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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesEvidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como súper proteínas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Sustancias que funcionan como súper proteínas e

impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Instrucciones:

Lee los problemas que se te presentan y al final efectúa lo que se te pide.

Problema 1

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que

funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona

petrolera.

El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame

petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigación, se

presentaron muchas dificultades, se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un

rotundo fracaso.

En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas

sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que

contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con

capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se

vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era

producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto, con

el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. De esta

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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

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manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia,

la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de

su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades

exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y de esta manera encontrarían los valores

exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera

obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera,

obteniendo 12 litros.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

Integra, en este archivo la solución que diste al problema por el método de Gauss-Jordan.

(P1) 2a + 2b + c = 4.5(P2) 4a + 6b + 3c = 12(P3) 6a + 9b + 7c = 20.5

Forma Matricial

2 2 1 4.5 2 2 1 4.5

4 6 3 12 A B = 4 6 3 12A= B= 6 9 7 20.5

6 9 7 20.5

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Matriz principal aumentada

2 2 1 4.5 1/2R1=R1 1 1 ½ 2.25 -4R1+R2=R2 1 1 ½ 2.25 4 6 3 12 4 6 3 12 -6R1+R3=R3 0 2 1 3

6 9 7 20.5 6 9 7 20.5 0 3 4 7

1/2R2=R2 1 1 ½ 2.25 -R2+R1=R1 1 0 0 0.75 2/5R3=R3

0 1 ½ 3/2 -3R2+R3=R3 0 1 ½ 3/2

0 3 4 7 0 0 5/2 5/2

1 0 0 0.75 -1/2R3+R2=R2 1 0 0 0.75

0 1 ½ 3/2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

Sustancia A= 0.75 Sustancia B =1 Sustancia C = 1

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Incluye los determinantes que obtuvieron en la actividad Regla de Cramer.

Ax=b

(P1) 2a + 2b + c = 4.5 A = 2 2 1 x= X1 b= 4.5 (P2) 4a + 6b + 3c = 12 4 6 3 X2 12 (P3) 6a + 9b + 7c = 20.5 6 9 7 X3 20.5

A1 = 4.5 2 1 A2= 2 4.5 1 A3= 2 2 4.5 12 6 3 4 12 3 4 6 12 20.5 9 7 6 20.5 7 6 9 20.5

D1= A1 = 4.5(42 – 27) – 2(84 – 61.5) + 1( 108 – 123) = 67.5 – 45 – 15 = 7.5

D2= A2 = 2( 84- 61.5) – 4.5 ( 28 – 18) + 1( 82- 72) = 45 – 45 + 10 = 10

D3= A3 = 2(123 – 108) – 2 (82 – 72) + 4.5 (36 – 36) = 30 – 20 + 0 = 10

D = A = 2( 42 – 27) – 2 ( 28 – 18) + 1 ( 36 – 36) = 30 – 20 + 0 = 10

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Utiliza el método de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la

primera, segunda y tercera sustancia.

X1= D1/D X2 = D2/D X3 = D3/D

X1 = 7.5/10 = 0.75

X2 = 10/10 = 1 X3 = 10/10 = 1

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

Empleando el método de sustitución en podemos comprobar el resultado anterior

12a +2b +1c = 4.5 4a + 6b + 3c = 12 6a + 9b + 7c = 20.5

Empezamos por despejar c en la primera ecuación

C= 4.5 - 2ª - 2b

Después la sustituimos en la segunda ecuación

4a+ 6b + 3 (4.5- 2a – 2b ) =12 4a + 6b + 13.5 – 6a – 6b = 12-2a + 13.5 = 12-2a = 12 – 13.5-2a = - 1.5 a = - 1.5 /-2 a = 0.75

Después sustituimos en la primera ecuación

2(0.75) + 2b + c = 4.51.5 + 2b + c = 4.5

Al obtener este resultado deducimos que b =1 y c=1 ya que si los sustituimos nos dará el resultado.

Y sustituimos estos en las demás ecuaciones

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2(0.75) + 2(1) + 1(1) = 4.51.5+2+1= 4.5

4(0.75) + 6(1) + 3(1) = 123 + 6 + 3 = 12

6(0.75) + 9(1) + 7(1) =20.54.5 + 9 + 7 = 20.5

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la

repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la

tercera.

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Problema 2

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar

impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los

siguientes materiales:

- 1/2 kilo de calidra,

- 1/2 kilo de cemento blanco,

- 1/3 de kilo de pega azulejo,

- 1/2 kilo de arena gris (cernida),

- 2/3 de barra de jabón de pasta,

- 1/6 de kilo de alumbre en piedra, y

- 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la

biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección

de la escuela que mide 35 m².

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Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones

9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron? R= 9M²

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

Construye el vector que represente los materiales utilizados para fabricar impermeabilizante natural.

Incluye el sistema de ecuaciones lineales que obtuviste para este problema en la evidencia de la

unidad 2.

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Cantidades Por 1m2 Medidas Costos

½ kilo calidra biblioteca 40m2 biblioteca $1,220½ kilo cemento auditorio 50m2 auditorio $1,525 1/3 kilo pega azulejo 15 salones de 20m2 cada uno =300m2 salones $9,150½ kilo arena gris 20 cubículos = Xm2 cubículos $5,4902/3 barra de jabón de pasta dirección 35m2 disección $1,067.501/6 kilo alumbre en piedra ½ nopal de penca

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s5 + (1/2)1 = 1 m2

Multiplicamos la sustancia 5 y la sustancia 7 por los datos que nos proporcionan para

obtener esas cantidades

1/2s1 + 1/2s2 + 1/3s3 + 1/2s4 + 6 + 1/6s5 + 1/2 = 1m2

Biblioteca

40(1/2s1) + 40(1/2 s2) + 40(1/3s3) + 40(1/2s4) + 40(6) + 40(1/6s5) + 40(1/2) = 1220

20s1 + 20s2 + 40/3 s3 + 20 s4 + 240 + 20/3s5 + 20 = 1,220

20s1 + 20s2 + 40/3s3 + 20 s4 + 20/3 s5 = 1,220 – 240 – 20

20s1 +20s2 + 40/3 s3 + 20 s4 + 20/3 s5= 960

20s1 + 20s2 + 13.33s3 + 20s4 + 6.66 s5 =960

Auditorio

50(1/2s1) + 50(1/2s2) + 50(1/3s3) + 50(1/2s4) + 50(6) + 50(1/6s5) + 50(1/2) = 1525

25s1 + 25s2 + 50/3s3 + 25s4 + 300 + 25/3 s5 + 25 = 1.525

25s1+ 25s2 + 50/3s3 + 25s4 + 25/3s5 = 1,525 – 300 – 25

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25s1 + 25s2 + 50/3s3 + 25s4 + 25/3s5 = 1200

25s1 + 25s2 + 16.66s3 + 25s4 + 8.33 s5 =1200

Salones

300(1/2s1) + 300(1/2s2) + 300(1/3s3) + 300(1/2s4) + 300(6) + 300(1/6s5) + 300(1/2)

= 9150

150s1 + 150s2 + 100s3 + 150s4 + 1800 + 50s5 + 150 = 9150

150s1 + 150s2 + 100s3 + 150s4 + 50s5 = 9150 – 1800 – 150

150s1 + 150s2 + 100s3 + 150s4 + 50s5 = 7200

Cubiculos

35m2 -----1067.5

? ------- 5490

= 180m2 / 20cubiculos = 9 m2 cada cubiculo

180(1/2s1) + 180(1/2s2) + 180(1/3s3) + 180(1/2s4) + 180(6) + 180(1/6s5) + 180(1/2)

= 5490

90s1 + 90s2 + 60s3 + 90 s4 + 1080 + 30s5 + 90 = 5490

90s1 + 90s2 + 60s3 + 90s4 + 30s5 = 5490 – 1080 – 90

90s1 + 90s2 + 60s3 + 90s4 +30s5 = 4320

Direccion

35(1/2s1) + 35(1/2s2) + 35(1/3s3) + 35(1/2s4) + 35(6) + 35(1/6s5) + 35(1/2) =1067.5

35/2s1 + 35/2s2 + 35/3s3 + 35/2s4 + 210 + 35/6s5 + 17.5 = 1067.5

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35/2s1 + 35/2s2 + 35/3s3 + 35/2s4 + 35/6 s5 = 1067.5 – 210 – 17.5

35/2s1 +35/2s2 + 35/3s3 + 35/2 s4 + 35/6 s5 = 840

17.5s1 + 17.5s2 + 11.66s3 + 17.5s4 + 5.83s5 = 840

Integra además la solución que diste al problema por el método que hayas elegido en la evidencia

de la unidad 2.

R= el sistema de ecuación no tuvo solución por el método de Gauss-Jordan ya que no se trata de

un sistema de ecuaciones, es una misma ecuación para los materiales y para las instalaciones.

Obtén los determinantes asociados a cada una de las variables del sistema de ecuaciones

Resuelve el problema por el método de Cramer.

. Forma Matricial

20 20 13.33 20 6.66 960

25 25 16.66 25 8.33 1200

150 150 100 150 50 7200

90 90 60 90 30 4320

17.5 17.5 11.66 17.5 5.83 840

D = 20 20 13.33 20(2500 – 2499) -20 (2500 – 2499 ) + 13.33 (3750 – 3750 ) =

25 25 16.66 20 (1) – 20 (1) + 13.33 (0) =

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150 150 100 20 – 20 + 0 = 0

A = 20 20 13.33 20 X = X1 B = 20

25 25 16.66 25 X2 25

150 150 100 150 X3 150

A1 = 20 20 13.33 A2 = 20 20 13.33 A3 = 20 20 20

25 25 16.66 25 25 16.66 25 25 25

150 150 100 150 150 100 150 150 150

D1 = A1 20(2500 – 2499) -20 (2500 – 2499 ) + 13.33 (3750 – 3750 ) =

20 (1) – 20 (1) + 13.33 (0) =

20 – 20 + 0 = 0

D2 = A2 20(2500 – 2499) -20 (2500 – 2499 ) + 13.33 (3750 – 3750 ) =

20 (1) – 20 (1) + 13.33 (0) =

20 – 20 + 0 = 0

D3 = A3 20( 3750 – 3750) -20 ( 3750 – 3750) +20 ( 3750 -3750) =

20( 0) – 20 (0) + 20 (0) =

0 – 0 + 0 = 0

Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que aprendiste.

Responde la siguiente pregunta: ¿Tus respuestas a las preguntas a partir del método de Cramer son

iguales a las que obtuviste en la evidencia de la unidad 2? Explica por qué.

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