Algoritmos y Estructuras de Datos III

2do cuatrimestre 2010

Paula Zabala

Irene Loiseau

Observaciones y advertencias:

• Estas transparencias pueden cambiar un poco antes o después de la clase correspondiente a cada tema.

• Las presentaciones NO INCLUYEN las demostraciones que TAMBIEN forman parte del curso y que son dadas en clase. En la mayoría de los casos se incluyen sólo los enunciados de los teoremas. (o sea esto NO es un apunte de la materia!!).

• También puede haber algún ejemplo o resultado que se de en clase y no esté las transparencias.

• Parte de los temas del práctico 7 (PERT- CPM) no están incluidos en ninguna de las presentaciones.

PROGRAMA

1. ALGORITMOS:

Definición de algoritmo. Modelos de computación: modelo RAM, Máquina de Turing. Complejidad, definición, complejidad en el peor caso, en el caso promedio. Algoritmos de tiempo polinomial y no polinomial. Límite inferior. Ejemplo: análisis de algoritmos de ordenamiento. Algoritmos recursivos. Análisis de la complejidad de algoritmos recursivos.

Técnicas de diseño de algoritmos: dividir y conquistar, backtracking, algoritmos golosos, programación dinámica.

Algoritmos probabilísticos. Algoritmos aproximados Algoritmos heurísticos: ejemplos. Metaheurísticas. Nociones de evaluación de heurísticas.

2. GRAFOS:

Definiciones básicas. Adyacencia, grado de un nodo, isomorfismos, caminos, conexión, etc. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos bipartitos. Arboles: caracterización, árboles orientados, árbol generador. Enumeración. Planaridad. Coloreo. Número cromático. Matching, conjunto independiente, recubrimiento. Recubrimiento de aristas y vértices.

3. ALGORITMOS EN GRAFOS Y APLICACIONES:

Representación de un grafo en la computadora: matrices de incidencia y adyacencia, listas.

Algoritmos de búsqueda en grafos: BFS, DFS, A*. Mínimo árbol generador, algoritmos de Prim y Kruskal. Arboles ordenados: códigos unívocamente descifrables. Algoritmos para detección de circuitos. Algoritmos para encontrar el camino mínimo en un grafo: Dijkstra, Ford, Floyd, Dantzig. Planificación de procesos: PERT/CPM.

. Heurísticas para el problema del viajante de comercio. Algoritmos para determinar si un grafo es planar. Algoritmos para coloreo de grafos.

Algoritmos para encontrar el flujo máximo en una red: Ford y Fulkerson. Matching: algoritmos para correspondencias máximas en grafos bipartitos. Otras aplicaciones.

4. PROBLEMAS NP-COMPLETOS:

Problemas tratables e intratables. Problemas de decisión. P y NP. Maquinas de Turing no determinísticas. Problemas NP-completos. Relación entre P y NP. Problemas de grafos NP-completos: coloreo de grafos, grafos hamiltonianos, recubrimiento mínimo de las aristas, corte máximo, etc.

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA :

• Brassard,G., Bratley,P.”Fundamental of Algorithmics”, Prentice Hall,1996. • Cormen, T.,Leiserson, C.,Rivest,R.,Stein, C.,”Introduction to Algorithms”, The

MIT Press, McGraw-Hill,2001.• Garey M.R. and Johnson D.S.: “Computers and intractability: a guide to the

theory of NP- Completeness”, W. Freeman and Co., 1979. • Gross,J., and Yellen, J. ,”Graph theory and its applications”, CRC, 1999 • Harary F., “Graph theory”, Addison-Wesley, 1969.

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA : ver en la página WEB de la materia y en el el archivo de las prácticas.

ALGORITMOS

• Qué es un algoritmo ?

• Qué es un buen algoritmo?

• Dados dos algoritmos para resolver un mismo problema, cuál es mejor?

• Cuándo un problema está bien resuelto?

• Cómo se hace para inventar un nuevo algoritmo?

Qué es un algoritmo?

Noción “informal”:

Un algoritmo es una sucesión finita de instrucciones “bien definidas” tal que:

i) No hay ambigüedad en las instrucciones.

ii) Después de ejecutar una instrucción no hay ambigüedad respecto de cual es la instrucción que debe ejecutarse a continuación.

iii) Después de un número finito de instrucciones ejecutadas se llega siempre a la instrucción STOP (“Un algoritmo siempre para”).

PROBLEMA

• instancia de un problema

• datos de entrada de una instancia (E)

• solución (S)

ALGORITMO:

• técnica para la resolución de un problema

• función f tal que f (E) = S

Problema de Collatz

Paso 1: z número entero positivo

Paso 2: mientras z 1 hacer

Paso 3: Si z es par poner z = : z / 2

En caso contrario poner z =: 3 z +1

Paso 4: parar

=====================================

es esto un algoritmo?

• Cuánto tarda un algoritmo en resolver un problema?

• Cuándo un algoritmo que resuelve un problema es mejor que otro que resuelve el mismo problema?

Complejidad Computacional

Complejidad

La complejidad de un algoritmo es una función que calcula el tiempo de ejecución en función del tamaño de la entrada de un problema.

• Historia

• Complejidad en el peor caso (es siempre significativo el peor caso?)

• Complejidad en el caso promedio (porqué no usamos este enfoque siempre?)

Cómo medir el tiempo de ejecución en función del tamaño de la entrada de los datos del problema?

MODELOS DE COMPUTACION

• RAM

• MAQUINA DE TURING

RANDOM ACCESS MACHINE

Es el modelo que usamos implícitamente en la práctica para evaluar la complejidad de un algoritmo.

==================================================

• unidad de memoria

• unidad de entrada

• procesador (programa)

• unidad de salida

• conjunto de instrucciones

====================================================

Un programa RAM es una secuencia finita de estas instrucciones

Esquema de una máquina RAM

memoria

entrada procesadorSalida

En este modelo suponemos que:

• La unidad de entrada es una cinta de cuadrados en cada uno de los cuales se puede almacenar un entero.

• La memoria es una suceción de registros, cada uno de los cuales puede almacenar un entero de tamaño arbitrario. Los cálculos se hacen en el primero de ellos, r0.

• El programa no se almacena en en la memoria y no se modifica a si mismo.

• El conjunto de instrucciones es similar al de las computadoras reales. Cada instrucción tiene un nombre y una dirección.

• Este modelo sirve para modelar situaciónes donde tenemos memoria suficiente para almacenar el problema y donde los enteros que se usan en los cálculos entran en una palabra.

Ejemplo( sacado del libro de Aho, Hopcroft y Ullmann)

Ejemplo de tabla de instrucciones de una máquina RAM (código y dirección)

LOAD operando

STORE operando

ADD operando

SUB operando

MULT operando

DIV operando

READ operando

WRITE operando

JUMP label

JGTZ label

JZERO label

HALT

Los operandos pueden ser:

• = i

• Un entero nonegativo indicando el contenido del registro i

• Un puntero *i

Ejemplo de un programa para calcula nn en esta máquina RAM ===================== READ 1 leer r1 LOAD 1 si r1 ≤ 0 entonces write 0 JGTZ pos “ WRITE = 0 “ JUMP endifpos LOAD 1 sino r2 -- r1 STORE 2 “ LOAD 1 r3 -- r1 -1 . SUB = 1 “ STORE 3 “ while LOAD 3 mientras r3 > 0 hacer . JGTZ continue “ JUMP endwhile “continue LOAD 2 r2 -- r2 * r1 . MULT 1 “ STORE 2 “ LOAD 3 r2 -- r2 * r1 SUB = 1 “ STORE 3 “ JUMP whileendwhile WRITE 2 write r2endif HALT========================================

Cómo calculamos la complejidad de un algoritmo con este modelo?

tj : tiempo de ejecución de la instrucción j.

T: tiempo de ejecución de un programa que ejecuta nj instrucciones de tipo j.

T = j nj tj

Si suponemos que todos los tj son iguales tenemos

T = j nj

----------------------------------------------------------------------------Esta es el modelo que usamos implícitamente cuando

“calculamos” la complejidad de un algoritmo en la práctica

Tamaño de la entrada de un problema

• Número de símbolos de un alfabeto finito necesarios para codificar todos los datos de un problema.

• El tamaño de la entrada de un problema depende de la base o alfabeto elegidos.

• para almacenar un entero positivo N en base 2 se necesitan

L =log2(N+1) dígitos binarios.

• en una base b cualquiera se necesitan L =logb(N+1)

• si a y b 1 entonces logb N = loga N / loga b

qué implica esto desde el punto de vista de la complejidad de un algoritmo?

Podemos considerar distintos modelos para determinar la complejidad en función del tamaño de la entrada del problema.

• Modelo uniforme: suponemos que los valores a almacenar están acotados.

• Modelo logarítmico: consideramos la representación binaria de los números a almacenar, o sea medimos el tamaño de la entrada en bits.

Qué consecuencias puede tener usar uno u otro modelo?

Máquina de Turing (determinística)

Componentes de una máquina de Turing

===========================================================

• Cinta infinita dividida en celdas iguales que pueden contener un único símbolo de un alfabeto finito T.

• Cabeza de lectura escritura que apunta a una de las celdas.

• lista finita de estados posibles {qi}. Hay al menos un estado final.

• operaciones:

i) lectura del símbolo ti inscripto en la celda señalada por la cabeza.

ii) guardar en esta celda el símbolo tf determinado por qi.

iii) transición al estado qf determinado por ti y qi .

iv) movimiento de la cabeza de lectura/escritura a izquierda o derecha.

V) inicio de un nuevo ciclo.

Para cuando llega a un estado final.

==========================================================

Un programa correspondiente a esta máquina de Turing es un conjunto finito de quintuplas (qi,ti,qs, ts, m).

La instrucción (qi,ti,qs, ts, m) se interpreta como:

“ si la máquina está en el estado qi y lee en la posición actual de la cabeza de lectora el símbolo del alfabeto ti , entonces escribe en dicha posición el símbolo ts , pasa al estado qs y se mueve a la izquierda o a la derecha según el valor de m sea -1 ó +1 “.

Ejemplo

• Máquina de Turing para resolver el problema de determinar si dados N y M con M > 1, N es divisible por M.

• Alfabeto T = { A, B, 0, 1, 2 }

• Se almacenan en la cinta M y N codificados en base 1, separados por el símbolo B y con el símbolo A marcando el fin del número.

• Estado inicial: q0

• Estados posibles Q = {q0, q1 ,q2,qs, qn}

• Estados finales: qs, qn

Programa

Instrucciones

(q0, A,, q2 , A , + 1) (q1, A,, qn , * , *) (q2, A,, qs , * , *)

(q0, B,, q0 , B , - 1) (q1, B,, q1 , B , + 1) (q2, B,, q2 , B , + 1)

(q0, 0 , q0 , 0 , - 1) (q1, 0,, q1 , 0 , + 1) (q2, 0, q2 , 0 , + 1)

(q0, 1 , q1 , 2 , + 1) (q1, 1 , q0 , 0 , - 1) (q2, 1 , q0 , 1 , -1)

(q0, 2, q0 , 2 , -1) (q1, 2 , q1 , 2 , + 1) (q2, 2, q2 , 1 , + 1)

Cómo funciona esto?. Usar esta máquina para decidir si 5 es divisible por 3.

• Cómo se calcula la complejidad de un algoritmo representado por una máquina de Turing?.

• Formalmente un algoritmo es un objeto asociado a una máquina de Turing que resuelve un determinado problema. La complejidad del mismo debería ser calculada en función del mismo.

• En la práctica sin embargo usaremos una noción un poco menos formal de algoritmo y también para determinar la complejidad de un algoritmo, que se parece más al modelo RAM.

• Desde el punto de vista práctico ambos enfoques han mostrado ser equivalentes.

Determinaremos la complejidad contando la cantidad de operaciones básicas de alto nivel que realiza el algoritmo, en función del tamaño del problema.

Es correcto esto?. Puede ser peligroso?

Cuándo decimos que un algoritmo es bueno?

Armemos esta tabla..... supongamos que tenemos algoritmos con las siguientes complejidades y los corremos en la misma máquina(los tiempos están dados en segundos )

10 20 30 40 50 60 n 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006 n2 n3 n5 2n 3n

La tabla queda así…..(los tiempos están dados en segundos salvo cuando dice otra cosa)

10 20 30 40 50 60 n 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006 n2 0.0001 0.0004 0.0009 0.0016 90.0025 0.0036 n3 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 n5 0.1 3.2 24.3 1.7 min 5.2 min 13.0 2n 0.001 1.0 17.9min 12.7días 35.6 años 366 siglos 3n 0.59 58 min 6.5años 3855siglos 2 E+8 siglos 1.3 E+13 siglos

Los datos de la tabla anterior corresponden a una máquina MUY vieja (son datos del libro de Garey y Johnson de 1979).

Qué pasa si tenemos una máquina 1000 veces más rápida?. Un millón de veces más rápida?. Cuál sería el tamaño del problema que podemos resolver en una hora comparado con el problema que podemos resolver ahora?.

actual computadora 1000 veces mas rápida n N1 1000 N1 n2 N2 31.6 N2

n3 N3 10 N3

n5 N4 3.98 N4

2n N5 N5 + 9.97

3n N6 N6 + 6.29

Qué pasaría si tuviéramos una computadora 1 millón de veces más rápida?

Cuándo diremos entonces que un algoritmo es bueno?.

Cuándo un algoritmo es suficientemente eficiente para ser usado en la práctica?

=============================

POLINOMIAL = “bueno”

EXPONENCIAL = “malo”

=============================

Qué pasa si tengo complejidades como las siguientes?:

• n 80

• 1.001n

esto no ocurre en la práctica

Puede ocurrir que un algoritmo sea “malo” en el peor caso y bueno en la práctica?.

Hay muy pocos casos.

Ejemplo clásico:

método simplex para problemas de programación lineal.En el peor caso es exponencial pero en la práctica el tiempo de ejecución

es generalmente O(m3) donde m es el número de ecuaciones del problema de programación lineal (es un método MUY usado en la industria y los servicios para resolver problemas de optimización…desde hace 50 años)

Cuándo decimos que un problema está computacionalmente bien resuelto?

Cuándo hay un algoritmo polinomial para resolverlo.

Como veremos más adelante hay problemas para los cuales no sabemos si existe o no un algoritmo polinomial para resolverlos. Saber si una gran familia de estos problemas tiene solución polinomial o no es el problema abierto más importante de teoría de la computación.......

continuará en el último capítulo del curso.......

Repasando notaciones

Dadas dos funciones f y g : N+ R decimos que:

• f(n) = O (g(n)) si c 0 y n0 N tal que f(n) c g(n)

n n0 .

• f(n) = (g(n)) si c 0 y n0 N tal que f(n) c g(n)

n n0 .

• f(n) = (g(n)) si c,c’ 0 y n0 N tal que

c g(n) f(n) c’ g(n) n n0

Si f(n) = O (g(n)) se dice que f es de orden g(n).

Complejidad de algunos algoritmos conocidos

Calculo de determinantes

Sea una matriz M = (aij ) y sea Mij la submatriz de M que se obtiene sacando de M la fila i y la columna j.

Fórmula recursiva para calcular el determinante:

(desarrollo por la primera fila)

det (M) = j (- 1) j+1 a ij det (M 1j)

Complejidad de este método?.

Se puede calcular usando la fórmula recursiva que se deduce de la versión recursiva que dimos del algoritmo:

t(n) = n t(n - 1) + O (n)

Complejidad O(n!)Hay métodos más eficientes de calcular el determinante de

una matriz?.

SI (triangular la matriz por el método de Gauss y calcular el producto de la diagonal)

Está este problema bien resuelto computacionalmente?.

Búsqueda secuencial

Datos: n, b, (a1,a2,.............an)

Paso 1: para i = 1,n hacer

if b = ai parar

Paso 2 : parar

=========================

Complejidad?

Búsqueda Binaria

Function Bin (T,x)

si n = 0 o x < T entonces return

i 1

j n

mientras i < j hacer

k (i+j+1)/2 si x < T (k) entonces j k-1

sino i k

return i

=========================

Complejidad?

Algoritmos de ordenamiento

Algoritmo de burbujeo

Datos: (a1,a2, ...................an)

Paso 0: poner k = n

Paso 1: mientras k 1 hacer

Paso 2: poner i = 1

Paso 3: mientras i k hacer

Paso 4 : si ai ai+1 cambiar ai con ai+1

Paso 5: poner i = i + 1

Paso 6 : poner k = k -1

Paso 7 : parar

=========================

Complejidad?

Heap sort

Heap: árbol binario casi completo, donde cada nodo tiene asignado un valor de forma que el valor de un nodo es mejor (mayor) que el de sus hijos.

Puede ser representado por un arreglo T en el cual los nodos del nivel k se guardan en las posiciones

T [2k], T [2k+1], ................T [2k+1-1]

ejemplo

T [1]

T [2] T [3]

T [4] T [5] T [6] T [7]

T [8] T [9] T [10]

Ordenar T = 1, 6, 9, 2, 7, 5, 2, 7, 4, 10 usando Heapsort.

1

6 9

2 7 5 2

7 104

Algoritmo Make-Heap

Dado un arreglo T los siguientes procedimientos nos permiten ordenarlo:

procedure sift-down(T [1..n], i)

(“baja” el nodo i hasta que T [1..n] vuelve a ser un heap, suponiendo que T sea suficientemente grande para ser un heap (caso base?)

k i

repetir mientras j k

j k

if 2j n y T [2j ] > T [k ] entonces k 2j

if 2j < n y T [2j +1 ] > T [k ] entonces k 2j + 1

intercambiar T [j ] y T [k ]

fin

procedure make-heap (T [1..n])

(arma el heap)

para i = n /2 ....1 hacer sift-down (T,i)

fin

procedure heapsort ((T [1..n])

(ordena T)

make-heap (T)

para i = n , 2 hacer

intercambiar T [1] y T [i]

sift-down(T [1..i-1], 1)

fin

Complejidad de make-heap

Cómo calcular t(k), complejidad de armar un heap de altura k?

Podemos plantear la siguiente formula recursiva para la complejidad:

t(k) = 2 t (k-1) + O (k)entonces

t(k) = O (2k)

Cómo un heap de n elementos tiene altura log n entonces puede ser construido en en O(2 log n ) pasos o sea en tiempo lineal.

Cuál es la complejidad de Heapsort?

Límite inferior para la complejidad de un algoritmo

• Cuándo se puede obtener?

• Importancia

EJEMPLO: algoritmos de ordenamiento basados en comparaciones. Se pueden modelar por un árbol binario de decisión. Los estados finales del algoritmos están representados en las hojas.

Entonces nro de hojas n! Como el árbol es binario, nro de hojas 2h (h altural del árbol) y 2h n! . Entonces

h log2 (n!) = log2 (n (n-1)....2. 1) > log2 (n (n-1)....n/2) > log2 n /2 (n/2) =

= n/2 (log2 n - 1) ) = (n log2 n )

Conclusión: HEAPSORT es “óptimo” dentro de este tipo de algoritmos.

Técnicas de diseño de algoritmos

• Algoritmos golosos

• Dividir y conquistar

• Recursividad

• Programación dinámica

• Backtracking

• Algoritmos Probabilísticos

Algoritmos Golosos

Se usan principalmente para problemas de optimización.

Componentes:

• Lista o conjunto de candidatos

• Conjunto de candidatos ya usados

• Función que verifica si un conjunto de candidatos da una solución al problema.

• Función que verifica si un conjunto de candidatos es hasta el momento factible.

• Función de selección

• Función objetivo

---------------------------------------------------------------------------------

Función GREEDY (C)

{C es el conjunto de candidatos}

S ------ Mientras NOT solución(S) y C hacer

x -------------------- elemento que maximice select (x)

C <-------------------- C \ {x}

Si S U {x} es factible entonces s --------- S U {x}

Si solución(S) entonces RETURN S

sino RETURN “no hay solución”

---------------------------------------------------------------------------------

Qué hacen las funciones solución(S) y select (x) ?

Minimizar el tiempo de espera en un sistema

Un servidor tiene n clientes para atender. Se sabe que el tiempo requerido para atender cada cliente i es ti. Se quiere minimizar

T = i (tiempo que i está en el sistema)

El algoritmo goloso que atiende al cliente que requiere el menor tiempo de atención entre los que aún están en la cola resuelve el problema. (hay que demostrarlo)

Supongamos que I = ( i1,i2,......in) es una permutación de los enteros {1,2....n}. Si los clientes son atendidos en el orden I entonces

T = ti1 + (ti1+ ti2) + (ti1 + ti2 + ti3) + ......

= k (n-k+1) tik

Usando esta expresión podemos probar que el algoritmo goloso es correcto………..

Supongamos que en I hay dos enteros a y b con a < b y tal que tia > tib. O sea el cliente a es atendido antes que el b, a pesar de que el primero

requiere mas tiempo de servicio. Si intercambiamos cambiamos las posiciones de a y b tenemos un nuevo orden I´ para el cual

T (I´) = (n-a + 1) tib +(n-b+1) tia + ka,b (n-k+1) tik

Entonces T(I) – T ( I´) = (n-a + 1) (tia - tib ) +(n-b+1) (tib - tia )=

= (b-a) (tia - tib ) > 0

Vemos que podemos seguir mejorando el valor de T intercambiando el orden de los clientes hasta obtener el orden óptimo dado por el algoritmo goloso.

==================================Cuál es la complejidad de este algoritmo?

Planificación de tareas

Hay n tareas que deben ser ejecutadas cada una de las cuales requiere una unidad de tiempo. En cada momento se puede ejecutar una sola tarea.

Cada tarea i produce un beneficios gi y debe ser ejecutada antes del tiempo di.

Ejemplo con n = 4

i 1 2 3 4

gi 50 10 15 30

di 2 1 2 1

Algoritmo goloso para este problema

En cada paso elegir para ejecutar la tarea aún no realizada que produce el mayor beneficio, siempre y cuando el conjunto de tareas resultante sea factible.

Cómo se ve que un conjunto de tareas es factible?.

Cuando hay un ordenamiento de esas tareas que permite ejecutarlas a todas a tiempo.

Lema: sea J un conjunto de tareas y s = (s1, s2,………, sk) una permutación de dichas tareas tal que

ds1 ds2 ……… dsk

J es factible si y sólo si s también lo es.

Dem: obvio. Si J es factible existe al menos una sucesión de los trabajos ρ = (r1, r2,…….rk) tal que dri i, para 1 i k. Si fuera s ρ , sea a el menor índice tal que sa ra y sea b el índice tal que

rb = sa. Claramente b > a y dra dsa = drb.

Entonces el trabajo ra podría ser ejecutado más tarde en el lugar de rb y este último en el lugar de ra. Si los cambiamos en ρ tenemos una sucesión factible que tiene un trabajo más en coincidencia con s. Repitiendo este procedimiento podemos llegar a obtener s y ver entonces que es factible.

Lema: Este algoritmo goloso obtiene la solución óptima para este problema de planificación de tareas.

Dem: Supongamos que el conjunto I elegido por el algoritmo goloso es distinto de un conjunto J óptimo. Sean SI y Sj

dos sucesiones factibles para estos conjuntos.

Hacemos intercambios de modo de obtener dos sucesiones factibles S´I y S´j tal que los trabajos comunes en ambas secuencias sean ejecutados en el mismo momento (pueden quedar gaps en alguna de las planificaciones).

O sea si tenemos las secuencias…

SI p y q x r - - -

SJ r s t p u v q w

podemos reordenarlas de la siguiente forma

S´I x y - p r - q -

S´J u s t p r v q w

(En S´I y S´J se siguen respetando los tiempos de entrega di)

Como hemos supuesto que los conjuntos I y J son distintos, consideremos ahora un momento en el cual la tarea que está programada en S´I es distinta de la programada en S´j :

• Si una tarea a está programada en S´I y en S´j hay un gap (la tarea no pertenece a J) entonces J {a} sería mejor que J, absurdo porque J es óptimo.

• Si alguna tarea b está programada en S´j y en S´I hay un gap entonces I {b} es factible y por lo tanto el algoritmo goloso tendría que haber incluído a b y no lo hizo.

• La última posibilidad es que haya una tarea a programada en S´I y otra b en S´j. Esto implica que a no aparece en J y b no aparece en I :

- si fuera ga > gb se podría substituir a por b en J y mejorar a J (absurdo porque J era óptimo).

- si fuera fuera gb > ga el algoritmo goloso tendría que haber elegido a b antes de considerar a.

- entonces gb = ga

Por lo tanto S´I y S´j tienen programadas en cada momento, o ninguna tarea, la misma tarea o distintas tareas que dan el mismo beneficio. Y entonces como J era óptimo I también lo es.

Algoritmo goloso

(se supone que las tareas están numeradas de modo que g1 g2 …….. gn)-------------------------------------------------------------------Función sequence (d[0……n])d[0], j[0] --------- 0k, j[1] ------1Para i= 1,n hacer r <-k mientras d[j [r]] > max ( d(i),r) hacer r = r-1 si d[j [r]] d[i] y d[i] > r entonces para l=k-1, r+1 hacer j[l+1] = j[l] j[r+1] ---------i k ---- k+1Return k, j[1,….k]------------------------------------------------------------------

El algoritmo se puede mejorar un poco, cambiando la forma de verificar cuando un conjunto de tareas es factible.

Podemos determinar un conjunto factible de tareas de una forma más eficiente usando el siguiente lema:

Lema: Un conjunto de tareas es factible si y sólo si podemos construir una secuencia factible que incluya todos los trabajos de la siguiente forma: para cada trabajo i J ejecutar i en el momento t, donde t es el mayor entero tal que

0 < t min (n,di) y en el momento t no se ha decidido que trabajo hacer.

Ejercicio: Demostrar este lema. Escribir un algoritmo más eficiente que el anterior

basado en este lema.

Problema de la mochila

Quiero decidir cuáles son los elementos que tengo que elegir para llevar en la mochila para maximizar mi beneficio respetando la restricción de capacidad de la misma.

Max z =j cj xj

sujeto a que j aj xj b

xj N+

b : capacidad de la mochila cj : beneficio de llevar una unidad del elemento jaj : peso del elemento j

b, cj , aj positivos

En esta primera versión del problema de la mochila vamos a suponer que podemos llevar a lo sumo un objeto de cada tipo o “partes” de los mismos, es decir que consideraremos que las variables xj son reales positivas, o sea queremos resolver el siguiente problema:

Max j cj xj

sujeto a que

j aj xj b

0 xj 1

Ejemplo: n = 5, b = 100 y los beneficios y pesos están dados en la tabla

Posibles ideas para un algoritmo goloso para este problema:

• Elegir los objetos en orden decreciente de su beneficio….• Elegir los objetos en orden creciente de su peso………..

Sirven estas ideas?. Dan el resultado correcto?

aj 10 30 20 50 40

cj 20 66 30 60 40

Que pasa si ordenamos los objetos por su relación peso/beneficio? O sea en orden decreciente de los

cj /aj ?.

Lema: Si los objetos se eligen en el orden decreciente de los valores cj /aj

entonces el algoritmo goloso encuentra la solución óptima al problema de la mochila con variables continuas.

Dem: supongamos que tenemos los elementos ordenados en orden decreciente de su relación cj /aj . Sea X = (x1,…xn) la solución encontrada por el algoritmo goloso. Si todos los xi son 1 la solución es óptima. Sino sea j el menor índice tal que sea xj < 1.

Es claro que xi = 1 para i < j y que xi = 0 para i > j y que

ai xi = b

Sea V(X) = ci xi el valor de la solución dada por el algoritmo goloso.

Sea Y = (y1……yn) otra solución cualquiera factible. Como

b = ai xi ai yi

se puede ver que ( xi – yi ) ai 0

Además para todo índice i se verifica que

( xi – yi ) ci /ai ( xi – yi ) cj /aj

entonces

V (X) – V ( Y ) = ( xi – yi ) ci = ( xi – yi ) aici /ai (cj / aj ) ( xi – yi ) ai 0

O sea el valor de la solución determinada por el algoritmo goloso es mejor o igual al valor de cualquier otra solución.

Veamos que ocurre con el problema de la mochila, en el caso de que las variables xj tengan que tomar necesariamente valores enteros (como ocurre en

la práctica, es decir cuando no podemos llevar un “pedazo” de un objeto).

Algoritmo goloso para el problema de la mochila con variables enteras nonegativas:

-----------------------------------------------• Ordenar los elementos de forma que cj / aj cj+1 / aj+1

• Para j=1,n y mientras b 0 hacer xj = b / aj

b = b – aj xj

z = z + cj xj

• Parar------------------------------------------------

Cuando las variables son enteras este algoritmo goloso no da siempre la solución óptima para el problema de la mochila.

Ejemplo: tenemos una mochila de tamaño 10 y 3 objetos, uno de peso 6 y valor 8, y dos de peso 5 y valor 5.

En el caso de variables enteras el algoritmo goloso que presentamos puede considerarse como una heurística para resolver el problema.

Dividir y conquistar

ESQUEMA GENERAL:--------------------------------------------------------------------------------Función DQ (x) Si x es suficientemente chico o simple entonces return ADHOC(x) Sino, descomponer x en subinstancias x1…….xk .

Para i=1,k hacer yi = DQ (xi) Combinar las soluciones yi para construir una solución y para xReturn y--------------------------------------------

Recursividad, Caso Base

Ejemplos:

• Búsqueda binaria• Merge Sort• Quick Sort• Algoritmo de multiplicación de Strassen

Cómo calcular la complejidad de estos algoritmos?.

Ecuaciones de recurrencia.

Algoritmo de multiplicación de Strassen

Cómo calcular el producto de dos matrices de dos por dos usando menos multiplicaciones que con el método tradicional.

Dadas dos matrices

A = a11 a12 y B = b11 b12

a21 a22 b21 b22

podemos poner……

m1 = (a21 + a 22 – a 11 ) (b22 - b 12 + b 11 )

m2 = a11 b11

m3 = a12 b21

m4 = (a 11 – a 21 ) (b 22 – b 12 )

m5 = (a21 + a 22 ) (b 12 – b 11 )

m6 = (a12 - a 21 + a11– a 22 ) b22

m7 = a22 ( b11 + b22 - b 12 – b 21 )

Entonces el producto AB queda:

m2 + m3 m1 + m2 + m5 + m6

m1 + m2 + m4 – m7 m1 + m2 + m4 + m5

Este procedimiento requiere 7 multiplicaciones para cacular el producto de A y B (pero más sumas que el método tradicional!!).

• Si reemplazamos cada elemento de A y B por una matriz de n x n, las fórmulas anteriores nos dan una forma de multiplicar dos 2n X 2n matrices.

A partir de esto tenemos un método recursivo para calcular el producto de matrices con n potencia de 2.

• Cómo se calcula para n par, la complejidad t(n) de este algoritmo?.

t(n) = 7 t(n/2) + g(n) con g(n) O(n2)

Se puede demostrar que t(n) Ө (n log 7) y por lo tanto t(n) O (n 2.81). (ejercicio)

• Este método se puede generalizar también a matrices cuyas dimensiones no sean de la forma 2 n.

Backtracking

Técnica para recorrer sistemáticamente todas las posibles configuraciones de un espacio. Puede pensarse también que es una técnica para explorar implícitamente árboles dirigidos (o grafos dirigidos en general pero sin ciclos).

Procedure backtrack (v[1….k])

{v es un vector k-prometedor }

si v es una solución al problema entonces escribir v

sino para cada vector “k+1-prometedor” w tal que

w[1…k] = v[1…k] hacer backtrack (w[1…k+1])

===============================================

No necesariamente exploramos todas las ramas del árbol : “poda”

Problema de las 8 reinas

Ubicar 8 reinas en el tablero de ajedrez sin que ninguna “amenace” a otra.

• Cuántas operaciones tenemos que hacer si consideramos todas las combinaciones del tablero tomadas de a 8 y después vemos cuales sirven?

64 = 442616536 8

• Si mejoramos esto usando la representación (i1, i2, i3 ,i4, i5 ,i6,i7 ,i8 ) donde ij indica que hay una reina en la

columna j y la fila ij y analizamos cuales son factibles o no. cuántas operaciones tendremos?.

8 8 = 16777216 (se encuentra una solución después de revisar “sólo” 1299 852 posiciones)

• Si vemos que dos reinas no pueden estar ni en la misma fila ni en la misma columna vemos que en realidad podemos representar el problema mediante las permutaciones de (1,2,3,4,5,6,7,8). Cuántas operaciones tenemos en este caso?.

8! = 40320 (implementando este algoritmo podemos ver que hay que

revisar 2830 posiciones hasta encontrar una primera solución)

Algoritmo de bactracking

Decimos que un arreglo V de los enteros 1 a 8 es k-prometedor si ninguna de las reinas ubicadas en las posiciones (1, v(1)), (2,v(2)), (3,v(3)),…..(k,v(k)), 1 k n amenaza a las otras.

O sea v es k-prometedor si para todo ij entre 1 y k, tenemos que v(i) –v(j) {i-j,0,j-i}.

Un vector 8-prometedor es solución del problema de las 8 reinas.

Algoritmo de backtracking

------------------------------------------------------------------------------------Procedimiento Queens (k, try, diag45, diag 135){try[1,…k] es k-prometedor, col = {try [i], 1 i k}diag45 = {try [i]-i +1, 1 i k}diag135 = {try [i] + i - 1, 1 i k}}Si k = 8 entonces {un vector 8-prometedor es solución}. Return trySino {explorar las k+1-prometedoras extensiones de try} Para j=1,8 si j col y j-k diag45 y j+k diag135 entonces try[k+1] --j {try [1,….k+1] es k+1-prometedor} Queens (k+1, col U {j}, diag45 U {j}, diag135 U {j+k} -------------------------------------------------------------------------------------

• Se puede ver computacionalmente que este árbol de bactracking tiene 2057 nodos y que es suficiente explorar 114 para encontrar la primera solución. (Cómo se hace para calcular esto?).

Cuál es la complejidad de este algoritmo de bactracking?

Ejercicio: Mostrar un valor de n 2 para el cual el problema de las n reinas no tiene solución.

Otros ejemplos

Encontrar, usando backtracking todas las soluciones enteras de

x1+ 2x2 + x3 10

1 xi 4 i =1,2,3

Escribir algoritmos de backtracking (con poda cuando se pueda) para los siguiente problemas:

• Encontrar una solución para el siguiente puzzle: hay 4 cubos tales que cada una de las 24 caras de los mismos están coloreadas de azul, rojo, verde y blanco. El juego consiste en ubicar los cubos en hilera de modo que cada color aparezca una vez arriba, otra abajo, otra en el frente y otra en la parte de atrás.

• Un “desarreglo” de un conjunto de números {1,…n} es una permutación p de dichos números tal que ninguno de ellos queda en la posición indicada por su valor, es decir, p(i) i

para todo 1 i n .

Programación Dinámica

• Técnica bottom- up

• Principio de optimalidad : un problema de optimización satisface el principio de optimalidad si en una sucesión óptima de decisiones o elecciones, cada subsucesión es a su vez óptima. (es necesario que se cumpla para poder usar la técnica de programación dinámica, no todos los problemas lo cumplen)

Ejemplos:• Coeficientes binomiales• Producto de matrices• Comparación de secuencias de ADN• Subsecuencia creciente máxima• Arbol de búsqueda óptimo• etc.

Cálculo de coeficientes binomiales

Supongamos que queremos calcular los coeficientes binomiales usando la siguiente función (“divide and conquer”):

---------------------------Función C(n,k) si k = 0 or k = n entonces return 1 sino return C (n-1, k-1) + C (n-1, k)----------------------------Es eficiente calcular así?. No, los mismos valores de C(n,k) son calculados varias veces.

Cuál es la complejidad de este algoritmo?. ( n )

k

Triángulo de Pascal

0 1 2 3 ……. k-1 k

0 1 . . . . . .

1 1 1 . . .

2 1 2 1 . .

…… . . . . .

n-1 . . . . .

n . . . .. .

Cuál es la complejidad de este algoritmo?. Cuánta memoria requiere?. Hay que guardar en memoria toda la tabla?.

C(n-1, k-1) C(n-1, k)

C (n,k)

• La “fórmula” que usamos aquí es la misma que en el algoritmo “divide and conquer”, pero acá no calculamos varias veces lo mismo.

• Tenemos entonces una complejidad de O(nk).

Problema de la multiplicación de n matrices

Queremos ver la forma óptima de calcular

M= M1 M2 M3………. Mn

Por la propiedad asociativa del producto de matrices esto puede hacerse de muchas formas. Queremos determinar la que minimiza el número de operaciones necesarias.

Vale el principio de optimalidad acá?

Ejemplo: supongamos que A es de 13 x5, B de 5 x 89 , C de 89 x 3 y D de 3 x 34.

((AB)C)D requiere 10582 multiplicaciones

(AB)(CD) requiere 54201 multiplicaciones

(A(BC))D requiere 2856 multiplicaciones

A((BC)D) requiere 4055 multiplicaciones

A(B(CD)) requiere 26418 multiplicaciones

Para ver cuál es la forma óptima de multiplicar deberíamos analizar todas las formas posibles de poner los paréntesis y ver cual es la mejor.

Sea M =( M1 M2 M3………. Mi)(Mi+1 M i+2………. Mn)

Sea T(i) la cantidad de formas de poner los paréntesis en el lado derecho y T(n-i) en el lado izquierdo. Entonces para cada i hay T(i)T(n-i) formas de poner los paréntesis para toda la expresión y

T(n) = i T(i) T(n-i)

A partir de que T(1) =1 se puede calcular la expresión para cualquier n. (números catalanes).

Encontrar de esta forma (algoritmo de fuerza bruta) la mejor manera de calcular la cantidad de multiplicaciones que requiere cada posibilidad es del orden (4n/n).

2n 2n-2 Dem: ejercicio, usar que n 4n / (2n+1) y T(n) = 1/n n -1 )

n 1 2 3 4 5 10 15

T(n) 1 1 2 5 14 4862 267440

Cómo usar Programación Dinámica para resolver este problema?

Construimos una tabla mij (1 i j n) donde mij es la cantidad mínima de multiplicaciones necesaria para calcular

Mi M i+1 M i+2…….Mj . La solución al problema es entonces m1n.Suponemos que las dimensiones de la matriz Mi están dadas por

un vector di , 0 i n, donde la matriz Mi tiene di-1 filas y di columnas y armamos la tabla diagonal por diagonal, para cada diagonal s, s = 0,……., n-1

• s=0 : mii = 0 para i=1,2,…n• s= 1 : mi i+1 = di-1didi+1 para i=1,2,…n-1• 1< s < n : mi i+s = mini ≤ k < i+s {mik + mk+1 i+s + di-1dkdi +s}

para i=1,2,…n-s

En el ejemplo anterior d= ( 13,5,89,3,34) y entonces

. Para s =1 m12 = 5785 , m23 = 1335, m34 = 9078

. Para s =2 m13 = 1530, m24 = 1845

. Para s = 3 m14 = 2856

J=1 2 3 4

i=1 0 5785 1530 2856 s=3

2 0 1335 1845 s=2

3 0 9078 s=1

4 0 s=0

• Cómo guardar la información para saber además cuál es la forma de hacer el producto tener este número de multiplicaciones?.

• Complejidad : en cada diagonal s hay que calcular n-s elementos y para cada uno de ellos hay que elegir entre s posibilidades, entonces la cantidad de operaciones del algoritmo es del orden de:

s (n-s)s = n s s - s s2 = n2 (n-1)/2 –n (n-1) (2n-1)/6

= (n3 –n )/6

o sea la complejidad del algoritmo es O(n3).

Triangulación de mínimo peso

Una triangulación de un polígono convexo P = {v1, v2.... vn, v1} es un conjunto de diagonales que particiona el polígono en triángulos. El peso de la triangulación es la suma de las longitudes de sus diagonales.

Ejemplo: dos triangulaciones de un mismo polígono.

Observar que cada eje del polígono original está en un solo triángulo.

Dado un segmento que une dos vértices adyacentes, transformarlo en un triángulo implica determinar el tercer vértice. Una vez identificado este vértice al polígono le quedan dos polígonos menores que deben ser a su vez triangulados.

Sea T [i,j] el costo de triangular una de las parte del polígono que queda después de trazar una diagonal desde el vértice vi al vértice vj,, sin tomar en cuenta la longitud dij de la cuerda que va de vi a vj (para no contarla dos veces).

k

i

j

T [i,j] = min k = i,j {T [i,k] + T [k,j] + dik + dkj }

Caso base, cuando i y j son vecinos: T [i, i+1] = 0

Algoritmo para triangulación del polígono

Triangulación-mínima (P) para i = 1,n -1 hacer T[i,i+1] =0para gap = 1, n-1 para i = 1, n-gap hacer j= i+gap

T [i,j] = min k=i,j {T [i,k] + T [k+1,j] + dik + dkj }return T[1,n]

• Complejidad : O(n3)

• Complejidad espacial: O(n2)

===========================================

• Qué pasa si el polígono no es convexo?.

• Qué pasaría si hubiera puntos en el interior del polígono?. El número de subregiones en cada paso ya no es 2 y crece

exponencialmente y entonces el algoritmo de programación dinámica no es eficiente.

No se conocen algoritmos polinomiales para el problema de triangulación en este caso.

Comparación de secuencias de ADNSupongamos que tenemos dos secuencias de ADN GACGGATTAG y GATCGGAATAG

Queremos decidir si son “parecidas” o no.Para qué se usa esto?Alineamiento GA- CGGATTAG GATCGGAATAG

Objetivo: construir un algoritmo que determine la mejor alineación global entre dos secuencias (que pueden tener distinta longitud).

Asignamos valores a las coincidencias, a las diferencias y a los gaps.

(Las transparencias que siguen sobre este tema, fueron preparadas por alumnos de la materia Biología Computacional, ver página web).

match = +1mismatch = -1gap penalty = -2

Score(T, S) = 9 x 1 + 1 x (-1) + 1 x (-2) = 6

Ejemplo

T GA–CGGATTAGS GATCGGAATAG

Scores

Algoritmo de Programación dinámicaNeedleman & Wunsch (1970)

• Encuentra el mejor scoring para un alineamiento global de dos secuencias

• A partir de allí se determina un alineamiento que tiene ese score óptimo.

De acuerdo a los parámetros elegidos la alineación óptima puede variar.

• Se quiere alinear las secuencias S y T.• Sea n el tamaño de S y m el de T. • Hay n+1 posibles prefijos de S y m+1 posibles

prefijos de T (incluyendo el string vacío).• Se genera una matriz F de (n+1)x(m+1) elementos.• El elemento F(i, j) tendrá la mejor similitud entre

las subsecuencias S[1...i] y T[1...j].

Dadas las secuencias:

S = AAACT = AGC

A

A

A

C

A G C

Cálculo de la similitud óptima

FF(i, j)= max(i, j)= maxF(i-1, j-1)+p(i,j)F(i-1, j-1)+p(i,j)

F(i-1, j)-wF(i-1, j)-w

F(i, j-1)-wF(i, j-1)-w

F(i-1,j-1) F(i,j-1)

F(i-1,j) F(i, j)

w=Penalización del Gap

Llenado de la Matriz

• Se llena la matriz la primera fila y la primera columna con múltiplos de la penalidad por espacio.

• Se llenan los elementos interioresF[i,j] = max F[i, j-1] + g

F[i-1, j-1] + p(i,j)F[i-1, j] + g

• g = penalidad por espacio, p(i,j) = valor del matching entre S(i) y T(j)

• Sigue cualquier orden que permita tener los valores F[i, j-1], F[i-1, j-1], F[i-1, j]. Como fila por fila ( de izquierda a derecha) o columna por columna (de arriba hacia abajo).

AlgoritmoAlgoritmo

n = long(S)

m = long(t)

Para i = 0 hasta n hacer

F[i, 0] = i g

Para i = 0, m hacer

F[0, i] = i g

Para i = 1, n hacer

Para j = 1, m hacer

F[i, j] = max (F[i-1, j] + g, F[i-1, j-1] + p(i,j), F[i, j-1] + g)

Return F

Inicio de la matriz:

A

A

A

C

A G C

0

A

-2

Inicio de la matriz:

A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -6

A G CA A A C

A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1

1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

-1

A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

??

?

F(i, j)=F(i, j)=F(i-1, j-1)+s(i,j)F(i-1, j-1)+s(i,j)

F(i-1, j)-wF(i-1, j)-w

F(i, j-1)-wF(i, j-1)-w

maxmax

A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

1

F(i, j)=F(i, j)=F(i-1, j-1)+s(i,j)F(i-1, j-1)+s(i,j)

F(i-1, j)-wF(i-1, j)-w

F(i, j-1)-wF(i, j-1)-w

maxmax

AA

A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

1

F(i, j)=F(i, j)=F(i-1, j-1)+s(i,j)F(i-1, j-1)+s(i,j)

F(i-1, j)-wF(i-1, j)-w

F(i, j-1)-wF(i, j-1)-w

maxmax

-1

A A G

1A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

F(i, j)=F(i, j)=F(i-1, j-1)+s(i,j)F(i-1, j-1)+s(i,j)

F(i-1, j)-wF(i-1, j)-w

F(i, j-1)-wF(i, j-1)-w

maxmax

-1

0-1

-2-3

-4-5

-1

-1

-2

-3

score óptimo global

1A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

-1

0-1

-2-3

-4-5

-1

-1

-2

-3

Tenemos el valorde la similitud entrelas secuencias.

Ahora necesitamos reconstruir el alineamiento

1-1

0

Determinación del alineamiento óptimo

• Se comienza desde el valor de F[n,m] y se realiza el camino inverso hasta llegar al valor F[0,0].

• Por cada valor F[i,j] se testea si provino de F[i-1, j-1] + p(i,j) o F[i-1, j] – g o F[i, j-1] – g.

Hay que tomar la última coincidencia del alineamiento y comenzar Hay que tomar la última coincidencia del alineamiento y comenzar a buscar un camino hacia atrás que maximice la funcióna buscar un camino hacia atrás que maximice la función, es decir , es decir siguiendo los valores más altos.siguiendo los valores más altos.

Cuando los valores coinciden, cualquier camino que se tome Cuando los valores coinciden, cualquier camino que se tome conducirá a la formación de un alineamiento de igual score. conducirá a la formación de un alineamiento de igual score.

1A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

-1

0-1

-2-3

-4-5

-1

1-1

-2

-3

Máxima preferencia

-1-2

-10

A A CG C

1A

A

A

C

A G C

0 -2 -4 -60

-2

-4

-6

-8

1 -1

1

1

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

-1

0-1

-2-3

-4-5

-1

1-1

-2

-3

-1-2

-10

111

A A A CA G C

Algoritmo de reconstrucciónAlgoritmo de reconstrucción

• Este algoritmo va a construir un alineamiento óptimo dadas la matriz F y las secuencias originales S y T.

• La variable “len” contiene la longitud del alineamiento (que puede ser n+m)

• Los vectores (secuencia de valores) “aligS” y “aligT” contienen los caracteres alineados.

INPUT: indices i,j, array F.Alinear(i, j)Si i=0 y j = 0 entonces

len = 0Sino Si i>0 y F[i,j] = F[i-1, j] + g entonces

Alinear(i-1, j, len)len = len + 1aligS[len] = s[i]aligT[len] = - //(espacio)

Sino Si i>0 y j>0 y F[i,j] = F[i-1, j-1] + p(i,j) entAlinear(i-1, j-1, len)len = len + 1aligS[len] = s[i]aligT[len] = t[j]

Sino // debe ser F[i,j] = F[i, j-1] + g

Alinear(i, j-1, len)len = len + 1aligS[len] = - //(espacio)aligT[len] = t[j]

FinDevolver aligS, aligT y len.

+p(i,j)

+g

+g

j-1 j

i

i-1

ComplejidadComplejidad

m = long(S)

n = long(t)

Para i, desde 0 hasta n hacer

F[i, 0] = i x g

Para i, desde 0 hasta m hacer

F[i, 0] = i x g

Para i, desde 1 hasta n hacer

Para j, desde 1 hasta m hacer

F[i, j] =máximo(F[i-1, j] + g, F[i-1, j-1] + p(i,j), F[i, j-1] + g).

Devolver F[n,m]

n veces

m veces

m veces

n veces

Complejidad

• Complejidad Temporal:– O(mn) en armar la matriz– O(m + n) en buscar en la matriz (recorrer la

secuencia resultante, que a lo sumo tiene n+m elementos).

• Complejidad Espacial:– O (mn) por el espacio necesario para la matriz

Algoritmo de programación dinámica para el problema de la mochila

Trabajaremos con la siguiente versión del problema de la mochila.

Problema P(n, k): dado un entero k y n items i de diferentes tamaños ki, encontrar un subconjunto de los items tal que sumen exactamente K o determinar que no existe tal conjunto.

Cómo se expresa el principio de optimalidad acá?.

Algoritmo knapsack

Input: S un array con los tamaños de cada item y K.

Output: Un arreglo de dos dimensiones tal que P[i,k].exist = true si existe una solución con los primeros i elementos para una mochila de tamaño k y P[i,k].belong = true si el elemento i pertenece a esa solución.

Algoritmo

Empezar

P[0,0] exist = true para k = 1,K hacer P[0,k].exist = false para i =1,n hacer para k = 0,K hacer P[i,k]. exist = false if P[i-1,k]. exist then P[i,k]. exist = true P[i,k]. belong = false else if k-S[i] 0 if P[i-1,k-S[i]]. exist then P[i,k]. exist = true P[i,k]. belong = true

end

Ejemplo: aplicar el algoritmo anterior a 4 items de tamaño 2,3,5 y 6 tamaños de la mochila desde 2 a 16.

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2 - I - - - - - - - - - - - - - -

3 - O I - I - - - - - - - - - - -

5 - O O - O - I I - I - - - - - -

6 - O O - O I O O I O I - I I - I

Referencias de la tabla:

I : se encontró una solución que contiene este item

O: se encontró una solución sin este item

- : no hay solución hasta el momento (si este símbolo aparece en la última línea quiere decir que no hay solución para este tamaño de mochila)

Ejercicio: Pensar un algoritmo de programación dinámica con ideas similares a este para el problema de la mochila más general, es decir cuando queremos resolver

Max j cj xj

sujeto a que

j aj xj b

xj {0,1}

Subsecuencia creciente más larga

Determinar la subsecuencia creciente más larga de una sucesión de números.

Ejemplo:

S = { 9,5,2,8,7,3,1,6,4)

Las subsecuencias más largas son {2,3,4} o {2,3,6 }

Para construir un algoritmo de programación dinámica definimos:

li = longitud de la secuencia creciente más larga que termina con el número si

pi = predecesor de si en la secuencia creciente más larga que termina con el número si

Vale el principio de optimalidad en este caso?. Cómo se expresaría?.

Relación de recurrencia:

l0 = 0

li = maxj<i lj +1, con sj < si

La solución al problema la da

max 1in li

Complejidad? O(n2) ( se podría implementar en O(nlogn))Cuál es la complejidad espacial?.Cómo hacemos para tener también la sucesión y no sólo la

longitud.

sucesión 9 5 2 8 7 3 1 6 4

longitud 1 1 1 2 2 2 1 3 3

predecesor - - - 2 2 2 - 3 3

Arboles de búsqueda óptimos

• árbol binario de búsqueda: cada nodo contiene una clave, y el valor contenido en cada nodo interno es mayor o igual (numérica o lexicográficamente) que él de sus descendientes por la rama izquierda y menor o igual que los de la derecha.

• Cuántos árboles binarios de búsqueda distintos puede haber con un número dado n de palabras código (o clave)?.

• Cómo podemos determinar el árbol binario que minimiza el número promedio de comparaciones necesarias para encontrar una clave.

• Supongamos que tenemos un conjunto c1 < c2 < …..< cn de claves con probabilidad pi de ser buscadas.

Si la clave ci está en el nivel di entonces hacen falta di + 1 comparaciones para encontrarla.

• Suponemos pi = 1

Entonces para un árbol dado la cantidad de comparaciones que tenemos que hacer en media para buscar una clave es

C = i pi (di + 1)

Dado un conjunto de claves y sus probabilidades queremos construir un árbol que minimice esta función, usando programación dinámica.

Se cumple el principio de optimalidad?.

“ en un árbol óptimo todos sus subárboles son óptimos para las claves que contienen”

Ejercicio: pensar una forma de determinar un árbol óptimo usando programación dinámica.

Hay otros métodos para resolver este problema (Algoritmo de Huffman)

• La técnica de Programación Dinámica se aplica también a problemas con variables continuas

( los ejemplos que vimos acá fueron todos con variables discretas).

• En el caso de variables continuas puede ser necesario resolver en el marco de las ecuaciones de recurrencia, problemas de maximización o minimización continuos, usando las herramientas habituales del cálculo u otras.

Algoritmos probabilísticos

• Cuando un algoritmo tiene que hacer una elección a veces es preferible elegir al azar en vez de gastar mucho tiempo tratando de ver cual es la mejor elección.

Pueden dar soluciones diferentes si se aplican dos veces a la misma

instancia. Los tiempos de ejecución también pueden ser muy diferentes.

• Tiempo promedio de un algoritmo determinístico: considera todas las instancias de un mismo tamaño son “similares”. (ejemplo: quicksort)

• Tiempo esperado promedio de un algoritmo probabilístico : es el tiempo medio de los tiempos de resolver la misma instancia del mismo problema “muchas veces”.

• Peor tiempo esperado: tomando en cuenta el peor caso de todas las instancias de un cierto tamaño.

Clasificación de algoritmos probabilisticos

• Algoritmos al azar para problemas numéricos: la respuesta es siempre aproximada pero se espera que la solución sea mejor cuando más tiempo hay para ejecutar el algoritmo. (simulación, integración numérica).

• Algoritmos de Monte Carlo: se quiere una respuesta exacta. Por ejemplo problemas de decisión. Un algoritmo Monte Carlo da siempre una respuesta pero la respuesta puede no ser correcta. La probabilidad de suceso, es decir de respuesta correcta crece con el tiempo disponible para correr ese algoritmo. La principal desventaja es que en general no se puede decidir eficientemente si la respuesta es correcta o no.(ejemplo: decidir si un arreglo T tiene un elemento mayoritario, o sea que aparece en T más de n/2 veces)

• Algoritmos Las Vegas: nunca dan una respuesta incorrecta pero pueden no dar ninguna respuesta. También la probabilidad de suceso, es decir de tener respuesta correcta crece con el tiempo disponible para correr ese algoritmo. (ejemplo: en el problema de las 8 reinas poner las reinas al azar en las filas que aún están desocupadas, cuidando solamente que la solución en construcción sea factible)

• Algoritmos Sherwood : en este caso el algoritmo siempre da una respuesta y la respuesta es siempre correcta. Se usan cuando algún algoritmo determinístico para resolver un algoritmo es mucho más rápido en promedio que en el peor caso. Al incorporar un factor de azar el algoritmo puede llegar a eliminar la diferencia entre buenas y malas instancias. (ejemplo: Quicksort)

En todos estos casos suponemos que tenemos disponible un generador de números al azar de costo computacional unitario.

O sea dados reales a y b con a < b, uniform (a,b) devuelve un número x elegido al azar en el intervalo a x < b. La distribución de x es uniforme en el intervalo y llamadas sucesivas del generados dan valores independientes de x.

Para generar enteros al azar uniform (i…j) devuelve un entero k elegido al azar uniformemente en el intervalo

ik j

Ejemplo de algoritmo tipo Las Vegas: el problema de las 8 reinas.

Procedimiento Queens LV (var sol[1…8], sucess)array ok[1…8] (posiciones disponibles)col, diag45, diag135 Para k = 0,7 hacer(sol [1…k] es k prometedor, hay que ubicar a la reina k+1) nb = 0 para j = 1, 8 hacer si j col y j-k diag45 y j+k diag135 entonces (la columna j esta

disponible) nb = nb +1 ok[nb] = j si nb = 0 entonces sucess =false j = ok[uniform (1….nb)] col = col U {j} diag45 = diag45 U {j} diag 135 = diag135 U {j+k} sol[k+1] = jreturn success = true

Más ejemplos de algoritmos probabilísticos

en el libro de Brassard y Bratley

Heurísticas

• Dado un problema Π , un algoritmo heurístico es un algoritmo que intenta obtener soluciones para el problema que intenta resolver pero no necesariamente lo hace en todos los casos.

• Sea Π un problema de optimización, I una instancia del problema, x*(I) el valor óptimo de la función a optimizar en dicha instancia. Un algoritmo heurístico obtiene una solución con un valor que se espera sea cercano a ese óptimo pero no necesariamente el óptimo.

• Si H es un algoritmo heurístico para un problema de optimización llamamos xH(I) al valor que devuelve la heurística.

Porqué usar algoritmos heurísticos?. En que tipo de problemas?

Las heurísticas que son de utilidad práctica son algoritmos polinomiales.

Cuándo decimos que una heurística es “buena”?

Cómo hacemos para saber si una heurística es buena?

Algoritmos aproximados

Decimos que H es un algoritmo ε- aproximado para el problema Π si para algún ε > 0

xH(I) - x*(I) | ≤ ε | x*(I) |

O equivalentemente un algoritmo es aproximado si existe > 0tal que para toda instancia I

xH(I) / x*(I) ≤ (problema de minimización)

Situación ideal, pero poco frecuente

Ejemplo de algoritmo aproximado

Cuando las variables son enteras, el algoritmo goloso que vimos para el problema de la mochila es un algoritmo aproximado.

Se puede demostrar que para toda instancia I de dicho problema se verifica que:

xH(I) / x*(I) (c1b/a1 )/ (c1 (b /a1)) =

= b/a1 / (b/a1) 0.5

(es un problema de maximización)

Cómo evaluamos una heurística?

• Comportamiento medio• Análisis probabilístico• Comportamiento en peor caso (algoritmos aproximados): i) razón de perfomance en el peor caso : r = sup {xH(I) / x*(I) } ó r = inf {xH(I) / x*(I) } según estemos minimizando o maximizando. ii) error relativo er = | xH(I) - x*(I) | /| x*(I)|

En la práctica no podemos calcular exactamente estos valores pero si a veces obtener cotas para ellos.