Algunas Distribuciones EstadísticasTeóricas … · independientes de Bernoulli con una...

Algunas Distribuciones EstadísticasTeóricas

Distribución de Bernoulli

Distribución de Binomial

Distribución de Poisson

Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución de

Poisson

Distribución Binomial X es una variable aleatoria con distribución binomial si su distribución de

probabilidades esta dada por:

donde 0<p<1 (p constante) y n es un número entero positivo.

Características:

Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos

independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del

éxito entre los ensayos.

Esperanza:

Varianza:

1 0,1, ,n kk

nP X k p p k n

k

E X np

1Var X np p

Forma de la Distribución Binomial

Simétrica

Si p=0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.


Sesgada a derecha

Si p0 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la derecha.


Sesgada a izquierda

Si p1 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la izquierda.

Distribución Binomial

¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2

sean mujeres?

Definimos la v. a. discreta:

X : número de hijas mujeres en una familia de 4 hijos.

4,0.5X B


¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2

sean mujeres?

Definimos la v. a. discreta:

X : número de hijas mujeres en una familia de 4 hijos.

2 4 2

( ) (1 )

0 5 4 2

4( 2) 0 5 (1 0 5)

2

x n x

-

nP X x p p

x

p . ; n ; x

p X . - .

4,0.5X B


Calcular la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. Definimos la v.a discreta: X: números de seis en cuatro lanzamiento de un dado.

( ) 1 ( 0,1,...., )n kk

nP X k p p k n

k

14,

6X B


Calcular la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. Definimos la v.a discreta: X: números de seis en cuatro lanzamiento de un dado.

Al menos dos seises, debemos calcular:

( ) 1 ( 0,1,...., )n kk

nP X k p p k n

k

4 0 4 10 1

( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1)

4 41 1 1 11 1 1 0.132

0 16 6 6 6

P X P X P X P X

14,

6X B

•Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina

produzca un artículo defectuoso es 0.01. En una hora una máquina produce 20

artículos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso?

b) Si la fábrica posee 12 máquinas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de

ellas produzcan algún artículo defectuoso?

Solución/ a)




artículos.




Solución/ a)


: número de artículos defectuos producidos por una máquina. 20,0.01Sea X X B



artículos.




Solución/ a)


: número de artículos defectuos producidos por una máquina. 20,0.01Sea X X B

Al menos un artículo defectuoso, debemos calcular:

20 00

( 1) 1 ( 0) 1 ( 0)

201 0.01 1 0.01 0.182

0

P X P X P X



artículos.




Solución/ b)




artículos.




Solución/ b)


: número de máquinas que producen al menos un artículos defectuos. 12,0.182Sea Y Y B



artículos.




Solución/ b)


Al lo sumo dos produzcan al menos un artículo defectuoso, debemos calcular:

: número de máquinas que producen al menos un artículos defectuos. 12,0.182Sea Y Y B

12 0 12 1 12 20 1 2

( 2) ( 0) ( 1) ( 2)

12 12 120.182 1 0.182 0.182 1 0.182 0.182 1 0.182

0 1 2

P Y P X P X P X

Distribución de Hipergeométrica

Ejemplo: La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del día, cuál es la probabilidad de que ninguna de las partes cumpla con los requerimientos del cliente?

X: “ número de partes que no cumplen con los requerimientos del cliente.”

Distribución de Hipergeométrica

Ejemplo: La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del día, cuál es la probabilidad de que ninguna de las partes cumpla con los requerimientos del cliente?

X: “ número de partes que no cumplen con los requerimientos del cliente.”

800 50

0 4( 4)

850

4

P X


X es una variable aleatoria con distribución de Poisson si su distribución de

probabilidades está dada por:

donde representa el número promedio de eventos por unidad.

Principales características numéricas:

Esperanza

Varianza

0,1,2, , ,!

keP X k k n

k

0

E X

Var X

Forma de la Distribución de Poisson

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las

líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

1

4

10

Consideremos :

El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital.

El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado.

El número de coches que circulan por una rotonda en el lapso de una hora.

Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características:

Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado.

La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.)

El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.


Sea X una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica que :

1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo.

2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad.

3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente.

Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de POISSON.


•El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral.

Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de

infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por

hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan

durante una hora en particular?

Solución:


X: número de infracciones en 1 hora. , 5X P




hora.



Solución:



5 4.5

4 0.1754674!

eP X




hora.



Solución:



5 4.5

4 0.1754674!

eP X

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora

en particular?

Solución:

X : número de infracciones en 1 hora. , 5X P




hora.



Solución:



5 4.5

4 0.1754674!

eP X

0 0 1 1 2 2 3 3

4 1 0 1 2 3

.5 .5 .5 .54 1 0.734974

0! 1! 2! 3!

P X P X P X P X P X

e e e eP X

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora

en particular?

Solución:

X : número de infracciones en 1 hora. , 5X P

Y P

3.75 3.75E Y

c) ¿Cuántas infracciones se espera expedir durante un período de 45 minutos?

Solución:

Y: número de infracciones en 45 minutos.

Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con parámetros n y

p. Esto es:

Cuando y de manera tal que tenemos que:

1 0,1,2,3,4, ,n kk

nP X k p p k n

k

1!

kn kk

n eP X k p p

k k

n 0p np

La distribución de Poisson como una aproximación a

la distribución Binomial

np

Haciendo coincidir los valores medios de ambas distribuciones. Tenemos:

Conclusión “Gráficamente” podemos concluir que a medida que n aumentamos y p

disminuye, la distribución de Poisson se aproxima a la distribución Binomial.

1

1 1 !

k n kn

P X kk n n

n n n k n k

! !k n k

1 1

1 11 1

!

1 11 1 1 1 1

!

1 1lim 1 1 1 1

!

k n k

k nk

k

k nk

kk

n

n n n

n n n k

k n n n

k

k n n n n

k

k n n n

1!

n ke

n k

;n 0 yn

np



El teorema anterior nos dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea “grande” y p “pequeño”.

En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.



X ~ B(n,p)

El número esperado de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con una

probabilidad fija p de ocurrencia está dada por:

E X np

E X

Veamos que sucede si ajustamos ambas variables aleatorias haciendo coincidir

sus valores esperados. Es decir:

np

X ~ P ( α )

Está caracterizada por un único valor . El cual representa el número promedio de

eventos por unidad:



Ejemplo de aplicación

Una máquina envasadora daña una pieza de cada 10000 que envasa. Las piezas

envasadas se comercializan en lotes de 40000. ¿Cuál es la probabilidad de que un

lote tenga a lo sumo 2 elementos defectuosos?

Sea X = cantidad de piezas defectuosas

140000,10000

X B

0 40000 0 1 40000 1 2 40000 2

2 0 1 2

40000 40000 400001 1 1 1 1 11 1 1

0 1 210000 10000 10000 10000 10000 10000

0.238088652447538

P X P X P X P X

Ejemplo de aplicación

Una máquina envasadora daña una pieza de cada 10000 que envasa. Las piezas

envasadas se comercializan en lotes de 40000. ¿Cuál es la probabilidad de que un

lote tenga a lo sumo 2 elementos defectuosos?

Sea X = cantidad de piezas defectuosas

140000,10000

X B

0 40000 0 1 40000 1 2 40000 2

2 0 1 2

40000 40000 400001 1 1 1 1 11 1 1

0 1 210000 10000 10000 10000 10000 10000

0.238088652447538

P X P X P X P X

Aproximación por Poisson.

X = cantidad de piezas defectuosas.

n 0p 4np 4X P

0 4 1 4 2 44 4 4

2 0 1 20! 1! 2!

0.238103305553544

e e eP X P X P X P X

Gráficamente

La función solamente está definida en valores enteros de k. La línea continua sólo es una guías para el ojo y no indican continuidad.

Algunas Distribuciones EstadísticasTeóricas … · independientes de Bernoulli con una...

Documents

Transcript of Algunas Distribuciones EstadísticasTeóricas … · independientes de Bernoulli con una...