Ampte06

dy1

dy2

−

t

t

t

Tema 7

Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

Diferenciales

7.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Nuestro proposito no es resolver sistemas de ecuaciones diferenciales cualesquiera:

dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)

dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn) . .

. . dyn

dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn)

ni tampoco resolver una ecuacion diferencial cualquiera de orden n

F (x, y, yt, . . . , yn)) = 0.

Solo nos plantearemos resolver una ecuacion diferencial de orden n lineal

yn) + a1(x)yn−1) + a2(x)yn−2) + . . . + an 1(x)yt + an (x)y = f (x)

y sistemas de ecuaciones lineales

y1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · · + a1n(x)yn + f1(x)

y2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · · + a2n(x)yn + f2(x) . . . . . . . . . .

yn = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · · + ann(x)yn + fn(x)

que lo expresaremos en forma matricial como:

Y t = A(x)Y + F (x)

1

2 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

0 1 · · · 0 0

0 0 · · · 0 0

. . . . . . . . .

y

y

y

y

y

. . .

. =

y2

. +

0

.

donde

t

1 yt

a11

(x) · · · a1n

(x)

f1(x)

Y t = 2

A(x) = a

. (x) · · · a

(x) y F (x) =

f

(x) t n1 nn n n

Dada una ecuacion diferencial lineal de orden n

yn) + a1(x)yn−1) + a2(x)yn−2) + . . . + an

1(x)yt + a

(x)y = f (x), − n

si hacemos llamar:

y = y1 , yt = y2 , ytt = y3 , yttt = y4 , . . . , yn−1 = yn

obtenemos el sistema:

dy1

dx dy2

dx

= yt = y2

= ytt = y3

.

dyn−1

dx

= yn−1) = yn

dyn = yn) = −a

(x)y − a

(x)yt − . . . − a (x)yn−2) − −a (x)yn−1) + f (x)

dx n

n−1 2 1

= −an(x)y1 − an−1(x)y2 − . . . − a2(x)yn−1 − a1(x)yn + f (x)

que en forma matricial quedarıa:

t

1 t 2

y1

0

yt 0 0 · · · 0 1 y 0 n−1

t n

−an(x) −an−1(x) · · · −a2(x) −a1(x)

n−1

yn

f (x)

Por lo tanto basta estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer

orden ya que sistemas de ecuaciones de orden superior al primero se reducen a un sistema

diferencial lineal de primer orden, en particular tambien se reduce una ecuacion diferencial

lineal. Definicion 7.1 Si en el sistema Y t = A(x)Y + F (x) es F (x) = 0 obtenemos

el sistema de ecuaciones Y t = A(x)Y llamado sistema homogeneo. Al sistema de

ecuaciones Y t = A(x)Y + F (x) se le llama sistema no homogeneo o completo.

7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 3

.

1

.

0

.

.

Teorema 7.1 (de existencia y unicidad) Sea Y t(x) = A(x)Y (x)+F (x) un sistema

de ecuaciones diferenciales lineal de primer orden tal que A(x) y F (x) son funciones

de matrices continuas en un intervalo I ∈ IR, sea x0 ∈ I e existe una unica solucion:

y0 ∈ IRn entonces

Y (x) =

y1(x) y2(x)

.

tal que

Y (x0) = y0

yn(x)

Estudiemos primero los sistemas homogeneos ya que, igual que sucedıa en las ecua-

ciones diferenciales de primer orden, toda solucion del sistema completo se puede expresar

como suma de la solucion general del homogeneo mas una solucion particular del sistema completo. Por lo tanto si Y (x) es una solucion del sistema no homogeneo y Z (x) es

la solucion general del sistema homogeneo entonces existe una solucion particular Yp(x)

del sistema completo tal que:

Y (x) = Z (x) + Yp(x)

Para probar esto basta demostrar que Y (x) − Yp(x) = Z (x) o lo que es lo mismo la

diferencia de dos soluciones del sistema completo es una solucion del sistema homogeneo

(hacerlo como ejercicio).

7.1.1 Sistema Diferencial Homogeneo

Teorema 7.2 Sea S el conjunto de soluciones del sistema lineal homogeneo Y t(x) =

A(x)Y (x) donde A(x) es una matriz continua de orden n. Entonces S es un espacio

vectorial de dimension n

Demostracion

Probar que S es un espacio vectorial es facil, basta comprobar que si Y1(x) , Y2(x) son soluciones, entonces αY1(x) + βY2(x) tambien lo son, (hacerlo como ejercicio).

Probemos ahora que dimS = n. Para ello basta encontrar una base de n elementos;

dicha base es:

{Y1(x), · · · , Yn(x)} donde Yi(x) i = 1, · · · , n son soluciones de los problemas de valor inicial

Y t(x) = A(x)Y (x)

Y (x0) = ei i = 1, · · · , n

0

.

donde ei =

i)

0

• Son linealmente independientes:


. .

.

Supongamos que λ1Y1(x) + · · · + λnYn(x) = 0 ∀x ∈ I =⇒

λ1Y1(x0) + · · · + λnYn(x0) = 0 =⇒ λ1e1 + · · · + λnen = 0 =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0

• Forman un sistema de generadores: Sea Y (x) una solucion cualquiera del sistema homogeneo, sea Y (x0) = y0 y0 ∈ IRn

luego ∃ λi i = 1, · · · , n tal que y0 = λ1e1 + · · · + λnen = 0 Consideremos tambien Z (x) = λ1Y1(x0) + · · · + λnYn(x0) = 0 es una solucion del

problema de valor inicial Y t(x) = A(x)Y (x)

Y (x0) = y0

Exactamente igual que Y (x) como la solucion es .n

unica es Z (x) = Y (x) =

i=1 λiYi(x) luego {Y1(x), · · · , Yn(x)} forman un sistema de generadores de S.

Definicion 7.2 A una base del espacio vectorial de soluciones de un sistema homogeneo

se le llama sistema fundamental de soluciones y a la matriz M (x) cuyas colum-

nas forman un sistema fundamental de soluciones se le llama matriz fundamental de

soluciones.

Si {Y1(x), · · · , Yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones del sistema homogeneo

Y t(x) = A(x)Y (x) entonces cualquier solucion se puede expresar como Y (x) = c1Y1(x)+ · · · + cnYn(x) y dejando las constantes c1, c2, · · · , cn como constantes arbitrarias se obtiene la solucion general

Lo podemos expresar en forma matricial Y (x) = M (x)C donde M (x) es la matriz fundamental de soluciones que tiene por columnas las soluciones Yi(x) y C es el vector

columna que tiene por componentes las constantes ci o sea:

. .

c1 . c2

Y (x) = M (x)C = Y1(x) Y2(x) · · · Yn(x)

.

. . .

cn

Nos planteamos las siguientes preguntas:

1. Dadas n soluciones del sistema homogeneo {Y1(x), · · · , Yn(x)}. ¿Como sabemos

que forman un sistema fundamental de soluciones?

2. ¿Como se encuentra un sistema fundamental de soluciones?

Para responder a la primera pregunta , o sea para saber si {Y1(x), · · · , Yn(x)} son un

sistema fundamental de soluciones, la unica condicion es que sean linealmente indepen-

dientes, y el instrumento para saber si n funciones Y1(x), · · · , Yn(x) son linealmente independientes es el llamado wronskiano.


W (Y1(x), · · · , Yn(x)) = . . ƒ= 0 ∀x ∈ I

. . .

.

.

.

.

. . . . . .

Teorema 7.3 Sean:

y11

y21

y12

y22

y1n

y2n

Y1(x) =

.

Y2(x) =

.

· · · Yn(x) =

.

yn1

yn2

ynn

soluciones del sistema homogeneo Y t(x) = A(x)Y (x) en un intervalo I . Una condicion necesaria y suficiente para que Y1(x), · · · , Yn(x) sean linealmente independientes es que el wronskiano de Y1(x), · · · , Yn(x) sea distinto de cero ∀x ∈ I

. y11 y12 · · · y1n

. .

y21 y22 · · · y2n

. . .

. .

. .

. . . .

. yn1 yn2 · · · ynn .

Se puede hacer mas facil todavıa utilizando el siguiente teorema que daremos sin

demostracion.

Teorema 7.4 Si Y1(x), · · · , Yn(x) son soluciones del sistema homogeneo Y t(x) =

A(x)Y (x) entonces se cumplen una de las dos condiciones siguientes:

W (Y1(x), · · · , Yn(x)) = 0 ∀x ∈ I o bien W (Y1(x), · · · , Yn(x)) ƒ= 0 ∀x ∈ I

Luego para saber si {Y1(x), · · · , Yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones basta

encontrar algun x0 para el que W (Y1(x0), · · · , Yn(x0)) ƒ= 0

Teorema 7.5 Una matriz M (x) es una matriz fundamental de soluciones del sistema

Y t(x) = A(x)Y (x) si y solo si M t(x) = A(x)M (x) y detM (0) ƒ= 0. (La derivada de una funcion con valores matriciales M (x) es la matriz cuyos elementos son las derivadas de los elementos correspondientes de M (x)

Demostracion

Denotese por Y1(x), · · · , Yn(x) las n columnas de M (x). Observese que:

M t(x) = .

Y t(x), · · · , Y t (x) .

1 n

y

A(x)M (x) = .

A(x)Y1(x), · · · , A(x)Yn(x) .

Por lo tanto, las n ecuaciones vectoriales Y t(x) = A(x)Y1(x), · · · ,Y t (x) = A(x)Yn(x) 1 n

M t

son equivalentes a la ecuacion matricial (x) = A(x)M (x). Mas aun, n soluciones

Y1(x), · · · , Yn(x) son linealmente independientes si y solo si Y1(0), · · · , Yn(0) son vectores linealmente independientes en IRn. Los vectores, a su vez, son independientes si y solo si

detM (x) ƒ= 0, con lo que queda demostrado el teorema. La respuesta a la segunda pregunta la abordaremos solo para el caso en el que A(x)

sea una matriz A de coeficientes constantes


An+1xn . Anxn .

n! + · · · = A I + Ax + · · · + n!

· · ·

. . . . .

7.1.2 Sistemas Homogeneos de Coeficientes Constantes

Sea el sistema homogeneo de coeficientes constantes Y t(x) = AY (x) . Hallaremos

la matriz fundamental de una forma muy ingeniosa. Recuerdese que y(x) = eaxc es

una solucion de la ecuacion diferencial escalar yt(x) = ay(x), para cualquier constante

c. De manera analoga, serıa deseable poder decir que Y (x) = eAxV es una solucion de

Y t(x) = AY (x) para cualquier vector constante V , donde: ¸

Adx = Ax

Tenemos una dificultad que es definir eAx , sin embargo hay una manera muy natural

de calcularlo de forma que se asemeje a la exponencial escalar eax , simplemente se define

como:

eAx ≡ I + Ax +

En particular se cumple que:

A2x2

2! + · · · +

Anxn

n! + · · ·

d eAx = A + A2x +

dx

A3x2

2!

+ · · · + + = AeAx

luego: d

eAx = AeAx en particular dx

d

eAxV = AeAxV dx

En consecuencia, M (x) = eAx = e¸

Adx es una matriz fundamental de soluciones ya

que dicha matriz verifica la ecuacion M t(x) = AM (x) y M (0) = eA0 = I por lo que

detM (0) = 1 ƒ=

0. Ahora para calcular la matriz fundamental podemos hallar directamente la matriz eAx

como se hizo en la asignatura de Algebra de primero o bien hallamos n soluciones inde-

pendientes, de cualquier forma hay que hallar los autovalores, autovectores y autovectores

generalizados de la matriz de los coeficientes A.

Al final del capıtulo damos un pequeno resumen de todas estas tecnicas.

Ya conocemos una matriz fundamental de soluciones del sistema homogeneo Y t(x) =

AY (x) la matriz eAx, pero es difıcil de calcular. Resolveremos el problema con el siguiente

teorema:

Teorema 7.6 Sean {v1, · · · , vn} los autovectores y autovectores generalizados de la ma-

triz A. Entonces las funciones eAxvi i = 1, · · · , n son n soluciones independientes del

sistema homogeneo Y t(x) = AY (x).

Demostracion

Que son soluciones ya lo hemos probado, veamos que son independientes.

. . .

. . .

W (eA0v1, · · · , eA0vn) = det Inv1 Inv2 · · · Invn

= det

v1 v2 · · · vn

= detP ƒ=

0

. . . . . .


i i

n!

Comencemos a calcular las soluciones del sistema homogeneo Y t(x) = AY (x) sepa-

rando en diferentes casos, segun sean los autovectores y autovalores de A.

A tiene n vectores propios independientes

Sean v1, · · · , vn los n autovectores independientes de A asociados a autovalores λi que

pueden ser iguales.

Las soluciones son : eAxvi i = 1, · · · , n hallemos cada una de ellas:

eAxvi = e(A−λi I )xeλi I xvi

La anterior igualdad es cierta basandose en la propiedad de que eAB = eAeB ⇐⇒ AB = BA en nuestro caso es (A − λiI )(λiI ) = (λiI )(A − λiI )

Pero:

eλi I xvi = .

I + λiI x + λ2I 2x2

2!

.

+ · · · vi =

.

1 + λix + λ2x2

2!

.

+ · · ·

vi.I = eλi xvi.I

Por lo tanto:

Ahora bien:

eAxvi = eλi xe(A−λi I )xvi

xn

e(A−λi I )xvi = vi + x(A − λiI )vi + · · · + (A − λiI )nvi + · · ·

Luego :

(A − λiI )vi = · · · = (A − λiI )nvi = 0∀n ∈ N

eAxvi = eλi xvi

A tiene autovalores complejos distintos

Si λ = a + ib es un autovalor complejo de A con autovector v = v1 + iv2, entonces Y (x) = eλxv es una solucion con valores complejos del sistema Y t(x) = AY (x).

Teorema 7.7 Sea Y (x) = U (x) + iV (x) una solucion del sistema Y t(x) = AY (x)

con valores complejos. Entonces tanto U (x) = Re(Y (x)) como V (x) = I m(Y (x)) son

soluciones reales del sistema y ademas son independientes.

En nuestro caso la solucion es :

Y (x) = e(a+ib)x(v1 + iv2) = eax(cosbx + isenbx)(v1 + v2) =

= eax [(v1cosbx − v2senbx) + i(v2cosbx + v1senbx)]

Por lo que sus soluciones reales son:

Y1(x) = eax(v1cosbx − v2senbx)

Y2(x) = eax(v2cosbx + v1senbx)

Del autovalor a − ib se obtienen las mismas soluciones.


− i i−1 i−2

· · · + v − n−1

n!

2! −

Caso en que la forma canonica de Jordan de la matriz del sistema, A, sea un bloque de Jordan de orden mayor que uno, con autovalor λ ∈ IR

Sean v1 el autovector asociado a λ y v2, v3, · · · , vn los autovectores generalizados.

Ya conocemos la solucion eAxv1 = eλxv1 hallemos las restantes:

eAxvi = eλxe(A−λI )xvi

Ahora bien:

e(A−λI )xvi = vi + x(A − λI )vi + · · · +

xn

(A − λI )nvi + · · ·

Pero vi verifica que (A − λ)i)vi = 0 y tambien (A − λ)mvi = 0∀m ≥ i Luego:

e(A−λI )xvi = vi + x(A − λI )vi +

y utilizando el hecho de que:

x2

(A − λI )2vi · · · + xi−1

(i − 1)! (A − λI )i−1vi 1

(A−λI )vi = vi 1 (A−λI )2v = (A−λI )v = v · · · (A−λI )

obtenemos la solucion:

i−2 vi = v2 (A−λI ) i−1 vi = v1

.

eAxvi = eλx v1

xi−1

+ v2

xi−2

· · · + vi

x2

2 + vi

.

1x + v (i − 1)! (i − 2)!

− 2!

− i

Luego las n soluciones linealmente independientes son:

Y1(x) = eλxv1

Y2(x) = eλx [v1x + v2]

Y3(x) = eλx

.

. x2

v1 2!

.

+ v2x + v3

. xn−2 xn−3

.

Yn−1(x) = e λx v1

+ v2 n 2x + v (n − 2)! (n − 3)!

Yn(x) = eλx

. xn−1

v1 (n − 1)!

+ v2 xn−2

(n − 2)!

x2

· · · + vn−2 2!

+ vn

.

−1x + vn

A tiene autovalores complejos multiples

Las mismas soluciones que en el caso de autovalores reales multiples pero por cada

solucion compleja obtenemos dos solucines reales, la parte real y la parte imaginaria.

7.2. ECUACIO N DIFERENCIAL HOMOGENEA DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTA

0 1 0

0 0 1 0

0 0 1 0

y

y

y

y

y

. .

−

.

=

3

. y

.

7.2 Ecuacion Diferencial Homogenea de Orden n con

Coeficientes Constantes

Transformando la ecuacion diferencial:

yn) + a1yn−1) + a2yn−2) + . . . + an

1yt + a

y = 0

− n

a sistema, nos queda:

t 1 t

2 t 3

. . .

. . .

. . .

. . .

y1

y2

n−2 0 0 1 n−2

yt

n−1

yn−1

yt

t n

0 0 1

−an −an−1 · · · · · · −a2 −a1 yn

Calculemos su polinomio caracterıstico:

.

.

.

.

.

.

.

. |A − λI | =

. . .

.

.

.

.

−λ 1 0 0 −λ 1 0

0 −λ 1 0 . . . . . . . . . . . .

0 −λ 1 0 −λ 1

.

.

.

.

.

.

.

.

. = 0

.

.

.

.

.

. . −an −an−1 · · · · · · −a2 −a1 − λ .

Desarrollando por la ultima fila obtenemos:

λn + a1λn−1 + a2λ

n−2 + . . . + an 1λ + an = 0

Otra caracterıstica propia de los sistemas que provienen de ecuaciones diferenciales lineales de orden n es que si λ es un autovalor entonces dimker(A − λI ) = 1, solo hay

un unico autovector independiente; luego no puede ocurrir que haya 2 bloques de Jordan

con el mismo autovalor, cada autovalor genera un bloque de Jordan y solo uno.

Demostremoslo.

Sea v ∈ ker(A − λI ) =⇒ (A − λI )v = 0

−λv1 + v2 = 0 =⇒ v2 = λv1

−λv2 + v3 =

.

0 =⇒ v3 = λv2 = λ2v1

−λvn−12 + vn = 0 =⇒ vn = λvn−1 = λ

−anv1 − an−1v2 − . . . − a2vn−2 − a1vn−1 − λvn = 0

n−1v1


=

· · · + v − n−1

λ

. .

.

.

.

v1

v2

v = v3

v1

λv1

λ2v

1

2

1 = v1 λ

.

vn λn−1v1 λn−1

se ve que solo depende de un parametro, v1, el autovalor λ es fijo. Veamos ahora los diferentes casos segun las raices del polinomio caracterıco:

• Si solo tiene autovalores reales simples: λ1, λ2, · · · , λn sus soluciones son eλ1 x, eλ2 x, · · · , eλn x

y son un sistema fundamental de soluciones.

• Si tiene un autovalor complejo simple a+ib una solucion independiente es e(a+ib)x =

eax(cosbx+isenbx) genera dos soluciones reales independientes eaxcosbx y eaxsenbx

• si tiene un autovalor real λ de multiplicidad k las soluciones que nos salıan como

sistema eran:

Y1(x) = eλxv1

Y2(x) = eλx [v1x + v2]

Y3(x) = eλx

.

. x2

v1 2!

.

+ v2x + v3

. xn−2 xn−3

.

Yn−1(x) = e λx v1

+ v2 n 2x + v (n − 2)! (n − 3)!

Yn(x) = eλx

. xn−1

v1 (n − 1)!

+ v2 xn−2

(n − 2)!

x2

· · · + vn−2 2!

+ vn

.

−1x + vn

Agrupando terminos, la solucion general es:

Y (x) = c1Y1(x) + c2Y2(x) + c3Y3(x) + · · · + cn−1Yn−1(x) + cnYn(x) =

= eλx

. . x2

v1 1 + x + 2!

+ · · · +

xn−2

(n − 2)!

xn−1 .

+ + (n − 1)!

. xn−3 xn−2

.

. x2 . .

v2 1 + x + · · · + (n − 3)!

+ (n − 2)!

+ · · · + vn−2 1 + x + 2!

+ vn−1 (1 + x) + vn

Escrito en forma de vectores quedarıa:

y1(x)

.

y11(x)

.

yn1(x)

.

= c1

+ · · · + cn . =

yn(x)

y1n(x)

ynn(x)

7.3. LA ECUACIO N NO HOMOGENEA. VARIACIO N DE PARA METROS 11

= e

+

+ .

t

t

t

.

c

λx

v11

. v1n

v21

.

x2 c1 + c2x + c3 2!

.

+ · · · + cn−1

xn−2

(n − 2)!

+ cn xn−1

.

+ (n − 1)! .

v2n

c2 + c3x + · · · + cn−1 xn−3

(n − 3)!

+ cn xn−2

(n − 2)! + · · ·

· · · +

v(n−2)1

.

v(n−2)n

.

cn

2 + c

x + c

x2 .

v(n−1)1

.

v(n−1)n

(c

n−1

+ cn

x) +

vn1

.

vnn

nn

Como de la solucion general Y (x) unicamente nos interesa la primera coordenada

y1(x), las restantes son las derivadas sucesivas , en la ecuacion anterior basta con-

siderar las primeras coordenadas, entonces si llamo y(x) = y1(x) reagrupo terminos

y renombro las constantes nos queda

y(x) = k1eax + k2xeax + k3x2eax + · · · + knxn−1eax

Luego:

eax, xeax, x2eax, · · · , xn−1eax

es un sistema fundamental de soluciones

• y por ultimo si tiene un autovalor complejo a + ib de multiplicidad m sus soluciones

complejas son:

e(a+ib)x, xe(a+ib)x, x2e(a+ib)x, · · · , xm−1ea+ib)x

y las soluciones reales son:

eaxcosbx, eaxsenbx, xeaxcosbx, xeaxsenbx, · · · , xm−1eaxcosbx, xm−1eaxsenbx

7.3 La Ecuacion no Homogenea. Variacion de Parametros

Para resolver la ecuacion no homogenea

y1 = a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn + f1(x)

y2 = a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn + f2(x)

. . . . .

yn = an1y1 + an2y2 + · · · + annyn + fn(x)

que lo expresaremos en forma matricial como:

Y t = AY + F (x)


y

y

y

. .

.

i=1 i

. .

.

.

.

2

.

donde

t 1 t

Y t = 2

A =

a11

.

· · · a1n

.

f1(x)

.

. y F (x) =

t n

an1

· · · ann

fn(x)

Hay que resolver primero la ecuacion homogenea Y t(x) = AY (x). Sean Y1(x), · · · , Yn(x) un sistema fundamental de soluciones de la ecuacion homoge-

nea, entonces la solucion general es Y (x) = c1Y1(x) + · · · + cnYn(x) donde c1, · · · , cn son

constantes arbitrarias, y se puede expresar

. .

c1 . c2

Y (x) = M (x)C = Y1(x) Y2(x) · · · Yn(x)

.

. . . cn

El metodo de variacion de parametros se utiliza para encontrar una solucion particular

de la no homogenea y consiste en buscar una solucion del tipo Y (x) = M (x)C (x) donde

sustituimos el vector de constantes .

c1

c2 C =

cn

por otro de f unciones de x C (x) =

c1(x)

c (x)

cn(x)

Sea Y (x) = M (x).C (x) =⇒ Y t(x) = M t(x).C (x)+M (x).C t(x) como debe ser solucion de la completa cumplira:

M t(x).C (x) + M (x).C t(x) = A.M (x).C (x) + F (x)

Pero M t(x).C (x) = .n

es

Y t(x).ci(x) como cada Yi(x) es una solucion de la homogenea

n n

Y t t . .

i (x) = A.Yi(x) =⇒ M (x).C (x) =

Luego la ecuacion queda:

i=1

A.Yi(x).ci(x) = A i=1

Yi(x).ci(x) = A.M (x).C (x)

AM (x).C (x) + M (x).C t(x) = AM (x).C (x) + F (x) =⇒ M (x).C t(x) = F (x)

Por ser M (x) matriz fundamental es M (x) ∀x ∈ IR regular, de esta forma ∃M −1(x) =⇒ C t(x) = M −1(x).F (x). Luego:

¸

C (x) =

M −1(x).F (x)dx

7.3. LA ECUACIO N NO HOMOGENEA. VARIACIO N DE PARA METROS 13

.

.

.

.

.

. eAxv1 eAxv2 · · · eAxvn

= eA

x v1 v2 · · · vn

. .

= eAx.P

−

Ası la solucion particular de la ecuacion completa sera:

¸

Y (x) = M (x).

M −1(x).F (x)dx

Entonces la solucion general de la ecuacion completa es la suma de la solucion general

de la homogenea mas una solucion particular de la completa.

¸

Y (x) = M (x).C + M (x).

M −1(x).F (x)dx

Si tomo como matriz fundamental de soluciones M (x) = eAx entonces la ecuacion

anterior se simplifica bastante ya que, su principal escollo es el calculo de M −1(x) que en

nuestro caso vale e−Ax y asi tenemos:

Y (x) = eAx.C + eAx. ¸

e−Ax.F (x)dx

Cambiando la variable dentro de la integral se simplica la expresion:

Y (x) = eAx.C + eAx.

¸

e−At.F (t)dt

y metiendo la exponencial dentro de la integral queda:

Y (x) = eAx.C + ¸

eAx.e−At.F (t)dt = eAx.C + ¸

eA(x−t).F (t)dt

ATENCION.- Nosotros no hemos calculado en este tema la matriz fundamental eAx

sino la matriz fundamental cuyas solucines son eAxv1, · · · , eAxvn le llamare B(x) donde v1, · · · , vn son los autovectores y autovectores generalizados, estos vectores son las colum-

nas de la matriz P de paso para el calculo de la forma canonica de Jordan de la matriz A

o sea:

B(x) =

. .

.

. . .

Luego eAx = B(x).P −1 y eA(x−t) = B(x − t).P −1 y la solucion quedara:

Y (x) = B(x).P −1.C + ¸

B(x

t).P −1.F (t)dt

renombrando la matriz P −1.C como una matriz C queda:

¸

Y (x) = B(x).C + B(x − t).P −1.F (t)dt


Si queremos resolver un problema de valor inicial:

. Y t(x) = AY (x) + F (x)

Y (X0) = Y0

La solucion sera:

Y (x) = B(x).C +

¸ x

B(x − t).P −1.F (t)dt x0

Como Y (x0) = B(x0).C = Y0 =⇒ C = B−1(x0).Y0 y ası la solucion es:

¸ x

Y (x) = B(x).B−1(x0).Y0 + B(x − t).P −1.F (t)dt x0

7.4 Resumen sobre formas canonicas de Jordan

• Sea A una matriz de orden n, un escalar λ ∈ IR se llama autovalor (valor propio)

de A si existe un vector v ∈ IRn llamado autovector (vector propio) asociado al autovalor λ tal que:

Av = λv ⇐⇒ (A − λI )v = 0

La condicion para que exista v ƒ= 0 es que det(A − λI ) = 0 es el llamado

polinomio caracterıstico que nos proporciona todos los autovalores de A

• Si λ es un autovalor de A, al conjunto de todas las soluciones del sistema (A−λI )x =

0 es el K er(A − λI ), es el espacio vectorial de todos los autovectores asociado al autovalor λ

• Si λ es un autovalor complejo de A, λ tambien es autovalor de A y si x es un

autovector complejo del autovalor λ entonces tambien es x autovector de λ

• Si λ1, λ2, · · · , λn son autovalores de A distintos y x1, x2, · · · , xn son sus autovectores

asociados, entonces x1, x2, · · · , xn son independientes.

• Si denotamos por ma(λ) la multiplicidad de λ como raiz del polinomio caracterıstico

(se llama multiplicidad algebraica) y por mg (λ) a la dimK er(A − λI ) (llamada multiplicidad geometrica entonces:

1 ≤ mg (λ) ≤ ma(λ)

• teorema. (Forma canonica de Jordan)

Sea A una matriz cuadrada. Sean λ1, λ2, . . . , λr los autovalores de A con multi- plicidades ma(λi) = mi i = 1, · · · r. Entonces existe P ∈ Mn×n(IR) regular, tal

7.4. RESUMEN SOBRE FORMAS CANO NICAS DE JORDAN 15

P −1AP = J =

J

J

i

i

i

J

i

que:

(m1 ) λ1

(m2 ) λ2

. . .

(mr ) λr

λi 1 0

0 λ 1 0

Donde J (mi )) =

0 λi 1 0

. . . . . .

. . . . . .

λi

0 λi

1 0

0 λi 1

0 λi

es el bloque de Jordan de orden mi con λi en la diagonal y unos en la sobrediagonal.

• Hay tantos bloques de Jordan en la diagonal como autovectores independientes. Por

lo tanto el numero de bloques de Jordan coincide no con el numero de autovalores, sino con el numero de autovectores independientes.

• Las columnas de la matriz P son precisamente los autovectores independientes, por

eso P es regular.

• Si mg (λi) = ma(λi) ∀i = 1, · · · , r tendrıamos n autovectores independientes y

podrıamos calcular la matriz P y consecuentemente la forma canonica de Jordan, que en este caso es diagonal

• ¿Y si para algun i es mg (λi) < ma(λi)?. Hay que encontrar otros vectores llamados

autovectores generalizados que suplan a los autovectores que faltan. Veamos como se hallan.

• Si vi es un autovector asociado al autovalor λi entonces (A − λiI )vi = 0

Para encontrar un autovector generalizado asociado a λi buscamos un vector V 1 tal que:

(A − λiI )v1 = vi ⇐⇒ (A − λiI )

2v1 = 0 i i

Seguimos buscando otro v2 tal que:

(A − λiI )v2 = v1 ⇐⇒ (A − λiI )

3v2 = 0 i i i

y otro v3 tal que :

(A − λiI )v3 = v2 ⇐⇒ (A − λiI )

4v3 = 0 i i i

y asi hasta que no sea posible encontrar mas.


i

En general los autovectores generalizados cumplen la condicion de que:

vr r

r−1

o lo que es lo mismo:

i ∈ ker((A − λi) ) − ker((A − λi) )

(A − λi)r )vr = 0 y (A − λi)

r−1vr ƒ= 0 i i

De esta forma la matriz de P estara formada por ejemplo por:

. . .

. . . . .

. . . . . . . .

P = v1 v1 v2 v2 v3 v1 v2 v3 · · ·

1 1

. . . . .

3 3 3 . . .

. . . . . . . .

cuyas columnas son autovectores Vi seguidos de sus correspondientes autovectores generalizados V k de modo que a cada autovector Vi le corresponda un bloque de Jordan Ji de orden igual al numero de autovectores generalizados mas uno.

7.5 Metodo de los coeficientes indeterminado para

ecuaciones diferenciales

El metodo de los coeficientes indeterminados aplicado a una ecuacion diferencial no ho-

mogenea de orden n con coeficientes constantes

yn) + a1yn−1) + a2yn−2) + . . . + an

1yt + a

y = g(x) − n

es un procedimiento sencillo para encontrar una solucion particular yp(x), cuando el

termino no homogeneo g(x) es de un tipo especial. A continuacion se presenta una tabla de la forma de una solucion particular yp(x) en funcion del termino no homogeneo.

g(x) yp(x) pn(x) = anxn + · · · + a1x + a0 xsPn(x) = xs {Anxn + · · · + A1x + A0} aeαx

xsAeαx

a cos(βx) + b sen(βx) xs {Acos(βx) + Bsen(βx)} pn(x)eαx

xsPn(x)eαx

pn(x) cos(βx) + qm(x) sen(βx),

donde qm(x) = bmxm + · · · + b1x + b0

xs {PN (x) cos(βx) + QN (x) sen(βx)} , donde QN (x) = BN x

N + · · · + B1x + B0

y N = max(n, m)

aeαxcos(βx) + beαxsen(βx) xs {Aeαxcos(βx) + Beαxsen(βx)}

pn(x)eαxcos(βx) + qm(x)eαxsen(βx) xseαx {PN (x)cos(βx) + QN (x)sen(βx)}, donde N = max(n, m)

s es el menor entero no negativo tal que ningun termino de la solucion particular

yp(x) sea solucion de la ecuacion homogenea correspondiente.

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