Algoritmia II 02

Mgter. Juan Pablo Apaza Condori 1

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARIA P. P. INGENIERÍA SISTEMAS

LABORATORIO DE ALGORITMIA Y ESTRUCTURA DE DATOS I

ÁRBOLES ROJINEGROS (RED BLACK TREE)

I OBJETIVOS

Explicar el TAD Árbol Rojo Negro Implementar el TAD Árbol Rojo Negro. Utilizar el TAD Árbol Rojo Negro para la resolución de problemas.

II TEMAS

TAD Árbol Rojo Negro Inserción, eliminación en un Árbol Rojo Negro

III MARCO TEÓRICO ¿PARA QUÉ SIRVEN?

Son una clase de árboles binarios de búsqueda �equilibrados� (altura máxima logarítmica en el número de nodos) para garantizar coste O(log n) de las operaciones básicas del TAD diccionario.

Últimamente, por alguna razón que veremos, han estado más �de moda� que los árboles AVL.

ÁRBOL ROJO NEGRO: DEFINICIÓN

Árbol binario de búsqueda con un bit adicional en cada nodo, su color, que puede ser rojo o negro.

Ciertas condiciones sobre los colores de los nodos garantizan que la profundidad de ninguna hoja es más del doble que la de ninguna otra (el árbol está �algo equilibrado�).

Cada nodo es un registro con: color (rojo o negro), clave (la clave de búsqueda), y tres punteros a los hijos (i, d) y al padre (p).

Si los punteros son NIL, imaginaremos que son punteros a nodos �externos� (hojas).

Sesión

2

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ÁRBOL ROJO NEGRO: CONDICIONES

Condiciones rojinegras: RN1 - Cada nodo es rojo o negro. RN2 - Toda hoja (NIL) es negra. RN3 - Si un nodo es rojo, sus dos hijos son negros. RN4 - Todo camino desde un nodo a cualquier hoja descendente contiene el mismo número

de nodos negros.

ÁRBOL ROJO NEGRO: TERMINOLOGÍA

Terminología: Altura negra de un nodo x, an(x): es el número de nodos negros desde x (sin incluir

x) hasta cualquier hoja descendente de x. Altura negra de un árbol: la altura negra de su raíz.

ÁRBOL ROJO NEGRO: EJEMPLO


ÁRBOL ROJO NEGRO: LEMA

Lema Todo árbol rojinegro con n nodos internos tiene una altura menor o igual que 2 log(n+1).

Consecuencias del lema: Las operaciones de búsqueda pueden implementarse en tiempo O(log n) para árboles

rojinegros con n nodos. ¿Y la inserción y el borrado?

Veremos a continuación que también pueden realizarse en tiempo O(log n) sin que el árbol deje de ser rojinegro.

ÁRBOL ROJO NEGRO: INSERTAR

Al insertar nuevos elementos en árboles rojinegros, en tiempo O(log n), se debe garantizar que el árbol resultante continúe siendo rojinegro

En los árboles rojinegros las hojas son vacías y negras Los nuevos elementos se colocan como padres de hojas Cada nuevo elemento se coloca como una estructura del árbol binario Como las hojas deben ser negras, el nodo que contiene la llave a insertarse se colorea como

rojo No se aumenta la altura negra del árbol

La única propiedad que puede violarse es la referente al color del padre del nodo que se ha insertado

ÁRBOL ROJO NEGRO: PATRONES DE AJUSTE Los tres patrones de ajuste que pueden ser necesarios después de la inserción de un nodo V en un árbol rojo negro. Los ajustes sólo serán necesarios cuando P es rojo. PATRÓN 1 Cuando U es rojo solo se necesita una recoloración. Esto puede propagarse hacia arriba en el árbol, produciendo rotaciones y/o recoloraciones adicionales.

G

P

V

NIL NIL

G

P

V

NIL NIL

U U


PATRÓN 2 Si U es negro y V es un hijo izquierdo aplicamos una operación rotar-derecha (g) (en el centro) seguida de una recoloración (derecha). Esto detendrá la propagación.

PATRÓN 3 Si U es negro y V es un hijo derecho aplicamos una doble rotación consistente de una operación rotar-izquierda (p) seguida de rotar-derecha (g) (en el centro) y entonces una recolección (derecha). Esto también detendrá la propagación.

S V

P

NIL NIL

S

G

P

V

NIL U

NIL S

G

P

V

NIL U

NIL

U

G

U

G

P

V

NIL NIL

S

G

P

V

NIL NIL U

S

G

P

V

NIL NIL U

S


ÁRBOL ROJO NEGRO: EJEMPLO DE INSERCIÓN Generar el árbol Rojo Negro con la siguiente secuencia de datos: 10, 5, 1, 2, 15, 18, 3, 20, 40 1 Insertar 10, 5

2 Insertar 1

10

5

V

NIL

NIL

NIL

G

1

P

NIL

U

10 V

NIL NIL

1

NIL U

NIL

G

5 P

V 10

NIL NIL

10

5 V

NIL NIL

NIL

P


3 Insertar 2

4 Insertar 15

5 Insertar 18

10

V

NIL

1

NIL U

5

G

NIL NIL

2 P

NIL

15

NIL NIL

18

10 V

NIL

1

NIL U

5

G

NIL NIL

2

P

NIL

15

NIL NIL

18

10

V NIL

1

NIL

U

5 G

NIL NIL

2

P

NIL NIL

15

10

V NIL NIL

1

NIL

NIL

U

5 G

NIL

2

P 10

V NIL NIL

1

NIL

NIL

U

5 G

NIL

2

P


6 Insertar 3

U

P

10 V

NIL

1

NIL

5

G

NIL

2

NIL

15

NIL NIL

18

NIL

3

NIL

U P 10

V

NIL

1

NIL

5

G

NIL

2

NIL

15

NIL NIL

18

NIL

3

NIL


7 Insertar 20

U P 10

V NIL

1

NIL

5

G

NIL

2

NIL

15

NIL

18

NIL

3

NIL

NIL NIL

20

U P 10

V NIL

1

NIL

5

G

NIL

2

NIL

15

NIL

18

NIL

3

NIL

NIL NIL

20


8 Insertar 40

PROPUESTOS Elabore el árbol rojo negro de la siguiente secuencia de datos: 1. 10, 13, 15, 50, 30, 40, 60, 25, 28 2. 100, 190, 120, 205, 115, 148, 230, 262, 174

U P

10

V

NIL

1

NIL

5

G

NIL

2

NIL

15

NIL

18

NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40

5

U

P

10

V

NIL

1

NIL

G

NIL

2

NIL

15

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40


ÁRBOL ROJO NEGRO: ELIMINAR

Coincide con la operación de supresión en los árboles de búsqueda binaria Sin embargo, es necesario mantener la estructura de los árboles rojinegros Para evitar repeticiones se introduce vigía, nil(A), el cual representa las hojas del árbol rojinegro Si el nodo suprimido y fuese rojo, entonces, las alturas negras no cambian y, en tal caso,

termina Si el nodo suprimido y fuese negro, entonces, las ramas que pasen por y tienen un nodo negro

menos, lo que viola la condición de los árboles rojinegros. En este caso es necesario ajustar colores.

ÁRBOL ROJO NEGRO: PATRONES DE AJUSTE Los cuatro patrones de ajuste que pueden ser necesarios después de la eliminación de un nodo U de un árbol rojo negro. El nodo que sustituye a U está etiquetado con V. Los ajustes solo son necesarios si V es un nodo negro distinto de la raíz. PATRÓN 1 Si S es rojo, con una operación rotar izquierda (P) (en el centro), seguida de la recoloración mostrada en la derecha, este caso se transforma en uno de los otros tres casos.

NR

V+ S

P

NL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL

NR V+

S P

NL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL

NR V+

S P

NL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL


PATRÓN 2 Si S y sus dos hijos son negros, sólo se necesita una recoloración. Esto se puede propagar hacia arriba en el árbol.

PATRÓN 3 Si S es negro y su hijo derecho es rojo aplicamos una operación rotar izquierda (P) (en el centro), seguida de la recoloración mostrada a la derecha. Esto restablece la regla del negro en el árbol.

NR

V+ S

P

NL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL

NR V

S P

NL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL

NR V

S P

NL

NIL NIL NIL NIL

NIL NIL

NR

V+ S

P

NL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL

NR

V S

P

NL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL


PATRÓN 4 Si S y su hijo derecho son negros, y su hijo izquierdo es rojo, aplicamos una operación de Rotar derecha (S) (en el centro) seguida de la recoloración mostrada a la derecha. Este caso se transforma en el mostrado en el patrón 3.

NR

V+ S

P

NL

NIL NIL

NIL NIL

NIL NIL

NR

V+ S

P

NL

NIL

NIL

NIL NIL

NIL NIL

NR

V+ S

P

NL

NIL

NIL

NIL NIL

NIL NIL


ÁRBOL ROJO NEGRO: EJEMPLOS DE ELIMINACIÓN EJEMPLO 1 Eliminar el 3 del siguiente árbol rojo negro.

SOLUCIÓN

U

P

10

V

NIL

1

NIL

5

G

NIL

2

NIL

15

NIL

18

NIL

NIL

20

NIL NIL

40

10

NIL

1

NIL

5

NIL

2

NIL

15

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40


EJEMPLO 2 Eliminar el 2 del siguiente árbol rojo negro.

SOLUCIÓN

10

NIL

1

NIL

5

NIL

2

NIL

15

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40

10 NIL

NIL

5

1

NIL

15

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40


EJEMPLO 3 Eliminar el 15 del siguiente árbol rojo negro.

SOLUCIÓN 1 Aplicando el patrón 3

NR

S

P

V+

NIL

1 NIL

5

NL

NIL

2 10

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40

10

NIL

1

NIL

5

NIL

2

NIL

15

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40


2 Rotamos a la izquierda

Como V tiene ahora un antepasado negro adicional en este subárbol, la unidad extra de color negro ha sido absorbida

3 Aplicamos recoloración

V

NR

S

P

NIL

1

NIL

5

NL

NIL

2

10

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40

V

NR

S

P

NIL

1

NIL

5

NL

NIL

2

10

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40


EJEMPLO 4 Eliminar el 5 y luego 3 del siguiente árbol rojo negro.

SOLUCIÓN 1 Dado que el nodo V es rojo:

NR

S

P

V

NIL

1 NIL

3

NL NIL

2 10

NIL

18

NIL

NIL

20

NIL NIL

40

10

NIL

1

NIL

5

NIL

2

NIL

15

NIL

18 NIL

3

NIL

NIL

20

NIL NIL

40


2 Eliminando 3

Como V tiene ahora la unidad extra de color negro entonces es absorbida

NL NR

S

P

V

NIL

1

NIL

2

NIL

10

NIL

18

NIL

20

NIL NIL

40

NL NR

S

P

V+

NIL

1

NIL

2

NIL

10

NIL

18

NIL

20

NIL NIL

40


PROPUESTOS Dado el siguiente árbol rojo negro 1 Eliminar el nodo con valor 20 2 Eliminar el nodo con valor 4 3 Eliminar el nodo con valor 9

10 2

NIL

9

4

NIL

16

6 20

NIL

18

NIL NIL NIL

40

NIL NIL

1

NIL NIL

3

NIL NIL

5

NIL

7

NIL

8

NIL


ÁRBOL ROJO NEGRO:: PROGRAMA EN C++

red-black.h

typedef int A; class ArbolRN{ private: class NodoRN{ public: A clave; NodoRN *der, *izq, *pad; int color; NodoRN(A ele,NodoRN*padre=NULL){ clave=ele; izq=der=NULL; pad=padre; color=1;//rojo } void show(){ cout<<clave<<"\t"<<color<<"\t"; (pad)?cout<<pad->clave:cout<<"NULL";cout<<"\n"; } }; NodoRN *Raiz; public: ArbolRN(){Raiz=NULL;} void showTree(NodoRN*root=NULL,bool r=true); void insertar_rn(A ele); void busqueda(A ele); protected: void rotacion_der(NodoRN*); void rotacion_izq(NodoRN*); NodoRN* insertar_abb(NodoRN**,NodoRN*,A); void restaurar_color(NodoRN*); NodoRN* busqueda_rn(NodoRN**,A); }; ArbolRN::NodoRN* ArbolRN::insertar_abb(NodoRN **root,NodoRN *padre,A ele) { if(!(*root)){ *root=new NodoRN(ele,padre); return (*root); } else if (ele <(*root)->clave) insertar_abb(&((*root)->izq),(*root),ele); else if (ele>(*root)->clave) insertar_abb(&((*root)->der),(*root),ele); else{


cout<<"No puede haber claves repetidas"; } } void ArbolRN::rotacion_izq(NodoRN*nodo) { NodoRN*aux=NULL; aux=nodo->der; nodo->der=aux->izq; if(aux->izq!=NULL) aux->izq->pad=nodo; aux->pad=nodo->pad; if(nodo->pad==NULL) Raiz=aux; else { if(nodo==nodo->pad->izq) nodo->pad->izq=aux; else nodo->pad->der=aux; } aux->izq=nodo; nodo->pad=aux; } void ArbolRN::rotacion_der(NodoRN*nodo) { NodoRN*aux=NULL; aux=nodo->izq; nodo->izq=aux->der; if(aux->der!=NULL) aux->der->pad=nodo; aux->pad=nodo->pad; if(aux->pad==NULL) Raiz=aux; else { if(nodo==nodo->pad->der) nodo->pad->der=aux; else nodo->pad->izq=aux; } aux->der=nodo; nodo->pad=aux; } void ArbolRN::insertar_rn(A ele){ NodoRN *x=insertar_abb(&Raiz,0,ele); restaurar_color(x); } void ArbolRN::busqueda(A ele){ NodoRN *pNode=busqueda_rn(&Raiz,ele); if(!pNode) cout<<"No esta el elemento"; else cout<<"elemento si esta"; } ArbolRN::NodoRN* ArbolRN::busqueda_rn(NodoRN** root, A ele){


if(!(*root)){ cout<<"No se encontro elemento"; return 0; } else if (ele <(*root)->clave) busqueda_rn(&((*root)->izq),ele); else if (ele>(*root)->clave) busqueda_rn(&((*root)->der),ele); else return (*root); } void ArbolRN::restaurar_color(NodoRN*nodo) { NodoRN*aux=NULL; while(nodo!=Raiz && nodo->pad->color==1) { if(nodo->pad==nodo->pad->pad->izq){ aux=nodo->pad->pad->der; if(aux && aux->color==1) { nodo->pad->color=0; aux->color=0; nodo->pad->pad->color=1; nodo=nodo->pad->pad; } else{ if(nodo==nodo->pad->der){ nodo=nodo->pad; rotacion_izq(nodo); } nodo->pad->color=0; nodo->pad->pad->color=1; rotacion_der(nodo->pad->pad); } } else{ aux=nodo->pad->pad->izq; if(aux && aux->color==1) { nodo->pad->color=0; aux->color=0; nodo->pad->pad->color=1; nodo=nodo->pad->pad; } else{ if(nodo==nodo->pad->izq){ nodo=nodo->pad; rotacion_der(nodo); } nodo->pad->color=0; nodo->pad->pad->color=1; rotacion_izq(nodo->pad->pad); } } } Raiz->color=0; }


void ArbolRN::showTree(NodoRN* root,bool r){ if(r) root=Raiz; if(!root) return; showTree(root->izq,false); root->show(); showTree(root->der,false); }

red-black.cpp

#include<iostream.h> #include"red-black.h" void main(){ ArbolRN A1; A1.insertar_rn(29); A1.insertar_rn(19); A1.insertar_rn(12); A1.insertar_rn(50); A1.insertar_rn(15); A1.insertar_rn(33); A1.insertar_rn(70); A1.insertar_rn(23); A1.insertar_rn(42); A1.insertar_rn(61); A1.insertar_rn(25); A1.insertar_rn(31); A1.insertar_rn(66); A1.insertar_rn(64); A1.insertar_rn(63); A1.insertar_rn(32); A1.insertar_rn(62); A1.eliminar_rn(33); /* A1.eliminar_rn(42); A1.eliminar_rn(50); A1.eliminar_rn(61); A1.eliminar_rn(62); A1.eliminar_rn(19);*/ A1.showTree(); cin.get(); }


Presione F5 o haga clic en


IV ACTIVIDADES 1 Ingrese a la siguiente dirección URL

http://reptar.uta.edu/NOTES5311/REDBLACK/RedBlack.html

http://reptar.uta.edu/NOTES5311/REDBLACK/RedBlack.html


2 Ingrese a la siguiente dirección URL http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htm

http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htm


V EJERCICIOS 1 Insertar 40, 33, 46, 6, 8, 24, 18, 22, 25, 60 en un árbol rojo negro 2 Implementar ña operación eliminar en un árbol rojo negro

SupresionRN( A, z ) { if (left(z) = nil(A)) or (right(z) = nil(A)) then y := z; else y := SucesorABB(z); if left(y) ? nil(A) then x := left( y ); else x := right( y ); p(x) := p(y); if p(y) = nil then root( A ) := x; else if y = left( p(y) ) then left( p(y) ) := x else right( p(y) ) := x; if y ? z then key(z) = key( y ); if C(y) = black then AjustarSupresionRN( A, x ) } AjustarSupresionRN( A, x ) { /* Ciclo principal */ while x ? root(A) and C(x) = black do { if x = left( p(x) ) then { w := right( p(x) ); if C(w) = red then { 1) C(w) := black; C(p(x)) := red; LeftRotate( A, p(x) ); w := right( p(x) ) }; if ambos hijos de w son negros then {


2) C(w) := red; x := p(x) } else { if C(right(w)) = black then { 3) C( left(w) ) := black; C(w) := red; RightRotate( A, w ); w := right( p(x) ) }; 4) C(w) := C(p(x)); C(p(x) := black; C(right(w)) := black; LeftRotate( A, p(x) ); x := root( A ) } } else { código simétrico intercambiando "left" y "right" } }; C(x) := black }

Algoritmia II 02

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