Algoritmo Diezmado en Tiempo FFT
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[email protected] Procesamiento Digital de Señal Procesamiento Digital de Señal Tema 4: Análisis de Fourier en tiempo discreto •Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) • Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) • Transformada de Fourier Discreta (DFT) • Transformada Rápida de Fourier (FFT) • Enventanado y resolución espectral [email protected] Transformada de Transformada de Fourier Fourier en tiempo discreto (DTFT) en tiempo discreto (DTFT)
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Procesamiento Digital de SeñalProcesamiento Digital de Señal
Tema 4: Análisis de Fourier en tiempo discreto
•Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
• Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
• Transformada de Fourier Discreta (DFT)
• Transformada Rápida de Fourier (FFT)
• Enventanado y resolución espectral
Transformada de Transformada de FourierFourieren tiempo discreto (DTFT)en tiempo discreto (DTFT)
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Transformada de Transformada de FourierFourier de una señal discretade una señal discreta
• La DTFT describe el espectro de señales discretas. Se puede deducir a partir de la convolución discreta que se define como:
• Si un sistema LTI tiene una señal de entrada x[n] armónica x[n] = exp(j2πfnTs) = exp(jwnTs), la respuesta y[n] es
Siendo H(w) un autovalor del sistema que representa la respuesta en frecuencia– Se ha definido como H(w) la expresión
y representa la DTFT de la señal discreta h[n].
La función H(w) es periódica, debido a que h[k] son valores discretos y su expresión es una serie de Fourier
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
∞−=
−=∗=k
khknxnhnxny
[ ] [ ] [ ] [ ] ( )ωωωω Hnxkhkhnyk
TjkTjn
k
Tknj sss ⋅=⋅=⋅= ∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
− expexpexp )(
( ) [ ] [ ]∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
− ==k
jk
k
Tjk khkhH ωωω)
expexp s
Representación mediante la DTFTRepresentación mediante la DTFT
• La DTFT permite representar el contenido en frecuencia, X(w), de una señal discreta x[n]
Y su transformada inversa es
Representación del par de DTFT:
[ ] ∫−
=π
π
ω ωπ
deen njjω )X(21x
( ) [ ] nj
n
j ene ωωω −∞
−∞=∑== x)X(X
[ ] )X(x ωjDTFT en →←
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Ejemplos DTFTEjemplos DTFT
Propiedades de la DTFTPropiedades de la DTFT
• La DTFT es periódica de periodo 2π
– Por tanto solo es necesario evaluar el intervalo [0, 2π] o equivalentemente [-π, π]
• Si x[n] es real su transformada DTFT verifica
Es simétrica y basta calcularla en el intervalo [0, π]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ])X(arg)X(arg
)X()X(
)X(Im)X(Im)X(Re)X(Re
jωjω
jωjω
jωjω
jωjω
ee
ee
eeee
−=
=
−=
=
−
−
−
−
( ) )X(X 2πωω += jj ee
( ) )(XX * ωω jj ee =−
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TransformadaTransformada de Fourier de de Fourier de señalesseñales discretasdiscretas (DTFT)(DTFT)
Propiedades de la DTFT: Tabla 5.1: pág 391 Oppenheim
TransformadaTransformada de Fourier de de Fourier de señalesseñales discretasdiscretas (DTFT)(DTFT)
Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT– Una señal periódica continua xp(t) se transforma en una función
aperiódica y discreta que corresponde a los coeficientes espectrales XS[k] en el dominio de frecuencias de su serie de Fourier
– De una manera dual, se puede intercambiar tiempo y frecuencia
donde F=1/Ts es el “periodo de Xp(f)en el dominio de frecuencia”. – En este caso una señal aperiódica discreta x[k] se corresponde con una
transformada periódica continua X (f) y se obtiene mediante la DTFT.
[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )∑∫∞
−∞=
=−=k
spT ps tkfjkXtxdttkfjtxT
kX 00 2exp 2exp1 ππ
[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )∑∫∞
−∞=
−==k
sPsP kftjnxfXdfkftjfXF
kx ππ 2exp 2exp1
5
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se resume en lo siguiente :
– Con las series de Fourier se pasa de una señal x(t), temporal, continua y periódica (periodo T) y se representa por los coeficientes X [k], que como una función de la frecuencia, son valores aperiódicos y discretos con una distancia entre dos valores consecutivos de f0=1/T.
– La DTFT se aplica a una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo ts=1/fs y aperiódica y se obtiene una función X(f), que es continua como función de la frecuencia y periódica con periodo F=1/Ts.
• Para realizar operaciones con un procesador digital se presentan los siguientes problemas:
– Se necesita tratar señales continuas – Se manejan series de datos de longitud infinita.– Un DSP sólo trabajar con un número finito de datos discretos– La solución pasa por conseguir discretizar las variables continuas y limitar el
número de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial).• Se hace necesario definir la series discreta de Fourier (DTFS) y la
Transformada Discreta de Fourier (DFT).
Serie de Serie de FourierFourieren tiempo discreto (DTFS)en tiempo discreto (DTFS)
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Señales periódicas en tiempo discreto: Series de Señales periódicas en tiempo discreto: Series de FourierFourier
• Si x(t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es:
• Al igual que en tiempo continuo, una señal x[n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de exponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
• Si la señal es periódica (x[n] = x[n+N]), con periodo N, su representación mediante la serie de Fourier es:
– Donde ŵ0 = 2π/N es la frecuencia fundamental de la señal periódica. La frecuencia de la componente k-ésima en la superposición es k ŵ0.
– La frecuencia normalizada, ŵ = w Ts, incorpora la dependencia temporal y permite utilizar n en lugar de t como variable independiente
∑∞
−∞=
=k
n0kjeX[k][n]x ω)
∑∞
−∞=
=k
tt 0kjeX[k])(x ω
Serie de Serie de FourierFourier en Tiempo Discreto (DTFS)en Tiempo Discreto (DTFS)
• La cuestión que se plantea es: ¿cuántos términos deben considerarse en la suma para el caso de una secuencia discreta periódica de periodo N?– Recordando las propiedades de las exponenciales complejas discretas
• En el caso discreto, exponenciales complejas con frecuencias distintas no siempre son diferentes y sólo hay N exponenciales complejas distintas de esta forma.
• En consecuencia, se puede escribir la ecuación de la serie de Fourier de una señal discreta periódica:
– donde la notación k = <N> indica dejar que k varíe sobre cualesquiera N valores consecutivos (comúnmente se usan los valores de k = 0 hasta N-1).
– En este caso, sólo hay N valores de X[k] y cada uno de ellos tiene en cuenta la contribución de la componente exp (kwn) y sus repeticiones exp((k+lN)wn)
njknjknjnjknjNnkNj eeeeee 00000 2)( ωωπωωω )))))
===+
∑>=<
=Nk
nn 0jkeX[k]][x ω)
7
• De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier– Para las Series de Fourier se cumple (f0=1/T)
– Para discretizar xp(t), tomamos N muestras de xp(t) durante un periodo a intervalos ts, de forma que N·ts=T.
– Para calcular los coeficientes X[k]
– La cantidad X[k] es la serie de Fourier Discreta de la señal periódica muestreada xP[n].
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )∑ ∫∞
−∞=
⋅−⋅==k
T PSSP dttkfjtxT
kXtkfjkXtx 00 2exp1 2exp ππ
[ ] [ ] ( )
[ ] ( ) 1,2,1,0 /2exp1
2exp1
1
0
1
00
−=−⋅=
⋅−⋅=
∑
∑−
=
−
=
NkNknjnxN
tntkfjnxNt
kX
N
nP
s
N
nsP
s
Lπ
π
Serie de Serie de FourierFourier en Tiempo Discreto (DTFS)en Tiempo Discreto (DTFS)
Serie de Serie de FourierFourier en Tiempo Discreto (DTFS)en Tiempo Discreto (DTFS)
• La representación mediante la DTFS está dada por
• x[n] y X[k] se relacionan y se establece la correspondencia:
∑>=<
=Nk
n0ˆjkeX[k][n]x ω
∑>=<
−=Nn
n
N0ˆjkex[n]1X[k] ω
[ ] [ ]kXnx DTFS →←
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Ejemplos: Serie de Ejemplos: Serie de FourierFourier
En el limite N muy grande, la señal es no periódica y su contenido en frecuencias pasa a ser continuo y se corresponde con la transformada de Fourier de una señal discreta!
( ) [ ]∑∞
−∞=
=k
tjke 0kXtx ω
Dominio de la frecuencia
ContinuaDiscreta
PeriódicaDTFT: Transformada de Fourier en tiempo discreto DTFS: Serie de Fourier en tiempo discretoDiscreta
No periódicaFT: Transformada de FourierFS : Serie de FourierContinua
No periódicaPeriódicaDominio de tiempo
[ ] ( )∫><
−=T
tjk dteT
0tx1kX ω
[ ] ∫−
=π
π
ω ωπ
deen njjω )
)X(21x
( ) [ ] nj
n
j ene ωω )−∞
−∞=∑= xX
∑>=<
=Nk
n0jkeX[k][n]x ω)
∑>=<
−=Nn
n
N0jkex[n]1X[k] ω)
ωωπ
ω de tj∫∞
∞−
= )X(21x(t)
∫∞
∞−
−= dte tjωω x(t))X(
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TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier(DFT)(DFT)
•• TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier•• FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier• Muestreo en frecuencia de la DTFT para obtener la DFT
– Para una señal x[n] limitada a N muestras con un periodo de muestreo Ts.
– La DTFT se reduce a– XP(f) es periódica con periodo 1/Ts. Si se muestrea esta señal N veces (en el periodo en frecuencias que es 1/Ts, )
se obtendrán los valores discretos de la DTFT con un intervalo entre frecuencias ∆f = (1/Ts)/N = 1/NTs
Y por tanto XT[k] corresponde a sustituir f en los valores dados porfk = k/(NTs) :
– Esta última expresión resultante es la Transformada Discreta de Fourierde una señal x[n].
• Nota: Excepto por el término 1/N es idéntica a la Serie Discreta de Fourier.
( ) [ ] ( )∑−
=
−⋅=1
02exp
N
nsP nfTjnxfX π
[ ] [ ] ( )[ ]
[ ] [ ] 1,,2,1,0 /2exp
/2exp
1
0
1
0
−=−⋅=
−⋅=
∑
∑−
=
−
=
NkNnkjnx
NTnkTjnxkX
N
n
N
nssT
Lπ
π
10
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• Transformada Discreta de Fourier (DFT),– Se calcula sobre un conjunto finito, N valores, de la señal x[n].– Es calculable numéricamente y es una aproximación al espectro de la
señal. X(w)= DTFT{x[n]}– Se obtiene tomando N muestras en el dominio de la frecuencia sobre la
DTFT– Si se elige N adecuado, existen algoritmos rápidos para calcularla. FFT.
• Transformada Discreta inversa (IDFT),
[ ] [ ] ( )∑−
=
−==1
0
/2 1,,2,1,0 exp1 N
k
Nnkj NnkXN
nx Lπ
[ ] [ ] ( )∑−
=
− −==1
0
/2 1,,2,1,0 expN
n
Nnkj NknxkX Lπ
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• Convolución Circular o Cíclica– La convolución de dos señales periódicas es infinito. Para este tipo de
señales se define la convolución circular de dos secuencias xp[n] y hp[n]con periodo N :
– La convolución circular requiere que las dos secuencias sean del mismo tamaño. Si no es así se rellena con ceros la secuencia más corta.
– Se corresponde con el producto H[k]X[k] de las dos DFT• Convolución lineal mediante la DFT
– Para realizar la convolución lineal de una secuencia h[n] de M puntos con otra secuencia x[n] de N puntos mediante la DFT, se expanden ambas secuencias con ceros hasta formar dos secuencias de K puntos ha[n] y xa[n] con K ≥ M+N-1 y se calcula las IDFT del producto de las dos DFTs.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑−
=
−=•=1
0
1 N
kppppp knhkx
Nnhnxny
[ ] [ ] [ ] [ ]][][* kXkHIDFTnhnxny aa==
11
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• Propiedades de la DFT
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]∑∑ =
↔−
↔−↔
=−↔−
↔
−↔⋅
⋅=−⋅↔−
+↔+−==−
∗∗
∗∗
∗
−
∗
22 1 Parseval deEcuación
* n.Correlació
* Circular nConvolució Conjugar
Simetría
*1 Producto
Modulación
/2exp entoDesplazami
Linealidad Conjugada Simetría
kXN
nx
kYkXnynx
kYkXnynx kXnx
kXkXnx
kYkXN
nynx
mkXnxW
WkXNkmjkXmnx
kYkXnynxkNXkXkX
T
TT
TT
T
TT
TT
Tnm
N
kmNTT
TT
TTT
π
βαβα
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• Interpretación de los resultados del DFT de xs[n] de N puntos, siendo N el numero de valores de la secuencia
– Los N valores X[k[ son los coeficientes espectrales (series de Fourier) de una señal periódica discreta que corresponde a repeticiones cada N muestras de la secuencia x [n].
– Son muestras del espectro continuo de una señal aperiódica discreta que corresponde a la secuencia x [n].
• La DFT es una aproximación al espectro de la señal original.– La magnitud se ve influenciada por el intervalo de muestreo,mientras que
– La fase depende de los instantes de muestreo.
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TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• Ejemplo: sea x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, Ts=1/8ms y N=8x[n]={0,0.7071,1,0.7071,0,-0.7071,-1,-0.7071}
La DFT es X[k]={0,-4j,0,0,0,0,0,4j}.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1Sinusoide 1KHz, Ts=0.125ms, N=8
Tiempo (s)
Am
plitu
d
Mag
nitu
dD
FT
0 2 4 6 80
1
2
3
4
5DFT
Indice k
-4000 -2000 0 20000
1
2
3
4
5DFT
Mag
nitu
dD
FT
Frecuencia (Hz)
TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
– Ejemplo 2: x(t)=sin(2πft), con f=1KHz, Ts=1/4ms y N=8, x[n]={0,0.3827,0.7071,0.9239,1,0.9239,0.7071, 0.3827}.
Los coeficientes del DFT son X[k]={5.0273,-1.7654,0.4142,-0.2346,-0.1989,-0.2346,-0.4142,-1.7654}
0 1 2 3 4 5x 10-4
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.81
Sinusoide 1KHz, Ts=0.250ms, N=8
Tiempo (s)0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
8
DFT
Mag
nitu
dD
FT
Indice k -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
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TransformadaTransformada DiscretaDiscreta de Fourierde Fourier
• Tal y como se observa en las figuras anteriores hay varias formas de dibujar la gráfica de la DFT de una secuencia de datos.
– Una de ellas es indicarlo directamente mediante el índice k. • Se puede comprobar que |XT[k]| es simétrico respecto a N/2.
– Otra forma es reordenando los datos en función de la frecuencia.• De la definición de DFT sabemos que cada intervalo de la DFT es 1/(Nts).
La DFT nos da la Transformada de Fourier para las frecuencias
f -(N/2-1)/(Nts),...,-1/(Nts),0, 1/(Nts), 2/(Nts)...(N/2)/(Nts)k (N/2-1) ,..., N-1 ,0, 1 , 2 ... (N/2)• La máxima frecuencia detectable por la DFT es fs/2, de acuerdo con el
Teorema del Muestreo.
FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
• El cálculo de la DFT de N puntos de una secuencia x[n] es :
El cálculo requiere – la suma compleja de N multiplicaciones complejas para cada uno de las salidas. – En total, N2 multiplicaciones complejas y N(N-1) sumas complejas para
realizar un DFT de N puntos.
• El algoritmo FFT consigue simplificar el cálculo del DFT y reduce el número de operaciones aprovechando las siguientes propiedades :– Simetría y Periodicidad de los términos WN.
El valor de N se elige de forma que N=rm. • Al factor r se le denomina radix y su valor más habitual es 2, de forma que
N=2m y algoritmo se denomina FFT radix-2.
[ ]Nj
N
N
n
nkN
eW
NkWnxkX
/2
1
0
donde
1,,1,0 ][
π−
−
=
=
−==∑ L
nN
NnN
nN
NnN
WW
WW
−=
=+
+
2/2/
2
1
NN
NkN
WW
W
=
=
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FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
• Radix-2 FFT-Algoritmo de diezmado en el tiempo.– Se divide la secuencia de datos de entrada x[n] en dos grupos, uno de índices par y el otro
de índices impar. – Con estas sub-secuencias se realiza el DFT de N/2 puntos y sus resultados se combinan para
formar el DFT de N puntos.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1,,2,1,0
12 2
122122
12/
02/2
12/
02/1
2/2
21
12/
0
212/
0
212/
0
)12(12/
0
2
−=+=+=
=+==
++=++=
∑∑
∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
+−
=
NkkZWkYWnxWWnxkX
WWnxnxnxnxsustituyeSe
WnxWWnxWnxWnxkX
kN
N
n
nkN
kN
N
n
nkN
nkN
nkN
N
n
nkN
kN
N
n
nkN
N
n
knN
N
n
nkN
L
Esta última ecuación muestra que el DFT de N puntos es la suma de dos DFTs de N/2 puntos (Y[k], Z[k]) realizadas con las secuencias par e impar de la secuencia original x[n]. Cada término Z[k] es multiplicado por un factor WN
k, llamado “twiddle factor”. Ya que WNk+N/2=-WN
k y debido a la periodicidad de Y[k] y Z[k] (periodo N/2) se puede expresar X[k] como:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] 12/,,1,0 2/ −=⋅−=+
⋅+=
NkparakZkWkYNkX
kZkWkYkXk
N
kN
L
FFT (FFT (FastFast FourierFourier TransformTransform))
Los dos DFT de N/2 puntos se puede a su vez dividir para formar 4 DFTs de N/4 puntos, lo que produce las siguientes ecuaciones
DFTN/2 Puntos
x[0]
x[2]
x[N-2]
Y[0]
Y[1]
Y[N/2-1]
DFTN/2 Puntos
x[1]
x[3]
x[N-1]
Z[0]
Z[1]
Z[N/2-1]
xW0
xW1
xWN/2-1
+
+
+
+
+
+
X[0]
X[N-1]
X[N/2+1]
X[N/2]
X[N/2-1]
X[1]
-1
-1
-1
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
14/,,1,0 4/ 2
2
−=−=+
+=
NkParakVWkUNkY
kVWkUkYk
N
kN
L
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
14/,,1,0 4/ 2
2
−=−=+
+=
NkParakSWkRNkZ
kSWkRkZk
N
kN
L
15
FFT (FFT (FastFast FourierFourier TransformTransform))
– El proceso puede repetirse sucesivamente hasta llegar a computar el DFT de dos valores x[n], en concreto x[k] y x[k+N/2], para k=0,1,...,N/2-1.
– Para una FFT de N=8 puntos con diezmado en tiempo, el esquema es:
x[0]
x[4]
x[2]
x[6]
x[1]
x[5]
xW0
+
+ X[0]
X[4]-1
xW1
+
+ X[1]
X[5]-1
xW2
+
+ X[2]
X[6]-1
xW3
+
+ X[3]
X[7]-1
+
+
+
+
xW0
xW2
-1
-1
+
+
+
+
xW0
xW2
-1
-1
+
+xW0
-1
+
+xW0
-1
+
+xW0
-1
+
+xW0
-1x[7]
x[3]
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Butterfly
FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
– Las características de una FFT de N puntos mediante diezmado en el tiempo se sumarizan en la siguiente tabla :
– Por cada butterfly tenemos una multiplicación y dos sumas complejas. Hay N/2 butterflies por etapa y log2N etapas.
• El número total de multiplicaciones es ½N·log2N .• El número total de sumas es N·log2N .
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa log2N Número de
Grupos N/2 N/4 N/8 1
Butterflies por Grupo 1 2 4 N/2
Exponentes Twiddle Factors
(N/2)k, k=0
(N/4)k, k=0,1
(N/8)k, k=0,1,2,3
k, k=0,1,...,N/2-1
16
FFT (FFT (FastFast FourierFourier TransformTransform))
• Radix-2 FFT-Diezmado en Frecuencia– Se expresa la FFT como suma de las FFT de dos secuencias, la primera
con los N/2 primeros datos y la segunda con los N/2 últimos.
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ]
[ ] ( ) [ ][ ] 1,,2,1,0 2/1
2/1
2/
12/
0
12/
0
12/
0
12/
0
)2/(12/
0
1
2/
12/
0
1
0
−=+−+=
+−+=
++=
+==
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
+−
=
−
=
−
=
−
=
NkWNnxnx
WNnxWnx
WNnxWnx
WnxWnxWnxkX
N
n
nkN
k
N
n
nkN
kN
n
nkN
N
n
kNnN
N
n
nkN
N
Nn
nkN
N
n
nkN
N
n
nkN
L
FFT (FFT (FastFast FourierFourier TransformTransform))
– El diezmado en frecuencia se obtiene dividiendo la secuencia de salida (X[k]) en dos ecuaciones, una para los índices pares
– y otro para los impares.
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ] 12/,,1,0 2/
2/2
12/
02/
12/
0
2
−=++=
++=
∑
∑−
=
−
=
NkWNnxnx
WNnxnxkX
N
n
nkN
N
n
nkN
L
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ][ ] 12/,,1,0 2/
2/12
12/
02/
12/
0
)12(
−=+−=
+−=+
∑
∑−
=
−
=
+
NkWWNnxnx
WNnxnxkX
N
n
nkN
nN
N
n
knN
L
X[2k] y X[2k+1] son los resultados del DFT de N/2 puntos realizado con las suma y la diferencia entre la primera y segunda mitades de la secuencia de entrada.
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FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
DFTN/2 Puntos
x[0]
x[1]
x[N/2-1]
DFTN/2 Puntos
xW0
+
+
+
+
+
+
X[0]
X[N-1]
X[N-2]
X[2]
X[3]
X[1]-1
-1
-1 xW1
xWN/2-1
x[N/2]
x[N/2+1]
x[N-1]
•Radix-2 FFT-Diezmado en Frecuencia
FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
x[0]
x[1]
x[2]
xW0
+
+
+
+
+
+
X[0]
X[3]
X[2]
X[4]
X[5]
X[1]-1
-1
-1 xW1
xW2
x[3] +
+-1 xW3
x[4]
x[5]
x[7]
x[6]
+
+
+
+ xW2
xW0
-1
-1
+
+
+
+ xW2
xW0
-1
-1
+
+ xW0
+
+ xW0
+
+ xW0
+
+ xW0
X[6]
X[7]
-1
-1
-1
-1
Etapa 1 Etapa 3Etapa 2
Butterfly•Radix-2 FFT-Diezmado en Frecuencia
18
FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)
• Se observa que en el caso de diezmado en el tiempo, la secuencia de entrada debe ser reordenada mientras que la salida aparece en el orden correcto.
• Para el diezmado en frecuencia, la secuencia está en orden mientras que la salida habrá que reordenarla.
– Para conseguir la reordenación basta con invertir el índice en binario.
51011015
71111117
30111106
10011004
61100113
20100102
41000011
00000000
reordenaciónInv. binariobinarioOrden (n)
• Enventanado y resolución en frecuencia• Número finito de muestras• Espectro de la señal enventanada• Ventanas Rectangular, Hamming• Resolución espectral versus enventanado
Aplicación de la DFTAplicación de la DFT
19
Enventanado y ResoluciónEnventanado y Resolución
• En teoría, para el cálculo del espectro de una señal discreta x[n] se necesita considerar infinitas muestras:
( ) ∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
− ==n
jwn
n
jwnjw enxenTxeX ][)(
Para poder realizar los cálculos de debe tomar un número finito de muestras L, Se tendrá x(nT)=x[n], para 0 ≤ n ≤ L-1Este proceso se denomina enventanado
EnventanadoEnventanado
Duración de la ventana en segundos
TLTL ⋅=
Señal de enventanado
[ ] −≤≤
=resto
Lnnw
0101
Señal enventanada
[ ] [ ] [ ] [ ] −≤≤
=⋅=resto
LnnxnwnxnxL 0
10
L muestras, T=1/fs
Rectangular
20
[email protected] boxcar(10)...
Señal Enventanada...
Ventana Rectangular...
EnventanadoEnventanado
EnventanadoEnventanado
( ) [ ] [ ]∑∑∞
−∞=
−−
=
− ==n
jwnL
L
n
jwnjwL enxenxeX
1
0 DTFT
[ ] [ ] ( ) ( )jwjwLL eXeXnxnxL →⇒→⇒∞→
• El espectro resultante XL(ejw) será una aproximación a X(ejw)
Efectos del enventanado...
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )jwjwjwLL eWeXeXnwnxnx ∗=⇒⋅=
21
EnventanadoEnventanado
( ) 2)1(
2
2 −−
=Ljwjw e
wsen
LwseneWEnventanado rectangular
Enventanado Enventanado
• El lóbulo principal domina el espectro
• El ancho del lóbulo se definirásegún:
LfW
1=∆
Frecuencianormalizada
LssWWa TTL
fL
fff 111=
⋅=⋅=⋅∆=∆Frecuencia (Hz)
• Si la longitud de la ventana L es mayor, aumentará la altura del lóbulo principal, a la vez que su ancho disminuye
• La relación de 13 dB entre el lóbulo principal y el primer lóbulo lateral se mantiene constante:
dBW
wWRL
w
13)0()(log20
23≈=
=
22
Enventanado Enventanado (Ejemplo)(Ejemplo)
Secuencia formada por dos exponenciales discretas
Efecto del enventanado
[ ] ∞<<∞−+= neAeAnx njwnjw 2121
[ ] 102121 −≤≤+= LneAeAnx njwnjw
L
( ) ( ) ( ) 5.05.02211 ≤<−−+−= fffAffAeX jw δδ
( ) ( ) ( )2211 ffWAffWAeX jwL −+−=
Enventanado Enventanado (Ejemplo)(Ejemplo)
Espectro de dos exponenciales...Espectro de una exponencial
23
EnventanadoEnventanado
Se ha supuesto ∆f’=|f2-f1| grande para que no exista solapamiento entre los dos lóbulos principales de ambas exponenciales– Si ∆f’ disminuye empezarán a solaparse, dejando de distinguirse los dos
lóbulos, lo cual sucederá cuando:Wff ∆≈∆ '
Para tener resolución:
Lff W
1' =∆≥∆ Frecuencia digitalnormalizada
Frecuencia analógicaLf
Tff s
LWaa ==∆≥∆
1'
El mínimo número de muestras necesario para conseguir una resolución espectral ∆fa’ dada una frecuencia de muestreo fs:
'a
s
ffL
∆≥ ↑↓⇒∆ Lf a '
EnventanadoEnventanado
• Los lóbulos secundarios deberán reducirse lo máximo posible para evitar confundirlos con los lóbulos principales de sinusoidesmás débiles– Para ello se recomienda el uso de otro tipo de ventana(s), que
no concluya de forma tan abrupta como lo hace la rectangular
VentanasRectangular,Hamming, Kaiser...
24
Enventanado Enventanado (continuación...)(continuación...)
Ventana Hamming :[ ]
−≤≤
−−=
resto
LnL
nnw
0
101
2cos46.054.0 π
[ ] 12
1=⇔
−= nwLnCentro
[ ] 08.01,0 =⇔−= nwLnExtremos
Las ventanasLas ventanas antianti--leakageleakage
• Rectangular: los lóbulos laterales siempre peores a -30dB• Triangular (Barlett): los lóbulos laterales llegan debajo de -40dB• Cosenoidal:
– Hanning: y(n)=0.5+0.5cos(2πn/M) el 1er. lobulo ya está bajo los -30dB, el segundo debajo de los -40dB.
– Hamming: y(n)=0.54+0.46cos(2πn/M) similar a Hanning, no descarta las muestras en los extremos de la zona de muestreo
• Otras: Parzen, con una ecuación polinómica
0-10-20-30-40-50-60-70-80-90
1/NT 2/NT 3/NT 4/NT 5/NT 6/NT 7/NT 8/NT 9/NT
25
EnventanadoEnventanado
Ventanas espectrales: • Para señales truncadas, el espectro de la señal muestra unos picos que no
decaen lo suficientemente rápido con la frecuencia. – Para ello podemos utilizar ventanas en el dominio temporal para suavizar
esas discontinuidades. – Los picos serán menores aunque el ancho de banda de cada lóbulo
aumentará.
• El enventanado introduce componentes de alta frecuencia que se atenúan si no se emplea una ventana “abrupta”, pero reduciéndose la resoluciónespectral
• En ese caso, será necesario aumentarla incrementando el valor de la longitudde la ventana, o sea, L
Procesamiento A/D, Enventanado y DFTProcesamiento A/D, Enventanado y DFT
• Al asumir que el conjunto de muestras se repite periódicamente puede aparecer una discontinuidad entre la última muestra de un bloque y la primera del siguiente (efecto de leakage)
• Estas discontinuidades equivalen a componentes de frecuencias que corrompen el espectro analizado
• Para minimizar el leakage al conjunto de N muestras de cada bloque se lo multiplica por una función (weighting window) que atenúa las primeras y últimas muestras de modo de evitar discontinuidades
bloque repetido de muestras
N muestras
ventana anti-leakage
bloque sin discontinuidades
N muestras
26
• Una ventana anti-leakage MULTIPLICA en el tiempo la señal original x1(t) por una señal periódica x2(t), de período T (la ventana)
• Esta multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en el espectro de frecuencias del espectro de la señal x1 con el espectro de la señal x2.
• Esta convolucion produce que cada barra (bin) del espectro de x1 posea “bandas laterales” agregadas por la convolución con x2.
• Dicho de otro modo, cada bin del espectro es “contaminada” por bandas laterales de los bin vecinos
• El espectro de la señal x2 influencia por lo tanto la transformación
∫ ∞−−=
tdffXffXtxtxX '].'[].'[)]().([ 2121
Procesamiento A/D, Enventanado y DFTProcesamiento A/D, Enventanado y DFT
El aparente no-uso de una ventana anti-leakage es en realidad equivalente al uso de una ventana rectangular, cuyo espectro es de la forma sin(f)/f T
Procesamiento A/D, Enventanado y DFTProcesamiento A/D, Enventanado y DFT
27
• Dada una señal x(t), no nula en el intervalo [0,T] y limitada en espectro a Whertz (*), y del cual se toman N muestras en dicho intervalo en instantes separados ∆t<(1/2W)
• La transformada continua de Fourier se convierte en una sumatoria finita de N términos
• Si se define una variable k tal que f=k/t=k/(Nt), con k→ 0,1,..,N-1 resulta
• Que es llamada TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (o DFT)
dtetxfX tfj .).()( ...2.∫∞
∞−
−= π
∑−
=
∆−∆=1
0
....2).()(N
n
tnfjetnxfX π
∑−
=
∆−∆≈1
0)().()(
N
ntnttnxtx δ
∑−
=
−=1
0
/..2).()(N
n
NnkjenxkX π
Procesamiento A/D, Enventanado y DFTProcesamiento A/D, Enventanado y DFT
• Las suposiciones que la señal es nula fuera del intervalo [0,T] y que es de
banda limitada se contradicen entre sí. Por eso, aunque la DFT opera sólo
sobre un conjunto de N muestras de la señal, en realidad asume que ese
conjunto de muestras se repite periódicamente en el tiempo (lo que evita el
±∞ de la integral), con período NxT
• Por ello con esas N muestras sólo es posible resolver el valor de N
componentes de frecuencia: la componente continua, la de período N.T, la de
período N.T/2,..., y excepto el término DC, las demás componentes poseen
una amplitud y fase relativa al comienzo de las N muestras
Procesamiento A/D, Enventanado y DFTProcesamiento A/D, Enventanado y DFT
