Algoritmos e Teoria dos GrafosAula 02

Prof. Murilo V. G. da Silva

DINF/UFPR

Material da Disciplina:

Renato J. S. Carmo

Notacoes, definicoes e terminologia

Seja C e um conjunto e k e um inteiro

2C = {S ; S ⊆ C},(C

k

)= {S ⊆ C ; |S | = k}.

Exercıcio

Seja X = {a, b, c , d}. Digo qual e o conjunto 2X ,(X2

)e(X3

)

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja C e um conjunto e k e um inteiro

2C = {S ; S ⊆ C},

(C

k

)= {S ⊆ C ; |S | = k}.

Exercıcio

Seja X = {a, b, c , d}. Digo qual e o conjunto 2X ,(X2

)e(X3

)

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja C e um conjunto e k e um inteiro

2C = {S ; S ⊆ C},(C

k

)= {S ⊆ C ; |S | = k}.

Exercıcio

Seja X = {a, b, c , d}. Digo qual e o conjunto 2X ,(X2

)e(X3

)

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja C e um conjunto e k e um inteiro

2C = {S ; S ⊆ C},(C

k

)= {S ⊆ C ; |S | = k}.

Exercıcio

Seja X = {a, b, c , d}. Digo qual e o conjunto 2X ,(X2

)e(X3

)

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Notacoes, definicoes e terminologia

Definicao de Grafo

Um grafo G e um par (V (G ),E (G )) onde V (G ) e um conjuntofinito e E (G ) ⊆

(V (G)2

).

Note que a definicao acima se refere a grafos simples nao–direcionados

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Notacoes, definicoes e terminologia

Definicao de Grafo

Um grafo G e um par (V (G ),E (G )) onde V (G ) e um conjuntofinito e E (G ) ⊆

(V (G)2

).

Note que a definicao acima se refere a grafos simples nao–direcionados

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Notacoes, definicoes e terminologia

Dado um grafo G = (V (G ),E (G )),

Cada elemento de V (G ) e chamado de vertice de G

Cada elemento de E (G ) e chamado de aresta de G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Dado um grafo G = (V (G ),E (G )),

Cada elemento de V (G ) e chamado de vertice de G

Cada elemento de E (G ) e chamado de aresta de G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Dado um grafo G = (V (G ),E (G )),

Cada elemento de V (G ) e chamado de vertice de G

Cada elemento de E (G ) e chamado de aresta de G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em v

u e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em G

duas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comum

um vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhos

a vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Seja G um grafo e u e v vertices de G

Se a = {u, v} e uma aresta de G , dizemos que u e v sao aspontas da aresta a.

Dizemos tambem que:

a e incidente em u e em vu e v sao vizinhos (ou adjacentes) em Gduas arestas sao adjacentes se tem uma ponta em comumum vertice de G e isolado se nao tem vizinhosa vizinhanca de um vertice v em G e o conjunto dos verticesque sao vizinhos de v em G

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Notacoes, definicoes e terminologia

Vizinhanca

A vizinhanca de um vertice v e

ΓG (v) = {u ∈ V (G ) ; u e vizinho de v}.

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Notacoes, definicoes e terminologia

Vizinhanca

A vizinhanca de um vertice v e

ΓG (v) = {u ∈ V (G ) ; u e vizinho de v}.

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Notacoes, definicoes e terminologia

A fronteira de um conjunto X de vertices de G e o conjunto dearestas de G com uma ponta em X e a outra fora de X

Ou seja,

Fronteira

Dado X ⊆ V (G )

∂G (X ) = {{x , y} ∈ E (G ) ; x ∈ X e y /∈ X}

Convencao: Dado v ∈ V (G), o conjunto ∂G ({v}) e denotado ∂G (v)

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Notacoes, definicoes e terminologia

A fronteira de um conjunto X de vertices de G e o conjunto dearestas de G com uma ponta em X e a outra fora de X

Ou seja,

Fronteira

Dado X ⊆ V (G )

∂G (X ) = {{x , y} ∈ E (G ) ; x ∈ X e y /∈ X}

Convencao: Dado v ∈ V (G), o conjunto ∂G ({v}) e denotado ∂G (v)

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Notacoes, definicoes e terminologia

A fronteira de um conjunto X de vertices de G e o conjunto dearestas de G com uma ponta em X e a outra fora de X

Ou seja,

Fronteira

Dado X ⊆ V (G )

∂G (X ) = {{x , y} ∈ E (G ) ; x ∈ X e y /∈ X}

Convencao: Dado v ∈ V (G), o conjunto ∂G ({v}) e denotado ∂G (v)

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Notacoes, definicoes e terminologia

A fronteira de um conjunto X de vertices de G e o conjunto dearestas de G com uma ponta em X e a outra fora de X

Ou seja,

Fronteira

Dado X ⊆ V (G )

∂G (X ) = {{x , y} ∈ E (G ) ; x ∈ X e y /∈ X}

Convencao: Dado v ∈ V (G), o conjunto ∂G ({v}) e denotado ∂G (v)

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Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

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Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

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Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

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Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

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Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

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Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos

Notacoes, definicoes e terminologia

grafo trivial: um grafo com um unico vertice e sem arestas

grafo completo: um grafo em que cada vertice e vizinho detodos os outros. E comum indicar por Kn um grafo completode n vertices.

O grau de um vertice v ∈ V (G ), denotado δG (v), e o numerode arestas de G incidentes a v

Mais precisamente

δG (v) = |∂G (v)|

grafo regular: todos os seus vertices tem o mesmo grau

grafo k–regular: todos os vertices tem grau k

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Isomorfismo de grafos

Mais precisamente

Isomorfismo

Um isomorfismo entre os grafos G e H e uma bijecaof : V (G )→ V (H) satisfazendo

{u, v} ∈ E (G )⇔ {f (u), f (v)} ∈ E (H).

Ideia: Um isomorfismo entre dois grafos e uma bijecao entre os vertices

preservando vizinhancas.

Observe que:se f : V (G) → V (H) e isomorfismo, entao f −1 : V (H) → V (G) tambem e.

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Isomorfismo de grafos

Mais precisamente

Isomorfismo

Um isomorfismo entre os grafos G e H e uma bijecaof : V (G )→ V (H) satisfazendo

{u, v} ∈ E (G )⇔ {f (u), f (v)} ∈ E (H).

Ideia: Um isomorfismo entre dois grafos e uma bijecao entre os vertices

preservando vizinhancas.

Observe que:se f : V (G) → V (H) e isomorfismo, entao f −1 : V (H) → V (G) tambem e.

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Isomorfismo de grafos

Mais precisamente

Isomorfismo

Um isomorfismo entre os grafos G e H e uma bijecaof : V (G )→ V (H) satisfazendo

{u, v} ∈ E (G )⇔ {f (u), f (v)} ∈ E (H).

Ideia: Um isomorfismo entre dois grafos e uma bijecao entre os vertices

preservando vizinhancas.

Observe que:se f : V (G) → V (H) e isomorfismo, entao f −1 : V (H) → V (G) tambem e.

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Isomorfismo de grafos

Mais precisamente

Isomorfismo

Um isomorfismo entre os grafos G e H e uma bijecaof : V (G )→ V (H) satisfazendo

{u, v} ∈ E (G )⇔ {f (u), f (v)} ∈ E (H).

Ideia: Um isomorfismo entre dois grafos e uma bijecao entre os vertices

preservando vizinhancas.

Observe que:se f : V (G) → V (H) e isomorfismo, entao f −1 : V (H) → V (G) tambem e.

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Isomorfismo de grafos

Grafos isomorfos

Dizemos que os grafos G e H sao isomorfos se existe um isomorfismoentre eles.

Automorfismo

Um automorfismo sobre um grafo G e um isomorfismo entre G e G .

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Isomorfismo de grafos

Grafos isomorfos

Dizemos que os grafos G e H sao isomorfos se existe um isomorfismoentre eles.

Automorfismo

Um automorfismo sobre um grafo G e um isomorfismo entre G e G .

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Matrizes

Matriz de incidencia

A matriz de incidencia de um grafo G e a matriz MG , indexada porV (G )× E (G ) dada por

MG [v , a] = 0, se v /∈ a,

MG [v , a] = 1, se v ∈ a

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O Lema do aperto de maos

Teorema

Para todo grafo G , ∑v∈V (G)

δG (v) = 2|E (G )|.

Prova: (em sala)

Corolario: (“handshaking lemma”)

Em todo grafo o numero de vertices de grau ımpar e par.

Prova: (em sala)

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O Lema do aperto de maos

Teorema

Para todo grafo G , ∑v∈V (G)

δG (v) = 2|E (G )|.

Prova: (em sala)

Corolario: (“handshaking lemma”)

Em todo grafo o numero de vertices de grau ımpar e par.

Prova: (em sala)

Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos

O Lema do aperto de maos

Teorema

Para todo grafo G , ∑v∈V (G)

δG (v) = 2|E (G )|.

Prova: (em sala)

Corolario: (“handshaking lemma”)

Em todo grafo o numero de vertices de grau ımpar e par.

Prova: (em sala)

Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos

O Lema do aperto de maos

Teorema

Para todo grafo G , ∑v∈V (G)

δG (v) = 2|E (G )|.

Prova: (em sala)

Corolario: (“handshaking lemma”)

Em todo grafo o numero de vertices de grau ımpar e par.

Prova: (em sala)

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Sequencia de graus

Sequencia de graus

A sequencia de graus de um grafo G e a sequencia (δ(v1), . . . , δ(vn))satisfazendo

δ(v1) ≥ δ(v2) ≥ . . . ≥ δ(vn−1) ≥ δ(vn) e {v1, . . . , vn} = V (G ).

Sequencia grafica

Uma sequencia de inteiros S = (d1, d2, . . . , dn) e uma sequencia graficase existe um grafo de n vertices cuja sequencia de graus e S .

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Sequencia de graus

Sequencia de graus

A sequencia de graus de um grafo G e a sequencia (δ(v1), . . . , δ(vn))satisfazendo

δ(v1) ≥ δ(v2) ≥ . . . ≥ δ(vn−1) ≥ δ(vn) e {v1, . . . , vn} = V (G ).

Sequencia grafica

Uma sequencia de inteiros S = (d1, d2, . . . , dn) e uma sequencia graficase existe um grafo de n vertices cuja sequencia de graus e S .

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Graus maximo e mınimo

Grau maximo

O grau maximo de um grafo G :

∆(G ) = Max{δG (v) ; v ∈ V (G )}

Grau mınimo

O grau mınimo de um grafo G :

δ(G ) = Min{δG (v) ; v ∈ V (G )}.

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Graus maximo e mınimo

Grau maximo

O grau maximo de um grafo G :

∆(G ) = Max{δG (v) ; v ∈ V (G )}

Grau mınimo

O grau mınimo de um grafo G :

δ(G ) = Min{δG (v) ; v ∈ V (G )}.

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Complemento de um grafo

Complemento

O complemento de um grafo G e o grafo G = (V (G ),E (G )) dado por

V (G ) = V (G ),

E (G ) =

(V (G )

2

)− E (G ).

(tambem chamado de grafo complementar)

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Complemento de um grafo

Complemento

O complemento de um grafo G e o grafo G = (V (G ),E (G )) dado por

V (G ) = V (G ),

E (G ) =

(V (G )

2

)− E (G ).

(tambem chamado de grafo complementar)

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Matriz de Adjacencia

Matriz de Adjacencia

A matriz de adjacencia do grafo G e a matriz MG indexada porV (G )× V (G ) dada por

MG [u, v ] = 0, se {u, v} ∈ E (G )

MG [u, v ] = 1, se {u, v} /∈ E (G )

Note que:

MG e simetrica de |V (G)|2 posicoes

Os elementos da diagonal principal sao todos nulos

Dependendo do contexto, a matriz de adjacencia pode ser encarada comouma matriz inteira ou como uma matriz booleana.

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Matriz de Adjacencia

Matriz de Adjacencia

A matriz de adjacencia do grafo G e a matriz MG indexada porV (G )× V (G ) dada por

MG [u, v ] = 0, se {u, v} ∈ E (G )

MG [u, v ] = 1, se {u, v} /∈ E (G )

Note que:

MG e simetrica de |V (G)|2 posicoes

Os elementos da diagonal principal sao todos nulos

Dependendo do contexto, a matriz de adjacencia pode ser encarada comouma matriz inteira ou como uma matriz booleana.

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Matriz de Adjacencia

Matriz de Adjacencia

A matriz de adjacencia do grafo G e a matriz MG indexada porV (G )× V (G ) dada por

MG [u, v ] = 0, se {u, v} ∈ E (G )

MG [u, v ] = 1, se {u, v} /∈ E (G )

Note que:

MG e simetrica de |V (G)|2 posicoes

Os elementos da diagonal principal sao todos nulos

Dependendo do contexto, a matriz de adjacencia pode ser encarada comouma matriz inteira ou como uma matriz booleana.

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Matriz de Adjacencia

Matriz de Adjacencia

A matriz de adjacencia do grafo G e a matriz MG indexada porV (G )× V (G ) dada por

MG [u, v ] = 0, se {u, v} ∈ E (G )

MG [u, v ] = 1, se {u, v} /∈ E (G )

Note que:

MG e simetrica de |V (G)|2 posicoes

Os elementos da diagonal principal sao todos nulos

Dependendo do contexto, a matriz de adjacencia pode ser encarada comouma matriz inteira ou como uma matriz booleana.

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Matriz de Adjacencia

Matriz de Adjacencia

A matriz de adjacencia do grafo G e a matriz MG indexada porV (G )× V (G ) dada por

MG [u, v ] = 0, se {u, v} ∈ E (G )

MG [u, v ] = 1, se {u, v} /∈ E (G )

Note que:

MG e simetrica de |V (G)|2 posicoes

Os elementos da diagonal principal sao todos nulos

Dependendo do contexto, a matriz de adjacencia pode ser encarada comouma matriz inteira ou como uma matriz booleana.

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