Algoritmo de nieves

Algoritmo 3.1 Multiplicación de Matrices

Para multiplicar las matrices A y B, proporcionar los

DATOS: Número de filas y columnas de A y B: N, M, N1, M1, respectivamente, y sus elementos.

RESULTADOS: La matriz producto C de dimensiones N M1 o el mensaje "LAS MATRICES A Y B NO PUEDEN MULTIPLICARSE".

PASO 1.- Si M = N1 continuar. De otro modo IMPRIMIR "LAS MATRICES A Y B NO PUEDEN MULTIPLICARSE" y TERMINAR.

PASO 2.- Hacer I = 1.

PASO 3.- Mientras I N, repetir los pasos 4 a 12.

PASO 4.- Hacer J = 1.

PASO 5.- Mientras J M1, repetir los pasos 6 a 11.

PASO 6.- Hacer C(I , J) = 0

PASO 7.- Hacer K = 1

PASO 8.- Mientras K M, repetir los pasos 9 y 10.

PASO 9.- Hacer C(I , J) = C(I , J) + A(I , K) * B(K , J)

PASO 10.- Hacer K = K + 1

PASO 11.- Hacer J = J +1

PASO 12.- Hacer I = I + 1

PASO 13.- IMPRIMIR las matrices A, B y C y TERMINAR

Algoritmo 3.2 Ortogonalización de Gram-Schmidt

Para ortogonalizar un conjunto de N vectores linealmente independientes de N componentes cada uno, proporcionar los

DATOS: Número de N y los vectores x1, x2, ..., xN.

RESULTADOS: La matriz producto C de dimensiones N * M1 o el mensaje "LAS MATRICES A Y B NO PUEDEN MULTIPLICARSE".

PASO 1.- Hacer e1 = x1.


PASO 3.- Mientras I N - 1, repetir los pasos 4 a 10.

PASO 4.- Hacer e(I + 1) = x(I + 1)


PASO 6.- Mientras J M1, repetir los pasos 7 a 9.

PASO 7.- Hacer (J,I+1)=(X(I + 1) . e(J))/(e(J) . e(J))

PASO 8.- Hacer e(I + 1) = e(I + 1) - (J , I + 1) * e(J)

PASO 9.- Hacer J = J +1


PASO 11.- IMPRIMIR las vectores e1, e2, ... , eN y TERMINAR

NOTA: En el paso 7, el punto indica producto escalar de dos vectores. En el 8, (J , I + 1) es un escalar que multiplica al vector e(J) y la resta es vectorial. En los pasos 1, 4, 7 y 8 se trata de asignaciones de todos los componentes de un vector a otro.

Algoritmo 3.3 Eliminación de Gauss

Para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales A x = b y el determinante de A, proporcionar los

DATOS: N número de ecuaciones, A matriz de coeficientes y b vector de términos independientes.

RESULTADOS: El vector solución x y el determinante de A o mensaje de falla "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL".

PASO 1.- Hacer DET = 1.



PASO 4.- Hacer DET = DET * A(I , I).

PASO 5.- Si DET = 0 IMPRIMIR "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL" y TERMINAR. De otro modo continuar.

PASO 6.- Hacer K = I + 1

PASO 7.- Mientras K N, repetir los pasos 8 a 13.

PASO 8.- Hacer J = I + 1

PASO 9.- Mientras J N, repetir los pasos 10 y 11.

Paso 10.- Hacer A(K , J) = A(K , J) - A(K , I) * A(I , J) / A(I , I)

Paso 11.- Hacer J = J + 1

PASO 12.- b(K) = b(K) - A(K , I) * b(I) / A(I , I)

PASO 13.- Hacer K = K +1


PASO 15.- Hacer DET = DET * A(N , N)

PASO 16.- Si DET = 0 IMPRIMIR "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL" y TERMINAR. De otro modo continuar.

PASO 17.- Hacer x(N) = b(N) / A(N , N)

PASO 18.- Hacer I = N - 1

PASO 19.- Mientras I 1, repetir los pasos 20 a 26

PASO 20.- Hacer x(I) = b(I)

PASO 21.- Hacer J = I + 1


PASO 23.- Hacer x(I) = x(I) - A(I , J) * x(J)

PASO 24.- Hacer J = J + 1

PASO 25.- Hacer x(I) = x(I) / A(I , I)

PASO 26.- Hacer I= I - 1

PASO 27.- IMPRIMIR x y DET y TERMINAR.

Algoritmo 3.4 Eliminación de Gauss con pivoteo

Para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales A x = b y el determinante de A, proporcionar los

DATOS: N número de ecuaciones, A matriz de coeficientes y b vector de términos independientes.

RESULTADOS: El vector solución x y el determinante de A o mensaje de falla "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL".

PASO 1.- Hacer DET = 1.

PASO 2.- Hacer R = 0



PASO 5.- Encontrar PIVOTE (elemento de mayor valor absoluto en la parte relevante de la columna I de A) y P la fila donde se encuentra PIVOTE.

PASO 6.- Si PIVOTE = 0 IMPRIMIR "MATRIZ SINGULAR, SISTEMA SIN SOLUCIÓN" y TERMINAR. De otro modo continuar.

PASO 7.- Si P = I ir al paso 10. De otro modo relizar los pasos 8 y 9

PASO 8.- Intercambiar la fila I con la fila P.

PASO 9.- Hacer R = R + 1

PASO 10.- Hacer DET = DET * A(I , I)

PASO 11.- Realizar los pasos 6 a 13 del algoritmo 3.3


PASO 13.- Hacer DET = DET * A(N , N) * ( -1) ^ R

PASO 14.- Realizar los pasos 17 a 26 de algoritmo 3.3

PASO 15.- IMPRIMIR x y DET y TERMINAR

Algoritmo 3.5 Método de Thomas

Para obtener la solución x de un sistema tridiagonal A x = b de A, proporcionar los

DATOS: El número de ecuaciones N, los vectores a, b, c y el vector de términos independientesd.

RESULTADOS: El vector solución x o mensaje de falla "EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN".



PASO 3.- Si b(I) 0 continuar. De otro modo IMPRIMIR "EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN" y TERMINAR.

PASO 4.- Hacer b(I + 1) = b(I + 1) - a(I + 1) * c(I) / b(I).

PASO 5.- Hacer d(I + 1) = d(I + 1) - a(I + 1) * d(I) / b(I).


PASO 7.- Si b(I) 0 continuar. De otro modo IMPRIMIR "EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN" y TERMINAR.

PASO 8.- Hacer x(N) = d(N) / b(N).

PASO 9.- Hacer I = N - 1.

PASO 10.- Mientras I 1, repetir los pasos 11 a 12.

PASO 11.- Hacer x(I) = (d(I) - c(I) * x(I + 1)) / b(I).

PASO 12.- Hacer I = I - 1

PASO 13.- IMPRIMIR el vector solución x y TERMINAR

Algoritmo 3.6 Factorización Directa

Para factorizar una matriz A de orden N en el producto de las matrices L y U triangulares inferior y superior respectivamente, con li,i = 1, i = 1, 2, ... , N, proporcionar los

DATOS: El orden N, y las componentes de la matrz A.

RESULTADOS: Las matrices L y U en A o mensaje de falla "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE".

PASO 1.- Si A(1,1) = 0 IMPRIMIR "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE" y TERMINAR. De otro modo continuar.


PASO 3.- Mientras J N, repetir los pasos 4 a 25.

PASO 4.- Hacer I = J.


PASO 6.- Hacer SUMAT = 0.

PASO 7.- Si J = 1 ir al paso 12. De otro modo continuar

PASO 8.- Hacer K = 1.

PASO 9.- Mientras K J - 1, repetir los pasos 10 a 11

PASO 10.- Hacer SUMAT = SUMAT + A(J , K) * A(K , I)


PASO 12.- Hacer A(J , I) = A(J , I) - SUMAT

PASO 13.- Hacer I = I + 1.

PASO 14.- Si J = N ir al paso 26. De otro modo continuar

PASO 15.- Hacer I = J + 1..


PASO 17.- Hacer SUMAT = 0.

PASO 18.- Si J = 1 ir al paso 23. Deotro modo continuar


PASO 20.- Mientras K J - 1, repetir los pasos 21 y 22

PASO 21.- Hacer SUMAT = SUMAT + A(K , J) * A(I , K)


PASO 23.- Hacer A(I , J) = (A(I , J) - SUMAT) / A(J , J).


PASO 25.- Hacer J = J + 1.

PASO 26.- Si A(N , N ) = 0 IMPRIMIR "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE" y TERMINAR. De otro modo continuar.

PASO 27.- IMPRIMIR A y TERMINAR.

Algoritmo 3.7 Factorización con pivoteo

Para factorizar una matriz A de orden N en el producto de las matrices L y U triangulares inferior y superior respectivamente, con li,i = 1, i = 1, 2, ... , N, con pivoteo parcial, proporcionar los

DATOS: El orden N, y las componentes de la matrz A.


PASO 1.- Hacer R = 0 'R registra el número de intercambios de fila que se llevan a cabo.


PASO 3.- Mientras J N, repetir los pasos 4 a 11

PASO 4.- Si J = N ir al paso 10.

PASO 5.- Encontrar PIVOTE y P 'ver paso 5 del algortitmo 3.4).

PASO 6.- Si PIVOTE = 0 IMPRIMIR "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE" y TERMINAR. De otro modo continuar.

PASO 7.- Si P = J ir al paso 10. De otro modo continuar

PASO 8.- Intercambiar la fila J con la fila P de A.

PASO 9.- Hacer R = R + 1



PASO 12.- Si A(N , N) = 0 IMPRIMIR "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE" y TERMINAR. De otro modo continuar.

PASO 13.- IMPRIMIR A y TERMINAR.

Algoritmo 3.8 Método de Doolitle

Para obtener la solución del sistema A x = b y el determinante de A, proporcionar los

DATOS: El número de ecuaciones N, y la matriz aumentada del sistema A.

RESULTADOS: El vector solución x y el determinante de A o mensaje de falla "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE".


PASO 2.- Hacer c(1)= A(1 , N + 1).

PASO 3.- Hacer DET = A(1 , 1)

PASO 4 Hacer I = 2

PASO 5.- Mientras I N, repetir los pasos 6 a 12

PASO 6.- Hacer DET = DET * A(I , I).

PASO 7.- Hacer c(I)= A(I , N + 1).


PASO 9.- Mientras J I - 1, repetir los pasos 10 y 11

PASO 10.- Hacer c(I) = c(I) - A(I , J) * c(J)



PASO 13.- Hacer x(N) = c(N) / A(N , N)

PASO 14.- Hacer I = N - 1

PASO 15.- Mientras I 1, repetir los pasos 16 a 22.

PASO 16.- Hacer x(I)= c(I).

PASO 17.- Hacer J = I + 1.

PASO 18.- Mientras J N, repetir los pasos 19 y 20

PASO 19.- Hacer x(I) = x(I) - A(I , J) * x(J)


PASO 21.- Hacer x(I)= x(I) / A(I , I).

PASO 22.- Hacer I = I - 1.

PASO 23.- Hacer DET = DET * ( -1) ^ R

PASO 24.- IMPRIMIR x y DET y TERMINAR.

Algoritmo 3.9 Factorización de matrices simétricas

Para factorizaruna matriz A, de orden N en el producto de las matrices L y U triangulares inferior y superior respectivamente, con li,j = 1; i = 1, 2, ..., N, proporcionar los

DATOS: El orden N, y las componentes de la matriz simétrica A.


PASO 1.- Hace J = 1


PASO 3.- Hacer I = J


PASO 5.- Hacer SUMAT = 0

PASO 6.- Si J = I ir al paso 11. De otro modo continuar.


PASO 8.- Mientras K J - 1, repetir los pasos 9 y 10

PASO 9.- Hacer SUMAT = SUMAT + A(J, K) * A(K,I)


PASO 11.- Hacer A(J, J) = A(J, J) - SUMAT

PASO 12.- Si I > J Hacer A(I, J) = A(J, I) / A(J, J). De otro modo continuar


PASO 14.- Si A(J, J) = 0 IMPRIMIR "LA FACTORIZACIÓN NO ES POSIBLE" y TERMINAR. De otro modo continuar.


PASO 16.- IMPRIMIR A y TERMINAR

Algoritmo 3.10 Método de Cholesky

Para factorizar una matriz A, positiva definida en la forma L LT, proporcionar los

DATOS: N, el orden de la matriz y sus elementos.

RESULTADOS: La matriz L

PASO 1.- Hacer L(1, 1) = A(1, 1) ↑ 0.5

PASO 2.- Hacer I = 2

PASO 3.- Mientras I N, repetir los pasos 4 y 5.

PASO 4.- Hacer L(I, 1) = A(I, 1) / L(1, 1)




PASO 8.- Hacer S = 0


PASO 10.- Mientras K I - 1, repetir los pasos 11 y 12.

PASO 11.- Hacer S = S + L(I, K) 2

PASO 12.- Hacer K = K + 1.

PASO 13.- Hacer L(I, I) = (A(I, I) - S) ↑ 0.5

PASO 14.- Si I = N ir al paso 25.

PASO 15.- Hacer J = I +1




PASO 19.- Mientras K I - 1, repetir los pasos 20 y 21

PASO 20.- Hacer S = S +L(I, K) * L(J, K)


PASO 22.- Hacer L(J, I) = (A(J, I) - S) / L(I, I)



PASO 25.- IMPRIMIR L y TERMINAR.

Algoritmo 3.11 Métodos de Jacobi y Gaussp-Seidel

Para encontrar la solución aproximada del sistema de ecuaciones A x = b, proporcionar los

DATOS:El número de ecuaciones N, la matriz coeficiente A, el vector de términos independientes b, el vector inicial x0, el número máximo de iteraciones MAXIT, el valor de EPS y M = 0 para usar JACOBI o M 0 para usar GAUSS-SEIDEL.

RESULTADOS:La solución aproximada x y el número de iteraciones K en que se alcanzó la convergencia o mensaje de falla "NO SE ALCANZÓ LA CONVERGENCIA", la última aproximación a x y MAXIT.

PASO 1.- Arreglar la matriz coeficiente de modo que quede lo más cercana posible a la diagonal dominante (véase prob 3.55 en el libro)


PASO 3.- Mientras K MAXIT, repetir los pasos 4 a 18

PASO 4.- Si M = 0 ir al paso 5. De otro modo Hacer* x = x0.

PASO 5.- Hacer I= 1.



PASO 8.- Hacer J = 1

PASO 9.- Mientras J N, repetir los pasos 10 a 12

PASO 10.- Si J = 1 ir al paso 12.

PASO 11.- Hacer S = S + A(I, J) * x0(J)


PASO 13.- Si M = 0, Hacer x(I) = -(b(I) - S) / A(I, I)


PASO 15.- Si | x - x0 | EPS ir al paso 19.

PASO 16.- Si M = 0, Hacer x0 = x.


PASO 18.- IMPRIMIR mensaje "NO SE ALCANZÓ LA CONVERGENCIA", el vector x, MAXIT y el mensaje "ITERACIONES" y TERMINAR.

PASO 19.- IMPRIMIR el mensaje "VECTOR SOLUCIÓN", x, K y el mensaje "ITERACIONES" y TERMINAR.

Algoritmo 4.1 Método de Punto fijo

Para encontrar una solución de un sistema de ecuaciones no lineales g(x) = x, proporcionar la función G(I, X), I = 1, 2, ..., N y los

DATOS:El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales X, el criterio de convergencia EPS, el número máximo de iteraciones MAXIT y M=0 para despalzamientos sucesivos o M=1 para desplazamientos simultáneos.

RESULTADOS: Una solución aproximada x o mensaje "NO HUBO CONVERGENCIA".


PASO 2.- Mientras K MAXIT repetir los pasos 3 a 14.

PASO 3.- Si M = 0 hacer xaux = x. De otro modo continuar



PASO 6.- Si M = 0, hacer X(I) = G(I,x). De otro modo continuar.




PASO 10.- Si ABS(XAUX(I)-X(I)) > EPS ir al paso 13. De otro modo continuar.


PASO 12.- IMPRIMIR x Y TERMINAR.

PASO 13.- Si M = 1 hacer x = xaux. De otro modo continuar.


PASO 15.- IMPRIMIR mensaje "NO HUBO CONVERGENCIA" y TERMINAR

Algoritmo 4.2 Método de Newton-Raphson

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) = 0, proporcionar la matriz jacobiana ampliada con el vector de funciones (véase ecuación 4.17) y los

DATOS: El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número máximo de iteraciones MAXIT y el criterio de convergencia EPS.

RESULTADOS: El vector solución xn o mensaje de falla "NO CONVERGE".



PASO 3.- Evaluar la matriz jacobiana aumentada (4.17).

PASO 4.- Resolver el sistema lineal (4.14).

PASO 5.- Hacer xn* = x + h

PASO 6.- Si | xn - x | > EPS ir al paso 8. De otro modo continuar.

PASO 7.- IMPRIMIR xn y TERMINAR.

PASO 8.- Hacer x = xn


PASO 10.- IMPRIMIR "NO CONVERGE" y TERMINAR.

Algoritmo 4.3 Método de Newton-Raphson modificado

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) = 0, proporcionar las funciones F(I,x), las derivadas parciales D(I,x) y los

DATOS:El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número máximo de iteraciones MAXIT, el criterio de convergencia EPS y M=0 para desplazamientos sucesivos o M=1 para desplazamientos simultáneos.




PASO 3.- Si M = 0 hacer* xaux = x.



PASO 6.-

Si M = 0 hacer:X(I) = X(I) - F(I,x) / D(I,x).De otro modo hacer:XAUX(I) = X(I)-F(I,x)/D(I,x).


PASO 8.-Si | xaux - x | > EPS ir al paso 10.De otro modo continuar

PASO 9.- IMPRIMIR x y TERMINAR.

PASO 10.- Si M = 1 Hacer x = xaux



Algoritmo 4.4 Método de Broyden

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) = 0, proporcionar la matriz jacobiana ampliada con el vector de funciones (véase ecuación 4.12'') y los

DATOS: El número de ecuaciones N, dos vectores de valores iniciales x0 y x1, el número máximo de iteraciones MAXIT y el criterio de convergencia EPS.


PASO 1.- Calcular AK, la matriz inversa de la matriz Jacobiana.



PASO 4.- Calcuar f0 y f1, el vector de funciones evaluado en x0 y x1, respectivamente.

PASO 5.- Calcular* dx = x1 - x0; df = f1 - f0

PASO 6.- Calcular AK1, la matriz que aproxima a la inversa de la matriz jacobiana (4.18), con la ecuación (4.23), usando como (A(k+1))-1 a AK.

PASO 7.- Calcular* xn = x1 - AK1 * f1

PASO 8.- Si* | xn - x1 | EPS ir al paso 11. De otro modo continuar.

PASO 9.- Hacer* x0 = x1; x1 = xn; AK = AK1


PASO 11.- Si K MAXIT, IMPRIMIR el vector xn y TERMINAR. De otro modo IMPRIMIR "NO CONVERGE" y TERMINAR

Algoritmo 4.5 Método del Descenso de Máxima Pendiente

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) = 0, proporcionar las funciones F(I,x), las derivadas parciales de la función D(I,x) y los

DATOS:El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número máximo de iteraciones MAXIT, y el criterio de convergencia EPS, el intervalo de búsqueda [A, B] y el número de puntos de [A, B] por ensayar M.




PASO 3.- Hacer Z = 0.

PASO 4- Hacer I = 1

PASO 5.- Mientras I N repetir los pasos 6 y 7.

PASO 6.- Hacer Z = Z + F(I,x) ^ 2


PASO 8.- Si Z EPS ir al paso 29. De otro modo continuar.

PASO 9.- Hacer NP = 0, NU = 1, MENOR = 1E20


PASO 11.- Mientras J M repetir los pasos 12 a 25.

PASO 12.- Hacer S = NU + NP, T = A + (B - A) / S, L = 1

PASO 13.- Hacer xa = x - T * dz

PASO 14.- Hacer Z = 0


PASO 16.- Mientras I M repetir los pasos 17 y 18.

PASO 17.- Hacer Z = Z + F(I, xa) ^ 2


PASO 19.- Si MENOR < Z, ir al paso 21. De otro modo continuar.

PASO 20.- Hacer MENOR = Z, TOPY = T

PASO 21.- Si L = 0 ir al paso 24. De otro modo continuar.

PASO 22.- Hacer T = B - (B - A) / S, L = 0.

PASO 23.- Ir al paso 13.

PASO 24.- Hacer NP = NU, NU = S


PASO 26- Hacer x = x - TOPT * dz



PASO 29.- IMPRIMIR el vector x y TERMINAR.

Algoritmo 2.1 Método de punto fijo

Para encontrar una raíz real de la ecuación g(x) = x, proporcionar la función G(X) y los

DATOS: Valor inicial X0, criterio de convergencia EPS, y número máximo de iteraciones MAXIT.

RESULTADOS: La raíz aproximada X o un mensaje de falla.


PASO 2.- Mientras I < MAXIT repetir los pasos 3 a 6.

PASO 3.- Hacer X = G(X0) ' calcula xi

PASO 4.- Si ABS(X - X0) < EPS entonces IMPRIMIR X y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR.


PASO 6.- Hacer X0 = X ' actualiza X0

PASO 7.- IMPRIMIR mensaje de falla "EL MÉTODO NO CONVERGE A UNA RAÍZ" y TERMINAR

Algoritmo 2.2 Método de Newton-Raphson

Para encontrar una raíz real de la ecuación f(x) = 0, proporcionar la función F(X) y su derivada DF(X) y los

DATOS: Valor inicial X0, criterio de convergencia EPS, criterio de exactitud EPS1 y número máximo de iteraciones MAXIT.




PASO 3.- Hacer X = X0 - F(X0) / DF(X0) ' calcula xi


PASO 5.- Si ABS(F(X)) < EPS1 entonces IMPRIMIR X y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR.


PASO 7.- Hacer X0 = X ' actualiza X0


Algoritmo 2.3 Método de la secante

Para encontrar una raíz real de la ecuación f(x) = 0, proporcionar la función F(X) y los>

DATOS:> Valores iniciales X0, X1, criterio de convergencia EPS, criterio de exactitud EPS1 y número máximo de iteraciones MAXIT.>

RESULTADOS:> La raíz aproximada X o un mensaje de falla.>

PASO 1.-> Hacer I = 1>

PASO 2.-> Mientras I < MAXIT repetir los pasos 3 a 8.>

PASO 3.-> Hacer X = X0 - (X1.X0)*F(X0) /(F(X1)-F(X0))>

PASO 4.-> Si ABS(X - X1) < EPS entonces IMPRIMIR X y TERMINAR.>

PASO 5.-> Si ABS(F(X)) < EPS1 entonces IMPRIMIR X y TERMINAR.>

PASO 6.-> Hacer X0 = X1>

PASO 7.-> Hacer X1 = X>

PASO 8.-> Hacer I = I + 1>

PASO 9.-> IMPRIMIR mensaje de falla "EL MÉTODO NO CONVERGE A UNA RAÍZ" y TERMINAR>

Algoritmo 2.4 Método de posición falsa

Para encontrar una raíz real de la ecuación f(x) = 0, proporcionar la función F(X) y los

DATOS:Valores iniciales XY y XD que forman un intervalo en donde se halla una raíz (F(XI)*F(XD)<0), criterio de convergencia EPS, criterio de exactitud EPS1 y número máximo de iteraciones MAXIT.


PASO 1.- Hacer I = 1; FI=F(XI); FD=F(XD)


PASO 3.- Hacer XM = (XI*FD - XD*FI)/(FD-FI)

PASO 4.- Si ABS(FM) < EPS1 entonces IMPRIMIR X y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR.

PASO 5.- Si ABS(XD-XI) < EPS entonces hacer XM=(Xd+XI)/2; IMPRIMIR "LA RAÍZ BUSCADA ES", IMPRIMIR XM y TERMINAR.

PASO 6.- Si FD*FM > 0, hacer XD=XM; FD=FM

PASO 7.- Si FD*FM < 0, hacer XI=XM; FI=FM


PASO 8.- IMPRIMIR mensaje de falla "EL MÉTODO NO CONVERGE A UNA RAÍZ" y TERMINAR.

Algoritmo 2.5 Método de Steffensen

Para encontrar una raíz real de la ecuación g(x) = x, proporcionar la función G(X) y los

DATOS: Valor inicial X0, criterio de convergencia EPS, y número máximo de iteraciones MAXIT.




PASO 3.- Hacer X1 = G(X0); X2 = G(X1); X=X0-(X1-X0)^2/(X2-2*X1+X0)


PASO 5.- Hacer X0 = X



Algoritmo 2.6 Método de Müller

Para encontrar una raíz real o compleja de la ecuación f(x) = 0, proporcionar la función F(X) y los

DATOS: Valores iniciales X0, X1, X2, criterio de convergencia EPS, criterio de exactitud EPS1 y número máximo de iteraciones MAXIT.




PASO 3.-

Hacer F10 = (F(X1)-F(X0))/(X1-X0);

F21 = (F(X2)-F(X1))/(X2-X1);

F210 =(F21-F10)/(X2-X0);A2=F210

A1 = F21-(X2+X1)*A2

A0 = F(X2)-X2*(F21-X1*A2)

D1= -A1 + (A1^2 - 4*A0*A2)^0.5

D2= -A1 - (A1^2 - 4*A0*A2)^0.5

PASO 4.-

Si ABS(D1) > ABS(D2) hacer X3 = 2*A0/D1.

En caso contrario hacer X3 = 2 *A0/D2

PASO 5.- Si ABS(X3 - X0) < EPS o ABS(F(X3)) > EPS1 entonces IMPRIMIR X3 y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR.

PASO 6.- Hacer X0 = X; X1 = X2; X2 = X3



Algoritmo 2.7 Método de Horner

Para evaluar el polinomio p(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0, proporcionar los

DATOS: n: Grado del polinomio; an , an-1 ,..., a0: Coeficientes del polinomio; t: Valor de x donde se desee evaluar p(x).

RESULTADO: p(t) en b0

PASO 1.- Hacer bn = an

PASO 2.- Para k = n-1, n-2, ..., 0 realizar el paso 3.

PASO 3.- Hacer bk = bk+1 * t + ak

PASO 4.- IMPRIMIR b0 y TERMINAR

Algoritmo 2.8 Método de Horner iterado

Para evaluar el polinomio p(x) =an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0, proporcionar los

DATOS: n: Grado del polinomio; an, an-1, a0: Coeficientes del polinomio; t: Valor de x en donde se desea evaluar p(x) y p'(x).

RESULTADOS: p(t) en b0 y p'(t) en c1.

PASO 1.- Hacer bn = an y cn = bn

PASO 2.- Para k = n-1, n-2, ..., 1 realizar los pasos 3 y 4.

PASO 3.- Hacer bk = bk+1 * t + ak

PASO 4.- Hacer ck = ck+1 * t + bk

PASO 5.- Hacer b0 = b1 * t + a0

PASO 6.- IMPRIMIR b0 y c1 y TERMINAR.

Algoritmo 5.1 Aproximación Polinomial Simple

Para obtener los (n+1) coeficientes del polinomio de grado n (n>0) que pasa por (n+1) puntos, proporcionar los

DATOS: El grado del polinomio N, y las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N).

RESULTADOS: Los coeficientes A(0), A(1), ..., A(N) del polinomio de aproximación.



PASO 3.- Hacer B(I, 0) = 1



PASO 6.- Hacer B(I, J)) = B(I, J-1) * X(I)


PASO 8.- Hacer B(I, N+1) = FX(I)


PASO 10.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = fx de orden N+1 con alguno de los algoritmos del capítulo 3.

PASO 11.- IMPRIMIR A(0), A(1), ..., A(N) y TERMINAR

Algoritmo 5.2 Interpolación con Polinomios de Lagrange

Para interpolar con polinomios de Lagrange de grado N, proporcionar los

DATOS: El grado del polinomio N, y las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N) y el valor para el que se desea la interpolación XINT.

RESULTADOS: La aproximación FXINT, el valor de la función en XINT.

PASO 1.- Hacer FXINT = 0



PASO 4.- Hacer L = 1



PASO 7.- Si I J Hacer L = L * (XINT - X(J)) / (X(I) - X(J))


PASO 9.- Hacer FXINT = FXINT + L * FX(I)


PASO 11.- IMPRIMIR FXINT y TERMINAR.

Algoritmo 5.3 Tabla de Diferencias Divididas

Para obtener la tabla de diferencias divididas de una función dada en forma tabular, proporcionar los

DATOS: El número de parejas M, y las parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., M-1).

RESULTADOS: La tabla de diferencias divididas T.

PASO 1.- Hacer N = M - 1


PASO 3.- Mientras I N-1, repetir los pasos 4 y 5.

PASO 4.- Hacer T(I, 0) = (FX(I+1) - FX(I)) / (X(I+1) - X(I))



PASO 7.- Mientras J N-1, repetir los pasos 8 a 12.

PASO 8.- Hacer I = J

PASO 9.- Mientras I N-1, repetir los pasos 10 y 11.

PASO 10.- Hacer T(I, J) = (T(I, J-1) - T(I-1, J-1)) / (X(I+1) - X(I - J))



PASO 13.- IMPRIMIR T y TERMINAR.

Algoritmo 5.4 Interpolación Polinomial de Newton

Para interpolar con polinomios de Newton en diferencias divididas de grado N, proporcionar los

DATOS: El grado del polinomio N, las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N) y el valor para el que se desea interpolar.

RESULTADOS: La aproximación FXINT al valor de la función en XINT.

PASO 1.- Realizar los pasos 2 a 12 del algoritmo 5.3.

PASO 2.- Hacer FXINT = 0


PASO 4.- Mientras I N-1, repetir los pasos 5 a 11.

PASO 5.- Hacer P = 1


PASO 7.- Mientras J I, repetir los pasos 8 y 9.

PASO 8.- Hacer P = P * (XINT - X(J))

PASO 9.- Hacer I = J + 1

PASO 10.- Hacer FXINT = FXINT + T(I, J) * P


PASO 12.- IMPRIMIR FXINT y TERMINAR.

Algoritmo 5.5 Aproximación con Mínimos Cuadrados

Para obtener los N+1 coeficientes del polinomio óptimo de grado N que pasa por entre M parejas de puntos, proporcionar los

DATOS: El grado del polinomio de aproximación N, el número de parejas de valores M y las M+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I= 1, 2, ..., M).

RESULTADOS: Los coeficientes A(0), A(1), ..., A(N) del polinomio de aproximación.


PASO 2.- Mientras J (2*N-1), repetir los pasos 3 a 5.

PASO 3.- Si J N Hacer SS(J) = 0. De otro modo continuar

PASO 4.- Hacer S(J) = 0



PASO 7.- Mientras I M, repetir los pasos 8 a 15.

PASO 8.- Hacer XX = 1


PASO 10.- Mientras J (2*N-1), repetir los pasos 11 a 14.

PASO 11.- Si J Hacer SS(J) = SS(J) + XX * FX(I). De otro modo continuar

PASO 12.- Hacer XX = XX * X(I)

PASO 13.- Hacer S(J) = S(J) + XX



PASO 16.- Hacer B(0, 0) = M





PASO 21.- Si I 0 y J 0 Hacer B(I, J) = S(J - 1 + I)


PASO 23.- Hacer B(I, N+1) = SS(I)


PASO 25.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = ss de orden N + 1 con alguno de los algoritmos del capítulo 3.

PASO 26.- IMPRIMIR A(0), A(1), ..., A(N) y TERMINAR.

Algoritmo 6.1 Método Trapezoidal compuesto

Para aproximar el área bajo la curva de una función analítica f(x) en el intervalo [a, b], proporcionar la función por integrar F(X) y los

DATOS: El número de trapecios N, el límite inferior A y el límite superior B.

RESULTADOS: El área aproximada AREA.

PASO 1.- Hacer X = A


PASO 3.- Hacer H = (B - A) / N

PASO 4.- Si N = 1, ir al paso 10. De otro modo continuar.



PASO 7.- Hacer X = X + H

PASO 8.- Hacer S = S + F(X)


PASO 10.- Hacer AREA = H / 2 * ( F( A ) + 2 * S + F ( B ) )

PASO 11.- IMPRIMIR AREA y TERMINAR.

Algoritmo 6.2 Método de Simpson compuesto


DATOS: El número par de subintervalos N, el límite inferior A y el límite superior B.


PASO 1.- Hacer X = A

PASO 2.- Hacer S1 = 0

PASO 3.- Hacer S2 = 0

PASO 4.- Hacer H = (B - A) / N

PASO 5.- Si N = 2, ir al paso 13. De otro modo continuar.


PASO 7.- Mientras I N / 2 - 1, repetir los pasos 8 a 12.


PASO 9.- Hacer S1 = S1 + F(X)






PASO 15.- Hacer AREA = H / 3 * ( F( A ) + 4 * S1 + 2 * S2 + F ( B ) )


Algoritmo 6.3 Cuadratura de Gauss-Legendre


DATOS: El número de puntos (2, 3, 4, 5 ó 6) por utilizar N, el límite inferior A y el límite superior B.


PASO 1.- Hacer (NP(I), I=1, 2, ..., 5) = (2, 3, 4, 5, 6)

PASO 2.- Hacer (IAUX(I), I=1, 2, ..., 6) = (1, 2, 4, 6, 9, 12)

PASO 3.- Hacer (Z(I), I=1, 2, ..., 11) = (0.577350269, 0.0, 0.774596669, 0.339981044, 0.861136312, 0.0, 0.538469310, 0.906179846, 0.238619186, 0.661209387, 0.932469514)

PASO 4.- Hacer (W(I), I=1, 2, ..., 11) = (1.0, 0.888888888, 0.555555555, 0.652145155, 0.347854845, 0.568888888, 0.478628671, 0.236926885, 0.467913935, 0.360761573, 0.171324493)


PASO 6.- Mientras I 5, repetir los pasos 7 y 8.

PASO 7.- Si N = NP(I), ir al paso 10. De otro modo continuar.


PASO 9.- IMPRIMIR "N NO ES 2, 3, 4 5, ó 6" y TERMINAR.


PASO 11.- Hacer J = IAUX(I)

PASO 12.- Mientras J IAUX(I + 1), repetir los pasos 13 a 17.

PASO 13.- Hacer ZAUX = (Z(J) * (B - A) + B + A) / 2.

PASO 14.- Hacer S = S + F(ZAUX) * W(J).

PASO 15.- Hacer ZAUX = ( - Z(J) * (B - A) + B + A) / 2.

PASO 16.- Hacer S = S + F(ZAUX) * W(J).


PASO 18.- Hacer AREA = (B - A) / 2 * S


Algoritmo 6.4 Integración Doble por Simpson 1/3

Para aproximar , proporcionar las funciones C(X), D(X) y F(X,Y) y los

DATOS:El número N de subintervalos a usar en el eje x, el número M de subintervalos por emplear en el eje y, el límite inferior A y el límite superior B.


PASO 1.- Hacer H1 = (B - A) / N

PASO 2.- Hacer S = F(A, C(A)) + F(A, D(A)) * (D(A) - C(A)) / M + (F(B, C(B)) + F(B, D(B))) * (D(B) - C(B)) / M

PASO 3.- Hacer S1 = 0; S2 = 0; Y1 = C(A); Y2 = C(B)


PASO 7.- Mientras J M - 1, repetir los pasos 6 a 9.

PASO 6.-

Hacer H2A = (D(A) - C(A)) / M; Y1 = Y1 + H2A;

S1 = S1 + H2A * F(A, Y1); H2B=(D(B) - C(B))/M;

Y2 = Y2 + H2B; S1 = S1 + H2B * F(B,Y2)

PASO 7.- Si J = M - 1, ir al paso 9. De otro modo continuar

PASO 8.-

Hacer Y1 = Y1 + H2A; S2 = S2 + H2A * F(A, Y1));

Y2 = Y2 + H2B; S2 = S2 + H2B * F(B, Y2).


PASO 10.- Hacer S3 = 0; S6 = 0; S7 = 0; X = A



PASO 13.-

Hacer X = X + H1; H2 = (D(X) - C(X)) / M

S3 = S3 + H2 * F(X, C(X)); S6 = S6 + H2 * F(X, D(X))

PASO 14.- Si I = N - 1, ir al paso 16. De otro modo continuar.

PASO 15.-

Hacer X = X + H1; H2 = (D(X) - C(X)) / M;

S7 = S7 + 2 * (F(X, C(X)) + F(X, D(X)))


PASO 17.- Hacer S4 = 0; S5 = 0; S8 = 0; S9 = 0; X = A - H1



PASO 20.- Hacer X = X + 2 * H1; Y1 = C(X); Y2 = C(X + H1);

HA = (D(X) - C(X)) / M; HB = (D(X + H1)) - C(X + H1)) / M


PASO 22.- Mientras J M - 1, repetir los pasos 23 a 30.

PASO 23.- Hacer Y1 = Y1 + HA; S4 = S4 + HA * F(X, Y1)


PASO 25.- Hacer Y2 = Y2 + HB; S8 = S8 + HB * F(X + H1, Y2)

PASO 26.- Si J = M - 1, ir al paso 30. De otro modo continuar.

PASO 27.- Hacer Y1 = Y1 + HA; S5 = S5 + HA * F(X, Y1)


PASO 29.- Hacer Y2 = Y2 + HB; S9 = S9 + HA * F(X + H1, Y2)



PASO 32.- Hacer AREA=H1/9*(S+4*(S1+S3+S6+S9)+2*(S2+S7)+16*S4+8*(S5+S8)) )


Algoritmo 6.5 Derivación con Polinomios de Lagrange

Para obtener una aproximación a la primera derivada de una función f(x) en un punto x, proporcionar los

DATOS:El grado N del polinomio por usar, las (N + 1) parejas de valores (X(I), FX(I), I = 0, 1, 2, ..., N) y el punto XD en que se desea la evaluación.

RESULTADOS: Aproximación a la primera derivada en XD: DF

PASO 1.- Hacer DP = 0



PASO 4.- Hacer P = 1



PASO 7.- Si I J Hacer P = P * (X(I) - X(J))


PASO 9.- Hacer S = 0.


PASO 11.- Mientras K N, repetir los pasos 12 a 19.

PASO 12.- Si I K y J K realizar los pasos 13 a 18.

PASO 13.- Hacer P1 = 1

PASO 14.- Hacer J = 0 Hacer P = P * (X(I) - X(J))


PASO 16.- Si I K y J K Hacer P1 = P1 * (XD - X(J))


PASO 18.- Hacer S = S + P1


PASO 20.- Hacer DP = DP + FX(I) / P * S


PASO 22.- IMPRIMIR DP y TERMINAR.

Algoritmo 7.1 Método de Euler

Para obtener la aproximación YF a la solución de un problema de valor inicial o PVI (Ec. 7.11), proporcionar la función F(X,Y) y los

DATOS: La condición inicial X0, Y0, el valor XF donde se desea conocer el valor de YF y el número N de subintervalos a emplear.

RESULTADOS: Aproximación a YF: Y0

PASO 1.- Hacer H = (XF - X0) / N



PASO 4.- Hacer Y0 = Y0 + H * F(X0,Y0)

PASO 5.- Hacer X0 = X0 + H


PASO 7.- IMPRIMIR Y0 y TERMINAR.

Algoritmo 7.2 Método de Euler Modificado







PASO 4.- Hacer Y1 = Y0 + H * F(X0,Y0)

PASO 5.- Hacer Y0 = Y0 + H / 2 * (F(X0, Y0) + F(X0 + H, Y1))




Algoritmo 7.3 Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden







PASO 4.- Hacer K1 = F(X0,Y0)

PASO 5.- Hacer K2 = F(X0 + H / 2, Y0 + H / 2 * K1)

PASO 6.- Hacer K3 = F(X0 + H / 2, Y0 + H / 2 * K2)

PASO 7.- Hacer K4 = F(X0 + H , Y0 + H * K3)

PASO 8.- Hacer Y0 = Y0 + H / 6 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4)




Algoritmo 7.4 Método Predictor-Corrector

(Inicialización con Runge-Kutta de cuarto orden, predicción con la ecuación 7.55 y corrección con la 7.46a)



RESULTADOS: Aproximación a YF: Y(4)


PASO 2.- Hacer X(0) = X0

PASO 3.- Hacer Y(0) = Y0


PASO 5.- Mientras J 3, repetir los pasos 6 a 9.

PASO 6.- Realizar los pasos 4 a 9 del Algoritmo 7.3

PASO 7.- Hacer X(J) = X0

PASO 8.- Hacer Y(J) = Y0




PASO 12.- Hacer Y(4) = Y(3) + H / 24 * (F(X(3), Y(3)) - 59 * F(X(2), Y(2)) + 37 * (F(X(1), Y(1)) - 9 * F(X(0), Y(0)))

PASO 13.- Hacer X(4) = X(3) + H.

PASO 14.- Hacer Y(4) = Y(3) + H / 24 * (9 * F(X(4), Y(4)) + 19 * F(X(3), Y(3)) - 5 * (F(X(2), Y(2)) + F(X(1), Y(1)))


PASO 16.- Mientras J 3, repetir los pasos 17 a 19.

PASO 17.- Hacer X(J) = X(J + 1)

PASO 18.- Hacer Y(J) = Y(J + 1)



PASO 21.- IMPRIMIR Y(4) y TERMINAR.

Algoritmo 7.5 Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden para un Sistema de dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Para aproximar la solución al PVI

,

proporcionar las funciones F1(X, Y, Z) y F2(X, Y, Z) y los

DATOS: La condición inicial X0, Y0, Z0, el valor XF donde se desea conocer el valor de YF y ZF y el número N de subintervalos a emplear.

RESULTADOS: Aproximación a Y(XF) y Z(XF): Y0 y Z0




PASO 4.- Hacer K1 = F1(X0, Y0, Z0)

PASO 5.- Hacer C1 = F2(X0, Y0, Z0)

PASO 6.- Hacer K2 = F1(X0 + H / 2, Y0 + H / 2 * K1, Z0 + H / 2 * C1)

PASO 7.- Hacer C2 = F2(X0 + H / 2, Y0 + H / 2 * K1, Z0 + H / 2 * C1)

PASO 8.- Hacer K3 = F1(X0 + H / 2, Y0 + H / 2 * K2, Z0 + H / 2 * C2)

PASO 9.- Hacer C3 = F2(X0 + H / 2, Y0 + H / 2 * K2, Z0 + H / 2 * C2)

PASO 10.- Hacer K4 = F1(X0 + H, Y0 + H * K2, Z0 + H * C2)

PASO 11.- Hacer C4 = F2(X0 + H, Y0 + H * K2, Z0 + H * C2)

PASO 12- Hacer Y0 = Y0 + H / 6 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4)

PASO 13- Hacer Z0 = Z0 + H / 6 * (C1 + 2 * C2 + 2 * C3 + C4)

PASO 14- Hacer X0 = X0 + H


PASO 16.- IMPRIMIR Y0, Z0 y TERMINAR

Algoritmo 8.1 Método Explícito

Para aproximar la solución al problema de valor en la frontera o PVF

proporcionar las funciones CI(x), CF1(t) y CF2(t) y los

DATOS:El número NX de puntos de la malla en el eje x, el número NT de puntos en la malla en el eje t, la longitud total XF a considerar, el tiempo máximo TF por considerar y el coeficiente ALFA de la derivada de segundo orden.

RESULTADOS: Los valores de la variale dependiente T a lo largo del eje x a distintos tiempos t: T.

PASO 1.- Hacer DX = XF / (NX - 1)

PASO 2.- Hacer DT = TF / (NT - 1)

PASO 3.- Hacer LAMBDA = ALFA * DT / DX ^2


PASO 5.- Mientras I NX - 1, repetir los pasos 6 y 7.

PASO 6.- Hacer T(I) = CI(DX * (I - 1)) / 2


PASO 8.- Hacer T(1) = ( CI(0) + CF1(0) ) / 2

PASO 9.- Hacer T(NX) = ( CI(XF) + CF2(0) ) / 2

PASO 10.- IMPRIMIR T


PASO 12.- Mientras J NT, repetir los pasos 13 a 24.


PASO 14.- Mientras I NX-1, repetir los pasos 15 y 16.

PASO 15.- Hacer T1(I) = LAMBDA * T(I-1) + (1 - 2 * LAMBDA) * T(I) + LAMBDA * T(I + 1)




PASO 19.- Hacer T(I) = T1(I)


PASO 21.- Hacer T(1) = CF1(DT * J)

PASO 22.- Hacer T(NX) = CF2(DT + J)



PASO 25.- TERMINAR.

Algoritmo 8.2 Método Implícito




RESULTADOS: Los valores de la variale dependiente T a lo largo del eje x a distintos tiempos t: T.



PASO 3.- Mientras I NX - 2, repetir los pasos 4 a 7.

PASO 4.- Hacer A(I) = -LAMBDA

PASO 5.- Hacer B(I) = 1 + 2 * LAMBDA

PASO 6.- Hacer C(I) = -LAMBDA



PASO 9.- Mientras J NT, repetir los pasos 10 a 24.

PASO 10.- Hacer T(1) = CF1(DT * J)

PASO 11.- Hacer T(NX) = CF2(DT * J)


PASO 13.- Mientras I NX- 2, repetir los pasos 14 y 15.

PASO 14.- Hacer D(I) = T(I + 1)


PASO 16.- Hacer D(1) = D(1) + LAMBDA * T(1)

PASO 17.- Hacer D(NX - 2) = D(NX - 2) + LAMBDA * T(NX)

PASO 18.- Realizar los pasos 1 a 12 del algoritmo 3.5 con N = NX - 2



PASO 21.- Hacer T(I + 1) = X(I)




PASO 25.- TERMINAR.

Algoritmo 8.3 Método de Cranck-Nicholson




RESULTADOS: Los valores de la variable dependiente T a lo largo del eje x a distintos tiempos t: T.



PASO 3.- Mientras I NX - 2, repetir los pasos 4 a 7.

PASO 4.- Hacer A(I) = LAMBDA

PASO 5.- Hacer B(I) = -2 - 2 * LAMBDA

PASO 6.- Hacer C(I) = LAMBDA


PASO 8.-

Realizar los pasos 8 a 24 del algoritmo 8.2 con los siguientes cambios:

En el Paso 15.- Hacer D(I) = -LAMBDA * T(I) - (2 - 2 * LAMBDA)*T(I + 1) - LAMBDA * T(I + 2)

En el Paso 17.- Hacer D(1) = D(1)- LAMBDA * T(1)

En el Paso 18.- Hacer D(NX - 2) = D(NX - 2) - LAMBDA * T(NX)

PASO 9.- TERMINAR.

Algoritmo de nieves

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