ALI_U2_EU_RIRP

Algebra linealUnidad 2.

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

1

Algebra linealUnidad 2. Para resolver este problema,

realiza lo siguiente:

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss. Después,

Sistemas de ecuaciones:

Sistemas de ecuaciones: Forma matricial

Accidente 6s1 + 9s2 + 7s3 = ?Prueba 1 2s1 + 2s2 + 1s3 = 4.5 lPrueba 2 4s1 + 6s2 + 3s3 = 12 l

12

5.4

?

364

122

796

zyx

• Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.

Renglón 3 - Columna 1 Renglón 3 - Columna 2 Renglón 1 - Columna 3

Renglón 2 - Columna 3 Renglón 1 - Columna 2


2


10 z=6.22z= 6.22 10z= 0.622

• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

Comprobación por sustitución

Accidente 6x + 9y + 7z = 19.55 l

6 (0.76) + 9 (1.18) + 7 (0.62) = 19.55

4.56 + 10.62 + 4.34 = 19.55

19.52 = 19.55

Prueba 1 2x + 2y + 1z = 4.5 l

2 (0.76) + 2 (1.18) + 1 (0.62) = 4.5

1.52 + 2.36 + 0.62 = 4.5

4.5 = 4.5

Prueba 2 4x + 6y + 3z = 12 l

4 (0.76) + 6 (1.18) + 3 (0.62) = 12

3.04 + 7.08 + 1.86 = 12

11.98 = 12


3


Método de Gauss Jordan

Matriz ampliada

6 9 7 19.55

2 2 1 4.5

4 6 3 12

Eliminación por renglones

*31

4R1-6R3->R3

24 36 28 78.22

-24 -36 -18 -72

6 9 7 19.55

2 2 1 4.5

0 0 10 6.22

*21

-3R2 + R1 -> R2

6 9 7 19.55

-6 -6 -3 -13.5


4


6 9 7 19.55

0 3 4 6.05

0 0 10 6.22

*32

-10R2 + 4R3-> R2

0 -30 -40 60.55

0 0 40 24.88

6 9 7 19.55

0 -30 0 -35.67

0 0 10 6.22

*12

1R2 -10R1->R1

0 -30 0 -35.67

-60 -90 -70 -190.55

-60 -120 -70 -226.22

0 -30 0 -35.67

0 0 10 6.22


5


*21

-4R2 + R1->R1

0 120 0 142.68

-60 -120 -70 -226.22

-60 0 -70 -83.54

0 -30 0 -35.67

0 0 10 6.22

7R3 + R1 -> R1

0 0 70 43.54

-60 0 -70 -83.54

-60 0 0 -40

0 -30 0 -35.67

0 0 10 6.22

R1 /-60 -> R1 1 0 0 0.7694

R2/-30->R2 0 1 0 1.189

R3/ 10->R3 0 0 10 .622


6


10Z= 6.22

Z=6.22/10

Z= 0.622

3y+ 4z= 6.055

3y + 4(0.622) =6.055

3y= 6.055 – 2.488

3y= 3.567

y= 3.567/3

y= 1.189

6x + 9y + 7z = 19.555

6x + 9(1.189) + 7 ( 0.622) = 19.555

6x = 19.555 – 10.701 – 4.354

6x = 4.5

x= 4.5/6

x= 0.75


7


Accidente

6x + 9y +7z = 19.555 l

Sustancia 1 6 (0.75) = 4.5

Sustancia 2 9 (1.189) = 10.701

Sustancia 3 7 ( 0.622) = 4.354

Prueba 1

2x + 2y + 1z = 4.5 l

Sustancia 1 2 (0.75) = 1.5

Sustancia 2 2 (1.189) = 2.36

Sustancia 3 1 ( 0.622) = 0.622

Prueba 2

4x + 6y + 3z = 12 l

Sustancia 14 (0.75) = 3.04

Sustancia 2 6 (1.189) = 7.134

Sustancia 3 3 ( 0.622) = 1.86

Comprueba los resultados


8


Comprobación por Sustitución

Accidente 6x + 9y + 7z = 19.55 l

6( 0.76) + 9(1.189) + 7 (0.622) = 19.55

4.56 – 10.70 + 4.354 = 19.615

19.55 = 19.61

Prueba 1

2x + 2y + 1z = 4.5l

2( 0.76 ) + 2 (1.189) + 1 (0.622)

1.52 + 2.378 + .622 = 4.52

4.55 = 4.52

Prueba 2

4x + 6y + 3z = 12 l

4 ( 0.76) + 6 ( 1.189) + 3 ( 0.622)

3.04 + 7.134 + 1.866 = 12.04

12 = 12.04


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2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron? Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema.

1m2

½ kg de cal hidra½ kg de cemento blanco1/3kg de pega azulejo1/2kg de arena gris2/3 kg de barra de jabón1/6 kg de alambre en piedra½ kg de nopal de penca

Concepto Unidad Superficie m2

$ Costo $ Costo/Unidad

Biblioteca 1 40 1220 1220

Auditorio 1 50 1525 1525Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales

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Salones 15 20 c/u 9150 510Cubículos 20 9 5490 274.50Dirección 1 35 1067.50 1067.50

Costos1m2 1/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e+1/6f +1/2g = 30.540m2 20a + 20b +40/3c+20d+80/3e+20/6f +20g = 122050m2 25a + 25b +50/3c+25d+100/3e+50/6f +25g = 152520m2 10a + 10b +20/3c+10d+40/3e+20/6f +10g = 6109m2 9/2a + 9/2b +3c+9/2d+6e+9/6f +9g = 274535m2 35/2a + 35/2b +35/3c+35/2d+70/3e+35/6f +35/2g = 1057.501/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e (6)+1/6f +0.5g = 30.51/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e+1/6f= 30.5 – 4 -0.25

1. 1/2a + 1/2b +1/3c+1/2d+2/3e+1/6f = 26.252. 20a + 20b +40/3c+20d+50/6f = 10503. 25a + 25b +50/3c+25d+50/6f= 1312.504. 10a + 10b +20/3c+10d++20/6f = 5255. 9/2a + 9/2b +3c+9/2d+9/6f = 236.25

35/2a + 35/2b +35/3c+35/2d+35/6f = 918.75

2. Representa el sistema mediante su forma matricial.

MATRIZ a b c d fBIBLIOTECA 20 20 40/3 20 20/3 1050AUDITORIO 25 25 50/3 25 50/6 1312.50SALONES 10 10 20/3 10 20/6 525CUBICULOS 9/2 9/2 3 9/2 9/6 236.25DIRECCION 35/2 35/2 35/3 35/2 35/6 918.75

3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de Gauss-Jordan.

La matriz no puede ser desarrollada por el metodo de gauss ni de gauss jordan ya que no se trata de un sistema de ecuaciones, es una misma ecuación para los materiales y para las instalaciones.

4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema.


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5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2


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