Algoritmo Tree code

Algoritmo Tree CodeAproximando el calculo de la fuerza, en el problema de n-cuerpos.

Cristian D. Maureira [email protected]

Universidad TecnicaFederico Santa Marıa

19 de septiembre de 2011

Algoritmo Tree Code

IntroduccionProblema de n-cuerpos

DefinicionPredecir el movimiento de un grupo de objetos celestes, que vaninteractuando unos con otros gravitacionalmente.

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IntroduccionSecciones crıticas

� Posiciones iniciales.� Random.� Plummer Model.

� Metodo de integracion.� Euler.� Leapfrog.� Runge Kutta.� Two step Adams-Bashworth.� etc.

� Calculo de las fuerzas.� Particle-Particle. O(n2)� Particle-Mesh. O(n + ng log ng)� Treecode. O(n log n)� Multipole. O(n)� etc.


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IntroduccionAlgoritmo General

� Calculo de la fuerza.� Posiciones iniciales xi .� Velocidades iniciales vi .� 1 ≤ i ≤ N

fij = G ·mi ·mj

||rij ||2·

rij||ri j ||

� mi y mj masas de los cuerpos i y j .� rij = (xj − xi ) vector de distancia entre los cuerpos i y j .� G , constante gravitacional. (6, 67428× 10−11m3kg−1s−2)


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IntroduccionTree-code

“A Hierarchical O(N log N) Force Calculation Algorithm”, JoshBarnes & Piet Hut, 1986. Nature 324, 446.

� Joshua Edward Barnes� Faculty member at the Institute for Astronomy (IfA), University of

Hawaii.

� Piet Hut� Professor of Interdisciplinary Studies, Institute for Advanced Study.


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Barnes-Hut Tree CodeIdea

“Agrupar cuerpos cercanos y aproximarlos en un solo cuerpo”

� Si el grupo esta muy lejos, se aproximan los efectos gravitacionalesutilizando el centro de masa.

� Centro de masa, promedio de las posiciones de un cuerpo en ungrupo, ponderado por la masa.


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Barnes-Hut Tree CodeIdea

Centro de Masa

Formalmente si dos cuerpos con posiciones (x1, y1), (x2, y2) y masasm1, m2, la masa total del centro de masa (x , y) esta dada por:

m = m1 + m2

x =(x1 ·m1 + x2 ·m2)

m

y =(y1 ·m1 + y2 ·m2)

m


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Barnes-Hut Tree CodeAlgoritmo

� Esquema inteligente para agrupar cuerpos suficientemente lejos.

� Recursivamente divide el conjunto de cuerpos en gruposguardandolos en un “quad-tree”.

� Cada nodo representa una region en un espacio de dos dimensiones.

� El nodo mas alto representa todo el espacio, y sus cuatro hijosrepresentan cuatro cuadrantes en el espacio,


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Barnes-Hut Tree CodeAproximacion

A

B

C

D

E

FG

H


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� Cada nodo externo, representa un unico cuerpo.

� Cada nodo interno, representa el grupo de cuerpos debajo de ella,(guarda “centro de masa” y “masa total”).


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*

ANO NE

NO

B

NE

C

SO SE

D

SO

NO

E

NE

F

SO

G

SE

HSE

Cuerpo Region con > 1 cuerpo Cuadrante vacıo


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Barnes-Hut Tree CodeCalculo de la fuerza

� En un cuerpo particular.� Recorrer los nodos del arbol, partiendo de la raız.

� Centro de masa de un nodo interno:� Si lo suficientemente lejos del cuerpo.

� Se aproximan los cuerpos contenidos. (con centro de masa y masa total)

� No lo suficientemente lejos del cuerpo.� Recorrer los sub-arboles recursivamente.


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Barnes-Hut Tree CodeCalculo de la fuerza

� ¿Como determinarlo?

� Cociente = ancho region nodo (s)distancia Cuerpo-CM (d)

� Despues, comparar con un valor umbral θ.� Si s

d < θ, entonces el nodo interno esta lo suficiente lejos.� Ajustando θ, podemos cambiar la velocidad y la precision de la

simulacion.� Se suele utilizar θ = 0,5. Si θ = 0, degenera (fuerza bruta).


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Barnes-Hut Tree CodeConstruyendo un arbol

Si queremos ingresar el cuerpo b en el arbol con raız en el nodo x.

1. Si el nodo x no contiene un cuerpo, poner el nuevo cuerpo b ahı.

2. Si el nodo x es un nodo interno, actualizar el CM y M.(Recursivamente inserta el cuerpo b en el cuadrante apropiado).

3. Si el nodo x es un nodo externo, digamos que contiene un cuerpoc, entonces hay dos cuerpos, b y c en la misma region.

� Subdivide la region creando cuatro hijos.� Entonces, recursivamente inserta ambos cuerpos, b y c, en el

cuadrante apropiado.� Recursividad!� Finalmente, actualizar el CM y M de x.


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3. Si el nodo x es un nodo externo, digamos que contiene un cuerpoc, entonces hay dos cuerpos, b y c en la misma region.� Subdivide la region creando cuatro hijos.

� Entonces, recursivamente inserta ambos cuerpos, b y c, en elcuadrante apropiado.

� Recursividad!� Finalmente, actualizar el CM y M de x.


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3. Si el nodo x es un nodo externo, digamos que contiene un cuerpoc, entonces hay dos cuerpos, b y c en la misma region.� Subdivide la region creando cuatro hijos.� Entonces, recursivamente inserta ambos cuerpos, b y c, en el

cuadrante apropiado.

� Recursividad!� Finalmente, actualizar el CM y M de x.


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cuadrante apropiado.� Recursividad!

� Finalmente, actualizar el CM y M de x.


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cuadrante apropiado.� Recursividad!� Finalmente, actualizar el CM y M de x.


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� Ejemplo, 5 cuerpos.� Convencion ramas, de izquierda a derecha (NO, NE, SO y SE).

A

B

C D

ENO NE SO SE


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� Agregar cuerpo A.� Encaja en el cuadrante NO de la raız.

masa: 1

NOSO

NESE

1

A

NO NE SO SE


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� Agregar cuerpo B.� Encaja en el cuadrante NE de la raız.

masa: 2

NOSO

NESE

2

A

NO

B

NE SO SE


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� Agregar cuerpo C.� Cuadrante NE ocupado por B, se crea rama y se insertan los dos.

masa: 2

masa: 3

NOSO

NESE

3

A

NO

2

B

NO NE

C

SO SE

SO SE


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� Agregar cuerpo D.� Encaja en el cuadrante SE de la rama.

masa: 3

masa: 4

NOSO

NESE

4

A

NO

3

B

NO NE

C

SO

D

SE

SO SE


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� Agregar cuerpo E.� Encaja en el cuadrante SE de la raız.

masa: 5

NOSO

NESE

5

A

NO

3

B

NO NE

C

SO

D

SE

SO

E

SE


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Barnes-Hut Tree CodeCalculo de la fuerza sobre un cuerpo

Calcular la fuerza que ejerce la red sobre un cuerpo b, comenzandocon la raiz:

1. Si el nodo actual es un nodo externo (y no b).Calcular y agregar fuerza.

2. Si no, calcular sd . Si s

d < θ, nodo interno como un unico cuerpo.Calcular y agregar fuerza.

3. Si no, recursividad del procedimiento en cada hijo del nodo actual.


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� Ejemplo, calcular la fuerza de la red sobre el cuerpo a.� Comenzaremos en la raız (nodo interno).

� Representa CM de los 6 cuerpos.� a, b, c, d, e y f, con masas 1, 2, 3, 4, 5 y 6 Kg.

El calculo de fuerza procede de la siguiente forma.


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1. El primer nodo examinado es la raız.

� Cociente entre A y CM. sd = 100

43,1 > θ = 0,5

� → Proceso recursivo dentro.

A

B CD

E

F

A

B C D

E

F


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2. El primer hijo es el cuerpo A

� No ejerce fuerza sobre si mismo.

� → No hacemos nada.

A

B C D

E

F


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3. Hijo representante NE (contiene b, c, d y e).

� sd = 50

62,7 > θ.

� → Proceso recursivo dentro.

A

B C D

E

F


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4. Hijo representante NE del padre (contiene b, c y d).

� sd = 25/66,9 < θ.

� → Se calcula la fuerza como un solo nodo.

A

B C D

E

F


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5. El siguiente hijo es el que contiene el cuerpo e.

� Este es un nodo externo.

� → Calculamos fuerza entre a y e.

A

B C D

E

F


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6. Volvemos al nivel anterior, para ver otro hijo.

� Este es un nodo externo.

� → Calculamos fuerza entre a y f.

A

B C D

E

F


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7. Finalmente, en cada paso vamos sumando las fuerzas calculadas,para obtener la fuerza total de la red sobre el cuerpo a.


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Conclusiones

� Muestra nuevo enfoque para abordar el problema.

� Es mas rapido, pues no recorre todos los cuerpos.

� Disminuye el orden del algoritmo de O(n2) a O(n log n).� Generamos errores, lo que nos lleva a tener una menor precision.

� Podemos controlar la precision, modificando θ.� Desarrollo multipolar (Multipole expansions) lo corrige!.


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Conclusiones



� Disminuye el orden del algoritmo de O(n2) a O(n log n).

� Generamos errores, lo que nos lleva a tener una menor precision.



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Conclusiones






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Conclusiones




� Podemos controlar la precision, modificando θ.

� Desarrollo multipolar (Multipole expansions) lo corrige!.


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Conclusiones






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