a lo que tena y gast 50soles;luegoahorrunasumaigualaldobledeloquemequedabay gast 390 soles. Si ahora no tengo nada, Cunto tenia al principio? 30.Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y el anchoseaumentaen4m,lasuperficiedelasalanovara.Hallarlas dimensiones de la sala. 31.Hace 5 aos la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 aos ser el doble. Qu edades tienen ahora el padre y el hijo? 32. Dentro de 4 aos la edad de A ser el triple de la de B, y hace 2 aos era el quntuplo. Hallar las edades actuales. 2.2 Inecuacionesy Valor Absoluto Desigualdad Se llama desigualdad a toda relacin entre expresiones numricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, > > + > + Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no vara, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad: b a b a > < , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad. c b c a 0 c , b a > > > , si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad. Simplificacin: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no vara: b acc bcc a0 c y , c b c a //// > / // / b a7b 77a 7b 7 a 7 b a3 2 3 2 que ya , b a b a, si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad. 2.2.1 Inecuaciones Sondesigualdadesenlasqueseencuentrapresenteenunocualquieradelos miembros, o en ambos, una o ms variables, o incgnitas. Una inecuacin se verifica solo para algunos valores de las variables. Losvaloresnumricosparaloscualesseverificaladesigualdadsonlas solucionesdelamisma,resolverunainecuacinconsisteenhallarlosvalores numricos para los cuales la desigualdad es verdadera. Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones. Parahallarinecuacionesequivalentesdebemosaplicarlosprincipiosde equivalencia: G u a P r c t i c a d e A l g e b r a28 Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuacin una misma cantidad o expresin algebraica, la inecuacin que resulta es equivalente a la dada Simultiplicamosodividimoslosdosmiembrosdeunainecuacinporuna mismacantidadpositivaynonula,lainecuacinqueresultaesequivalenteala dada Simultiplicamosodividimoslosdosmiembrosdeunainecuacinporuna mismacantidadnegativa,lainecuacinqueresultaesdesentidocontrarioala dada Ejemplos: x 2 3 5 x 5 x 3 5 x 2 x 5 x 3 2 x + + , es una inecuacin equivalente a la primera. ||

\| >||

\|+ > +34x 2 6 1 x23634x 2 1 x23, operando nos queda, 8 x 12 6 x 9 > + , que es equivalente a la dada, y por ltimo 6 8 x 9 x 12 8 x 12 6 x 9 + < + < , y de ah pasaramos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solucin, en este caso 314x 14 x 3 < < , que es la solucin, es decir, todos los valores de la variable menores que catorce tercios. Inecuaciones de primer grado: Sonaquellasenlasquelasvariablesqueintervienenestnelevadasaun exponente igual a la unidad. Inecuacionesdeprimergradoconunaincgnita,tienenporexpresingeneral ; 0 < + b axy todas sus equivalentes:0 b ax ; 0 b ax ; 0 b ax + > + + . Ejemplos: 1.- ((

\| 99109,991090 109 99 x x x2.-||

\| > > ,1715x1715x 0 15 x 17 , es decir, se cumple para todo valor de la variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a29 Mtodo analtico: Pararesolverunainecuacindeprimergrado,loprimeroquehayquehaceres llegar a obtener la expresin general de una inecuacin de 1ergrado del apartado anterioraplicandolosprincipiosdeequivalenciaylosfundamentosdelclculo en general: Quitarparntesissiloshubiera.Paraelloaplicarlapropiedaddistributivadel producto respecto a la suma Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a comn denominador. Reducir trminos semejantes en ambos miembros Pasar a un miembro los trminos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir trminos Despejarlavariable.(Volveraaplicarlosprincipiosdeequivalenciademodo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad. Si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, as: 351 x 424 315 36 x 378 x 46 315 x 378 x 46 36 yaque hemostenidoquemultiplicarpor1ambosmiembrosporserstosnegativos, luego proseguiramos de modo normal. Ejemplos: 1.- ( ) 3 , x 3 x 9 x 3 7 2 x x 4 2 x 7 x 4 < < + < + < , la solucin son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3. 2.- 6 8 x 12 x 968 x 1266 x 934x 2 1 x23 > >+ > + ,comonos queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por 1, as ||

\| < < > 314, x314x 14 x 3 14 x 3 ,lasolucinson todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios. Modo de dar las soluciones: Por intervalos, como en los ejemplos anteriores. Grficamente, por su representacin en la recta real. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a30 -3-14/3 En los casos anteriores sera: Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incgnita Son aquellos en los que la nica variable que interviene en todas las ecuaciones est elevada a un exponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresin general: + , los intervalos de solucin son ( )1, para la primera y ( ], 9 para la segunda. Luego la solucin comn a ambas est en la interseccin de ambos, es decir, en ( ]1, 9 , grficamente tal vez se vea mejor. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a31 2.- Sea x el largo de un rectngulo de 3 cm. de ancho, el lado de un tringulo equiltero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el permetro de rectngulo sea superior al del tringulo e inferior al del cuadrado. Elplanteamientonosllevaa3x 2x 6 4x < + < .Estaesunainecuacinde primer grado que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema 3x 2x 6 x 62x 6 4x x 3< + < + < > , la primera tiene por solucin el intervalo ( ), 6 , y la segunda ( )3, , luego la solucin comn es la interseccin de ambos, es decir ( )3, 6 . Ver la solucin grfica. a.Ecuaciones con valor absoluto RESOLUCIN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Se entiende el valor absoluto de un nmero real x, y se representa x(, a: x si x es positivo x( = 0si x es cero -x si x es negativo As, por ejemplo: 7( = 7, 5( = 5, - 3(= - 3 ( ya que - 3 es positivo ), - 6( =- ( - 6 ) ( ya que 6 es negativo ). De la definicin de valor absoluto se desprende que para un valor absoluto p ( p > 0 ) se tiene: G u a P r c t i c a d e A l g e b r a32 ExpresinEquivale aGrficamente x( = p x= p - p 0 p x( p obienX < -p - p0p Como muestra razonaremos cual es el significado de la expresin x( < p. Para ello distinguimos dos casos: cuando x es positivo y cuando x es negativo. a) Si x es positivo, x( < p equivale a x < p b) Si x es negativo, x( < p equivale a- x < p, o lo que eslo mismo, x > - p. En definitiva se tiene - p < x < p. Desde un punto de vista geomtrico, x p indica que la distancia de x al origen es inferior a p; o sea, pertenece al intervalo ( -p, p ). En resumen : d( 0,x ) < px( >,parala primera la solucin es el intervalo ( )3,2y para la segunda ( )1,2 , la solucin de la inecuacin inicial ser la interseccin de ambos, es decir, el intervalo 1 3,2 2| | |\ . 2.- Resolver: 5 2 1 2 5 2 1 2 52 1 2 5 2 1 2 5 02 1 2 5 0 2 1 2 5 0 3 11 2 0 . . 2,113 2 1 2 5 0 7 9 2 0 . . 97, 2 RPT: G u a P r c t i c a d e A l g e b r a36 Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1 Son inecuaciones en las que la variable est elevada a un exponente mayor que la unidad. Expresingeneral:sontodasdeltipo 02< + + c bx ax ,obiencualquierotro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra. Mtododeresolucin:descomponerfactorialmenteelpolinomio,aplicando Ruffini, completando cuadrados, etc.el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte. Ejemplos: 1.-22x 3 5x < , pasamos todos los trminos a un nico miembro, el que ms te interese, en este caso lo haremos al primero, as: 22x 5x 3 0 + < , ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en este caso ( )( )1221x5 25 2412x 5x 3 0 x x x 3224x 3= + + = = = += Ahora tenemosla inecuacin 12 3 0, Cundo el producto de dos nmeros es negativo?. Digo dos ya que el signo del factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a influir en el resultado final. La respuesta es cuando ambos tienen signos contrarios. Cmo averi-guar el signo de un binomio?. Una expresin de primer grado en x no es ms que la ecuacin de una recta, enestecasosetratadedosrectas 11r y x2 = ,y 2r y x 3 = + . Sabemos, o deberamos saber que si la pendiente de la recta es positiva sta toma valores positivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a su izquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, Porqu?.Porqueelcoeficientedelaxesprecisamentelapendientedela recta y ambos son positivos. Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que y = 0, en nuestro caso son 12 y3 , luego ( )1x2tomavalorespositivosaladerechade 12 y ( )x 3 +ala derecha de 3 , as: G u a P r c t i c a d e A l g e b r a37 Luego la solucin ser el intervalo indicado, donde el signo del producto es negativo. Como la desigualdad es estricta, el intervalo ser abiertox( )13,2 . 2.-3 2 2 3 2x 2x x 2x x x 2x 0 + ,factorizando ( ) ( ) ( )3 2 2x x 2x x x x 2 x x 1 x 2 = = + , y pasamos a la inecuacin ( ) ( )x x 1 x 2 0 + . En este caso tenemos tres factores, y por lo tanto, tres rectas a estudio. Haciendo lo mismo de antes: 3 12 1x2+ x 3 + ++ Producto++ No es solucinSolucinNo es solucin G u a P r c t i c a d e A l g e b r a38 Ahora la solucin, adems de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta, debemos incluir los extremos de los mismos, as, la solucin ser x ( ] [ ], 1 0, 2 . Inecuaciones fraccionarias: Son inecuaciones en las que tenemos una fraccin algebraica formando parte de la misma. Expresin general: son del tipo: 0, o todas sus equivalentes 0, o 0, etc. y de grados mayores que uno. Mtodo de resolucin: Descomponer factorialmente los polinomios numerador y denominador, aplican-doRuffini,completandocuadrados,etc.elmtodoqueconsideresms apropiadooquemejorteresulte.Unavezdescompuestosnuncasimplificarya quepodramosperdersoluciones.Posteriormenteseprocedecomoconlas inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos de binomios. 1 02x ++ x 1 + +++ x 2 + Producto++ SolucinNo es solucinSolucinNo es solucin G u a P r c t i c a d e A l g e b r a39 Ejemplos: 1.- ( )x 20x x 1+> , en este caso ya tenemos el numerador y el denominador descompuesto en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, as: Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los lmites o extremos de los intervalos en la misma, as pues la solucin ser ( ) ( )2, 0 1, . 2.- x 1 x 11 1 0x 1 x 1+ + + x 3 2 x 1c)( ) > 6 3 x 3 2d)( ) ( ) + < x 3 2 x 2 3 3e)( ) ( ) ( ) + > + + 2 x 2 1 x 3 3 x 2f) +x 34x28 x 453 x 3 1 1 x 1 + ++ x 1 + ++ 1 x ++ Producto++ SolucinSolucinNo es solucin G u a P r c t i c a d e A l g e b r a41 g)( ) + + 3x 8x 3 2h) + +43x 5 1x 321 x i) +21 x3 x 2 j)( )( ) + + +3x 1 42 x 31533141 x 3 k) +32125x 3x2133x3 l)( ) ( ) |||

\|||

\| +3 x 2 x232x23 xx42 x3 2.-Resolverlassiguientesinecuacionesdegradomayorqueunoo fraccionarias: a) < + + 0 8 x 3 x 52 b) < + 0 102 x 101 x 252 c)( ) > + 2x 2 5 x xd) +04 x5 x 2 e) 02 x 36 x 5 f)( ) ( ) + > 11 x x 4 x 81g)( ) > 9 1 x2 G u a P r c t i c a d e A l g e b r a42 h) ( ) + + 3 x 2 1 x 22 2 i)( )( ) + 0 1 x 9 x2 j)( )( ) 0 9 x x 12 2 k) ( )( ) ( )( )( ) + + 01 x 3 xx 1 2 x 4 x l) +43 x4 x 2

m) |||

\|+|||

\|+|||

\|++02x31 x2x31 x222 x 32 n) + 0 x 6 x 5 x2 3 o)( ) ( ) > + 0 3 x 4 x 1 x2 p)( )( ) + 0 1 x 1 x2 2 q) < + 0 4 x 4 x x2 3 r) +03 x1 x2 s)( ) ( ) ( ) > 0 2 x 1 x 1 x2 3 t) 01 x9 x2 u) ( ) ( )( )( ) ( ) + + 01 x x 5 2 9 x8 x 2 x 1 x 322 v) ( ) ||

\| +0x 452x 3 x w) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + 01 x 3 xx 1 2 x 4 x G u a P r c t i c a d e A l g e b r a43 x) + + 0x x 62 x 3 x22 y) ( ) ( )( )( ) + + 05 x 4 x3 x 1 x x2 z) ( ) ( )( ) ( ) + + 01 x x 2x 3 x 3 x 3.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado a) ( x - 2 )2> (x + 2) ( x - 2) + 8 R.] - , 0 [ b) ( x - 1 )2 ( x - 1) 2R. ] - 5 , 7 [ d)(x + 5)2 ( x + 4 ) 2+ ( x - 3 )2 R.IR - ] 0 , 8 [e)x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)R.] - 2 , 6 [ f)x2 - 3x> 3x - 9R.IR - 3` g)4 ( x - 1) > x2 + 9R. G u a P r c t i c a d e A l g e b r a44 h)2x2 + 25 x ( x + 10 )R.5` i) 1 - 2x (x + 5)2 - 2(x+ 1) R.IR j) 3 > x ( 2x + 1)R.] -3/2 , 1 [ k)x ( x + 1) 15(1 - x2 ) R.IR - ] -1 , 15/16 [ l)( x - 2 ) 2 >0 R.IR - 2` m)( x - 2)2 0 R. IR n)( x - 2)2 xx R.IR - [ 0 , 1 ] 2) 036+xx R. ] - , -5 [ 5) 251>+xx R.] -11 , -5 [ 6) 031 x R.] - , 3 [ 7) 011+xx R.IR - [ -1 , 1 [ G u a P r c t i c a d e A l g e b r a45 8) 21>x R.] - 1/2 , 0 [ 9) 1 3 + xxx x R.] - , -1 [ [ 0. 5[ 10) xxx>++322 R.IR- [ - 2/3 , 3 ] 11) 132+ xxx R.IR - ]-3/2 , 3 ] 12)0642+xx R.] - 6, -2 ] [ 2 , + [13) 0) 3 )( 6 )( 1 () 7 )( 1 (>+ +x x xx x R.] -3, -1 [ ] 1 , 6 [ ] 7 , + [ 14) 142x R.IR - ] -2 , 2 [15) 0512((

xx R.] - , -3 [ ] 0 , 1/5 [ 21)012< x x R.] - , - 1[ ] 0 , 1 [ 22) xx841 20 > +R.] -12 , -7 [ ] 0 , + [ 23)1025< +xxR.] - , 0 [ 24)692 + xxxR.] 0 , + [ -3` 25)2121+ > +xxR.] -1 /2 , 0 [ ] 2 , + [ 6.- Resuelva las siguientes inecuaciones: a) 4x - 1 = 5 R.{-1 , 3/2 } b)232 = x R.{ 0 , 12 } c)151=+xx R.{ 2 } d)213 2=xx R.{ 5/4 } e)4 143= x R. { -4 , 20/3 } f)334=xx R.{ -1/2 , 2/5 } G u a P r c t i c a d e A l g e b r a47 g)0 4 1 3 = + xR.{ } 7.- Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: a) 2x - 1 > 3 R.IR - [ -1 , 2 ] b) 223 x R.[ 2 , 10 ] c) 5215 x

R.IR - ] -45/2, 55/2 [ d) 131 < x R.] 0 , 6 [ e)x - 3 > -1R.] - , + [ f)3 - 2x < 0R. g)131 2+xx R.[ - 2/3 , 4 ] h) 3 - 2x < x + 4 R.] - 1/3, 7 [ i)221>+xx R.] 1 , 2 [ ] 2 , 5 [ j)25 3+xx R.] - , - 5 ] [-1 , 0 [ ] 0 , + [ k)371 3+xx R.] - 1 , -1/2 [ ] -1/2 , -1/4 [ m)4 5 2 + + x xR.IR - ] -3 , -1 [ n)2115 3xx R.] - , 1 [ ] 1 , 11/7 ] [ 9/5 , + [ o) 31533,representauna circunferencia de radio 1, en qu cuadrante se encuentra su centro? 7.Determinelaecuacinde unadelasrectastangentesalacircunferenciade ecuacin: que son perpendiculares a la recta L1 : x - 2y + 9 = 0 8.Determinelasecuacionesdelarectastangentesalacircunferenciade ecuacin:0 4y 2x2y2x : C = + + , que son perpendiculares a la recta L1 : x-2y+9= 0 9.Determine la ecuacin de la circunferencia de menor radio y que es tangente a la recta 3x + 4y =1,yalos ejescoordenados 10.Determinelaecuacindelacircunferenciatangentea0 4 4 3 = y x ,en (0,1) y que pasa por el punto (2,9) G u a P r c t i c a d e A l g e b r a88 4.3.2La Parbola Definicin: LaparbolaesellugargeomtricodeunpuntoPquesemueveenunmismo planodemodoquesudistanciaunarectafija dl denominadarectadirectrizes igual a la distancia a unpunto fijo denominado foco F del mismo plano pero que no pertenece a la recta directriz. De la definicin: Eje focal P F Foco p p Parbola Recta directriz:V L R G u a P r c t i c a d e A l g e b r a89 Propiedades: 1.La distancia del vrtice a la recta directriz es igual a la distancia del vrticeal foco: 2.Sedenominaladorectoalsegmentoderectaperpendicularalarectadirectriz y que pasa por el foco: ECUACIN DE LA PARBOLA Empleandounsistemadecoordenadaspodemosdeterminarlaecuacindela parbola.Veremos el caso en el que el eje focal es paralelo a uno de los ejes. Primer caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje y Eje focal F(h,k+p)p p Parbola V y xO(h,k) P(x,y) : y = k-p G u a P r c t i c a d e A l g e b r a90 PF l P dd= ) , (Por definicin de la parbola:2 2)) ( ( ) ( ) ( p k y h x p k y + + = , de donde: Segundo caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje Por definicin de la parbola: 2 2) ( )) ( ( ) ( k y p h x p h x + + = , de donde:

Eje focal F(h+p,k)pp Parbola y xO V(h,k) P(x,y) : x = h-p . Ecuacin estndar de la parbola G u a P r c t i c a d e A l g e b r a91 Ecuacin estndar de la parbola Casos especiales: Sielvrticedelaparbolaeselorigendecoordenadasyelejefocalcoincide con el eje y, entonces: NOTA 1: Si p