Algoritmos Grafos

8/3/2019 Algoritmos Grafos

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AlgoritmosAlgoritmos emem GrafosGrafos

Celso C. RibeiroCaroline T. Rocha


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22Algoritmos em GrafosAlgoritmos em Grafos

PARTE 1: CONCEITOS BSICOS


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e3

e2e4

e5

e9e6

e8 e10

e11

e1 e12e7

v1

v2

v3 v4

v5

v6

v7

v8

v9

V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9} n = 9E = {e1, e2, e3, e4,..., e9, e10, e11, e12} m = 12

V = {v1, v2, ..., vn} |V| = nE = {e1, e2, ..., em} |E| = m

G = (V, E)

vrtices arestas

Conceitos BsicosConceitos Bsicos

Grafo: Geometricamente, um grafo um conjunto depontos (vrtices ou ns) conectados por linhas (arestas).


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Cada aresta definida por um par no-ordenado dens, que so suas extremidades:

e = (vi , vj)

e = (u, v) u e v so adjacentes

e incidente a ve incidente a u

e5, e7 , e8 incidentes a v5v

5adjacente a v

4, v

6, v

7

d(v) : grau do n v = nmero de arestas incidentes a v(ns adjacentes)

d(v1) = d(v2) = d(v8) = d(v9) = 2d(v3) = d(v4) = d(v5) = d(v6) = 3d(v7) = 4

d(v) = 0 vrtice isolado


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Teorema: o nmero de ns de grau mpar em um grafo finito par.

Demonstrao: ||.2)( EvdVi

i !

e5

e4

e2 e3

e1

e = (u, v) um lao se u = varestas paralelas possuem asmesmas extremidades

Multi-grafo: sem laos, mas eventualmente com arestas paralelasGrafo simples (grafo) : sem laos nem arestas paralelos


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Kn: grafo completo com n nsnmero de arestas: n(n-1)/2

Grafo k-regular: todos os ns tm grau k.

K3 K4 K5

Kn (n-1)-regular


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Grafo bipartido: o conjunto de ns pode ser particionadoem dois subconjuntos V1 e V2 tais que qualquer arestapossui uma extremidade em V1 e a outra em V2.

Km,n: grafo bipartido completoonde |V1| = m e |V2| = n

bipartido?

bipartido?

SIM

NO

V1

V2


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um subgrafo de :

Grafo induzido em por :

onde E(X) o subconjunto de E formado por todas asarestas com as duas extremidades em X.

G(X)

G X = {2, 3, 4, 5}

1 2

34

5

6

),( EVG !

),( EVG !EEVV ','

VX

)','(' EVG !

))(,()( XEXXG !


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Clique: subconjunto de ns que induz um subgrafo completo.

),( EVG !

C1 = {1, 2, 3}1

3

2

4

5

6C2 = {2, 4, 5}

C3 = {4, 6}C4 = {3}

e so complementares:),( EVG !

EjiEji ),(),(EjiEji ),(),(

G

1

3

2

4

1

3

2

4G


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Caminho de a :Seqncia P de vrtices e arestas alternados, tais que cadaaresta incidente ao n anterior e ao n posterior.

P um ciclo ou circuito.

iv jv

! ji vv

Caminho simples: cada vrtice aparece exatamente uma vez

Comprimento de um caminho: nmero de arestas

Caminhos disjuntos em vrtices/arestas: no tmvrtices/arestas em comum


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Vrtices vi e vj so conectados se existe um caminho de vi a vj.

Dois vrtices vi e vj esto na mesma componente conexa seexiste um caminho entre eles.

Um grafo conexo se possui uma nica componente conexa,

ou seja, se existe um caminho entre qualquer par de ns

conexo?

Problema importante: determinar se um grafo conexo ou no.


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Um grafo gerador de um grafo conexo G=(V,E) um subgrafoconexo G com o mesmo conjunto de ns V.


v

e

Grafo G Grafo gerador de G

v um ponto de articulao do grafo conexoG se sua remoo desconecta G.

Se uma componente conexa de um grafo no contem ponto dearticulao, ento ela uma componente 2-conexa.

Uma aresta e cuja remoo desconecta umgrafo conexo chamada de ponte.


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Digrafo ou grafo orientado: grafo no qual so associadasdirees aos seus arcos.

),( AVG !},...,{ 1 nvvV !

},...,{ 1 maaA !VVjia v! ),( par ordenado

Incio ou origem Fim ou destino

1

2

3

4

56

)(id

)(id

= grau de entrada de i= nmero de predecessores de i

= grau de sada de i= nmero de sucessores de i

i j

j sucessor de i

i predecessor de j

! )1(d

! )4(d

! )4(d

! )6(d

1

3

0

1


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Uma cadeia a1, a2, ..., aq de arcos uma seqncia tal quecada arco ai tem uma extremidade comum com o arco ai-1 eoutra com o arco ai+1, 2 i q-1.

32

41

5

a1 a2

a3

a5

a6

a4

a7a2, a5, a6, a4 p cadeia entre os ns 2 e 3

Ciclo: cadeia cujas extremidades coincidem.

Caminho a1, a2,..., aq: extremidade final do arco ai coincidecom a extremidade inicial do arco ai+1.

Circuito: caminho cujas extremidades coincidem.


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Dois vrtices vi e vj esto na mesma componente fortementeconexa de um grafo orientado se existe um caminho de vi avj e um caminho de vj a vi.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}{7}

{1, 2, 3, 4}

{5, 6, 7}

3

2

4

15

6 7

910

8

32

41

56

7


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Grafos planares:Um grafo planar se ele pode ser representado no plano demodo tal que no haja interseo entre suas arestas.

K3 ?

K5 ?

K4 ?

K3,3 ?

PLANAR

NO

PLANAR

NO


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rvore: grafo conexo sem circuitos

Floresta: grafo cujas componentes conexas so rvores

Um caminho uma rvore? Sim!


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Teorema: Se T uma rvore com n vrtices, ento:

1. Existe um nico caminho entre dois ns quaisquer de T.

2. Sejam i, j dois ns de T tais que a aresta (i, j) no existe.Ento, a insero da aresta (i, j) em T provoca a formao

de exatamente um ciclo.3. T possui n-1 arestas.


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Matriz de incidncia n-arco:Uma linha para cada nUma coluna para cada aresta

Formas de representao e matrizes associadas a um grafo

),( AVG !nV !||

mA !||

Ajia ! ),(

-

01010

j

i

a

1 2

34

a1

a2

a3

a4

a5

-

!v

110001011001101 00011

nmA


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Uma matriz quadrada unimodular se seu determinante s1.

Uma matriz retangular A totalmente unimodular se e

somente qualquer matriz quadrada regular extrada de A unimodular.



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Teorema: A matriz de incidncia de um grafo totalmenteunimodular.Uma matriz de incidncia contm exatamente dois elementos no-nulos por coluna (+1, -1).

Demonstrao por induo:1. Todas as matrizes quadradas regulares de dimenso 1 so

unimodulares (det = s1).2. Suponha a hiptese verdadeira at matrizes de ordem n-1 e

considere uma matriz quadrada A de ordem n extrada de A.Se toda coluna de A tem dois elementos no-nulos, entodet(A) = 0 (soma das linhas nulas).Se uma coluna de A no tem elementos no-nulos, entodet(A) = 0.



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Se existe uma coluna com um nico coeficiente no-nulo, entodet(A) = s det(A), onde A a matriz quadrada de ordem n-1extrada de A pela eliminao da linha i e da coluna j. Como ahiptese verdadeira para n-1, det(A) = s1 ou 0. Logo,

det(A) = s1 ou 0.

-

s1

'

i

A

j



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Matriz de adjacncia:

Uma linha para cada nUma coluna para cada n

a23

1 2

34

a12

a13

a24

a34

-

!v

0000100011000110

nnA

Grafos sem arcos paralelos:1 2

34

1 2

34

n2 posies


aij = 1 p (i , j ) Aaij = 0 p (i , j ) A


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Lista de ns:

Cada n aponta para a lista de seus sucessores (ou nsadjacentes)

Formas de representao por listas de adjacncias

1 2

34

n nsm arestas

n +m posies

1

2

3

4

2 3

3 4

4

ns sucessores ns predecessores1

2

3

4

1

1 2

2 3


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Formas de representao por listas de adjacncias

1 3 5 71

23 m

n

1 2 3 4

1 3 1 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7

Lista de arcos1 2

34

S(.)

2 3 4 3 2 3

1 1 1 2 4 4

T(.)

simples passar de uma forma de representao para outra.


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Desenhar o grafo representado pela matriz de adjacnciaabaixo:

-

!

010101001010000100

001000100100100010

A

Quais so as componentes fortemente conexas deste grafo?

Representar sua matriz de incidncia.

{1,2,5,6}, {3,4}

1 2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-

00000111110

00110100000

11100000000

11001001000

00011010001

000000001111

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


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Representar o mesmo grafo por sua lista de adjacncias.

Representar o grafo por sua lista de arcos.

1

2

3

4

5

6

2 6

3 6

4

2 4

1 3

3

5

1 1 6 6 2 6 2 5 5 3 4

2 6 1 3 6 5 3 2 4 4 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


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Conceitos BsicosConceitos BsicosAlgoritmo para converter uma representao de um grafo orientadosob forma de matriz de adjacncia em matriz de incidncia.

Ler nmero de ns n, matriz Alinha n 1, coluna n 1, arco n 0Enquanto linha n faa

Enquanto coluna n faa

SeA(linha,coluna)=1entoarco n arco+1, k n 1

Enquanto k n faaB(k,arco) n 0k n k+1

fim_enquantoB(linha,arco)n +1

B(coluna,arco)n -1fim_secoluna n coluna +1

fim_enquantocoluna n 1

linha n linha +1

fim_enquanto


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Exerccio: Escrever um algoritmo para converter a representaode um grafo orientado sob forma de matriz de incidnciaem uma representao por listas de adjacncia.

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