Aná Mat II Arch2

Anlisis Matemtico II CICLO: 2010 I

Lic.: Valverde Sandoval, Oscar G. Pgina 125

FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL O FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Al finalizar esta parte del curso el estudiante ser capaz de

a) Entender la notacin para una funcin de varias variables

b) Dibujar la grafica de una funcin de dos variables

c) Dibujar las curvas de nivel de una funcin de dos variables

d) Dibujar las superficies de nivel de una funcin de tres variables

Hasta ahora slo se han visto funciones de una sola variable (independiente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o ms variables.

EJEMPLOS.

a. El trabajo realizado por una fuerza W FD es una funcin de dos variables.

b. El volumen de un cilindro circular recto 2V r hp es una funcin de dos variables. c. El volumen de un slido rectangular V abc es una funcin de tres variables.

NOTACIN DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

La notacin para una funcin de dos o ms variables es similar a la utilizada para una funcin de una sola variable, y a menos que se diga lo contrario el dominio es el conjunto de todos los puntos para los cuales la funcin est definida.

EJEMPLOS.

a) 2 2;z f x y x y

b) ;z f x y x y

c) 2;z f x y x y

d) 2 2; 1z f x y x y

e) 2;z f x y x xy

f) ; ; 2 3w f x y z x y z



DOMINIO DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES

a) Halle el dominio de la funcin f definida por 2 2;f x y x y .

SOLUCIN. La funcin f est definida para todos los puntos ;x y del plano. Por tanto, el dominio es el conjunto 2 ; , x y x y .

b) Halle el dominio de la funcin g definida por 2 2; 1g x y x y .

SOLUCIN. La funcin g esta definida para todos los puntos ;x y del plano para los que 2 21 0x y . Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que estn en el disco 2 2 1x y , como se muestra en la figura.

2 2 1x y

0X

Y2 2 1x y

1

1

1

1

Dominio de g

c) Halle el dominio de la funcin g definida por ;g x y Ln xy .

SOLUCIN. La funcin g est definida para todos los puntos ;x y del plano para los que 0xy . Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que estn en el primer y tercer cuadrante.



0, 0x y

0, 0x y Dominio de g

d) Halle el dominio de la funcin f definida por 2 2 2

; ;9

xf x y zx y z

.

SOLUCIN. La funcin f est definida para todos los puntos ; ;x y z del espacio para los que 2 2 29 0x y z . Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos que estn en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.

3

3

3

3

0

X

Y

Z

Dominio de f



e) Halle el dominio de la funcin h definida por 2 2 9; x yh x y

x

SOLUCIN. La funcin h est definida para todos los puntos ;x y del plano para los que 0x y 2 2 9 0x y . Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que estn en la circunferencia 2 2 9 0x y , o en su exterior, con excepcin de los puntos en el eje de ordenadas, como se muestra en la figura.

2 2 9x y

0X

Y2 2 9x y

3

3

3

3

Dominio de h

GEOMETRA DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Introduciremos los conceptos de grfica, curva de nivel y superficies de nivel de dichas funciones.

Cuando n:f U , decimos que f es una funcin de n variables, con dominio U y valores reales.

n

1

:

; ... ; n

f U

x x x f x

Observe que f x es un nmero real y depende de las variables 1; ... ; nx x .



GRFICAS DE FUNCIONES. Para : 1f U n , la grfica de f es el subconjunto de 2 que consta de los puntos ; x f x en el plano para x U . Este subconjunto se puede pensar como una curva en 2 . Simblicamente escribimos esto.

2 ; /Grfica de f x f x x U OBSERVACIN. Trazar la grfica de una funcin de una variable es un recurso til para visualizar el comportamiento real de la funcin.

DEFINICIN. Sea n:f U . Definimos la grfica de f como el subconjunto de n 1 que consta de todos los puntos n 11 1; ... ; ;f ; ... ;n nx x x x para

1; ... ; nx x .

En smbolos:

11 1 1 ; ... ; ; ; ... ; ; ... ;nn n nGrfica de f x x f x x x x U

Z

f

Y X

U

Grafica de una funcin de dos variables (la grfica es una superficie en el espacio)

Grafica de una funcin de una variable (la grfica es una curva en el plano)

U

Y

X

f

0



NOTA:

Para 3n es difcil visualizar la grfica de f , pues como vivimos en un mundo tridimensional, no es difcil imaginar conjuntos en 4 . Para superar este obstculo, introducimos la idea de conjunto de nivel.

CONJUNTOS DE NIVEL.

Consideremos por ejemplo 3:f U tal que 2 2 2; ;f x y z x y z .

Un conjunto de nivel es un subconjunto de 3 en el cual f es constante; por ejemplo, el conjunto donde 2 2 2 1x y z es un conjunto de nivel para f . (este conjunto es una esfera de radio 1 en 3 ).

Formalmente, un conjunto de nivel es el conjunto de puntos ; ;x y z en el que ; ;f x y z c , c es una constante.

NOTA:

El comportamiento o estructura de una funcin est determinada en parte por la forma de sus conjuntos de nivel; en consecuencia, entender estos conjuntos nos ayuda a entender la funcin en cuestin.

OBSERVACIN:

Los conjuntos de nivel para funciones 2:f se denominan curvas de nivel o contornos de nivel.

EJEMPLO 1: Sea 2: ; 2f f x y

Entonces Grfica de 3 2; ; ; 2, ;f x y z z f x y x y OBSERVACIN: La curva de nivel de valor c es vaca si 2c y es todo el plano XY si

2c .



EJEMPLO 2: Sea 2: ; 2f f x y x y

Grfica de 3 2, , ; 2, ;f x y z z f x y x y x y : 2P z x y es un plano inclinado en 3

INTERSECCIN CON EL PLANO XY

P interseca al plano ( 0)XY z en la recta 2y x

INTERSECCIN CON EL EJE Z

P interseca al eje Z en el punto 0;0;2

CONJUNTOS DE NIVEL

Para cualquier valor c , la curva de nivel de valor c es la recta 2y x c ; o en smbolos, el conjunto:

2; 2L x y y x cc

Z

Y

3Plano horizontal en

X

2

2z



OBSERVACIN IMPORTANTE

Se puede inferir la forma de la grfica de f elevando mentalmente cada curva de nivel a la altura apropiada, sin estirarla, inclinarla o deslizarla.

Si se contemplara este procedimiento para todas las curvas de nivel Lc , esto es para

todos los valores de c , juntas conformaran toda la grfica de f .

DEFINICIN: (CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL)

Sea : nf . Entonces el conjunto de nivel de valor c se define como el conjunto de los puntos 1 1,..., ,...,n nx x U f x x c .

Si 2n , hablamos de una curva de nivel (de valor c ); y

Si 3n , hablamos de una superficie de nivel.

En smbolos el conjunto de nivel de valor c .

1 1,..., ,..., nn nx x U f x x c

0 2

2

2

Y

X

Las curvas de nivel de f,definida por f x;y x y 2muestran el comportamientode esta funcin

2

f x ;y x y 2 4

f x ;y x y 2 2

f x ;y x y 2 0



EJEMPLO: Describir la grfica de la funcin cuadrtica

2 2 2: ;f f x y x y

SOLUCIN: La grfica de f es el paraboloide de revolucin 2 2z x y , orientado hacia arriba desde el origen y alrededor del eje Z .

La curva de nivel de valor c es el conjunto 2 2 2 0; , x y x y c c Observe este conjunto, es una circunferencia de radio c y centro en el origen 0;0

2 2 1x y

2 2 0x y 2 2 4x y

2 2 9x y

2 2 16x y

X

Y

2 2Algunas curvas de nivel para la funcin f definida por ;f x y x y



EL MTODO DE SECCIONES:

Una seccin de la grfica de : nf es la interseccin de la grfica con un plano vertical.

Por ejemplo si 1P es el plano XZ en 3 , definido por 0y y 2 2( ; )f x y x y

entonces la seccin de f es el conjunto

21 1 Grfica de ; ; 0, S P f x y z y z x El cual es una parbola en el plano XZ .

Anlogamente: Si 2P en el plano YZ en 3 , definido por 0x , entonces la seccin

22 2 Grfica de ; ; 0, S P f x y z x z y Es una parbola en el plano YZ

OBSERVACIN: Por lo general es til calcular alguna o algunas secciones para complementar la informacin dada por los conjuntos de nivel.

1S

2S

2S

2: ,20

S z y

x

2: ,10

S z x

y

X

Y

Z

EJEMPLO: Sea 2 2 2: ;f f x y x y

La grfica de la funcin cuadrtica f se le denomina paraboloide hiperblico o silla de montar, con centro en el origen.



Curvas de nivel para la funcin f, definida por f(x;y)=x2-y2

CURVAS DE NIVEL: 2 2; f x y c x y c

Si 2 20 0 y xc x y (dos rectas que pasan por el origen)

Si 2 21 1 c x y (Hiprbola) que cruza verticalmente el eje de las abscisas en los puntos 1 ; 0 .

Si 2 24 4 c x y (Hiprbola) que cruza verticalmente el eje de las abscisas en los puntos 2 ; 0 .

Ahora: Si 2 21 1c x y (Hiprbola) que cruza horizontalmente el eje de las ordenadas en los puntos 0 ; 1

Si 2 24 4c x y (Hiprbola) que cruza horizontalmente el eje de las ordenadas en los puntos 0 ; 2 .



Como no es fcil visualizar la grfica de f a partir slo de estos datos, calculamos dos secciones.

21 1 Grfica de ; ; 0, S P f x y z y z x 1S es una parbola abrindose hacia arriba en el eje Z en el plano XZ .

Ahora: 22 2 Grfica de ; ; 0, S P f x y z x z y 2S es una parbola en el plano YZ , abrindose hacia abajo en el eje Z .

Ahora se puede visualizar la grfica de f elevando las curvas de nivel a la altura apropiada y suavizando la superficie resultante.

EJEMPLO: 3 2 2 2: ; ;f f x y z x y z

CONJUNTOS DE NIVEL: 2 2 2; ; f x y z c x y z c

En este contexto los conjuntos de nivel son superficies en 3 .

Algunas curvas de nivel sobre la grfica de f, donde f (x;y) = x2 y2

Z

Y X

2,422 zyx

1,122 zyx

0,2 yxz

0,2 xyz



OBSERVACIN: La grfica en 4 , no se puede visualizar directamente. Los conjuntos de nivel son esferas con centro en el origen 0;0;0 y radio r c para 0c , y es slo un punto en el origen para 0c , y es vaco para 0c .

EJEMPLO. Sea 3:f definido por 2 2 2, ,f x y z x y z (tambin se conoce como silla de montar).

SUPERFICIES DE NIVEL: Estn definidas por el conjunto.

2 2 2; ;L x y z x y z cc Si 2 2 2 2 2 20 0 c x y z x y z es un cono de dos mantos centrado en el eje Z .

Si 0c por ejemplo 2c a , entonces 2 2 2 2ax y z . As 2 2 2az x y es un hiperboloide de dos hojas alrededor del eje Z , que atraviesa

el eje Z en los puntos 0,0, a .

Si 0c por ejemplo 2c b , entonces 2 2 2 2bx y z . As 2 2 2bz x y es un hiperboloide de revolucin de una hoja alrededor del eje Z , el cual interseca el plano XY en el crculo de radio b .



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA 1. Trazar la grfica y las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) 2: ; 2f f x y x y

b) 2 2 2: ; 4f f x y x y

c) 2: ;f f x y xy

d) 2 2 2: ;f f x y x y

2. Describir el comportamiento, conforme varia c , de la curva de nivel ( ; )f x y c para cada una de estas funciones:

a) 2 2; 1f x y x y

b) 3;f x y x y

c) 2 2; 1f x y x y

d) ;f x y x y

3. Para las funciones f , g y h definidas por: ; 2f x y x y , 2 2;g x y x y y 2 2;h x y x y . Calcule la seccin de la grfica definida por el plano

, , tanS x y z y x qq , donde cteq dada. Hacer esto expresando z como funcin de r , donde .cosx r q , y .y r sen q . Determine cul de las funciones f , g o h tiene la propiedad de que la forma de grfica de funcinSq

es independiente de q .

4. Usando coordenadas polares, describir las curvas de nivel de la funcin definida por

2 22; xyf x y

x y

. Si ; 0;0x y y 0;0 0f

5. Sea z b x y , 0b , 0;z b . Halle el dominio de z para que sea funcin y esbozar su grfica.

6. Si ;z f x y es una funcin, grafique la superficie S con ecuacin 2 23; 4f x y x y .



LMITES Y CONTINUIDAD CONCEPTOS PREVIOS

Sea nx un conjunto cualquiera, entonces

n complemento de c x xx x x Ahora sea 0

nx .

1. 0x es un punto interior de x si existe vecindad 0;V x d de 0x que cumple 0;V x d x .

OBSERVACIN: 0 0n;V x x x xd d se le denomina vecindad de centro 0x y radio 0d d . Al conjunto 0 0n' ; 0V x x x xd d se le

denomina vecindad reducida de centro 0x y radio 0d d .

OBSERVACIN: 0 0;x V x d , 0 0' ;x V x d y 0 0 0' ; ;V x V x xd d 2. 0x es un punto frontera de x si toda vecindad de 0x contiene al menos un punto de

x y al menos un punto de cx .

3. 0x es un punto exterior de x si hay alguna vecindad de 0x que est contenida en cx .

4. Al conjunto de todos los puntos interiores de x se le denomina INTERIOR DE x y se representa por intix x .

5. Al conjunto de puntos frontera de x se le denomina FRONTERA DE x y se representa por bx .



6. Al conjunto de todos los puntos exteriores de x se le denomina EXTERIOR DE x y se representa por Ex .

OBSERVACIONES

a) ix x

b) cEx x

c) cE ix x d) Si x cbx xx x x

DEFINICIN: Llamaremos a dos conjuntos ajenos, cuando tienen una interseccin vaca, entonces ix , bx y Ex son conjuntos ajenos dos a dos, adems:

ni b Ex x x

Por lo tanto para cualquier punto 0

nx una y slo una de las siguientes proposiciones

de verifica: 0 0 0 0 0 i b Ex x xx x x

EJEMPLO. Sea 2;x y y xx . Sea 0 0;x y x , luego 0 0y x , entonces 0 0 0x y .

Y

r

;0 0x y0

X

y x

:L y x

y x



Adems 0 0 0 00 0; ; 02 2x y x y

r d x y L

Vemos que Adems 0 0; , 0x y rx , luego 0 0; ;V x y r x , en consecuencia 0 0;x y x es un punto interior de x . Por lo tanto:

2;i x y y xx x , 2;b x y y xx y 2;E x y y xx DEFINICIN (CONJUNTO ABIERTO). Sea nx . Decimos que x es un conjunto abierto cuando para cada punto 0x x existe algn 0r tal que 0;V x r est contenido en x .

En smbolos: 0;V x r x DEFINICIN (BOLA ABIERTA). Se le denomina as al conjunto definido por:

0 0n; B x r x x x r DEFINICIN (BOLA CERRADA). Se le denomina as al conjunto definido por:

0 0n;B x r x x x r EJEMPLOS DE CONJUNTOS ABIERTOS

Si 1n

0x r 0x 0x r0 0;x r x r



Si 2n

0 0;x y

r

0X

Y

2 22 20 0 0B ; x;yx r x x y y r

Si 3n

0 0;x y

r

Y

Z

2 2 23 20 0 0 0B ; x;y;zx r x x y y z z r X

Si nx es tal que ix x , entonces se dice que x es un conjunto abierto. Es decir todos los puntos de x son puntos interiores de x .

OBSERVACIN IMPORTANTE

Como todo punto de x es un punto interior o un punto frontera de x , entonces podemos decir un conjunto abierto como un o que no contiene ninguno de sus puntos de frontera.



DEFINICIN (CONJUNTO CERRADO). Un conjunto nx se dice que es cerrado si su complemento es abierto, es decir, x es cerrado si c Ex x o i bx x x . As pues, un conjunto es cerrado si y slo si contiene sus puntos frontera.

Si un conjunto contiene alguno o algunos de sus puntos de frontera, pero no todos, entonces no es cerrado ni abierto.

NOTA. Si un conjunto nx no es abierto no significa que este es cerrado y viceversa

si x no es cerrado no significa que este sea abierto. Los conjuntos f y n son cerrados y abiertos a la vez.

DEFINICIN. La funcin constante c es la funcin con n como dominio y cuyo rango consiste tan slo en el nmero c .

DEFINICIN. La funcin proyeccin k 1,nk es la funcin con n como dominio y con regla de correspondencia, k kx x donde xk es la componente k-sima de

,...,1x x xn . OBSERVACIONES

1. La funcin constante transforma el espacio total n sobre el nmero, nico, c .

2. La funcin de proyeccin k transforma cada punto de n sobre su proyeccin

ortogonal sobre el eje Xk ; es decir, , ,1 x y z x , , ,2 x y z y , e , ,3 x y z z .



OPERACIONES SOBRE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DEFINICIN. Sea n, :f g dos funciones con dominios respectivos Dom f y

Dom g , entonces f g , f g , .f g , fg

se define como sigue

a) f g x f x g x y Dom f g Dom f Dom g

b) fg x f x g x y Dom fg Dom f Dom g

c) f xf x

g g x

y fDom Dom f Dom g

g

tal que 0g x

Vemos que tambin se cumple:

a) f g h f g h ASOCIATIVA f gh fg h

b) f g g f CONMUTATIVA

c) f g h fg fh DISTRIBUTIVA

d) f g h fh gh DISTRIBUTIVA

DEFINICIN. Sea n:f y :g dos funciones. Entonces la composicin de g con f , que denotaremos por g fo , se define como sigue

fg x g f xo , n , Dom g f x x Dom f f x Dom fo



EJEMPLOS

a) Si 2 21 1 22 ; 2f f x y x xy

b) Si 11 2

; xf f x yx y

c) Si 1 2exp ; xyf f x y eo

d) Si 1/ 2 2 2 2 23 1 2 ;f f x y z x yo DEFINICIN. Una funcin polinomial de n en es una funcin que puede obtenerse de las funciones constantes y proyeccin efectuando las operaciones de adiccin, sustraccin y multiplicacin un nmero finito de veces.

EJEMPLO

2 4 2 21 2 3 1 3 33 4 10p es una funcin polinomial de

3 en , cuya regla de correspondencia es:

2 4 2 2, , 3 4 10p x y z x yz x z z

DEFINICIN. Una funcin racional r de n en es un cociente de funciones

polinomiales, es decir prq

dnde p y q son funciones polinomiales de n en .

Por ejemplo 3

1 2 22 21 1 2

3r

es una funcin racional de n en .

La regla de correspondencia es 3

2 23; xy yr x yx xy



LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DEFINICIN. El nmero b se dice que es el lmite de la funcin f en a si para cada

nmero 0e , hay un nmero 0d , tal que f x b e siempre que y 0 xx Dom f a d

INTERPRETACIN GEOMTRICA

x aLm f x b

si para cualquier vecindad ;V b e de b existe una vecindad ;V a d de a tal que ' ;x V a d y x Dom f implica que f x est ;V b e o simplemente

' ; ; ;f Dom f V a V b b bd e e e

EJEMPLO. Sea 2 2: ; 2f f x y x xy . Demuestre que 3; 1 3Lmf x .

DEMOSTRACIN. Dado 0e , debo probar que existe 0d tal que 3f x e siempre que 2; 0 x;y 3; 1x y d .

En efecto:

223 2 3 3 2 3 1 4 3 6 1f x x xy x x y x y

23 3 2 3 1 4 3 6 1.............. *f x x x y x y Ahora, sabemos que

3 ; 3 : 1 y 1 ; 3 : 1 ............x x y y x y

Elegimos 1d , entonces

0 ; 3 : 1 1x y d de 3 1x y 1 1y

De * : 3 3 2 1 4 3 6 1 13f x x y x y d



Hacemos 13e d , entonces 13ed , por lo tanto, si escogemos 1;

13mn ed

tal que

2 2 3x xy e siempre que 0 ; 3 : 1x y d .

Lo que prueba que 3;1 3Lmf x

EJEMPLO. Si c es una funcin constante de n en y na , entonces

1 c , ,...,a nLm c a a a DEMOSTRACIN. Tmese 0e . Queremos demostrar que existe una 0d tal que c c e siempre que 0 x a d .

Es claro que podemos tomar como d un nmero positivo cualquiera.

EJEMPLO. Sea n:k y na , entonces

a k kLm x a

DEMOSTRACIN. Para todo 0e , debemos probar que existe 0d tal que k kx a e siempre que 0 x a d

En efecto: k k k kx a x a . Como k kx a x a d , basta elegir d e

TEOREMA. Si f y g son funciones de n en tales que a

Lm f x y a

Lm g x

existen y si a es un punto de acumulacin de Dom f Dom g , entonces

a) a a a

Lm f g x Lm f x Lm g x

b) a a aLm fg x Lm f x Lm g x

c)

, 0

a

a aa

Lm f xfLm x si Lm g xg Lm g x



TEOREMA. Si f es una funcin de n en tal que a

Lmf x b , g es una funcin

de en que es continua en b , y si na es un punto de acumulacin del dominio de g fo , entonces ga aLm f x g Lmf x g bo TEOREMA: UNICIDAD DE LOS LMITES

Si 1aLmf x b y 2aLmf x b , entonces 1 2b b EJEMPLOS

1. Use la definicin para demostrar que se cumple 0

0 xLm x x , 0n, x x .

DEMOSTRACIN. Sea f la funcin definida por f x x , y sea 0V x cualquier vecindad de 0x . Tenemos que probar que 0f x V x cuando 0x x . As, por la definicin, debemos hallar una vecindad U de 0x con la propiedad de que si

0x x y x U , entonces 0f x V x . Escogemos 0U V x . Si x U , entonces 0x V x ; como x f x , se deduce que 0f x V x .

2. Sea 2 2 2: x;y x y 2f f , calcule 0;1Limf x

0;1 0;1 0;1 0;1 0;12 2 2 2 2 2x y 2 x y 2 0 1 2 3Limf x Lim Lim Lim Lim

0;1 3Limf x NOTA: El lmite de cualquier funcin racional se puede calcular fcilmente con tal de que el lmite del denominador no sea cero.



EJEMPLO: sea 2 2 22: ; xy yf f x yx y

. Calcule 1;1 Lm f x

SOLUCIN.

1;1

1;1 1;1

1;1

2 2 2 22 2

2 2 1 1 12 3 21 1

Lm xy yxy yLmf x Lmx y Lm x y

DEFINICIN. La funcin f se dice que tiene lmite infinito en a , lo que se escribe

a

Lmf x , si a es un punto de acumulacin de Dom f y para cada numero 0M hay un nmero 0d tal que f x M siempre que x Dom f y

0 x a d .

NOTA: Si a

Lm f x seguimos diciendo que no existe lmite de f en a ya que no es un nmero real.

DEFINICIN. Una vecindad de infinito es un intervalo de la forma ;M y anlogamente una vecindad del menos infinito es un intervalo de la forma ;M por consiguiente:

a

Lm f x p (donde o p p ) si para cada vecindad pN de p existe una vecindad reducida aN ' de a tal que f a Dom f pN ' N OBSERVACIN: Si hacemos p en la anterior definicin obtenemos una de

a

Lm f x

EJEMPLO: Demuestre que 0;0 2 2

1 Lmx y

SOLUCIN. Dado un 0M . Deseamos encontrar un nmero 0d tal que

2 21;f x y M

x y

siempre que 0 0;0x d .



2 2 2 22 2

1 1 1 M x y x yM Mx y

bastar tomar 1M

d .

Cmo resolveremos problemas de lmites cuando el lmite del denominador es cero?

Sea : nf una funcin con dominio Dom f y sea nU un subconjunto.

Sea Uf la funcin con dominio U Dom f y regla de correspondencia

Uf x f x , para x U Dom f Entonces decimos que el lmite de la restriccin de f a U en a es b , lo que escribimos

a x a

Lmf x b sobre U o Lmf x b x U Dom f

si x a ULmf x b

EJEMPLO 1: Sea 2:f definida mediante 2 2;xf x y

x y

. Calcule

; 0;0;

x yLm f x y

SOLUCIN. La curva de nivel de f correspondientemente al valor c es el conjunto

2 2;xx y c

x y

Si 0c , la curva de nivel es el eje de las ordenadas Y con el origen omitido.

Si 0c la curva de nivel es la circunferencia 2

22

1 12 4

x yc c

con el origen omitido.

Sea 12

hc

entonces 2 2 2x h y h o 2 2 2 0x y xh .

Hacemos 2 2 2;U x y x h y h

; 0;0 ; 0;0 ; 0;01;

2 2x y x y x yxLm f x y Lm Lm chx h

sobre U



Obsrvese que los lmites de f en el origen cuando lo restringimos a diferentes circunferencias que pasan por el origen son distintos de acuerdo al teorema de unicidad de lmite vemos

; 0;0;

x yLm f x y

no existe.

CONCLUSIN. Resulta claro de si a

Lmf x , entonces tara cualquier conjunto U tal que

a sea un punto de acumulacin de U Dom f .

En consecuencia, si hay alguna restriccin de f que no tiene lmite en a o hay dos restricciones de f que tienen en a lmite distintos, ello indica que no existe el lmite de f en a .

EJEMPLO. Sea 2 2

2 2;x yf x y

x y

, demuestre que

0;0; 0Lmf x y

SOLUCIN: Dado 0e . Deseamos encontrar un nmero 0d tal que

2 2

2 2x y

x ye

siempre que 2 2 2; 0;0 0x y x y d

Sea 1 ; 0 U x y x y

X

Y

1 ; 0 U x y x y



Si 2 2 2 2

22 2 20 x y x yx y

x y xe

.

Como 2 2 20 x y d , bastar tomar d e (pues 2 2 2 2y x y d )

Ahora si 0x , entonces 2 2

2 2 0x y

x ye

si 2 2 20 x y d .

As, pues, si d e , 2 2 20 x y d implica 2 2

2 2x y

x ye

y por lo tanto

0;0 ; 0Lmf x y .

LIMITES ITERADOS TEOREMA. Si

0 0; ;;

x y x yLm f x y

existe, y si, para cada x en una vecindad reducida de

0x , 0

;y yLmf x y

existe, entonces 0 0 0 0; ;; ;x x y y x y x yLm Lmf x y Lm f x y . EJEMPLO.

Si 2 2;xf x y

x y

entonces para cada x en una vecindad reducida de 0 ,

0

1;yLmf x y

x .

Entonces, si existe

; 0;0

;x yLm f x y

, tambin existe 0 0

;x yLmLmf x y

. Sin embargo, 0

1xLm

x

por tanto,

; 0;0

;x yLm f x y

no existe.



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA

1. Demuestre que

; 0;0

; 1x yLm f x y

, si 2 2

2 2;sen x y

f x yx y

.

2. Sea

3

4 2 2 2, ; 0;0

;

1 , ; 0;0

x yx y

g x y x y x y

x y

. Calcule

; 0;0

;x yLm g x y

en

caso que exista.

3. Existe el ; 0;0

2

2 2x yxLm

x y ?

4. Existe el ; 0;0

2 3

2 24 3

x y

xy xLmx y

?

5. Demuestre que ; 0;0

2

2 22 0

x y

x yLmx y

.

6. En caso que existan, calcule los siguientes lmites:

a) ; 0;0 2 2 3x yLm x y

b) ; 0;0 2 2 2x y

xyLmx y

c) ; 0;0 1x y

xyeLmx

d) ; 0;0

3 2

2 2x yx yLm

x y

e) ; 0;0 2

2 4x y

xyLmxy

f)

; 0;0

2

2 2x y

x yLm

x y

g)

; 0;0

2

4 4

cos 12

x y

xxLm

x y



CONTINUIDAD

Definicin.- La funcin f es continuidad en el punto a Dom f si para cada 0e existe una 0d tal que f x f a e siempre que x Dom f y x a e . En trminos de vecindades, tenemos:

f es continuidad en a Dom f si para cada vecindad N de f a existe una vecindad M de a tal que:

f Dom f M N OBSERVACION IMPORTANTE:

1. Si a Dom f , pero a no es un punto de acumulacin de Dom f , entonces f es continuidad en a , pues en este caso existe una vecindad M de a tal que

Dom f aM . Entonces, si N es una vecindad cualquiera de f a ,

f Dom f f a M N . 2. Si a Dom f es un punto de acumulacin de Dom f , entonces la definicin

anterior es equivalente a.

La funcin f es continua en el punto a Dom f si X aLmf x f a

.

TEOREMA: Si las funciones f y g son continuas en a , entonces f g , y .f g son

continuas en a y fg

es continua en a siempre que 0g a .



TEOREMA: Si f es una funcin de n en que es continua en a y g es una funcin de en que es continua en f a , entonces g f es continua en a . EJEMPLO: La funcin f definida por ;f x y sen xy es continua en todos los puntos de 2 .

DEFINICIN. Una funcin : nf es continua si es continua en cada punto de su dominio.

DEFINICIN. Una funcin : nf es continua sobre un conjunto Dom f si la funcin restringida : nUf es continua.

DEFINICIN. Cualquier polinomio 0 1 ... nnp x a a x a x es continuo en .

EJEMPLO: Si np x x , entonces 0 00

: x x

nx Lm p x x

EJEMPLO: Sea 2: ;f f x y xy .

2Dom f .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; ; ; ; ; ;; ;x y x y x y x y x y x yLm f x y Lm x Lm y x y x y f x y

Por lo tanto f es continua en todos los puntos de 2 .

DEFINICIN. Cualquier polinomio ;p x y es continuo en 2 .

EJEMPLO: 2 2 3; 3 6p x y x xy y es continuo en 2 , pues

0 00 0; ;

; ;x y x y

Lm p x y p x y

.



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA

1. Sea:

23 3

22

2 1, 0, 0

1;

1, 0 , 0

1

yx y x

x yf x y

y xy x x

y y

. En qu puntos sobre el eje Y, es f

continua? En qu puntos sobre la parbola 2 0y x es f continua?

2. Sea

2 2

24

1 4 1; 11

x yy x x yf x y e seny xx y

, 1;1 0f y 0;1 0f .

Determine los puntos de continuidad y discontinuidad de f .

3. Sean: 2 2 2; 1h x y x y y x ,

2

2

; ; 0; 22

; 04

h x y para x y Dom h tal que x yf x y y

para x y Dom h tal que x y

y

3

4 2 2 2; , ; 0;0 0;0 1x yg x y para x y y g

x y x y

a) Determine los puntos donde f es continua y grafique este conjunto de puntos. Indique tambin los puntos de discontinuidad de f .

b) Calcule,

; 0;0

;x yLm g x y

en caso que exista.

c) Analice la continuidad de la funcin f g .

4. Sea la funcin f definida mediante

3

2 2 , ; 0;0;0 , ; 0;0

y x yf x y x y

x y

. Analice la

continuidad de f en 0;0 .



5. Sea la funcin f definida mediante

2

2 2 , ; 0;0;0 , ; 0;0

y x yf x y x y

x y

. Analice la

continuidad de f en 0;0 .

FUNCIONES DIFERENCIABLES

DEFINICIN. Sea : nf , decimos que f es diferenciable en el punto x si f est definida en una vecindad ;x rN de x y si existe un vector a (independiente de h ) tal que para cualquier punto x h en ;x rN '

0

. ; . , ; 0h

f x h f x a h x h h donde Lm x hj j

El trmino .a h se le denomina diferencial de f en x y h y se denota por ;df x h . Es decir:

; .df x h a h El vector a se le denomina derivada de f en x y se denota por Df x . Es decir:

Df x a Observe que j , para un x fijo, es una funcin de n en n .

Qu significa 0

; 0hLm x hj

?

EXPLICACIN: Escribimos 1; ; ; ... ; ;nx h x h x hj j j , entonces

0; 0

hLm x hj

quiere decir 0

; 0h kLm x hj

para 1, 2, 3, ... ,k n .



EJEMPLO: Demuestre que la funcin f definida por 2;f x y x xy es diferenciable en todo punto de 2 .

SOLUCIN: Sea 2;x x y un punto cualquiera y 1 2;h h h un vector cualquiera de 2 . Entonces:

21 2 1 1 2;f x h f x h y h x h x h y h

2 1 2 1 1 1 22 ; ; ; ; . ; .f x h x xy x y x h h h h h h f x a h x h hj donde 2 ;a x y x y 1 1; ;x h h hj . Queda por probar que 0 ; 0hLm x hj . Pero es claro que

; 0;0 1 11 2; 0;0

h hLm h h

Por lo tanto, f es diferenciable en todo punto de 2 . Adems:

1 2 1 2; . 2 ; . ; 2df x h a h x y x h h x y h xh y la derivada de f en x es: 2 ;Df x a x y x TEOREMA: Si f es diferenciable en x , entonces f es continua en x .

TEOREMA: Si f y g son diferenciables en un punto x en n , entonces f g y .f g son diferenciables en x y

a) ; ; ;d f g x h df x h dg x h

b) D f g x Df x Dg x

c) ; ; ;d fg x h g x df x h f x dg x h

d) D fg x g x Df x f x Dg x



TEOREMA: Si : nf es una funcin diferenciable en x y :g es una funcin diferenciable en f x , entonces g f es diferenciable en x y

a) ; ; ;d g f x h dg f x df x h b) D g f x Dg f x Df x .

COROLARIO.- Si : nf y : ng son diferenciables en un punto x de n

y 0g x , entonces fg es diferenciable en x y

a) 2

; ;;

g x df x h f x dg x hfd x hg g x

b) 2

g x Df x f x Dg xfD xg g x

TEOREMA: Si : ng es una funcin diferenciable en el punto t y : nf una funcin diferenciable en g t , entonces f g es diferenciable en t y

a) ; ; ;d f g t h df g t dg t h

b) D f g t Df g t Dg t Esta frmula que acabamos de dar para la derivada de composicin de funciones se llama a veces la regla de la cadena.



DERIVADAS DIRECCIONALES

DEFINICIN.- La derivada direccional de : nf en la direccin u , donde u es un vector unitario en n , es la funcin

uD f con regla de correspondencia.

0hu

f x hu f xD f x Lm

h

y con dominio el conjunto de todos los puntos x del domino de f para los que existe el lmite.

EJEMPLO: Si 1n , entonces :f y u se hace igual al nmero 1, entonces esta definicin es la misma que la definicin de la derivada de una funcin real de variable real.

NOTA: El valor de la derivada direccional uD f x es la razn de cambio de f en la direccin u en el punto x .

EJEMPLO: Si 2n tenemos 2:f , entonces la grfica de f es una superficie en 3 .

OBSERVACIONES:

1. En un punto x Dom f la funcin no tendr en general una razn de cambio nica sino que cambiar en proporciones distintas, segn cual sea la direccin en que x se mueva.

2. La razn de cambio de f en la direccin u , donde u es un vector unitario, est dada

por: 0hu

f x hu f xD f x Lm

h

.

3. El valor de la derivada direccional uD f x depende solamente de los valores de la funcin f en los puntos sobre la recta que pasa por x y es paralela a

:u x hu h . Los puntos de esta recta quedan especificados por el valor de parmetro h .



Ahora sea la funcin F definida por: F h f x hu

Entonces F es una funcin real de variable real. Observe que 0F f x . As que 0f x hu f x F h F . La Grfica de F Grfica de f , es un plano

perpendicular al plano XY y contiene la recta que pasa por x y es paralela a u .

El punto 0 ; 0F corresponde al punto ; ; ; x y f x y .

Como: 0 0

0' 0

h hu

f x hu f x F h FD f x Lm Lm F

h h

Decimos que uD f x es la pendiente en ; ; ; x y f x y de la curva C formada por la interseccin de la grfica de f y el plano .

EJEMPLO: Determnese uD f x donde: 2 2 2; ;f x y z x y z y 1 2 ; 1 ; 16u .

SOLUCIN: Hacemos F h f x hu

2 2 22 2; ;

6 6 6 6 6 6h h h h h hF h f x y z x y z

2 2 1 1 4 2 2' 2 2 2 ' 06 6 6 6 6 6 6 6 6h h h x y zF h x y z F

EJEMPLO: Sea 2:f definida por:

2

2 4 , ; 0;0;0 , ; 0;0

x y x yf x y y x

x y

Demuestre que en el origen 0;0 existe la derivada direccional de f en cualquier direccin, pero que f no es continua en el origen.



SOLUCIN: Sea 1 2;u u u un vector unitario. Entonces:

0 0 0 0

21 22 4 2

1 2 2 1 1 22 4

2 1

0 0 ;0;0

h h h hu

hu hu

f hu f f hu hu hu hu hu uD f Lm Lm Lm Lm

h h h hu hu

0 0

2 21 2 1 2

2 4 2 422 1 2 1

0;0h hu

hu u u uD f Lm Lm

hu hu u h u

2

12

2u

2

, 0 D 0;0

0 , 0

uu

f u

u

Vemos que, en el origen, la derivada direccional de f en cualquier direccin existe.

Ahora sea 2;x y y x . Entonces

; 0;0 ; 0;0

2 4

2 4 41 22x y x y

x y xLm Lm sobrey x x

Como 0 ; 0 0f , f no es continua en 0 ; 0 .

TEOREMA.- Si f es diferenciable en x , entonces la derivada direccional de f en cualquier direccin u existe en x y ;uD f x Df x u df x u . PRUEBA: Sea g h x hu y F f g , entonces:

F h f g h f g h f x hu

Como: ' 0 ' 0 . ' 0uD f x F f g g , pero 0g x y ' ' 0g h u g u

' . .uD f x f x u Df x u NOTA: El recproco de este teorema no se cumple. Una funcin : nf puede tener derivadas direccionales en todas las direcciones en un punto y no ser diferenciable en ese punto.



EJEMPLO: 2:f definida por 2

2 4;x yf x y

y x

tiene derivadas direccionales en

todas direcciones en el origen, pero no es continua en el origen, y, por tanto, ciertamente no diferenciable.

OBSERVACIN: . cos cosuD f x Df x u Df x u Df xq q donde q es el ngulo formado por los vectores Df x y u

uDf x D f x Df x Note que el producto escalar de dos vectores alcanza su valor mximo cuando los vectores estn en la misma direccin.

. . ,u u b a bD f x Df x u comp Df x comp a b

Implica que Df x es un vector en la direccin de la mxima razn de cambio de f y que esta mxima razn de cambio es la longitud de Df x . OBSERVACIN. Sea h hu donde h h , entonces

; . . ;u udf x h Df x h Df x hu hD f x df x h hD f x Por lo tanto, el valor ;df x h de la diferencial es la longitud de h veces el valor en x de la derivada direccional de f en la direccin hu

h .

TEOREMA (TEOREMA DEL VALOR MEDIO)

Si uD f existe sobre un conjunto abierto que contiene el segmento rectilneo cerrado que

va de x a x hu , donde u es un vector unitario, entonces existe un nmero 0;1q tal que uf x hu f x hD f x huq .



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA 1. Usando la definicin de

uD f , determnese

uD f cuando:

a) 2; , 1 ; 0 , 0 ; 1f x y x y u i u j

b) 1; ; , 5 ; 4 ; 142

f x y z xz y u

c) 2 1; ; , 1 ; 2 ; 16

f x y z xy z u

2. Si 4; ; xzf x y zx y

, determnese u

D f cuando

a) 1 ; 0 ; 0u i

b) 0 ; 1 ; 0u j

c) 0 ; 0 ; 1u k

3. Encuntrese u

D f mediante la determinacin de ' 0F , donde F h f x hu , cuando.

a) 1; , 2 ; 313

f x y sen xy u

b) ; ; , xyf x y z e Ln z u es paralelo a 2 ; 0 ; 3

4. Demustrese que 0u

D c cuando c es una constante de n en y u es un

vector unitario en n .

5. Demustrese que u u

D f D f .

6. S f y g son diferenciales sobre un conjunto abierto x , demustrese que sobre x

a) u u u

D f g D f D g

b) . .u u uD fg f D g g D f



7. Si : nf es una funcin diferenciable sobre un conjunto abierto x y :g es una funcin diferenciable sobre un conjunto abierto que contiene a f x , demustrese que sobre x .

'u uD g f g f D f

8. S f y g son diferenciables sobre un conjunto abierto x y g es distinta de cero sobre x , demustrese que sobre x .

2

. .u u

u

g D f f D gfDg g

9. Si f es diferenciable sobre 0x y f tiene un mximo relativo en 0x , demustrese que

0 0uD f x para toda direccin u . 10. Si f es un funcin de 2 en que es diferenciables en el punto x , demustrese

que:

;i jDf x D f x D f x , donde 1 ; 0i y 0 ; 1j 11. Un conjunto x se llama convexo si, para cualquier dos puntos x y y en x , el

segmento rectilneo de x a y se encuentra completamente en x . Prubese que si

para todo u , 0uD f x en todo punto x de un conjunto abierto y convexo x , entonces f es una constante sobre x .



DERIVADAS PARCIALES

Sea nU un conjunto abierto y : nf U una funcin con valores reales.

Entonces

1,...,

n

f fx x

, las derivadas parciales de f con respecto a la primera, segunda, ,la

ensima variable, son las funciones con valores reales de n variables, las cuales, en el punto 1,..., nx x x estn definidas por:

0 0

1 1,..., ,..., ,...,h h

j n n j

j

f x x h x f x x f x he f xf x Lm Lmx h h

si existen los lmites, donde 1 j n y je es el j - simo vector de la base cannica, definido por 0,....,1,...0je , con el 1 en el j - simo lugar. El dominio de la funcin

j

f x

x

es el conjunto

nx para los cuales el lmite existe.

NOTA:

1.

j

f x

x

es simplemente la derivada de f respecto a la variable jx manteniendo las

otras variables fijas.

2. Si 3:f , con frecuencia usaremos la notacin

fx

, fy y

fz

en lugar de 1

fx

, 2

fx

y 3

fx

.



EJEMPLO 1: Sea 2:f definida por 2 3;f x y x y y , halle fx y

fy .

SOLUCIN: Para hallar fx mantenemos y constante (pinsela como si fuera un

nmero) y diferenciamos solo respecto a x ; entonces ; 2f x y xyx

Anlogamente, para hallar fy mantenemos x como si fuera constante y diferenciamos

solo respecto a y .

2 2; 3f x y x yx

NOTACIN: Para indicar que una derivada parcial ha de evaluarse en algn punto particular, por ejemplo 0 0;x y ,

Escribimos 0 0 0 ;0 0

0

; o o x xx y

y y

f f fx yx x x

EJEMPLO 2: Si ; cos cosz f x y xy x y , halle las dos derivadas parciales zx

y zy evaluadas en 0 0;x y .

SOLUCIN: Primero fijamos y y diferenciamos respecto a x .

0 0 0 0 0 0; cosz x y y sen x y yx

Anlogamente:

0 0 0 0 0 0 0;z x y x sen x y x sen yy



EJEMPLO 3: Halle fx si 2 2;

xyf x yx y

SOLUCIN:

2 22 2 22 2 3

2 2 3 32 2 2 2

2

2;

xy x y xyy x y x yx yf yx y

x x y x y x y

PLANO TANGENTE

Sea 2:f diferenciable en 0 0 0;x x y . El plano en 3 definido mediante la ecuacin

0 0 0 0 0 0 0 0: ; ; ; ........... *T f fP Z f x y x y x x x y y yx y

se le denomina plano tangente a la grfica de f en el punto 0 0;x y .

EJEMPLO. Calcule el plano tangente a la grfica descrita por 2 4; xyz f x y x y e , en el punto 1 ; 0 ; 2 .

SOLUCIN: 0 0 0; ; 1 ; 0 ; 2x y z y 2 4; xyz f x y x y e

0; 2 1 ; 0 2 1 0 2xyz zx y x ye ex x

3 0; 4 1 ; 0 4 0 1 1xyz zx y y xe ey y

Reemplazando en * , obtenemos:

: 2 2 1 0 2TP Z x y x y



INTERPRETACION GEOMTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Sea 2:f una funcin, entonces su grfica est en 3 .

La grfica de ; ; ;f x y z z f x y

0 0;x y

0 0 0 0; ; ;x y f x y

X

Y

Z

2g

1g

1g

0x

Z

X

1g

0y

Z

Y

La grfica de 1g es la curva de interseccin de la grfica de f con el plano 0y y en 3 . La grfica de 2g es la curva de interseccin de la grfica de f con el plano 0x x

en 3 . Entonces: 1 0;g x f x y

0 0

0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0

; ;; '

h hx

f x h y f x y g x h g xD f x y Lm Lm g x

h h

Anlogamente: 2 0;g y f x y

0 0

0 0 0 0 2 0 2 00 0 2 0

; ;; '

h hy

f x y h f x y g y h g yD f x y Lm Lm g y

h h

TEOREMA.- Si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas sobre un conjunto abierto nU , entonces f es diferenciable sobre U .



EJEMPLO: Demustrese que la funcin f definida por:

2 22 2

1 , ; 0;

0 , ; 0

x y sen x yf x y x y

x y

es diferenciable en el origen, pero no tiene derivadas parciales continas en el origen.

Ahora discutiremos tcnicas para determinar la diferencial, la derivada y las derivadas direccionales de funciones diferenciables de n en . Un teorema anterior nos garantiza que si f es diferenciable en x entonces .uD f x Df x u , donde 1u . Ahora sea ku tal que 1u y tiene a 1 como k-sima componente y todas las dems son ceros, es decir

0,...,0, 1 ,0,...,0

kuk sima componente

Entonces:

................ *kkD f x Df x u Como kDf x u es la k-sima componente de Df x , tenemos:

1 2; ;...; ;...;k nDf x D f x D f x D f x D f x

NOTACIN: J

j

f xD f x

x

DEFINICIN: Sea : nf , entonces Df x queda completamente determinada por:

1 2; ;...; ;...; ................ * *k nDf x D f x D f x D f x D f x



El vector dado en * * se le denomina GRADIENTE de f y se denota por grad f o f (se lee nabla de f en x )

En consecuencia: Si f es diferenciable en x , entonces la derivada de f en x es el gradiente de f en x .

1 2; ;..........; nDf x f x D f x D f x D f x EJEMPLO: Si : nf es una funcin definida por ; ;w f x y z . Calcule

;df x d x . SOLUCIN:

; ; ; ; ; ; ;w w wdw df x d x df x y z Df x d x f x d x dx dy dzx y z

; w w wdw df x d x dx dy dzx y z

; f f fdw df x d x dx dy dzx y z

Ahora sea 2; ; zw f x y z x y xe , determine la diferencial de f .

SOLUCIN: Calculamos :f x 2; ; 2 ; ;z zf f ff x xy e x xex y z

; ; ; ; ;df x dx dw df x y z f x dx dy dz

2 2; 2 ; ; ; ; 2z z z zdf x d x xy e x xe dx dy dz xy e dx x dy xe dz

EJEMPLO: Sea 2 2: ;f f x y x xy y 1 2 ; 15

u . Halle u

D f .



SOLUCIN: 2 ;f x x y x . Como el gradiente es continuo, f es diferenciable sobre 2 y, por tanto, .uD f x f x u . Luego

1 1 12 ; 2 ; 1 4 2 3 25 5 5u

D f x x y x x y x x y

EJEMPLO: Encuntrese la direccin y magnitud de la razn de cambio mxima de la

funcin 2;f x y x xy en el punto 2 ; 3 .

SOLUCIN: El gradiente es un vector que tiene la direccin y magnitud de la razn de cambio mxima de la funcin.

Como ; 2 ; 2 ; 3 7 ; 2f x y x y x f . As pues f tiene su razn de cambio mxima en 2 ; 3 en la direccin 1 7 ; 2

53u y la magnitud de esta razn

de cambio mxima es: 2 ; 3 7 ; 2 53f .

EJEMPLO: Sea 3:f tal que f es diferenciable en 3 y definida por ; ;w f x y z . Ahora supongamos que : , x h t tz es una curva lisa en 3 .

Planteemos el problema de encontrar la razn de cambio de f con respecto a la distancia a lo largo de la curva z .

Si hacemos 0

't

t

s h u du , donde 0t , entonces s es la longitud del arco de z desde el punto 0h t hasta el punto h t . Como z es una curva lisa, s es una funcin creciente y, por tanto, tiene una inversa *s .

Haciendo *g h s entonces x g s y w f g s sobre z . Entonces la razn de cambio de f con respecto a la distancia a lo largo de la curca es dw

ds. Tenemos:

D f g s Df g s Dg s



Es decir: ; ;dw w w w d xds x y z ds

Entonces, como: . . . . 'dg s dg sd x d x dt dt ds dt g s T s

ds dt ds dt ds ds dt ds

donde T es el vector tangente unitario a z . Por consiguiente la razn de cambio de f con respecto a la distancia a lo largo de z es la derivada direccional de f en la direccin T :

; ; Tdw df x y z D f f x Tds ds

EJEMPLO: Si 2 2 2; ;f x y z x y z y z es la hlice cilndrica definida por:

; ; cos , , , ;2tx x y z t sen t t

Encuntrese la razn de cambio de f con respecto a la distancia a lo largo de la curva z

en el punto 0 ; 1 ; 4p

SOLUCIN: Sea ; ;w f x y z , expresamos w en trminos de s y encontramos dwds

.

Sea 1cos ; ; ' ;cos ;2 2tg t t sen t g t sen t t

0 0

5 5 '2 2

t tts g u du du

Por tanto sobre z : 2

2 2 2 21 1cos 1 14 4 5

sw t sen t t t



y la razn de cambio de w con respecto a s es: 25

dw sds

.

Ahora como el punto 0 ; 1 ; 4p corresponde a 2t

p y a 54

s p

5 10

dwds

p

Otro mtodo para resolver el problema anterior, usando el vector tangente unitario.

Como cos ; ;2tg t t sen t

y 52

ts , entonces 2 2cos ; ;5 5 5s s sg s sen

2 2 2 2 1 ' ; cos ;5 5 5 5 5

s sg s sen

El punto 0 ; 1 ; 4p corresponde a 2t

p , 54

s p

5 2 2 1 5 5 2 1' ; cos ; ' 1 ; 0 ; 4 2 2 4 4 25 5 5 5

g sen T gp p p p p

Entonces:

2 1 2 10 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0 ; 2 ; 1 ; 0 ; 4 4 2 2 25 5 2 5T

D f fp p p p

5 0 ; 1 ; 4 102 5T

D f p p p

'' '' 2 ;2 ;2 0 ; 1 ; 0 ; 2 ; 4 2ojo f x x y z fp p



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA 1. Determnese el gradiente de f cuando:

a) 2 2 2; ;f x y z x y z

b) ; ; x yf x y zx z

c) 2 2; ;f x y z x yz

d) 2; xyf x y e

e) ; cosxf x y e x y

f) 2 2 2; ;f x y z Ln x y z

2. S w f x , encuntrese ;dw df x d x cuando

a) 2 3; 3f x f x y x y y

b) 1; tan yf x f x y x

c) 2 4; xyz f x y x y e

d) 2 2 2; ;f x f x y z x y z

3. Determnese uD f x cuando

a) 2 1; , 3 ; 1

10x yf x y ux y

b) 3 2 1; ; , 5 ; 2 ; 43 5

f x y z x z y u

c) 1, , , 1 ; 1 ; 13

xyf x y z uz

d) 1; ; ; , 2 ; 1 ; 2 ; 110

x y z tf x y z t ux z

4. Encuntrese la razn de cambio mxima de las siguientes funciones en los puntos que en cada caso indica:

a) 2 2 0 0 0; ; ; ; ; 3 ; 1 ; 2f x y z xy x z x y z

b) 0 0 0; ; ; ; ; 1 ; 2 ; 0xzf x y z x y zx y



c) 2 2 2 0 0 0; ; ; ; ; 3 ; 4 ; 3f x y z x y z x y z

d) 2 0 0 0 0; ; ; ; ; ; ; 1 ; 0 ; 3 ; 2f x y z t xz y t x y z t

5. Supongamos que ; ;w f x y z y 1x g t , 2y g t , 3z g t . Entonces

1 2 3; ;w f g t g t g t

Por lo tanto: dw w dx w dy w dzdt x dt y dt z dt

; ; ; ;dw w w w dx dy dz d xf xdt x y z dt dt dt dt

EJEMPLO: Sea 2 2; ;w f x y z xy z , cosx t , ty e y 2z t . Determnese dwdt

.

2; ; ; ; ; ;2 ; ;dw dx dy dz dx dy dzf x y z y x zdt dt dt dt dt dt dt

2 2 2 3;cos ;2 ; ;2 cos 4t t t tdw e t t sen t e t e sen t e t tdt

6. Si 2

2 2;x yf x y

x y

, determnense 1 11 ; 2 ; ;

2 4df

y 1 11 ; 2 ; ; 2 4

f

NOTA: La diferencial es a menudo una aproximacin prctica y muy exacta de un incremento.

Haciendo ;f x h f x h f x , tenemos, si f es diferenciables en x .

; ;f x h df x h h x hj , donde 0

; 0hLm x hj

As pues, si la longitud de h es pequea, ;df x h es aproximadamente igual al incremento ;f x h .



DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Sea: : nf una funcin, : nkD f , entonces podemos tomar derivadas parciales

kD f . La derivada parcial de kD f con respecto a la coordenada j-sima es j kD D f .

NOTACIN: ,j k j kD D f D f

DEFINICIN: Sea : nf una funcin de varias variables, entonces la funcin j kD D f se llama derivada parcial segunda de f .

NOTACIN: Sea : nf una funcin de varias variables definida por

1;...; nw f x f x x , entonces 2

,j kj k j k

w wD f xx x x x

EJEMPLO: Si 2 2: ; 3f f x y x xy , encuntrese las derivadas parciales de segundo orden de f .

SOLUCIN: Sea 2; 3z f x y x xy

2 2

1 1,1 2,12; 2 3 ; 2 ; ; 3z z zD f x y x y D f x y D f x yx y xx

2 2

2 2,2 1,22; 3 ; 0 ; ; 3z z zD f x y x D f x y D f x yy x yy

OBSERVACIN: Ntese que: 2,1 1,2D f D f (en este ejemplo). Esta igualdad de las derivadas parciales mixtas se verifica en una gran clase de funciones.

TEOREMA: Si 2,1D f y 2D f existen en una vecindad 0;x rN de 0 0 0;x x y y 2,1D f es continua en 0x , entonces 1,2D f existe en 0 0 0;x x y y 0 01,2 2,1D f x D f x .



DEFINICIN: Se dice que una funcin f pertenece a la clase nC sobre un conjunto

abierto U , lo que denotaremos por nf C , si todas las derivadas parciales de orden n de f son continuas sobre U .

EJEMPLO: Encuntrense 2,1 0;0D f y 1,2 0;0D f cuando

2 2

2 2 , ; 0 ; 0;

0 , ; 0 ; 0

x yxy x yf x y x y

x y

SOLUCIN:

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2

1 2 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 4; , ; 0 ; 0x x y x x y x y x y x yD f x y xy y y x y

x y x yx y x y

1;0 0;0

0;0 0 0h h

f h fD f Lm Lm

h

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 4; , ; 0;0y x y y x y x y x y x yD f x y xy x x x y

x y x yx y x y

0 02

0; 0;00;0 0 0

h h

f h fD f Lm Lm

h

2 21,2 0 0;0 0;0

0;0 1h h

D f h D f hD f Lm Lmh h

0 0

1 12,1

0; 0,00;0 1

h h

D f h D f hD f Lm Lmh h

Por lo tanto en este ejemplo 1,2 2,10;0 0;0D f D f



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA 1. Determine todas las derivadas parciales de segundo orden de f cuando.

a) 2; xyf x y xy e b) 2 2 2; ;f x y z x y z c) ; tan yf x y

x

d) 2; x yf x y e

2. Encuntrese los valores de las derivadas parciales de segundo orden de f en los puntos que se indican:

a) 2 3 3; ; 3 ; 2f x y x y x y b) 2 2 2; ; ; 2 , 3 ; 2f x y z Ln x y z c)

2 1; ; ; ; 3 ; 12

x yf x y zy z

3. Determnense todas las variables parciales de tercer orden de f cuando a) ; cosf x y xy b) 3; ;f x y z x z yz

4. Si 2 1; sf x y x y enx

para 0x y ; 0f x y , determnense 2,1 0;0D f y

1,2 0;0D f Es continua 2,1 0;0D f ?



PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

Sea 3:f una funcin que es diferenciable sobre un conjunto abierto 3 y sea S la superficie.

; ; ; ;S x y z F x y z C

Sea 0 0 0 0; ;x x y z un punto sobre S y sea x g t , ;t a b la ecuacin de una curva C , 0 0x g t para un cierto 0 ;t a b . Y como C se encuentra sobre S .

F g t C para todo ;t a b .

Si suponemos que g es diferenciable sobre ;a b , entonces, de acuerdo con un

teorema, o gF es diferenciable sobre ;a b y . ' 0F g t g t para todo ;t a b .

En particular, cuando 0 :t t 0 0. ' 0.F g t g t

OBSERVACIN: Vemos que en 0x el gradiente de F es ortogonal al vector tangente a

cualquier curva :C x g t que se encuentra sobre la superficie S y pase por 0x . As, pues, si 0 0F x , las tangentes de todas las curvas sobre S en el punto 0x se encuentran sobre un mismo plano.

Si 0 0F x definimos como PLANO TANGENTE a la superficie:

3; ; ; ;S x y z F x y z C en el punto 0x al plano que pasa por 0x y tiene como normal a 0F x y cuya ecuacin es:

0 0 0 .......... *x x F x



o, en otra notacin:

0 0 0... 0 .......... * 'F F Fx x y y z zx y z

Donde las derivadas parciales son evaluadas en el punto 0 0 0; ;x y z . Si 0 0F x , entonces S no tiene plano tangente en 0x .

EJEMPLO 1:

Determnese una ecuacin del plano tangente a la superficie S descrita por la ecuacin 2 2

2 14 3x y z en el punto 2 ; 3 ; 3

SOLUCIN: A la superficie S se le denomina hiperboloide de una hoja. Haciendo

2 2

2; ;4 3x yF x y z z , tenemos

2; ; ; ; 2 2 ; 3 ; 3 1 ; 2 ; 2 32 3x yF x y z z F

Por tanto una ecuacin del plano tangente es:

1 ; 2 ; 2 3 . ; ; 2 ; 3 ; 3 0x y z 2 2 3 2 0x y z

Recuerde para el caso en que 2:f es una funcin diferenciable sobre el conjunto abierto U . Sea S una superficie dada en la forma:

; ; ; ; ;S x y z z f x y x y U

Ahora haciendo ; ; ;F x y z f x y z , podemos describir S en la forma:

; ; ; ; 0S x y z F x y z



donde F es diferenciable sobre el conjunto abierto ; ; ; , x y z x y U z

As pues, si 0 0F x , una ecuacin del plano tangente a S en 0 0 0 0; ;x x y z es:

0 0 0 ..........x x F x Escribiendo esto en trminos de f , obtenemos:

0 0 0 0 .......... 'z zx x y y z zx y

Donde las derivadas parciales ,zx

zy estn evaluadas en el punto 0 0;x y .

Como 0 0 0; ; ; ; 1f fF x y z x y

el gradiente de F no puede ser cero y, por tanto,

existe un plano tangente en todo punto de S .

EJEMPLO:

Determnese el plano tangente en el punto 1 ; 2 ; 6 a la superficie S descrita por la ecuacin 2 22z x y .

SOLUCIN: La superficie S se llama paraboloide elptico

Como 2 22z x y sea 2 2; 2f x y x y , tenemos 4 ,f x xx

2f x yy

1 ; 2 4 , 4f f xx y

Por tanto, una ecuacin del plano tangente es: 4 1 4 2 6 0x y z O bien

4 4 6 0x y z



PRCTICA DIRIGIDA DE AULA 1. Dibjese la superficie dada y encuentre el plano tangente a la superficie en el

plano dado:

a) Esfera: 2 2 2 16, 2 , 3 , 3x y z b) Hiperboloide de dos hojas: 2 2 2 1, 2 ; 3 ; 114

x y z

c) Cilindro elptico recto 2 23 154 9 36, ; ; 34 2

x y

d) Cono circular recto 2 2 2 0, 1 ; 2 ; 5x y z

2. Dibjese el cono elptico recto de ecuacin 2 2 24 0x y z Tiene este cono un plano tangente en su vrtice 0 ; 0 ; 0 ?

3. Dibjese la superficie dada y encuntrese el punto tangente a la superficie en el punto dado.

a) Plano: , 1 ; 1 ; 2z x y b) Hemisferio: 2 29 , 2 ; 1 ; 2z x y

c) Paraboloide hiperblico: 2 2

, 2 ; 3 ; 04 9x yz

d) 2 2, 1 ; 2 ; 4z x y



INTEGRACIN MLTIPLE

Consideremos una funcin continua 2f : R cuyo dominio es R un rectngulo con lados paralelos a los ejes coordenados.

R (x;y) a x b, c y d a ; b c ; d

Ahora supongamos que f(x;y) 0 , (x;y) R , entonces la grfica de f es una superficie que est arriba del rectngulo R . Esta superficie, el rectngulo R y los cuatro planos x a , x b , y c y y d forman la frontera de una regin V en el espacio.

INTEGRALES DOBLES.- El volumen de la regin que est arriba de R y debajo de la grfica de f se llama integral doble de f sobre R y se denota por:

R

f x;y dA o R f x;y dxdy

Y

R

Z

X y c y d

x b

x a

Z f(x;y)



EJEMPLO 1:

a) Sea 2f : R z f(x;y) k , donde k 0 .

Entonces R

f x;y dA k(b a)(d c) , pues la integral es igual al volumen de una caja rectangular con base R a ; b c ; d y altura k .

b) Sea 2f : R z f(x;y) 1 x y R 0 ; 1 0 ; 1 , entonces

R

1f x;y dA 2 volumen del slido triangular. (ver figura)

EJEMPLO2:

Sea 2 2 2f : R z f(x;y) x y y R 1 ; 1 0 ; 1 .

2 2R R

f x;y dxdy x y dxdy volumen bajo 2 2Z x y y sobre R 1 ; 1 0 ; 1 .

(0, 1, 0) Y

Z

X

(1, 0, 0)

(0, 0, 1)



EL MTODO DE LA SECCIN TRANSVERSAL PRINCIPIO DE CAVALIERI

Sea S un slido, a x b , sea xP una familia de planos paralelos tales que:

1. S est entre aP y bP ;

2. El rea de la seccin transversal de S cortada por xP es A x .

Entonces el volumen de S es igual a b

aA(x).dx

Ahora usaremos el principio de Cavalieri para evaluar algunas integrales dobles.

Consideremos una funcin 2f : R z f(x;y) donde R a ; b c ; d y f es continua en R , adems f(x;y) 0 ; (x;y) R .

Cmo obtener una seccin transversal? Existen dos formas:

A(x) rea de la seccin transversal

a

x

b

Plano de Referencia



TIPO 1:

1. Usando planos de corte perpendiculares al eje X , y que corten al slido en cuestin.

2. Usando planos de corte perpendiculares al eje Y , y que corten al slido en cuestin.

TIPO 1: La seccin transversal determinada por un plano de corte 0x x es la

regin plana bajo la grfica de 0z f(x ;y) de y c a y d

OBSERVACIN: d

cA : a;b A(x) f(x;y)dy , donde 0A(x ) est

definida por d

0 0c

A(x ) f(x ; y)dy . Entonces por el principio de Cavalieri, el volumen V de la regin bajo z f(x;y) y sobre R debe ser igual a:

b b d

a a cV A(x)dx f(x;y)dy dx

Y

Z

X

0x

Z f(x;y)

b

a d c

0Z f(x ;y)

A(x) rea de la seccin transversal



NOTA: b d

a cf(x ;y)dy dx

se conoce como INTEGRAL ITERADA.

TIPO 2: Anlogamente la seccin transversal determinada por un plano de corte

0y y es la regin plana bajo la grfica de 0z f(x;y ) de x a hasta x b .

OBSERVACIN: b

aA : c;d A(y) f(x;y)dx , donde 0A(y ) est

definida por b

0 0a

A(y ) f(x; y )dx . Entonces por el principio de Cavalieri, el volumen V de la regin bajo z f(x;y) y sobre R debe ser igual a:

d d b

c c aV A(y)dy f(x;y)dx dy

NOTA: d b

c af(x ;y)dx dy

se conoce como integral iterada.

Y

Z

X

0z f(x; y )

b

a

c

z f(x;y)

A(y) rea de la seccin transversal

d y0

Aná Mat II Arch2

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