Algunas cuestiones relativas a la argumentación

Raymond Duval IUFM de Lille

La iniciación de los estudiantes del ciclo básico de la escuela secundaria a la prueba en

matemáticas ha tenido por costumbre privilegiar el uso de la demostración formal -- con

todas las restricciones de rigor que ella impone. Sin embargo desde hace una década se

ha aumentado la atención a la argumentación como medio para convencer, sea a uno

mismo o a los otros. La convicción es sin duda una condición necesaria para que una

prueba funcione como tal. El propósito de esta nota no es de buscar las razones que

explican este desplazamiento de interés. Algunas razones son evidentes: la necesidad de

poner el acento sobre el trabajo de investigación para el cual la demostración aparece

como su resultado, y el caracter incomprensible de las exigencias y ventajas de la

demostración para un gran número de alumnos. En esta perspectiva, abordaremos

sucesivamente la emergencia de una problemática de la argumentación, considerando

que ambas nociones son fundamentales para poder analizar los procesos de

argumentación e indicaremos algunas vías de entrada para estudiar el lugar de la

argumentación en el aprendizaje de las matemáticas.

I. La emergencia de una problemática de la argumentación

El interés por la argumentación ha aparecido como un interés por las formas de

razonamiento que escapan a las normas y los esquemas lógicos y que surgen

espontáneamente tan pronto como hay un debate con alguien. Esta emergencia se puede

ver tanto fuera de las matemáticas como en la enseñanza de las matemáticas. ¿Cuáles

son sus características principales?

1. Fuera de las matemáticas

Por empezar ha habido un redescubrimiento del carácter irreducible e irremplazable de

las lenguas naturales en relación a las lenguas formales, en lo que concierne a facilitar

de manera económica la comunicación entre individuos. Esto comenzó con

Wittgenstein quien, a partir de 1930, empezó a reaccionar contra toda la filosofía

surgida de los Principia Mathematica de Russel y Whitehead (1910). Todo un enfoque

pragmático del discurso en las lenguas naturales ha resultado como consecuencia de

aquello (Searle, 1969; Ducrot, 1972). Ha habido luego interés por dar cuenta de todas

las situaciones donde no se trata solamente de comunicar sino tambien de convencer y

justificar. En esta área, las obras de Perelman (1958) y de Toulmin (1958) han señalado

un punto de partida. Esto ha conducido, entre otras cosas, a estudiar las formas de

contradicción (Grize 1983) que se ponen en juego en los debates, y a subrayar el

caracter dialógico de los razonamientos que pretenden convencer (Grize 1996).

2. En la enseñanza de las matemáticas

El modelo de Piaget del desarrollo del razonamiento en el niño y el adolescente (1957)

ha sido desde hace mucho tiempo la referencia obligada para analizar los problemas del

aprendizaje de las matemáticas en el ciclo básico de la escuela secundaria. Por lo menos

hasta la mitad de la década de los setenta. Aquel modelo daba un lugar esencial a la

implicación (el "si… entonces…") y relativizaba el rol del lenguaje en el desarrollo del

razonamiento proposicional (las "operaciones formales"). Pero rápidamente tal modelo

se reveló inadaptado por cuanto no permitía analizar las dificultades encontradas por los

alumnos cuando se trataba de hacer una demostración y no permitía tomar en cuenta las

condiciones del trabajo en grupos&emdash;en un momento en el que el uso de

actividades de investigación como método de enseñanza de las matemáticas (Glaeser,

1973) devenía posible y que las interacciones entre los estudiantes podían tomarse en

cuenta como factores de aprendizaje. El trabajo de Nicolas Balacheff sobre la prueba y

la demostración en el ciclo básico de la escuela secundaria (1982) fue el primero en

tomar en cuenta esta nueva situación. Dicho trabajo propuso una aproximación más

completa a la iniciación a la prueba, partiendo de las actividades de investigación de un

problema. Es dentro de esta nueva perspectiva que se comenzó a desarrollar un interés

en las formas de argumentación que aparecen en el marco de una resolución de

problemas. Y aquello condujo a preguntarse si no serían las fromas de argumentación el

camino para descubrir la demostración.

De esta breve memoria propongo retener el hecho de que la problemática de la

argumentación se situa en el punto de convergencia de un doble reconocimiento. El

reconocimiento del papel importante de la comunicación y de las interacciones sociales

en la adquisición de conocimientos&emdash;lo que conduce ipso facto a reconocer la

importancia de la lengua natural. Y el reconocimiento del vínculo estrecho entre la

prueba y la convicción, lo que conduce igualmente a privilegiar la comunicación para

favorecer la confrontación de puntos de vista.

II. Dos nociones esenciales para analizar los procesos argumentativos:

argumento y discursividad

1. Una primera noción es la de argumento.

El título de la obra de Toulmin da una caracterización excelente de la argumentación:

The Uses of Argument.

La noción de argumento parece evidente. Ella merece sin embargo que uno se detenga

un poco. Se considera como argumento todo aquello que se ofrece, o todo lo que es

utilizado, para justificar o para refutar una proposición. Aquello puede ser el enunciado

de un hecho, un resultado de la experiencia, a veces simplemente un ejemplo, una

definición, el recuerdo de una regla, una creencia comunmente compartida, o incluso la

explicitación de una contradicción. Todas ellas toman valor de justificación cuando

alguien las utiliza para decir "por qué" él acepta o rechaza una proposición. Un

argumento es la respuesta a la pregunta "por qué enuncia o cree tal cosa usted?"

Como se ve, la noción de argumento es una noción puramente funcional. Pero

contrariamente a lo que pensaba Toulmin (1958, p. 99-105) quien había asimilado el

argumento al modelo de modus ponens (o paso de deducción) añadiéndole ciertos

"calificativos" y posibilidades de restricción, esta noción de argumento es

estructuralmente indeterminada y, tal vez, incluso a priori indeterminable. Esto es así

pues aquello que puede tomar valor y fuerza de argumento no depende solamente del

dominio de conocimientos (matemáticas, derecho, historia, política…) sino tambien del

contexto particular que motiva el recurso a los argumentos. Por ejemplo, a propósito de

la busqueda de la solución de un problema, una simple pregunta puede tener valor o

fuerza de argumento que impela a tomar distancia de una idea dada. Este es un punto

importante. Para convencerse basta preguntarse si acaso un teorema puede ser

considerado un argumento. La respuesta es menos evidente de lo que uno podría creer.

Si bien la utilización de teoremas es central tanto en la resolución de problemas como

en las pruebas, su utilización no es la de argumento sino la de herramienta. Uno no

puede presentar un teorema como argumento a menos que uno quiera justificar una

proposición como conclusión necesaria a partir de ciertas hipótesis. Y la experiencia

muestra que, para la mayoría de los alumnos, esta utilización de teoremas suscita

dificultades serias. En efecto, un teorema está estructuralmente muy determinado tan

pronto como no hay sino un sentido funcional reducido a la sola organización de

deducciones válidas o al desarrollo de calculos.

La noción de argumento es una noción más global que la de teorema e implica que

uno toma en cuenta dos dimensiones. Hablar de argumento es de entrada referirse a la

elección de un tema donde uno busca obtener un fin determinado. Es ademas referirse al

contexto de producción del argumento. Un contexto de producción se determina en

función de dos puntos. Por una parte está aquello que motiva el recurso a los

argumentos: sopesar el sentido de una decisión a tomar, resolver un conflicto de

intereses, resolver un problema que presenta restricciones técnicas o lógicas. Por otra

parte está lo que está en juego: convencer a otro o sino disminuir los riesgos de error o

de incertidumbre en la elección de una dirección de trabajo. Fuera de su contexto de

producción, un argumento suele perder su "fuerza." Y en todo caso, la fuerza de un

argumento es variable. Además, uno puede tener necesidad de recurrir a muchos

argumentos para obtener la convicción.

En matemáticas, o en las ciencias, el contexto de producción es radicalmente diferente

de otros contextos de la actividad social donde se producen argumentos. En

matemáticas, el motivo y lo que está en juego en la argumentación son las restricciones

propias del problema a resolver. Paradojalmente se podría decir que estas restricciones

constituyen un invariante en la comunicación&emdash;pues son las restricciones del

problema las que determinan la elección de los argumentos y no las creencias del

destinatario. La fuerza de un argumento va a depender principalmente de su adaptación

a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor: se trata de

asegurar que la solución "funciona" o que puede "funcionar." Diremos en ese caso que

se trata de una argumentación heurística. Pero cuando se trata de convencer a alguien

para que tome una decisión, para que se resuelva un conflicto de intereses, o para

obtener consenso en relación a un asunto, hay una especie de inversión de prioridades:

Se toma en cuenta principalmente las convicciones del interlocutor. Diremos en ese

caso que se trata de una argumentación retórica.

2. La segunda noción fundamental es la de discursividad.

De hecho, una argumentación no puede reducirse al empleo de un solo argumento. Una

argumentación implica que uno puede evaluar un argumento, oponerlo a otros

argumentos. Ello corresponde a la dinámica de cualquier situación de investigación o de

debate. Los argumentos siempre ocupan un lugar en un discurso, en el sentido amplio

de este término, es decir en una serie de operaciones sucesivas que ponen en

funcionamiento un sistema semiótico. Por otra parte las argumentaciones susceptibles

de convencer de lo apropiado de una proposición no siempre dan cuenta de un

razonamiento. Ellas pueden consistir en una explicación, es decir describir el

funcionamiento de un sistema y mostrar el lugar de aquello que la proposición a

justificar enuncia. De esta manera, la producción de argumentos en la argumentación

heurística se hace principalmente al nivel de un trabajo sobre casos particulares o

ejemplos. Porque a través de los casos particulares uno puede ver como funcionan las

cosas.

Tomemos por caso la relación enunciada en el teorema de Pitágoras. Para convencer

de lo apropiado de la proposición uno puede mostrar varias aplicaciones numericas o

verificar que la relación se cumple para cualesquiera sean las longitudes de los lados de

un triángulo rectángulo. De una forma más interesante, se puede efectuar una de las

muchas reconfiguraciones posibles de cuadrados construidos sobre los lados de un

triángulo rectángulo (Padilla 1992, p. 33-38, 197-218). Estas verificaciones numéricas o

esas reconfiguraciones geométricas no constituyen una demostración en sentido estricto,

pero son argumentos que convencen (o pueden convencer) de lo apropiado de la

proposición de Pitágoras. Y si se requiere al sujeto que cambie el registro de

representación, éste puede justificar la proposición de Pitágoras describiendo, con las

expresiones de la lengua natural, lo que él ha observado en las transformaciones

figurales entre cuadrados y triángulos.

Pudiendo poner en funcionamiento múltiples formas de discurso, y no solamente

aquella del razonamiento, la argumentación implica siempre la puesta en

funcionamiento de la lengua natural. Aun cuando los argumentos utilizados dan cuenta

de otros registros de representación! Porque tambien hace falta explicitar por que las

transformaciones figurales o los calculos pueden considerarse como respuesta a un

problema planteado. Retomamos aquí la fuerte intuición de todos aquellos que desde

Wittgenstein a Jean Blaise Grize han tratado de comprender los mecanismos de la

argumentación en relacion con esos dos polos que son la convicción de un sujeto y la

comunicación entre sujetos. Pero insistir en la lengua natural no es sin embargo

suficiente. El punto decisivo está en otro lado: Hay dos grandes mecanismos de

desarrollo de un discurso en la lengua natural, mientras que las lenguas formales no

permiten sino uno. Uno puede darse una idea considerando las siguientes distinciones:

Relaciones entre una proposición dada y otra proposición

Relación de Justificación (constitutiva de un argumento)

la primera proposición

se presenta como "Tesis"

razones relativas

al

interlocutor

argumentación

retórica

razones relativas a las

restricciones de la

situación o del problema

argumentación heurística

Relación de Derivación (constitutiva de un paso de deducción)

la primera proposición se presenta

como "Hipótesis" o "Premisa"

directa:

instanciación

inferencia

semántica

lógica de una

lengua

por un

enunciado-

mediador

teorema,

definición

demostración

Estas distinciones se refieren a funciones cognitivas muy diferentes. Es por eso que

ellas devienen esenciales para estudiar, desde una perspectiva del aprendizaje, todas las

cuestiones relativas a las relaciones entre argumentación y demostración.

III. Cuáles son los puntos de partida posibles para un estudio de la

argumentación heurística?

No tenemos aquí la pretensión de ser exhaustivos. Indicaremos solamente cuatro puntos

de partida con el propósito de subrayar la complejidad de los fenómenos relativos a una

problemática de la argumentación en el marco de la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas.

1. El contexto de producción de los argumentos

Hay diferentes factores que determinan el contexto de producción de un argumento: la

posición del interlocutor con respecto a quien ofrece el argumento (cooperación,

conflicto, ,,,), el motivo de la argumentación (tomar una decisión, encontrar la solución

a un problema, …), y el objectivo en mira (hacer que alguien cambie de punto de vista,

disminuir los riesgos de error o de incertidumbres ante una elección, …). En el caso de

la argumentación en matemáticas, el contexto de producción está determinado por el

problema a resolver. Ese es ciertamente uno de los puntos mas importantes de consenso

entre los investigadores en didáctica. Nos parece sin embargo que la noción de

problema se mantiene todavía muy genertal y que la elección de un problema

matemático preciso para observar a los estudiantes se mantiene muy dentro de lo

contingente. Entre la extrema generalidad de la noción de problema y el caracter

siempre particular de los problemas planteados, no existe todavía ningun nivel

intermedio de análisis. Para ser más preciso: el análisis del problema elegido se hace

frecuentemente hacia abajo, es decir en función de su solución o de sus soluciones, y no

hacia arriba, es decir en función de las variaciones posibles de los datos y de las

variaciones de distancia que resultan entre el enunciado y la inicialización de los

tratamientos matemáticos pertinentes. Más radicalmente, no se dispone de una

clasificación elemental de problemas que permitan comparar entre ellos problemas

puramente matemáticos con problemas de aplicación de las matemáticas, desde el punto

de vista de los procesos de argumentación heurística. Y la comparación podría tambien

hacerse de acuerdo con los varios dominios dentro de la matemática: geometría,

aritmética, probabilidades, álgebra.

2. Los modos de expresión: lengua hablada o lengua escrita

Las capacidades de aprehensión y el nivel comprensión accesibles en relación a una

cuestión o un tópico no son siempre los mismos en las posiciones alternativas de hablar-

escuchar y las de redactar-releer (uno no lee, uno relee). Solamente en los últimos años

se ha prestado atención a la importancia de esas diferencias que se pasaban por alto al

hablar de "lenguaje" o de "prácticas de lenguaje." Sin embargo, el pasaje de un modo de

expresión oral a un modo de expresión escrita es complejo y presenta dificultades serias

aún al nivel del ciclo básico de la escuela secundaria. En efecto, este pasaje requiere una

reorganización o una reestructuración de la expresión, tal como Vygotskii lo ha

explicado (1985, p. 360-368, 376).

Aquella observación tiene sus consecuencias en lo que concierne a un estudio de la

argumentación. La argumentación retórica se desarrolla sobre todo dentro del modo de

expresión oral. El problema que se plantea es de saber si la argumentación heurística

está ligada de manera privilegiada a alguno de esos dos modos de expresión. Esto nos

lleva nuevamente a la cuestión de saber si la práctica de las matemáticas hoy en día

podría llegar a ser totalmente oral. Pero, frecuentemente por razones pedagógicas y

didácticas, se privilegia las situaciones de cooperación y de discusión entre estudiantes

para el trabajo de resolución de problemas. Ello implica evidentemente privilegiar el

modo de expresión oral. Cuales pueden ser entonces las funciones y el aporte de un

pasaje al modo de expresión escrito? Solamente satisfacer una función de comunicación

y de institucionalización&emdash;es decir, una especie de prolongación del modo de

expresión oral? O tambien funciones de tratamiento y de control&emdash;lo que,

concerniente a los textos de prueba implicaría una ruptura con el modo oral de

expresión? Como se ve, detrás de esta cuestión está todo el problema de las

interferencias entre el contexto de una argumentación retórica y el de una

argumentación heurística. Puede ser que este sea uno de los aportes de un ambiente

informático: permitir la disociación completa de esos dos tipos de contextos.

3. Las operaciones discursivas puestas en funcionamiento

Hemos insistido en el caracter fundamental de la noción de discursividad. Ella implica

necesariamente la puesta en funcionamiento de un "lenguaje" sea natural o formal.

Existe un lenguaje matemático como se suele decir? Esta pregunta no nos parece una

pregunta bien planteada. El problema no es un problema de la lengua que se utiliza sino

de las operaciones discursivas que uno puede hacer con una lengua. Todas las

operaciones discursivas pueden ser reagrupadas alrededor de cuatro grandes funciones

discursivas: designar los objetos, decir alguna cosa sobre aquellos objetos de tal suerte

de tomar ipso facto un valor epistémico (vgr., enunciar una proposición), generar otras

proposiciones a partir de una proposición dada y, finalmente, integrar a la proposición

enunciada su valor de toma de responsabilidad epistémica por parte de quien la enuncia.

Ahora bien lo que es notable es la tendencia, cuando se habla de lenguaje en

matemáticas a no considerar sino algunas de las varias operaciones discursivas. Las

páginas que Freudenthal (1978) consagra a la distinción de tres niveles de lenguaje en

matemáticas (nivel ostensivo, nivel funcional, y nivel de las convenciones simbólicas

que permiten tomar en cuenta variables) nos parecen reveladoras de una actitud todavía

muy extendida: la reducción del lenguaje a la sola función discursiva de designar

objetos.

4. Argumentación versus demostración

Se trata aquí de la cuestión de la homogeneidad de los procesos a través del desarrollo

completo de una actividad matemática: luego de las primeras fases de investigación

hasta el establecimiento de la prueba matemática de la solución encontrada, es decir

hasta su demostración o su "prueba formal"&emdash;una expresión cuyo empleo

frecuentemente reviste una connotación negativa. Se puede imaginar esta cuestión desde

un punto de vista estrictamente matemático y postular que estos procesos son

homogéneos: en ese caso se podrá afirmar una continuidad cognitiva entre argumentar,

explicar, y demostrar. Pero si uno piensa esta cuestión desde un punto de vista

cognitivo, la respuesta es muy diferente. Y el punto de vista cognitivo no puede

despreciarse cuando uno se refiere al aprendizaje de las matemáticas por alumnos

pequeños, entre quienes los diferentes registros de representación de la práctica de las

matemáticas puestas en juego son todavía poco o nada coordinadas.

Y aquello conduce a formular dos preguntas, para las cuales no disponemos aun

suficientes datos de observación verdaderamente explotables.

- En referencia al trabajo del matemático profesional, se insiste mucho sobre el

momento de la elaboración de una conjetura. Pero, al menos para los alumnos, son los

argumentos que conducen a derivar y a sostener una conjectura igualmente útiles para

encontrar la manera de probar dicha conjetura?

- En referencia a las capacidades que un alumno puede tener disponible para controlar la

pertinencia de los argumentos producidos cuando el busca demostrar una conjetura que

ha sido formulada y retenida como plausible: Son ellas considerablemente desarrolladas

cuando él ha comprendido las diferencias de funcionamiento discursivo entre las

"pruebas discursivas" y las argumentaciones retóricas, más familiares o más

espontáneas?

Se ve entonces la complejidad de los problemas ligados al estudio de la argumentación.

Estamos casi tentados a decir que es más facil hacer acceder a los estudiantes a la

demostración que a un manejo diestro de la argumentación, al menos a la

argumentación retórica. Pero terminemos llamando atención a una situación paradojal

de la enseñanza de las matemáticas. La importancia que se reconoce a la comunicación

y a las interacciones sociales en didáctica conduce necesariamente a dar una prioridad

de hecho al lenguaje natural. Ahora bien, al mismo tiempo no se busca retener sino

modelos cognitivos de aprendizaje en los cuales el rol del lenguaje, al menos el del

lenguaje natural, existe en un segundo plano. Uno de los intereses de una problemática

de la argumentación es de alumbrar esta situación paradojal.

Referencias

Balacheff N. (1982) Preuve et démonstration en mathématiques au collège. Recherches

en didactique des mathématiques. 3(3) 262-306

Ducrot O. (1972) Dire et ne pas dire. Paris : Hermann

Freudenthal H. (1978) Weeding and Sowing. Dordrecht : Reidel Publishers

Glaeser G. (1973) Le livre du problème, I, Pédagogie de l'exercice et du problème.

Lyon : Cedic

Grize J. B., Piéraut-le Bonniec G. (1983) La contradiction, essais sur les opérations

de la pensée. Paris : P.U.F.

Grize J. B. (1996) Logique naturelle et communications. Paris : P.U.F.

Piaget J., Inhelder B. (1955) De la logique de l'enfant à la logique de l'adolescent.

Paris : P.U.F.

Padilla V. (1990) L'influence d'une acquisition de traitements purement figuraux sur

l'apprentissage des mathématiques. Thèse. Strasbourg : Université Louis Pasteur.

Perelman C., Olbrechts-Tyteca L. (1958) La nouvelle rhétorique. Traité de

l'argumentation (2 volumes) Paris : P.U.F.

Searle J.R. (1969) Speech Acts. Cambride University Press

Toulmin S. (1958) The Uses of Argument. Cambridge University Press

Vygotski L.S. (1934). Pensée et langage (traduction française 1985 ). Paris : Editions

sociales.

Algunas cuestiones relativas a la argumentación

Raymond Duval IUFM de Lille

La iniciación de los estudiantes del ciclo básico de la escuela secundaria a la prueba en

matemáticas ha tenido por costumbre privilegiar el uso de la demostración formal -- con

todas las restricciones de rigor que ella impone. Sin embargo desde hace una década se

ha aumentado la atención a la argumentación como medio para convencer, sea a uno

mismo o a los otros. La convicción es sin duda una condición necesaria para que una

prueba funcione como tal. El propósito de esta nota no es de buscar las razones que

explican este desplazamiento de interés. Algunas razones son evidentes: la necesidad de

poner el acento sobre el trabajo de investigación para el cual la demostración aparece

como su resultado, y el caracter incomprensible de las exigencias y ventajas de la

demostración para un gran número de alumnos. En esta perspectiva, abordaremos

sucesivamente la emergencia de una problemática de la argumentación, considerando

que ambas nociones son fundamentales para poder analizar los procesos de

argumentación e indicaremos algunas vías de entrada para estudiar el lugar de la

argumentación en el aprendizaje de las matemáticas.

I. La emergencia de una problemática de la argumentación

El interés por la argumentación ha aparecido como un interés por las formas de

razonamiento que escapan a las normas y los esquemas lógicos y que surgen

espontáneamente tan pronto como hay un debate con alguien. Esta emergencia se puede

ver tanto fuera de las matemáticas como en la enseñanza de las matemáticas. ¿Cuáles

son sus características principales?

1. Fuera de las matemáticas

Por empezar ha habido un redescubrimiento del carácter irreducible e irremplazable de

las lenguas naturales en relación a las lenguas formales, en lo que concierne a facilitar

de manera económica la comunicación entre individuos. Esto comenzó con

Wittgenstein quien, a partir de 1930, empezó a reaccionar contra toda la filosofía

surgida de los Principia Mathematica de Russel y Whitehead (1910). Todo un enfoque

pragmático del discurso en las lenguas naturales ha resultado como consecuencia de

aquello (Searle, 1969; Ducrot, 1972). Ha habido luego interés por dar cuenta de todas

las situaciones donde no se trata solamente de comunicar sino tambien de convencer y

justificar. En esta área, las obras de Perelman (1958) y de Toulmin (1958) han señalado

un punto de partida. Esto ha conducido, entre otras cosas, a estudiar las formas de

contradicción (Grize 1983) que se ponen en juego en los debates, y a subrayar el

caracter dialógico de los razonamientos que pretenden convencer (Grize 1996).

2. En la enseñanza de las matemáticas

El modelo de Piaget del desarrollo del razonamiento en el niño y el adolescente (1957)

ha sido desde hace mucho tiempo la referencia obligada para analizar los problemas del

aprendizaje de las matemáticas en el ciclo básico de la escuela secundaria. Por lo menos

hasta la mitad de la década de los setenta. Aquel modelo daba un lugar esencial a la

implicación (el "si… entonces…") y relativizaba el rol del lenguaje en el desarrollo del

razonamiento proposicional (las "operaciones formales"). Pero rápidamente tal modelo

se reveló inadaptado por cuanto no permitía analizar las dificultades encontradas por los

alumnos cuando se trataba de hacer una demostración y no permitía tomar en cuenta las

condiciones del trabajo en grupos&emdash;en un momento en el que el uso de

actividades de investigación como método de enseñanza de las matemáticas (Glaeser,

1973) devenía posible y que las interacciones entre los estudiantes podían tomarse en

cuenta como factores de aprendizaje. El trabajo de Nicolas Balacheff sobre la prueba y

la demostración en el ciclo básico de la escuela secundaria (1982) fue el primero en

tomar en cuenta esta nueva situación. Dicho trabajo propuso una aproximación más

completa a la iniciación a la prueba, partiendo de las actividades de investigación de un

problema. Es dentro de esta nueva perspectiva que se comenzó a desarrollar un interés

en las formas de argumentación que aparecen en el marco de una resolución de

problemas. Y aquello condujo a preguntarse si no serían las fromas de argumentación el

camino para descubrir la demostración.

De esta breve memoria propongo retener el hecho de que la problemática de la

argumentación se situa en el punto de convergencia de un doble reconocimiento. El

reconocimiento del papel importante de la comunicación y de las interacciones sociales

en la adquisición de conocimientos&emdash;lo que conduce ipso facto a reconocer la

importancia de la lengua natural. Y el reconocimiento del vínculo estrecho entre la

prueba y la convicción, lo que conduce igualmente a privilegiar la comunicación para

favorecer la confrontación de puntos de vista.

II. Dos nociones esenciales para analizar los procesos argumentativos:

argumento y discursividad

1. Una primera noción es la de argumento.

El título de la obra de Toulmin da una caracterización excelente de la argumentación:

The Uses of Argument.

La noción de argumento parece evidente. Ella merece sin embargo que uno se detenga

un poco. Se considera como argumento todo aquello que se ofrece, o todo lo que es

utilizado, para justificar o para refutar una proposición. Aquello puede ser el enunciado

de un hecho, un resultado de la experiencia, a veces simplemente un ejemplo, una

definición, el recuerdo de una regla, una creencia comunmente compartida, o incluso la

explicitación de una contradicción. Todas ellas toman valor de justificación cuando

alguien las utiliza para decir "por qué" él acepta o rechaza una proposición. Un

argumento es la respuesta a la pregunta "por qué enuncia o cree tal cosa usted?"

Como se ve, la noción de argumento es una noción puramente funcional. Pero

contrariamente a lo que pensaba Toulmin (1958, p. 99-105) quien había asimilado el

argumento al modelo de modus ponens (o paso de deducción) añadiéndole ciertos

"calificativos" y posibilidades de restricción, esta noción de argumento es

estructuralmente indeterminada y, tal vez, incluso a priori indeterminable. Esto es así

pues aquello que puede tomar valor y fuerza de argumento no depende solamente del

dominio de conocimientos (matemáticas, derecho, historia, política…) sino tambien del

contexto particular que motiva el recurso a los argumentos. Por ejemplo, a propósito de

la busqueda de la solución de un problema, una simple pregunta puede tener valor o

fuerza de argumento que impela a tomar distancia de una idea dada. Este es un punto

importante. Para convencerse basta preguntarse si acaso un teorema puede ser

considerado un argumento. La respuesta es menos evidente de lo que uno podría creer.

Si bien la utilización de teoremas es central tanto en la resolución de problemas como

en las pruebas, su utilización no es la de argumento sino la de herramienta. Uno no

puede presentar un teorema como argumento a menos que uno quiera justificar una

proposición como conclusión necesaria a partir de ciertas hipótesis. Y la experiencia

muestra que, para la mayoría de los alumnos, esta utilización de teoremas suscita

dificultades serias. En efecto, un teorema está estructuralmente muy determinado tan

pronto como no hay sino un sentido funcional reducido a la sola organización de

deducciones válidas o al desarrollo de calculos.

La noción de argumento es una noción más global que la de teorema e implica que

uno toma en cuenta dos dimensiones. Hablar de argumento es de entrada referirse a la

elección de un tema donde uno busca obtener un fin determinado. Es ademas referirse al

contexto de producción del argumento. Un contexto de producción se determina en

función de dos puntos. Por una parte está aquello que motiva el recurso a los

argumentos: sopesar el sentido de una decisión a tomar, resolver un conflicto de

intereses, resolver un problema que presenta restricciones técnicas o lógicas. Por otra

parte está lo que está en juego: convencer a otro o sino disminuir los riesgos de error o

de incertidumbre en la elección de una dirección de trabajo. Fuera de su contexto de

producción, un argumento suele perder su "fuerza." Y en todo caso, la fuerza de un

argumento es variable. Además, uno puede tener necesidad de recurrir a muchos

argumentos para obtener la convicción.

En matemáticas, o en las ciencias, el contexto de producción es radicalmente diferente

de otros contextos de la actividad social donde se producen argumentos. En

matemáticas, el motivo y lo que está en juego en la argumentación son las restricciones

propias del problema a resolver. Paradojalmente se podría decir que estas restricciones

constituyen un invariante en la comunicación&emdash;pues son las restricciones del

problema las que determinan la elección de los argumentos y no las creencias del

destinatario. La fuerza de un argumento va a depender principalmente de su adaptación

a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor: se trata de

asegurar que la solución "funciona" o que puede "funcionar." Diremos en ese caso que

se trata de una argumentación heurística. Pero cuando se trata de convencer a alguien

para que tome una decisión, para que se resuelva un conflicto de intereses, o para

obtener consenso en relación a un asunto, hay una especie de inversión de prioridades:

Se toma en cuenta principalmente las convicciones del interlocutor. Diremos en ese

caso que se trata de una argumentación retórica.

2. La segunda noción fundamental es la de discursividad.

De hecho, una argumentación no puede reducirse al empleo de un solo argumento. Una

argumentación implica que uno puede evaluar un argumento, oponerlo a otros

argumentos. Ello corresponde a la dinámica de cualquier situación de investigación o de

debate. Los argumentos siempre ocupan un lugar en un discurso, en el sentido amplio

de este término, es decir en una serie de operaciones sucesivas que ponen en

funcionamiento un sistema semiótico. Por otra parte las argumentaciones susceptibles

de convencer de lo apropiado de una proposición no siempre dan cuenta de un

razonamiento. Ellas pueden consistir en una explicación, es decir describir el

funcionamiento de un sistema y mostrar el lugar de aquello que la proposición a

justificar enuncia. De esta manera, la producción de argumentos en la argumentación

heurística se hace principalmente al nivel de un trabajo sobre casos particulares o

ejemplos. Porque a través de los casos particulares uno puede ver como funcionan las

cosas.

Tomemos por caso la relación enunciada en el teorema de Pitágoras. Para convencer

de lo apropiado de la proposición uno puede mostrar varias aplicaciones numericas o

verificar que la relación se cumple para cualesquiera sean las longitudes de los lados de

un triángulo rectángulo. De una forma más interesante, se puede efectuar una de las

muchas reconfiguraciones posibles de cuadrados construidos sobre los lados de un

triángulo rectángulo (Padilla 1992, p. 33-38, 197-218). Estas verificaciones numéricas o

esas reconfiguraciones geométricas no constituyen una demostración en sentido estricto,

pero son argumentos que convencen (o pueden convencer) de lo apropiado de la

proposición de Pitágoras. Y si se requiere al sujeto que cambie el registro de

representación, éste puede justificar la proposición de Pitágoras describiendo, con las

expresiones de la lengua natural, lo que él ha observado en las transformaciones

figurales entre cuadrados y triángulos.

Pudiendo poner en funcionamiento múltiples formas de discurso, y no solamente

aquella del razonamiento, la argumentación implica siempre la puesta en

funcionamiento de la lengua natural. Aun cuando los argumentos utilizados dan cuenta

de otros registros de representación! Porque tambien hace falta explicitar por que las

transformaciones figurales o los calculos pueden considerarse como respuesta a un

problema planteado. Retomamos aquí la fuerte intuición de todos aquellos que desde

Wittgenstein a Jean Blaise Grize han tratado de comprender los mecanismos de la

argumentación en relacion con esos dos polos que son la convicción de un sujeto y la

comunicación entre sujetos. Pero insistir en la lengua natural no es sin embargo

suficiente. El punto decisivo está en otro lado: Hay dos grandes mecanismos de

desarrollo de un discurso en la lengua natural, mientras que las lenguas formales no

permiten sino uno. Uno puede darse una idea considerando las siguientes distinciones:

Relaciones entre una proposición dada y otra proposición

Relación de Justificación (constitutiva de un argumento)

la primera proposición

se presenta como "Tesis"

razones relativas

al

interlocutor

argumentación

retórica

razones relativas a las

restricciones de la

situación o del problema

argumentación heurística

Relación de Derivación (constitutiva de un paso de deducción)

la primera proposición se presenta

como "Hipótesis" o "Premisa"

directa:

instanciación

inferencia

semántica

lógica de una

lengua

por un

enunciado-

mediador

teorema,

definición

demostración

Estas distinciones se refieren a funciones cognitivas muy diferentes. Es por eso que

ellas devienen esenciales para estudiar, desde una perspectiva del aprendizaje, todas las

cuestiones relativas a las relaciones entre argumentación y demostración.

III. Cuáles son los puntos de partida posibles para un estudio de la

argumentación heurística?

No tenemos aquí la pretensión de ser exhaustivos. Indicaremos solamente cuatro puntos

de partida con el propósito de subrayar la complejidad de los fenómenos relativos a una

problemática de la argumentación en el marco de la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas.

1. El contexto de producción de los argumentos

Hay diferentes factores que determinan el contexto de producción de un argumento: la

posición del interlocutor con respecto a quien ofrece el argumento (cooperación,

conflicto, ,,,), el motivo de la argumentación (tomar una decisión, encontrar la solución

a un problema, …), y el objectivo en mira (hacer que alguien cambie de punto de vista,

disminuir los riesgos de error o de incertidumbres ante una elección, …). En el caso de

la argumentación en matemáticas, el contexto de producción está determinado por el

problema a resolver. Ese es ciertamente uno de los puntos mas importantes de consenso

entre los investigadores en didáctica. Nos parece sin embargo que la noción de

problema se mantiene todavía muy genertal y que la elección de un problema

matemático preciso para observar a los estudiantes se mantiene muy dentro de lo

contingente. Entre la extrema generalidad de la noción de problema y el caracter

siempre particular de los problemas planteados, no existe todavía ningun nivel

intermedio de análisis. Para ser más preciso: el análisis del problema elegido se hace

frecuentemente hacia abajo, es decir en función de su solución o de sus soluciones, y no

hacia arriba, es decir en función de las variaciones posibles de los datos y de las

variaciones de distancia que resultan entre el enunciado y la inicialización de los

tratamientos matemáticos pertinentes. Más radicalmente, no se dispone de una

clasificación elemental de problemas que permitan comparar entre ellos problemas

puramente matemáticos con problemas de aplicación de las matemáticas, desde el punto

de vista de los procesos de argumentación heurística. Y la comparación podría tambien

hacerse de acuerdo con los varios dominios dentro de la matemática: geometría,

aritmética, probabilidades, álgebra.

2. Los modos de expresión: lengua hablada o lengua escrita

Las capacidades de aprehensión y el nivel comprensión accesibles en relación a una

cuestión o un tópico no son siempre los mismos en las posiciones alternativas de hablar-

escuchar y las de redactar-releer (uno no lee, uno relee). Solamente en los últimos años

se ha prestado atención a la importancia de esas diferencias que se pasaban por alto al

hablar de "lenguaje" o de "prácticas de lenguaje." Sin embargo, el pasaje de un modo de

expresión oral a un modo de expresión escrita es complejo y presenta dificultades serias

aún al nivel del ciclo básico de la escuela secundaria. En efecto, este pasaje requiere una

reorganización o una reestructuración de la expresión, tal como Vygotskii lo ha

explicado (1985, p. 360-368, 376).

Aquella observación tiene sus consecuencias en lo que concierne a un estudio de la

argumentación. La argumentación retórica se desarrolla sobre todo dentro del modo de

expresión oral. El problema que se plantea es de saber si la argumentación heurística

está ligada de manera privilegiada a alguno de esos dos modos de expresión. Esto nos

lleva nuevamente a la cuestión de saber si la práctica de las matemáticas hoy en día

podría llegar a ser totalmente oral. Pero, frecuentemente por razones pedagógicas y

didácticas, se privilegia las situaciones de cooperación y de discusión entre estudiantes

para el trabajo de resolución de problemas. Ello implica evidentemente privilegiar el

modo de expresión oral. Cuales pueden ser entonces las funciones y el aporte de un

pasaje al modo de expresión escrito? Solamente satisfacer una función de comunicación

y de institucionalización&emdash;es decir, una especie de prolongación del modo de

expresión oral? O tambien funciones de tratamiento y de control&emdash;lo que,

concerniente a los textos de prueba implicaría una ruptura con el modo oral de

expresión? Como se ve, detrás de esta cuestión está todo el problema de las

interferencias entre el contexto de una argumentación retórica y el de una

argumentación heurística. Puede ser que este sea uno de los aportes de un ambiente

informático: permitir la disociación completa de esos dos tipos de contextos.

3. Las operaciones discursivas puestas en funcionamiento

Hemos insistido en el caracter fundamental de la noción de discursividad. Ella implica

necesariamente la puesta en funcionamiento de un "lenguaje" sea natural o formal.

Existe un lenguaje matemático como se suele decir? Esta pregunta no nos parece una

pregunta bien planteada. El problema no es un problema de la lengua que se utiliza sino

de las operaciones discursivas que uno puede hacer con una lengua. Todas las

operaciones discursivas pueden ser reagrupadas alrededor de cuatro grandes funciones

discursivas: designar los objetos, decir alguna cosa sobre aquellos objetos de tal suerte

de tomar ipso facto un valor epistémico (vgr., enunciar una proposición), generar otras

proposiciones a partir de una proposición dada y, finalmente, integrar a la proposición

enunciada su valor de toma de responsabilidad epistémica por parte de quien la enuncia.

Ahora bien lo que es notable es la tendencia, cuando se habla de lenguaje en

matemáticas a no considerar sino algunas de las varias operaciones discursivas. Las

páginas que Freudenthal (1978) consagra a la distinción de tres niveles de lenguaje en

matemáticas (nivel ostensivo, nivel funcional, y nivel de las convenciones simbólicas

que permiten tomar en cuenta variables) nos parecen reveladoras de una actitud todavía

muy extendida: la reducción del lenguaje a la sola función discursiva de designar

objetos.

4. Argumentación versus demostración

Se trata aquí de la cuestión de la homogeneidad de los procesos a través del desarrollo

completo de una actividad matemática: luego de las primeras fases de investigación

hasta el establecimiento de la prueba matemática de la solución encontrada, es decir

hasta su demostración o su "prueba formal"&emdash;una expresión cuyo empleo

frecuentemente reviste una connotación negativa. Se puede imaginar esta cuestión desde

un punto de vista estrictamente matemático y postular que estos procesos son

homogéneos: en ese caso se podrá afirmar una continuidad cognitiva entre argumentar,

explicar, y demostrar. Pero si uno piensa esta cuestión desde un punto de vista

cognitivo, la respuesta es muy diferente. Y el punto de vista cognitivo no puede

despreciarse cuando uno se refiere al aprendizaje de las matemáticas por alumnos

pequeños, entre quienes los diferentes registros de representación de la práctica de las

matemáticas puestas en juego son todavía poco o nada coordinadas.

Y aquello conduce a formular dos preguntas, para las cuales no disponemos aun

suficientes datos de observación verdaderamente explotables.

- En referencia al trabajo del matemático profesional, se insiste mucho sobre el

momento de la elaboración de una conjetura. Pero, al menos para los alumnos, son los

argumentos que conducen a derivar y a sostener una conjectura igualmente útiles para

encontrar la manera de probar dicha conjetura?

- En referencia a las capacidades que un alumno puede tener disponible para controlar la

pertinencia de los argumentos producidos cuando el busca demostrar una conjetura que

ha sido formulada y retenida como plausible: Son ellas considerablemente desarrolladas

cuando él ha comprendido las diferencias de funcionamiento discursivo entre las

"pruebas discursivas" y las argumentaciones retóricas, más familiares o más

espontáneas?

Se ve entonces la complejidad de los problemas ligados al estudio de la argumentación.

Estamos casi tentados a decir que es más facil hacer acceder a los estudiantes a la

demostración que a un manejo diestro de la argumentación, al menos a la

argumentación retórica. Pero terminemos llamando atención a una situación paradojal

de la enseñanza de las matemáticas. La importancia que se reconoce a la comunicación

y a las interacciones sociales en didáctica conduce necesariamente a dar una prioridad

de hecho al lenguaje natural. Ahora bien, al mismo tiempo no se busca retener sino

modelos cognitivos de aprendizaje en los cuales el rol del lenguaje, al menos el del

lenguaje natural, existe en un segundo plano. Uno de los intereses de una problemática

de la argumentación es de alumbrar esta situación paradojal.

Referencias

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Freudenthal H. (1978) Weeding and Sowing. Dordrecht : Reidel Publishers

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Toulmin S. (1958) The Uses of Argument. Cambridge University Press

Vygotski L.S. (1934). Pensée et langage (traduction française 1985 ). Paris : Editions

sociales.

http://www-didactique.imag.fr/preuve/Newsletter/991112Theme/991112ThemeES.html