An alisis Real, maestr a. Tarea 1....

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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante α.

Temas preliminares de Analisis Real: operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos,preimagen de un conjunto bajo una funcion, continuidad de operaciones aritmetricas con numerosreales, sucesiones monotonas de intervalos, estructura de un subconjunto abierto del eje real, supremo eınfimo de un conjunto, lımite superior y lımite inferior de una sucesion de numeros reales, convergenciapuntual y uniforme de una sucesion de funciones.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 25 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2 %.I. Con una tabla de verdad demostrar la siguiente formula para proposiciones:

(p∨ q)∧ r = (p∧ q)∨ (q∧ r).

II. Usando el resultado del inciso I demostrar la siguiente propiedad de operaciones con conjuntos:

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

III. Demostrar la formula del inciso II por medio de diagramas de Euler–Venn (dibujar un diagramapara cada paso).

Ejercicio 2. 2 %.Demostrar las siguientes propiedades de la union de una familia de conjuntos. Sea (Ai)i∈J unafamilia de conjuntos. Denotemos su union por B:

B :=⋃i∈JAi.

I. Sea k ∈ J. Entonces Ak ⊂ B.II. Sea C un conjunto tal que Ai ⊂ C para todo i ∈ J. Entonces B ⊂ C.

Ejercicio 3. 2 %.En cada uno de los siguientes incisos calcular la preimagen del conjunto B bajo la funcion f y hagaun dibujo.

I. f : R→ R, f(x) := x2 − 4x+ 1, B = (−2, 1].

II. f : R→ R, f(x) := 3− |x− 1|, B = (2, 4).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto [2, 5), B = (−1, 1/2).

IV. f : R2 → R, f(x) := x2 − 4y2, B = (0,+∞).

Tarea 1, variante α, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Preimagen de la union de una familia de conjuntos. Sean f : X → Y una funcion y (Bi)i∈J unafamilia de subconjuntos de Y. Demostrar que

f−1

[⋃i∈JBi

]=⋃i∈Jf−1[Bi].

Ejercicio 5. 1 %.Demostrar la equivalencia de las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖∞ en el espacio vectorial Rn, esto es, encon-trar algunos numeros C1 > 0 y C2 > 0 tales que para cualquier x en Rn se cumplan las siguientesdesigualdades:

‖x‖1 6 C1‖x‖∞, ‖x‖∞ 6 C2‖x‖1.

Ejercicio 6. 1 %.Denotemos por f a la operacion de adicion de numeros reales:

f : R2 → R, f(x, y) := x+ y.

I. Demostrar que f es Lipschitz continua respecto a la distancia euclidiana en R2.

II. Demostrar que f es uniformemente continua en su dominio.

III. Demostrar que f es continua en cada punto de su dominio.

Ejercicio 7. 2 %.Denotemos por f a la operacion de inversion de numeros reales:

f : R \ {0}→ R \ {0}, f(x) =1

x.

1. Demostrar que para cadaM > 0 la funcion f es Lipschitz continua en el conjunto {x ∈ R : |x| >M}.

2. Demostrar que para cada M > 0 la funcion f es uniformemente continua en el conjunto{x ∈ R : |x| >M}.

3. Demostrar que f es continua en cada punto de su dominio.


Ejercicio 8. 3 %.Se considera la sucesion monotona de intervalos (An)

∞n=1, donde

An =

(−3+

1

n, 2

].

I. Calcular la union B =

∞⋃n=1

An. Hay que escribir la respuesta y una demostracion completa.

II. Hallar las diferencias Dk := Ak \Ak−1, donde k ∈ {1, 2, . . .}, A0 := ∅.

III. Verificar directamente las siguientes igualdades (µ es la longitud de intervalos):

µ(B) = limn→∞µ(An) =

∞∑k=1

µ(Dk).

Ejercicio 9. 3 %.Hallar el supremo y el ınfimo de cada uno de los siguientes conjuntos. Enunciar la respuesta y escribirla demostracion.

A = (√3, 5) ∩Q.

B ={3 cos nπ2 + 1

n

}∞n=1

.

Ejercicio 10. 4 %.Hallar los lımites superior e inferior de la sucesion

xn = cosnπ

2+

(−1)n

n.

I. Obtener la respuesta partiendo la sucesion dada en subsucesiones disjuntas convergentes.

II. Comprobar la respuesta usando solamente las definiciones de lim sup y lim inf.


Ejercicio 11. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R definidas mediante la regla

fn(x) = arc tg(nx).

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3, 4.

2. Para cada x en R, calcular el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x).

3. Para cada n ∈ {1, 2, 3, . . .}, calcular la norma uniforme de la funcion fn − g.

Ejercicio 12. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−3n,−n].

1. Dibujar las graficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente lımite:

g(x) := limn→∞ fn(x)

y escribir el razonamiento completo basandose en le definicion del lımite.



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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante β.





(p⊕ q)→ (p⊕ r)∨ (r⊕ q).


A4 B ⊂ (A4 C) ∪ (C4 B).


Ejercicio 2. 2 %.Demostrar la siguiente propiedad de operaciones con familias de conjuntos. Sean (Ai)i∈J unafamilia de conjuntos y B un conjunto. Entonces(⋃

i∈JAi

)∩ B =

⋃i∈J

(Ai ∩ B).


I. f : R→ R, f(x) := −x2 − 2x+ 1, B = [−2, 0).

II. f : R→ R, f(x) := |x+ 2|− 2, B = (−2, 1).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto [−1, 4], B = (0, 2].

IV. f : R2 → R, f(x) := 4x− y2, B = (−∞, 0].

Tarea 1, variante β, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Preimagen de la imagen de un conjunto bajo una funcion. Sean f : X→ Y y A ⊂ X. Demostrar que

A ⊂ f−1[f[A]].

Construir una funcion f : R→ R y un conjunto A ⊂ R tales que

A ( f−1[f[A]].


‖x‖2 6 C1‖x‖∞, ‖x‖∞ 6 C2‖x‖2.

Ejercicio 6. 1 %.Denotemos por f a la operacion de sustraccion de numeros reales:

f : R2 → R, f(x, y) := x− y.




Ejercicio 7. 2 %.Denotemos por f a la operacion de multiplicacion de numeros reales:

f : R2 → R, f(x, y) := xy.

1. Demostrar que para cada M > 0 la funcion f es Lipschitz continua en el conjunto {(x, y) ∈R2 : ‖(x, y)‖2 6M} respecto a la distancia euclidiana en R2.

2. Demostrar que para cada M > 0 la funcion f es uniformemente continua en el conjunto{(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)‖2 6M}.




∞n=1, donde

An =

(−1−

1

n, 3

].

I. Calcular la interseccion B =

∞⋂n=1


II. Hallar las diferencias Dk := Ak \Ak+1, donde k ∈ {1, 2, . . .}.

III. Verificar directamente la siguiente igualdad (µ es la longitud de intervalos):

µ(A1) = µ(B) +

∞∑k=1

µ(Dk).


A = [−4,√11] ∩Q.

B ={

sen nπ2 − 2

n

}∞n=1

.


xn =1

nsen

(2n+ 1)π

2+ 3(−1)n.




Ejercicio 11. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : [0, 1]→R definidas mediante la regla

fn(x) = xn.


2. Para cada x en [0, 1], calcular el siguiente lımite:



Ejercicio 12. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo (0, 1/n], multiplicada por n.







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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 1 CCJ.





(p⊕ q)⊕ r = p⊕ (q⊕ r).


(A4 B)4 C = A4 (B4 C).


Ejercicio 2. 2 %.Demostrar la siguiente propiedad de operaciones con familias de conjuntos. Sean (Ai)i∈J unafamilia de conjuntos y B un conjunto. Entonces(⋂

i∈JAi

)∪ B =

⋂i∈J

(Ai ∪ B).


I. f : R→ R, f(x) := x2 + 6x+ 6, B = [−1, 1).

II. f : R→ R, f(x) := 1− |x+ 2|, B = (−1, 1).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto (3, 5), B = (−1, 1).

IV. f : R2 → R, f(x) := x2 − y2, B = (−∞, 1).

Tarea 1, variante 1 CCJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Preimagen de la union de una familia de conjuntos. Sean f : X → Y una funcion y (Bi)i∈J unafamilia de subconjuntos de Y. Demostrar que

f−1

[⋃i∈JBi

]=⋃i∈Jf−1[Bi].

Ejercicio 5. 1 %.Demostrar la equivalencia de las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 en el espacio vectorial Rn, esto es, encon-trar algunos numeros C1 > 0 y C2 > 0 tales que para cualquier x en Rn se cumplan las siguientesdesigualdades:

‖x‖1 6 C1‖x‖2, ‖x‖2 6 C2‖x‖1.


f : R2 → R, f(x, y) := x− y.





f : R2 → R, f(x, y) := xy.






∞n=1, donde

An =

(−3+

1

n, 2

].


∞⋃n=1





∞∑k=1

µ(Dk).


A = (2, 5] ∩Q.

B ={2(−1)n − 1

n

}∞n=1

.


xn = 3(−1)n +1

ncos

nπ

2.





fn(x) = exp

(−x2

n

).





Ejercicio 12. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−1/n, 2/n].







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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 2 FSR.





p∧ (q∨ r) = (p∧ q)∨ (p∧ r).


A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).


Ejercicio 2. 2 %.Demostrar las siguientes propiedades de la interseccion de una familia de conjuntos. Sea(Ai)i∈J una familia de conjuntos. Denotemos su interseccion por B:

B :=⋂i∈JAi.

I. Sea k ∈ J. Entonces B ⊂ Ak.II. Sea C un conjunto tal que C ⊂ Ai para todo i ∈ J. Entonces C ⊂ B.


I. f : R→ R, f(x) := −x2 − 4x− 3, B = (−3,−2].

II. f : R→ R, f(x) := |x+ 1|− 3, B = (−2, 1).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto (−1, 2), B = (0, 2).

IV. f : R2 → R, f(x) := x2

4 + y2, B = [1,+∞).

Tarea 1, variante 2 FSR, pagina 1 de 4


A ⊂ f−1[f[A]].


A ( f−1[f[A]].


‖x‖2 6 C1‖x‖∞, ‖x‖∞ 6 C2‖x‖2.


f : R2 → R, f(x, y) := x+ y.





f : R \ {0}→ R \ {0}, f(x) =1

x.






∞n=1, donde

An =

(−5, 1+

1

n

].


∞⋂n=1




µ(A1) = µ(B) +

∞∑k=1

µ(Dk).


A = [3, 4) ∩Q.

B ={(−1)n + 1

n

}∞n=1

.


xn = sennπ

2+2(−1)n

n.





fn(x) =2n2x

1+ n4x2.












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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 3 MMJ.





(p⊕ r)→ (p⊕ q)∨ (q⊕ r).


A4 C ⊂ (A4 B) ∪ (B4 C).



i∈JAi

)∩ B =

⋃i∈J

(Ai ∩ B).


I. f : R→ R, f(x) := x2 − 6x+ 8, B = (0, 2].

II. f : R→ R, f(x) := 2− |x− 1|, B = (−1, 0).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto (1, 4], B = (−3, 1/2].

IV. f : R2 → R, f(x) := x2 − 4x+ y2, B = (−∞, 9].

Tarea 1, variante 3 MMJ, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Preimagen de la interseccion de una familia de conjuntos. Sean f : X → Y una funcion y (Bi)i∈Juna familia de subconjuntos de Y. Demostrar que

f−1

[⋂i∈JBi

]=⋂i∈Jf−1[Bi].


‖x‖1 6 C1‖x‖2, ‖x‖2 6 C2‖x‖1.


f : R2 → R, f(x, y) := x− y.





f : R2 → R, f(x, y) := xy.






∞n=1, donde

An =

[2+

1

n, 4

].


∞⋃n=1





∞∑k=1

µ(Dk).


A = (−1, 2] ∩Q.

B ={3(−1)n + 1

n

}∞n=1

.


xn =1

n+ cos

2nπ

3.




Ejercicio 11. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : [0, 1]→R definidas mediante la regla

fn(x) = x1/n.


2. Para cada x en [0, 1], calcular el siguiente lımite:



Ejercicio 12. 2 %.Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesion de funciones fn : R→R, donde fn es la funcion caracterıstica del intervalo cerrado [−1/n, 0].







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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 4 BOME.





p∧ (q∨ r) = (p∧ q)∨ (p∧ r).


A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).



B :=⋃i∈JAi.



I. f : R→ R, f(x) := −x2 − 2x, B = [−1, 1).

II. f : R→ R, f(x) := |x− 2|− 1, B = (−1, 2].

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto [−3, 1), B = [0, 1).

IV. f : R2 → R, f(x) := −x+ y2, B = (−∞, 1].

Tarea 1, variante 4 BOME, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Imagen de la preimagen de un conjunto bajo una funcion. Sean f : X→ Y y B ⊂ Y. Demostrar que

f[f−1[B]] ⊂ B.

Construir una funcion f : R→ R y un conjunto B ⊂ R tales que

f[f−1[B]] ( B.


‖x‖2 6 C1‖x‖∞, ‖x‖∞ 6 C2‖x‖2.


f : R2 → R, f(x, y) := x+ y.





f : R \ {0}→ R \ {0}, f(x) =1

x.






∞n=1, donde

An =

(−2−

1

n, −1

].


∞⋂n=1




µ(A1) = µ(B) +

∞∑k=1

µ(Dk).


A = [5, 8) ∩Q.

B ={(−1)n − 2

n

}∞n=1

.


xn =1

n+ sen

2nπ

3.





fn(x) =2n2x

1+ n4x2.












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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 5 GSLA.





p∨ (q∧ r) = (p∨ q)∧ (p∨ r).


A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).


Ejercicio 2. 2 %.Demostrar las siguientes propiedades de la interseccion de una familia de conjuntos. Sea(Ai)i∈J una familia de conjuntos. Denotemos su interseccion por B:

B :=⋂i∈JAi.

I. Sea k ∈ J. Entonces B ⊂ Ak.II. Sea C un conjunto tal que C ⊂ Ai para todo i ∈ J. Entonces C ⊂ B.


I. f : R→ R, f(x) := x2 + 2x− 1, B = (0, 2].

II. f : R→ R, f(x) := 1− |x+ 3|, B = (−2,−1).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto [−1, 3), B = (−2, 1).

IV. f : R2 → R, f(x) := x2 + y2 − 6y, B = (13,+∞).

Tarea 1, variante 5 GSLA, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Preimagen de la interseccion de una familia de conjuntos. Sean f : X → Y una funcion y (Bi)i∈Juna familia de subconjuntos de Y. Demostrar que

f−1

[⋂i∈JBi

]=⋂i∈Jf−1[Bi].


‖x‖1 6 C1‖x‖2, ‖x‖2 6 C2‖x‖1.


f : R2 → R, f(x, y) := x− y.





f : R2 → R, f(x, y) := xy.






∞n=1, donde

An =

[2−

1

n, 4

].


∞⋂n=1




µ(A1) = µ(B) +

∞∑k=1

µ(Dk).


A = (−2, 3] ∩Q.

B ={1n + cos nπ2

}∞n=1

.


xn = 3(−1)n +1

nsen

nπ

2.





fn(x) = exp

(−x2

n

).












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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 6 DTJM.





(p∧ q)∨ r = (p∨ r)∧ (q∨ r).


(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).



i∈JAi

)∩ B =

⋃i∈J

(Ai ∩ B).


I. f : R→ R, f(x) := −x2 − 4x− 5, B = [−5,−1).

II. f : R→ R, f(x) := |x+ 1|− 3, B = (−2, 2].

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto [−4,−2], B = (0, 1].

IV. f : R2 → R, f(x) := x− y2, B = (3,+∞).

Tarea 1, variante 6 DTJM, pagina 1 de 4


A ⊂ f−1[f[A]].


A ( f−1[f[A]].


‖x‖2 6 C1‖x‖∞, ‖x‖∞ 6 C2‖x‖2.


f : R2 → R, f(x, y) := x+ y.





f : R \ {0}→ R \ {0}, f(x) =1

x.






∞n=1, donde

An =

(−1, 3−

1

n

].


∞⋃n=1





∞∑k=1

µ(Dk).


A = (3, 7) ∩Q.

B ={3n + (−1)n

}∞n=1

.


xn = sennπ

2+2(−1)n

n.





fn(x) =2n2x

1+ n4x2.












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Analisis Real, maestrıa. Tarea 1. Variante 7 oyentes.





(p⊕ q)∧ r = (p∧ r)⊕ (q∧ r).


(A4 B) ∩ C = (A ∩ C)4 (B ∩ C).



B :=⋃i∈JAi.



I. f : R→ R, f(x) := x2 + 6x+ 6, B = (−2, 1].

II. f : R→ R, f(x) := 2− |x+ 2|, B = [−1, 1).

III. f : R→ R es la funcion caracterıstica del conjunto (−3, 1], B = [1/2, 3].

IV. f : R2 → R, f(x) := x2

9 − y2, B = (0,+∞).

Tarea 1, variante 7 oyentes, pagina 1 de 4

Ejercicio 4. 1 %.Imagen de la preimagen de un conjunto bajo una funcion. Sean f : X→ Y y B ⊂ Y. Demostrar que

f[f−1[B]] ⊂ B.

Construir una funcion f : R→ R y un conjunto B ⊂ R tales que

f[f−1[B]] ( B.


‖x‖1 6 C1‖x‖2, ‖x‖2 6 C2‖x‖1.


f : R2 → R, f(x, y) := x− y.





f : R2 → R, f(x, y) := xy.






∞n=1, donde

An =

[2−

1

n, 4

].


∞⋂n=1




µ(A1) = µ(B) +

∞∑k=1

µ(Dk).


A = (−1, 2] ∩Q.

B ={3(−1)n + 1

n

}∞n=1

.


xn = sennπ

2+2(−1)n

n.





fn(x) = exp

(−x2

n

).












An alisis Real, maestr a. Tarea 1....

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