Calculo de la altura hundida de una esfera, la cual se encuentra parcialmente sumergida en un fluido.

Partiendo de la ecuación la cual calcula el volumen hundido de una esfera parcialmente sumergida.

D=2R

h=? x

V s=13π h2 (3 R−h )

Despejando para h

3V s

π=h2 (3R−h )

3V s

π=3R h2−h3

h3−3R h2+3V sπ

=0

Sustituyendo el V s en función de la fracción hundida x

x=V sV t

V s=xV t

De la fórmula del volumen de una esfera.

V s=x ( 43 π R3)

Sustituyendo en la expresión de la altura hundida

h3−3R h2+3 {x( 43 π R3)}

π=0

h3−3R h2+ 3 xπ ( 43 π R3)=0

h3−3R h2+4 x R3=0

Para resolver analíticamente la expresión cúbica anterior, aplicamos la ecuación de Cardan de la forma:

x3+a x2+bx+c=0

Dónde:

a=−3 R Coeficiente del término cuadrático

b=0 Coeficiente del término lineal

c=4 x R3 Término independiente

Cuyo procedimiento de solución nos indica el cálculo de:

P=3b−a2

9

P=3 (0 )−(−3R )2

9=

−(9R2)9

=−R2

P=−R2 P3=−R6

Q=9ab−27c−2a3

54

Q=9 (−3 R ) (0 )−27 (4 x R3 )−2 (−3 R )3

54

Q=−27 (4 x R3 )−2 (−27 R3 )

54=−108 x R3+54 R3

54

Q=54 R3 (−2 x+1 )

54=R3 (1−2x )

Q=R3 (1−2x ) Q2= {R3 (1−2x ) }2

Q2=R6 (1−4 x+4 x2)

Q2=R6−4 x R6+4 x2R6

El siguiente paso consiste en calcular el valor de ∆

∆=P3+Q2

Sustituyendo los valores de P3 yQ2

∆=(−R6 )+(R6−4 x R6+4 x2 R6 )

∆=−R6+R6−4 x R6+4 x2R6

∆=−4 x R6+4 x2R6

∆=4 x R6 (−1+x )

∆=4 x R6 ( x−1 )

Dado que 0≤ x≤1 el término ( x−1 ) es negativo por lo que ∆ será negativa, cuya solución nos indica 3 raíces reales distintas.

Para calcularlas tendremos que calcular:

θ=arc cos Q

√−P3

Sustituyendo los valores de Q ¿ R3 (1−2x ) y P3=−R6

θ=arc cosR3 (1−2 x )

√−(−R6 )

θ=arc cosR3 (1−2 x )

√R6=arc cos

R3 (1−2x )R3

θ=arc cos (1−2x )

Cuyas 3 soluciones son:

h1=2√−P cos θ3−a3

Sustituyendo los valores de P=−R2 y a=−3 R

h1=2√−(−R2)cos θ3−

(−3 R )3

h1=2√R2 cos θ3+3 R3

=2 R cos θ3+R

Sacando R de factor común

h1=R (1+2cos θ3 )

θ=arc cos (1−2x )

La segunda raíz:

h2=2√−P cos (θ3 +120)−a3

Sustituyendo los valores de P=−R2 y a=−3 R

h2=2√−(−R2)cos ( θ3+120)− (−3R )3

h2=2√R2 cos( θ3 +120)+ 3R3 =2R cos ( θ3+120)+R

Sacando R de factor común

h2=R {1+2cos( θ3 +120)}

θ=arc cos (1−2x )

La tercer raíz:

h3=2√−P cos (θ3 +240)−a3

Sustituyendo los valores de P=−R2 y a=−3 R

h3=2√−(−R2 )cos ( θ3 +240)− (−3R )3

h3=2√R2 cos (θ3 +240)+ 3R3 =2R cos ( θ3+240)+R

Sacando R de factor común

h3=R {1+2cos (θ3 +240)}

θ=arc cos (1−2x )