ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE FÍSICA - …chopo.pntic.mec.es/jmillan/ampliacion_2f.pdf · 2. Ley del...

1

ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE

FÍSICA

INDICE

1. Coordenadas de la velocidad y de la aceleración 2

2. Ley del péndulo simple 4

3. Estudio de un muelle 5

4. Composición de movimientos vibratorios armónicos 6

5. Interferencia de ondas 7

6. Ondas estacionarias 8

7. Energía transmitida por una onda 9

8. Deducción de la ley de gravitación universal a partir de las leyes de kepler 11

9. La densidad crítica del Universo. 12

10. Campo gravitatorio y electrico. 13

11. Teorema de gauss 16

12. Campo eléctrico creado por una esfera y una placa uniformemente cargadas 17

13. Variación de la intensidad del campo gravitatorio terrestre 18

14. Variación del potencial gravitatorio terrestre 19

15. Campo y potencial creado por un dipolo electrico 20

16. Campo y potencial creado por un hilo cargado rectilineo e indefinido 21

17. Fuentes de campo magnético 22

18. Aplicación del campo magnético: El Ciclotrón 23

19. Aplicación del campo magnético: El Espectrógrafo De Masas. 25

20. Inducción electromagnética. autoinducción. inducción mutua 27

21. El prisma óptico 29

22. El dioptrio esférico 30

23. Métodos de medida de la velocidad de la luz 31

24. Física nuclear 33

25. Física cuántica 34

26. Filosofía de la teoría cuántica 37

27. Movimiento relativo 38

28. El Principio de Acción Reacción y la Interacción Magnética 43

Jesús Millán Crespo 20 de diciembre de 2016 “No sabemos lo que queremos, pero somos responsables de lo que somos”. (FILÓSOFO FRANCÉS)

2º BACHILLERATO-Física Departamento de Física y Química - 2/44

2

1. COORDENADAS DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN

Velocidad dt

rdv

Componentes cartesianas de la velocidad: yyxx uvuvv

Componentes intrínsecas de la velocidad: tuvdt

ds

ds

rd

dt

rdv y la velocidad es siempre

tangente a la trayectoria.

Aceleración 2

2

dt

rd

dt

vda

Componentes cartesianas de la aceleración: y

y

xx

yyxx udt

dvu

dt

dvuauaa

Componentes intrínsecas de la aceleración: dt

udvu

dt

dv

dt

uvd

dt

vda t

t

t )(

(1)

tu es un vector unitario de módulo constante por lo que es perpendicular a su derivada

temporal.

Como 12

tu . Si derivamos esta expresión… 02 dt

udu t

t se comprueba que n

t udt

ud

Por otro lado ds

udv

dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt

Y

1

ds

d

ds

ud t

y esto porque

ddsends

ddsenud t

)(

)(

y la expresión (1) queda:

nt uv

udt

dva

2

El rimer término es la aceleración tangencial tt udt

dva y representa las variaciones del

módulo de la velocidad. El segundo término la aceleración normal nuv

a

2

y representa las

variaciones de la dirección de la velocidad.


3

Tanto la velocidad como la aceleración son magnitudes vectoriales. Utilizando el cálculo

vectorial vamos a demostrar que en cualquier movimiento se cumplen las siguientes

relaciones:

nntt uauaa

Siendo v

vaat

· y

v

vaan

y que el radio de curvatura de flexión es:

va

v

3

En el primer caso, la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre la

dirección tangente.

v

vauaa tt

··

Por otro lado, si θ es el ángulo que forma tu y a .

senaua t y como senaan

Y entonces se cumple que:

v

vauaa tn

Nos queda demostrar cuanto vale el radio de flexión:

v

vavan

2

luego va

v

3


4

2. LEY DEL PÉNDULO SIMPLE

La única fuerza que actúa es el peso que se puede descomponer en su componente normal y

tangencial.

La componente normal se ve contrarrestada por la tensión del hilo y la componente tangencial

es la que va a dar lugar a la aceleración del movimiento.

radio

arcosen

sengmFT

Teniendo en cuenta esta aproximación para ángulos muy pequeños y la expresión de la fuerza

recuperadora:

xkF

l

xgmF

T

T

l

gmkxk

l

xgm

De acuerdo con la ley de Newton:

l

xg

m

Fa T

Lo que demuestra que el movimiento pendular, para pequeñas

oscilaciones tiene una aceleración proporcional y de sentido

contrario al desplazamiento y por tanto es un mas.

Teniendo en cuenta que k = m w2

g

lTdondedem

l

gm 22

Péndulo si es mayor

Existe una ecuación algo más compleja que nos da el valor del periodo en función del ángulo.

P

PT

T

Pn

)16

11(2 2

g

lT


5

3. ESTUDIO DE UN MUELLE

Cuando un muelle esté en equilibrio, sobre él actúa el peso del cuerpo

(y el muelle), que actúan hacia abajo y la reacción del muelle.

Si separamos hacia abajo una pequeña distancia x de la posición de

equilibrio, el muelle ejerce una fuerza recuperadora en sentido

contrario de modo que cuando soltemos solo actuará esta fuerza.

amF

xkF

Dado que la fuerza responsable del movimiento es la de la Ley de

Hooke dara lugar a un movimiento armónico simple de aceleración:

xa 2

De este modo:

xmxk

amxk

2

2mk

Sustituyendo T

2 se obtiene el periodo de oscilación de un resorte:

k

mT 2

El periodo del resorte será mayor cuanto mayor sea la masa, oscilará más lentamente y será

menor cuanto mayor sea la constante recuperadora.


6

4. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

Se pueden dar los siguientes casos:

a) Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección y del mismo periodo (o

frecuencia).

b) Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección y periodos diferentes (o

frecuencias). En este caso la amplitud estará modulada.

c) Composición de movimientos vibratorios armónicos perpendiculares y del mismo periodo (o frecuencia).

d) Composición de movimientos vibratorios armónicos perpendiculares y periodos diferentes (o frecuencias).

En este caso como 1 2 la diferencia de fase no es constante y va variando. Se obtienen curvas muy

variadas, según la relación de los periodos de los movimientos componentes y de la diferencia de fase inicial

dando lugar a las curvas de Lissajous.

Como ejemplo compongamos dos movimientos perpendiculares tales como:

Donde 1 = /6 rad/s 2 = 3·1 y = /4 rad

Dibuja la gráfica para 2 = 3/2·1 y = /6 rad


7

5. INTERFERENCIA DE ONDAS

Dos ondas interfieren cuando coinciden en un mismo punto. La perturbación resultante es igual a la suma de las

perturbaciones que produciría cada una por separado.

El caso más interesante es cuando coinciden ondas armónicas coherentes (de igual amplitud y frecuencia).

Interferencia constructiva, valores máximos. - Se producirá cuando Ar sea máxima e igual a 2A

Interferencia destructiva, valores mínimos: - Se producirá cuando Ar sea mínima e igual a 0

2cos2

2cos

2cos

2cos2

2cos

2cos2

)cos()cos(

)cos(

)cos(

1212

1212

2121

*

2121

22

11

xxkAAdonde

xxkwtAy

xxkwt

xxkAy

kxwtkxwtkxwtkxwtAy

kxwtAkxwtAyyy

kxwtAy

kxwtAy

rr

2cos

2cos2coscos

:recuerdese *

BABABA

nxxnxx

k

xxk

12

12

12

2

12

cos

2)12(

2)12(

2

02

cos

12

12

12

nxxnxx

k

xxk


8

6. ONDAS ESTACIONARIAS

Al contrario que una onda viajera, una onda estacionaria se encuentra confinada en un espacio limitado. En este

espacio coinciden la onda indicente y la reflejada, que viaja en dirección contraria formando uma onda

estacionaria.

ECUACIÓN DE ONDAS ESTACIONARIAS:

En cuerdas:

Debe aparecer un nodo en los extremos (sen(kx) = 0 en x = 0 y x = L)

Rojo frecuencia fundamental, azul primer armónico y verde segundo armónico.

EN TUBOS ABIERTOS:

Debe aparecer un vientre en cada extremo

(sen (kx+/2) = 1 en x = 0 y x = L)

EN TUBOS cerrados:

Debe aparecer un vientre en el extremo abierto y un nodo

en el cerrado.

(sen (kx) = 0 en x = 0 y sen (kx) = 1 en x = L)

F

L

nv

L

nvf

n

LonL

22

2

2

L

nvvf

n

LonL

2

2

2

L

vnvf

n

LonL

4

)12(

12

4

4)12(

)()()(2)()(2

222

)cos()cos( *

21

wtsenAwtsenkxAsenwtsenkxAseny

kxwtkxwtsen

kxwtkxwtAseny

kxwtAkxwtAyyy

r

222coscos

BAsen

BAsenBA


9

7. ENERGÍA TRANSMITIDA POR UNA ONDA

Transmisión de energía por una onda armónica

En un movimiento ondulatorio lo que realmente se propaga, no es la materia sino un estado de movimiento. Por

tanto una onda trasmite momento y energía.

Cada partícula del medio que vibra tiene la energía del oscilador

armónico:

22

2

1AmE

La energía que transporta la onda en la unidad de tiempo,-la

potencia- es igual a la energía de todas las partículas contenidas en

la corona esférica de espesor dr.

Esta potencia no se acumula y va cruzando el medio de un punto a

una distancia r1 del foco a otro a distancia r2.

La misma energía, a medida que se propaga la onda, se reparte en

cada frente de ondas entre mayor número de partículas. Este

fenómeno recibe el nombre de atenuación.

La energía que llega al frente 1, a una distancia r1 del foco en la

unidad de tiempo debe ser la misma que llegue la frente 2, a una distancia r2:

dt

Adm

dt

Adm

dt

dEP

2

2

2

2

2

1

2

12

1

2

1

dt

Adrr

dt

Adrr 2

2

22

2

2

1

22

1 42

14

2

1

La frecuencia de vibración es constante y si el medio es homogéneo e isótropo la velocidad de propagación

también es constante.

2

2

22

2

2

1

22

1 42

14

2

1AvrAvr Entonces 2211 ArAr

La atenuación es la disminución de la amplitud con la distancia al foco.

Intensidad de una onda

Para caracterizar la rapidez con que se propaga la energía, se define la intensidad de onda como la cantidad de

energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación en la unidad de tiempo.

S

P

tS

EI

La intensidad irá disminuyendo, a medida que nos alejamos del foco y la superficie aumenta.

2

22

2

2

11

1

4

4

r

P

S

PI

r

P

S

PI

Entonces 2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

A

A

r

r

I

I

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia.


10

Absorción de energía por el medio

Experimentalmente se comprueba que la disminución real de la intensidad, y de

la amplitud, de una onda es mayor que la teóricamente calculada porque parte de

la energía es absorbida por el medio, al no ser éste perfectamente elástico.

La absorción de las ondas es proporcional a la intensidad incidente y al espesor

que atraviesa.

dxIdI

Donde α es un coeficiente de proporcionalidad que depende del medio y de la

frecuencia de la onda, llamado coeficiente de absorción.

Separando variables e integrando:

dxI

dI …

dI

Idx

I

dI

00

…

dI

I

0

ln Entonces deII 0

Expresión conocida como ley de absorción, que indica que la

intensidad disminuye exponencialmente con el espesor del medio

absorbente.


11

8. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL A PARTIR DE LAS LEYES DE

KEPLER

Supuestos:

- El Sol y los planetas son masas puntuales.

- El sistema de referencia tiene como origen de coordenadas el Sol.

- Solo se considera la interacción gravitatoria con el Sol (no las de los demás planetas).

- Los planetas describen órbitas circulares cuya ac = v2/R

Si se cumple la 2ª ley de Kepler: la velocidad areolar es

constante.

212211

2121

vvtvtv

ssAA

Esto implica un movimiento circular uniforme cuyo

periodo de revolución será:

v

RT

2

y cuya aceleración centrípeta es: 2

22 4

T

R

R

vac

Para dos planetas que giran en torno al Sol tenemos:

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

4

4

T

Ra

T

Ra

de donde 2

1

2

2

2

1

2

1

T

T

R

R

a

a

Aplicando la tercera ley de Kepler: Los periodos al cuadrado son proporcionales a los

semiejes mayores al cubo.

3

2

3

1

2

2

2

1

R

R

T

T

Sustituyendo ahora encontramos que las aceleraciones a las que está sometido cada planeta

son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias al Sol: 2

1

2

2

2

1

R

R

a

a , para

cualquier planeta la aceleración es: 21

1

Rka y la fuerza que actúa sobre el planeta será:

R

kmF 1

De acuerdo con el principio de acción y reacción, el Sol se verá sometido a una fuerza igual y

de sentido contrario.

2

2

2

1

R

kM

R

kmF de donde el producto 21 Mkmk y si llamamos a G

m

k

M

k 21 tenemos la

fuerza de interacción entre el planeta y el Sol será:

A1A2S2

SolS1

2R

MmGF


12

9. LA DENSIDAD CRÍTICA DEL UNIVERSO.

Consideremos una esfera de galaxias de radio R (R debe ser mayor que la distancia entre cúmulos de galaxias

pero menor que el posible radio del Universo como un todo). Y supongamos una galaxia de masa m al borde de

esta esfera.

La masa de esta esfera será: 34

3M R

La energía potencial de la galaxia al borde de la esfera:

24

3p

M m R mE G G

R

La velocidad de esta galaxia viene dada por la ley de Hubble y es: v H R siendo H la constante de Hubble.

La energía cinética de la galaxia es: 2 2 21 1

2 2cE mv m H R

La energía mecánica total de la galaxia es la suma de la Ec y la Ep: 2 21 4

2 3c pE E E mR H G

Si la energía total es negativa la galaxia estará en órbita cerrada, si es positiva estará en órbita abierta y la galaxia

llegaría hasta el infinito con alguna velocidad. La condición para que la galaxia alcance la velocidad de escape es

que la energía se anule.

221 4 3

2 3 8c

HH G

G

Esta es la expresión de la densidad crítica del universo en la que no se han tenido en cuenta aproximaciones

relativistas, si bien es válida aunque el contenido del Universo sea relativista en alto grado, siempre que se

interprete la como la densidad de energía total dividido por c2.

Sustituyendo valores:

15 15km km

Hs millón años luz

s millónaños luz

1 millón añoluz

6 1210 9,46 10 km

18 11,586 10H s

2

18227 3 1

11

3 1,586 1034,5 10

8 8 6,67 10c c

Hkg m o g L

G

274,5 10g

236,022 10

1

u

L g

0,00271c

u

L

Y la densidad crítica del universo es 0,00271 unidades de masa atómica por litro.

Si la densidad fuera mayor el Universo sería limitado y si fuera menor el Universo sería infinito. El problema es

que no hay una manera fiable de determinar la densidad del Universo.


13

10. CAMPO GRAVITATORIO Y ELECTRICO. CAMPO, gravitatorio o eléctrico, asociado a masas o cargas, es la región del espacio donde se manifiestan sus

efectos a través de la interacción gravitatoria o eléctrica.

Propiedades asociadas al campo:

a) Desde un enfoque dinámico: Intensidad de campo gravitatorio ( g ) o eléctrico ( E ): Son vectores.

b) Desde un enfoque energético: Potencial de gravitatorio ( gV ) o eléctrico ( EV ): Son escalares.

CCAAMMPPOO GGRRAAVVIITTAATTOORRIIOO

Interacción gravitatoria: Ley de Newton:

2

211

210·67,6

'·

kg

NmGu

r

mmGF r

- Es universal, no depende del medio y no es

apantallable.

Intensidad de campo en un punto: Es la fuerza ejercida

sobre la unidad de masa colocada en ese punto.

r

gravu

r

mGg

m

Fg

2'

- m: es la masa que crea el campo.

- r: vector de posición del punto.

- El signo (-) indica que g es contrario a ru .

- La expresión es válida para masa puntual, o punto

externo a una corteza esférica o esfera sólida.

- La intensidad de campo en un punto interior

de una corteza esférica es nulo

de una esfera sólida rR

MGg

T

T

3

Fuerza sobre una masa m’ colocada en un punto del

campo donde la intensidad es g :

gmF '

m’ se moverá siempre en el sentido de g . Hacia la

masa que crea el campo. Es una fuerza atractiva.

Campo en un punto debido a varias fuerzas:

321 ggggT

Se suman vectorialmente.

El Campo gravitatorio terrestre: 2

T

T

R

MGg

- Variación con la altitud (para h<<R):

TR

hgg

21'

- Variación con la latitud φ:

22 cosTneta Rgg

ω: es la velocidad angular de rotación de la tierra.

CCAAMMPPOO EELLÉÉCCTTRRIICCOO

Interacción gravitatoria: Ley de Coulomb:

4

1'·2

kur

qqkF r

- No es universal, depende del medio y si es

apantallable.

Intensidad de campo en un punto: Es la fuerza ejercida

sobre la unidad de carga colocada en ese punto.

reléc u

r

qGE

q

FE

2'

- q: es la carga que crea el campo.

- Si q>0 entonces E tiene el sentido que ru , Sale de q.

- Si q<0 entonces E es opuesto a ru . Entra en q.

- r: vector de posición del punto.

- El signo (-) indica que g es contrario a ru .

- La expresión es válida para masa puntual, o punto

externo a una corteza esférica o esfera sólida cargadas.

Fuerza sobre una masa q’ colocada en un punto del

campo donde la intensidad es E :

EqF '

q’ se moverá siempre en el sentido de E si q’>0 y en

sentido contrario si q’<0.

Campo en un punto debido a varias fuerzas:

321 EEEET

Se suman vectorialmente.


14

Trabajo y energía potencial gravitatoria:

EpW rEpEpW

- Al acercar m’ desde hasta P, a una distancia r de m:

r

mmGW

rmGmdr

r

mmGrdFW

rr

r

'

1'

'2

Es positivo, las masas se acercan espontáneamente.

- Energía potencial gravitatoria: Su hacemos Ep=0

WEprr

mmGEpr

'

- Energía potencial de varias masas:

342423141312 EpEpEpEpEpEpEp

Se calculan todas las Ep correspondientes a todos los

pares de masas (sin repetir).

Potencial gravitatorio en un punto a distancia r:

Es la energía potencial por unidad de masa m’

colocada en ese punto.

'm

EpVg

r

mGVg

- Potencial en un punto debido a varias masas.

321 VVVV

3

3

2

2

1

1

r

m

r

m

r

mGV

-Movimiento de masas en un campo gravitatorio:

Si entre dos punto 1 (inicial) y 2 (final), existe una

diferencia de potencial, la masa m’ se moverá, siendo:

21 EpEpW 21' VVmW

Las masas se mueven de mayor a menor potencial y

como a su vez: EcW

2112 ' VVmEcEc y 21

2

1

2

2 2 VVvv

Que es la variación de velocidad cuando una masa m’

se mueve entre dos puntos de diferente potencial.

Trabajo y energía potencial eléctrica:

EpW rEpEpW

- Al acercar q’ desde hasta P, a una distancia r de q:

r

qqkW

rqkqdr

r

qqkrdFW

rr

r

'

1'

'2

Es positivo, cuando las cargas son de distinto signo. Se

acercan espontáneamente.

Es negativo, cuando las cargas son de igual signo. No

se acercan.

- Energía potencial eléctrica: Su hacemos Ep=0

WEprr

qqkEpr

'

Si las q son de igual signo Ep>0 y si son de distinto

signo Ep<0.

- Energía potencial de varias masas:

342423141312 EpEpEpEpEpEpEp

Se calculan todas las Ep correspondientes a todos los

pares de cargas (sin repetir). Se coloca cada carga con

su signo.

Potencial eléctrico en un punto a distancia r:

Es la energía potencial por unidad de carga q’ colocada

en ese punto.

'q

EpV

r

qkV

La carga se coloca con su signo, q>0 V>0 y q<0 V<0.

- Potencial en un punto debido a varias masas.

321 VVVV

3

3

2

2

1

1

r

q

r

q

r

qkV

-Movimiento de cargas en un campo eléctrico:

Si entre dos punto 1 (inicial) y 2 (final), existe una

diferencia de potencial, la carga q’ se moverá, siendo:

21 EpEpW 21' VVqW

Las q<0 se mueven de menor a mayor V

espontáneamente, y las q>0 se mueven de mayor a

menor V.

A su vez: EcW

2112 ' VVqEcEc y 21

2

1

2

2 2 VVvv

Que es la variación de velocidad cuando una carga q’

se mueve entre dos puntos de diferente potencial.


15

Relación entre intensidad y potencial:

rd

dVg rdgdV

Si el campo g es constante (ej. movimientos en la

superficie de la tierra)

hgrrgrdgVV 12

2

112

Siendo h el desplazamiento en la dirección del campo.

Movimiento de masas en campos gravitatorios

constantes:

Como 21' VVmW hgmW '

Como EcW hgmEcEc '12

ghmvmvm ''2

1'

2

1 2

1

2

2 hgvv 22

1

2

2

- Velocidad orbital: A partir de centrgrav FF

r

vm

r

mMG

2

2'

'

r

MGvo

- Trabajo o energía para que m’ abandone un campo

gravitatorio:(ej. El terrestre)

R

mMGW

'

Energía de amarre e la energía por unidad de masa, la

energía de ligadura al campo terrestre =W/m’

- Velocidad de escape: Es la que corresponde a una Ec

= W para que m’ escape abandone el campo

gravitatorio:

R

mMGvm

''

2

1 2

R

MGve

2

- Energía de una orbita: Eórbita=Ec+Ep

r

mMG

r

MGmvmEc o

'

2

1'

2

1'

2

1 2

r

mMGEp

' por tanto:

r

mMG

r

mMGE

Órbita

''

2

1

r

mMGE

Órbita 2

'

Relación entre intensidad y potencial:

rd

dVE rdEdV

Si el campo E es constante (ej. movimientos entre

placas planas y paralelas)

dErrErdEVV 12

2

112

Siendo d el desplazamiento en la dirección del campo.

Movimiento de cargas en campos eléctricos constantes:

Como 21' VVqW dEqW '

Como EcW dEqEcEc '12

Edqvmvm ''2

1'

2

1 2

1

2

2 m

dEqvv

'22

1

2

2

La velocidad durante el movimiento depende de la

relación q’/m, así como de E y d

Movimiento de cargas que entran perpendicularmente

al campo (experimento de Thomson).

- En dirección x, horizontal no hay fuerza alguna

(mru):

tvx 0

- En dirección y, vertical hay una fuerza F=q·E que

produce una aceleración a=q·E/m. Por tanto en el eje y:

22

2

1

2

1t

m

Eqtay que eliminando el tiempo

2

0

22

0 22

1

vm

xEq

v

x

m

Eqy

Flujo eléctrico y Teorema de Gauss

- Flujo eléctrico: número de líneas de fuerza que

atraviesan una superficie.

cosSESE

- Teorema de Gauss: que readiciona el flujo a través

de una superficie cerrada con la carga neta encerrada

en su interior.

0

Q


16

11. TEOREMA DE GAUSS

Flujo de líneas de campo a través de una superficie Supongamos una lluvia serena. Las trayectorias de las gotas de agua al caer nos sirven de

imagen de las líneas de fuerza del campo gravitatorio. La trayectoria de cada gota representa

pues, una línea de fuerza.

¿De qué depende el número de gotas que llegan a una baldosa de la superficie?

- De la superficie de la baldosa

- de la intensidad de la lluvia o número de gotas que caen.

- De la posición de la baldosa.

Basándonos en este símil se puede definir una nueva magnitud llamada flujo de líneas de

campo a través de una superficie como el número de líneas de campo que la atraviesan.

Como vemos se puede expresar como el producto escalar de dos vectores y si el campo no es

uniforme será preciso acudir al cálculo integral.

Recuerda que el flujo será positivo si las líneas salen de una superficie cerrada, mientras que

será negativo si entran.

Superficie gaussiana:

Es una superficie que encierra un sistema de cargas o masas de manera que en cualquier punto

de ella el campo es constante y perpendicular a la superficie, además el cálculo de la

superficie debe ser evaluable.

Flujo de una carga o masa puntual:

Esto se puede generalizar para un sistema de cargas o masas.

El flujo total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente

entre la suma algebraica de las cargas contenidas en el volumen limitado por ella y la

permitividad del vacío.

El flujo total de un campo gravitatorio que atraviesa una superficie cerrada es igual al

producto de la masa encerrada dentro del volumen limitado por la superficie multiplicada

por 4 veces la constante de gravitación.

Aplicaciones del teorema de Gauss:

La ley de Coulomb solo permite calcular el campo para cargas puntuales. En el caso de una

distribución continua de cargas y cuando los cuerpos presentan algún tipo de simetría, a partir

del Teorema de Gauss podremos calcular el campo eléctrico. Igualmente para el campo

magnético.

SdgSgSg

SdESESE

GGG

EEE

cos

cos

mGrr

mGds

r

mGdsgSdg

QQkr

r

Qkds

r

QkdsESdE

sss

sss

44···

44···

2

22

0

2

22


17

12. CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA Y UNA PLACA UNIFORMEMENTE

CARGADAS

Campo creado por una esfera uniformemente cargada.

Supongamos una esfera uniformemente cargada (no puede ser conductora), y queremos hallar

la intensidad de campo en un punto A, a una distancia r del centro de la esfera. Trazamos por

el punto A una superficie esférica gaussiana (el campo en cualquier punto de ella es constante

y normal a la superficie). Aplicando el teorema de Gauss:

22

0

0

2

00

4

1

4··

r

Ok

r

QE

QrE

QdsE

QSdE

ss

Resultado idéntico que para una carga puntual.

Campo creado por un plano uniformemente cargado.

La superficie gaussiana elegida en este caso es la de un paralelepípedo. Aplicando el teorema

de Gauss:

0infsup

00

·

QdsEdsEdsE

QdsE

QSdE

lateralescaraseriorcaraeriorcara

ss

Como por las caras laterales no hay flujo, la tercera integral es nula.

000 22··

S

QE

QsEsE

RA

Er

E E E

EEE


18

13. VARIACIÓN DE LA INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

Variación de la gravedad cuando r > RT (r>R)

Para hallar el valor de la gravedad a una distancia r = R+h, aplicamos el teorema de Gauss

tomando una superficie gaussiana de radio r.

22

02 2

· 4 4

·4 4

s s

g d s G M g ds G M

GM Rg r G M g g g

r r

Variación de la gravedad cuando r < RT (r<R)

Para hallar g en un punto A situado a una distancia r = R-h del centro de la Tierra, se toma la

superficie esférica de radio r y se aplica el teorema de Gauss.

2

3 3

33

3

0

2 3 2

· 4 4 ·4 4

4 / 3

4 / 3

s s

g d s G m g ds G m g r G m

m v r m r

M RM V R

gGm GM rg g r

r R r R

Recordad 1

0 9,8g N kg

Representación gráfica de la variación de la aceleración de la gravedad con la distancia

al centro de la Tierra

Se trata de una función por partes:

0

2

0 2

linea recta de pendiente negativa.

1 parábola.

gg r si r R

R

g g R si r Rr

RAg

r

R

Agr


19

14. VARIACIÓN DEL POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE

Se parte de la relación existente entre el potencial y la intensidad de campo gravitatorio:

Variación del Potencial cuando r > RT (r>R)

Variación del potencial cuando r < RT (r<R)

Representación gráfica de la variación

de la aceleración de la gravedad con la

distancia al centro de la Tierra

Se trata de una función por partes:

2 2

33 si r< R parábola.

2

si r > R hipérbola.

GMV r R

R

GMV

r

rd

dVg

000

0V entonces r Cuando

contorno de sCondicione

2

CC

Cr

GMV

drr

MGdV

drgdV

drgdV

R

GMCC

R

R

GM

R

MG

R

MGR

Cr

R

GMV

drR

rMGdV

drgdV

drgdV

2

3

2

V entonces r Cuando

contorno de sCondicione

2

2

3

2

3

3

GMV

r

2 2

33

2

GMV r R

R


20

15. CAMPO Y POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELECTRICO

Dipolo: Dos cargas +q y –q separadas una distancia 2a.

En un punto P del eje y

V = V1+ V2

02222

ya

qk

ya

qkV

E = 2 E1cos

23

222222

22

ya

aqk

ya

a

ya

qkE

Si y >> a 3

20y

aqkEyV

En un punto P del eje x

V = V1 + V2

222

ax

aqk

ax

qk

ax

qkV

xd

dVEtambiéniEEE )( 21

222 )(4

ax

xaqkE

Si x >> a 32

42x

aqkEy

x

aqkV

P

a

aE1

E2

P

R


21

16. CAMPO Y POTENCIAL CREADO POR UN HILO CARGADO RECTILINEO E INDEFINIDO

A partir de la definición de campo eléctrico

rr ur

dqkdEu

r

qkE

22 ldiferencia forma de o ;

El campo creado en un punto a una distancia R del conductor indefinido tiene la dirección de

r, pero solo su componente en el eje y se anula y xEE .

La densidad lineal de carga es dl

dq . Y considerando la geometría del problema:

;dsecRdl;tgRl;secRr 2 .

2/

0

2/

0 22

2

2

cos2

cossec

sec

4

1·2cos

4

1

dR

E

R

dR

r

dlE

o

oo

RE

o

2

Para hallar el potencial eléctrico utilizamos la relación Rd

VdE

VR

o

dVdRR 01 2

RV

o

ln2

A partir del teorema de Gauss

La superficie S gaussiana es un cilindro que envuelve el conductor.

- Es una superficie evaluable, (podremos resolver la integral)

- El E es siempre perpendicular a la superficie.

- El campo es constante en todos los puntos de la superficie, (el E sale de la integral).

Aplicando el teorema de Gauss

00

00

22

·2·

RLR

QE

QLRE

QdsE

s

E

R

l

S

Ex

R

r

l

dl

E


22

17. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

Así como los campos eléctricos son creados por cargas, los campos magnéticos son creados

por cargas en movimiento o corrientes eléctricas.

Campo creado por un elemento de corriente Ley de Biot Savart.

Dada una corriente eléctrica I, cada elemento de corriente ld , crea un elemento de campo en

un punto Bd , (vector inducción magnética) que es directamente proporcional a la intensidad

de corriente que circula por el conductor, inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia del elemento de corriente al punto considerado y cuyo sentido viene dado por el

producto vectorial )( ruld .

A) Campo creado por un conductor rectilíneo e indefinido.

Y se comprueba que solo depende de la intensidad de la corriente y de la distancia a la que se

encuentre el punto.

B) Campo creado por una corriente circular en su centro.

C) Campo creado por una bobina circular en su centro.

Una bobina son N espiras sin extensión.

)('2 ruld

r

IkBd

d

I

d

Iksen

d

IkB

dd

Ikdd

dIkB

dddltgdl

d

ltg

drrd

sensen

r

sendlIkuld

r

IkB r

2

'2'2

·cos'

2coscos

cos'

dosustituyen

cos··

coscos

cos

:comprueba se figura la observando

··')('

02/

0

2/

0

22

2

2

22

r

C

rr

I

r

Ikdl

r

Ikuld

r

IkB

2

0

0

22 2

'2')('

r

IN

r

IkNB

2

'2 0

dl

dur

dB

I

OP

dB

dl

ur

l r

d


23

18. APLICACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO: EL CICLOTRÓN

El ciclotrón es un acelerador de partículas circular que, mediante la aplicación combinada de

un campo eléctrico oscilante y otro magnético consigue acelerar los iones haciéndolos girar

en órbitas de radio y energía crecientes.

Supongamos el siguiente problema:

En un determinado CICLOTRÓN, los protones (mp=1,6726·10-27 kg), describen una

circunferencia de 0,40 m de radio poco antes de emerger. La frecuencia del potencial alterno

entre las “DES” es de 107 Hz. Despreciando los efectos relativistas, calcular: a) El campo

magnético utilizado. b) La velocidad de los protones cuando salen del acelerador. c) La

energía de los protones en J y en MeV. d) El número mínimo de vueltas completas de los

protones si el máximo del potencial entre las “DES” es de 20.000 V. e) Lo mismo para un

deuterón de masa 2,014 uma.y para una partícula 24

2 He de masa 4,003 uma.

(Dato: 1 uma=1,660·10-27 kg)

Descripción del Ciclotrón

El ciclotrón consta de dos conductores huecos en forma de D, que han sido montados

simétricamente y separados una pequeña distancia en una cámara de vacío. Se encuentran a

su vez dentro de un fuerte campo magnético perpendicular. En la figura se ha dibujado la

planta y el alzado. Simultáneamente se aplica un campo eléctrico de alta frecuencia, que

suministra energía a las “Des”.

Cuado se introduce una partícula cargada en su centro, se verá acelerada hacia la D cargada

de signo contrario, una vez dentro de la D, queda protegida de las fuerzas eléctricas ya que el

campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo (jaula de Faraday). En cambio el

campo magnético obliga a la partícula a realizar una semicircunferencia de radio r=mv/qB.

En el interior la velocidad no cambia, y cuando a realizado media circunferencia cambia el

signo del potencial eléctrico de las “Des”. Justo en este momento, cuando sale de la D, se

verá acelerada hacia la otra D, entrando a una velocidad mayor y describiendo una

semicircunferencia mayor. Sin embargo el tiempo que tarda en realizar cada semiciclo es el

mismo. La partícula cargada se mueve cada vez más deprisa realizando circunferencias cada

vez más amplias hasta que llega al extremo donde se encontrará con una placa deflectora que

dirige la partícula hacia un blanco determinado.


24

Ecuaciones del ciclotrón

Radio de la partícula:

Frecuencia del oscilador eléctrico:

A esta frecuencia se le denomina frecuencia de resonancia.

La energía cinética que adquieren las partículas aceleradas depende de su velocidad y por

tanto del radio del ciclotrón, R.

m

RBqmvEc

2222

2

1

2

1

Resolvamos ahora el problema:

a) Conocida la relación q/m de la partícula acelerada, para cada frecuencia característica del

ciclotrón es preciso modificar B hasta cumplir la condición de resonancia.

Tq

mfB

B

m

qf 657,02

2

b) La velocidad cuando los protones salen del acelerador corresponde con el radio máximo.

smvm

BqRv /10·514,2 7

c) la energía cinética, será la que corresponde a esta velocidad

MeVJEcmvEc 303,310·285,52

1 132

d) Cada media vuelta la partícula es acelerada, y el campo eléctrico realiza un trabajo

eléctrico que se convierte en energía cinética.

vueltasnVqnEcVqW 8210·285,52 13

Para el caso del deuterón y de la partícula alfa.

Partícula

q

m

q

mfB 2

m

BqRv

2

2

1mvEc

qV

Ecn

2

Protón H1

1 1,05·10-8 Kg 0,657 T 2,51·107 m/s 3,303 MeV 82 vueltas

Deuterón H2

1 2,09·10-8 Kg 1,31 T 2,51·107 m/s 6,602 MeV 165 vueltas

Partícula α, 24

2 He 2,077·10-8 kg 1,305 T 2,51·107 m/s 13,12 MeV 164 vueltas

Compara los resultados de las distintas partículas.

Bq

vmr

r

vmBvq

2

2

2

m

Bqf

Bq

rfm

Bq

rmr


25

19. APLICACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO: EL ESPECTRÓGRAFO DE MASAS.

Una de las aplicaciones más importantes de las fuerzas eléctricas y magnéticas que actúan

sobre partículas, es la determinación de masas isotópicas de los elementos. En los

espectrógrafos se aceleran los isótopos cargados en un campo eléctrico, hasta adquirir una

determinada energía. Después se introducen en un espacio en el que existe un campo

magnético perpendicular a la velocidad de los iones y, éstos se separan según sus masas.

Midiendo los radios de las trayectorias descritas, podemos determinar su masa (si conocemos

su carga).

Supongamos el siguiente problema:

En un espectrómetro de masas se ioniza Mg, acelerando luego los iones con una d.d.p. de

1000 V. Si el campo magnético perpendicular, existente en el semicírculo es de 0,2 T, se

pide: a) Los radios de las trayectorias descritas por los iones Mg24

12, Mg25

12, y Mg26

12 con

una carga +e , así como las distancias entre las líneas formadas por los isótopos sobre la placa

fotográfica. Supón que las masas atómicas de los isótopos son, en uma, iguales a sus números

másicos. b) En otra situación, con una d.d.p. de 3000 V un ion desconocido con carga +e,

describe una órbita semicircular de 13,67 cm de radio ¿cuál será su masa? ¿De qué iones

puede tratarse? Datos qe = 1,6·10-19C, NA = 6,023·1023 mol-1

a) El esquema de un espectrógrafo de masas como el descrito, puede ser el siguiente:

El campo magnético B en el

semicírculo del espectrógrafo, es

perpendicular al plano dibujado y

hacia arriba. El campo eléctrico E

entre las placas del condensador plano

dibujado, acelera los iones que,

entrarán en el semicírculo con una

determinada velocidad que dependerá

de la diferencia de potencial entre las

placas y de las característica de carga

y de masa de cada partícula. Si

llamamos V a la diferencia de

potencial entre la placa positiva y la

negativa, el trabajo realizado por las fuerzas del campo eléctrico se habrá convertido en

energía cinética de los iones, así, podemos escribir:

2

2

1mvqV … de donde, la velocidad adquirida por cada ion será:

m

qVv

2 que, como

vemos, depende de la relación q/m de cada partícula.

Aunque la velocidad es distinta para cada ión, siempre que su carga sea la misma, llegarán al

campo magnético con la misma energía.

Una vez entran en el campo magnético, sobre dichos iones aparece una fuerza magnética,

perpendicular a v y a B por lo que actuará como centrípeta, cambiando la dirección de

v pero no su módulo. La trayectoria descrita debe ser pues una semicircunferencia hasta

incidir en la placa fotográfica del espectroscopio.

Cámara de ionización

B

E


26

BvqFm como v y B son perpendiculares, mF será centrípeta: R

vmBvqFm

2

,

siendo R el radio de la semicircunferencia descrita. Este radio será: qB

mvR y, utilizando el

valor de velocidad obtenido anteriormente: 2

2

qB

mVR

Como vemos, el radio del semicírculo que describen los iones depende de: la relación m/q de

las partículas, del potencial acelerador y, del campo magnético. Si la carga de las partículas es

la misma, el radio sólo dependerá de la masa de las partículas, dado que las características del

espectrógrafo en cuanto a valores de V y B, son constantes.

En nuestro caso concreto, para determinar la distancia entre las líneas formadas por los tres

isótopos del Mg sobre la placa fotográfica, calcularemos los radios de las trayectorias

descritas por cada ión (los tres tipos

de iones tienen carga +e).

Conocidos los radios de las

trayectorias descritas, las distancias

entre las líneas obtenidas en la placa

fotográfica serán:

Distancia entre las dos primeras líneas: 2 (11,39 - 11,15) = 0,48 centímetros

Distancia entre las dos últimas líneas: 2 (11,61 – 11,39 ) = 0,44 centímetros

b) En este caso, se plantea utilizar el espectrógrafo de masas para determinar la masa de un

ión desconocido, sabiendo el radio de la trayectoria descrita en unas determinadas

condiciones. Se supone que, la carga de dicho ión es +e. Como la d.d.p. se ha elevado a 3000

V, y el campo magnético lo suponemos constante e igual a 0,2 T, de las expresiones

utilizadas anteriormente deducimos:

De 2

2

qB

mVR entonces

V

qBRm

2

22

=1,99327·10-26 kg. Pasando la masa a unidades de

masa atómicas: m = 1,99327·10-26 · 6,023·1026 = 12,0054 u, podría ser pues un átomo de C12

6 con una carga positiva.

En todos las casos anteriores, si los iones tienen dos cargas positivas, los radios de las

trayectorias descritas serán los mismos valores obtenidos anteriormente divididos por 2 .

Caso

AN

Am

2

2

qB

mVR

Mg24

12 3,9847·10-26 kg 0,1115 m = 11,15 cm

Mg25

12 4,1058·10-26kg 0,1139 m = 11,39 cm

Mg26

12 4,3168·10-26 kg 0,1161 m = 11,61 cm


27

20. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. AUTOINDUCCIÓN. INDUCCIÓN MUTUA

Inducción electromagnética es el fenómeno por el que aparecen corrientes eléctricas en un

circuito cuando varía el flujo magnético que lo atraviesa.

Este fenómeno viene determinado por la ley de Faraday, que hace referencia al valor de la

corriente inducida, y la ley de Lenz, que hace referencia al sentido de esta corriente que se

opone a la variación de flujo.

dt

dN

Autoinducción: Son corrientes inducidas en el propio circuito al variar la intensidad de la

corriente que circula por él.

La variación de flujo en este caso es debida a la variación de la intensidad de corriente lo que

va a generar una fuerza electromotriz y una intensidad en sentido contrario en el circuito.

I

NL

dt

dIL

dt

dIkN

dt

dNξ

dt

dIk

dt

d

donde de

Don de L es una característica del circuito que se llama coeficiente de autoinducción y se

mide en henrios.

Para un solenoide el flujo magnético es SB· , y el campo magnético de un solenoide es

L

INB

, de donde se obtiene que el coeficiente de autoinducción es

L

SNL

2 .

Un caso interesante son las extracorrientes de cierre y apertura en un circuito: Todo circuito

tiene una parte resistiva, que representamos por una resistencia, y una parte inductiva, que

representamos por una bobina.

Supongamos un circuito abierto, que cerramos, y durante el

estado transitorio, la intensidad que circula por él irá en

aumento. Paralelamente aparecerá una fem inducida que se

opone a este aumento. Si aplicamos la Ley de Ohm

generalizada, tenemos:

RIR

I

´

Y sustituyendo el valor de la fem inducida…

tL

RI

tI

eR

ItL

R

RI

dtL

R

RI

dIIR

dt

dIL

1obtiene se donde deln

:essolución cuya tenemos variablesseparando que

0

00

El término exponencial corresponde a la extracorriente de cierre.

I


28

Supongamos ahora un circuito cerrado, que abrimos, y

durante el estado transitorio, la intensidad que circulaba por

él irá disminuyendo. Paralelamente aparecerá una fem

inducida que se opone a esta disminución. Si aplicamos la

Ley de Ohm generalizada, tenemos:

RIR

I

´

Y sustituyendo el valor de la fem inducida…

t

L

RI

I

tI

I

eR

ItL

RI

dtL

R

I

dIIR

dt

dIL

obtiene se donde deln

:essolución cuya tenemos variablesseparando que

0

0 0

Que corresponde a la extracorriente de apertura.

Aquí se representan la corriente de apertura en

color verde y la extracorriente de cierre en color

rojo.

La inducción mutua se produce cuando la

variación de intensidad de corriente en un

circuito que lleva asociada una variación de

flujo induce en un circuito próximo a él una

fuerza electromotriz.

Al primer circuito lo llamamos primario y al

segundo secundario y el flujo magnético se

transmite a través de un bloque de material

ferromagnético La principal aplicación son los transformadores.

Un transformador solo funciona con corriente alterna. La variación de intensidad produce una

variación de flujo que será el mismo en ambas bobinas, porque están unidas por el mismo

núcleo.

Si partimos del supuesto que el transformador no tiene pérdidas de energía. La potencia de

entrada en el primario será igual a la potencia de salida en el secundario.

2

1

1

2

2

12211

N

N

I

III

I

2

1

2

1

22

11

N

N

dt

dN

dt

dN


29

21. EL PRISMA ÓPTICO

Ecuaciones del prisma:

)4(´

)3(´

)2(´´

)1(

ii

rr

rsennisen

rsennisen

Hay un rayo particular en el que la desviación es mínima y se cumple por tanto que 0id

d .

Derivando (4):

)5(´1´

0´

1 ididid

id

id

dsi

id

id

id

d

Diferenciando las ecuaciones (1), (2) y (3):

)8(´0

)7(´´´´

)6(

rdrd

rdr cosn idi cos

rdr cosni di cos

Dividiendo la ecuación (7) entre la (6) y sustituyendo el valor dado en la ecuación (5):

´1

icosrcos

icosr´cos

Ecuación que para ángulos inferiores a /2 solo tiene como solución: i = i´ y r = r´. Se cumple

igualmente que el rayo dentro del prisma es paralelo a la base.

De este modo la desviación mínima es: i2min

y se cumple para un ángulo de incidencia 2

mini

Esta ecuación, una vez determinado experimentalmente el ángulo de desviación mínima, nos

permite determinar el índice de refracción del prisma, sustituyendo en la expresión (1).

2

2

sen

sen

n

min


30

22. EL DIOPTRIO ESFÉRICO

Es una superficie, plana o curva, que separa dos medios de diferente índice de refracción.

Convenio de signos.

Las distancias, puntos y ángulos, relativas al objeto se denominan con letras minúsculas,

mayúsculas y letras griegas. Las relativas a las imágenes con apóstrofe.

La luz incide de izquierda a derecha

Las magnitudes lineales: se toma un eje de coordenadas con origen en el centro del

sistema óptico O, siendo el eje de abscisas el eje óptico AA´.

Para los ángulos que van del rayo al eje óptico, se utiliza el giro contrario a las agujas del

reloj como positivo, pero los ángulos de incidencia y refracción con la normal se

consideran positivos si tienen el giro de las agujas del reloj.

Aplicando las leyes de la reflexión en la superficie del dioptrío, y teniendo en cuenta los

criterios de la óptica paraxial (si el ángulo es muy pequeño senα ≈ tgα ≈ α).

'ˆ'ˆ'ˆ'ˆ'ˆ'ˆ ininitgnitgnisennisenn

'ˆˆˆ

ˆˆˆ

i

i

y teniendo en cuenta el criterio de signos:

i

i

ˆˆˆ

ˆˆˆ

.

'')ˆˆ(')ˆˆ(

s

h

R

hn

s

h

R

hnnn

Y simplificando y ordenando tenemos: R

nn

s

n

s

n

'

'

' la ecuación del dioptrío esférico.

Para el dioptrío plano solamente hay que considerar r= ∞ y tenemos: s

s

n

n ''

Y para un espejo esférico habría que considerar que n=-n’ y entonces: Rss

21

'

1

Finalmente para un espejo plano R = ∞ y se tiene: 'ss


31

23. MÉTODOS DE MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ

a) Método de Römer (1675)

El satélite Io de Júpiter está en

una órbita coplanaria con la

tierra y queda eclipsado en cada

revolución alrededor de Júpiter,

lo que supone enviar señales

periódicas a la Tierra.

Los eclipses de Io duran algo

más en la posición T2 que en la

posición T1. Este retraso permite

medir la velocidad de la luz:

c = (r2-r1)/t

b) Método de Fizeau (1849)

M = manantial luminoso E2 = Espejo plano

L1, L2, L3 y L4 = Lentes convergentes R = rueda dentada

E1 = Espejo semiplateado O = Observador

E2L2

L3

d

R

L1

M

L4 E1

O

La luz en su recorrido se puede encontrar con un diente de la rueda R o un hueco. Si se hace

girar la rueda lentamente, la luz encuentra hueco tanto a la ida como a la vuelta; se va

aumentado la velocidad de rotación hasta que el observador no recibe luz, lo que indica que

en el tiempo empleado por la luz en ir de R a E2 y regreso un diente ha sido sustituido por el

diente que le sigue. Conociendo la distancia RE2, el número de dientes de la rueda y el

número de revoluciones de la misma se calcula la velocidad de la luz.

Sol T1

SatéliteIo

J1

J2

T2

r1

r2

Órbita de la Tierra

Órbita de la Júpiter


32

Ejemplo: La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau para medir la velocidad de

la luz es de 20 km. La rueda dentada es de 25 mm de radio y 250 dientes. ¿Cuál ha de ser la

velocidad con que debe girar la rueda para que la luz que pasa por un hueco regrese por el

siguiente? Dato c = 3·105 km/s Solución: 30 rps

c) Método de Michelson (1926)

E2 E E1

M

O

El método de Fizeau fue perfeccionado por Foucault, sustituyendo la rueda dentada por un

espejo plano giratorio. Michelson perfecciono aún más este dispositivo, sustituyendo el espejo

plano por otro octogonal. Por este método se llego a obtener un valor de la velocidad de la luz

c = 2,997969·108 m/s.


33

24. FÍSICA NUCLEAR

Fuerzas nucleares: atractivas, muy intensas, de muy corto alcance, p-p, p-n, n-n.

Estabilidad nuclear: Diagrama nº de neutrones frente a nº de protones.

Energía de enlace: es el defecto de masa nuclear convertido en energía de estabilización.

MeVen 931)·(EJen · 2 umcmE

H Bequerel (1895) observó que el sulfato de uranilo producía fluorescencia al incidir sobre él

una radiación, pero no había relación entre la intensidad y la fluorescencia obtenida; pero el

fenómeno era proporcional a la cantidad de uranio.

Posteriormente los esposos Curie observaron el mismo fenómeno al separar el radio de la

pechblenda.

E. Rutherford estudió la radiación emitida descubriendo tres tipos distintos de radiación:

Radiación (positiva): 24

2 Heó E=7,7 MeV y v=1,9·107 m/s

Radiación (negativa):

eó0

1 E=3,1 MeV y v=2,97·108 m/s

Radiación (neutra): hó , radiación de alta energía.

La radiactividad es la transformación de unos átomos en otros por emisión de radiación o

de los átomos iniciales

Ley de desintegración radiactiva:

Periodo de semidesintegración: es el tiempo para que una muestra radiactiva disminuya su

masa o su número de átomos a la mitad (t cuando N=N0/2).

693,021 T

Vida media: es la suma de todos los tiempos de existencia de todos los átomos dividida por el

número de átomos.

111

000

00

dtetdtNtN

dNtN

t

Unidad radiactiva (SI): el bequerel; 1Bq = 1 desintegración/s.

Transformaciones radiactivas:

- Transformación :

QYX A

Z

A

Z

4

2

4

2

- Trasformación : hQYX A

Z

A

Z

0

11

Series radiactivas:

- A = 4n: PbTh 208

82

232

90 ; T1/2 =1,41·1010 años

- A = 4n+1: PbNp 209

82

237

93 ; T1/2 =2,14·106 años (es la serie artificial)

- A = 4n+2: PbU 206

82

238

92 ; T1/2 =4,51·109 años

- A= 4n+3: PbU 207

82

235

92 ; T1/2 =7,18·108 años

- También hay otros elementos que no pertenecen a ninguna serie: ...;;; 14

6

10

4

3

1

2

1 CBeHH

t

tN

N

eNN

tN

Ndt

N

dN

dtN

dNdtNdN

0

00

ln

0


34

25. FÍSICA CUÁNTICA

Planteamientos iniciales:

La radiación electromagnética: Toda carga acelerada emite radiación electromagnética, esto

implica que el modelo de Rutherford no es estable.

La radiación del cuerpo negro. Hipótesis de Planck: Cada oscilador puede absorber o emitir

energía de radiación en una cantidad proporcional a su frecuencia:

hE .

Ley de Wien: La longitud de onda, para la cual la intensidad de radiación emitida es máxima,

disminuye al aumentar la temperatura:

KmTmáx ·109,2 3

Ley de Stefan-Boltzman: La energía total emitida por un cuerpo negro, por unidad de

superficie y de tiempo, o intensidad de radiación, a una temperatura determinada, es

directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura:

4284 ··1067,5 KmwTI total

El efecto fotoeléctrico. Teoría de Einstein. Emisión de electrones por las superficies metálicas

cuando se iluminan con luz de frecuencia adecuada.

- Para cada metal existe una frecuencia mínima umbral.

- Solo cuando ν > νumbral, la Icorriente es proporcional a la Iluminosa.

- La Ec de los electrones aumenta al hacerlo la frecuencia de la luz incidente, pero es

independiente de la intensidad luminosa.

Energía del fotón =Trabajo de extracción + Energía cinética del electrón

2

2

1mvWh extracción

Espectros atómicos. Ecuación de Rydberg.

17122

221

10·09677,1111

mRnn

nnRk

Modelo atómico de Bohr. Postulados.

- El electrón gira en torno al núcleo en órbitas estables y sin emitir energía.

- El electrón no puede girar en cualquier órbita, solo en aquella en que el momento angular

sea un múltiplo entero de h/2π.

- Cuando un electrón cambia de orbita emite o absorbe un cuanto de luz: E2-E1 =hν


35

Principios de la Mecánica Cuántica

La mecánica cuántica, en su formulación ondulatoria, tiene como base física de partida el

principio de dualidad onda-corpúsculo de De Broglie y el principio de incertidumbre de

Heisemberg, a parte, de la hipótesis de Planck.

Principio de dualidad onda corpúsculo de De Broglie

De Broglie fue capaz de unir la teoría corpuscular de la luz (defendida por Newton) y la teoría

ondulatoria de al luz (defendida por Huygens).

Si la luz está formada por corpúsculos, estos estarán caracterizados por un momento lineal y

una energía que según la teoría de la relatividad de Eistein valdrá: pcE , pero si la luz es

una onda estará caracterizada por una longitud de onda y su energía valdrá:

chE .

Igualando ambas expresiones: p

h , ecuación que nos da la relación entra las magnitudes

características y p .

La luz presenta de este modo una doble naturaleza, ciertos fenómenos tienen una explicación

ondulatoria y otros tienen una explicación corpuscular.

De Broglie generalizó este resultado a todo tipo de partículas: Todas las partículas lleva

asociada una onda electromagnética, cuya longitud de onda viene dada por la expresión:

mv

h

Principio de incertidumbre de Heisemberg

Es imposible realizar ninguna medida sin interaccionar con el sistema con lo que no medimos

el sistema sino el sistema perturbado.

Es imposible observar un objeto más pequeño que la longitud de onda de la luz utilizada y

para objetos atómicos la energía de esta radiación es muy elevada.

Esto llevó a Heisemberg a enunciar su famoso postulado: Es imposible conocer

simultáneamente y con exactitud la posición y la cantidad de movimiento de una partícula, de

modo que el producto de sus imprecisiones es siempre mayor que una cantidad.

2

hpx

Esta limitación no es instrumental, sino físicamente real e intrínseca al hecho de medir.

Postulados de la Mecánica Cuántica.

Postulado I

Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas puede ser descrito por una función

de onda que depende de las 3N coordenadas espaciales y del tiempo:

tzyxzyxzyx ,,,,,,,,, 333222111 (1)

Pero esta función de onda debe ser una función aceptable:

a) Uniforme ( no podrá presentar más de un valor para un mismo conjunto de coordenadas),

b) Continua, así como sus derivadas y

c) De cuadrado integrable.

La función de onda que describe un sistema de N partículas corresponde a una amplitud y, por

consiguiente, por analogía con la teoría de la luz, el cuadrado de la función de onda que


36

describe un sistema microscópico en un punto arbitrario en el espacio será proporcional a la

probabilidad de encontrar estas N partículas en aquel punto del espacio. Matemáticamente,

esto se puede expresar por:

12*

dvdv (3)

Postulado II

A cada observable (magnitud física de un sistema) le corresponde un operador que se

construye mediante unas determinadas reglas y que aplicado sobre la función de onda , nos

permite calcular el observable. Así se definen los siguientes operadores:

- El tiempo y las coordenadas permanecen invariables.

- El momento lineal en coordenadas cartesianas se obtiene a partir del operador diferencial:

qi

q

hi

2 (4)

- El operador hamiltoniano relacionado con la energía.

Vm

H

zyxVzyxm

H

zyxVpppm

qpE zyx

22

2

2

2

2

2

22

222

2

),,(2

),,()(2

1),(

El resultado de aplicar un operador sobre la función de onda produce los valores propios del

operador o autovalores asociados a las funciones propias o autofunciones del operador.

aA

Postulado III

La medida de un observable cualquiera asociado a un operador A solo puede dar como

resultado uno de los valores propio de A.

Por ejemplo, en el caso del hamiltoniano asociado a la energía del sistema: La solución de la

ecuación: EH nos permite hallar los valores propios de la energía asociado a las

funciones propias del sistema.

02

2

2 VEm

Postulado IV

Si se conoce la función de onda en cualquier instante, su valor en otro tiempo cualquiera

es solución de la ecuación diferencial:

tiH

2

que representa la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Postulado V

Se trata del principio de Exclusión de Pauli


37

26. FILOSOFÍA DE LA TEORÍA CUÁNTICA

A pesar de que existe un acuerdo entre todos los físicos, de que la teoría cuántica funciona en el sentido de que predice

resultados que concuerdan en forma excelente con el experimento, existe una controversia cada vez mayor en cuanto a sus

fundamentos filosóficos. Neils Bohr ha sido el principal arquitecto de la interpretación actual de la mecánica cuántica,

conocida como la interpretación de Copenhague. Su enfoque ha sido apoyado por la gran mayoría de los físicos teóricos de

hoy. Sin embargo, un grupo numeroso de físicos, no todos de acuerdo entre sí, han cuestionado la interpretación de

Copenhague. El principal crítico de esta interpretación fue Albert Einstein. Los debates Einstein-Bohr constituyen una parte

fascinante de la historia de la física. Bohr consideraba que había podido enfrentar todos los retos que inventó Einstein a

manera de experimentos de pizarrón que tenían por objeto refutar el principio de incertidumbre. Finalmente, Einstein

aceptó que la teoría poseía consistencia lógica y su concordancia con los hechos experimentales, pero permaneció firme

hasta el final, sin convencerse de que ello representara la realidad física última y dijo: “Dios no juega a los dados con el

universo”, refiriéndose a que la mecánica cuántica abandonaba los eventos individuales y la causalidad estricta, en favor de

una interpretación fundamentalmente estadística.

Heisenberg ha afirmado el punto de vista comúnmente aceptado en forma concreta: “No hemos supuesto que la teoría

cuántica, en forma opuesta a la teoría clásica, sea esencialmente una teoría estadística, en el sentido de que de los datos

exactos sólo se puedan obtener conclusiones estadísticas… En la formulación de la ley causal, a saber, si sabemos el

presente exactamente podemos predecir el futuro, no es la conclusión sino la premisa la que es falsa. No podemos saber,

como cuestión de principio, el presente en todos sus detalles”.

Entre los críticos del punto de vista de Bohr-Heisenberg de una indeterminación fundamental en la física, está Louis de

Broglie. En un prólogo a un libro de David Bohm, joven colega de Einstein cuyos intentos de una teoría nueva revivieron el

interés por reexaminar las bases filosóficas de la teoría cuántica, de Broglie escribe: “Razonablemente podemos aceptar que

la actitud adoptada, por más de 30 años, por físicos teóricos cuánticos es, al menos en apariencia, la contraparte exacta de la

información del mundo atómico que nos ha dado la experimentación. Al nivel de investigación que se tiene actualmente en

microfísica, es cierto que los métodos de medición, no nos permiten determinar simultáneamente todas las cantidades que

seriar necesarias para obtener una visión de los corpúsculos de tipo clásico (esto se puede deducir del principio de

incertidumbre de Heisenberg) y que las perturbaciones introducidas por la medición, que son imposibles de eliminar, en

general nos impiden predecir el resultado que producirán y permiten sólo predicciones estadísticas. Por lo tanto, la

construcción de fórmulas puramente probabilísticas, que todos los teóricos usan actualmente, fue completamente justificada.

Sin embargo, la mayoría de ellos, muchas veces bajo la influencia de ideas preconcebidas derivadas de la doctrina positivista,

han pensado que podrían ir más allá y afirmar que el carácter incierto e incompleto del conocimiento que la experimentación,

en su estado actual, nos provee de lo que realmente ocurre en microfísica, es el resultado de una indeterminación real de los

estados físicos y su evolución. Tal extrapolación de ninguna manera parece ser justificada. Es posible que en el futuro,

examinando a un nivel más profundo la realidad física, seamos capaces de interpretar las leyes de probabilidad y física

cuántica como los resultados estadísticos del desarrollo de variables completamente determinadas que actualmente se

encuentran ocultas a nosotros. Puede ser que los poderosos medios que empezamos a usar para romper la estructura nuclear y

para que aparezcan nuevas partículas, nos den algún día un conocimiento directo que actualmente no tenemos a este nivel

más profundo. Tratar de impedir todo intento de ir más allá del punto de vista actual sobre la física cuántica, podría ser muy

peligroso para el progreso de la ciencia y además sería contrario a las lecciones que podemos aprender de la historia de la

ciencia. En efecto, esto nos enseña que el estado actual de nuestro conocimiento es siempre provisional y que deben existir,

más allá de lo que actualmente se conoce, inmensas regiones nuevas que descubrir”. (Tomado de Causality and Chance in

Modern Physics por David Bohm, © 1957 D. Bohm; reimpreso con permiso de D. Van Nostrand Co.).

El estudiante deberá notar aquí la aceptación de que la mecánica cuántica es correcta al nivel atómico y nuclear. La

búsqueda de un nivel más profundo, donde la mecánica cuántica podría ser superada, es motivada mucho más por la objeción

a su indeterminismo filosófico, que por otras consideraciones. De acuerdo con Einstein, “La creencia en un mundo externo

independiente del sujeto que lo percibe es la base de toda la ciencia natural”. Sin embargo, la mecánica cuántica considera las

interacciones entre objeto y observador como la realidad última. Utiliza el lenguaje de las relaciones físicas y procesos en

lugar del de las cualidades y propiedades físicas. Rechaza, por insignificante e inútil, el concepto de que detrás del universo

de nuestra percepción se encuentre oculto un mundo objetivo gobernado por la causalidad; en cambio, se confina a la

descripción de las relaciones entre percepciones. De todas maneras, existen muchos que rehúsan dejar de atribuir propiedades

objetivas a las partículas elementales, por ejemplo, y trabajar con el conocimiento subjetivo acerca de ellas, lo cual motiva su

investigación por una teoría nueva. De acuerdo con de Broglie, tal investigación es en el interés de la ciencia. Que lo anterior

lleve a una nueva teoría que en algún campo actualmente inexplorado contradiga a la mecánica cuántica y altere también sus

fundamentos filosóficos, nadie lo sabe.


38

27. MOVIMIENTO RELATIVO

1. Relatividad en la Mecánica Clásica. Principio de relatividad de Galileo

Para la mecánica clásica de Newton:

- La trayectoria y la velocidad de un móvil son relativas, puesto que dependen del observador.

- El tiempo es absoluto, es un invariante para todos los observadores.

Ante la imposibilidad de encontrar un sistema de referencia absoluto Galileo enuncia su

principio de relatividad: “Es imposible poner de manifiesto, por procedimientos mecánicos, si

un sistema mecánico está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme”.

A los sistemas de referencia en reposo o en moviendo rectilíneo y uniforme los

llamaremos sistemas inerciales.

1.1. Movimiento relativo de traslación uniforme

Supongamos dos sistemas S(O, x, y, z, t) y S’(O’, x’,

y’, z’, t’), que se mueven uno con respecto al otro con

velocidad constante v y que para simplificar S’ se

desplaza en la dirección del eje x como se ve en la figura.

Supongamos que para t = 0, t’ = 0 y los orígenes O y

O’ coinciden. Al cabo de un cierto tiempo t = t’ un cierto

punto A vendrá determinado por el vector de posición

),,( zyxr respecto de S y )',','(' zyxr respecto de S’.

Estando ambos vectores relacionados:

tvrOOrr '''

Derivando para obtener la velocidad:

vutvrdt

d

dt

rdu ''

Derivando por segunda vez para obtener la aceleración:

'' avudt

d

dt

uda

ya que O’ se desplaza con velocidad constante.

Respecto a un sistema de referencia inercial, la distancia entre dos puntos y la aceleración

son invariantes, pero la velocidad depende del observador.

El principio de relatividad de Galileo toma ahora un enunciado más completo: Las leyes

físicas (de la mecánica) tienen la misma expresión matemática para dos observadores

inerciales.


39

1.2. Transformada de Galileo

Supongamos que el observador O’ se mueve en la dirección del eje X y sentido positivo

con velocidad constante. Un suceso ocurrido en A tendrá las coordenadas ),,,( tzyx para O y

)',',','( tzyx para O’ que están relacionadas mediante las ecuaciones:

ttzzyyvtxx ''''

Estas ecuaciones reciben el nombre de transformaciones de Galileo.

1.3. Movimiento relativo de rotación uniforme (que ya no es un sistema inercial).

Supongamos dos sistemas S(O, x, y, z, t) y S’(O’, x’, y’, z’, t’), que rotan uno con respecto

al otro con velocidad angular constante ω y que para simplificar los orígenes de ambos

sistemas coinciden O = O’, como se ve en la figura.

Supongamos que para t = 0, t’ = 0. Al cabo de un cierto tiempo t = t’ un cierto punto A

vendrá determinado por el vector de posición ),,( zyxr respecto de O que será igual a

)',','(' zyxr respecto de O’.

Estando ambos vectores relacionados:

''''''' kzjyixkzjyixrr

Derivando para obtener la velocidad:

dt

rdu

dt

rdu

''

''

''

''

' kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxuk

dt

dzj

dt

dyi

dt

dxu

Teniendo en cuenta que los vectores unitarios

respecto a O’ varían con el tiempo respecto a O, y

que: 'r r

''

''

''

''

''

''

zdt

kdy

dt

jdx

dt

idk

dt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd

ruu '

Considerando ahora las velocidades y derivando para obtener la aceleración:

''''''' kujuiuukujuiuu zyxzyx

''

''

'''

' kdt

duj

dt

dui

dt

du

dt

udak

dt

duj

dt

dui

dt

du

dt

uda zyxzyx

dt

rd

dt

ud

dt

uda

'

Teniendo en cuenta que los vectores unitarios respecto a O’ varían con el tiempo respecto a O.

''''

''

''

''

''

'''

uaudt

kdu

dt

jdu

dt

idk

dt

duj

dt

dui

dt

du

dt

udzyx

zyx


40

rurudt

rd '' de donde se deduce

ruaa '2'

El primer término es la aceleración respecto a O’, el segundo es la aceleración de Coriolis y el

tercero la aceleración centrípeta.

1.4. Movimientos relativos con relación a la tierra

Nos encontramos en un sistema que rota con la tierra a una ω=7,293·10-5 rad·s-1.

Considerando un punto A sobre la superficie de la tierra llamaremos og la aceleración de la

gravedad medida por un observador que no gira situado en A. Despejando la aceleración del

sistema en movimiento tenemos:

rugg o '2

Consideraremos primero el caso de un cuerpo en reposo, entonces el término de Coriolis

es cero 0'2 u y rgg o que será la aceleración efectiva de la gravedad.

El término correspondiente a la aceleración centrífuga, por el signo negativo, se puede

descomponer en un término radial, 22 cosr que disminuye ligeramente a og , y un término

tangente, en la dirección norte-sur, sencos2r . Esto implica que la plomada cae

ligeramente hacia el sur de la dirección radial en el hemisferio norte y ligeramente hacia el

norte en el hemisferio sur.

Considerando ahora el término de Coriolis '2 u . En el caso de un cuerpo que cae, la

velocidad 'u , es esencialmente hacia abajo a lo largo de la vertical BA y '2 u señala

hacia el este, y el cuerpo al caer se desviará en esa dirección. Combinando el efecto centrífugo

y el de Coriolis el cuerpo caerá al sureste de A en el hemisferio norte y al noreste de A en el

hemisferio sur.


41

En el caso de un cuerpo que se mueve en un plano horizontal, el término de Coriolis

formará un ángulo de 2 . Tendrá una componente vertical (despreciable frente a la

aceleración de la gravedad) y otra componente horizontal, que se anula en el ecuador y que

tiende a hacer que la trayectoria se desvíe de la línea recta, hacia la derecha en el hemisferio

norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur.

2. Transformada de Lorentz

Surge de la determinación de la velocidad de la luz. A partir de la transformada de Galileo

la velocidad de la luz depende del movimiento relativo del observador y del foco. El

experimento de Michelson-Morley determinó que la velocidad de la luz era independiente del

observador.

Este dilema fue resulto por Einstein en 1905. Dio origen a la teoría de la relatividad especial,

que desarrolló a partir de los siguientes postulados:

- La velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas inerciales. Independiente del

movimiento del foco y del observador. La velocidad de la luz es una invariante, que tiene el

mismo valor para todos los observadores.

- Las leyes de la física son las mismas y tienen la misma expresión matemática en todos los

sistemas de referencia inercial.

Bajo estas suposiciones las transformaciones de Galileo no son correctas, en particular tt '

no puede se correcta e igualmente tendremos que ajustar la distancia. No obstante resultarán

correctas cuando hablemos de velocidades dentro de nuestras experiencias cotidianas y solo a

velocidades próximas a la luz no serán válidas. Es preciso encontrar otras.

La deducción de estas nuevas ecuaciones se ha de hacer teniendo en cuenta dos premisas:

A velocidades bajas deben coincidir con la transformada de Galileo y la velocidad de la luz

debe ser constante en los diferentes sistemas de referencia.

Sean el sistema S (O, x, y, z, t) y S’ (O’, x’, y’, z’, t’). El sistema S’ se aleja de S en la

dirección del eje X con velocidad uniforme v. Supongamos que en el inicio t=t’ y ambos

orígenes coinciden, O=O’. En este instante sale un rayo de luz en la dirección del eje X que

tendrá las siguientes coordenadas en ambos sistemas:

tcx (1)

'' tcx (2)

Porque la velocidad de la luz es la misma para ambos observadores.

Por otro lado la coordenada x’ en función de x, será de la forma:

tvxx ' (3) donde si γ=1 se convierte en la transformada de Galileo.

Pero igualmente podemos considerar que S’ está fijo y es S el sistema que se aleja con

velocidad negativa, de este modo podemos escribir:

'' tvxx (4)

Sustituyendo en (4) la x’ de (3) y despejando t’:

v

xtt

2

2 1'

(5)

Y para determinar el valor de γ, debemos incorporar la premisa de la constancia de la

velocidad de la luz para ambos sistemas.


42

Sustituimos la expresión (1) y (2) en (3) y en (5):

vcttc ' (6)

v

ctt

2

2 11'

(7)

Finalmente dividiendo las expresiones (6) entre la (7) se obtiene el valor de γ:

2

2

1

1

c

v

Coeficiente que es igual a 1 cuando la velocidad v es pequeña e infinito cuando v=c.

Reemplazando el valor de γ en las expresiones (3) y (5) se obtienen las trasformadas de

Lorentz.

2''''

c

xvttzzyytvxx

2.1. Contracción de la Longitud

La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos a y b. Consideremos una barra

en reposo relativo a O’ y paralela al eje O’X’. La longitud medida por O’ será ''' ab xxL .

Sin embargo el observador O, ve la barra en movimiento y medirá una longitud ab xxL .

LLxxvtxvtxxx ababab '''

Puesto que γ es siempre mayor que la unidad, L será siempre menor que L’. Esto es el

observador O, que ve la barra en movimiento mide una longitud menor que el observador O’

quien ve el objeto en reposo. Los objetos en movimiento son más cortos: reposomov LL ' .

2.2. Dilatación del tiempo

Un intervalo de tiempo es el tiempo transcurrido entre dos eventos. Consideremos dos

eventos que ocurren en el mismo lugar x’ respecto a O’. El intervalo entre estos dos eventos

medido por O’ es ''' ab ttT . Sin embargo para el observador O con respecto al que O’ se

está desplazando a una velocidad constante v en la dirección positiva de las X, el intervalo es

ab ttT .

Recordando que

2

''

c

xvtt y que el suceso ocurre en x’.

'''/''/'' 22 TTttcxvtcxvtttT ababab

Ahora T’ es el tiempo medido por un observador O’ en reposo con respecto al evento, es el

tiempo propio, y T es el tiempo medido por un observador O relativo al cual el punto está en

movimiento cuando ocurren los eventos. El observador O ve que los eventos ocurren en dos

posiciones diferentes en el espacio. Puesto que γ es mayor que 1, T es mayor que T’. Los

procesos toman más tiempo cuando ocurren en un cuerpo en movimiento relativo a un

observador que cuando está en reposo relativo al observador; esto es reposomov TT ' .


43

28. EL PRINCIPIO DE ACCIÓN REACCIÓN Y LA INTERACCIÓN MAGNÉTICA

Consideremos dos cargas positivas en movimiento. La carga 1 crea un campo magnético en la

posición donde está la carga 2 y esta se ve sometida a una fuerza de Lorentz y lo mismo

ocurre sobre la carga 1. La cuestión es que ambas fuerzas son iguales pero no de sentidos

contrarios ni siquiera de la misma dirección. Esto significa que “a cada acción le corresponde

una reacción igual y de sentidos contrarios” ya no es cierta y el principio de acción y reacción

tiene algún problema con las fuerzas magnéticas.

Campo creado por una carga en movimiento viene dado por la expresión:

0

24

rq v uF

r

Fuerza que ejerce un campo sobre una carga en movimiento (Lorentz): F q v B

La inducción magnética que crea la carga 1 en la posición 2, y la que crea la carga 2 en 1 son:

121 1

01 24

rq v uB

r

212 2

02 24

rq v uB

r

La fuerza de Lorentz que ejerce B1 sobre q2 y la que ejerce B2 sobre q1 son:

12 2 2 1F q v B 21 1 1 2F q v B

12

0 1 212 2 124

r

q qF v v u

r

21

0 1 221 1 224

r

q qF v v u

r

Se puede ver que ambas fuerzas son iguales en módulo pero no lo son en dirección ni sentido,

para ello vamos a comprobar gráficamente esto.


44

Pendiente:

- Composición de movimientos armónicos

- Variación de la intensidad de campo y el potencial dentro y fuera de una esfera

uniformemente cargada

- Relatividad General.

- Cosmología

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